Численное моделирование поздней стадии эволюции остатка сверхновой тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шарова Юлия Сергеевна

• Шарова Юлия Сергеевна
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Шарова Юлия Сергеевна

Введение

Глава 1. Физико-математическая модель

1.1 Модель частично ионизованной плазмы

1.2 Столкновительное взаимодействие компонент

1.3 Модели учета лучистых потерь энергии

1.3.1 Полное термодинамическое равновесие

1.3.2 Плазменная среда в условиях локального термодинамического равновесия (ЛТР)

1.3.3 Неравновесные модели ионизации

1.4 Уравнения энергобалансов компонент

1.4.1 Расчет функции охлаждения

Глава 2. Разностные схемы. Методика расчета

2.1 Сетки и сеточные функции. Метод контрольного объема

2.1.1 Одномерный вариант метода

2.1.2 Аппроксимация закона сохранения в общем случае

2.2 Задача Римана о распаде произвольного разрыва

2.2.1 Точное решение задачи Римана для газовой динамики

2.2.2 Уравнения магнитной газовой динамики. Характеристики

2.3 Метод Годунова

2.4 Граничные условия

2.4.1 Непроницаемая стенка

2.4.2 Граница со свободным потоком

2.4.3 Периодические граничные условия

2.5 Кусочно-параболическая интерполяция. The Piecewise Parabolic Method (PPM)

2.6 Метод Harten-Lax-van Leer discontinuities (HLLD)

2.7 Тестирование методик

2.8 Взаимодействие компонент плазмы

Стр.

2.8.1 Неявная схема для расчета релаксации импульсов 2-х сортов

2.8.2 Модификация неявной схемы для 2-х сортов

2.9 Методика расчета лучистых потерь. Метод Таунсенда

2.10 Реализация принципа расщепления по физическим процессам

Глава 3. Описание программного комплекса MARPLE

3.1 Обзор кода МЛЯРЬЕ

3.2 Сторонние разработки

3.3 Описание структуры кода МЛЯРЬЕ

3.4 Архитектура кода

3.5 Разработанные и реализованные автором компоненты программного комплекса МЛЯРЬЕ

Глава 4. Исследование влияния фоновой нейтральной компоненты на динамику оболочки в остатках

сверхновых

4.1 Постановка задачи

4.2 Валидация кода. Решение Седова

4.3 Динамика нейтральной компоненты

4.4 Неустойчивости плотного слоя

Заключение

Список литературы

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование поздней стадии эволюции остатка сверхновой»

Актуальность темы

Появление сверхновой является значительным событием в жизни любой галактики. В течение нескольких десятков дней, короткого по астрономическим масштабам времени, их светимость сравнима со светимостью галактики, что позволяет использовать их для исследования свойств удаленных областей Вселенной. Кроме этого, такие объекты очень богаты различной физикой: в процессе взрыва параметры среды меняются в широком диапазоне, от сверхплотного вещества до низких плотностей межзвездной среды, от температур термоядерного горения (в сотни кэВ - МэВ), до нескольких тысяч градусов Кельвина и ниже. Такое разнообразие превращает сверхновые в природные лаборатории, где можно наблюдать различные физические процессы.

Сверхновые классифицируются по наличию или отсутствию определенных особенностей в их оптических спектрах, снятых вблизи максимума света. В целом, они делятся на 4 основных типа: 1а, 1Ь, 1с, II.

Впервые классификация сверхновых была произведена в 1941 году, когда Рудольф Минковски обнаружил, что существует по крайней мере 2 типа: сверхновые 11-ого типа, в спектрах которых обнаруживается водород (Н), и сверхновые 1-ого типа, в спектрах которых водород (Н) отсутствует.

Благодаря совершенствованию техники, используемой для изучения космических объектов, в середине 1980-х годов увеличилось количество открытий сверхновых и улучшилось качество получаемых данных, сверхновые 1-ого типа были дополнительно подразделены на сверхновые, в спектрах которых присутствуют или отсутствуют кремний (Б1) и гелий (Не). Сверхновые типа 1а содержат кремний (Б1), сверхновые типа 1Ь не содержат кремний (Б1), но в их спектрах наблюдается гелий (Не), а сверхновые типа 1с не имеют ни кремния (Б1), ни гелия (Не). Сверхновые типа 1а можно обнаружить часто и в любом типе галактик, сверхновые типа 1Ь и типа 1с возникают в основном в популяциях массивных звезд, подобных звездам типа II. Сверхновые типа II, типа 1Ь и типа 1с являются результатом коллапса ядра массивной звезды, а сверхновые типа !а являются результатом термоядерного взрыва белых карликов.

Частым вариантом последнего этапа жизни сверхновой является появление остатка сверхновой - материала, выброшенного при взрыве самой

Рисунок 0.1 — Эволюции массивных молекулярных облаков [1]. Supernova

remnant (SNR) - остаток сверхновой.

сверхновой, а также межзвездного материала, который был унесен прохождением ударной волны от взорвавшейся звезды. Остатки сверхновой не обязательно видны в оптическом диапазоне, но они, как правило, являются мощными рентгеновскими и радиоизлучателями из-за взаимодействия с окружающей межзвездной средой. Обычно они существуют несколько сотен тысяч лет, прежде чем рассеяться в межзвездной среде.

Остатки сверхновых играют важную роль в эволюции галактик - они могут запускать процесс звездообразования.

Например, после столкновения молекулярного облака с остатком сверхновой, облака сжимаются, что приводит к началу звездообразования [2; 3]. Также рожденные в одном молекулярном облаке остатки сверхновых могут взаимодействовать друг с другом внутри этого облака. Это приводит к сжатию окружающего газа и образованию молодых звезд поблизости [1] (см. рис. 0.1).

Однако сам остаток сверхновой также может быть средой для формирования молодых звезд. Расширяющийся теплый ионизированный газ заметает оболочку холодного нейтрального газа, подвергшегося ударному воздействию. Этот сжатый и сотрясенный слой может стать гравитационно неустойчивым вдоль своей поверхности на "долгом" временном масштабе. Этот процесс позволяет формироваться массивным плотным фрагментам, которые, в свою очередь, могут объединяться, что приводит к образованию скопления звезд [4-6].

