Численное моделирование нелинейных диссипативных процессов тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат технических наук Викулов, Максим Александрович

• Викулов, Максим Александрович
• кандидат технических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат технических наук Викулов, Максим Александрович

Содержание.

1. Введение. Общая характеристика работы.

1.1 Актуальность темы.

1.2 Цель работы.

1.3 Методы исследования.

1.4 Научная новизна.

1.5 Теоретическая и практическая ценность.

1.6 Положения, выносимые на защиту.

1.7 Апробация работы.

1.8 Структура и объем диссертации.

Глава I Постановка задачи, обзор и вспомогательные утверждения.

1. Постановка задачи.

2. Обзор диссипативных моделей.

3. Элементы теории обобщенных функций.

4. Элементы теории устойчивости.

Выводы.

Глава II Построение нелинейных диссипативных моделей экологии, экономики и демографии и исследование их устойчивости.

1. Обобщение модели Хотеллинга-Скеллама.

2. Обобщение экономической модели.

3. Обобщение модели мультипликатора-акселератора.

Выводы.

Глава III Численное нахождение стационарного решения.

1. Численные методы, основанные на теории обобщенных функций.

2. Проекционный метод нахождения стационарных решений.

Выводы.

Глава IV Трассировка.

1. Постановка задачи трассировки.

2. Построение модельной сетки.

Выводы.

Выводы по диссертации.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование нелинейных диссипативных процессов»

1.1 Актуальность темы.

На протяжении XVII-XX столетий основное внимание научного сообщества было обращено на построение различных моделей в физике. В середине XX столетия акценты стали смещаться, и все большее и большее внимание стали уделять задачам моделирования экологических, биологических, экономических процессов.

В разработке математических моделей различных процессов экологии, биологии, демографии и экономики большую роль сыграли Арнольд В. И., Биркгоф Д., Вольтерра В., Глушко В. П., Зельдович Я. Б., Иваницкий М. Ф., Колмогоров А. Н., Логофет Д. О., ЛоткаА., Мари Г., Меншуткин В. В., Моисеев Н. Н., Петровский И. Г., Пискунов Н. С., Пригожин И. Р., Пу Т., Самарский А. А., Свирежев Ю. М. и др.

В настоящее время имеется большое число математических моделей, описывающих различные модели экологии, географии и экономики. Важное место среди них занимают нелинейные диссипативные модели, описывающие большое число различных процессов экологии, экономики, демографии. Многим из этих моделей, в частности модели Хотеллинга-Скеллама, присущи следующие недостатки:

1. в результате моделирования получаются решения, не соответствующие поставленной задаче;

2. отсутствуют общие методы нахождения стационарного решения;

3. отсутствуют общие критерии устойчивости решения.

В данной работе предложены методы решения этих проблем, что определяет ее актуальность.

1.2 Цель работы

Работа посвящена исследованию и обобщению ряда математических нелинейных диссипативных моделей экологии, демографии и экономики, построению численных методов нахождения стационарных решений нелинейных диссипативных моделей, исследованию устойчивости решений и их экономической, экологической интерпретации.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Построены и обоснованы нелинейные модели экологических сообществ, демографических процессов, некоторых процессов экономики.

2. Построены приближенные методы нахождения стационарных решений для рассматриваемых моделей.

3. Исследована устойчивость решений дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих демографические, экологические и экономические процессы.

4. Предложены методы трассировки путей коммуникаций для неоднородной территории.

5. Дана программная реализация полученных алгоритмов.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Викулов, Максим Александрович

Выводы по диссертации

В диссертации

-построены новые нелинейные диссипативные модели развития экологических, демографических и экономических процессов;

-предложены, обоснованы и программно реализованы два метода нахождения стационарных решений в пространственных нелинейных диссипативных моделях (в частности, в задачах типа Хотеллинга-Скеллама);

- исследована устойчивость по Ляпунову решений дифференциальных уравнений, описывающих модели;

- предложен квазиоптимальный метод трассировки коммуникаций;

-предложен способ построения модели развития инфраструктуры региона, основанный на применении предложенного квазиоптимального метода прокладки коммуникаций на неоднородной территории.

Полученные теоретические результаты позволяют провести полное исследование динамических процессов, описываемых диссипативными моделями.

