Численное моделирование динамики распределенных вихревых структур на плоскости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Филимонова Александра Михайловна

• Филимонова Александра Михайловна
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Филимонова Александра Михайловна

1.2 Динамика частиц

1.3 Частные решения уравнений динамики идеальной жидкости на плоскости

1.4 Планетарное вращение

Заключение к главе

2 Бессеточный спектрально-вихревой метод

2.1 Аппроксимация поля завихренности

2.2 Проекционный метод Бубнова-Галеркина для построения функции тока

2.3 Расчет динамики жидких частиц

2.4 Расчет локальных показателей Ляпунова

Заключение к главе

3 Алгоритмы метода и программная реализация

3.1 Генерация начального распределения частиц и поля завихренности

3.2 Расчет динамики вихревой конфигурации

3.2.1 Алгоритм аппроксимации поля завихренности

3.2.2 Вычисление коэффициентов разложения функции тока

3.2.3 Вычисление правых частей системы ОДУ

3.2.4 Решение задачи Коши для системы динамики жидких частиц

3.2.5 Общая схема алгоритма спектрально-бессеточного метода

3.3 Визуализация и анализ полученных результатов

3.3.1 Визуализация поля завихренности, линий функции тока и

поля скорости

3.3.2 Визуализация динамики жидких частиц и их траекторий

на плоскости

3.3.3 Визуализация поля ЛПЛ

Заключение к главе

4 Тестовые расчеты

4.1 Выбор параметров расчета

4.2 Динамика вихря Рэнкина

4.3 Динамика вихря Тейлора-Грина

4.4 Динамика диполя Чаплыгина-Ламба

Заключение к главе

5 Численный анализ динамики вихревых структур

5.1 Динамика и взаимодействия двух диполей Чаплыгина-Ламба

5.2 Динамика и адвекция пассивных частиц в вихревом паркете

5.2.1 Постановка вычислительных экспериментов

5.2.2 Результаты численного анализа динамики вихревого паркета

5.2.3 Адвекция частиц жидкости в вихревом паркете

5.3 Исследование влияния планетарного вращения на динамику вихревых структур

Заключение к главе

Заключение

Литература

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование динамики распределенных вихревых структур на плоскости»

Введение

Актуальность темы. Задачи вихревой динамики являются одними из основополагающих при решении различных задач геофизики, космологии, метеорологии, динамики атмосферы и океана. Для исследования перечисленных задач эффективным оказывается изучение уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости. В силу нелинейности уравнений многие задачи не удается решить аналитически. Для их решения и анализа требуется разработка эффективных методов компьютерного исследования с использованием возможностей многопроцессорной вычислительной техники. Для исследования формирования и динамики вихревых структур применяются численные методы, основанные на эйлеровых или лагранжевых подходах. Каждый из этих подходов имеет свои достоинства и недостатки. Такими методами являются различные варианты спектральных и разностных методов, а в последнее время широкое развитие получили различные варианты лагранжевых вихревых методов. В двумерном случае эти методы основываются на решении уравнений, определяющих распределение завихренности и поле скорости жидкости с течением времени. По известному полю завихренности, которое задается дискретно в жидких частицах в начальный момент времени, вычисляется скорость частиц. При этом завихренность переносится частицами пассивно и сохраняется в жидких частицах.

Вихревые методы получили наиболее естественно применяются в случае, когда течения рассматриваются на всей плоскости, так как существует явное выражение для скорости частицы через функцию Грина уравнения Пуассона. Для многих других областей течения явное выражение для функции Грина неизвестно. В этом случае уравнение Пуассона нужно решать численно. Примером такой области является замкнутый контейнер. Недостатком классического похода, основанного на явном выражении функции Грина, является его вычислительная сложность, которая оценивается величиной N2, где N количество

частиц. Одним из возможных способов ускорения алгоритмов является вычисление поля скорости менее затратными численными методами.

Актуальность диссертационной работы обусловлена важностью рассматриваемых задач для решения широкого класса проблем математического моделирования в вихревой динамике.

Целью диссертационного исследования является разработка эффективного численного метода для расчёта, количественного и качественного анализа динамики вихревых конфигураций в неограниченных областях и с периодическими по пространству течениями и изучения процессов перемешивания и мас-сопереноса в них.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

— проведен анализ существующих подходов и методов численного решения задач вихревой динамики;

— разработан численный метод расчета двумерных течений идеальной жидкости на плоскости для периодических по пространству течений;

— разработан комплекс программ для многопоточных компьютеров, реализующий созданные алгоритмы расчета и анализа динамики жидкости;

— разработаны и реализованы в виде комплекса программ алгоритмы качественного анализа структуры плоских течений и оценки интенсивности процессов массопереноса на основе развитого метода решения нестационарной плоской задачи динамики идеальной жидкости.

Методология исследования. Для численного моделирования применялись аналитические, численно-аналитические и вычислительные методы исследования, а также математическое моделирование с помощью вычислительного эксперимента. С использованием аналитических методов получены в явном виде спектральные аппроксимации уравнений в частных производных, правые части которых используются для описания динамики вихревых структур. Получены системы обыкновенных дифференциальных уравнений большого порядка. Задача Коши для этой системы обыкновенных дифференциальных уравнений решается псевдо-симплектическим методом Рунге-Кутта порядка точности 3(6), сохраняющим свойство симплектичности на два порядка выше, чем точность решения.

Для аппроксимации поля завихренности использовались два подхода. Первый состоял в приближении завихренности её значениями в жидких частицах, а второй в использовании кусочно-непрерывной аппроксимации расчетной области ячейками прямоугольной формы, в каждой из которых строится кубический полином, коэффициенты которого вычисляются при помощи метода наименьших квадратов. В случае первого подхода удается воспользоваться свойством пассивного переноса завихренности частицами для лучшего сохранения инвариантов. Второй подход позволяет использовать численно-аналитические методы для ускорения расчета поля скорости, которое, в свою очередь, приближается отрезком ряда Фурье с коэффициентами разложений, определяемыми аналитически при помощи глобального проекционного метода Бубнова-Галер-кина.

Основные положения, выносимые на защиту:

В области математического моделирования:

1. Разработаны математические модели реализации сценариев структуро-образования и взаимодействия вихревых конфигураций на плоскости (на основе уравнений Эйлера).

2. Разработаны математические модели исследования сценариев структу-рообразований, приводящих к существованию вихревых паркетов и стохастических паутин.

3. Созданы численные математические модели вихревых течений на плоскости.

В области численных методов:

1. Разработан вариант спектрально-вихревого бессеточного метода расчета динамики жидкости на всей плоскости в случае математической модели, использующей уравнения Эйлера динамики невязкой несжимаемой жидкости.

2. Разработаны методы качественного анализа структуры вихревых течений и их изменений во времени. Эти методы включают в себя расчет поля локальных показателей Ляпунова, анализ поля завихренности, линий уровня функции тока, поля скоростей и траекторий множества частиц на плоскости.

3. Разработаны численные методы математического моделирования для изучения процессов перемешивания и массопереноса в вихревых струк-

турах, включающие поиск финальных состояний, определение застойных и проточных зон течения.

В области программного обеспечения

1. Реализован численный метод расчета динамики жидкости на плоскости для многопоточных вычислений. Алгоритм представляет собой комплекс программ УБОупатюй, написанный на языке С++ с использованием технологии распараллеливания ОрепМР.

2. Реализован программный комплекс визуализации полученных результатов для пакета прикладных программ МЛТЬЛБ. Комплекс включает в себя построение всех составляющих математической модели в любой из временных моментов расчета: поля завихренности, поля скорости, поля функции тока, распределение жидких частиц в области.

