Базисы и аппроксимация в пространствах функций, связанных с усиленными обобщенными условиями Гельдера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Гробер, Олег Владимирович

• Гробер, Олег Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Гробер, Олег Владимирович

Содержание

Введение

Глава 1. Базисы и полные системы в

пространствах тг; 7г] и АС®

§1. Свойства пространств и АС®

§2. О базисах в пространствах С^ и АС

§3. О полных системах в пространствах С£ и АС®

Глава 2. Базисы в пространствах функций, связанных

с интегральными условиями Гельдера

§1. Свойства пространств 1£>0[—7г; 7г] и

§2. О базисах в пространствах 7г;7г] и 0

§3. Базис в пространствах Ь^ 0(Ж)

§4. Свойства пространств Гельдера на оси и

в верхней полуплоскости

§5. О базисах в пространствах

2£>0(К) и яг>о(/т*>0)

Глава 3. Проективные и индуктивные пределы

пространств Гельдера

§1. Пространства С-+а , , АС->а ,

и базисы в них

§2. Пространства , , , Н^

и базисы в них

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Базисы и аппроксимация в пространствах функций, связанных с усиленными обобщенными условиями Гельдера»

Введение

Настоящая диссертация продолжает тематику теории базисов в различных пространствах функций, связанных с условиями Гельдера.

Рассматриваются банаховы пространства 7г;7г] функ-

ций, удовлетворяющих на отрезке [—7г;7г] (на единичной окружности) обобщенному усиленному условию Гельдера и АС® — функций, аналитических внутри единичного круга, удовлетворяющих в замкнутом круге усиленному ш - условию Гельдера. Мы построим базисы в пространствах АС® , укажем связь базисов пространств и АС®, изучим некоторые другие вопросы в этих пространствах.

Кроме того, аналогичные проблемы решаются и в банаховых пространствах функций, связанных с обобщенными интегральными условиями Гельдера.

В завершение работы большинство полученных результатов распространяется на локально выпуклые пространства, представляющие собой проективный и индуктивный пределы рассматриваемых банаховых пространств.

Ниже мы дадим точные определения и приведем небольшой обзор результатов, касающихся интересующей нас тематики.

Обозначения и предварительные сведения

Как обычно, через N, Z, 1R, С будем обозначать соответственно множества натуральных, целых, действительных и комплексных чисел.

Кроме того, напомним определения следующих банаховых пространств:

С[—7г;7г] — пространство непрерывных на [—7г;7г], 2тг - периодических функций с нормой

||/||с = sup |/(я)|;

же[-тг;тг]

Lp[—7г; 7г] —пространство 27Г - периодических, суммируемых в степени р, 1 < р < оо, функций с нормой

1

2тг J - ' I

—it /

j\f{x)\*dx\

\ 1/р

ЬР(Ш) — пространство функций, суммируемых в р-ой степени, 1 < р < оо, на всей числовой оси с нормой

/ <х>

11/% = / ; \-оо )

АС — пространство функций, аналитических внутри единичного круга и непрерывных в замкнутом единичном круге, с нормой

\Ш\\АС = «ир 1/(201;

Нр — пространство Харди (1 < р < оо) функций, аналитических внутри единичного круга и таких, что

/ 2тг \

Ц/(Ге )11#р = SUP

0<г<1

/ I f(reie)\?d0

\о

< ОО ;

l0о — пространство ограниченных последовательностей действительных чисел £ = {£¿}¿Si с нормой

lleiU = sup l&l ;

со — подпространство 1Ж, стремящихся к нулю последовательностей;

тр — пространство последовательностей действительных чисел £ = ¿^1 таких, что (1 < р < оо)

2"Н-1 \

Е 16Г =о(1),

12'т + 1 /

с нормой

||f||m = sup

2

то+1

1/Р1

Ы, 161, Е 161*

\ 2m + l J

тр — подпространство тр последовательностей таких, что

2'"+' \ Vp

Е 161' =о(1)-

, 2"' + 1 /

Базисы в банаховых пространствах. Система векторов {ег}^1 банахова пространства Е называется базисом Е, если для всякого элемента х Е Е найдется единственная последовательность чисел {^¿(ж)}-^ такая, что

оо

(0.1)

¿=1

где ряд сходится по норме пространства Е. 1 Как показал С. Банах, [1], всякий базис в банаховом пространстве является бази-

главе 3 мы будем рассматривать базисы в локально выпуклых пространствах. Пусть Е — локально выпуклое пространство. Система {е,} - базис в Е, если ряд (0.1) сходится в топологии пространства Е.

