Численное исследование модели геодинамо методом контрольного объема на вычислительных системах с графическими процессорами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Бычин Игорь Валерьевич

• Бычин Игорь Валерьевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Бычин Игорь Валерьевич

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1 ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОМАГНИТНОГО ДИНАМО

1.1. Проблема гидромагнитного динамо

1.2. Модель геодинамо

1.3. Численные методы и программные комплексы для численного исследования геодинамо

ГЛАВА 2. ЧИСЛЕННЫЙ МЕТОД РЕШЕНИЯ НАЧАЛЬНО-КРАЕВЫХ ЗАДАЧ ДЛЯ УРАВНЕНИЯ ИНДУКЦИИ МАГНИТНОГО ПОЛЯ В МОДЕЛИ РЕЗИСТИВНОЙ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ

2.1 Конечно-объемная дискретизация расчетной области в произвольных ортогональных криволинейных координатах

2.2 Дискретный аналог уравнения индукции магнитного поля

2.3 Соленоидальность численного решения уравнения индукции

2.4 Аппроксимация плотности тока проводимости

2.5 Аппроксимация конвективной составляющей напряженности электрического поля

2.6 Финальная форма записи дискретного аналога уравнения индукции

2.7 Алгоритм решения уравнения индукции

2.8 Дискретный аналог в сферических координатах

2.9 Алгоритм решения начально-краевых задач с вакуумными граничными условиями

ГЛАВА 3. КОМПЛЕКС ПРОГРАММ ДЛЯ РЕШЕНИЯ ЗАДАЧ МАГНИТНОЙ ГИДРОДИНАМИКИ В СФЕРИЧЕСКИХ СЛОЯХ

3.1 ОрепСЬ-версия кода для математического моделирования конвекции в сферических слоях

2

3.2. Тестирование OpenCL-версии кода

3.3. Комплекс программ CVMHD (Control Volume Magneto-HydroDynamics)

3.4. Результаты тестирования комплекса программ CVMHD

ГЛАВА 4. МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ КОНВЕКЦИИ И ГИДРОМАГНИТНОГО ДИНАМО ВО ВРАЩАЮЩИХСЯ СФЕРИЧЕСКИХ СЛОЯХ

4.1 Математическое моделирование естественной конвекции в равномерно вращающемся сферическом слое

4.2. Гидромагнитное динамо во вращающемся сферическом слое

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ

Величина Обозначение Единицы измерения в СГС

Удельная о с-1

электропроводность

Скорость света в вакууме с см/с

Скорость жидкости и см/с

Вектор магнитной В Гс

индукции

Напряженность электрического поля Е статВ/см

Плотность тока / статВ

проводимости У см • с2

Коэффициент магнитной вязко сти/ диффузии см2/с

Ускорение свободного § см

падения с2

Угловая скорость ш см/с

Плотность жидкости р г/см3

Температура Т К

Коэффициент объемного Р К-1

расширения

Время t с

Радиус-вектор точки г см

Полярный и азимутальный углы в сферических е, <р _

координатах

Давление V г см • с2

Отклонение от

гидростатического р' г

давления, вызванное см • с2

конвекцией

Кинематическая вязкость V см2/с

Динамическая вязкость д г • см2 с

Коэффициент к г • см

теплопроводности К • с3

Коэффициент удельной с см2

теплоемкости ^т2

Коэффициент а см2/с

температуропроводности

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное исследование модели геодинамо методом контрольного объема на вычислительных системах с графическими процессорами»

ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ

Актуальность темы исследования

В основе современных теорий магнитных полей планет, звезд и галактик лежит гипотеза формирования этих полей за счет эффекта гидромагнитного динамо. Суть механизма гидромагнитного динамо заключается в том, что движение проводящей среды (плазмы или жидкости) во внешнем магнитном поле индуцирует электрические токи, которые в свою очередь генерируют «новое» магнитное поле, и это «новое» поле при определенных условиях может усиливать начальное магнитное поле и не затухать с течением времени. По всей видимости, гидромагнитное динамо является некоторым универсальным механизмом формирования космических магнитных полей многих астрофизических объектов. Одной из наиболее интересных и значимых проблем современного естествознания является вопрос о происхождении и дальнейшей эволюции геомагнитного поля. Общеизвестным является тот факт, что геомагнитное поле имеет определяющее значение для существования жизни на Земле, поскольку защищает всю экосистему и атмосферу от пагубного воздействия солнечного ветра и космического излучения. Наличие геомагнитного поля также необходимо для нормального функционирования электроники и систем навигации. Таким образом, задача математического моделирования и исследования геомагнитного поля представляет не только академический, но и практический интерес. В настоящее время, основной и наиболее разработанной гипотезой формирования и эволюции магнитного поля Земли является модель геодинамо, согласно которой, геомагнитное поле создается механизмом гидромагнитного динамо в процессе естественной конвекции в ядре Земли. Модель геодинамо является одним из вариантов моделей планетарных динамо, и предполагает наличие развитой конвекции (тепловой или

термохимической) в жидком проводящем вращающемся сферическом слое

(жидком ядре), в результате которой, формируются структуры течения и

электрических токов способные генерировать и поддерживать магнитное

поле. Основой различных вариантов модели геодинамо являются уравнения

магнитной гидродинамики (МГД), причем в уравнении движения

учитываются силы Архимеда, Лоренца и Кориолиса. Начиная с середины 90-

х годов ХХ века начались активные исследования трехмерных моделей

геодинамо с использованием суперкомпьютеров. Использование

суперкомпьютеров обусловлено тем, что решение трехмерных

нестационарных задач магнитной гидродинамики относится к классу больших

вычислительных задач. В большинстве вычислительных экспериментов

проводилось прямое численное моделирование геодинамо спектральными и

псевдоспектральными методами. Значения параметров моделей геодинамо в

вычислительных экспериментах на много порядков отличаются от

соответствующих оценочных значений реальных параметров ядра Земли.

Несмотря на это, был получен ряд результатов (преобладание дипольной

составляющей в главном геомагнитном поле, вековые вариации, западный

дрейф и инверсии магнитного поля), указывающих на то, что модель

геодинамо может использоваться для описания магнитного поля Земли.

Дальнейший прогресс в разработке новых, более совершенных моделей

геодинамо может быть связан с использованием различных моделей

турбулентных течений, что позволит приблизить параметры моделей к

реальным значениям. Модели турбулентных течений реализованы в рамках

локальных численных методов вычислительной гидродинамики (конечно-

разностных и конечно-объемных). Следовательно, возникает необходимость в

разработке и (или) модификации локальных методов вычислительной

гидродинамики для решения задач МГД в модели геодинамо и программной

реализации этих методов для современных высокопроизводительных

вычислительных систем, которые как правило имеют гибридную архитектуру.