Джеймс Джинс показал, что для облака заданных радиуса и температуры существует критическая масса, которую теперь называют массой Джинса. Если

оно превышено, облако становится неустойчивым и коллапсирует. Масса Джинса зависит от радиуса облака, его температуры и средней массы частиц в облаке.

Если облако сжимается до точки, где плотность Джинса превышена, оно становится неустойчивым к гравитационному коллапсу. Более массивные облака имеют более низкую критическую плотность и, следовательно, более подвержены гравитационному коллапсу.

Также остатки представляют интерес тем, что являются источниками космических лучей [7] (например, остатки IC 443, W44 и Cas A), ускорение которых связано с наличием взаимодействия ударных волн с магнитным полем [8-11].

Выделим основные этапы жизни остатка сверхновой, прежде чем произойдет его рассеяние в межзвездную среду. В процессе расширения остаток проходит несколько этапов эволюции:

Свободное расширение

Значительная доля энергии взрыва (E^in ^ 1051 эрг) переходит в кинетическую энергию, что разгоняет вещество с массой порядка массы Солнца до скоростей

В самом начале разлёта плотности в звезде (средняя плотность имеет масштаб

поэтому разлетающееся вещество не чувствует никакого сопротивления. Время, в течение которого длится такая стадия можно оценить через время расширения до радиуса при котором плотность остатка снизится до плотности окружающей среды

В тот момент, когда давление в остатке станет сравнимым с окружающим, возникнет система ударных волн: на переднем крае расширяющейся области -головная волна, внутрь остатка побежит возвратная волна.

Адиабатическая (Седова-Тейлора) фаза

По мере дальнейшего расширения масса окружающей среды, вовлеченная в движение, достигает массы звезды и превышает её. В этом случае начинается адиабатическая стадия (Седова-Тейлора) [12], когда энергия остатка изменяется за счёт его работы над самим собой. Такая динамика является автомодельной

(1)

~ 1 г/см3) на много порядков превышают плотности окружающей среды (р0 ^ 10-24 г/см3, что соответствует среднегалактической плотности 1 протон/см3)

(2)

с законом

В этом случае уравнения гидродинамики (для постоянного ионизационного состава) сводятся к системе обыкновенных дифференциальных уравнений и могут быть легко получены. В таком решении основная доля массы концентрируется за головной ударной волной (толщина этого слоя составляет долю радиуса остатка). На этой стадии остаток остаётся устойчивым.

Радиативная фаза

По мере дальнейшей динамики радиационные процессы оказывают всё большее влияние в балансе энергии, что в итоге нарушает адиабатичность: из-за больших пробегов излучения в среде последнее свободно уходит из остатка. Так как охлаждение в таком случае пропорционально квадрату плотности, в основном охлаждаться начинает пик плотности, следующий за головной ударной волной в решении Седова. Локальное падение температуры приводит к падению давления, что в итоге уплотняет слой и в дальнейшем усиливает охлаждение. В результате развивается тепловая неустойчивость и происходит катастрофическое охлаждение, когда формируется геометрически тонкий плотный слой. Динамика такого слоя может описываться степенным законом [13; 14]

Особенность структуры слоя состоит в том, что он формируется в результате взаимодействия с двумя ударными волнами, ограничивающими его с обеих сторон. Такая конфигурация может быть подвержена различным неустойчивостям (помимо тепловой неустойчивости, которая приводит к его формированию).

Для автора интерес представляет конечная стадия - расширение остатков сверхновых. Общность процессов на поздней стадии эволюции оболочек сверхновых, происходящих от взрывов звезд, разных по типу, позволяет сформулировать задачу общего вида. В данной работе изучается "старый" остаток, который уже находится на стадии адиабатического разлета и возраст которого превышает 1 тысячу лет.

На этой стадии плотность среды падает настолько, что характерная длина пробега фотонов становится больше размеров области. Свободный уход излучения приводит к радиационным потерям энергии и в дальнейшем к развитию тепловой неустойчивости, в результате которой образуется плотный слой. В

д ос г1'1.

(4)

отличие от простой ударной волны, такой слой имеет сложную внутреннюю структуру и состоит из собственно плотной холодной области, которая отделяется зонами охлаждения от окружающих её с обеих сторон ударных волн. Его неустойчивость приводит к потере сферической симметрии и формированию существенно многомерной структуры остатка [15; 16].

Подобная сложная многомерная структура наблюдается во многих остатках в нашей Галактике (например, остатки с развитой волокнистой структурой - Симеиз 147, 1С 443, Петля Лебедя.). Образование такой структуры может быть связано с развитием плазменных или гидродинамических неустойчиво-стей, поэтому изучение этих объектов позволит улучшить наше представление о подобных эффектах. Аналогичные неустойчивости наблюдаются при взаимодействии сверхновой с плотным выбросом в одном из сценариев сверхмощной сверхновой [17; 18]. В этом случае присутствие неустойчивости может сказаться на точности метода определения космологических расстояний [19].

Магнитное поле оказывает влияние на динамику плотного слоя в остатках. В одномерном приближении оно исследовалось в работах [20;21], в многомерном в [22;23], при этом в работе [22] акцент сделан на излучении и его поляризации, а не динамике остатка. Влиянию магнитного поля подвержена только заряженная компонента среды. Нейтралы, которые могут присутствовать в межзвёздной среде, а также возникать в процессах рекомбинации в самом остатке, нечувствительны к полю. Их динамика также может разниться за счёт физически отличающихся механизмов радиативных потерь. Присутствие нейтралов влияет на процессы формирования плотного слоя, что в итоге может сказаться на его структуре и неустойчивостях.

Все вышеизложенное говорит о том, что важно уделить внимание изучению динамики остатков сверхновых для лучшего понимания процессов, происходящих во Вселенной. Возникает необходимость в предсказательном моделировании динамических процессов и, за неимением других возможностей, кроме как наблюдений, применение компьютерного расчёта. сравнительный анализ расчетов и наблюдений.

Выбор базового численного метода играет важную роль в моделировании. Чтобы описать потоки вещества в недрах звезд, звездных атмосферах и межзвездном пространстве, в расчетах можно воспользоваться моделями газовой и магнитной газовой динамики.