сом Шаудера, т.е. все коэффициентные функционалы £?;(*ж) непрерывны, см. также [35, с. 9] и [59, упр. 6.15].

Последовательность {е,}?^ С Е называется базисной, если она является базисом в замыкании своей линейной оболочки, и называется полной, если span{en i G N} = E. Очевидно, что полная базисная система является базисом и наоборот.

Базис {е;}?^ банахова пространства называется безусловным, если для всякой перестановки 7г(г) натуральных чисел система {е^)}?^ также является базисом пространства Е.

Модули непрерывности. Модулем непрерывности функции / 6 С([а,6]) называется функция 0Jf(t) : [0; +оо) —> [0;+оо) следующего вида:

wf(t) = max |f(x) - f(y)\.

0<\x-y\<t x,ye[a,b]

Известно, что модуль непрерывности всякой непрерывной на отрезке функции равен нулю в нуле и является неубывающей, непрерывной и полу аддитивной функцией, т.е.

1° со(0) = 0 ;

2° uj^x) < uj{t2) , 0 < ¿1 < t2 ;

3° w(t) е С[0, +оо) ;

4° u(h + h) < ^(¿i) + oj(t2) , tut2>0]

Этими четырьмя свойствами модуль непрерывности полностью определяется [34, с.151] в том смысле, что всякая функция а;(£),

которая ими обладает, служит модулем непрерывности для некоторой непрерывной функции.2 В связи с этим, модулем непрерывности мы будем называть всякую функцию, удовлетворяющую условиям 1°-4°.

Известно, что для любого модуля непрерывности справедливо неравенство С.Б. Стечкина

ulto) (¿(ti) о

< 2 , где 0 < h < t2 .3 (0.2)

h ti

Отметим еще одно свойство модулей непрерывности. При любом натуральном п имеет место соотношение

u(nt)<nw(t), (0.3)

а при произвольном Л > 0 выполняется неравенство

(j(Xt) < (А + l)co(t). (0.4)

Подробнее о модулях непрерывности см. [34], [52] и [56]. Там же можно найти доказательства приведенных здесь фактов.

В дальнейшем нам понадобится налагать на модуль непрерывности to(t) различные ограничения.

Если Lo(t) удовлетворяет условию t = o(u>(t)) при t —» 0, то будем говорить, что иj(t) принадлежит классу Ф .

Кроме этого, мы будем использовать условия Зигмунда, рассмотренные в [2]:

(Z): ¡^P-dt = 0(u;(6)),6-> 0;

о 1 1

2Например, для самой себя.

3Таким образом, модуль непрерывности эквивалентен некоторой положительной вогнутой (выпуклой вверх) функции <р(х), т. е. существуют с, С > 0 такие, что си(х) < <р(х) < С ш(х) для всех х € [0,+оо), [42, с. 69].

Функцию и £ Ф, удовлетворяющую условиям и (£1), отнесем (следуя обозначениям статьи [46]) к классу Ф* и будем называть (придерживаясь терминологии работы [67]) допустимым модулем непрерывности.

Для модулей непрерывности можно ввести отношение порядка. Будем говорить, что ш^) -< и2{1) (ил(£) "меньше" или "лучше", чем о;2(£)) 4 , если ш^) = о(со2^)) при Ь —> 0.

В качестве наиболее простого примера возьмем ^(¿) = ^, ш2(г) = га, (3>а.

Ряд важных свойств допустимых модулей непрерывности приведен в диссертации Фурлана [67]. В частности, там содержится следующее утверждение:

(г) Если и^) >- £г для любого г Е (0; 1), то не удовлетворяет условию ;

(гг) Если -< для любого г £ (0; 1), то не удовле-

творяет условию (Яг).

Другими словами, любой допустимый модуль непрерывности лежит "между" двумя степенями Г , 0 < г < 1, т.е. найдутся числа а, (3 (0 < а < ¡3 < 1):

^ -< и{г) -< га.

Там же приведен довольно широкий класс допустимых модулей непрерывности. Введем следующие обознаения: 1п(1,£) = 11п и для п > 1 положим 1п(п, = |1п1п(п — 1,01- Пусть далее

4Это же означает,что >- , т.е. и>2^) "больше" или "хуже", чем ш\(£).

г , s G (0; 1), tt £ R. Тогда

f tre±[hU[ еФ*.

