Численно-аналитические методы в задачах математического моделирования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Юй Ин

• Юй Ин
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Юй Ин

Введение

Глава 1. Динамические системы и их алгебраические интегралы

1.1 Динамические системы

1.2 Алгебраические интегралы движения

1.3 Многочлены Дарбу и интегральные многообразия

1.4 Задача Дебона

1.4.1 Задача Дебона и современные системы компьютерной алгебры

1.4.2 Проблема отыскания верхней границы для степени искомого интеграла

1.5 Метод М.Н. Лагутинского

1.5.1 Введение

1.5.2 Определители Лагутинского

1.5.3 Частные интегралы

1.5.4 Общие интегралы

1.6 Заключение

Глава 2. Применение метода Лагутинского к отысканию

алгебраических интегралов движения динамических систем

2.1 Пакет Lagutinski for Sage

2.1.1 Определители Лагутинского в полиномиальных кольцах

2.1.2 Многочлены Дарбу

2.1.3 Рациональные интегралы дифференцирования кольца

2.1.4 Рациональные интегралы дифференциального уравнения (порядок задан)

2.1.5 Задача о малочленах

2.1.6 Стратегия применения пакета при решении задач из курса «Дифференциальных уравнений»

2.1.7 Исследование динамических систем с параметрами

2.1.8 Интегралы движения многомерных систем

Стр.

2.2 Необходимые условия существования интеграла

2.2.1 Необходимые условия существования интеграла сжимающего дифференцирования

2.2.2 Необходимые условия существования рационального интеграла уравнения Брио и Буке

2.2.3 Необходимые условия существования рационального интеграла по неподвижной особой точке

2.2.4 Дифференциальные уравнения с символьными параметрами

2.3 Заключение

Глава 3. Консервативные разностные схемы

3.1 Метод конечных разностей

3.1.1 Аналитические и численные методы интегрирования динамических систем

3.1.2 ОДУ и разностные схемы

3.1.3 Аппроксимация

3.1.4 Приближенное решение

3.1.5 Численное интегрирование и законы сохранения

3.1.6 Простейшие примеры консервативных схем

3.2 Схема средней точки

3.2.1 Сохранение квадратичных интегралов

3.2.2 Гармонический осциллятор

3.2.3 Система связанных осцилляторов

3.2.4 Эллиптический осциллятор

3.2.5 Подражательный характер схемы средней точки

3.3 Симплектические схемы Рунге-Кутты

3.3.1 Схемы Рунге-Кутты

3.3.2 Определение коэффициентов матрицы Бутчера

3.3.3 Симплектические схемы Рунге-Кутты

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

123

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численно-аналитические методы в задачах математического моделирования»

Введение

Современные методы математического моделирования различных, и, во многих случаях, взаимосвязанных физических процессов и явлений, требуют вычислительных ресурсов, которых, как правило, не хватает для большинства актуальных задач, несмотря на впечатляющий прогресс в развитии высокопроизводительных вычислительных систем, достигнутый за последнее десятилетие.

Особенность математических моделей, учитывающих существенные стороны и характеристики физических процессов и явлений, состоит в том, что они обладают большим числом симметрий и законов сохранения, а также целым рядом качественных свойств, установленных при теоретических исследованиях этих процессов. В таких условиях приобретает особую значимость развитие численных методов дискретизации модельных дифференциальных уравнений, которые, помимо достаточной вычислительной точности, должны обеспечивать наследование фундаментальных свойств исходных дифференциальных уравнений, наиболее важными из которых являются симметрии и законы сохранения.

Исследования в области конечно-разностных аппроксимаций дифференциальных уравнений, наследующих основных свойств последних, насчитывают более чем шестидесятилетнюю историю и активно развиваются в настоящее время. Начало этим исследованиям было положено отечественными математиками и получило дальнейшее развитие в России и за рубежом, см. обзор [1]. Дискретизации, наследующие те или иные свойства непрерывных (дифференциальных) уравнений и операций над входящими в них зависимыми переменными, получили название «миметических» (mimetic, то есть подражающих) или «совместимых» (compatible). Описание конкретных миметических разностных аппроксимаций и их приложений к моделированию различных физических процессов и явлений хорошо представлено в специальном выпуске Журнала Вычислительной Физики [2] и монографиях М. Шашкова [3], Д. Арнольда и др. [4], Л. Бейрао да Вега [5] и Дж. Кастилло [6]. Многочисленные компьютерные эксперименты показали, что миметические разностные схемы лучше соответствуют решениям дифференциальных уравнений, по сравнению со схемами, не являющиеся миметическими, а также облегчают исследование сходимости и устойчивости численных методов решения начальных и краевых задач.

Одной из основных непрерывных моделей является динамическая система, описываемая автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то есть системой уравнений вида

= ¡г(х\,... ,Хп), г = 1,2, .. .п, (1)

где Ь — независимая переменная, обычно интерпретируемая как время, х\,...,хп — координаты подвижной точки или нескольких точек. В приложениях правые части /г часто оказываются рациональными функциями координат Х\,... ,хп или могут быть сведены к такому виду подходящей заменой переменных.

Такого рода модели описывают многие механические явления, в том числе движения систем взаимодействующих материальных точек и вращение волчка [7]. Более сложные механические модели, содержащие десятки автономных дифференциальный уравнений, приходят из теории движения твердых тел, катящихся по поверхности [8]. В смежных областях, в том числе биологии, экономике, химической кинетики подобного рода модели встречаются тоже весьма часто, из их числа первой следует называть знаменитую модель «Хищник-Жерта», описывающую широкий спектр явлений, в том числе динамику взаимодействующих биологических популяций [9].