Разработанный пакет программ позволяет находить стационарные решения широкого спектра нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных эллиптического типа, описывающих нелинейные диссипативные модели, обладает высокой гибкостью и легко адаптируется к новым сферам применения: от описания процессов динамики фитопланктона до анализа поведения цен на рынке ценных бумаг.

Практические результаты в виде построенных алгоритмов применяются в финансовой компании города Пензы, о чем имеется акт о внедрении. Программный комплекс зарегистрирован в «Отраслевом Фонде Алгоритмов и Программ» (ОФАП). Выдано «Свидетельство об отраслевой регистрации разработки» за номером 5439.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Викулов, Максим Александрович, 2007 год

1. Андронов А.А., Витт А.А., Хайкин С.Э. Теория колебаний. М.: Наука, 1959,916с.

2. Арнольд В. И. «Жесткие» и «мягкие» математические модели. // Администрация Президента Российской Федерации. Научно-практический семинар «Аналитика в государственных учреждениях». -М, 1997

3. Арнольд В.И. Теория катастроф. М.: Наука, 1990.

4. Арнольд В.И., Авец А. Эргодические проблемы классической механики. Ижевск: Ижевская республиканская типография. 1999, 284 с.

5. Астраханцев Г.П., Меншуткин В.В., Петрова Н.А., Руховец JI.A. Моделирование экосистем больших стратифицированных озер. / Под ред. JI.A. Руховца. Наука: СПб, 2003. 364 с.

6. Байков В.А., Жибер А.В. Уравнения математической физики. -Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2003, 256 с.

7. Барабашева Ю. М., Бродский Л. И., Девяткова Г. Н. Имитационная модель динамики планктонного сообщества Северного Каспия. // Теоретическая экология. М.: изд-во МГУ, 1987. С. 121-132.

8. Ю.Барабашева Ю. М., Бродский Л. И., Девяткова Г. Н. Об оценивании параметров точечной модели водной экосистемы. // Теоретическая экология. М.: изд-во МГУ, 1987. С. 105-110.

9. Барабашева Ю. М., Бродский Л. И., Девяткова Г. Н. Пример калибровки точечной модели: модель Кандалакшского залива Белого моря. // Белое море. Л.: Гидрометеоиздат, 1986.

10. Барабашева Ю. М., Девяткова Г. Н., Тутубалин В. Н., Угер Е. Г. Некоторые модели динамики численностей взаимодействующих видов с точки зрения математической статистики. // Журн. общей биологии. 1996. Т. 57. №2. С. 123-139.

11. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория базовых знаний, 2000,624 с.

12. Беляев В. И., Лепин А. И., Макаров О. М., Петипа Т. С. Математическая модель пелагической экосистемы Черного моря. М., 1975. Рукопись деп. в ВИНИТИ №3480 — 75. Деп.

13. Беляев В. И. Модель шельфовой экосистемы для оценки ее потенциальной биопродуктивности. // Системный анализ и моделирование процессов на шельфе Черного моря. Севастополь, 1983. С. 7-18.

14. Биркгоф Д. Динамические системы. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999,408 с.

15. П.Боголюбов Н.Н., Митропольский Ю.А. Асимптотические методы в теории нелинейных колебаний. М.: Физматлит, 1958.

16. Бойков И.В. Об устойчивости решений дифференциальных и разностных уравнений в критических случаях //Докл.АН СССР. 1990. T.314.N6. С.1298-1300.

17. Бойков И.В. Об устойчивости дифференциальных и разностных уравнений с недифференцируемыми правыми частями // Дифференциальные уравнения 1993,Т.29. N8. С. 1453-1455.

18. Бойков И.В. Об определении областей устойчивости для некоторых классов нелинейных уравнений с распределенными параметрами // Автоматика и телемеханика.2001. No 1. С. 40-49.

19. Бойков И.В. Устойчивость дискретных моделей популяций // Материалы XII-й Международной школы-семинара "Синтез и сложность управляющих систем", Москва, МГУ, 2001, Часть I, с. 21-26.

20. Бойков И.В., Викулов М.А. Устойчивость математических моделей нелинейной экономической динамики. // Материалы конференции «Всероссийская школа по структурной макрокинетике», 24-26 ноября 2004. Черноголовка, Россия

21. Бойков И.В., Викулов М.А. Численные методы экономической динамики. Материалы научно-практической конференции «Проблемы качества, безопасности и диагностики в условиях информационного общества» // КБД-ИНФО 2005 - 1-10 октября 2005. Сочи. - С. 205-210.