Следует отметить, что использование для расчетов рабочих станций с

6

графическими процессорами позволяет в настоящее время получать результаты, которые ранее можно было получить только на суперкомпьютерах.

Актуальность диссертации обусловлена: теоретической и практической значимостью математического моделирования процессов, формирующих геомагнитное поле; необходимостью разработки и усовершенствования методов вычислительной магнитной гидродинамики; необходимостью создания программных комплексов для моделирования геодинамо, ориентированных на возможности современных гибридных вычислительных систем.

Степень разработанности темы исследования

Современные модели геодинамо опираются на два типа численных

методов: локальные (конечно-разностные, конечно-объемные, конечно-

элементные) и спектральные/псевдоспектральные методы. Локальные методы

решают систему уравнений геодинамо в физическом пространстве.

Спектральные/псевдоспектральные методы используют попеременный

переход из физического пространства в спектральное и обратно. Данный

подход широко распространен в сообществе исследователей геодинамо

благодаря новаторской работе Глатцмайера 1984 года [1]. Подавляющее

большинство программных комплексов для численного решения задачи

геодинамо [2] («MagIC» - авторы: Вихт, Гастин и Кристенсен;

«Rayleigh» - автор Физерстоун, «SBS» - авторы: Симитев, Буссе, Сильва;

«SPmodel» - авторы: Сасаки, Такэхиро, Хаяси, «UCSC code» - автор

Глатцмайер; «SpF-MoSST» - авторы: Куан, Цзян; «TITECH code» - автор

Такахаси; «Calypso» - автор Мацуи, «ETH code» - авторы: Марти, Шейко,

Джексон; «H2000» - автор Холлербах; «LSD code» - авторы: Уиллис, Дэвис,

Эйвери, Джонс, Габбинс; «PARODYJA» - авторы: Ландо, Обер; XSHELLS -

автор Шеффер) использует именно этот метод. Сущность псевдоспектральных

методов заключается в том, что численное интегрирование уравнений модели

7

геодинамо производится в волновом пространстве. Преимущества этих методов заключается в простоте, в скорости решения задач и в обеспечения соленоидальности магнитного поля. К недостаткам следует отнести проблемы с распараллеливанием и с использованием различных моделей турбулентности. По этим причинам в последние годы значительно возрос интерес к применению локальных методов для решения задачи геодинамо [3- 8], в частности метода контрольного объема, традиционно используемого в вычислительной гидродинамике.

Интерес к локальным методам обусловлен использованием широкого спектра апробированных моделей турбулентности, эффективностью и относительной простотой распараллеливания кода (между процессорами требуется только связь «ближайших сеточных соседей» — вместо глобальной связи, необходимой в псевдо-спектральных кодах). Также следует отметить, что локальные методы вычислительной гидродинамики хорошо протестированы и апробированы на множестве задач. При использовании локальных методов возникает проблема численного магнитного заряда. Проблема заключается в том, что численное решение уравнения индукции может не удовлетворять сеточному уравнению неразрывности с необходимой точностью. Известно несколько различных подходов к решению проблемы численного магнитного заряда: переформулирование задачи в терминах векторного потенциала А магнитного поля В = rot^ [9]; исключение нефизической потенциальной части магнитного поля В методом искусственного скалярного потенциала [9]; представление уравнения индукции в форме уравнения движения несжимаемой жидкости за счет включения слагаемого типа градиент давления [10-11]; использование модифицированной системы уравнений магнитной гидродинамики [9]; алгоритм переноса ограничения (Constrained Transport Algorithm) [12-15] (т.е. сохранения условия соленоидальности с течением времени).

В России исследованиями в области гидромагнитного динамо

занимается научный коллектив лаборатории моделирования физических

8

процессов ИКИР ДВО РАН под руководством Г.М. Водинчара. Коллективом получен ряд оригинальных и перспективных результатов по данной теме: маломодовая модель геодинамо [16], которая учитывает априорную информацию о конвективной структуре МГД-течений во внешнем ядре Земли; эредитарная (с памятью) модель аО-динамо [17, 18], в которой впервые удалось воспроизвести степенную асимптотику и фрактальную структуру распределения времени ожидания инверсии магнитного поля, типичную для палеомагнитных шкал Земли; технология автоматизации построения моделей динамо [19] на основе символьных вычислений.

За последние три десятилетия были получены существенные достижения в численных исследованиях геодинамо: преобладание дипольной составляющей магнитного поля Земли [20, 21], изменения полярности (инверсии) магнитного поля [22-24], циклоническая конвективная структура и ее западный дрейф [25-29]. Результаты вычислительных экспериментов по исследованию геодинамо на современном этапе, плохо описывают мелкомасштабную динамику потока жидкости, но могут в целом правильно описывать крупномасштабные динамо-процессы. Анализ, проведенный в работах [30-31] показывает, что численные результаты могут быть экстраполированы на магнитные поля планет и звезд с помощью довольно простых законов масштабирования. Не смотря на достигнутые за последние время успехи, численные исследования геодинамо (а также планетарных и звездных динамо) далеки от завершения и являются актуальной научной задачей.

Цели и задачи диссертационной работы

Целью диссертационной работы является усовершенствование локальных методов вычислительной магнитной гидродинамики и создание на их основе комплекса проблемно-ориентированных программ для математического моделирования геодинамо на вычислительных системах с гибридной архитектурой, а также использование разработанного

программного комплекса для проведения вычислительных экспериментов по исследованию различных аспектов модели геодинамо.

Задачи работы:

1. На основе метода контрольного объема и методов вычислительной электродинамики разработать модификацию метода решения начально-краевых задач на уравнение индукции магнитного поля в ортогональных криволинейных координатах, которая обеспечивает бездивергентность численного решения и возможность реализации вакуумных граничных условий.

2. Разработать алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения индукции магнитного поля с вакуумными граничными условиями на сферических поверхностях.

3. На основе разработанных подходов к решению уравнения индукции, создать комплекс программ для численного исследования геодинамо на гибридных вычислительных системах.

4. Провести комплексное тестирование разработанных и использованных вычислительных методов, алгоритмов и программного обеспечения на задачах с точным аналитическим решением и эталонных задачах численного геодинамо.

5. Провести вычислительные эксперименты по исследованию различных режимов естественной конвекции во вращающихся сферических слоях и процесса генерации магнитного поля в модели геодинамо.

Научная новизна

Научная новизна присутствует в трех областях исследования научной специальности 1.2.2.

Численные методы (п. 2 паспорта специальности 1.2.2).