3. Реализован программный комплекс для пакета прикладных программ МЛТЬЛБ, реализующий алгоритм анализа структуры вихревых течений, включающий в себя анализ полученных режимов и процессов перемешивания в жидкости, определение застойных зон, исследование траекторий частиц на всей плоскости течения.

Научная новизна:

1. Разработан спектрально-вихревой бессеточный метод для решения задачи моделирования течений жидкости на всей плоскости.

2. Создан программный комплекс для анализа нестационарных вихревых течений на всей плоскости на больших временах с использованием технологий параллельного программирования ОрепМР.

3. Реализованы и изучены сценарии формирования вихревых конфигураций на основе анализа математической модели динамики вихревых течений жидкости на всей плоскости. В результате обнаружены и изучены вихревые конфигурации в виде вихревого паркета и стохастических паутин на плоскости.

4. Исследована динамика частиц в вихревых паркетах. Изучены процессы массопереноса в вихревых структурах. Показано существование областей хаотической динамики частиц жидкости в виде стохастических паутин.

Теоретическая и практическая значимость. Исследование посвящено моделированию взаимодействия вихревых структур на плоскости. Теоретиче-

ская значимость исследования заключается в развитии методов численного моделирования нестационарных вихревых течений невязкой несжимаемой жидкости. Эти методы обеспечивают получение результатов с хорошей точностью при сравнительно малых вычислительных затратах. Практическую значимость составляет возможность использования разработанного комплекса программ для численного моделирования сложных вихревых течений в открытых областях с последующим анализом процессов массопереноса, условий образования застойных зон и визуализацией полученных результатов. Это может быть применено для прогнозирования развития вихревых структур в атмосфере, а также решения проблем астрофизики и метеорологии.

Достоверность полученных результатов достигается благодаря математически корректной постановке задачи и проверенным методам исследования. Результаты, полученные при численном моделировании классических вихревых конфигураций с известным аналитическим решением, подтверждают корректность и применимость используемых численных методов при решении задачи моделирования вихревых течений идеальной жидкости на плоскости. Часть исследований диссертационной работы была выполнена в рамках проектов РФФИ 14-01-00470 А, 19-29-06013 мк, РНФ 23-21-00371. Созданный комплекс программ зарегистрирован 28.08.2018 г., номер свидетельства о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2018660622.

Апробация работы. Основные результаты, полученные в ходе исследования в рамках диссертационной работы, апробированы в ходе 15 выступлений на научно-технических конференциях и семинарах, в том числе и международного уровня: Всероссийская школа-семинар «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете» (пос. Дивноморское, 2015-2018), «Международная конференция «Численное моделирование прибрежных шель-фовых и устьевых процессов» (г.Ростов-на-Дону, 2015), Всероссийская Молодежная школа-конференция «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики», посвященная памяти К. И. Бабенко (пос. Абрау-Дюрсо, 2016, 2018), Международная школа-семинар Workshop EuHIT School on Turbulence (Варшава, Польша, 2016), Международная конференция 8th European Postgraduate Fluid Dynamics Conference (Варшава, Польша, 2016), Международная конференция «Современные проблемы механики сплошной среды» (г. Ростов-на-Дону, 2016, 2018, 2020, 2023), XXIII

Международная конференция «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность» (г. Звенигород, 2018), XXVIII научная конференция «Современные информационные технологии: тенденции и перспективы развития» (г.Ростов-на-Дону, 2021), «Нелинейные дни в Саратове для молодых» (г.Саратов, 2023). Диссертационная работа апробирована на совместном заседании кафедр вычислительной математики и математической физики и теоретической и компьютерной гидроаэродинамики Института математики, механики и компьютерных наук им. И. И. Воровича ЮФУ.

Публикации и личный вклад автора. Основные результаты по теме диссертации изложены в 24 печатных изданиях, 3 из которых изданы в журналах из списка ВАК, индексируемых базами Scopus и Web of Science и «белого списка» РЦНИ [1-3], 4 статьи в сборниках трудов конференций [4-7] и 16 тезисов докладов [8-23]. Получено свидетельство о регистрации программы для ЭВМ [24]. Диссертанту принадлежат аналитические выкладки при построении численного метода, проведение вычислительных экспериментов и анализ полученных результатов численного моделирования. Математическая формулировка задачи, постановка вычислительных экспериментов принадлежат диссертанту и научному руководителю д.ф.-м.н. В. Н. Говорухину в равной степени.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения и приложения. Полный объём диссертации составляет 126 страниц с 36 рисунками и 5 таблицами. Список литературы содержит 135 наименований.

Обзор литературы

Задачи о течениях невязкой несжимаемой жидкости имеют широкое приложение в области гидродинамики, динамики океана [25; 26], и динамики атмосферы [27]. Исследование таких задач лежит в основе более сложных математических моделей при различных физических предположениях. Особый интерес вызывают течения в открытых областях с различными условиями протекания и в присутствии твердых тел. Это обуславливается широкой применимостью моделей идеальной несжимаемой жидкости в различных областях науки: анализ воздушных потоков в трубах, воздуховодах конечной длины [28; 29] и туннелях [30], исследование турбулентности [31; 32] и др.

Нестационарные вихревые структуры играют важную роль в атмосфере, геофизических процессах, массопереносе, возникновении и развитии турбулентности. Такие конфигурации могут состоять, например, из нескольких распределенных вихревых пятен с различными размерами, интенсивностью и направлением вращения. Исследование качественного изменения таких структур с течением времени позволяет изучить интенсивность и направление массопереноса, динамику жидкости, структурную устойчивость заданной конфигурации [33]. Все эти вопросы еще не до конца изучены. Для их исследования необходимы оценки качественных и количественных характеристик вихревых конфигураций в различные моменты времени, что требует разработки специальных численных алгоритмов.

Анализ вихревой динамики [34-36] важен для понимания многих природных процессов, их зависимости от характеристик среды. Для качественного исследования подобных задач и изучения влияния различных параметров математической модели на динамику вихревых структур эффективными являются методы теории бифуркаций [37; 38]. Сложные течения идеальной жидкости состоят из вихрей различной интенсивности, размеров, ориентации. Их расположение в каждый момент времени определяет свойства массопереноса, динамику жидкости, траектории частиц [37]. Эта задача актуальна как для понимания фундаментальных законов динамики жидкости, так и при решении конкретных задач, см. статью [39] и обзор литературы в ней. В динамике течение трансформируется, что приводит к качественным изменениям его свойств. Знание детальной структуры конфигурации позволяет исследовать процессы взаимодействия вихревых пятен [40], оценить и предсказать массоперенос в них [41].

Для решения класса таких задач, ввиду сложности, чаще всего используется численный анализ, основанный на эйлеровых или лагранжевых подходах. Широко распространены различные варианты лагранжевых вихревых методов [42-44]. В основе таких методов лежит решение уравнений, которые определяют распределение завихренности в поле скорости с течением времени. По заданному в начальный момент времени полю завихренности, вычисляется поле скорости жидких частиц. Предположение о том, что абсолютная завихренность переносится частицами пассивно является основополагающим в вихревых методах.

Наиболее широкое применение такие методы получили в случае плоских течений на всей плоскости, так как в рамках такой модели для скорости частицы существует явное выражение через функцию Грина уравнения Пуассона [45; 46]. Стоит отметить, что использование вихревых методов может значительно уменьшать вычислительную сложность метода: для расчета поля скоростей N частиц количество операций на каждом временном шаге будет пропорционально N2. Это позволяет рассматривать меньшее количество частиц, необходимых для расчета динамики. Однако, в случае некоторых областей явное выражение для функции Грина неизвестно. Например, в случае замкнутой области (краевых условий первого рода), уравнение Пуассона необходимо решать численно. В этом случае используют комбинированные эйлерово-лагранжевые методы «вихрей-в-ячейках» для ускорения процесса вычислений.