Газодинамические уравнения по своей природе являются нелинейными гиперболическими уравнениями и имеют особенность: разрывные решения, которые выражаются в виде сильных ударных волн и контактных разрывов. При решении задач с подобными течениями необходимо уделить им пристальное внимание - в последние 70 лет было создано большое количество разнообразных разностных схем для численного решения.

Вскоре после появления первых схем [24] были выявлены неприятные особенности: излишние сглаживания разрывов (пример - схема Лакса-Фридрих-са [25; 26]) и образование осцилляций за фронтом ударной волны (пример -схема Лакса-Вендроффа [27]).

Решение этой проблемы предложили Курант, Изаксон и Рис [28]. Их схема применяла характеристические свойства газодинамических уравнений и обладала минимальной вязкостью среди подобных схем.

В дальнейшем исследователи столкнулись с трудностями, связанными с повышением порядка точности схем. В 50-х годах С.К. Годуновым была сформулирована теорема [29], опровергшая существование монотонных схем с порядком выше первого среди линейных разностных. В результате развития подходов, позволяющих обойти ограничения, следующие из теоремы С.К. Годунова, стали развиваться и приобрели популярность нелинейные схемы, в частности, гибридные схемы с локальной "монотонизацией решения". Однако их применение приводило к досадному факту: точность аппроксимации падала до первого порядка, поэтому стали применяться корректоры схем, приводящие к более высокому разрешению структуры потока.

Важный вклад в развитие консервативных разностных схем, т.е. схем, в которых выполняются законы сохранения и которые не нарушают физику процесса, внес С.К. Годунов [29; 30].

В отличие от неконсервативных разностных схем, например [31-34], схема, разработанная С.К. Годуновым, базируется на решении задачи Римана о распаде произвольного разрыва для того, чтобы вычислить потоки на границах разностных ячеек. Однако на получение точного решения в каждой грани расчетной ячейки уходит довольного много времени из-за решения системы нелинейных алгебраических уравнений. Поэтому в дальнейшем получили популярность подходы, решающие эту задачу приближенно (примеры - [35-37]). В настоящее время подход Годунова используется, например, в схемах повы-

шенного порядка аппроксимации - TVD-схема (Total Variation Diminishing) и в методе Piecewise Parabolic Method (PPM) [38].

Отметим появившиеся недавно интересные схемы, в которых предложен метод адаптивной искусственной вязкости, например [39]. Такие схемы объединяют простоту искусственной вязкости и достаточно высокую точность решения.

Одним из самых эффективных конечно-объемных методов численного решения систем газодинамических уравнений является вычисление потоков на основе решения задачи Римана (так называемый риманов солвер) с кусочно-параболической реконструкцией данных на гранях контрольного объема. С учетом опыта предшествующих расчетов в данной работе для моделирования ударной волны в остатке сверхновой также применяется метод контрольного объема с аппроксимацией потоков массы, импульса, энергии через границу объема на основе кусочно-параболической реконструкции решения. Метод PPM включает реализацию процедуры монотонизации, предотвращающей возникновение нефизичных экстремумов. В алгоритм реконструкции решения введена процедура уменьшения численной диффузии, что способствует более точному разрешению контактных разрывов. В работе [40] представлены результаты моделирования неустойчивости Рихтмайера-Мешкова, переходящей в турбулентность, на сетке порядка 10 млрд ячеек и делается вывод о том, что PPM имеет хорошую перспективу для моделирования турбулентности в модели крупных вихрей и даже прямого трёхмерного моделирования турбулентности. Разумеется, это возможно только при надлежащем уровне развития высокопроизводительной вычислительной техники.

Стоит отметить, что метод PPM показал хорошее качество решения МГД-уравнений на ряде тестов. Метод PPM повышает точность, что, по-видимому, существенно при решении системы МГД-уравнений по причине того, что она не строго гиперболична.

Метод PPM активно применяется в астрофизических расчетах, в которых его применение расширено для уравнений состояния, более общих, чем уравнение состояния идеального газа. Если численная методика основана на решении задачи Римана, что позволяет аккуратно аппроксимировать волновую структуру решения, то проблемой могут быть дополнительные вычислительные затраты на использование уравнений состояния общего вида, заданных в аналитической или табличной форме. Такого рода реализации "римановых"

солверов внедрены во многие открытые астрофизические коды, такие как код PLUTO [41], CASTRO [42], FLASH [43] и другие.

В данной работе рассмотрена модель, позволяющая учесть влияние нейтралов. Они добавляются в систему в виде второй жидкости, которая взаимодействует с ионной компонентой за счёт столкновений.

Двужидкостное приближение, используемое в работе, может быть легко обобщено на произвольное количество жидкостей. Каждая компонента среды описывается своими параметрами: плотностью, температурой, скоростью и т.д. Взаимодействие между компонентами записывается в виде сил трения и обменного члена энергии.

Целью данной диссертации является:

- разработка физико-математической модели динамики не полностью ионизованного плотного слоя остатка сверхновой на поздней стадии его разлета с учетом влияния нейтральной компоненты, разработка численной методики решения уравнений динамики остатка и программная реализация в рамках комплекса прикладных программ MARPLE (ИПМ. им. М.В. Келдыша РАН, 2012)

- численное моделирование динамики радиативной ударной волны, анализ влияния магнитного поля и процессов ионизации и рекомбинации вещества на развитие гидромагнитных неустойчивостей в расширяющемся остатке сверхновой на стадии торможения в окружающей среде.

Для достижения поставленных целей необходимо было решить следующие задачи:

1. Разработка физико-математической модели динамики плазмы остатка сверхновой, учитывающей раздельное описание движения ионной и нейтральной компоненты (модель частично ионизованной плазмы).

2. Разработка компьютерной модели и численной методики для решений систем уравнений ГД и МГД остатка сверхновой.

3. Разработка алгоритма расчета энергобаланса остатка сверхновой с учетом радиационного охлаждения, ионизации и рекомбинации в расширяющемся веществе оболочки различного химического состава.

4. Построение вычислительной модели динамики вещества и ее программная реализация в рамках пакета программ для решения мультифизич-ных задач MARPLE (ИПМ им. М.В. Келдыша РАН), удовлетворяющая следующим требованиям:

- возможность проведения прямого численного моделирования, воспроизводящего эффекты, получаемые при наблюдении данных объектов.