1. Разработана новая консервативная схема дискретизации уравнения индукции магнитного поля в модели резистивной магнитной

гидродинамики. Новизна и оригинальность схемы дискретизации заключается в том, что в ней алгоритм переноса ограничения (CTA) обобщён на случай произвольных криволинейных ортогональных координат, а для аппроксимации индуктивной части электрического поля использована противопоточная схема с квадратичной интерполяцией (QUICK) в сочетании с методом отложенной коррекции. На основе разработанной схемы дискретизации получена модификация конечно-объемного метода решения начально-краевых задач для уравнения индукции магнитного поля в ортогональных криволинейных координатах, которая обеспечивает бездивергентность численного решения и возможность реализации вакуумных граничных условий.

2. Предложен новый алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения индукции магнитного поля с вакуумными граничными условиями на сферических поверхностях. Для решения уравнения индукции использована схема типа предиктор-корректор. Ключевой особенностью предложенного алгоритма решения задач с вакуумными граничными условиями является использование преобразования Кельвина для нахождения решения внешней краевой задачи на потенциал магнитного поля в диэлектрической области, окружающей проводник.

3. Проведено комплексное тестирование разработанных метода и алгоритма решения начально-краевых задач для уравнения индукции магнитного поля на задачах с точным аналитическим решением и эталонных задачах геодинамо. Результаты тестовых расчетов сопоставляются с данными, полученными с использованием зарубежных программных комплексов и альтернативных методов решения задач магнитной гидродинамики.

Комплексы программ (п. 3 паспорта специальности 1.2.2).

4. Создан комплекс проблемно-ориентированных программ CVMHD (Control Volume Magneto-HydroDynamics) для вычислительных экспериментов по математическому моделированию гидромагнитного динамо в сферических слоях на вычислительных системах с гибридной CPU/GPU архитектурой. Программный код комплекса CVMHD написан на языке CUDA Fortran. Комплекс имеет модульную архитектуру, которая обеспечивает хорошую степень расширяемости функционала. Комплекс адаптирован и оптимизирован для эффективного использования вычислительных ресурсов графических ускорителей, входящих в состав системы. В коде CVMHD реализованы: метод контрольного объема для решения задач гидродинамики и теплообмена, а также разработанные автором метод и алгоритм решения начально-краевых задач для уравнения индукции с вакуумными граничными условиями.

Математическое моделирование (п. 8 паспорта специальности 1.2.2).

5. Проведена серия вычислительных экспериментов по исследованию различных аспектов модели геодинамо. В широком диапазоне значений определяющих задачу параметров, исследовано влияние начальных условий на структуру конвективных течений и магнитных полей, а также интегральные характеристики установившихся квазистационарных решений. Методом продолжения по параметру исследовано влияние скорости вращения сферического слоя и величины архимедовой силы на структуру и тип симметрии установившегося решения, а также на значения теплового потока, кинетической и магнитной энергии. При исследовании переходных процессов в модели геодинамо получены новые нестационарные решения, в которых в процессе генерации энергия начального магнитного поля возрастает на

несколько порядков при выходе на установившийся квазистационарный

режим магнитогидродинамической конвекции.

Практическая значимость работы заключается в том, что созданный программный комплекс, может быть использован для проведения вычислительных экспериментов по исследованию различных моделей геодинамо и планетарного динамо с учетом многих факторов и определяющих параметров (тип граничных условий, переменное аспектное отношение, наличие внутренних источников тепла различной природы и т.д.). Разработанные в диссертации подходы к решению задач на уравнение индукции магнитного поля могут быть использованы для численного решения инженерных задач моделирования различных МГД-устройств.

Внедрение результатов исследований

Созданный программный комплекс используется в научно-исследовательской деятельности Сургутского филиала НИЦ «Курчатовский институт» - НИИСИ и при реализации образовательных программ по направлению подготовки «Прикладная математика и информатика» в БУ ВО «Сургутский государственный университет». В процессе работы над диссертацией автор принимал участие в качестве исполнителя в следующем проекте, связанном с темой диссертации: №13-01-12051 офи_м «Разработка эффективных итерационных алгоритмов и программного обеспечения для численного моделирования 3D задач физической кинетики и динамики сплошной среды на высокопроизводительных гетерогенных вычислительных системах».

Методология и методы исследования

Объектом исследования является гидромагнитное динамо.

Предметом исследования математическая модель геодинамо.

13

Методы исследования: вычислительные методы и алгоритмы магнитной гидродинамики, технологии параллельного программирования, вычислительный эксперимент.

Положения, выносимые на защиту

1. Модификация метода решения начально-краевых задач для уравнения индукции магнитного поля в ортогональных криволинейных координатах, включающая консервативную схему дискретизации уравнения индукции.

2. Алгоритм численного решения начально-краевых задач для уравнения индукции магнитного поля с вакуумными граничными условиями на сферических поверхностях.

3. Комплекс проблемно-ориентированных программ для математического моделирования МГД-течений и гидромагнитного динамо на вычислительных системах с гибридной архитектурой.

4. Результаты комплексного тестирования разработанных вычислительных методов, алгоритмов и программного обеспечения на задачах с точным аналитическим решением и эталонных задачах численного геодинамо.

5. Результаты исследования различных аспектов модели геодинамо: влияние начальных условий на структуру конвективных течений и магнитных полей, влияние скорости вращения сферического слоя и величины архимедовой силы на структуру и тип симметрии установившегося решения, а также на значения теплового потока, кинетической и магнитной энергии.

Степень достоверности и апробация результатов

Математическая модель геодинамо основана на теории гидромагнитного динамо, которая в свою очередь базируется на фундаментальных законах классической электродинамики и гидродинамики. Достоверность результатов обусловлена использованием обоснованной

математической модели, апробированных численных методов и алгоритмов, верификацией и валидацией разработанного программного обеспечения.

Апробация работы

Результаты работы докладывались и обсуждались на конференциях: Международная математическая конференция «Современные математические модели в энергетике», посвящённая памяти д.ф.-м.н., профессора В.А. Тупчиева (г. Обнинск, 2024 г.); Всероссийская конференция по математике и механике, посвящается 145-летию Томского государственного университета и 75-летию механико-математического факультета (г. Томск, 2023 г.); Международная конференция «Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложения к современным проблемам естествознания» (г. Обнинск, 2021 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (г. Новосибирск, 2019 г.); Всероссийская научная конференция «Информационные технологии и системы» (г. Ханты-Мансийск 2019 г.); Международная научная конференция «Актуальные проблемы вычислительной и прикладной математики» (г. Новосибирск, 2017 г.); XVI Международная конференция «Супервычисления и математическое моделирование» (г. Саров, 2016 г.); XXI Всероссийская конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики» (п. Абрау-Дюрсо, 2016 г.); Международная научная конференция «Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе» (г. Сургут 2014 г.); Международная научная конференция «Научный сервис в сети Интернет: все грани параллелизма» (п. Абрау-Дюрсо, 2013 г., 2014 г.); Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета (г. Томск, 2013 г.), а также на семинарах: Сургутского филиала НИЦ «Курчатовский институт» - НИИСИ, кафедры прикладной математики

Сургутского государственного университета, ТюмФ ИТПМ СО РАН, кафедры высшей математики НИЯУ МИФИ.