Стандартные конечно разностные схемы, и в первую очередь явные схемы Эйлера и Рунге-Кутты, не сохраняют алгебраические структуры исходной непрерывной задачи и дают приближенное решение, близкое на рассматриваемом компакте к точному решению, но качественно от него отличное. Идея конструировать разностные схемы, сохраняющие точно интегралы движения динамических систем возникала в конце 1980-х годов, в работах Купера [10] и Ю.Б. Суриса [11; 12] пришедших к этой проблемы с разных сторон: Ю.Б. Сурис шел от составления разностных схем для гамильтоновых систем, сохраняющих симплектическую структуру, а Купер — от сохранения интегралов. В итоге было открыто большое семейство схем Рунге-Кутты, сохраняющих все квадратичные интегралы любой динамической системы и симплектическую структуру гамильтонвой системы, см. обзор [13]. Все эти схемы не являются явными и поэтому каждый шаг расчета требует решения нелинейной системы алгебраических уравнений. Тем не менее, на эти трудности приходится идти, например, при решении задач небесной механики [14]. Эти схемы хорошо зарекомендовали себя в численных экспериментах с гамильтоновыми системами [15].

Следует однако отметить, что в центре внимания исследователей были вопросы сходимости и повышения точности при счете на большие времена, то есть о количественной близости точного и приближенного решений, вопрос же о сохранении других качественных свойств точного решения остался пока не достаточно исследованным; «возможность определить характер динамического процесса, используя лишь грубые вычисления с большим шагом сетки» по симплектической схеме была отмечена в канд. дисс. М.Н. Геворкяна [16].

Другим мало исследованным вопросом является конструирование разностных схем, сохраняющих полиномиальных интегралы, порядок которых больше 2. Даже для классической задачи двух тел этот вопрос был решен совсем недавно [17]. Тем не менее, этот вопрос является чрезвычайно важным, поскольку закон сохранения энергии дает квадратичный интеграл только в линейных задачах.

Развитие методов конструирования разностных схем, сохраняющих алгебраические интегралы движения динамической системы, тесно связано с вопросом об отыскании алгебраических интегралов динамических систем, который был в центре внимания отечественных математиков XIX - нач. XX веков (Остроградский, Чебышев, Золотарев, Брунс, Ковалевская, Лагутинский), результаты которых известны за рубежом в весьма усеченной форме [18], и вновь привлек к себе внимание недавно в связи с развитием систем компьютерной алгебры [19-21].

В компьютерной алгебре этот вопрос возникает естественным образом при разработке новых символьных интеграторов. Значительные успехи в разработке символьных интеграторов дифференциальных уравнений 1-го порядка

&х ¿у _,г

77-^ = ^-^' ^ е С\.х,У1 (2)

/ (х,у) д(ху)

то есть динамических систем из п = 2 уравнений, связаны с реализацией метода поиска интегрирующего множителя, названного Чеб-Террабом Абаком [22]. Этот метод позволяет проинтегрировать в символьном виде порядка 87% всех уравнений из справочника Э. Камке [23]. Несмотря на этот удивительный успех, Абак не справляется с простейшими тестами и не может найти решение уравнения (2) в алгебраических функциях даже тогда, когда оно заведомо существует в этом классе [24].

Это и возвращает нас к классической задаче, состоящей в отыскании всех алгебраических интегралов движения для заданной динамической системы (1). Часто эту задачу связывают с именем Пуанкаре, однако впервые в таком виде она

была поставлена в работах Брунса и Кенигсбергера, а в несколько архаической формулировке ее можно усмотреть в переписке Декарта с Дебоном. Для удобства мы будем называть эту задачу задачей Дебона. Следует сразу заметить, что эта задача в столь общей формулировке до сих пор не решена и, более того, нет никаких оснований полагать, что она алгоритмически разрешима.

С другой стороны, как заметил еще Декарт, задача об отыскании всех рациональных интегралов, порядок которых не превосходит заданной границы, может быть сведена методом неопределенных коэффициентов к решению системы нелинейных алгебраических уравнений. Таким образом, для решения задачи об отыскании всех интегралов движения необходимо отыскать оценку сверху для порядков рациональных интегралов движения заданной динамической системы. Этот вопрос был в центре внимания на рубеже XIX - XX веков, однако и сейчас все существующие методы отыскания рациональных интегралов движения подразумевают, что помимо динамической системы пользователь должен задать и верхнюю границу для порядка искомых рациональных интегралов движения [21].

В нач. XX века М.Н. Лагутинский предложил более эффективный метод отыскания интегралов движения, порядки которых не превосходит заданного числа, основанный на теории определителей. Спустя почти сто лет, этот метод был вновь открыт J. Vitorio Pereira [19], а к работам М.Н. Лагутинского всеобщее внимание привлек Ж.-М. Стрельцын [18]. М.Д. Малых [25] заметил, что теория, развитая М.Н. Лагутинским, — очень общая и касается вообще дифференциальных колец с однозначным разложением на множители, и на ряде конференций по компьютерной алгебре [26] представил ее реализации в системе компьютерной алгебры Sage [27] — пакет Lagutinski for Sage [28]. Вскоре возможность вычисления определителей Лагутинского была добавлена в систему Math. Partner, разрабатываемой Г.И. Малашонком и его учениками [29].

Целью данной работы является разработка методов отыскания рациональных интегралов движения динамических систем и конструирования разностных схем, сохраняющих все найденные алгебраические интегралы.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

- Изложить систематически метод Лагутинского как метод отыскания частных и общих интегралов в дифференциальных кольцах, на его основе разработать и обосновать новые необходимые условия существования

рационального интеграл хотя бы для некоторых классов дифференцирований.

