Билинейная задача оптимального управления и биосистемы тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Топунов, Михаил Владимирович

• Топунов, Михаил Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Топунов, Михаил Владимирович

Оглавление

Введение

I О некоторых методах решения билинейных задач оптимального управления

II Исследование неавтономных билинейных задач оптимального управления

II. 1 Постановка проблемы

11.2 Принцип максимума для неавтономных билинейных задач

11.2.1 Основные теоремы

И.2.2 Исследование изопериметрической задачи

11.2.3 Некоторые частные случаи

11.3 Принцип оптимальности и неавтономная билинейная задача

11.3.1 Принцип оптимальности для неавтономных задач

11.3.2 Условие § и его свойства

И.3.3 Приближение неавтономной билинейной задачи последовательностью автономных билинейных задач

11.3.4 Принцип оптимальности для краевой билинейной задачи быстродействия

II. 4 Примеры

11.4.1 Принцип оптимальности для линейных оптимальных

. задач

11.4.2 Исследование одной билинейной задачи

III Применение теории оптимального управления для иссле-

дования биосистем

III. 1 О применимости теории оптимального управления для исследования биосистем

111.2 Автономная задача оптимальной регуляции сердечно-сосудистой системы

111.2.1 Постановка проблемы

111.2.2 Исследование задачи регуляции сердечно-сосудистой системы на основе "принципа оптимальности"

111.3 Неавтономная задача оптимальной регуляции сердечно-сосудистой системы

111.3.1 Постановка проблемы

111.3.2 Исследование неавтономной задачи

Литература

А "Принцип оптимальности" М.С.Сабурова

Б Краткое описание программы CONTROL

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Билинейная задача оптимального управления и биосистемы»

Введение

В теории оптимальных задач особое место занимают билинейные задачи оптимального управления. Интерес, который в последнее время вызывают билинейные задачи, во многом объясняется тем, что они занимают промежуточное положение между линейными и нелинейными оптимальными задачами. Дело в том, что линейные задачи, общая теория которых к настоящему времени практически полностью разработана, как правило, не дают адекватного описания сколько-нибудь сложных управляемых процессов и систем. С другой стороны, современное состояние теории оптимального управления пока еще не позволяет достаточно эффективно исследовать и решать нелинейные оптимальные задачи в общей постановке.

Вследствие этого, в связи с конкретными приложениями математической теории оптимального управления, очень часто приходится иметь дело именно с билинейными задачами оптимального управления'. Однако приходится признать, что и в этой области еще далеко не все изучено.

Настоящая работа посвящена исследованию неавтономной билинейной задачи оптимального управления с фиксированным левым концом оптимальной траектории и условиями типа равенства на ее правом конце. Постановкой проблемы автор обязан М.С.Сабурову, которому принадлежит весьма перспективный метод решения автономных билинейных оптимальных задач — так называемый "принцип оптимальности". Автором осуществлены модификации этого принципа применительно к различным типам неавтономных билинейных задач оптимального управления, основанные на использовании специальной формы классического принципа максимума Понтрягина.

Обращает на себя внимание то обстоятельство, что в то время, как методы математической теории оптимального управления находят все более широкое применение в технике, они практически не используются для исследования нетехнических управляемых систем, в частности — биосистем. Это представляется совершенно неоправданным, поскольку каких бы то ни было принципиальных препятствий их использованию не имеется. Несмотря на то, что первые работы в этой области появились практически одновременно с возникновением самой теории оптимального управления, впоследствии интерес к этому вопросу несколько ослаб.

Данная проблема представляется тем более заслуживающей внимания, что все еще приходится сталкиваться с возражениями по поводу использования методов математической теории оптимального управления для исследования проблем оптимальной регуляции в биосистемах (см. например, [29]). В связи с этим, одна из задач настоящей работы заключается в обосновании применимости методов теории оптимального управления в этих целях. Более того, эффективность предлагаемых автором методов решения неавтономных билинейных оптимальных задач демонстрируется на примере некоторых практически важных задач, связанных с регуляцией в сердечно-сосудистой системе.