Современная вихревая теория берет свое начало с работы Г. Гельмгольца «Об интегралах уравнений гидродинамики, соответствующих вихревым движениями» [47]. В этой работе были доказаны основные теоремы о движении идеальной жидкости, в которых отсутствует однозначный потенциал скоростей. Именно такие движения жидкости Гельмгольц и назвал вихревыми. Также им была проведена аналогия между движениями жидкости и магнитным действием электрического тока. Описанное Гельмгольцем движение двух вихревых нитей, электродинамическая аналогия, а также приложение теории вихрей в метеорологии позднее были подробно описаны в лекциях Пуанкаре [48].

Вслед за Пуанкаре и Гельмгольцем, Кирхгхоф вывел общие уравнения движения N точечных вихрей, описанные ими в лекциях по математической физике [49], проанализировал движение вихревого кольца, а также дал более подробное описание случаю двух вихревых нитей, описанных у Гельмгольца. Кроме того, им был рассмотрен особый случай движения вихрей: когда параллельные вихревые нити заполняют собой внутреннюю часть эллиптического цилиндра. Было показано, что эллиптическая форма цилиндра сохраняется во время движения, при этом цилиндр в условиях такого движения деформируется. Такая модель была названа моделью вихря Кирхгофа или моделью эллиптического вихря и широко используется для исследования динамики пятен ненулевой завихренности.

Далее, уже в XIX веке, У. Томпсон предложил свою теорию вихревых атомов [50]. В основе этой теории весь мир представлен в виде некоторого эфи-

ра (который является аналогом невязкой несжимаемой жидкости), в котором вихри Гельмгольца (которые являются аналогом атомов, имеющих форму вихревого кольца), взаимодействуя, образуют молекулы. Такие микроскопические вихри объясняли гравитацию как результат их взаимодействия с большой скоростью. Однако эти идеи лорда У. Томпсона через некоторое время были вытеснены квантовой и атомной механикой.

Кроме формулировки этих идей, У. Томпсон также изучал вопрос устойчивости стационарного вращения системы N точечных вихрей [51; 52], расположенных в вершинах правильного Ж-угольника, проводя аналогию с проблемой устойчивости равновесия системы одинаковых плавающих магнитов в магнитном поле. А. М. Майер проводил эксперименты с плавающими магнитами [53-55], результаты которых позволили У. Томпсону сделать вывод об устойчивости: в случае, когда магнитов больше 5, вращение является неустойчивым. Эти эксперименты продолжались во многих работах В. Томсона [56;57], а также в работах современных ученых (см. [58] и ссылки в них).

Линейную устойчивость N точечных вихрей, расположенных в вершинах правильного Ж-угольника исследовал Дж. Дж. Томсон. Им было установлено, что при числе вихрей не превосходящем шести, движение является устойчивым [59]. Полный анализ устойчивости такой конфигурации был проведен позднее Т. Х. Хавелоком [60]. Он получил, что при числе вихрей п > 8 имеет место линейная неустойчивость, указав, что линейный анализ не позволяет сделать вывод об устойчивости для случая п = 7. Стоит отметить, что устойчивость этого случая была доказана в работе Л. Г. Куракина и В. И. Юдовича [58].

В работе [61] исследованы равномерно вращающиеся структуры, состоящие из 2 < п < 10 точечных вихрей. Проведенный анализ показал, что симметричные конфигурации содержат как устойчивые, так и неустойчивые структуры.

Среди современных источников, посвященных фундаментальным проблемам вихревой динамики, следует отметить работы Мамаева И. С. и Соколовского И. С. [62], Головкина И. А. и Головкина В. А. и Калявкина В.М. [63] , Сэффмена Ф. Дж. [64] и Гайфулина А. М. [65].

При численном решении задач двумерной вихревой динамики эффективными являются методы частиц, основанные на свойстве сохранения завихренности в частицах невязкой жидкости, см. книги [42; 43; 66] и ссылки в них. Их

достоинствами являются гибкость в аппроксимации неизвестных функций, отсутствие необходимости построения регулярной сетки и возможность детализации отдельных областей течения. В методах частиц завихренность задается в N движущихся частицах, а их скорость определяется из уравнения связи функции тока и завихренности. Имеется обоснование сходимости и оценки погрешности вихревых методов частиц, см. [67-72].

Для вычисления функции тока используются подходы, которые определяются областью течения, условиями на границе и иной спецификой задачи. Достаточно универсальными являются комбинированные эйлерово-лагранже-вы методы «вихрей-в-ячейках», которые позволяют сократить вычислительные затраты расчета и учесть разнообразные физические факторы, см. [73-77].

Для решения нестационарных задач динамики жидкости широко используются различные вихревые методы [43], [73], [78]. В данной работе для численного анализа динамики и взаимодействия вихревых структур применяется метод «вихрей-в-ячейках», предложенный и разработанный в работах [79] и [80]. В основе метода лежит решение уравнений, определяющих распределение поля завихренности. По восстановленному полю завихренности вычисляется поле скорости и все остальные характеристики течения жидкости. Описанная численная схема служит необходимым вычислительным инструментом для анализа динамики вихревой конфигурации, ее качественных и количественных изменений с течением времени, а также характеристик пассивного массопереноса.

Одним из предметов изучения в рамках диссертационного исследования является анализ динамики и адвекции в вихревом паркете [2]. Для исследования процессов взаимодействия и перемешивания рассматривалась структура, состоящая из симметрично расположенных вихревых пятен разной направленности, занимающая всю плоскость. Центры пятен расположены в узлах равномерной сетки. Изучалось влияние величины радиуса и взаимного расположения пятен разной направленности на динамику и формирование вихревых структур. Для оценки процессов взаимодействия и перемешивания исследовалось поле локальных показателей Ляпунова, которые являются современным инструментом численного анализа таких процессов.

Изучение динамики и процессов взаимодействия становится возможным, благодаря численным методам, основанным на теории динамических систем [81]. Это включает как методы качественной теории дифференциальных урав-

нений, так и алгоритмы анализа хаотической динамики. В диссертации предложен алгоритм комплексного анализа структур плоских течений идеальной жидкости на основе спектрально-вихревого бессеточного метода решения нестационарной задачи для уравнений Эйлера [1; 82].

Для численного исследования динамики вихревых структур широко используются модельные течения Колмогорова [83], в том числе и на бесконечной плоскости [84; 85], а также ЛБО-течения [86] и ОЛБО-течения [87]. ЛВС-течением является трехмерное стационарное течение идеальной несжимаемой жидкости, для которого выполняется условие коллинеарности поля скорости своему ротору (условие Бельтрами). Впервые это течение было изучено В. И. Арнольдом в 1965 г. СЛБС-течение является аналогом ЛВС-течения для сжимаемой жидкости. В описанных выше случаях исследуется модельное решение, в то время как задача динамики вихревого паркета и её решение в полных уравнениях до сих пор слабо изучены.

Известна возможность формирования квазистационарных структур в идеальной жидкости. Подобные структуры наблюдались в модельных задачах, что отражено в работах [87-89]. В частности, была обнаружена структура, обеспечивающая формирование так называемой стохастической паутины на плоскости. Наличие паутин обуславливает неравномерность пассивного переноса жидких частиц на плоскости и особые свойства массопереноса. Исследование динамики такой конфигурации проводилось при помощи варианта метода «вихрей-в-ячей-ках».

В работе Говорухина В .Н . [79] был описан вариант метода «вихрей в ячейках» для анализа нестационарных течений идеальной жидкости в контейнере при наличии протекания сквозь него и в предположении, что на границе контейнера для функции тока 'ф заданы краевые условия первого рода. В дальнейшем метод был развит в работах [90] и [80].