- Протестировать реализацию метода Лагутинского — пакет Lagutinski for Sage (ver. 1.0, Малых М.Д., 2016), разработать практические рекомендации по оптимизации вычислений и применению этого пакета, дополнить пакет новыми функциями, в том числе проверкой выполнения оригинальных необходимых условий существования интегралов.

- Систематизировать известные методы конструирования разностных схем, сохраняющие те или иные интегралы движения заданной динамической системы.

- Теоретически и в серии компьютерных экспериментов в Sage исследовать сохранение периодического характера осцилляции динамических систем при дискретизации, точно сохраняющей квадратичные интегралы движения.

- В серии компьютерных экспериментов в Sage исследовать возможности конструирования симплектических схем Рунге-Кутты порядка p c s стадиями, в том числе описания алгебраических множеств, которым принадлежат коэффициенты схем, используя инструментарий для работы с идеалами полиномиальных колец в Sage.

Научная новизна:

1. Введено понятие сжимающего дифференцирования и строго доказаны необходимое условие существования рационального интеграл для этого класса дифференцирований. На его основе найден новый достаточный критерий отсутствия алгебраического интеграла дифференциального уравнений, проверка выполнения этого критерия описана в виде алгоритма и реализована как функция в Sage.

2. Впервые разработан и распараллелен алгоритм вычисления интегралов движения, представимых в виде отношения малочленов (многочленов заданной степени, являющихся линейной комбинацией малого числа M мономов)

3. Проведено оригинальное исследование сохранения периодического характера осцилляции динамических систем при дискретизации, точно сохраняющей квадратичные интегралы движения, в том числе при расчетах по схеме средней точки. Для его обеспечения разработан новый алгоритм для организации счета по неявной схеме средней точки, в ко-

тором переход со слоя на слой не требует численного решения систем нелинейных алгебраических уравнений.

4. Проведено оригинальное исследование алгебраических множеств, которым принадлежат коэффициентов явных и симплектических схем Рунге-Кутты.

Теоретическая и практическая значимость Разрабатываемые численные методы найдут применение в теоретических исследованиях динамических систем, богатых законами сохранения, но тем не менее не сводящихся к квадратурам. Результаты диссертации могут быть использованы при создании учебных курсов по теме «Дифференцальные уравнения» и «Компьютерная алгебра».

Методология и методы исследования. В диссертации использовались методы теории полиномиальных колец и их реализации в системе компьютерной алгебры Sage [27], метод конечных разностей в его применении к динамическим системам. Проведение компьютерных экспериментов в среде Sage позволяет использовать готовые и надежные инструменты теории полиномиальных колец и сочетать их с оригинальными реализациями численных методов, написанными на языке Python.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Проведено комплексное тестирование пакета Lagutinski for Sage (ver. 1.0, Малых М.Д., 2016) на задачах из задачника А.Ф. Филлипова.

2. Проведена оптимизация пакета Lagutinski for Sage, в частности разработан и распараллелен алгоритм вычисления интегралов движения, представимых в виде отношения малочленов, пакет Lagutinski for Sage дополнен новыми функциями:

- вычисление значения определителя Лагутинского в случайной точке,

- отыскание интегралов движения, представимых в виде отношения малочленов,

- проверкой необходимых условий существования интегралов сжимающих дифференциалов.

3. Найдено и обосновано необходимое условие существования рационального интеграл для одного класса дифференцирований, для которых в диссертации предложено название сжимающих дифференцирований. На его основе найден новый достаточный критерий отсутствия алгебраического интеграла дифференциального уравнений, проверка выполнения

этого критерия описана в виде алгоритма и реализована как функция в Sage.

4. На примере двух моделей — линейный и эллиптический осцилляторы — теоретически и в серии численных экспериментов исследовано сохранение периодического характера осцилляции динамических систем при дискретизации, точно сохраняющей квадратичные интегралы движения, в том числе при расчетах по схеме средней точки.

5. Для небольших значений s и p исследованы в Sage многообразия Бут-чера — алгебраические множества в аффинном пространстве коэффициентов явных, неявных и симплектических схем Рунге-Кутта заданного числа стадий s и порядка аппроксимации p.

Достоверность Обоснованность результатов диссертации опирается на теоретические исследования, все оригинальные теоремы, используемые в тексте диссертации, и их доказательства были опубликованы в рецензируемых журналах. Везде, где это возможно, проводилось сравнения полученного численного решения с аналитическими решениями, что подтверждает достоверность результатов. Результаты находятся в соответствии с результатами, полученными другими авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались на международных конференциях:

1. «Mathematical Physics and Mathematical Modelling» '2018, МИФИ, Москва, url: mpmm.xyz,

2. «Computer Algebra in Scientific Computing» '2019, Москва, url: www. casc-conference.org

3. «Numerical Methods and Applications» '2018, Боровец, Болгария, url: nma18.fmi.uni-sofia.bg,

4. «Polynomial Computer Algebra» '2018 и '2019, ПОМИ, Санкт-Петербург, url: pca-pdmi.ru,

всероссийских конференциях с международным участием «Information and Telecommunication Technologies and Mathematical Modeling of High-Tech Systems» '2018 и '2019, РУДН, а также на научном семинаре по вычислительной и прикладной математике ЛИТ ОИЯИ, Дубна, ноябрь 2019 г

Личный вклад. Юй Ин, работая в коллективе соавторов, самостоятельно разработала и реализовала ряд основных функций пакета Lagutinski for Sage, провела серию численных экспериментов в Sage.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, 2 — в периодических научных журналах, индексируемых Web of Science и Scopus, 5 — в тезисах докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и двух приложений. Полный объём диссертации составляет 123 страницы, включая 4 рисунка и 1 таблицу. Список литературы содержит 102 наименования.