Автор выражает искреннюю признательность своему научному руководителю доценту М.С.Сабурову, заведующему кафедрой математического анализа математического факультета МПГУ доценту С.Ю.Колягину, декану математического факультета МПГУ доценту Г.Г.Брайчеву, а также заместителю заведующего кафедрой нормальной физиологии Московской медицинской академии имени И.М.Сеченова профессору В.И.Бадикову за добрые советы и помощь в работе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Топунов, Михаил Владимирович, 1998 год

Литература

[1] Алексеев В.М., Тихомиров В.М., Фомин C.B. Оптимальное управление. М.: Наука, 1979.

[2] Благодатский В.И. Достаточные условия оптимальности. Изв. АН. 1974. Т. 38. № 3.

[3] Болтянский В.Г. Математические методы оптимального управления. М.: Наука, 1969.

[4] Вахрамеев С.А. Теоремы релейности и смежные вопросы // Труды Математического института им. В.А.Стеклова. 1998. Т. 220. С. 49-112.

[5] Вахрамеев С.А. Еще одна теорема релейности для гладких управляемых систем постоянного ранга // Доклады РАН. 1994. Т. 337. № 5. С. 545-547.

[6] Вахрамеев С.А. Теорема релейности с конечным числои переключений для нелинейных гладких управляемых систем // Современная математика и ее приложения. Тематические обзоры. Динамические системы-4. М.: ВИНИТИ. 1995. Т. 23.

[7] Винер Н. Кибернетика. М.: Советское радио, 1968.

[8] Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // ДАН СССР. 1957. Т. 116. № 1. С. 9-11.

[9] Гамкрелидзе Р.В. Теория оптимальных по быстродействию процессов в линейных системах // Известия АН СССР. Сер. мат. 1958. Т. 22. № 4. С. 449-474.

- 133-

[10] Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1988.

[11] Геймаи В.И. Задача наведения для одного класса билинейных управляемых систем. Деп. ВИНИТИ 26.02.92. № 651-В92.

[12] Гейман В.И. Одна задача оптимизации для билинейных управляемых систем. Деп. ВИНИТИ 16.03.92. № 879-В92.

[13] Гродинз Ф. Теория регулирования и биологические системы. Пер. с англ. М.: Мир, 1966.

[14] Демидович Б.П. Лекции по математической теории устойчивости. М.: Наука, 1967.

[15] Дмитрук A.B. Квадратичные условия слабого минимума для особых режимов в задачах оптимального управления // ДАН СССР. 1977. Т. 233. № 4. С. 523-526.

[16] Дмитрук A.B. Квадратичные условия понтрягинского минимума для особых экстремалей в задачах оптимального управления. Докт. дисс. 1994.

[17] Емельянов C.B., Коровин С.К., Никитин C.B. Нелинейные системы. Управляемость, стабилизируемость, инвариантность // Итоги науки и техники. Сер. Техн. кибернетика. Всесоюзный институт научной и технической информации (ВИНИТИ). 1998. Т. 23. С. 3-107.

[18] Зеликин М.И. Условия оптимальности особых траекторий в задаче минимизации криволинейного интеграла // ДАН СССР. 1982. Т. 267. 3. С. 528-531.

[19] Зеликин М.И. К теории задач, линейных по управлению // ДАН СССР. 1984. Т. 277. № 4. С. 782-785.

[20] Зеликин М.И. Синтез оптимальных траекторий на пространствах представлений групп Ли // Мат. сборник. 1987. Т. 132. № 4. С. 541-555.

[21] Карулина Н.И. Необходимое условие оптимальности для билинейных систем // Совр. мат. в физ.-техн. задачах. М., 1986. С. 44-47.