В рамках диссертационной работы этот метод был расширен для моделирования течений в неограниченных областях. Расчетной областью является прямоугольник со сторонами а и Ь, в предположении, что на границах области на функцию тока 'ф и её первую производную наложены периодические по обеим пространственным переменным краевые условия.

Глава 1

Математическая модель вихревой динамики на плоскости

В данной главе сформулированы основные уравнения движения идеальной жидкости постоянной плотности. В разделе 1.1 описана математическая модель вихревых течений на плоскости в терминах завихренности и функции тока. Приведены начальные и граничные условия. В разделе 1.2 приведены уравнения, описывающие динамику частиц жидкости на плоскости. В разделе 1.3 приведены некоторые примеры периодических по пространству точных решений уравнений Эйлера динамики идеальной жидкости (1.16), для которых известны явные аналитические выражения для функции завихренности ш(х,у) и функции тока 'ф(х,у). В разделе 1.4 описана математическая модель динамики идеальной жидкости в приближении 7-плоскости с учетом планетарного вращения.

1.1 Уравнения движения идеальной жидкости

Динамика идеальной жидкости постоянной плотности р описывается следующей системой уравнений:

сIV дv , _ 1 „

— = + (V ,У) V = — Ур , х

дЬ Ы к 7 р (1.1)

div V = 0.

Здесь д/д1 - частная производная по времени £; 4/41 - материальная производная по времени £; р плотность; V = у(х,у) скорость жидкости; р = р(х,у) давление. Первое уравнение системы является уравнением Эйлера связи скорости жидкости V и давления р, а второе условием несжимаемости.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Филимонова Александра Михайловна, 2025 год

Литература

1. Говорухин, В. Н. Расчет плоских геофизических течений невязкой несжимаемой жидкости бессеточно-спектральным методом / В. Н. Говорухин, А. М. Филимонова // Компьютерные исследования и моделирование. — 2019. — Т. 11, № 3. — С. 413-426.

2. Филимонова, А. М. Динамика и адвекция в вихревом паркете / А. М. Филимонова // Известия ВУЗов Прикладная нелинейная динамика. — 2019. — Т. 27, № 4. — С. 71-84.

3. Говорухин, В. Н. Анализ структуры плоских вихревых течений и их изменений во времени / В. Н. Говорухин, А. М. Филимонова // Вычислительная механика сплошных сред. — 2021. — Т. 14, № 4. — С. 367-376.

4. Говорухин, В. Н. Численный анализ динамики вихревых структур на Г-плоскости / В. Н. Говорухин, А. М. Филимонова // Труды XVIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Т. II. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2016. — С. 220-224.

5. Филимонова, А. М. Численное исследование формирования плоских вихревых структур в идеальной жидкости / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Труды XIX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Т. I. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2018. — С. 216-221.

6. Филимонова, А. М. Численное исследование динамики вихревого паркета на плоскости / А. М. Филимонова // Труды XIX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Т. I. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2020. — С. 247-251.

7. Филимонова, А. М. Анализ структуры вихревых течений и их изменений во времени / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Материалы XXVIII научной конференции СИТО-2021. — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2021. — С. 342-345.

8. Филимонова, А. М. Вариант метода вихрей в ячейках для расчета плоских течений идеальной несжимаемой жидкости / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов X Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2015. — С. 117.

9. Филимонова, А. М. Алгоритм решения уравнений вихревой динамики в геофизических приближениях / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов международной конференции «Численное моделирование прибрежных шельфовых и устьевых процессов». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2015. — С. 29.

10. Филимонова, А. М. Алгоритм анализа динамики и взаимодействия вихревых структур на Г-плоскости / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов «XXI Всероссийской Молодежной школы-конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики» (памяти К. И. Бабенко). — Москва: Издательство Института прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, 2016. — С. 119.

11. Филимонова, А. М. Численный анализ динамики и взаимодействия вихревых конфигураций на Г-плоскости / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов XI Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». — Москва: Издательство Института прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, 2016. — С. 130.

12. Filimonova, A. M. Numerical investigation of vortex dynamics in planar geophysical flows / A. M. Filimonova, V. N. Govorukhin // 8th European Postgraduate Fluid Dynamics Conference Book of Abstracts. — Warsaw: 2016. — P. 29.

13. Говорухин, В. Н. Численный анализ динамики вихревых структур на Г-плоскости / В. Н. Говорухин, А. М. Филимонова // Тезисы докладов XVIII Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2016. — С. 50.

14. Говорухин, В. Н. Алгоритмы анализа динамики распределенных вихревых конфигураций / В. Н. Говорухин, А. М. Филимонова // Тезисы докладов XII Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2017. — С. 33.

15. Филимонова, А. М. Численный анализ динамики и взаимодействия распределенных вихревых конфигураций на плоскости в геофизических приближениях / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов XXIII Международной конференции «Нелинейные задачи теории гидродинамической устойчивости и турбулентность». — Москва: Издательство Московского университета, 2018. — С. 282.

16. Филимонова, А. М. Численное моделирование динамики распределенных вихревых конфигураций на плоскости в геофизических приближениях / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов XIII Всероссийской школы-семинара «Математическое моделирование и биомеханика в современном университете». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2018. — С. 89.

17. Филимонова, А. М. Вариант бессеточного метода вихрей-в- ячейках для расчета динамики распределенных вихревых конфигураций / А. М. Филимонова // Тезисы докладов 17-й Международной молодежной научно-практическая конференции «Фундаментальные исследования, методы и алгоритмы Прикладной математики в технике, медицине и экономике». — Новочеркасск: Издательство Лик, 2018. — С. 65.

18. Филимонова, А. М. Численное исследование формирования плоских вихревых структур в идеальной жидкости / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Тезисы докладов XIX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2018. — С. 124.

19. Филимонова, А. М. Спектрально-бессеточный метод расчета плоской вихревой динамики невязкой несжимаемой жидкости / А. М. Филимонова,

B. Н. Говорухин // Тезисы докладов «XXII Всероссийской Молодежной школы-конференции «Теоретические основы и конструирование численных алгоритмов для решения задач математической физики» (памяти К. И. Бабенко). — Москва: Издательство Института прикладной математики им. М. В. Келдыша Российской академии наук, 2018. — С. 91.

20. Филимонова, А. М. Численное исследование динамики вихревого паркета на плоскости / А. М. Филимонова // Тезисы докладов XX Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2020. — С. 172.

21. Филимонова, А. М. Динамика маркерных частиц в вихревом паркете / А. М. Филимонова // Тезисы докладов XXI Международной конференции «Современные проблемы механики сплошной среды». — Ростов-на-Дону: Издательство ЮФУ, 2023. — С. 114.

22. Филимонова, А. М. Динамика пассивных частиц жидкости в вихревом паркете / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Материалы XXX Всероссийской научной конференции «Нелинейные дни в Саратове для молодых». — 2023. — С. 155-156.

23. Филимонова, А. М. Реализация метода вихрей в ячейках для расчета невязких плоских течений / А. М. Филимонова, В. Н. Говорухин // Мехмат: Студенческая наука 2015. Сборник в 2 частях. — 2015. — Т. 2. —

C. 100-101.

24. Филимонова, А. М. VSDynamics (Vortex Structure Dynamics) / А. М. Филимонова // Свидетельство о государственной регистрации программ для ЭВМ. — дата регистрации: 28.08.2018. — no. 2018660662.

25. Каменкович, В.М. Синоптические вихри в океане / В.М. Каменкович, М.Н. Котляков, А.С. Монин. — Ленинград: Гидрометеоиздат, 1982.

26. Козлов, В.В. Общая теория вихрей / В.В. Козлов. — Ижевск: РХД. Издательский дом «Удмурсткий университет», 1984.