- возможность изменения масштабов решаемых задач и беспроблемное добавление новых физических процессов, что не должно происходить с помощью повторов уже имеющегося кода и не должно сказываться на вычислительной эффективности программы.

5. Выполнение вычислительных экспериментов по моделированию средствами созданного прикладного программного обеспечения динамики остатка сверхновой на стадии его торможения "фоновым" космическим газом и анализ полученных результатов.

Научная новизна:

1. Реализованы программный модуль для решения задач ГД и МГД с помощью схемы годуновского типа, метода PPM и распадного солвера HLLD.

2. Реализованы программные модули для решения задач плазмодинамики с раздельным описанием движения нейтральной и ионнной компонент плазмы.

3. Разработан численный метод для расчета плазмодинамических процессов в двухжидкостном приближении для трехмерного моделирования.

4. Получены новые численные результаты, относящиеся к эволюции остатков сверхновых и формированию сред, в которых образуются про-тозвездные структуры.

Теоретическая и практическая значимость

Теоретическая значимость: получение новых результатов в научном направлении астрофизики, относящихся к остаткам сверхновых, с помощью разработанной численной методики и алгоритмов.

Практическая значимость: автор принимает активное участие в развитии прикладного комплекса программ MARPLE. Все описанные в работе численные схемы и алгоритмы реализованы автором и использовались им для проведения численных экспериментов в области астрофизики и их последующего анализа.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Разработана математическая модель магнитной гидродинамики частично ионизованной плазмы остатка сверхновой на стадии расширения плотного слоя вещества остатка.

2. Разработан численный метод для решения систем уравнений гидродинамики и магнитной гидродинамики, входящих в модель магнитной гидродинамики остатка сверхновой.

3. Разработаны алгоритмы для учета процессов радиационного охлаждения, ионизации и рекомбинации в рамках модели магнитной гидродинамики частично ионизованной плазмы.

4. Реализованы предложенные численные схемы и алгоритмы в рамках пакета прикладных программ MARPLE.

5. Рассмотрена новая постановка задачи о движении поздней стадии остатка сверхновой с учетом влияния нейтральной компоненты, магнитного поля, ионизации и рекомбинации на динамику плотного слоя. Получена динамика плотного слоя и проведен анализ влияния возникающих неустойчивостей на возможный процесс звездообразования.

Достоверность полученных результатов гарантируется строгостью используемого математического аппарата, верификацией разработанных разностных схем в численных экспериментах на модельных задачах и апробацией разработанного программного комплекса в вычислительных экспериментах.

Апробация работы. Результаты работы были доложены, обсуждены и получили одобрение специалистов на следующих научных конференциях:

1. Девятая Всероссийская конференция "Необратимые процессы в природе и технике", Москва, 25-27 января 2017 г.

2. XVIII Всероссийская конференция молодых учёных по математическому моделированию и информационным технологиям, Иркутск, 21-25 августа 2017 г.

3. Открытая конференция ИСП РАН им. В.П. Иванникова, Москва, 22-23 ноября 2018 г.

4. FDM'18: Seventh Conference on Finite Difference Methods: Theory and Applications, Lozenetz, Bulgaria, June 11-16, 2018.

5. AMEE'19: 45th International Conference "Applications of Mathematics in Engineering and Economics", Sozopol, Bulgaria, June 7-13, 2019.

6. Семинар ИТЭФ под руководством д.ф.-м.н., проф. С.И. Блинникова, Москва, 20 июля 2021 г.

7. XI Конгресса молодых ученых, Санкт-Петербург, 4-8 апреля 2022 г.

8. 8-ая школа-семинар ИКИ РАН "Магнитоплазменные процессы в релятивистской астрофизике", Таруса, 27 июня-01 июня 2022

9. Семинар МФТИ под руководством член-корр. РАН, проф. И.Б. Петрова, Долгопрудный, 7 июля 2022 г.

10. Семинар ИПМ им. М.В. Келдыша РАН под руководством член-корр. РАН, проф. В.Ф. Тишкина и д.ф.-м.н. А.А. Кулешова, Москва, 29 сентября 2022г.

11. EFRE'22, 8th International Congress on Energy Fluxes and Radiation Effects, Tomsk, Russia, October 2-8, 2022

Работа поддержана грантами:

1. Грант РНФ 21-11-00362 "Предсказательное моделирование радиаци-онно-плазмодинамических процессов на высокопроизводительной вычислительной технике в актуальных проблемах физики и астрофизики при высокой плотности энергии", 2021-2022 гг.

2. Грант РНФ 19-12-00229 "Наиболее мощные космические транзиенты: источники и перенос излучения", 2019-2022 гг.

3. Грант РФФИ 20-31-70015 "Разработка кода для численного моделирования капиллярных разрядов с лазерным прогревом", 2019-2021 гг.

4. Грант РФФИ 20-21-00082 "Исследование воздействия импульсных сверхсильных токов на плазмообразование в гетерофазных системах", 2019-2022 гг.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 статьях, 3 из которых изданы в журналах, рекомендованных ВАК, в том числе 7 - в изданиях, входящих в Scopus, в том числе 1 - в журналах, индексируемых Web of Science.

Личный вклад. Все исследования, изложенные в диссертационной работе, проведены лично соискателем. Заимствованный материал обозначен в работе ссылками.

Личный вклад автора в работах с соавторами заключается в следующем: в работах [44-46] - сравнительный анализ различных моделей для численного моделирования задач магнитной гидродинамики, разработка методики, проведение численных экспериментов; работа [47] выполнена без соавторов; в остальных работах [48-54] автор принимал непосредственное участие в обсуждении моделей и методик расчета.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения. Полный объём диссертации составляет 100 страниц, включая 28 рисунков и 2 таблицы. Список литературы содержит 95 наименований.

