Численное моделирование сейсмических процессов с использованием сеточно-характеристических методов повышенного порядка аппроксимации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Шевченко Алексей Владимирович

• Шевченко Алексей Владимирович
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Шевченко Алексей Владимирович

Введение

Глава 1. Физико-математические модели сред

1.1 Модель акустики

1.2 Модель линейной упругости

1.3 Модель упруговязкопластичности с разупрочнением

1.4 Модель пористой среды В.Н. Доровского

Глава 2. Численные методы решения прямых задач

2.1 Сеточно-характеристический метод в одномерном случае

2.2 Граничные условия в одномерном случае

2.2.1 Контактные условия

2.3 Операторное расщепление для трёхмерных задач

2.4 Явно-неявная схема для УВП среды с разупрочнением

2.4.1 Неявная аппроксимация 1-го порядка

2.4.2 Неявная аппроксимация 2-го порядка

2.5 Программная реализация

Глава 3. Проведённые расчёты

3.1 Тесты граничных и контактных условий

3.1.1 Тестирование граничных условий на одномерных задачах

3.1.2 Тестирование контактных условий на одномерных задачах

3.2 Тесты операторного расщепления на трёхмерных задачах

3.2.1 Тест на задаче с периодическими граничными условиями

3.2.2 Тест на задаче с плоской волной

3.3 Моделирование упруговязкопластической среды с разупрочнением

3.3.1 Валидация моделирования УВП сред с разупрочнением на квазиодномерных задачах

3.3.2 Моделирование линий и плоскостей скольжения

3.4 Моделирование пористой флюидонасыщенной среды

3.5 Решение обратной задачи сейсмической миграции методом RTM

Стр.

3.5.1 Описание алгоритма миграции в обратном времени (RTM)

3.5.2 Результаты применения алгоритма RTM

Заключение

Список литературы

Список рисунков

Список таблиц

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование сейсмических процессов с использованием сеточно-характеристических методов повышенного порядка аппроксимации»

Введение

Сейсмика изучает динамическое поведение геологического массива, в частности, регистрируемые колебания дневной поверхности. Распространение этих колебаний в среде обуславливает волновой характер рассматриваемых процессов. Они могут быть инициированы как естественными факторами (например, землетрясения), так и искусственными (например, удары или взрывы). Задача описания и моделирования таких процессов не только представляет научный интерес, но и характеризуется большой прикладной значимостью. Например, сейсмическая разведка на данный момент является основным способом поиска и предварительной оценки внутренней структуры нефтегазовых месторождений. Она основана на распространении упругих волн в неоднородных геологических средах. По данным, зарегистрированным вблизи поверхности, удаётся сделать выводы о структуре нижележащих геологических слоёв. Исчерпание существующих месторождений приводит к необходимости исследовать всё более труднодоступные залежи, что требует модификации процедур сейсморазведки и обработки данных. Последнее представляется неосуществимым без возможности детального описания и моделирования волновых процессов. Разработанные за последние десятилетия технологии полноволновой миграции и инверсии, хорошо зарекомендовавшие себя в регионах со сложной геологической структурой, в явном виде требуют предсказания регистрируемых откликов по заданной модели среды.

Первым шагом в моделировании является построение или выбор подходящей физико-математической модели процесса. Хорошо известным является лучевое приближение, разработанное в рамках геометрической оптики. Хотя на его основе были построены некоторые высокоэффективные алгоритмы, отсутствие учёта формы сигнала, поверхностных волн и ряда других наблюдаемых эффектов допускает только их ограниченное применение. В более общем случае в рамках механики сплошных сред удаётся построить модели на основе дифференциальных приближений, приводящих в общем случае к системам дифференциальных уравнений в частных производных [1—9]. При этом используются как более простые модели, например, акустическая [5], так и более сложные, учитывающие большее количество наблюдаемых эффектов, в том числе нелинейных, например, модели упругопластичности или вязкопластичности [10].

Из-за сложности рассматриваемых систем уравнений, а также наличия коэффициентов, зависящих от пространственных координат, в большинстве случаев решения не выражаются в элементарных функциях, и их нахождение требует использования численных методов. Важными свойствами последних является применимость к рассматриваемым задачам и высокая эффективность (учитывая большие размеры расчётной области по сравнению с длиной волны, трёхмерное моделирование сейсмики представляет определённые сложности даже на современном вычислительном оборудовании), в том числе возможность и эффективность распараллеливания.

Одним из наиболее популярных подходов к численному решению систем уравнений в частных производных является семейство методов конечных разностей. Методы основаны на дискретизации исходных дифференциальных уравнений путём замены производных их приближениями на основе «конечных» разностей величин, заданных на структурной сетке, обычно прямоугольной [11—13]. Разработаны методы высокого порядка аппроксимации [14; 15], в том числе на сдвинутых сетках [16], известны теоретические исследования устойчивости многих конечноразностных схем. К достоинствам метода следует отнести высочайшую эффективность, в том числе достигаемую за счёт высокого порядка аппроксимации, обеспечившую его повсеместное применение. К недостаткам относится сложность учёта граничных условий в случае рельефа и неоднородностей сложной формы на используемых регулярных сетках. Возможные варианты преодолеть эти трудности включают, в том числе, комбинирование метода конечных разностей с другими подходами [17].

Другим известным численным методом является метод конечных элементов. Этот метод использует покрытие расчётной области неструктурированной сеткой (что значительно упрощает её локальное измельчение), введение базиса в функциональном пространстве, обычно на основе полиномиальных базисных функций в каждой ячейке сетки, и формулировку дискретной задачи на основе слабой формы исходных уравнений [12; 13; 18]. Использование неструктурированных сеток позволяет описывать объекты сложной формы и выполнять локальное измельчение сетки, что требует дополнительных вычислительных ресурсов по сравнению с регулярными сетками.