22. Бойков И.В., Викулов М.А. Устойчивость математических моделей нелинейной экономической динамики. // Известия высших учебных заведений. Поволжский регион. 2005. - №6. - С. 3-15.

23. Бойкова А.И., Викулов М.А. Об одном методе размещения коммуникаций на неоднородной территории // Вопросы математического анализа. Красноярск. Издательство КГТУ. 2004.

24. Бутенин Н.В., Неймарк Ю.И., Фуфаев Н.А. Введение в теорию нелинейных колебаний. -М.: Наука, 1976.

25. Васильченко О. Н. Основные закономерности формирования биологической продуктивности нерестово-вырастных хозяйств дельты Волги и их роль в воспроизводстве рыбных запасов Каспийского моря. //Теоретическая экология. М.: изд-воМГУ, 1987. С. 186-200.

26. Векуа И.Н. Обобщенные аналитические функции. М: Наука. 1998

27. Векуа И.Н. О некоторых основных свойствах метагармонических функций. -М.: Наука, 1943.

28. Викторов Г. А. Проблемы динамики численности насекомых на примере вредной черепашки. М.: «Наука», 1967. 210 с.

29. Вержбицкий В.М. Численные методы. М.: ВШ, 2000,266 с.

30. Владимиров B.C. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1976.415 с.

31. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование. -М.: «Наука», 1976. 341 с.

32. Ворович И. И., Горелов А. С. Рациональное использование водных ресурсов бассейна Азовского моря: математические модели. М., 1981.

33. Гаузе Г. Ф. Математическая теория борьбы за существование и ее применение к популяциям дрожжевых клеток. // Бюлл. Моск. о-ва испытателей природы. Отд. биол. 1934. Т. 43. №1. С. 69-87.

34. Гаузе Г. Ф. Исследования над борьбой за существование в смешанных популяциях. // Зоол. журн. 1935. Т. 14. №4. С. 243-306.

35. Гельфанд И.М., Шилов Г.Е. Некоторые вопросы теории дифференциальных уравнений. -М.: Физматлит, 1958. 385 с.

36. Гиляров А. М. Соотношение органицизма и редукционизма как основных методологических подходов в экологии. // Журн. общей биологии. 1988. Т. 49. С. 202-217.

37. Гиляров А. М. Популяционная экология. Учебное пособие. М.: изд-во МГУ, 1990.212 с.

38. Гиляров А. М. 125 лет экологии Эрнста Геккеля. // Журн. общей биологии. 1992. Т. 54. С. 5-17.

39. Годунов С.К. Уравнения математической физики. М.: Наука, 1971. 325 с.

40. Дайсон Ф. Дж. Математика в физических науках. // Математика в современном мире. М., 1967.

41. Далецкий Ю.Л., Крейн М.Г. Устойчивость решений дифференциальных уравнений в банаховом пространстве. М.: Наука. 1970. 536 с.

42. Дж. О'Брайен, С. Шривастава. Финансовый анализ и торговля ценными бумагами. М.: «Дело Лтд», 1995, 207 с.

43. Канторович Л.В., Крылов В.И. Приближенные методы высшего анализа. Ленинград: Гос. Изд-во технико-теоретической лит., 1949.

44. Колмогоров А. Н. Качественное изучение математических моделей динамики популяций. // Проблемы кибернетики. 1972. Вып. 25. С. 100106. (Перевод статьи, опубликованной в итальянском журнале в 1936 г.)

45. Колмогоров А. Н. Теория вероятностей и математическая статистика (избранные труды). М.: «Наука», 1986.

46. Колмогоров в воспоминаниях. Ред. А. Н. Ширяев. М.: «Физматгиз», 1993.244 с.

47. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов Н.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме// Бюлл. МГУ. Серия А. 1937. N6. С. 1-26.

48. Кольцова Т. И., Угер Е. Г. О количественной обработке проб фитопланктона. //Биол. науки. 1980. №7. С. 103-108.

49. Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики. М.: Физматлит, 1962, 767 с.

50. Красносельский М.Г., Вайникко Г.М., Забрейко П.П., Приближенное решение операторных уравнений. М.: Наука 1969.456 с.

51. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырный П.И. Вычислительные методы, в 2 томах. М.: Наука 1977.