27. Петвиашвили, В.И. Уединенные вихри в плазме и атмосфере / В.И. Петвиашвили, О.А. Похотелов. — Москва: Энергоатомиздат, 1989.

28. Wu, X. A direct numerical simulation study on the mean velocity characteristics in turbulent pipe flow / X. Wu, P. Moin // Journal of Fluid Mechanics.

— 2008. — Vol. 608. — Pp. 81-112.

29. Fazli, M. Computation of flow and heat transfer through channels with periodic dimple/protrusion walls using low-Reynolds number turbulence models / M. Fazli, M. Raisee // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. — 2019. — Vol. 29, no. 3. — Pp. 1178-1207.

30. Experimental and numerical study on low-frequency oscillating behaviour of liquid pool fires in a small-scale mechanically-ventilated compartment / M. Mense, Y. Pizzo, H. Pr'etrel, et al. // Fire Safety Journal. — 2019.

— Vol. 108.

31. The simulation of turbulent particle-laden channel flow by the Lattice Boltz-mann method / A. Banari, Y. Mauzole, T. Hara, et al // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — 2015. — Vol. 79, no. 10. — Pp. 493-513.

32. Wang, L. Analysis of the Lagrangian path structures in fluid turbulence / L. Wang // Physics of Fluids. — 2012. — Vol. 26, no. 4. — P. Статья 045104.

33. Dritschel, D.G. A general theory for two-dimensional vortex interactions / D.G. Dritschel // Journal of Fluid Mechanics. — 1995. — Vol. 293. — Pp. 269-303.

34. Мелешко, В.В. Динамика вихревых структур / В.В. Мелешко, М.Ю. Константинов. — Киев: Наукова думка, 1993.

35. Новиков, Е.А. Динамика и статистика системы вихрей / Е.А. Новиков // Журнал экспериментальной и теоретической физики. — 1975. — Vol. 68, no. 5. — Pp. 1868-1882.

36. Вилля, Г. Теория вихрей / Г. Вилля. — Москва-Ленинград: ОНТИ, 1936.

37. Журавлева, Е.Н. Численное исследование бифуркаций при спиральном течении жидкости со свободными границами / Е.Н. Журавлева,

В.В. Пухначев // Вычислительная механика сплошных сред. — 2014. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 82-90.

38. Hasan, M.S. Physics of bifurcation of the flow and heat transfer through a curved duct with natural and forced convection / M.S. Hasan, R.N. Mondal, G. Lorenzini // Chinese Journal of Physics. — 2020. — Vol. 67. — Pp. 428-457.

39. Колодежнов, В.Н. Плоское вихревое течение в цилиндрическом слое /

B.Н. Колодежнов // Вычислительная механика сплошных сред. — 2021. — Vol. 14, no. 2. — Pp. 159-170.

40. Cerretelli, C. The physical mechanism for vortex merging / C. Cerretelli,

C.H.K. Williamson // Journal of Fluid Mechanics. — 2003. — no. 475. — Pp. 41-77.

41. Comparison of Lagrangian and Eulerian frames of passive scalar turbulent mixing / P. Gotzfried, M. S. Emran, E. Villermaux, J. Schumacher // Physical Review Fluids. — 2019. — Vol. 4, no. 4. — P. Статья 044607.

42. Cottet, G.H. Vortex methods: Theory and practice / G.H. Cottet, P.D. Koumoutsakos. — Cambridge: Cambridge University Press, 1999.

43. Григорьев, Ю.Н. Численные методы «частицы-в-ячейках» / Ю.Н. Григорьев, В.А. Вшивков. — Новосибирск: Наука, 2000.

44. Hald, Ole. Convergence of vortex methods for Euler's equations. / Ole Hald, Vincenza Mauceri del Prete // Math. Comput. — 1978. — Vol. 32. — Pp. 791-809.

45. Koumoutsakos, P. Inviscid axisymmetrization of an elliptical vortex / P. Koumoutsakos // Journal of Computational Physics. — 1997. — Vol. 138, no. 2. — Pp. 821-857.

46. Strain, J. 2D vortex methods and singular quadrature rules / J. Strain // Journal of Computational Physics. — 1996. — Vol. 124, no. 1. — Pp. 131-145.

47. Helmholtz, H. Uber Integrale hydrodinamischen Gleichungen welche den Wirbelbewegungen entsprechen / H. Helmholtz // Journal fur die reine und angewandte Mathematik. — 1858. — Vol. 55. — Pp. 25-55.

48. Пуанкаре, А. Теория вихрей / А. Пуанкаре. — Ижевск: Издательство РХД, 2001. — P. 160.

49. Кирхгоф, Г. Механика. Лекции по математической физике / Г. Кирхгоф.

— Москва: АН СССР, 1962.

50. Thomson, W. On vortex atoms / W. Thomson // Phil. Mag. — 1867. — Vol. 34. — Pp. 15-24.

51. Thomson, W. The translatory velocity of a circular vortex ring / W. Thomson // Phil. Mag. — 1868. — Vol. 33. — Pp. 511-512.

52. Thomson, W. On vortex motion / W. Thomson // Trans. Royal Soc. Edinburgh. — 1875. — Vol. 4. — Pp. 115-128.

53. Mayer, A.M. Floating magnets / A.M. Mayer // Nature. — 1878. — Vol. 18.

— Pp. 258-260.

54. Mayer, A.M. Note on floating magnets / A.M. Mayer // Am. J. Sci. (Ser. 3).

— 1878. — Vol. 15. — Pp. 477-478.

55. Mayer, A.M. On the morphological laws of the configuration formed by magnets floating vertically and subjected to the attraction of a superposed magnet; with notes on some of the phenomena in molecular structure which these experiments may serve to explain and illustrate / A.M. Mayer // Phil. Mag. (Ser. 5). — 1879. — Vol. 7. — Pp. 98-108.

56. Thomson, W. Floating magnets [illustrating vortex systems] / W. Thomson // Nature. — 1878. — Vol. 18. — Pp. 13-14.

57. Thomson, W. Vortex statics / W. Thomson // Phil. Mag. (Ser. 5). — 1880.

— Vol. 10. — Pp. 97-109.

58. Куракин, Л.Г. Устойчивость стационарного вращения правильного вихревого многоугольника / Л.Г. Куракин, В.И. Юдович; Ed. by М. А.Соколовского А.В. Борисова, И. С.Мамаева. — Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003.

59. Thomson, J.J. A Treatise on the Motion of Vortex Rings / J.J. Thomson. — London: Macmillan, 1883. — P. 124.

60. Havelock, T.H. The stability of motion of rectilinear vortices in ring formation / T.H. Havelock // Phil. Mc. — 1931. — Vol. 11, no. 70. — Pp. 617-633.

61. Равномерно-вращательные конфигурации точечных вихрей / Х. Ареф, В.В. Мелешко, А.А. Губа, А.А. Гуржий // Прикладна г1дромехан1ка. — 2007. — Vol. 9, no. 2-3. — Pp. 5-24.

62. Борисов, А.В. Фундаментальные и прикладные проблемы вихрей /

A.В. Борисов, И.С. Мамаев, И.С. Соколовский. — Москва - Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003. — Pp. 414-440.

63. Головкин, М.А. Вопросы вихревой гидромеханики / М.А. Головкин,

B.А. Головкин, В.М. Калявкин. — Москва: Физ.- мат. лит., 2009. — P. 264.

64. Сэффмен Ф.Дж, А.Г. Динамика вихрей / А.Г. Сэффмен, Ф.Дж. — Москва: Научный мир, 2000. — P. 376.

65. Гайфуллин, А.М. Исследование вихревых структур, образующихся при обтекании тел жидкостью и газом / А.М. Гайфуллин. — Москва: Издательство отд. ЦАГИ, 2006. — P. 139.