Публикации. По теме диссертации опубликовано 23 научных работы, среди них 4 статьи в рецензируемых изданиях, включенных в перечень ВАК РФ [32, 38-40], 2 статьи в журналах, индексируемых в базе данных SCOPUS [36, 38], 3 статьи в научных журналах, индексируемых в РИНЦ [33- 35], 1 статья в сборнике докладов всероссийской конференции [45],

2 статьи в сборниках докладов международных конференций [50, 53],

3 публикации в сборниках тезисов всероссийских конференций [42, 48, 54], 7 публикаций в сборниках тезисов международных конференций [41, 43, 44, 46, 47, 49, 51], свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ [52].

Личный вклад. Все результаты диссертационной работы получены автором самостоятельно, а именно выбор и формулировка математической модели, разработка численных методов и алгоритмов, разработка комплекса проблемно-ориентированных программ для вычислительных систем с гибридной архитектурой, отладка и тестирование комплекса, проведение серии вычислительных экспериментов и анализ их результатов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Объем диссертации - 156 страниц, включая 58 иллюстраций и 9 таблиц. Список цитируемой литературы содержит 1 23 наименования.

ГЛАВА 1 ОБЗОР ИССЛЕДОВАНИЙ В ОБЛАСТИ МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ ГИДРОМАГНИТНОГО

ДИНАМО

1.1. Проблема гидромагнитного динамо

В магнитной гидродинамике (МГД) изучается движение электропроводящих жидкостей (жидкие металлы, электролиты, плазма) в магнитном поле и эволюция магнитного поля, обусловленная этим движением. Спецификой магнитной гидродинамики является сложное взаимное влияние магнитного поля и течения проводящей жидкости, которая движется в этом магнитном поле. Течение проводящей жидкости в магнитном поле индуцирует в ней электрический ток, который изменяет магнитное поле и тем самым в свою очередь, влияет на движение жидкости.

Развитие МГД началось в первой половине прошлого века. В 1937 году Юлиус Хартманн (Гартман) теоретически и экспериментально исследовал влияние поперечного однородного магнитного поля на течение ртути в канале [55]. Основоположником теории МГД является шведский физик Ханнес Альвен лауреат Нобелевской премии 1970 года по физике за фундаментальные открытия в области магнитной гидродинамики и их применение в физике плазмы [56]. Дальнейшее развитие магнитной гидродинамики связано с решением фундаментальных проблем астрофизики, геофизики, физики плазмы, а также с многочисленными прикладными задачами в области атомной энергетики, управляемого термоядерного синтеза, металлургии и космической промышленности.

Магнитную гидродинамику можно рассматривать, как раздел электродинамики сплошных сред. Теоретические основы и приложения магнитной гидродинамики изложены в многочисленных отечественных [57- 60] и зарубежных монографиях [61-64]. Также, как и в механике сплошных сред в магнитной гидродинамике используется гипотеза сплошности, т.е. считается, что жидкость непрерывным, сплошным образом

заполняет некоторую область пространства. Основу теории МГД составляют классическая электродинамика и гидродинамика, а математическая модель строится на основе уравнения движения проводящей жидкости и уравнения магнитной индукции. В зависимости от рассматриваемой задачи указанная система уравнений дополняется уравнениями переноса других физических величин - температуры, концентрации и т. д. В магнитной гидродинамике выделяют два обширных раздела - идеальную и диссипативную магнитную гидродинамику. В идеальной МГД считается, что жидкость имеет бесконечную проводимость. Одним из наиболее важных следствий такого подхода является эффект «вмороженности» силовых линий магнитного поля в среду, т. е. среда при своем движении увлекает магнитное поле, и, наоборот, любая деформация - растяжение или сжатие - силовых линий поля приводит к аналогичной деформации структуры течения. В диссипативной МГД рассматриваются жидкости, имеющую конечную проводимость. В отличие от идеального случая, в диссипативных МГД-течениях возможен эффект «перезамыкания» силовых линий магнитного поля, т. е. замкнутые контуры силовых линий могут разрываться и пересоединяться друг с другом [65].

В классическом варианте магнитной гидродинамики рассматриваются изотропные проводящие среды, для которых полагается, что диэлектрическая е и магнитная ц проницаемости равны единице (т.е. е = 1, ц=1), а удельная электропроводность о - скалярная величина [60]. Также используется квазистационарное приближение для системы уравнений Максвелла, т.е. предполагается, что: скорость движения среды много меньше скорости света (и « с); электромагнитное поле меняется медленно, что позволяет пренебречь током смещения; среда электрически нейтральна (т.е. отсутствуют сторонние электрические заряды) [60]. В результате, уравнения Максвелла в модели МГД записываются в виде:

1дЯ

с Ы

= го^, (1.1)

4п

гоЬВ = —\, (1.2)

с

divE = 0, (1.3)

divB = 0. (1.4)

В нерелятивистском приближении, для движущейся со скоростью и среды, закон Ома, представлен формулой [60]:

]= а^Е + ^ихв). (1.5)

Можно исключить напряженность электрического поля из системы (1.1-1.4)

подействовав оператором ротор на уравнение (1.2) с учетом (1.5) и (1.1):

4п 4по ( 1

гоЬ(гоЬВ) = —той = -( гоЬЕ + -го^м х В)

с с \ с

4па( 1дВ 1

+ -гог(и х В)

с \ с dt с

и следовательно

dB 4па

— = rot(u хВ)--

dt у J с

или с учетом соленоидальности В

— = rot(u х В) - —^rotirotB) (1.6)

дВ

— = го^и х В) + утАВ, (1.7)

где ут = с2/4по - коэффициент магнитной вязкости. При отсутствии поверхностных токов и зарядов векторы магнитной индукции В и напряженности электрического поля Е должны быть непрерывны на поверхностях разрыва [60, 61]. Влияние магнитного поля на течение проводящей жидкости описывается силой Лоренца - / = ^ х В)/с = (гоЬВ х В) /4п. Таким образом, система уравнений резистивной магнитной гидродинамики вязкой несжимаемой проводящей жидкости имеет вид: ди 1 1

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Бычин Игорь Валерьевич, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Glatzmaier G. A. Numerical simulations of stellar convective dynamos. I. the model and method // Journal of Computational Physics. 1984. Т. 55. № 3. С. 461-484.