г=1

Если 27г — периодическая функция / принадлежит Lp[—7г; 7г], 1 < р < оо , то величину

\ 1 /р

и;р

/ 1

(5,/) = sup — / +

|Л|<* VZ7r-7T /

называют интегральным модулем непрерывности функции /. Для случая непериодических функций f £ Lp[0; l], 1 < р < оо, интегральный модуль непрерывности определяется так:

/1-Л Ч1/*»

u>p(6J)= sup / + .

0<h<S yJQ J

Если же / £ LP(R), 1 < р < оо, то интегральным модулем непрерывности5 функции / называется следующая величина:

/ оо

u;p(<5,/) = sup J \f{x + h)-f(x)\pdx

|h|<5

-оо

Банаховы пространства функций, связанные с условиями Гельдера

Определения. Пусть о;(£) — произвольный модуль непрерывности и пусть f(x) 6 С[—7г; 7г]. Будем говорить, что функция /(ж) принадлежит классу Сш[—7г; 7г], если она удовлетворяет на [—7г; 7г] обобщенному условию Гельдера, т.е.

5Мы не делаем различных обозначений для случаев конечного и бесконечного интервалов, т.к. из контекста всегда будет ясно о каком интегральном модуле непрерывности идет речь.

где xi, х2 G [—-7Г; 7г] : \xi - х2\ 0 .

Полунормой Гельдера функции /(ж) называется величина

1/1 - SUP Ifl*') -/(Жг)| IJ \ш — ,ч }

хих2е[-щп] Ш[\Х1—Х2\) х\фх 2

а нормой Гельдера — сумма

= ll/llc + i/|u.

Хорошо известно, что класс Си[—7г;7г], снабженный нормой Гельдера, является банаховым несепарабельным пространством.

Обозначим через С°[—7г;7г] сепарабельное подпространство пространства Сш[—7г;7г] функций, удовлетворяющих на [—7г;7г] обобщенному усиленному условию Гельдера:

1/(^1) - /(ж2)| = о(о;(|ж1 - ж2|)),

где Х\, ж2 6 [—7г; 7г] : |ж! - ж2| —> 0 .

В пространствах Сш[—7г;7г] и 7г; 7г] можно ввести эквивалентную норму (см. [42]) по формуле

= 1/Ы1 + 1/1

LO 1

где ж0 — произвольная точка из [—7г; 7г].

Наличие в норме || • двух слагаемых иногда создает некоторые неудобства, поэтому часто фиксируют точку жо £ [—тг; 7г] и рассматривают банаховы пространства Нш[—7г; 7г] и —7г; 7г] функций из Сш[—7г;7г] и 7г;7г] соответсвенно с условием

/(ж0) = 0.

Через АСо, обозначим пространство функций, аналитических в \г\ < 1 и удовлетворяющих в \г\ < 1 обобщенному уело-

вию Гельдера:

¡¡(г1)-Цг2)\=0(и(\г1-г2\)1 где , г2 € \г\ < I : ¡2! — г2\ —► 0, с нормой

Пусть далее, АС® — подпространство АСШ функций, удовлетворяющих в \г\ < 1 обобщенному усиленному условию Гельдера:

где \г\ < 1 : - г2\ 0.

Известно, что АСШ — банахово несепарабельное пространство, а АС® — его сепарабельное подпространство.

Если — , 0 < а < 1, то соотвествующие (классиче-

ские) пространства мы будем обозначать

Са[-7г;тг], СЦ-1г;тг], Яа[-7г;тг], Н®[-тг;тг], АСв , .

Пусть теперь /(х) Е Ьр[—7г; 7г], 1 < р < оо . Будем говорить, что функция f{x) принадлежит классу Ь^[—7Т] тт], если /(х) удовлетворяет на [—7г; 7г] обобщенному интегральному условию Гельдера:

шр(6,/) = 0(ш(6)) при <5 —> 0 .

Интегральной полунормой Гельдера функции f{x) называется величина

\f\pv = вир

II¡(х + И) - ¡(х)цр

0<|/г|<7г ЦН)

а интегральной нормой Гельдера — сумма

и = 11/||р + 1/и-

Класс Ьрш[—7г;7г], снабженный интегральной нормой Гельдера, является банаховым несепарабельным пространством.

7г;7г] — сепарабельное подпространство 7г;7г]

функций, удовлетворяющих на [—7г; 7г] обобщенному усиленному интегральному условию Гельдера:

шр(6, /) = о(и;(<$)) при 6 —> 0 .

Через Нр обозначим банахово несепарабельное пространство функций из Нр , 1 < р < оо , для которых

\ 1 /р

= вир / |/(ге^+л>) - /(ге")\г<ю) = 0(и>(6))

при 8 —> 0 равномерно по 0 < г < 1, с нормой

И/К")«*; = ||/(е'й)||№.