66. Белоцерковский, С.М. Моделирование турбулентных струй и следов на основе метода дискретных вихрей / С.М. Белоцерковский, А.С. Гиневский.

— Москва: Физматлит, 1995.

67. Hald, O.H. Convergence of vortex methods for Euler's equations. II / O.H. Hald // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1979. — Vol. 16.

— Pp. 726-755.

68. Beale, J. Vortex methods. II: Higher order accuracy in two and three dimensions / J. Beale, A. Maida // Mathematics of Computation. — 1982. — Vol. 39.

— Pp. 29-52.

69. Anderson, C. On vortex methods / C. Anderson, C. Greengard // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1985. — Vol. 22. — Pp. 413-440.

70. Liu, J. Convergence of vortex methods for weak solutions to the 2D euler equations with vortex sheet data / J. Liu, Z. Xin // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1995. — Vol. 48, no. 6. — Pp. 611-628.

71. Liu, J.G. Convergence of a Galerkin method for 2-D discontinuous Euler flows / J.G. Liu, Z. Xin // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 2000. — Vol. 53, no. 6. — Pp. 786-798.

72. Сарпкайя, Т. Вычислительные методы вихрей. Фримановская лекция / Т. Сарпкайя // Современное машиностроение, серия А. — 1989. — no. 10.

— Pp. 1-60.

73. Дынникова, Г.Я. Использование быстрого метода решения «задачи N тел» при вихревом моделировании течений / Г.Я. Дынникова // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2009. — Vol. 49, no. 8. — Pp. 1458-1465.

74. Mohammadian, A. A «vortex in cell» model for quasi-geostrophic, shallow water dynamics on the sphere / A. Mohammadian, J. Marshall // Applied Numerical Mathematics. — 2010. — Vol. 32, no. 3-4. — Pp. 132-142.

75. Wang, C. A semi-Lagrangian Vortex-In-Cell method and its application to high-Re lid-driven cavity flow / C. Wang, J. Sun, Y. Ba // International Journal of Numerical Methods for Heat and Fluid Flow. — 2017. — Vol. 27, no. 6.

— Pp. 1186-1214.

76. Harlow, F. The particle-in-cell computing method for fluid dynamics / F. Harlow // Methods in computational physics. — 1964. — Vol. 3. — Pp. 319-343.

77. Li, Shaofan. Meshfree and particle methods and their applications / Shaofan Li, Wing Kam Liu // Applied Mechanics Reviews. — 2002. — 01. — Vol. 55, no. 1.

— Pp. 1-34.

78. Cottet, G.-H. Vortex methods with Spatially varying cores / G.-H. Cottet, P.D. Koumoutsakos, M.L.O. Salihi // Journal of Computational Physics. — 2000. — Vol. 162. — Pp. 164-185.

79. Говорухин, В.Н. Вариант метода вихрей в ячейках для расчета плоских течений идеальной несжимаемой жидкости / В.Н. Говорухин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2011. — Vol. 51, no. 6. — Pp. 1133-1147.

80. Говорухин, В.Н. Численный анализ динамики распределенных вихревых конфигураций / В.Н. Говорухин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2016. — Vol. 56, no. 8. — Pp. 1491-1505.

81. Wiggins, S. The dynamical systems approach to Lagrangian transport in oceanic flows / S. Wiggins // Annual Review of Fluid Mechanics. — 2005. — no. 37.

— Pp. 295-328.

82. Юдович, В.И. Нестационарные течения идеальной несжимаемой жидкости / В.И. Юдович // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1963. — Vol. 3, no. 6. — Pp. 1032-1066.

83. Ревина, С.В. Устойчивость течения Колмогорова и его модификаций / С.В. Ревина // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2017. — Vol. 57, no. 6. — Pp. 1003-1022.

84. Fortova, S.V. Numerical simulation of the Kolmogorov flow under the influence of the periodic field of the external force / S.V. Fortova, E.I. Oparina, M.S. Belotserkovskaya // Journal of Physics: Conference Series. — 2018. — Vol. 1128, no. 012089.

85. Chai, J. Late dynamics of large-scale vortices in periodic two-dimensional flows / J. Chai, Le Fang // Physics Letters A. — 2021. — 12. — Vol. 426.

— P. 127889.

86. Chaotic Streamlines in the ABC Flows / T. Dombre, U. Frisch, J.M. Greene et al. // Journal of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 167, no. 353-391.

87. Chaotic advection in compressible helical flow / V.N. Govorukhin, A.B. Morgulis, V.I. Yudovich, G.M. Zaslavsky // Physical review E. — 1999.

— Vol. 60, no. 3. — Pp. 2788-2798.

88. Минимальный хаос, стохастическая паутина и структуры с симметрией типа «квазикристалл» / Г.М. Заславский, Р.З. Сагдеев, Д.А. Усиков, А.А. Черников // Успехи физических наук. — 1988. — Vol. 156, no. 2.

— Pp. 193-251.

89. Zaslavky, G.M. The physics of chaos in hamiltonian systems. Second edition / G.M. Zaslavky. — Imperial College Press, 2007.

90. Говорухин, В.Н. О выборе метода интегрирования уравнений движения множества жидких частиц /В.Н. Говорухин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2014. — Vol. 54, no. 4. — Pp. 177-190.

91. Ландау, Д.Д. Теоретическая физика: Учебное пособие / Д.Д. Ландау, Е.М. Лифшиц. — Москва: Наука, 1986. — Vol. VI. Гидродинамика.

92. Tryggeson, Henrik. Analytical Vortex Solutions to the Navier-Stokes Equation / Henrik Tryggeson. — Goteborg: Vaxjo University Press, 2007. — P. 108.

93. Kato, Tosio. On classical solutions of the two-dimensional non-stationary Euler equation / Tosio Kato // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1967. — Jan. — Vol. 25, no. 3. — Pp. 188-200.

94. Small-scale structure of the taylor-green vortex / M.E. Brachet, D.I. Meiron,

B.G. Nickel, et al. // Journal of Fluid Mechanics. — 1983. — Vol. 130. — Pp. 411-452.

95. Shirokov, I.A. Simulation of laminar-turbulent transition in compressible Taylor-Green flow basing on quasi-gas dynamic equations / I.A. Shirokov, T.G. Elizarova // Journal of Turbulence. — 2014. — Vol. 15, no. 10. — Pp. 707-730.

96. Jonnalagadda, A. Single relaxation time entropic lattice Boltzmann methods: A developer's perspective for stable and accurate simulations / A. Jonnalagadda, A. Sharma, A. Agrawal // Computers and Fluids. — 2021. — Vol. 215.

97. Lamb, H. Hydrodynamics / H. Lamb. — Cambridge: Cambridge University Press, 1932.

98. Чаплыгин, С.А. Один случай вихревого движения жидкости /

C.А. Чаплыгин // Труды отд. физ. наук Императ. Моск. общ. любителей естествознания. — 1903. — Vol. 11, no. 2. — Pp. 11-14.

99. Педлоски, Д. Геофизическая гидродинамика / Д. Педлоски. — Москва: Мир, 1984. — Vol. 1,2.

100. Должанский, Ф.В. Лекции по геофизической гидродинамике / Ф.В. Должанский. — Москва: Издательство ИВМ РАН, 2006. — P. 378 c.

101. Богомолов, В.А. Динамика завихренности на сфере / В.А. Богомолов // Известия АН. СССР Механика жидкости и газа. — 1977. — no. 6. — Pp. 57-65.

102. Kajishima, Takeo. Numerical Simulation of Incompressible Flows / Takeo Ka-jishima, Kunihiko Taira // Computational Fluid Dynamics: Incompressible Turbulent Flows. — Cham: Springer International Publishing, 2017. — Pp. 73-145.