2. Matsui H. и др. Performance benchmarks for a next generation numerical dynamo model // Geochem. Geophys. Geosyst. 2016. Т. 17. № 5. С. 15861607.

3. Harder H., Hansen U. A finite-volume solution method for thermal convection and dynamo problems in spherical shells // Geophysical Journal International.

2005. Т. 161. № 2. С. 522-532.

4. Hejda P., Reshetnyak M. Control Volume Method for the Dynamo Problem in the Sphere with the Free Rotating Inner Core // Studia Geophysica et Geodaetica. 2003. Т. 47. № 1. С. 147-159.

5. Hejda P., Reshetnyak M. Control Volume Method for the Thermal Convection Problem in a Rotating Spherical Shell: Test on the Benchmark Solution // Studia Geophysica et Geodaetica. 2004. Т. 48. № 4. С. 741-746.

6. Chan K. H., Li L., Liao X. Modelling the core convection using finite element and finite difference methods // Physics of the Earth and Planetary Interiors.

2006. Т. 157. № 1-2. С. 124-138.

7. Jackson A. и др. A spherical shell numerical dynamo benchmark with pseudo-vacuum magnetic boundary conditions // Geophysical Journal International. 2014. Т. 196. № 2. С. 712-723.

8. Matsui H., Okuda B H. Development of a Simulation Code for MHD Dynamo Processes Using the GeoFEM Platform // International Journal of Computational Fluid Dynamics. 2004. Т. 18. № 4. С. 323-332.

9. Куликовский А.Г. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А.Г. Куликовский, Н.В. Погорелов,

А.Ю. Семенов. — Изд. 2-е, испр. и доп. — Москва : Физматлит, 2012. — 656 с.

10. Toth G. The VB=0 Constraint in Shock-Capturing Magnetohydrodynamics Codes // Journal of Computational Physics. 2000. Т. 161. № 2. С. 605-652.

11. Brackbill J. U., Barnes D. C. The Effect of Nonzero V ■ B on the numerical solution of the magnetohydrodynamic equations // Journal of Computational Physics. 1980. Т. 35. № 3. С. 426-430.

12. Iskakov A. B., Descombes S., Dormy E. An integro-differential formulation for magnetic induction in bounded domains: boundary element-finite volume method // Journal of Computational Physics. 2004. Т. 197. № 2. С. 540-554.

13.Balsara D. S., Spicer D. S. A Staggered Mesh Algorithm Using High Order Godunov Fluxes to Ensure Solenoidal Magnetic Fields in Magnetohydrodynamic Simulations // Journal of Computational Physics. 1999. Т. 149. № 2. С. 270-292.

14.Yee K. Numerical solution of initial boundary value problems involving maxwell's equations in isotropic media // IEEE Transactions on Antennas and Propagation. 1966. Т. 14. № 3. С. 302-307.

15. Evans C. R., Hawley J. F. Simulation of magnetohydrodynamic flows - A constrained transport method // ApJ. 1988. Т. 332. С. 659-677.

16. Водинчар Г. М., Крутьева Л. К. Маломодовая модель геодинамо // Вычислительные технологии. 2011. Т. 16. № 2. С. 35-44.

17. Feschenko L. Vodinchar G. Reversals in the large-scale aQ-dynamo with memory // Nonlin. Processes Geophys. 2015. vol. 22. pp. 361-369.

18. Водинчар Г. М., Годомская А. Н., Шереметьева О. В. Инверсии магнитного поля в динамической системе со стохастическими aQ-генераторами // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2017. № 4. С. 76-82.

19. Водинчар Г. М., Фещенко Л. К., Подлесный Н. В. Генерация комплексных каскадных моделей турбулентных систем методами

компьютерной алгебры // Вестник КРАУНЦ. Физ.-мат. науки. 2022. Т. 41. № 4. С. 9-31.

20. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. A three-dimensional self-consistent computer simulation of a geomagnetic field reversal // Nature. 1995. Т. 377. С. 203-209.

21. Kuang W., Bloxham J. On the dynamics of topographical core-mantle coupling // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1997. Т. 99. № 3-4. С. 289-294.

22. Glatzmaier G. A., Coe R. S. Magnetic Polarity Reversals in the Core // Treatise on Geophysics : Elsevier, 2007. С. 283-297.

23. Reshetnyak M. Yu. Reversals of the Geomagnetic Field: Constraint on Convection Intensity in the Earth's Core // Geomagn. Aeron. 2021. Т. 61. № 2. С. 266-271.

24. Reshetnyak M. Yu. Behaviour of the Geomagnetic Field during Reversals and Excursions // Moscow Univ. Phys. 2024. Т. 79. № 1. С. 107-112.

25. Kageyama A., Sato T. Generation mechanism of a dipole field by a magnetohydrodynamic dynamo // Phys. Rev. E. 1997. Т. 55. № 4. С. 46174626.

26. Kida S., Kitauchi H. Thermally Driven MHD Dynamo in a Rotating Spherical Shell // Prog. Theor. Phys. Suppl. 1998. Т. 130. С. 121-136.

27. Katayama J. S., Matsushima M., Honkura Y. Some characteristics of magnetic field behavior in a model of MHD dynamo thermally driven in a rotating spherical shell // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1999. Т. 111. № 1-2. С. 141-159.

28. Sakuraba A., Kono M. Effect of the inner core on the numerical solution of the magnetohydrodynamic dynamo // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1999. Т. 111. № 1-2. С. 105-121.

29.Olson P., Christensen U., Glatzmaier G. A. Numerical modeling of the

geodynamo: Mechanisms of field generation and equilibration // J. Geophys.

Res. 1999. Т. 104. № B5. С. 10383-10404.

145

30. Christensen U. R., Aubert J. Scaling properties of convection-driven dynamos in rotating spherical shells and application to planetary magnetic fields // Geophysical Journal International. 2006. Т. 166. № 1. С. 97-114.

31. Christensen U. R., Holzwarth V., Reiners A. Energy flux determines magnetic field strength of planets and stars // Nature. 2009. Т. 457. С. 167169.

32. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Численное исследование эволюции режимов гидромагнитного динамо во вращающемся сферическом слое при различных начальных условиях // Успехи кибернетики. 2023. Т. 4, № 3. С. 19-30. (Перечень ВАК)

33. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Схема дискретизации уравнения индукции на смещенных сетках в ортогональных криволинейных координатах // Успехи кибернетики. 2022. Т. 3. № 2. С. 60-73.