52. Куракин JI. Г., Юдович В. И. О бифуркациях равновесий при разрушении косимметрии динамической системы // Том 45 (2004), Номер 2, стр. 356-374

53. Куракин JI. Г., Юдович В. И. Применение метода Ляпунова -Шмидта в задаче ответвления цикла от семейства равновесий системы с мультикосимметрией // Том 41 (2000), Номер 1, стр. 136-149

54. Левандович Р., Руховец Л.А. Об одном приближенном методе расчета течений в неодносвязных областях. // Океанология, т.28, №1, 1988. с.35-41.

55. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. Харьков, 1892.3-е изд., Гостехиздат, 1950.

56. Малкин И.Г. Теория устойчивости движения. Ленинград.: Гос. Изд-во технико-теоретической лит., 1952. 354 с.

57. Математические модели биологических систем. Под ред. Г.М. Франка -М.: Наука, 1971.211с.

58. Меншуткин В. В. Математическое моделирование популяций и сообществ водных животных. Л.: «Наука», 1971. 305 с.

59. Меншуткин В. В. Модель экологической системы пелагиали Тихого океана. // Океанология. 1979. Т. 19. №2. С. 318-325.

60. Меркин Д.Р., Бауэр С.М., Смирнов А.Л. Задачи по теории устойчивости. Москва-Ижевск: Институт компьютерных исследований, 2002,128 с.

61. Мигулин В.В., Медведев В.И., Мустель Е.Р., Парыгин В.Н. Основы теории колебаний. -М.: Наука, 1978.269 с.

62. Моделирование в биологии и медицине. Республиканский межведомственный сборник. Академия наук Украинской ССР. Под ред. Амосова Н.Н. Киев: 1965.

63. Монин А. С., Питербарг JI. И. Предсказуемость погоды и климата. // Пределы предсказуемости. М.: «ЦентрКом», 1997. С. 12-49.

64. Моргулис А. Б., Юдович В. И. Асимптотическая устойчивость стационарного режима протекания идеальной несжимаемой жидкости // Том 43 (2002), Номер 4, стр. 840-857

65. Мэтьюз Дж., Уокер Р. Математические методы физики. М.: Атомиздат, 1972,399 с.

66. Наумов Н. П. Экология животных. Учебное пособие для университетов. М.: «Высшая школа», 1963. 384 с.

67. Немыцкий В.В., Степанов В.В. Качественная теория дифференциальных уравнений. Москва-Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2004,456 с.

68. Несис Е.И. Методы математической физики. М.: «Просвещение», 1977. 487 с.

69. Николис Г., Пригожин И. Самоорганизация в неравновесных системах. М.: Мир, 1979.512 с.78.0дум Ю. Экология. В двух томах. М.: «Мир», 1986.

70. Пасконов В.М., Полежаев В.И., Чудов JI.A. Численное моделирование процессов тепло- и массообмена. М.: Наука, 1984,285 с.

71. Перчук В. JL Модели в экологии и продолжающаяся путаница вокруг них (по поводу некоторых философских соображений). // Биология моря. 1980. №3. С. 88-92.

72. Поттер Д. Вычислительные методы в физике. М.: Мир, 1975.

73. Пределы предсказуемости. Ред. Кравцов Ю. А. М.: «ЦентрКом», 1997. 220 с.

74. Пу Т. Нелинейная экономическая динамика. Научно-издательский центр "Регулярная и хаотическая динамика". Ижевск. Издательский дом "Удмурдский университет". 2000. 200с.

75. Рид М., Саймон Б. Методы современной математической физики. Т. 2. -М., 1978.305 с.

76. Рихтмайер Р. Принципы современной математической физики. М., 1982.294 с.

77. Руховец J1.A., Астраханцев Г.П., Меншуткин В.В., Петрова Н.А. Комплекс моделей экосистемы Ладожского озера // Обозрение прикладной и промышленной математики, 2003. Т. 10, Вып. 1. С. 3962.

78. Руховец Л.А., Астраханцев Г.П., Минина Т.Р., Петрова Н.А., Полосков В.Н. Оценка возможных изменений в экосистеме Ладожского озера в XXI веке под воздействием антропогенных и климатических факторов // Водные ресурсы, 2006. т.ЗЗ, 3. С. 1-16.