103. Кирякин, В.Ю. О сходимости вихревого численного метода решения 3-х мерных уравнений Эйлера в Лагранжевых координатах / В.Ю. Кирякин, А.В. Сетуха // Дифференциальные уравнения. — 2007. — Vol. 43, no. 9. — Pp. 1263-1276.

104. Govorukhin, V.N. Numerical study of an inviscid incompressible flow through a channel of finite length / V.N. Govorukhin, K.I. Ilin // Int. J. Numer. Methods Fluids. — 2009. — Vol. 60. — Pp. 1315-1333.

105. Govorukhin, V.N. Meshfree Method for the Analysis of Planar Flows of Inviscid Fluids / V.N. Govorukhin // Lecture Notes in Computational Science and Engineering. — 2013. — Vol. 89. — Pp. 171-180.

106. Kazhikhov, A.V. Nonstationary problems of ideal-fluid penetration through a bounded region. / A.V. Kazhikhov, V.V. Ragulin // Sov. Phys., Dokl. — 1980. — Vol. 25. — Pp. 95-97.

107. Говорухин, В.Н. Стационарные вихревые структуры при протекании идеальной жидкости через канал / В.Н. Говорухин // Известия РАН: Механика жидкости и газа. — 2012. — no. 2. — Pp. 11-22.

108. Говорухин, В.Н. Параллельная реализация бессеточного метода расчета течений идеальной несжимаемой жидкости / В.Н. Говорухин //

Вычислительные методы и программирование. — 2017. — Vol. 18, no. 2. — Pp. 175-186.

109. Liu, G.R. An introduction to meshfree methods and their programming / G.R. Liu, Y.T. Gu. — 2005. — Pp. 1-479.

110. Leonard, A. Vortex methods for flow simulation / A. Leonard // Journal of Computational Physics. — 1980. — Vol. 37, no. 3. — Pp. 289-335.

111. Chen, J.-S. Meshfree methods: Progress made after 20 years / J.-S. Chen, M. Hillman, S.-W. Chi // Journal of Engineering Mechanics. — 2017. — Vol. 143, no. 4.

112. Vera, E.Ch. On cubic spline approximations for the vortex patch problem / E.Ch. Vera, T.Ch. Rebollo // Applied Numerical Mathematics. — 2001. — Vol. 36. — Pp. 359-387.

113. Govorukhin, Vasily N. An extended and improved particle-spectral method for analysis of unsteady inviscid incompressible flows through a channel of finite length / Vasily N. Govorukhin // International Journal for Numerical Methods in Fluids. — Vol. 95, no. 4. — Pp. 579-602.

114. Gelfgat, Alexander. Global Galerkin Method for Stability Studies in Incompressible CFD and Other Possible Applications / Alexander Gelfgat // Computational Modelling of Bifurcations and Instabilities in Fluid Dynamics / Ed. by Alexander Gelfgat. — Cham: Springer International Publishing, 2019. — Pp. 353-398.

115. Guermond, J.L. An overview of projection methods for incompressible flows / J.L. Guermond, P. Minev, Jie Shen // Computer Methods in Applied Mechanics and Engineering. — 2006. — Vol. 195, no. 44. — Pp. 6011-6045.

116. Orszag, Steven A. Numerical Simulation of Incompressible Flows Within Simple Boundaries. I. Galerkin (Spectral) Representations / Steven A. Orszag // Studies in Applied Mathematics. — 1971. — Vol. 50. — Pp. 293-327.

117. Nguyen, N.C. Hybridizable discontinuous Galerkin methods for partial differential equations in continuum mechanics / N.C. Nguyen, J. Peraire // JOURNAL

OF COMPUTATIONAL PHYSICS. — 2012. — JUL 15. — Vol. 231, no. 18. — Pp. 5955-5988.

118. Dumbser, M. A staggered semi-implicit spectral discontinuous Galerkin scheme for the shallow water equations / M. Dumbser, V. Casulli // Applied Mathematics and Computation. — 2013. — Vol. 219, no. 15. — Pp. 8057-8077.

119. Hamming, R.W. Numerical Methods for Scientists and Engineers / R.W. Hamming, R.W. Hamming. Dover books on engineering. — Dover, 1986.

120. Sanz-Serna, J.M. Numerical Hamiltonian problems. / J.M. Sanz-Serna, M.P. Calvo. — London: Chapman & Hall, 1994.

121. Aubry, A. Pseudo-symplectic Runge-Kutta methods / A. Aubry, P. Chartier // BIT. — 1998. — Vol. 38, no. 3. — Pp. 439-461.

122. Shadden, S. Definition and properties of Lagrangian coherent structures from finite-time Lyapunov exponents in two-dimensional aperiodic flows / S. Shadden, F. Lekien, J. Marsden // Physics D: Nonlinear Phenomena. — 2005. — Vol. 212, no. 3-4. — Pp. 271-304.

123. Haller, G. Geodesic theory of transport barriers in two-dimensional flows / G. Haller, F.G. Beron-Vera // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2012. — Vol. 241, no. 20. — Pp. 1680-1702.

124. Nonlinear dynamics of the actuated fluidic pinball — Steady, periodic, and chaotic regimes / Nan Deng, Bernd R. Noack, Guy Y. Cornejo Maceda, Luc R. Pastur // Chaos, Solitons and Fractals. — 2025. — Vol. 193. — P. 116075.

125. A modified neural network method for computing the Lyapunov exponent spectrum in the nonlinear analysis of dynamical systems / T.V. Yakovleva, A.V. Krysko, V.V. Dobriyan, V.A. Krysko // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2025. — Vol. 140. — P. 108397.

126. Haller, G. Finding finite-time invariant manifolds in two-dimensional velocity fields / G. Haller // Chaos. — 2000. — Vol. 10, no. 1. — Pp. 99-108.

127. Rankine, W. A. A manual of applied mechanics / W. A. Rankine. — London: C. Griffin and Co, 1858.

128. The Taylor-Green Vortex and Fully Developed Turbulence / M.E. Brachet, M. Meiron, S. Orszag et al. // Journal of Statistical Physics. — 1984. — Vol. 34, no. 5/6. — Pp. 1049-1063.

129. Елизарова, Т.Г. Ламинарный и турбулентный режимы распада вихря Тейлора-Грина / Т.Г. Елизарова, И.А. Широков. — 1984. — Vol. 34. — Pp. 1049-1063.

130. Diosady, L.T. Case 3.3: Taylor-Green Vortex Evolution / L.T. Diosady, S.M. Murman // Case summary for 3rd International workshop on Higher-Order CFD Methods. — Kissimmee, FL: 2015. — Pp. 1049-1063.

131. Direct simulation of vortex dynamics of multi-cellular Taylor-Green vortex by pseudo-spectral method / Tapan K. Sengupta, Ankan Sarkar, Bhavna Joshi et al. // European Journal of Mechanics - B/Fluids. — 2024. — Vol. 108. — Pp. 226-236.

132. Anderson, Christopher. On vortex methods. / Christopher Anderson, Claude Greengard // SIAM Journal of Numerical Analysis. — 1985. — Vol. 22. — Pp. 413-440.

133. van Heijst, G. J. F. Dipole formation and collisions in a stratified fluid / G. J. F. van Heijst, J. B. Flor // Nature. — 1989. — Vol. 340, no. 6230. — Pp. 212-215.

134. Kizner, Z. Rotating multipoles on the f- and 7-planes / Z. Kizner, R. Khvoles, J.C. McWilliams // Physics of Fluids. — 2007. — Vol. 17. — P. 016603.

135. Van Heijst, G. Topography effects on vortices in a rotating fluid / G. Van Heijst // Meccanica. — 1994. — Vol. 29, no. 4. — Pp. 431-451.