34. Бычин И.В. Тестирование магнитогидродинамического кода на задачах естественной конвекции и геодинамо // Успехи кибернетики. 2021. Т. 2. № 1. С. 6-13.

35. Галкин В.А., Гореликов А.В., Бычин И.В., Дубовик А.О., Ряховский А.В. Тестирование алгоритмов вычислительной магнитной гидродинамики на задаче с точным решением // Успехи кибернетики. 2020. Т. 1. № 4. С. 29-37.

36. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Численное решение начально-краевой задачи с вакуумными граничными условиями для уравнения индукции магнитного поля в шаре // Вестник Томского государственного университета. Математика и механика. 2020. № 64. С. 15-30. (Scopus)

37. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Исследование установившихся режимов естественной конвекции во вращающемся сферическом слое // Вопросы атомной науки и техники. Серия:

Математическое моделирование физических процессов. 2016. № 1. С. 48-59.

38. Bychin I.V., Galkin V.A., Gavrilenko T.V., Gorelikov A.V., Ryakhovsky A.V. Software for numerical simulation of convection in spherical shells for hybrid CPU/GPU computing systems // Mathematical Models and Computer Simulations. 2015. Т. 7. № 3. С. 271-280. (Перечень ВАК, Scopus)

39. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Моделирование естественной конвекции в сферическом слое с вращающимися границами // Вестник кибернетики. 2014. № 3 (15). С. 24-32. (Перечень ВАК)

40. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Тестирование программного комплекса для численного моделирования теплообмена и течения жидкости в сферических слоях // Вестник кибернетики. 2013. №2 12. С. 81-88. (Перечень ВАК)

41. Бычин И.В., Гореликов А.В. Численное исследование эффекта усиления начального магнитного поля в модели геодинамо // Международная математическая конференция «Современные математические модели в энергетике», посвящённая памяти профессора, д.ф.-м.н. В.А. Тупчиева (Обнинск, 25-26 октября 2024г.) : материалы конференции. М.: НИЯУ МИФИ. - 2024. - С. 59-60.

42. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Численное исследование некоторых режимов гидромагнитного динамо во вращающемся сферическом слое // Всероссийская конференция по математике и механике. Посвящается 145-летию Томского государственного университета и 75-летию механико-математического факультета: 2-5 октября, 2023 г., г. Томск : сб. материалов конференции. - Томск : STT, 2023. - С. 83-85.

43. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Тестирование

магнитогидродинамического кода на задачах геодинамо //

Математические идеи П.Л. Чебышёва и их приложения к современным

147

проблемам естествознания: сб. материалов Междунар. науч. конф., 1418 мая 2021 г., г. Обнинск. - Калуга, 2021. - С. 207-208. - URL: http: //www. chebconf. ru/wp-

content/uploads/2021/05/cheb21proc_2021_04_16.pdf.

44. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Численное решение уравнения индукции в задачах течения проводящей жидкости // Математика и информационные технологии в нефтегазовом комплексе: сб. трудов Междунар. науч. конф., 14-19 мая 2019 г., г. Обнинск. -Самара, 2019. - С. 199-203. - URL: http://www.chebconf.ru/wp-content/uploads/2019/12/cheb 19proc_xindy .pdf.

45. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Алгоритм численного решения начально-краевой задачи о размагничивании проводящего шара // Информационные технологии и системы: сб. трудов Всерос. науч. конф., 12-16 марта 2019 г., г. Ханты-Мансийск. - Ханты-Мансийск, 2019. - С. 32-35.

46. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Численное решение начально-краевой задачи с вакуумными граничными условиями для уравнения индукции магнитного поля // Марчуковские научные чтения - 2019. Тезисы Междунар. конференции. 2019. С. 109.

47. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Математическое моделирование МГД-конвекции вязкой несжимаемой жидкости с вакуумными граничными условиями// Международная конференция «Марчуковские научные чтения - 2017» (Новосибирск, 25 июня - 14 июля 2017 г.) : тез. докл. Новосибирск : ИВМиМГ СО РАН, 2017 С. 167.

48. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В., Галкин В.А. Моделирование естественной конвекции и МГД-течений // Теоретические основы конструирования численных алгоритмов и решение задач математической физики. Тезисы докладов XXI Всероссийской конференции и Молодежной школы-конференции,

посвященной памяти К. И. Бабенко. ИПМ им. М.В. Келдыша РАН. 2016. С. 72-73.

49. Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В. Численный алгоритм моделирования геодинамо с вакуумными граничными условиями // XVI Международная конференция «Супервычисления и математическое моделирование» (Саров, 3-7 октября 2016 г.) : тез. докл. Саров: РФЯЦ-ВНИИЭФ, 2016 С. 32

50. Бычин И.В. Исследование влияния вращения на естественную конвекцию в сферическом слое с использованием гибридной вычислительной системы // Научный сервис в сети Интернет: многообразие суперкомпьютерных миров. Труды Международной суперкомпьютерной конференции. РАН Суперкомпьютерный консорциум университетов России. 2014. С. 456-460.

51. Ряховский А.В., Бычин И.В., Гореликов А.В. Алгоритм численного моделирования конвекции в сферических слоях с вращающимися границами // Международная конференция, посвященная дню рождения великого русского математика академика П.Л. Чебышева. 2014. С. 3941.

52. Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2014661843 РФ. Программный комплекс численного моделирования 3D задач гидродинамики и теплообмена в сферических слоях на гибридных вычислительных системах : № 2014661843 : опубл. 14.11.2014 / Бычин И.В., Гореликов А.В., Ряховский А.В.

53. Бычин И.В., Гореликов А.В. Математическое моделирование гидродинамики и теплообмена в сферических слоях с использованием вычислений на графических процессорах // Научный сервис в сети Интернет: все грани параллелизма. Труды Международной суперкомпьютерной конференции. 2013. С. 170-175.

54. Бычин И.В., Гореликов А.В. Математическое моделирование

гидродинамики и теплообмена в сферических слоях с использованием

149

вычислений на графических процессорах // Всероссийская конференция по математике и механике, посвященная 135-летию Томского государственного университета и 65-летию механико-математического факультета (Томск, 02-04 октября 2013г.) : тез. докл. Томск : Иван Федоров, 2013, С. 57.

55. Hartmann J. Hg-Dynamics I. Theory of the Laminar Flow of an Electrically Conductive Liquid in a Homogeneous Magnetic Field // Mathematisk-fysiske Meddelelser. XV. 1937. Т. 15. № 6. С. 1-28.