Глава 1. Физико-математическая модель

В настоящей главе описана физико-математическая модель процессов, протекающих в остатках сверхновых на поздней стадии их эволюции. Динамика остатков сверхновых на поздней стадии такова, что есть возможность анализировать ее на основе некой универсальной модели, пригодной для анализа взаимодействия остатков, произошедших от сверхновых различных типов, с межзвездной средой. В её основу положены уравнения частично ионизованной плазмы [55] с учётом равновесной ионизации. В данной работе рассмотрена модель, учитывающая различие в поведении ионов и нейтралов в магнитном поле, поэтому общая система уравнений состоит из двух подсистем, описывающих динамику нейтралов и ионов. Обе подсистемы описывают гидродинамику взаимодействующих континиумов - жидкостей. Обмен импульсом и энергией между подсистемами происходит за счет столкновений. В рамках данной работы также учитываются ионизационно-рекомбинационные процессы. Для учета ионизационно-рекомбинационных процессов применяется модель коронального равновесия, которая соответствует предельному случаю низкой плотности вещества остатка.

1.1 Модель частично ионизованной плазмы

В данном разделе представлена полная система уравнений эволюции остатка сверхновой. Прежде всего, остановимся на описании физических эффектов, влияющих на динамику ионов и нейтралов. Поведение ионной компоненты (обозначим индексом а) описывается следующей системой уравнений магнитной гидродинамики:

ра — ^а^а,

дtPа + 9г(РаУк,г) — 0,

д^Ра^^г) + ду^р РаУа,гУа,3 + 6

В

) - ВгВ^

^ ( Ра + ) — ВгВу) — Яав,г,

дtEа + дг[ V

В 2

Еа + Р + —

— (уВ)Вг^ — Qав — Qcoo\ + Qheat,

(1.1) (1.2)

(1.3)

(1.4)

а.г

дъВ + - БУ) = 0 (1.5)

РаУа2 , Б2 ^а = Ра£а +--^--+ —.

Где полная энергия Еа = раеа + ра^а/2 + В2/2, ра = тапа - плотность, V - скорость, р - давление, £ - внутренняя энергия, Б - магнитное поле, нормированное на л/4л, Qав - столкновительный обмен энергии между ионами и нейтралами, (^соо1 - темп потери энергии на охлаждение, Qheat - нагрев среды (см. ниже), Дар - сила трения между жидкостями (столкновительная).

Система уравнений, описывающая эволюцию нейтральной компоненты имеет вид:

Рр = ШрПр, (1.6)

^Рр + дг(рр^р ,г) = 0, (1.7)

дДрр^р,г) + д3 (Рр^13 + Ьг]рР) = Яав,г, (1.8)

дгЩ + дг (^[Ер + р]) = Qав (1.9)

2

Г Р £ + Рвув2

Н = рр£Р +—2—.

Здесь полная энергия = Рр£р + Рр^р/2.

Гидродинамические уравнения обеих подсистем замыкаются уравнениями состояния:

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шарова Юлия Сергеевна, 2023 год

Список литературы

1. Volschow M., Banerjee R., Kortgen B. Star formation in evolving molecular clouds // Astronomy and Astrophysics. — 2017. — Sep. — Vol. 605. — P. A97.

- URL:

2. Supernova Remnants Interacting with Molecular Clouds: X-Ray and Gamma-Ray Signatures / Patrick Slane, Andrei Bykov, Donald C. Ellison et al. // Space Science Reviews. — 2014. — Jul. — Vol. 188, no. 1-4. — Pp. 187-210. -URL:

3. Li Shule, Frank Adam, Blackman Eric G. Triggered star formation and its consequences // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2014. — Sep. — Vol. 444, no. 3. — Pp. 2884-2892. — URL: https://doi.org/10.1093/ mnras/stu1571.

4. The preferential formation of high-mass stars in shocked interstellar gas layers / A. P. Whitworth, A. S. Bhattal, S. J. Chapman et al. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1994. — May. — Vol. 268, no. 1. — Pp. 291-298.

- URL: https://doi.org/10.1093/mnras/268.L291.

5. Deharveng, L., Zavagno, A., Caplan, J. Triggered massive-star formation on the borders of Galactic Hregions -1. A search for "collect and collapse"candidates // Astronomy and Astrophysics. — 2005. — Vol. 433, no. 2. — Pp. 565-577. — URL: https://doi.org/10.1051/0004-6361:20041946.

6. High resolution LAsMA 12CO and 13CO observation of the G305 giant molecular cloud complex / P. Mazumdar, F. Wyrowski, J. S. Urquhart et al. // Astronomy and Astrophysics. — 2021. — Dec. — Vol. 656. — P. A101. — URL:

7. Bell A. R. The acceleration of cosmic rays in shock fronts - I // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 1978. — Feb. — Vol. 182, no. 2. — Pp. 147-156. — URL: https://doi.org/10.1093/mnras/182.2.147.

8. Gamma-Ray Observations of Tycho's Supernova Remnant with VERITAS and Fermi / S. Archambault, A. Archer, W. Benbow et al. // The Astrophysical Journal. — 2017. — Feb. — Vol. 836, no. 1. — P. 23.

9. Caprioli D., Blasi P., Amato E. Non-linear diffusive acceleration of heavy nuclei in supernova remnant shocks // Astroparticle Physics. — 2011. — Vol. 34, no. 6.

Pp. 447-456. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S0927650510002082.

10. Крымский Г. Ф. Регулярный механизм ускорения заряженных частиц на фронте ударной волны // Докл. АН СССР. — 1977. — Vol. 234. -Pp. 1306-1308.

11. Бережко Е. Г., Крымский Г. Ф. Ускорение космических лучей ударными волнами // УФН. — 1988. — Vol. 154. — Pp. 49-91.

12. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Теоретическая физика. Гидродинамика. — Москва: Наука, 1986.

13. McKee C. F., Ostriker J. P. A theory of the interstellar medium: three components regulated by supernova explosions in an inhomogeneous substrate. // The Astrophysical Journal. — 1977. — Nov. — Vol. 218. — Pp. 148-169.

14. Блинников С.И. Имшенник B.C. Утробин В.П. Гигантский рентгеновский источник в Лебеде - остаток взрыва пекулярной сверхновой. // Письма в АЖ. — 1982. — Vol. 8. — Pp. 671-678.

15. Cioffi Denis F., McKee Christopher F., Bertschinger Edmund. Dynamics of Radiative Supernova Remnants // The Astrophysical Journal. — 1988. — Nov. — Vol. 334. — P. 252.