Глава 1. Динамические системы и их алгебраические интегралы

1.1 Динамические системы

Одной из основных моделей классической механики является динамическая система, описываемая автономной системой обыкновенных дифференциальных уравнений, то есть системой уравнений вида

<<х'

= /г(х1,... ,хп), г = 1,2,...п. (1.1)

Здесь Ь — независимая переменная, обычно интерпретируемая как время, х1,...,хп — координаты подвижной точки или нескольких точек. В механических задачах правые части / часто оказываются рациональными функциями координат х1,... ,хп или могут быть сведены к такому виду той или иной заменой переменных.

В дальнейшем мы будем называть переменную Ь временем, рассматривать х = (х1,... , хп) как точку аффинного пространства, а / = (/1,..., /п) — как набор рациональных функций.

Пример 1.1. Простейшая динамическая система

х = — у,

(1.2)

у = х>

описывает гармонический осциллятор.

Пример 1.2. Движение волчка [7] описывается шестью переменными — тремя координатами вектора угловой скорости рд и г относительно главных осей, проведенных через точку закрепления, и тремя направляющими косинусами одной из главных осей у, у', у". Эти переменные удовлетворяют системе шести автономных уравнений с квадратичной правой частью

Лр=(Б — С)дг + Мд(уоУ — ъУ),... (1.3)

и

у = гу' — ду",...

где А,В,С — моменты инерции относительно главных осей, М — масса тела, а (х0,у0,г0) —координаты центра тяжести.

Пример 1.3. По определению, Якобиевы эллиптические функции

р = sn Ь, д = сп Ь, г = dn Ь являются частным решением автономной системы

с\

р = дг, д = —рг, Г = —к рд (1.4)

с начальными условиями

р = 0, д = г = 1 при Ь = 0.

В некоторых частных случаях, движение волчка можно описать при помощи эллиптических функций [7]. Эта система очень удобна для теоретического исследования подобного рода колебательных систем, для краткости в дальнейшем мы будем называть ее эллиптическим осциллятором. С аналитической точки зрения эта система замечательна тем, что любое ее частное решение представимо в виде отношения двух всюду сходящихся рядов по степеням Ь [30]. С точки же зрения метода конечных разностей эта система замечательна тем, что ее можно аппроксимировать разностными схемами, сохраняющими ее интегралы точно (см. ниже раздел 3.2.4).

Более сложные механические модели, содержащие десятки автономных дифференциальный уравнений, приходят из теории движения твердых тел, катящихся по поверхности [8]. В смежных областях, в том числе биологии, экономике, химической кинетики подобного рода модели встречаются тоже весьма часто.

Пример 1.4. Модель Хищник-Жертва [9] относится к числу самых популярных нелинейных математических моделей. Эта система описывается двумя дифференциальными уравнениями

х = (а — уу )х; у = (—в + 5х)у,

где а,..., 5 — параметры, характеризующие систему. Эта система впервые была предложена Альфредом Лоткой в 1925 году для описания динамики взаимодействующих биологических популяций и на год позже и независимо от него

Вальтеррой. По этой причине часто автономные системы с квадратичной правой частью называют обобщенными уравнениями Вольтерры-Лотки (GVL equations)

[31], эти же уравнения часто рассматривают как обобщение уравнения Риккати

[32].

Не менее часто в механике встречаются системы, правые части которых содержат иррациональности, обычно, радикалы. Эти системы можно свести к системам с рациональной правой частью путем повышения порядка системы.

Пример 1.5. Задача n тел [33] описывается системой уравнений

72 ^ п -> ->

d2Ti Tj — Ti

E 'j - ' i • 10

ymimj—^-pr, i = 1, 2,...,n

J /V» . _ /V» . 3

Л2 — Обозначим скорость ¿-го тела как

V = (иг,Уг,Шг) = (Хг,уг,Хг)

тогда система дифференциальных уравнений относительно координат тел и их скоростей принимает вид (1.1) с алгебраической правой частью. Введем дополнительные переменные гу, связанные с координатами уравнением

г1 = (хг — х3 )2 + (уг — уд)2 + (хг — Ху)2, г = ].

Продифференцировав это тождество по Ь, получим

= 2(хг — Ху )(иг — и) + 2(уг — у3 )(уг — у) + 2(хг — х3 )(шг — ш3)

Добавив к координатам точек и их скоростям эти вспомогательные переменные, а к дифференциальным уравнениям выписанные выше уравнения для скорости изменения г у, мы получим автономную систему с рациональной правой частью.

1.2 Алгебраические интегралы движения

Очень часто математические модели учитывают лишь наиболее существенные процессы, обуславливающие рассматриваемое явление. По этой причине получающиеся системы дифференциальных уравнений оказываются богаты законами сохранения.

Определение 1. Непостоянная функция д переменных х1,... ,хп называется интегралом движения системы (1.1), если для любого решения х(Ь) этой системы выражение

не зависит от времени; при этом, конечно, нужно ограничить изменение времени той областью, в которой определено выписанное выражение.

В механике равенство

называются законом сохранения. Следует подчеркнуть, что определение 1 не требует даже дифференцируемости функции /. Для дифференцируемых интегралов условие постоянства выражения

д(х1(Ь),. ..хп(г))

можно записать так: / является решением уравнения в частных производных

Фундаментальные законы механики, такие как закон сохранения энергии, импульса и момента импульса системы, приводят к тому, что рассматриваемые модели обладают несколькими известными интегралами движения, причем обычно эти интегралы являются многочленами, реже алгебраическими функциями.