— сепарабельное подпространство Нр функций, для

которых

/г) = при <5 —> О

равномерно по 0 < г < 1.

В случае а/(£) = ¿а, 0 < а < 1, введенные пространства будем обозначать соответственно

Щ-тг;тг], ^0[-7г;тг], Щ, Н%.

Пусть функция /(ж) е ЬР(Ж), 1 < р < оо. Интегральной нормой Гельдера функции /(х) назовем величину

где

| ¡\р,ш = вир

||/(а +Л)-/(*)„„

0</г<оо ш(К)

Через Ь^Ж) обозначим пространство функций, удовлетворяющих на всей числовой оси обобщенному интегральному условию Гельдера, т.е.

Пусть далее, — подпространство функций,

удовлетворяющих на К усиленному обобщенному интегральному условию Гельдера:

= {/ е : /) = •

Пространство является несепарабельным банаховым

пространством, а его сепарабельным подпространством.

Наконец, введем в рассмотрение банаховы пространства аналитических в верхней полуплоскости функций, связанных с обобщенными интегральными условиями Гельдера.

Говорят, что Е(г) Е Нр(1тг > 0) 6, если

1. Р(г) аналитична в 1тг>0;

2. Зс Е М : || Е(х + гу)||р < с равномерно по у > 0 .

Будем говорить, что Е(г) Е Нр(1тг > 0), если

1. ад Е Нр(1тг > 0);

2. Зс 6 К.: \\Е(х + гу)\\Р,и < с равномерно по у > 0 .

И, наконец, Р(г) ;Е Нр 0(1тг > 0), если

1. ад Е Щ(1тг > 0);

6Заметим,что пространство нр(1тг > 0) не является образом пространства нр в < 1 при конформном отображении (см. [45]).

2. шр(6,Гу) = 8ир \\Р{х + Н + 1у)-Р{х + 1у)\\р = о(и{8)) \8 - О

равномерно по у > 0.

Норма в пространствах Щ(1тг > 0) и Щ 0(1тг > 0) вводится следующим образом:

^(-оо; оо), 1/а,0(-оо; оо), Щ(1т г > 0), Я£0(7т 2 > 0).

Сводка результатов. В 1960 году 3. Чисельский [63] с помощью функций Фабера-Шаудера указал в явном виде совместный изоморфизм пространств

В качестве следствия было получено, что система Фабера-Шаудера образует безусловный базис в С°[0; 1], 0 < а < 1. Там же отмечено, что результаты работы могут быть обобщены на пространства Нш[0; 1] и Н®[0; 1], если и;(£) удовлетворяет специальным ограничениям (см. также работу А.П. Горячева [21]). М.З. Берколайко доказал7, что система функций Фабера-Шаудера является базисом пространства С°[0; 1], если со еФ.8

Из результатов, полученных в другой известной работе 3. Чи-сельского [64], следует, что система Франклина образует безусловный базис в С®[0; 1], 0 < а < 1.

7В печати не опубликовано. Доказательство можно найти, например, в [67].

8Это ограничение очень естественно, т.к. если не выполняется условие f = о{ш(Ь))

при Ь —> 0, то пространство С® [0; 1] может состоять лишь из одних констант.

|Л|<£

Я«[0;1]~/оо, Я°[0;1]~сь, 0 < а < 1.

(0.5)

В 1969 году Боник, Фрамптон и Тромба построили оператор, реализующий изоморфизмы

loe ~ Ca(S) и со - C°a(S) , 0 < а < 1, (0.6)

где S — объединение конечного числа замкнутых симплексов в конечномерном евклидовом пространстве, [60]. Различные обобщения этого результата получены в статьях Фрамптона и Тромба [66], Рулля [79], Фурлана [67] и Мантлика [78].

Особо следует отметить работы Дж. Джонсона [69], [70], [71], [72], [73], [74], в которых развита данная тематика и сформулирован целый ряд нерешенных проблем.

Последние результаты по изоморфизмам и базисам в гельде-ровых пространствах на различных подмножествах вещественной оси принадлежат А.Б. Бычкову, [7], [8], [9], [10], [61] и собраны в диссертационной работе [11]. Там же дан довольно полный (и свежий) обзор результатов по данной тематике.

В.П. Кондаковым полученно обобщение результата (0.5) на случай локально выпуклых пространств, представляющих собой проективный и индуктивный пределы пространств Гельдера.