16. Chevalier Roger A. Supernova Remnants in Molecular Clouds // The Astro-physical Journal. — 1999. — Feb. — Vol. 511, no. 2. — Pp. 798-811. — URL:

17. Carnegie Supernova Project: Observations of Type Iln supernovae / F. Taddia, M. D. Stritzinger, J. Sollerman et al. // Astronomy and Astrophysics. — 2013.

- Jun. — Vol. 555. — P. A10. — URL: http://dx.doi.org/10.1051/0004-6361/ 201321180.

18. Suzuki Akihiro, Moriya Takashi J., Takiwaki Tomoya. Supernova Ejecta Interacting with a Circumstellar Disk. I. Two-dimensional Radiation-hydrodynamic Simulations // The Astrophysical Journal. — 2019. — Dec. — Vol. 887, no. 2.

- P. 249.

19. Study of supernovae important for cosmology / P. V. Baklanov, S. I. Blinnikov, M. Sh. Potashov, A. D. Dolgov // JETP Letters. — 2013. — Dec. — Vol. 98, no. 7. — P. 432-439. — URL: http://dx.doi.org/10.1134/S0021364013200034.

20. Petruk O. On the transition of the adiabatic supernova remnant to the radiative stage in a nonuniform interstellar medium // preprint (arXiv:e-prints). — 2006. — Apr.

21. Magneto-hydrodynamic simulations of young supernova remnants and their energy-conversion phase / O. Petruk, T. Kuzyo, S. Orlando et al. // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2021. — May. — Vol. 505, no. 1.

- Pp. 755-770. — URL:

22. Bao Biwen, Yang Chuyuan, Zhang Li. 3D MHD Numerical Simulations of Polarized Emission in the Turbulent Background from Young Type Ia Supernova Remnants // American Astronomical Society. — 2018. — Oct. — Vol. 866, no. 1.

- P. 37. — URL: https://doi.org/10.3847/1538-4357/aadb96.

23. Badjin D. A., Glazyrin S. I. Physical and numerical instabilities of radiatively cooling shocks in turbulent magnetized media // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2021. — Aug. — Vol. 507, no. 1. — Pp. 1492-1512. -URL: https://doi.org/10.1093/mnras/stab2318.

24. VonNeumann J., Richtmyer R. D. A Method for the Numerical Calculation of Hydrodynamic Shocks // Journal of Applied Physics. — 1950. — Vol. 21, no. 3.

- Pp. 232-237. — URL: https://doi.org/10.1063/L1699639.

25. Lax Peter D. Weak solutions of nonlinear hyperbolic equations and their numerical computation // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1954. — Vol. 7, no. 1. — Pp. 159-193. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/ doi/abs/10.1002/cpa.3160070112.

26. Friedrichs K. O. Symmetric hyperbolic linear differential equations // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1954. — Vol. 7, no. 2.

- Pp. 345-392. — URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa. 3160070206.

27. Lax Peter, Wendroff Burton. Systems of conservation laws // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1960. — Vol. 13, no. 2. — Pp. 217-237.

- URL: https://onlinelibrary.wiley.com/doi/abs/10.1002/cpa.3160130205.

28. Courant Richard, Isaacson Eugene, Rees M. D. On the solution of nonlinear hyperbolic differential equations by finite differences // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1952. — Vol. 5. — Pp. 243-255.

29. С.К. Годунов. Разностный метод численного расчета разрывных решений уравнений гидродинамики // Матем. сб. — 1959. — Vol. 47(89), no. 3. -Pp. 271-306. — URL: http://mi.mathnet.ru/msb4873.

30. С. К. Годунов А. В. Забродин Г. П. Прокопов. Расностная схема для двумерных нестационарных задач газовой динамики и расчет обтекания с отошедшей ударной волной // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. — 1961.

- Vol. 1, no. 6. — Pp. 1020-1050.

31. Тихонов А.Н. Самарский А.А. О сходимости разностных схем в классе разрывных коэффициентов // Доклады АН СССР. — 1959. — Vol. 124.

- Pp. 1529-1532.

32. Самарский А.А. Попов Ю.П.. Разностные методы решения задач газовой динамики. — М.: Наука, 1992.

33. LeVeque Randall J. Numerical methods for conservation laws. — Basel: Birkhauser, 1990.

34. Kimoto Paul A., Chernoff David F. Convergence Properties of Finite-Difference Hydrodynamics Schemes in the Presence of Shocks // The Astrophysical Journal Supplement. — 1995. — Feb. — Vol. 96. — P. 627.

35. Roe P L. Characteristic-Based Schemes for the Euler Equations // Annual Review of Fluid Mechanics. — 1986. — Vol. 18, no. 1. — Pp. 337-365. — URL: https://doi.org/10.1146/annurev.fl.18.010186.002005.

36. Harten Amiram, Lax Peter D., Leer Bram van. On Upstream Differencing and Godunov-Type Schemes for Hyperbolic Conservation Laws // SIAM Review. — 1983. — Vol. 25, no. 1. — Pp. 35-61. — URL: https://doi.org/10.1137/1025002.

37. Osher Stanley, Solomon Fred. Upwind Difference Schemes for Hyperbolic Systems of Conservation Laws // Mathematics of Computation. — 1982. — Vol. 38, no. 158. — Pp. 339-374. — URL: http://www.jstor.org/stable/2007275 (online; accessed: 2022-09-16).

38. Colella Phillip, Woodward Paul R. The Piecewise Parabolic Method (PPM) for gas-dynamical simulations // Journal of Computational Physics. — 1984. — Vol. 54, no. 1. — Pp. 174-201. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/0021999184901438.

39. И. В. Попов. Моделирование волновых процессов в упругих средах на основе консервативных разностных схем // Матем. моделирование. — 2021.

- Vol. 33, no. 5. — Pp. 107-124. — URL: http://mi.mathnet.ru/mm4290.

40. Visualizing the world's largest turbulence simulation / Salvatore Cielo, Lui-gi Iapichino, Johannes Giinther et al. // Parallel Computing. — 2021. — Vol. 102. — P. 102758. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/pii/ S016781912100017X.