[22] Карулина Н.И. Синтез оптимального управления для одного класса билинейных систем // Автоматика и телемеханика. 1987. № 7. С. 31.

[23] Карулина Н.И. Синтез оптимального управления для билинейных систем. Канд. дисс. М. 1989.

[24] Киселев В.В. О числе переключений в задаче оптимального быстродействия для билинейных систем // Оптим. и управление мех. системами. Ленинград, 1983. С. 16-22.

[25] Королева Н.О. О синтезе билинейных систем // Математика и программное обеспечение информационных и управляемых систем. М.: МИЭМ, 1989. С. 155-157.

[26] Ли Э.Б., Маркус Л. Основы теории оптимального управления. Пер. с англ. М.: Наука, 1972.

[27] Мороз А.И. Синтез оптимальных по времени законов управления для линейных нестационарных систем // Вестник МГУ. Сер. 15: Вычислительная математика и кибернетика. 1980. № 4. С. 33-38.

[28] Мороз А.И. Современные проблемы математического моделирования: теории и приложения. М., 1983. С. 31-41.

[29] Новосельцев В.Н. Теория управления и биосистемы. М.: Наука, 1978.

[30] Осмоловский Н.П. Условия второго порядка слабого локального минимума в задаче оптимального управления (необходимость, достаточность) // ДАН СССР. 1975. Т. 255. № 2. С. 259-262.

[31] Основы физиологии / Под ред. П.Стерки. Пер. с англ. М.: Мир, 1984.

[32] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В., Мищенко Е.Ф. Математическая теория оптимальных процессов. М.: Физматгиз, 1961.

[33] Понтрягин Л.С., Болтянский В.Г., Гамкрелидзе Р.В. К теории оптимальных процессов // Понтрягин Л.С. Избранные научные труды. Т. 2. М.: Наука, 1988.

[34] Розоноэр Л.И. Предисловие к книге Ф.Гродинса "Теория регулирования и биологические системы". М.: Мир, 1966.

[35] Сабуров М.С. О теоремах существования в ряде задач оптимального управления // Межвузовский сборник научных трудов "Математическая физика". М.: Прометей, 1986. С. 148-157.

[36] Сабуров М.С. Оптимальные критерии ограниченности решений линейных дифференциальных уравнений второго порядка // Научные труды Московского педагогического государственного университета им.

B.И.Ленина. М.: Прометей, 1994. С. 13-23.

[37] Семенов Э.В. Основы физиологии и анатомйи. М., 1996.

[38] Смирнов Н.В. Задача синтеза для билинейных систем. Деп. ВИНИТИ! 10.07.92. № 2239-В92.

[39] Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Об управляемости одного класса билинейных систем // Дифференциальные уравнения и прикладные задачи. Тульский государственный технический университет. Тула. 1994.

C. 5-7.

[40] Смирнов Н.В., Смирнова Т.Е. Об области управляемости одного класса билинейных систем // Математическая международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения". Саранск, 2022.12.94. Саранск. 1995. С. 277-280.

[41] Топунов М.В. Задача о регуляции в сердечно-сосудистой системе как билинейная задача оптимального управления // Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина. М.: Прометей, 1997. С. 216-219.

[42] Топунов M.B. О применении теории оптимального управления в кардиологии // Международная конференция "Всесибирские чтения по математике и механике". Томск, 17-20 июня 1997 г. Тезисы докладов. Т. 1. Математика. Томск: изд-во ТГУ, 1997. С. 226-227.

[43] Топунов М.В. Применение теории оптимального управления в кардиологии // Тезисы докладов научно-практической конференции "Проблемы моделирования в естествознании". Волжский. 1997. С. 16-17.

[44] Топунов М.В. О новом методе решения билинейных задач оптимального быстродействия // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов". Выпуск 2. М.: изд-во МГУ, 1998. С. 120.

[45] Топунов М.В. Применение "принципа оптимальности" для исследования одной билинейной задачи // Научные труды Московского педагогического государственного университета им. В.И.Ленина. М.: Прометей, 1998. С. 11-14.