Теперь приведем наиболее известные результаты о базисах в интегральных пространствах Гельдера.

В 1966 году 3. Чисельский [65] с помощью функций Франклина указал в явном виде совместный изоморфизм пространств

L£[0; 1] ~ m„ , ¿Ji0[0; 1] ~ mj , 1 < р < оо , 0 < а < 1.

Как следствие — система Франклина является базисом в LJ)0[ 0; 1], 1 < р < оо , 0 < а < 1.

Вопрос о базисности в Lf, 0[—7г;7г] тригонометрической системы исследовал В.Г. Кротов. Он доказал [76], что тригонометри-

ческая система образует базис в 7г; 7г], 1 < р < оо тогда и

только тогда, когда ш G Ф.

Кротов же получил необходимые и достаточные условия на и , при которых система Хаара образует базис и (при более жестких ограничениях) безусловный базис в 0; 1], 1 < р < оо (см. [43] и [44]).

Выделем также статьи П.Л. Ульянова [53], [54], [55] и A.A. Ко-нюшкова [40], в которых изучены различные свойства пространств L£[-7r;7r] и ££>0[-7г;7г].

Переходя к пространствам аналитических функций, связанных с условиями Гельдера, следует отметить работы Я.Л. Геро-нимуса [19], Ю.А. Брудного и И.Е. Гопенгауза [5], Ю.И. Волкова [16], H.A. Широкова [58], В.Н. Русака [50], В.И. Гаврилова [17], Г.Д. Левшиной [46], [47] и И.Н. Бруя [6], в которых рассматриваются пространства АСШ , АС® , и .

В 1981 году Хилсманн [68] доказал изоморфизм пространств АС2 и со, если и G Ф*. Через три года Фурлан [67] получил необходимость этого условия. Тем самым, факт существования базиса (даже безусловного) в АС® , и) G Ф*, известен. Вместе с тем, крайне мала информация о конструкциях конкретных базисов в АС£ . Тоже можно сказать и о пространствах Н% 0 .

Что касается близких вопросов, то, конечно же, надо выделить знаменитые работы C.B. Бочкарева [3] о базисе в АС и Карлесона [62] о безусловном базисе в Я1.

В настоящей диссертации строятся базисы в пространствах АС® и Я£ о. При этом существенно используются конструкции, аналогичные тем, которые применялись Бочкаревым и Карле-соном.

В первой главе рассматриваются банаховы пространства С®[—7г;7г] и АС®, устанавливается ряд важных свойств этих пространств. В параграфе 2 строятся базисы в пространствах АС® , ш Е Ф* , а также находятся взаимосвязи между базисами пространств С®[—7г;7г] и АС®. Следующий параграф посвящен исследованию условий полноты в пространствах АС® , и Е Ф*, некоторых конкретных систем функций. При зтом мы опираемся на общий вид линейного функционала в пространствах АС® , ш Е Ф*, полученный Г.Д. Левшиной [46].

В первой части главы 2 рассмотрен аналогичный круг вопросов в пространствах 7г;7г] и 1 < р < оо. В параграфе 3 изучаются пространства 11шДМ), 1 < р < оо. При определенных условиях на ш мы построим базисы в этих пространствах из, так называемых, разнесенных функций Хаара. Именно, справедлива следующая

Теорема 2.11. "Разнесенная" система Хаара образует базис пространства Ь^ 0(Ж), 1 < р < оо, тогда и только тогда, когда ш удовлетворяет следующим условиям:

1 )3с = с(р,и) > 0 : ш(8)/81/р < сш{г])/7^1/р, при всех

О < ту < 8 < 1 ;

2) б1'* — о(си(8)) при 80 .

Далее изучаются свойства интегральных пространств Гель-дера на оси и в верхней полуплоскости, конструируются базисы в пространствах Н^0(1тг >0), 1 < р < оо, и; Е Ф*, устанавливаются взаимосвязи между базисами в Ьрш (ДК] И Я^0(/т 2 > 0), 1 < р < оо , Е Ф*.

В главе 3 большинство полученных результатов распространяется на локально выпуклые пространства функций, предста-

вляющие собой проективные и индуктивные пределы рассматриваемых выше банаховых пространств. При этом широко используются результаты первых двух глав, а также идеи и методы, которые там применялись.

Результаты, представленные в диссертации, опубликованы в работах [24], [25], [26], [27], [28], [29], [30], [31], [32].

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Гробер, Олег Владимирович, 1999 год

Литература

[1] Банах С. Курс функционального анал1зу.— Кшв, Радянська школа, 1948.