56. Альвен,_Ханнес [Электронный ресурс] // Википедия. Свободная энциклопедия. — Режим доступа: https: //ru.wikipedia. org/wiki/Альвен,_Ханнес.

57. Ландау Л. Д. Теоретическая физика : учебное пособие / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц. — 4-е изд., стер. — Москва : ФИЗМАТЛИТ. — Том 8 : Электродинамика сплошных сред — 2005. — 656 с.

58. Зельдович Я. Б. Магнитные поля в астрофизике / Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкин Д. Д. Соколов, 2006 ; Ижевск : Институт компьютерных исследований : R&C Dynamics. 383 с.

59. Кирко И. М. Магнитная гидродинамика: современное видение. R&C Dynamics ; Ижевск : Институт компьютерных исследований, 2009. 630 с.

60. Черняк В. Г., Суетин П. Е. Механика сплошных сред: Учеб. пособ.: Для вузов. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2006 . - 352 с.

61. Каулинг Т. Магнитная гидродинамика / Пер. с англ. 1959. 132 с.

62. Davidson P. A. Introduction to Magnetohydrodynamics : Cambridge University Press, 2016. Изд. 2. 574 с.

63. Hosking R. J., Dewar R. L. Fundamental Fluid Mechanics and Magnetohydrodynamics. Singapore: Springer Singapore, 2016. 293 с.

64. Davidson P. A., Thess A. Magnetohydrodynamics : Springer Science & Business Media, 2002. 168 с.

65. Прист Э., Форбс Т. Магнитное пересоединение: магнитогидродинамическая теория и приложения / Пер. с англ. под ред. В.Д. Кузнецова, А.Г. Франк. - М.: ФИЗМАТЛИТ, 2005. - 592 с.

66. How Could a Rotating Body such as the Sun Become a Magnet? // A Source Book in Astronomy and Astrophysics, 1900-1975 / под ред. K. R. Lang, O. Gingerich : Harvard University Press, 1979. С. 106-107.

67. Cowling T. G. The Magnetic Field of Sunspots // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. 1933. Т. 94. № 1. С. 39-48.

68. Зельдович Я.Б. Магнитное поле при двумерном движении проводящей турбулентной жидкости // ЖЭТФ. - 1956. - Т. 31. - вып. 1. - С. 154-155.

69. Брагинский С.И. О самовозбуждении магнитного поля при движении хорошо проводящей жидкости // ЖЭТФ. - 1964. - Т. 47. - вып. 3. - С. 1084-1098.

70. Арнольд В.И. Несколько замечаний об антидинамо-теореме // Вестн. Моск. ун-та. Сер. 1. Матем., мех., 1982, № 6. С. 50-57.

71. Bullard E.C., Gellman H. Homogeneous dynamos and terrestrial magnetism // Phil. Trans. R. Soc. Lond. A. 1954. Т. 247. № 928. С. 213-278.

72. Backus G. A class of self-sustaining dissipative spherical dynamos // Annals of Physics. 1958. Т. 4. № 4. С. 372-447.

73. Моффат Г. К. Возбуждение магнитного поля в проводящей среде / Г. Моффат ; пер. с англ. А. А. Рузмайкина ; под ред. Б. Я. Зельдовича. - М.: Мир, 1980. - 339 с.

74. Пономаренко Ю. Б. К теории гидромагнитного динамо // Журн. прихл, мех и техн фнз, - 1973. - № 6. - С. 47-51.

75. Вайнштейн С.И. Турбулентное динамо в астрофизике / С. И. Вайнштейн, Я. Б. Зельдович, А. А. Рузмайкин. - М.: Наука. - 1980. -352 с.

76. Паркер Ю.Н. Космические магнитные поля, их образование и проявления : в 2 ч. / Ю. Н. Паркер ; пер. с англ. А. А. Рузмайкина, А. М.

Шукурова ; под ред. Я. Б. Зельдовича . - М.: Мир, 1982. - Ч. 1 - 608 с.; Ч. 2 - 479 с.

77. Краузе Ф., Рэдпер К.-Х. Магнитная гидродинамика средних полей и теория динамо. Пер. с англ. - М.1: Мир, 1984, 320 с.

78. Попова Е.П. Современные результаты асимптотических исследований моделей динамо // Успехи физических наук. 2016. Т. 186. № 6. С. 577596.

79. Соколов Д.Д., Степанов Р.А., Фрик П.Г. Динамо: на пути от астрофизических моделей к лабораторному эксперименту // Успехи физических наук. 2014. Т. 184. № 3. С. 313-335.

80. Treatise on geophysics / под ред. G. Schubert. Amsterdam, The Netherlands: Elsevier, 2015. Изд. 2. 5604 с.

81. Glatzmaier G. A., Roberts P. H. A three-dimensional convective dynamo solution with rotating and finitely conducting inner core and mantle // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 1995. Т. 91. № 1-3. С. 63-75.

82. Kageyama A., Sato T. Computer simulation of a magnetohydrodynamic dynamo II // Physics of Plasmas. 1995. Т. 2. № 5. С. 1421-1431.

83. Решетняк М.Ю. Моделирование в геодинамо. - Saarbrücken: Ламберт Академик Паблишинг, 2013.- 180 с.

84. Wicht J., Stellmach S., Harder H. Numerical Dynamo Simulations: From Basic Concepts to Realistic Models // Handbook of Geomathematics / под ред. W. Freeden, M. Z. Nashed, T. Sonar. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2010. С. 459-502.

85.Водинчар Г. М., Шевцов Б. М. Модель конвекции в сферическом вращающемся слое // Матем. моделирование. 2009. Т. 21. №7. С. 121128.

86.Водинчар Г. М., Крутьева Л. К. Модель маломодовой конвекции в сферической оболочке // Естественные и технические науки. 2010. Т. 5. № 4. С. 349-352.

87.Водинчар Г. М. Маломодовые модели конвекции в ядре Земли / Г. М. Водинчар, Л. К. Фещенко ; Камчатский государственный университет имени Витуса Беринга ; Институт космофизических исследований и распространения радиоволн ДВО РАН. - Петропавловск-Камчатский : Издательство КамГУ им. Витуса Беринга, 2013. - 113 с.

88.Ландау Л.Д. Гидродинамика : Учебное пособие / Л. Д. Ландау, Е. М. Лифшиц ; Под ред. Л. П. Питаевского. 5-е изд., стер. М. : Физматлит, 2001. 731 с.

89. Гершуни Г.З. Конвективная устойчивость несжимаемой жидкости / Г. З. Гершуни, Е. М. Жуховицкий. - М.: Наука, 1972. - 393 c.