79. Руховец JI.A., Астраханцев Г.П., Меншуткин В.В., Минина Т.Р., Петрова Н.А., Полосков В.Н. Моделирование экосистемы Ладожского озера: результаты и перспективы. В кн. «Ладожское озеро» (ред. Н.Н.Филатов). Петрозаводск: Кар. НЦ РАН,2000. с.405-426.

80. Самарский А.А., Гулин А.В. Численные методы. М.: Наука, 1989. -432 с.

81. Сапегин Л.Н., Викулов М.А., Миронов Д.А, О проблемах использования статистических критериев в анализе данных аудита. // Безопасность информационных технологий. Том 3. Пенза: ПТУ, 2002.

82. Свирежев Ю. М., Елизаров Е. Я. Математическое моделирование биологических систем. // Проблемы космической биологии. Вып. 20. М.: «Наука», 1972.

83. Свирежев Ю.М., Логофет Д.О. Устойчивость биологических сообществ. М.: Наука. 1978. 352 с.

84. Свирежев Ю.М. Нелинейные волны, диссипативные структуры и катастрофы в экологии. М.: Наука. 1987. 368 с.

85. Сергеев Ю. Н., Левин М.Б. Проблема математического моделирования многокомпонентной физико-биологической системы моря. // Вестник Ленингр. ун-та. Сер. геол.-географ. 1972. №24. С. 114-125.

86. Смит Дж. М. Модели в экологии. М.: «Мир», 1976. 344 с.

87. Теоретическая экология. Ред. Алексеев В. В., Федоров В. Д. М.: изд-воМГУ, 1987.256 с.

88. Томпсон Дж. М. Т. Неустойчивости и катастрофы в науке и технике. М.: Мир, 1985. 297 с.

89. Треногин В.А. Функциональный анализ. М.: Наука, 1980, 495 с.

90. Тутубалин В. Н. Теория вероятностей и случайных процессов. М.: изд-во МГУ, 1992. 397 с.

91. Тутубалин В. Н., Барабашева Ю. М., Григорян А. А., Девяткова Г. Н., Угер Е. Г. Дифференциальные уравнения в экологии: историко-методологическое размышление. // Вопросы истории естествознания и техники. 1997. №3. С. 141-151.

92. Тутубалин В. Н., Барабашева Ю. М., Девяткова Г. Н., Угер Е. Г. Оценка возможностей корреляционного и регрессионного анализа при установлении конкуренции между видами. // Журн. общей биологии. 1998, т. 59. №4, С. 433^44.

93. Тутубалин В. Н., Барабашева Ю. М., Девяткова Г. Н., Угер Е. Г. Научная судьба одного класса математических моделей в экологии на протяжении последнего полувека. // Историко-математические исследования.

94. Уильямсон М. Анализ биологических популяций. М.: «Мир», 1975. 198 с.

95. Уиттекер Э. Аналитическая динамика. Ижевск: Издательский дом «Удмуртский университет», 1999, 588 с.

96. Форрестер Джей. Мировая динамика. М.: ACT; СПб.: Terra Fantastica, 2003, 381 с.

97. Хеджпет Д. В. Модели в экологии и путаница вокруг них (некоторые философские соображения). // Биология моря. 1978. №6. С. 3-15.

98. Шустер Г. Детерминированный хаос: Введение: Пер. с англ. М.: Мир, 1988.240с.

99. Энгел Г. Философская критика экологии // Вестник Московского ун-та. Сер. 7. Философия. 1996. №1. С. 38-52.

100. Юдович В. И. Об уравнениях свободной конвекции абсолютно теплопроводной жидкости // Том 34 (1993), Номер 5, стр. 218-229

101. Якоби К. Лекции по динамике. Ленинград: Главная редакция общетехнической литературы, 1936,271 с.

102. Astrakhantsev G.P., Yegorova N.B., Menshutkin V.V., Pisulin I.V., Rukhovets L.A. Mathematical model for the ecosystem response of Lake Ladoga to phosphorus loading. Hydrobiologia 322: 1996, p.153-157.

103. Astrakhantsev G.P. Rukhovets L.A. A three-dimensional model of transformation of biogenes and organic matter in lakes. Russ.J.Numer.Anal. Math.Model., vol.9,1,1994, p.1-12.