[2] Бари Н.К., Стечкин С.Б. Наилучшие приближения и дифференциальные свойства двух сопряженных функций // Тр. Моск. мат. общества.— 1956.— №5.— С. 483-522.

[3] Бочкарев C.B. Существование базиса в пространстве функций, аналитических в круге, и некоторые свойства системы Франклина // Матем. сб.— 1974. — т. 95, № 1. — С. 3-18.

[4] Бочкарев C.B. Базисы в функциональных пространствах и система Франклина // Труды Математического института АН СССР. — 1989. — т. 190. — С. 22-38.

[5] Брудный Ю.А., Гопенгауз И.Е. Обобщение одной теоремы Харди и Литтльвуда // Матем. сб.— 1960.— т. 52, № 3.— С. 891-894.

[6] Бруй И.Н. Конструктивное описание аналитических функций классов Гельдера // Матем. заметки.— 1990.— т. 47, № 5.— С. 14-20.

[7] Бычков А.Б. О базисах и аппроксимации в сепарабель-ных подпространствах пространств гельдеровых функций

// Вторая всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам. Тезисы докладов.— М., ТВП, 1995,— С. 32-35.

[8] Бычков А.Б. Базисы в банаховых пространствах функций, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера // Рост. гос. акад. строительства.— Ростов н/Д, 1996.— 24 е.— Деп. в ВИНИТИ №1994-В96 от 14.06.1996.

[9] Бычков А.Б. Базис из функций Хаара в пространстве С°(Д) // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1996.— №1.— С. 3-5.

[10] Бычков А.Б. Интерполирующие базисы в пространствах функций С®(К) и Н°(К) // Изв. высш. учеб. заведений. Казань.— 1998.— №3(430).— С. 3-9.

[11] Бычков А.Б. Базисы в банаховых пространствах функций одной переменной, удовлетворяющих обобщенному усиленному условию Гельдера // Диссертация на соискание степени канд. физ.-мат. наук.— Ростов-на-Дону.— 1997.

[12] Бычков А.Б., Гробер В.М. Интерполяционные базисы и полные интерполяционные системы функций в пространствах С°(К) II Всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам геометрии и анализа. Тезисы докладов.— М., ТВП,

1994.— С. 18.

[13] Бычков А.Б., Гробер В.М. О базисах в пространствах

II Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.—

1995,— №2. С. 3-13.

[14] Бычков A.B., Гробер О.В. О базисных свойствах систем типа Фабера-Шаудера // Рост. гос. акад. строительства.— Ростов н/Д, 1995.— 8 е.— Деп. в ВИНИТИ №2368-В95 от 01.08.1995.

[15] Бычков Б.М., Гробер В.М. О полных системах в некоторых банаховых пространствах аналитических функций. — Материалы шестой научной конференции аспирантов РГУ, Из-во РГУ.— 1965.

[16] Волков Ю.1. Про граничш властивост1 одного класу функщй аналггичних в круз1 // Доповщ1 АН УРСР.— 1968.— Сер.А, № 11.— С.968-972.

[17] Гаврилов В.И., Левшина Г.Д. Линейные функционалы над пространствами Липшица голоморфных функций в единичном круге // Доклады АН СССР.—1978.— т. 239, № 1.— С. 30-33.

[18] Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М., Государственное издательство физико-математической литературы. — 1963.

[1-9] Геронимус Я.Л. О некоторых свойствах аналитических функций, непрерывных в замкнутом круге или круговом секторе // Матем. сб.— 1956.— т. 38, № 3.— С. 319-329.

[20] Голузин Г.М. Геометрическая теория функций комплексного переменного.— ГРФМЛ, Москва, 1966.

[21] Горячев А.П. Об изоморфизмах некоторых линейных нормированных пространств // Математические методы исследования физических процессов.— М., 1982.— С. 14-22.

[22] Гофман К. Банаховы пространства аналитических функций.— Москва, Из-во иностранной лит-ры, 1963.

[23] Гохберг И.Ц., Маркус A.C. Две теоремы о растворе подпространств В - пространства. — УМН.— т. 14, вып. 5(89).

[24] Гробер В.М., Гробер О.В. О свойствах функций класса АСа$ // Рост. гос. акад. строительства.— Ростов н/Д, 1995.— 8 е.— Деп. в ВИНИТИ №2369-В95 от 01.08.1995.

[25] Гробер В.М., Гробер О.В. О базисах в пространствах С° и АС® // Третья всеросс. школа-коллоквиум по стохастич. методам. Тезисы докладов.— М., ТВП, 1996.— С. 51-52.