Пример 1.6. Модель волчка, описанная выше в примере 1.2, обладает тремя законами сохранения. Первые два выражают фундаментальные законы механики: закон сохранения полной механической энергии дает первый интеграл движения

д(х1(Ь),. ..хп(г))

д(х1,..., хп) = const

которое обычно записывают короче как

Бд = 0,

определив предварительно дифференцирование

Лр2 + Бд2 + Сд2 = 2Мд(х0у + у0у' + г0у'') + Сош^

закон сохранения момента импульса дает второй интеграл

Ару + Bqy' + Cry'' = Const Помимо этих законов имеется еще и третий

Y2 + Y2 + у''2 = 1, (1.5)

который выражает тот тривиальный факт, что сумма квадратов направляющих косинусов равна 1. Можно было бы учесть эту связь явно и выразить, скажем, у" как \Jl — у2 — у'2, однако это лишило бы правую часть рациональности.

Задача об отыскании всех алгебраических интегралов движения заданной динамической системы была сформулирована в явной форме в 1880-х годах благодаря работам Брунса [34; 35].

Прежде, чем ее сформулировать, заметим, что всякая функция интегралов движения сама является интегралом движения. Для автономных систем с рациональной правой частью нетрудно доказать, что всякий алгебраический интеграл движения можно представить как алгебраическую функцию рациональных интегралов движения этой системы. Самое старое упоминание этого обстоятельства, какое удалось отыскать, принадлежит Л. Кенигсбергеру [36], поэтому в дальнейшем мы будем ссылаться на него как на теорему Кенигсбергера.

Теорема 1 (Кенигсбергер). Пусть правые части динамической системы (1.1) принадлежат полю C(x), тогда всякий алгебраический интеграл движения можно представить как алгебраическую функцию рациональных интегралов движения этой системы.

Эта теорема позволяет ограничить рассмотрение только рациональными интегралами.

Определение 2. Объедении множества всех констант и множества всех рациональных интегралов автономной системы (1.1) буем называть полем рациональных интегралов этой системы.

Теперь задачу об отыскании всех алгебраических интегралов системы можно сформулировать так.

Задача 1. Дана динамическая система (1.1) с рациональными правыми частями из C(x\,... ,xn). Требуется найти базис поля рациональных интегралов над полем C.

Эта задача — чисто алгебраическая и естественное место для реализации алгоритмов ее решения — системы компьютерной алгебры. Поэтому и саму эту задачу естественно относить к компьютерной алгебре.

Замечание 1.1. В классической механике рассматривались исключительно аналитические интегралы. После того, как Брунс доказал, что в задаче многих тел отсутствуют неклассические алгебраические интегралы, возникла идея искать интегралы в более сложных классах. Вопрос о существовании непрерывных интегралов задачи многих тел активно обсуждался в середине прошлого века, см. прим. В.И. Арнольда к «Небесной механике» Пуанкаре [37, с. с. 752].

1.3 Многочлены Дарбу и интегральные многообразия

Естественным обобщением понятия рационального интеграла являются интегральные многообразия.

Определение 3. Многообразие V в аффинном пространстве x1... xn называется интегральным многообразием для системы (1.1), если всякое решение

x1 x1 (t) 5 ... 5 xn xn(t) 5

имеющее с этим многообразием одну общую точку, лежит на этом многообразии целиком:

x(0) e V ^ x(t) e V.

Особенно часто рассматривают многообразия наибольшей и наименьшей размерностей.

Интегральные многообразия размерности 1 называют интегральными кривыми или траекториями динамической системы. Во многих классических механических задачах траектории являются алгебраическими кривыми.

Пример 1.7. Обратимся к эллиптическому осциллятору, рассмотренному в примере 1.3. Эта автономная система обладает двумя квадратичными интегралами движения

0 0 ООО

р + q = const и q — kr = const.

При любом выборе констант, напр, при

р2 + (2 = 2 и (2 — к 2г2 = 3

мы получаем алгебраическую кривую в пространстве рдг. Решение системы, удовлетворив это системе при одном значении Ь, будет удовлетворять ей при всех значения Ь. Поэтому кривые

являются интегральными кривыми или траекториями рассматриваемой динамической системы.

Пример 1.8. В задаче двух тел (см. пример 1.5) траектории тел представляют собой коники. Более того, существуют в точности два закона взаимодействия между телами — закон всемирного тяготения и закон Гука, при которых траектории будут алгебраическими кривыми, как это доказал Кенигс [38; 39].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Юй Ин, 2020 год

Список литературы

1. Lipnikov K., Manzini G., Shashkov M. Mimetic finite difference method // Journal of Computational Physics. — 2014. — Т. 257. — С. 1163—1227.

2. Physics-compatible numerical methods / B. Koren [и др.] // Journal of Computational Physics. — 2014. — Т. 257, Part B. — С. 1039—1524.

3. Shashkov M. Conservative Finite Difference Methods. — Boca Raton : CRC Press, 1996.

4. Compatible Spatial Discretizations / D. Arnold [и др.]. — Springer-Verlag, Berlin, 2006.

5. Veiga L. B. da, Lipnikov K., Manzini G. The mimetic finite difference method for elliptic problems. Т. 11. — Springer, 2014.

6. Castillo J. E., Miranda G. F. Mimetic discretization methods. — Chapman, Hall/CRC, 2013.

7. Голубев В. В. Лекции по интегрированию уравнений движения тяжелого твердого тела около неподвижной точки. — Москва : ГТТИ, 1953.

8. Маркеев А. П. Динамика тела, соприкасающегося с твердой поверхностью. — Москва-Ижевск,ИКИ, 2014.