41. PLUTO: A Numerical Code for Computational Astrophysics / A. Mignone, G. Bodo, S. Massaglia et al. // The Astrophysical Journal Supplement Series.

- 2007. — May. — Vol. 170, no. 1. — Pp. 228-242.

42. The Castro AMR Simulation Code: Current and Future Developments / M. Zin-gale, A. S. Almgren, M. Barrios Sazo et al. // Journal of Physics: Conference Series. — 2020. — Sep. — Vol. 1623, no. 1. — P. 012021. — URL: https://doi.org/10.1088/1742-6596/1623/V012021.

43. FLASH: An Adaptive Mesh Hydrodynamics Code for Modeling Astrophysical Thermonuclear Flashes / B. Fryxell, K. Olson, P. Ricker et al. // The Astro-physical Journal Supplement. — 2000. — Nov. — Vol. 131, no. 1. — Pp. 273-334.

44. Технология адаптивного уточнения сетки для задач механики сплошных сред / С.К. Григорьев, А.А. Бай, Д.С. Бойков и др. // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2021. — № 86. — С. 1-19.

45. Sharova Yu. S., Glazyrin S. I., Gasilov V. A. Study of the Influence of the Background Neutral Component on the Dynamics of the Envelope in Supernova

Remnants // Astronomy Letters. — 2021. — Vol. 47, no. 11. — Pp. 746-753. — URL: https://doi.org/10.1134/S1063773721110050.

46. High Performance Computations for Short-Lived Plasmas / Olga Olkhovskaya, Gennadiy Bagdasarov, Vladimir Gasilov, Yulia Sharova // 2019 Ivannikov Memorial Workshop (IVMEM). — 2019. — Pp. 93-96.

47. Шарова Ю. С. МГД моделирование динамики остатка сверхновой с учетом нейтральной компоненты плазмы // Матем. моделирование. — 2022. — Vol. 34, no. 1. — Pp. 47-58. — URL: http://mi.mathnet.ru/mm4347.

48. Implementing a Fully Conservative Lagrangian-Euler Scheme for Two-Dimensional Problems of Magnetic Gas Dynamics / A. Yu. Krukovskiy, V. A. Gasilov, Yu. A. Poveschenko et al. // Mathematical Models and Computer Simulations.

- 2020. — Vol. 12. — Pp. 706-718.

49. Integral-consistent numerical technique for gravitationally coupled medium model / Yu. A. Poveshchenko, Yu.S. Sharova, V. O. Podryga, V. A. Gasilov // AIP Conference Proceedings. — 2019. — Vol. 2116, no. 1. — P. 270005. — URL: https://aip.scitation.org/doi/abs/10.1063/1.5114279.

50. Integrally-consistent techniques for modeling of magneto-hydrodynamic phenomena in gravitationally-bounded structures / Y. A. Poveshchenko, Y. S. Sharova, V. O. Podryga, V. A. Gasilov // AIP Conference Proceedings. — 2019. — Vol. 2172, no. 1. — P. 070016. — URL: https://aip.scitation.org/doi/ abs/10.1063/1.5133552.

51. The Approach to the Construction of Difference Schemes with a Consistent Approximation of the Stress-Strain State and the Energy Balance of the Medium in Cylindrical Geometry / Yury Poveshchenko, Vladimir Gasilov, Viktoriia Podryga, Yulia Sharova // Large-Scale Scientific Computing: 12th International Conference, LSSC 2019, Sozopol, Bulgaria, June 10-14, 2019, Revised Selected Papers. — 2019. — P. 610-617. — URL: https://doi.org/10.1007/ 978-3-030-41032-2_70.

52. Integral-Consistent Numerical Technique for Self-gravitating Medium Model / Yu. S. Sharova, Yu. A. Poveshchenko, V. A. Gasilov et al. // Finite Difference Methods. Theory and Applications. — 2019. — Pp. 461-467.

53. Болдарев А.С., Гасилова И.В., Шарова Ю.С. Математическое моделирование газокластерных мишеней для фемтосекундных лазерных импульсов // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2018. — № 150. — С. 1-22.

54. Повещенко Ю. А., Подрыга В. О., Шарова Ю. С. Интегрально-согласованные методы расчета самогравитирующих и магнитогидродинамических явлений // Препринты ИПМ им. М.В. Келдыша. — 2018. — № 160. — С. 1-21.

55. Леонтович М. А. Вопросы теории плазмы. Выпуск 1. — М.: ГосАтомИздат, 1963.

56. Huba J. D. NRL PLASMA FORMULARY Supported by The Office of Naval Research. — Washington, DC: Naval Research Laboratory, 2013. — Pp. 1-71. — URL: http://wwwppd.nrl.navy.mil/nrlformulary/.

57. Momentum Transfer and Viscosity from Proton-Hydrogen Collisions Relevant to Shocks and Other Astrophysical Environments / D. R. Schultz, P. S. Krstic, T. G. Lee, J. C. Raymond // The Astrophysical Journal. — 2008. — May. — Vol. 678, no. 2. — Pp. 950-960.

58. R. Cowan. The Theory of Atomic Structure and Spectra. Los Alamos Series in Basic and Applied Sciences. — Berkeley: University of California Press, Ltd., 1981.

59. Вайнштейн Л. А., Собельман И. И., Юков Е. А. Возбуждение атомов и уширение спектральных линий. — М.: Наука, 1979.

60. A new radiative cooling curve based on an up-to-date plasma emission code / Schure, K. M., Kosenko, D., Kaastra, J. S. et al. // Astronomy and Astrophysics. — 2009. — Vol. 508, no. 2. — Pp. 751-757. — URL: https: //doi.org/10.1051/0004-6361/200912495.

61. Kellogg E., Baldwin J. R., Koch D. Studies of cluster X-ray sources. Energy spectra for the Perseus, Virgo, and Coma clusters. // The Astrophysical Journal.

- 1975. — Jul. — Vol. 199. — Pp. 299-306.

62. Gronenschild E. H. B. M., Mewe R. Calculated X-radiation from optically thin plasmas. III. Abundance effects on continuum emission. // Astronomy and Astrophysics Supplement Series. — 1978. — May. — Vol. 32. — Pp. 283-305.