90. Clune T. C. и др. Computational aspects of a code to study rotating turbulent convection in spherical shells // Parallel Computing. 1999. Т. 25. № 4. С. 361-380.

91. Dormy E., Cardin P., Jault D. MHD flow in a slightly differentially rotating spherical shell, with conducting inner core, in a dipolar magnetic field // Earth and Planetary Science Letters. 1998. Т. 160. № 1-2. С. 15-30.

92. Kageyama A., Watanabe K., Sato T. Simulation study of a magnetohydrodynamic dynamo: Convection in a rotating spherical shell // Physics of Fluids B: Plasma Physics. 1993. Т. 5. № 8. С. 2793-2805.

93.Kageyama A., Yoshida M. Geodynamo and mantle convection simulations on the Earth Simulator using the Yin-Yang grid // J. Phys.: Conf. Ser. 2005. Т. 16. № 1. С. 325-338.

94.Matsui H., Buffett B. A. Sub-grid scale model for convection-driven dynamos in a rotating plane layer // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2005. Т. 153. № 1-3. С. 108-123.

95.Fournier A. и др. A Fourier-spectral element algorithm for thermal convection in rotating axisymmetric containers // Journal of Computational Physics. 2005. Т. 204. № 2. С. 462-489.

96.Wicht J., Stellmach S., Harder H. Numerical Models of the Geodynamo: From

Fundamental Cartesian Models to 3D Simulations of Field Reversals //

153

Geomagnetic Field Variations. Berlin, Heidelberg: Springer Berlin Heidelberg, 2009. C. 107-158.

97.Christensen U. R. h gp. A numerical dynamo benchmark // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2001. T. 128. № 1-4. C. 25-34.

98. Gomes A. K. F. h gp. Adaptive two- and three-dimensional multiresolution computations of resistive magnetohydrodynamics // Adv Comput Math. 2021. T. 47. № 22. C. 1-29.

99.Hamid M., Usman M., Tian Z. Computational analysis for fractional characterization of coupled convection-diffusion equations arising in MHD flows // Appl. Math. Mech.-Engl. Ed. 2023. T. 44. № 4. C. 669-692.

100. Xu X., Ni G. A Finite Volume Method for the 3D Lagrangian Ideal Compressible Magnetohydrodynamics // J Sci Comput. 2022. T. 91. № 73. C. 1-27.

101. Reshetnyak M. Yu. Geodynamo Models // Radiophys Quantum El. 2019. T. 61. № 8-9. C. 537-544.

102. Kuslits L. h gp. An alternate representation of the geomagnetic core field obtained using machine learning // Earth Planets Space. 2024. T. 76. № 77. C. 1-41.

103. Babitha, Madhura K. R., Iyengar S. S. An investigation of Heat Transfer and Magnetohydrodynamics Flow of Fractional Oldroyd-B Nanofluid Suspended with Carbon Nanotubes // Int. J. Appl. Comput. Math. 2022. T. 8. № 133. C. 1-20.

104. Davies C. J., Constable C. G. Rapid geomagnetic changes inferred from Earth observations and numerical simulations // Nat Commun. 2020. T. 11. № 3371. C. 1-10.

105. Bono R. K. h gp. Young inner core inferred from Ediacaran ultra-low geomagnetic field intensity // Nature Geosci. 2019. T. 12. № 2. C. 143-147.

106. Driscoll P. Geodynamo recharged // Nature Geosci. 2019. T. 12. № 2. C. 83-84.

107. Aubert J., Finlay C. C. Geomagnetic jerks and rapid hydromagnetic waves focusing at Earth's core surface // Nat. Geosci. 2019. Т. 12. № 5. С. 393-398.

108. Reshetnyak M. Yu. Evolution of the Earth and Geodynamo // Izv. Atmos. Ocean. Phys. 2021b. Т. 57. № 7. С. 746-753.

109. Starchenko S. V., Smirnov A. Yu. Volume Currents of Present-Day Magnetic Dipole in the Earth's Core // Izv., Phys. Solid Earth. 2021. Т. 57. №2 4. С. 474-478.

110. Goruleva L. S., Prosviryakov E. Yu. A New Class of Exact Solutions to Magnetohydrodynamics Equations for Describing Convective Flows of Binary Fluids // Tech. Phys. 2023. Т. 68. № 10. С. 292-301.

111. Fluid Mechanics of Planets and Stars / под ред. M. Le Bars, D. Lecoanet. Cham: Springer International Publishing, 2020. 252 c.

112. Space and Astrophysical Plasma Simulation: Methods, Algorithms, and Applications / под ред. J. Büchner. Cham: Springer International Publishing, 2023. 441 c.

113. Petitdemange L. Systematic parameter study of dynamo bifurcations in geodynamo simulations // Physics of the Earth and Planetary Interiors. 2018. Т. 277. С. 113-132.

114. Wicht J., Sanchez S. Advances in geodynamo modelling // Geophysical & Astrophysical Fluid Dynamics. 2019. Т. 113. № 1-2. С. 2-50.

115. Patankar S. V. Numerical Heat Transfer and Fluid Flow : CRC Press, 1980. 214 c.

116. Versteeg H. K. An Introduction to Computational Fluid Dynamics / Versteeg H. K., W. Malalasekera. - Harlow: Pearson Education Limited, 2007. - 503 с.

117. Leonard B. P. A stable and accurate convective modelling procedure based on quadratic upstream interpolation // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. 1979. Т. 19. № 1. С. 59-98.

118. Scarpino M. OpenCL in action: how to accelerate graphics and computation. Shelter Island, NY: Manning, 2012. 434 с.

119. CVMHD: Control Volume Magneto-HydroDynamics code [Электронный ресурс] // Github-репозиторий программного комплекса CVMHD. — Режим доступа: https://github.com/BychinIV/CVMHD.git.

120. CUDA Fortran для инженеров и научных работников. Рекомендации по эффективному программированию на языке CUDA Fortran / Г. Рутш, М. Фатика. — 2-е изд. — М.: ДМК Пресс, 2023. — 365 с.

121. Marti P. и др. Full sphere hydrodynamic and dynamo benchmarks // Geophysical Journal International. 2014. Т. 197. № 1. С. 119-134.

122. Jackson A. и др. A spherical shell numerical dynamo benchmark with pseudo-vacuum magnetic boundary conditions // Geophysical Journal International. 2014. Т. 196. № 2. С. 712-723.

123. Портирование в CUDA Fortran [Электронный ресурс] // Сайт информационно-вычислительного центра Новосибирского государственного университета. — Режим доступа: http: //nusc. nsu. ru/wiki/doku. php/doc/pgi/cuda_fortran/cuda_fort