9. Трубецков Д. И. Феномен математической модели лотки-вольтерры и сходных с ней // Известия высших учебных заведений. Прикладная нелинейная динамика. — 2011. — Т. 19, № 2. — С. 69—88.

10. Cooper G. J. Stability of Runge-Kutta methods for trajectory problems // IMA J. Numer. Anal. — 1987. — Т. 7. — С. 1—13.

11. Сурис Ю. Б. Сохранение симплектической структуры при численном решении гамильтоновых систем // Численное решение обыкновенных дифференциальных уравнений: сборник научных трудов / под ред. С. С. Филиппов. — Москва : Ин-т прикладной математики АН СССР, 1988.-С. 138-144.

12. Suris Y. B. Hamiltonian methods of Runge-Kutta type and their variational interpretation // Math. Model. — 1990. — Т. 2. — С. 78—87.

13. Sanz-Serna J. M. Symplectic Runge-Kutta Schemes for Adjoint Equations, Automatic Differentiation, Optimal Control, and More // SIAM review. — 2016. — Т. 58. — С. 3-33.

14. Nuan Fang Xu [et al.] A symplectic Runge-Kutta method for the analysis of the tethered satellite system // Multidiscipline Modeling in Materials and Structures. — 2017. — Vol. 13, no. 1. — P. 26—35.

15. Геворкян М. Н. Конкретные реализации симплектических численных методов//Вестник РУДН. Серия: Математика. Информатика. Физика. — 2013. — №3. —С. 77—89.

16. Геворкян М. Н. Анализ составных симплектических методов и симплектических методов Рунге-Кутта на длительных интервалах времени: дис. ... канд. / Геворкян М. Н. — Российский университет дружбы народов, 2013.

17. Kozlov R. Conservative discretizations of the Kepler motion // J. Phys. A. — 2007. — Т. 40, № 17. — С. 4529—4539.

18. Добровольский В. А., СтрельцынЖ.-М., Локоть Н. В. Михаил Николаевич Лагутинский (1871 - 1915) // Историко-математические исследования. — 2001. —Т. 6.— С. 111—127.— in Russian.

19. Christopher C., Llibre J., Pereira J. V. Multiplicity of invariant algebraic curves in polynomial vector fields // Pacific Journal of Mathematics. — 2007. — Т. 229, № 1.-С. 63-117.

20. Ngoc Thieu Vo, Winkler F. Algebraic general solutions of first order algebraic ODEs // International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. — Springer. 2015. — С. 479—492.

21. Efficient algorithms for computing rational first integrals and Darboux polynomials of planar polynomial vector fields / A. Bostan [и др.] // Mathematics of Computation. — 2016. — Т. 85, № 299. — С. 1393—1425.

22. Cheb-Terrab E. S., Duarte L. G. S., da Mota L. A. C. P. Computer algebra solving of first order ODEs using symmetry methods // Computer Physics Communications. — 1997. — Vol. 101. — P. 254—268.

23. Cheb-Terrab E. S., Duarte L. G. S., Da Mota L. A. C. P. Computer algebra solving of first order ODEs using symmetry methods // Computer Physics Communications. — 1997. — Т. 101, № 3. — С. 254—268.

24

25

26

27

28

29

30

31

32

33

34

35

36

37

Малых М. Д., Ин Ю. Методика отыскания алгебраических интегралов дифференциальных уравнений первого порядка // Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. - 2018. - Т. 26, № 3. - С. 285-291.

Малых М. Д. Об отыскании рациональных интегралов систем обыкновенных дифференциальных уравнений по методу М.Н. Лагутинского // Вестник НИЯУ МИФИ. — 2016. — Т. 5, № 24. — С. 327—336.

Malykh M. D. On M.N. Lagutinski Method for Integration of Ordinary Differential Equations // International Conference Polynomial Computer Algebra-2016. — 2016. — P. 57—58. — in Russian.

Stein W. A. Sage Mathematics Software (Version 6.7) / The Sage Development Team. — 2015. — URL: http://www.sagemath.org.

Malykh M. D., Ying Y. Lagutinski.sage, ver. 1.5. / RUDN University. — 2016. — URL: http://malykhmd.neocities.org.

Глазков С. А. Алгоритмы решения дифференциальных уравнений в Math Partner // Вестник Тамбовского университета. Серия Естественные и технические науки. — 2018. — Т. 23, № 122. — С. 250—260.

Голубев В. В. Лекции по аналитической теории дифференциальных уравнений. — Москва-Ленинград : ГТТЛ, 1950.

Hernández-Bermejo B., Fairén V. Lotka-Volterra representation of general nonlinear systems // Mathematical Biosciences. — 1997. — Vol. 140, no. 1. — P. 1-32.

Егоров А. И. Уравнения Риккати. —Москва : Солон-пресс, 2017.

Маршал К. Задача трех тел. — Москва-ИжевскД & C, 2004.

Bruns H. Über die Integrale der Vielkörper-Problems // Acta math. — 1887. — Vol. 11.—P. 25—96.

PainlevéP. Mémore sur les intégrales du problème des n corps // Œuvres de Paul Painlevé. — 1975. — P. 666—699.

Königsberger L. Die Principien der Mechanik. —Leipzig : Teubner, 1901. Пуанкаре А. Избранные труды. Т. 1. —Москва : Наука, 1971.

38. Koenigs G. Sur les lois de force central fonction de la distance pour laquelle toutes les trajectoires sont algébraiques // Bull. de la Socié té de France. — 1889.— Vol. 17.—P. 153—155.

39. Загрядский О. А., Кудрявцева Е. А., Федосеев Д. А. Обобщение теоремы Бертрана на поверхности вращения // Матем. сб. — 2012. — Т. 203, № 8. — С. 39--78.