[26] Гробер В.М., Гробер О.В. О базисах в пространствах L£ 0 и о // Современные методы теории функций и смежные проблемы прикладной математики и механики: Тезисы докладов воронежской зимней математич. школы.— Воронеж: ВГУ, 1997.— С. 59.

[27] Гробер В.М., Гробер О.В. Дополняемость АС® в комплексном пространстве С®[—7г; 7г] // Международная научно-практическая конференция. Тезисы докладов.— Ростов-на-Дону: РГСУ, 1997.— С. 71-72.

[28] Гробер В.М., Гробер О.В. О связи базисов в пространствах С® и АС® // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки.— 1997.— №2.— С. 13-16.

[29] Гробер О.В. Базисы в пространствах функций, связанных с усиленным интегральным условием Гельдера // Изв. вузов.

Северо-Кавказский регион. Естеств. науки. — 1998,— №1.— С. 11-16.

[30] Гробер О.В. Базисы в пространствах функций, связанных с условием Гельдера на оси и в полуплоскости // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная памяти чл.-корр. АН СССР Н.В.Ефимова. Тезисы докладов.— 1998.— С. 95-97.

[31] Гробер О.В. Базисы в пространствах функций, удовлетворяющих усиленному условию Гельдера на оси и в полуплоскости // Рост. гос. строит, универ.— Ростов н/Д, 1998.— 23 е.— Деп. в ВИНИТИ № 2605-В 98 от 19.08.98.

[32] Гробер О.В. О полных системах в пространствах АС® // Изв. вузов. Северо-Кавказский регион. Естеств. науки, (в печати).

[33] Данфорд Н., Шварц Дж. Линейные операторы. Общая теория.— М., Издательство иностранной литературы, 1962.

[34] Дзядык В.К. Введение в теорию равномерного приближения функций полиномами.— М., Издательство "Наука", 1977.

[35] Драгилев М.М. Базисы в пространствах Кете.— Ростов н/Д, Издательство РГУ, 1983.

[36] Зигмунд А. Тригонометрические ряды I.— М., Мир, 1965.

[37] Канторович Л.В., Акилов Г.П. Функциональный анализ в нормированных пространствах.— М., ГИФМЛ, 1959.

[38] Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды.— М., Наука, 1984.

[39] Кондаков В.П. Вопросы геометрии ненормируемых пространств. — Ростов-на-Дону, Издательство РГУ, 1983.

[40] Конюшков A.A. О классах Липшица // Изв. АН СССР.— 1957.— т. 21.— С.423-448.

[41] Коренблюм Б.И. Квазианалитические классы функций // ДАН СССР.— 1965.— т 164, № 1.

[42] Крейн С.Г., Петунин Ю.И., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов.— М., Наука, 1978.

[43] Кротов В.Г. О безусловной сходимости рядов Фурье по системе Хаара в пространствах А£ // Математические заметки.— 1978.— т. 23, №5.— С. 685-695.

[44] Кротов В.Г. О безусловной базисности системы Хаара в пространствах А1Ш /f Математические заметки.— 1982.— т. 32, №5.— С. 675-684.

[45] Кусис П. Введение в теорию пространств Нр.— М.: Изд-во "Мир", 1984.

[46] Левшина Г.Д. Линейные функционалы над пространствами Липшица голоморфных функций в единичном круге / / Математические заметки.— 1983.— т. 33, №5.— С. 679-688.

[47] Левшина Г.Д. О коэффициентных мультипликаторах лип-шицевых функций // Матем. заметки.— 1992.— т. 52, № 5. — С. 68-77.

[48] Маркушевич А.И. О базисе в пространстве аналитических

[49] Математика в СССР за сорок лет — ГИФМЛ, Москва, 1959.

[50] Русак В.Н. О наилучшем приближении аналитических функций, удовлетворяющих условию Липшица / / Доклады АН БССР— 1975.— т. XIX, № 9.— С. 778-780.

[51] Стейн И., Вейс Г. Введение в гармонический анализ на евклидовых пространствах.— Москва, Из-во "Мир", 1974.

[52] Тиман А.Ф. Теория приближения функций действительного переменного.— М., ГИФМЛ, 1960.

[53] Ульянов П. Л. Об абсолютной и равномерной сходимости рядов Фурье // Матем. сб.— 1967.— 72, № 2.— С. 193-225.

[54] Ульянов ПЛ. О вложении некоторых классов функций // Матем. заметки.— 1967.— т. 1, № 4.— С. 405-414.