63. Gaetz T. J., Salpeter E. E. Line radiation from a hot, optically thin plasma -Collision strengths and emissivities // Astrophysical Journal Supplement Series.

- 1983. — Jun. — Vol. 52. — Pp. 155-168.

64. On physical and numerical instabilities arising in simulations of non-stationary radiatively cooling shocks / D.A. Badjin, S.I. Glazyrin, K.V. Manukovskiy, S.I. Blinnikov // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2016.

- Vol. 459. — Pp. 2188-2211.

65. Зализняк В.Е. Основы вычислительной физики. Часть I. Введение в конечно-разностные методы. — Москва: Техносфера, 2008.

66. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Электродинамика сплошных сред. — Москва: Наука, 1982.

67. В. В. Кузенов С. В. Рыжков. Численное моделирование взаимодействия мишени магнитно-инерциального термоядерного синтеза с плазменным и лазерным драйверами // Теплофизика высоких температур. — 2021. — Vol. 59, no. 4. — Pp. 492-501.

68. Ryzhkov Sergei V., Kuzenov Victor V. New realization method for calculating convective heat transfer near the hypersonic aircraft surface // Zeitschrift Angewandte Mathematik und Physik. — 2019. — Apr. — Vol. 70, no. 2. — P. 46.

69. Shu C.-W. Essentially Non-Oscillatory and Weighted Essentially Non-Oscillatory Schemes for Hyperbolic // NASA/CR-97-206253. — 1997.

70. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. — Москва: Наука, 1981.

71. Годунов С.К. Численное решение многомерных задач газовой динамики. — Москва: Наука, 1976.

72. Г.А. Багдасаров. Трехмерное моделирование магнитоускоренной импульсной плазмы с учетом эффектов, обусловленных обобщенным законом Ома: Ph.D. thesis. — Москва: Институт прикладной математики им. М.В. Келдыша Российской академии наук, 2012.

73. Toro Eleuterio F. Riemann solvers and numerical methods for fluid dynamics: a practical introduction. — Springer Science & Business Media, 2013.

74. Brio M., Wu C. C. An Upwind Differencing Scheme for the Equations of Ideal Magnetohydrodynamics // Journal of Computational Physics. — 1988. — Apr.

- Vol. 75, no. 2. — Pp. 400-422.

75. Zachary Andrew L., Malagoli Andrea, Colella Phillip. A Higher-Order Godunov Method for Multidimensional Ideal Magnetohydrodynamics // SIAM Journal on Scientific Computing. — 1994. — Vol. 15, no. 2. — Pp. 263-284. — URL: https://doi.org/10.1137/0915019.

76. Roe P. L. Approximate Riemann Solvers, Parameter Vectors, and Difference Schemes // Journal of Computational Physics. — 1997. — Aug. — Vol. 135, no. 2. — Pp. 250-258.

77. Einfeldt Bernd. On Godunov-Type Methods for Gas Dynamics // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 1988. — Vol. 25, no. 2. — Pp. 294-318. — URL: http://www.jstor.org/stable/2157317 (online; accessed: 2022-10-06).

78. On the Choice of Wavespeeds for the HLLC Riemann Solver / P. Batten, N. Clarke, C. Lambert, Derek M. Causon // SIAM J. Sci. Comput. — 1997. — Vol. 18. — Pp. 1553-1570.

79. Miyoshi Takahiro, Kusano Kanya. A multi-state HLL approximate Riemann solver for ideal magnetohydrodynamics // Journal of Computational Physics.

- 2005. — Sep. — Vol. 208, no. 1. — Pp. 315-344.

80. Sod Gary A. A survey of several finite difference methods for systems of nonlinear hyperbolic conservation laws // Journal of Computational Physics. — 1978. — Vol. 27, no. 1. — Pp. 1-31. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/0021999178900232.

81. А. Ю. Круковский В. Г. Новиков И. П. Цыгвинцев. Программа 3DLINE: моделирование воздействия несоосного лазерного импульса на оловянную каплю // Препринты ИПМ им. М. В. Келдыша. — 2015. — Vol. 063. — URL: http://mi.mathnet.ru/ipmp2025.

82. Woodward Paul, Colella Phillip. The numerical simulation of two-dimensional fluid flow with strong shocks // Journal of Computational Physics. — 1984. — Vol. 54, no. 1. — Pp. 115-173. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/ article/pii/0021999184901426.

83. Brio M, Wu C. C. An upwind differencing scheme for the equations of ideal mag-netohydrodynamics // Journal of Computational Physics. — 1988. — Vol. 75, no. 2. — Pp. 400-422. — URL: https://www.sciencedirect.com/science/article/ pii/0021999188901209.

84. Калиткин Н.Н. Численные методы. — Москва: Наука, 1978.

85. Townsend R.H.D. An exact integration scheme for radiative cooling in hydrody-namical simulations // The Astrophysical Journal Supplement Series. — 2009.

- Vol. 181, no. 2. — Pp. 391-397.

86. Кукуджанов В.Н. Лекции по основам газовой динамики. — Москва: Издательство Физико-математической литературы, 2008.

87. SALOME. — URL: http://www.salome-platform.org/.

88. ParaView. — URL: https://www.paraview.org/.

89. Aztec. — URL: http://www.cs.sandia.gov/CRF/aztec1.html.

90. METIS / ParMETIS. — URL: http://glaros.dtc.umn.edu/gkhome/views/metis.

91. CMake. — URL: http://www.cmake.org/.

92. Kim C.-G., Ostriker E. C. Momentum Injection by Supernovae in the Interstellar Medium // The Astrophysical Journal. — 2015. — Apr. — Vol. 802. — P. 99.

93. Седов Л.И. Методы подобия и размерности в механике. — Москва: Наука, 1967.

94. Vishniac E. T. Nonlinear instabilities in shock-bounded slabs // The Astrophysical Journal. — 1994. — Vol. 428. — Pp. 186-208.

95. Nagakura Takanori, Hosokawa Takashi, Omukai Kazuyuki. Star formation triggered by supernova explosions in young galaxies // Monthly Notices of the Royal Astronomical Society. — 2009. — Nov. — Vol. 399, no. 4. — Pp. 2183-2194. — URL: https://doi.org/10.1111/j.1365-2966.2009.15423.x.