40. Goriely A. Integrability and Nonintegrability of Dynamical Systems. — Singapore; River Edge, NJ : World Scientific, 2001.

41. Ince E. L. Ordinary Differential Equations. — United States : Franklin Classics Trade Press, 1920.

42. Декарт Р. Геометрия с приложением избранных работ П. Ферма и переписки Декарта. — Москва-Ленинград : ГОНТИ НКТП СССР, 1938. — Перевод, примечание и статья А. П. Юшкевича.

43. Poincaré H. Œuvres. Vol. 3. —Paris : Gautier, 1934.

44. Лагутинский М. Н. Приложение полярных операций к интегрировананию обыкновенных дифференциальных уравнений в конечном виде // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. — 1911. — Т. 12. — С. 111—243.

45. Лагутинский М. Н. О некоторых полиномах и связи их с алгебраическим интегрированием обыкновенных дифференциальньных алгебраических уравнений // Сообщ. Харьков. матем. общ. Вторая сер. — 1912. — Т. 13.-С. 200-224.

46. Maciejewski A. J., Strelcyn J.-M. On algebraic non-integrability of the Halphen system // Physics Letters A. — 1995. — Vol. 201. — P. 161—166.

47. Chéze G. Computation of Darboux Polynomials and Rational First Integrals with Bounded Degree in Polynomial Time // Journal of Complexity. — 2011. — Vol. 27, no. 2. — P. 246—262.

48. Efficient Algorithms for Computing Rational First Integrals and Darboux Polynomials of Planar Polynomial Vector Fields / A. Bostan [и др.] // Math. Comp. - 2016. - Т. 85. - С. 1393-1425.

49. Severi F. Lezioni di geometria algebrica: geometria sopra una curva; superficie di Riemann; integrali abeliani. — Padova : Draglia, 1908.

50

51

52

53

54

55

56

57

58

59

60

61

62

63

Cox D. A., Little J., O'Shea D. Ideals, Varieties, and Algorithms: An Introduction to Computational Algebraic Geometry and Commutative Algebra. — Springer, 2012.

Малых М. Д. Об интегрировании обыкновенных дифференциальных уравнений // Компьютерная алгебра. Материалы международной конференции. Москва, 29 июня - 2 июля 2016. — 2016. — С. 25—29.

Малых М. Д. Об интегрировании дифференциальных уравнений первого порядка в конечном виде // Пятая международная конференция «Проблемы математической и теоретической физики и математическое моделирование». Москва, 5-7 апреля2016 года. Сборник докладов. — 2016. — С. 81—82.

Zoladek H. Algebraic invariant curves for the Lienard equation // Transactions of the American Mathematical Society. — 1998. — Vol. 350. — P. 1681—1701.

Филиппов А. Ф. Сборник задач по дифференциальным уравнениям. — Izhevsk: R&C, 2000.

Delshams A., Mir A. Psi-series of quadratic vector fields on the plane // Publicacions Matematiques. — 1997. — С. 101—125.

Lunkevich V. A., SibirskiiK. S. Integrals of a general quadratic differential system in cases of the center // Differentsial'nye Uravneniya. — 1982. — Т. 18, № 5. — С. 786-792.

Гурса Э. Курс математического анализа. Т. 2.2. — Москва-Ленинград : ГТ-ТИ, 1933.

Kukles I. S., Nurov T. On distinguishing center and focus // Izv. Vyssh. Uchebn. Zaved. Mat. — 1963. — Vol. 6. — P. 98—108.

HartshorneR Algebraic Geometry. —Verlag Berlin Heidelberg: Springer, 1977.

Coolidge J. L. A treatise on algebraic plane curves. Т. 1. — Courier Corporation, 2004.

Уиттекер Э. Т. Аналитическая динамика. — 2-е изд. — Москва : УРСС, 2004.

Sikorsky Y. S. Elements of the theory of elliptic functions with applications to mechanics. - Moscow-Leningrad : ONTI, 1936. — In Russian.

Маркушевич А. И. Введение в классическую теорию абелевых функций. — Москва : Наука, 1979.

64. Прасолов В. В., Соловьев Ю. Эллиптические функции и алгебраические уравнения. —Москва : Факториал, 1997.

65. Мозер Ю. Интегрируемые гамильтоновы системы и спектральная теория. — Регулярная и хаотическая динамика, 1999.

66. Полубаринова-Кочина П. Я. Об однозначных решениях и алгебраических интегралах задачи о вращении тяжелого твердого тела около неподвижной точки // Движение твердого тела вокруг неподвижной точки. — Москва-Ленинград : АН СССР, 1940. — С. 157—186.

67. Siegel C. L., Moser J. Lectures on Celestial Mechanics. — Springer, 1995.

68. Крылов А. Н. Лекции о приближенных вычислениях. — 2-е изд. — Ленинград : Изд-во АН СССР, 1933.

69. Калиткин Н. Н. Численные методы. — 2-е изд. — БХВ-Петербург, 2011.

70. Hairer E., Wanner G., Lubich C. Geometric Numerical Integration. Structure-Preserving Algorithms for Ordinary Differential Equations. — Berlin Heidelberg New York : Springer, 2000.

71. Grauet H., K. F. The Weierstrass Preparation Theorem // Several Complex Variables / ed. by P. R. Halmos, F. W. Gehring, C. C. Moore. — New York : Springer-Verlag, 1976. — P. 68—98.

72. Hairer E., Wanner G., N0rsett S. P. Solving Ordinary Differential Equations I: Nonstiff Problems. — 3-е изд. — Springer, 2008.