[55] Ульянов ПЛ. Вложение некоторых классов функций üp // Изв. АН СССР.— 1968.— 32.— С. 649-686.

[56] Шевчук И.А. Приближение многочленами и следы непрерывных на отрезке функций.— Киев, Наукова думка, 1992.

[57] Шефер X. Топологические векторные пространства. — Москва. — Издательство "Мир".— 1971.

[58] Широков Н.А. О конструктивной характеристике аналитических непрерывных функций в областях, близких к выпуклым // ДАН СССР.— Г975.— 221, № 4.— С. 790-793.

[59] Эдварде Р. Функциональный анализ.— М., 1969.

[60} Волк R., Frampton J., Tromba A. A-manifolds // J. Ptmctienal Analysis.— 1969.— 3.— Р. 31Ü-32Ü.

[61] Bychkov A.B. Bases in Banach spaces of fcmctions satisfying modulus of continuity strong Holder condition // Третья все-pocc. школа-коллоквиум по стохастич. методам. Тезисы докладов.— М., ТВП, 1996.— С. 173-174.

[62] Carleson L. An explicit unconditional basis in Hi // Bull, des Sciences Math. — 1980. — v. 104. — C. 405-416.

[63] Ciesielski Z. On the isomorphisms of the spaces Ha and m f / Bull. Acad. Polon. Sei. Ser. math. astr. phys.— 1960.— № 4.— P.217-222.

[64] Ciesielski Z. Properties of the orthonormal Franklin system // Studia Math.— 1963.— V. 23 — P. 141-157.

[65] Ciesielski Z. Properties of the orthonormal Franklin system II // Studia Math.— 1966.— V. 27.— P. 289-323.

[66] Frampton J., Tromba A. On the classification of spaces of Holder continuous functions //J. Functional Analysis.— 1972.— 10.— P. 336-342.

[67] Furlan P. Isomorphic- und Faktorisationssätze für Räume verallgemeinert Lipschitzsteger Funktionen.— Dortmund, Dissertation, 1984.

[68] Hilsmann J. Struktursätze für Banachräume analytischer Funktionen // Diplomarbeit.— Dortmund.— 1981.

[69] Johnson J. Banach spaces of Lipschitz functions and vector-valued Lipschitz functions // Bull. Amer. Math. Soc.— 1969.— V. 75.— P. 1334-1338.

[70] Johnson J. Banach spaces of Lipschitz functions and vector-valued Lipschitz functions // Trans. Amer. Math. Soc.— 1970.— V. 148.— P. 147-169.

[71] Johnson J. Lipschitz function spaces for arbitrariy metrics // Bull. Amer. Math. Soc.— 1972.— V. 78.— P. 702-705.

[72] Johnson J. Lipschitz spaces // Pacific J. of Math.— 1974.— V.51,№ 1.—P. 177-186.

[73] Johnson J. A note on Banach spaces of Lipschitz functions // Pacific J. of Math.— 1975.— V. 58, № 2.— P. 475-482.

[74] Johnson J. A note on the predual of Lip (S,d) // Colloquium Math.— 1979.— V. XL, № 2.— P. 287-289.

[75] Kondakov V.P., Umalatov S.D. On projective and inductive limit's of Banach spaces of Holder function's of the unit square //IV симпозиум по мат. анализу и его приложениям. Белград. — Тезисы докладов. — 1997. — С. 32.

[76] Krotov V.G. Note on the convergence of Fourier series in the spaces A% // Acta Sci. Math., 41(1979), p.335-338.

[77] Lindenstrauss J., Tzafriri L. Classical Banach spaces I.— Berlin - Heidelberg - New York, Springer, 1977.

[78] Mantlik F. Isomorphic classification and lifting theorems for spaces of differentiable functions with Lipschitz conditions // Studia Math.— 1991.— V. 98, № 1.— P. 19-39.

[79] Ryll J. Interpolating bases for spaces of differentiable functions // Studia Math.— 1978.— 63.— P. 125-144.

[80] Singer I. Bases in Banach spaces I.— Berlin - Heidelberg -New York, Springer, 1970.

[81] Tromba A. On the isometries of spaces of Holder continuous functions // Studia Math.— 1976.— 57.— P. 199-208.

[82] Turan P. Research problems // Magy. tud. akad. Mat. Kutato Int. közl.— 1971. — Köt. 6.— C. — 417-423.

[83] Wojtaszczyk P. Banach spaces for analysts.— Cambridge ect.: Cambridge Univ. Press, 1991.