[46] Топунов М.В. Об одной нестационарной билинейной задаче оптимального быстродействия // Автоматика и телемеханика. 1998. № 7. С. 4354.

[47] Топунов М.В. Исследование одной нестационарной билинейной задачи оптимального управления // Материалы Международной конференции студентов и аспирантов по фундаментальным наукам "Ломоносов-98" (в печати).

[48] Хайлов E.H. О некоторых оценках экстремальных управлений в задаче быстродействия для одного класса билинейных систем / / Труды института математики и механики УрО РАН. 1995. № 3. С. 201-210, 297.

[49] Хайлов E.H. Оценки числа экстремумов интеграла оптимального управления в задаче быстродействия для одного класса билинейных сис-

тем // Вестник МГУ. Сер.15: Вычислительная математика и кибернетика. 1996. №1. С. 69-74.

[50] Шудуев А.Т. Синтез оптимальных траекторий для билинейных управляемых систем // Вопр. вычислит, матем. М.: МГУ, 1988. С. 187-202.

[51] Шульце Е. Синтез оптимальных управлений для билинейных задач // Исслед. по вероятн. пробл. управл. эконом, процессами. Москва, 1985. С. 157-160.

[52] Шульце Е. Синтез билинейных систем и систем, линейных по управлению. Канд. дисс. М., 1988.

[53] Aganovic Z., Gajic Z. Procedure the successive approximation the equilibrium optimal control for bilinear systems // Journal Optim. Theory Appl. 1995. Vol. 84. № 2. P. 273-291.

[54] Baillieul J. Geometric methods for nonlinear optimal control problems // Journal Optim. Theory Appl. August, 1978. Vol. 25. № 4. P. 519-548.

[55] Bellman R. Mathematical experimentation and biological research // Federation Proc. 1962. Vol. 109. № 21.

[56] Bolie V.W. Coefficients of normal blood glucose regulation // J. Appl. Physiol. 1961. Vol. 783. № 16.

[57] Grodins F.S. Control theory and biological systems. Columbia University Press: New York, 1963.

[58] Guiton A.C. Medical physiology. W.B.Saunders Company: Philadelphia, London, Toronto, 1981.

[59] Hansen E.-'Bounding solutions of system of equation using interval analysis // BIT. 1981. Vol. 21. P. 203-211.

[60] Hardy J.D. Physiology of temperature regulation // Physiol. Rev. 1961. Vol. 521. № 41.

[61] Miller J.G. Living systems // The Quart. Rev. Biol. 1973. Vol.48. № 2.

[62] Moliler R.R. Bilinear control processes with applications to engineering, ecology ang medicine. Academic Press: New York and London, 1973.

[63] Stark L., Sherman P.M. A servoanalytic study of consensual pupil reflex to light //J. Neurophysiol. 1957. Vol. 17. № 20.

[64] Sussman H.J. The "bang-bang" problem for certain control systems in GL(n,R) // SIAM Journal Control Optim. August, 1972. Vol. 10. № 3. P. 470-476.

[65] Sussmann H.J. Bang-bang theorem with bounds on the number of switchings // SIAM Journal Conrol Optim. 1979. Vol. 17. № 5. P. 629-651.

[66] Topunov M.V. Problem of regulation of the cardiovascular system as a bilinear control problem // Mathematical Methods in the Applied Sciences. 1998. Vol. 21. № 14. P. 1365-1377.

[67] Vakhrameev S.A. Geometrical and topological methods in optimal control theory // Journal of Mathematical Sciences. October, 1995. Vol. 76. № 5. P. 2555-2719.

[68] Vakhrameev S.A. On the reachable set and bang-bang theorems for nonlinear smooth control systems of constant rank // Proc. First Asian Contr. Conf. (ASCC). Tokyo. July 27-30, 1994.