73. A novel energy-conserving scheme for eight-dimensional systems / S. Hu [и др.]. — 10.2019. — URL: https://arxiv.org/abs/1910.10353.

74. Irshad W., Habib Y., Farooq M. U. First Integrals of Dynamical Systems And Their Numerical Preservation. — 2017. — arXiv: 1711.01934 [math.NA].

75. Blinkov Y. A., Gerdt V. P. On computer algebra aided numerical solution of ODE by finite difference method // Polynomial Computer Algebra '2019. April 1520, 2019. Euler International Mathematical Institute, St. Petersburg, RUSSIA. — 2019.-P. 29-31.

76. Real-valued Variable-coefficient Ordinary Differential Equation solver, with fixed-leading-coefficient implementation. — 2019. — URL: http://www.netlib. org/odepack.

77. Real-valued Variable-coefficient Ordinary Differential Equation solver, with fixed-leading-coefficient implementation. — 2019. — URL: http://www.netlib. org/ode/vode.f.

78. Press W. H. Numerical Recipes Home Page. — 2019. — URL: http://numerical. recipes.

79. Finite Difference Schemes and Classical Transcendental Functions / E. A. Ayryan [и др.] // International Conference on Numerical Methods and Applications. Т. 11189. — Berlin, Germany : Springer, 2019. — С. 235—242. — (Lecture Notes in Computer Science).

80. On Explicit Difference Schemes for Autonomous Systems of Differential Equations on Manifolds / E. A. Ayryan [и др.] // International Workshop on Computer Algebra in Scientific Computing. Т. 11661. — Berlin, Germany : Springer, 2019. — С. 343—361. — (Lecture Notes in Computer Science).

81. Ying Y. mid-point-rule.sage, ver. 1.0. / RUDN University. — 2019. — URL: http: //malykhmd.neocities.org.

82. Runge C., König H. Vorlesungen über numerisches Rechnen. — Springer-Verlag, 2013.

83. Devries P. L., Hasbun J.E. A first course in computational physics. — 2nd ed. — Burlington : Jones, Bartlett Publishers, 2011.

84. Butcher J. On Runge-Kutta processes of high order // J.Austral. Math. Soc. — 1964. — Vol. 4, no. 2. — P. 179—194.

85. Iserles A. A first course in the numerical analysis of differential equations. — Cambridge university press, 1996.

86. Ascher U. M., Petzold L. R. Computer methods for ordinary differential equations and differential-algebraic equations. Vol. 61. — Siam, 1998.

87. Butcher J. C. Numerical methods for ordinary differential equations. — New York : John Wiley & Sons, 2008.

88. Хашин С. И. Численное решение уравнений Бутчера // Вестник ИвГУ. — 2000.—№3. —С. 155-164.

89. Хаммуд Г. М., Хашин С. И. Шестимерное семейство 6-шаговых методов Рунге — Кутта порядка 5 // Науч. тр. ИвГУ Математика. — 2001. — № 4. — С. 114-122.

90. Хашин С. И. Альтернативная форма уравнений Бутчера // Вестник ИвГУ. — 2007.—№3. —С. 94-103.

91. Хашин С. И. A Symbolic-Numeric Approach to the Solution of the Butcher Equations // Canadian Applied Mathematics Quarterly. — 2009. — Т. 17, № 3. — С. 555—569.

92. Хашин С. И. Три упрощающих предположения для методов Рунге-Кутта // Вестник ИвГУ — 2012. — № 2. — С. 142—150.

93. Ying Y. rk.sage, ver. 1.0. / RUDN University. — 2019. — URL: http://malykhmd. neocities.org.

94. Sanz-Serna J. Runge-Kutta schemes for Hamiltonian systems // BIT Numerical Mathematics. — 1988. — Т. 28, № 4. — С. 877—883.

95. Lasagni F. Canonical runge-kutta methods // Zeitschrift fur Angewandte Mathematik und Physik (ZAMP). — 1988. — Т. 39, № 6. — С. 952—953.

96. Suris Y. B. The canonicity of mappings generated by Runge-Kutta type methods when integrating the systems x = — dx // USSR Computational Mathematics and Mathematical Physics. — 1989. — Т. 29, № 1. — С. 138—144.

97. Budd C., Piggott M. Geometric integration and its applications. — 2001.

98. Kinoshita H., Yoshida H., Nakai H. Symplectic integrators and their application to dynamical astronomy // Celestial Mechanics and Dynamical Astronomy. — 1990. — Т. 50, № 1. — С. 59—71.

99. Forest E., Ruth R. D. Fourth-order symplectic integration // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1990. — Т. 43, № 1. — С. 105—117.

100. Suris Y. Preservation of symplectic structure in the numerical solution of Hamiltonian systems (in Russian), Akad // Nauk SSSR, Inst. Prikl. Mat., Moscow. —. — С. 148—160.

101. Suli E., Mayers D. F. An introduction to numerical analysis. — Cambridge university press, 2003.

102. Соловьёв Ю. П. Рациональные точки на эллиптических кривых // Соросов-ский образовательный журнал. — 1997. — № 10. — С. 138—143.

Список рисунков

3.1 Решение начальной задачи для системы (3.7) методом Эйлера,

Дг = 0.1, сделано 100 шагов.........................81

3.2 Решение начальной задачи для системы (3.7) методом средней точки,

Дг = 0.1, сделано 100 шагов.........................81

3.3 sn (г, 2) , N = 200 ............................................................91

3.4 sn (г, 1) , N = 200 ............................................................91

Список таблиц

1 Размерность симплектического многообразия Бутчера V(в,р)

(2 < 5 < 4; 2 < р < 6).............................104