104. Astrakhantsev, G.P., Rukhovets L.A., Menshutkin V.V., et al., Development of Lake Ladoga ecosystem models: modeling of thephytoplankton succession in the eutrophication process. I. Ecological Modelling 165, Issue 1, P.49-77, 2003

105. Ayala F. G., Gilpin M. E., Ehrenfeld J. G. Competition between species: theoretical models and experimental tests. // Theoret. popul. biol. 1974. V. 4.N3.P. 331-356.

106. Dennis R., Desharnais R. A., Cushing J. U., Costantino R. F. Nonlinear demographic dynamics: mathematical models, statistical methods, and biological experiments. // Ecol. Monographs. 1995. V. 65. N3. P. 261— 281.

107. Desharnais R. A., Costantino R. F. Genetic analysis of a population of Tribolium. V!!. Stability: response to genetic and demographic perturbations. // Canadian J. of Genetics and Cytology. 1980. V. 22. P. 577589.

108. Desharnais R. A., Liu L. Stable demographic limit cycles in laboratory populations of Tribolium castaneum. // J. of Animal. Ecol. 1987. V. 56. P. 885-906.

109. Forrester J.W. World dynamics. Cambrige, Mass: Wright-Allen Press. Inc., 1971.

110. Gause G.F. Experimental studies of the struggle for existence. // J. exp. Biol. 1932. V. 9. N4. P. 389-402.

111. Gause G.F. The struggle for existence. Baltimore: Williams and Wilkins, 1934. (Переиздание: New York: Dover, 1971).

112. Gause R. F. Verifications experimentales de la theorie mathematique de la lutte pour la vie. Paris: Hermann, 1935.

113. Gilpin M. E. Do hares eat lynx? // Amer. Natur. 1973. V. 107. N957. P. 727-730.

114. Goel N. S., Maitra S. C., Montroll E. W. On the Volterra and other nonlinear models of interacting populations. // Rev. of modern Phys. 1971. V. 43. P. 231-276.

115. Haefner, J. W. Modeling biological systems. Chapman & Hall, New York. 1996

116. Hall, C. & J. Day, eds. Ecosystems modeling in theory & practice. Wiley, NY. 1977

117. Hannon, В., M. Ruth. Modeling dynamic biological systems. Springer, NY. 1997

118. Hanski J., Turchin P., Kerpinaki E., Henttonen H. Population oscillations of boreal rodents: regulation by mustelids predators leads to chaos. //Nature. 1993. V. 364. N6434. P. 232-235.

119. Kennish, M. Ecology of estuaries, 1. Physical & chemical. CRC, Boca, FL. 1986

120. Kremer, J. and S. Nixon. A coastal marine ecosystem. Springer, NY 1978.

121. Lotka A. J. Elements of physical biology. Baltimore: Williams and Wilkins, 1925. (Переиздание: Elements of mathematical Biology. N.Y.: Dover, 1956).

122. Meadows D. L. et al. The Limits to Growth: A Report for the Club of Rome's Project on the Predicament of Mankind. New York: Universe Books. 1972.

123. Menshutkin V.V., Astrakhantsev G.P., Yegorova N.B., Rukhovets L.A., Simo T.L., Petrova N.A. Mathematical modeling of the evolution and current conditions of the Ladoga Lake ecosystem //Ecological Modelling, v.107,1998. pp. 1-24.

124. Mesarovic M. and Pestel E. Mankind at the Turning Point, New York, 1974.

125. Odum, H. T. Systems ecology: An introduction. Wiley, NY (Ch. 1-4). 1983

126. P.Neittaanmaki, V.Rivkind, L.Rukhovets. Mathematical and Numerical Modeling of Pollution of Lake. (В кн. Finite Element Modeling of Environmental Problem", Wiley and Sons, 1995. p.209-227.

127. Parsons, T. et al. Biological oceanogr processes. Pergamon. Oxford. 1979

128. Renshaw E. Modelling biological population in space and time. Cambridge: Cambridge Univ. Press, 1991.

129. Riley, Factors controlling phytoplankton populations on Georges Bank, J. Marine Res., 6, 54-73., 1946.

130. Schaffer W. M., Kot M. Do strange attractors govern ecological systems? // Bioscience. 1985. V. 35. P. 342-350.

131. Skellam J. G. Random dispersal in theoretical populations. Biometrika, 38:196-218,1951.

132. Utida S. Cyclic fluctuations of population density intrinsic to the host-parasite system. //Ecology. 1957. V. 38. N3. P. 442-449.1. Глава V Приложения