Список рисунков

3.1 Генерация начального распределения N жидких частиц в расчетной области D. Черным цветом отмечены частицы, расположенные в начальный момент времени в узлах равномерной сетки, а красным частицы, распределенные случайным образом, каждая из которых трижды симметрично отображена относительно центра области D.............................. 42

3.2 Общая схема спектрально-бессеточного метода........... 51

4.1 Невязка поля завихренности (4.2) при разбиении расчетной области D на 10 х 10 ячеек......................... 59

4.2 Невязка поля завихренности (4.2) при разбиении расчетной области D на 35 х 35 ячеек......................... 59

4.3 Начальное распределение завихренности вихря Рэнкина (4.6) . . 61

4.4 Динамика вихря Рэнкина (4.6) в моменты времени t = 16, 24, 32,

40..................................... 62

4.5 Функция тока ф(х,у) (1.23) и невязка вектора скорости 6V (4.1) вихря Тейлора-Грина для эксперимента TG1 при а =1, b =1,

i = 1, j = 1 в моменты времени t = 0 (а), 180 (б), 220 (в), 300 (г) 64

4.6 Функция тока ф(х,у) (1.23) и невязка вектора скорости 6V (4.1) вихря Тейлора-Грина для эксперимента TG4 при а = 3.5, b =1,

i = 1, j = 1 в моменты времени t = 0 (а), 150 (б), 220 (в), 300 (г) 65

4.7 Функция тока ф(х,у) (1.23) и невязка вектора скорости 6V (4.1) вихря Тейлора-Грина для эксперимента TG6 при а = 5, b =1,

г = 1, j = 1 в моменты времени t = 0 (а), 150 (б), 220 (в), 300(г) . 66

4.8 Невязка вектора скорости (1.22) - (1.23) при г = j = 1 для экспериментов TG1-TG6 (Таблица 4.3) .................. 67

4.9 Линии тока диполя Ламба в начальный и конечный моменты времени: a) t = 0, b) t = 350. За t G [0,350] диполь прошел через границы области D десять раз вдоль оси абсцисс и вернулся в исходную точку............................. 68

4.10 Невязка нормы вектора скорости (4.1) для t G [0,100]....... 69

4.11 Траектории центров завихренности диполя Чаплыгина-Ламба на плоскости для t G [0,350] ....................... 70

5.1 Начальное распределение завихренности и0(х,у) двух диполей Ча-плыгина-Ламба: (a) (0:1,2,^1,2) = (±4,0); (b) (01,^1) = (2,0); (02,^2) = (-2,1) в начальный момент времени £q = 0. Синим цветом отмечены частицы жидкости с ш(ж, у) < 0, оранжевым ^(ж, у) > 0............................. 73

5.2 Распределение завихренности на плоскости (ж,у) при взаимодействии двух диполей Чаплыгина-Ламба при (о1,2,^1,2) = (±4,0) в моменты времени t = 0, 38, 90, 188, 225, 240. Синим цветом отмечены частицы жидкости с ш(ж, у) < 0, оранжевым ^(ж, у) > 0............................. 74

5.3 Линии уровня функции тока при взаимодействии двух диполей Чаплыгина-Ламба при (о1,2,^1,2) = (±4,0) в моменты времени t = 0, 38, 90, 188, 225, 240 .................... 75

5.4 Поле ЛПЛ двух диполей Чаплыгина-Ламба при (о1,2,А,2) = (±4,0) в моменты времени t = 0,38,90,188, 225, 240 ........ 76

5.5 Траектории центров двух диполей Чаплыгина-Ламба (1.24) при (о1,2,^1,2) = (±4,0) на всей плоскости на временном промежутке

t G [0, 250]................................ 77

5.6 Траектории центров двух диполей Чаплыгина-Ламба (1.24) при (о1,^1) = (2,0); (о2,^2) = (-2,1) на всей плоскости на временном промежутке t G [0,1500]........................ 78

5.7 Начальное распределение завихренности ш и линии тока ф для экспериментов I-IV (см. таблица 5.1................. 82

5.8 Зависимость среднего значения кинетической энергии К (5.2) от времени t для экспериментов I-IV.................. 83

5.9 (а) — (d) Распределение завихренности на плоскости (х,у) и (е) — (h) величина ЛПЛ в моменты времени t = 25, 68, 240, 500 для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5.1) при R = 0.5 и

о = ß = 1.0............................... 84

5.10 (а) — (d) Распределение завихренности на плоскости (х,у) и (е) — (h) величина ЛПЛ в моменты времени t = 10, 50,190,600 для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5.1) при R = 2.0 и

а = ß = 4.0............................... 85

5.11 (а) — (d) Распределение завихренности на плоскости (х,у) и (е) — (h) величина ЛПЛ в моменты времени t = 15, 65, 250,350 для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5.3) при R = 3.5 и

о = ß = 5.0............................... 86

5.12 (а) — (d) Распределение завихренности на плоскости (х,у) и (е) — (h) величина ЛПЛ в моменты времени t = 10, 45,120,400 для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5.1) при R = 3.5 и

о = ß = 5.0............................... 87

5.13 (а) — (d) Распределение завихренности на плоскости (х,у) и (е) — (h) величина ЛПЛ в моменты времени t = 0.2,100, 200, 400 для вихревой конфигурации из четырех вихрей (5.3) при R = 2.5 и

о = ß = 5.0............................... 88

5.14 Конечное распределение завихренности ш и линии тока ф в момент времени t = 1500 для экспериментов I-IV........... 89

5.15 Спектр ЛПЛ в конечный момент времени t = 1500 для экспериментов I-IV ............................... 90

5.16 Траектории центров вихревых пятен на всей области для вихревого паркета (5.1) для экспериментов I-IV ............. 91

5.17 Траектории частиц на всей области для вихревого паркета (5.3): (а) при радиусе пятен R = 2.5 и а = ß = 5.0; (b) при радиусе пятен R = 2.0 и а = ß = 4.0...................... 92

5.18 Траектории частиц на всей области для вихревого паркета (5.3): (а) при радиусе пятен R = 3.5 и а = ß = 5.0; (b) при радиусе пятен R = 3.5 и а = ß = 5.0...................... 93

5.19 Траектории частиц жидкости на всей плоскости для экспериментов I, III, IV............................... 94

5.20 Влияние величины параметра 7 на вихревую конфигурацию (5.3)

при г = 0.6 и = —1 в моменты времени £ = 0 и £ = 500..... 96

5.21 Распределение завихренности на плоскости (ж,у) при £ = 4.5, 20,35, 70,300 для вихревой конфигурации (5.3) при Я = 0.5

и 7 = 0, — 0.05,0.05.......................... 98

5.22 Распределение завихренности на плоскости (ж,у) при £ = 4.5, 25,35, 54,300 для вихревой конфигурации (5.3) при Я = 0.6

и 7 = 0, — 0.05,0.05.......................... 99

5.23 Распределение завихренности на плоскости (ж,у) при £ = 4.5,19,30, 70, 260 для вихревой конфигурации (5.3) при Я = 0.65

и 7 = 0, — 0.05,0.05.......................... 100

Список таблиц

2.1 Константы метода рб36 (5)...................... 35

4.1 Значения невязки аппроксимации поля завихренности при различных разбиениях расчетной области И............... 58

4.2 Значения невязки аппроксимации функции тока в зависимости от количества членов разложения.................... 60

4.3 Параметры вихревых конфигураций (4.7) в вычислительном эксперименте исследования устойчивости вихрей Тейлора-Грина . . 63

5.1 Параметры вихревых конфигураций (5.1) в вычислительном эксперименте исследования динамики и адвекции в вихревом паркете 81