Частным случаем метода конечных элементов является метод спектральных элементов, использующий тензорное произведение многочленов, построенных на квадратурных точках Гаусса-Лобатто-Лежандра (GLL), в качестве базисных

функций на элементах, которыми являются четырёхугольники в К2 и шестигранники в К3 [12; 13; 19; 20]. Метод требует более трудоёмкого построения расчётной сетки, чем при использовании треугольников или тетраэдров, а также накладывает более жёсткое ограничение на шаг по времени из условия устойчивости Куранта. К достоинствам метода можно отнести высокую эффективность при использовании схем высокого порядка аппроксимации.

В динамических задачах малых деформаций геологических сред хорошо зарекомендовал себя сеточно-характеристический метод. Он был предложен в работе [21] и получил развитие в работах [22; 23]. Применимый для гиперболических систем, данный метод основан на использовании обратных характеристик. В работе [24] было предложено обобщение метода на случай криволинейных и подвижных сеток, в работах [25; 26] —на случай треугольных или тетраэдральных сеток. Вопросы построения сеточно-характеристических схем повышенного порядка аппроксимации рассматривались в работах [26; 27] и [28]. В работах [29; 30] сеточно-характеристический метод использовался для моделирования нелинейных вязкопластических эффектов.

Целью настоящего диссертационного исследования являлась разработка численных алгоритмов для проведения математического моделирования нестационарных деформационных процессов в акустических, упругих, упруговязкопла-стических с разупрочнением, пористых флюидонасыщенных средах.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Разработка способа аппроксимации граничных и контактных условий, сохраняющего порядок сходимости сеточно-характеристической схемы, достигнутый во внутренних точках расчётной области. Эмпирическое исследование порядка сходимости построенной схемы.

2. Развитие сеточно-характеристического метода для численного решения трёхмерных задач акустической и изотропной линейно упругой среды, обладающего третьим порядком сходимости. Эмпирическое исследование порядка сходимости.

3. Получение расчётных формул сеточно-характеристического метода для численного решения трёхмерной динамической задачи деформирования среды, описываемой моделью Доровского, на параллелепипедной расчётной сетке.

4. Разработка и реализация явно-неявных схем для моделирования деформационных процессов в упруговязкопластических средах с разу-

прочнением. Исследование возможности использования различных схем аппроксимации определяющих соотношений.

5. Реализация программных алгоритмов в виде программного комплекса для современных высокопроизводительных вычислительных систем.

Научная новизна:

1. Разработан способ заполнения мнимых узлов расчётной сетки, обеспечивающий сохранение повышенного порядка аппроксимации сеточно-характеристических схем для акустической задачи на внешней и контактной границах области интегрирования.

2. Построены сеточно-характеристические схемы третьего порядка аппроксимации для трёхмерных задач акустической и изотропной линейно упругой сред. Использование процедуры многошагового операторного расщепления обеспечило устранение эффекта понижения порядка многомерной схемы, характерного для стандартных схем покоординатного расщепления.

3. Разработана сеточно-характеристическая схема на параллелепипедных расчётных сетках для математического моделирования динамических процессов в деформируемой среде, описываемой моделью Доровского, в полной трёхмерной постановке.

4. Реализованы явно-неявные схемы для расчёта динамического напряжённо-деформированного состояния упруговязкопластических сред с разупрочнением. С их помощью получены численные решения двумерных и трёхмерных задач о формировании линий и плоскостей скольжения.

Практическая значимость исследования заключается в развитии сеточно-характеристического численного метода, его адаптации для решения новых задач, а также в представлении способа моделирования волновых процессов с учётом пористости среды или вязкопластичности с эффектом разупрочнения. Были реализованы программные алгоритмы для построения миграционного изображения неоднородного геологического массива.

Исследования были поддержаны грантами РНФ 21-11-00139 «Развитие фундаментальных основ и вычислительных методов решения прямой и обратной гармонической задачи линейной теории упругости в трёхмерных гетерогенных средах» и 20-71-10028 «Развитие гибридных численных методов и разработка комплексов программ для моделирования волновых полей в гетерогенных твер-

дых деформируемых средах с целью явного выделения неоднородностей и учета топографии поверхности».

Методология и методы исследования. В работе для описания волновых процессов используются общепринятые физико-математические модели сред: акустическая [1; 5] и линейно упругая [2], а также модель Доровского пористой флюидонасыщенной среды [31; 32] и модель упруговязкопластической среды с разупрочнением [33; 34]. Для численного моделирования был использован явный сеточно-характеристический численный метод на регулярных сетках [35]. Описываемые алгоритмы были реализованы в программном комплексе и протестированы на ряде задач, в том числе на задачах с известным аналитическим решением.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Построены граничные и контактные условия для акустической задачи, сохраняющие повышенный порядок аппроксимации сеточно-характеристических схем.

2. Построены сеточно-характеристические схемы третьего порядка аппроксимации для трёхмерных задач акустики и изотропной линейной упругости, основанные на многошаговом операторном расщеплении.

3. Адаптирован сеточно-характеристический метод на параллелепипедных расчётных сетках для численного трёхмерного моделирования сейсмического отклика от среды, описываемой моделью Доровского.

4. Адаптированы явно-неявные схемы для расчёта динамического поведения упруговязкопластических сред с разупрочнением под действием внешней нагрузки.

5. Разработан программный комплекс, позволяющий проводить расчёт трёхмерных динамических деформационных задач, в том числе для упруговязкопластических и пористых флюидонасыщенных сред.

6. Получены численные решения двумерных и трёхмерных задач о формировании линий и плоскостей скольжения в упруговязкопластической среде с разупрочнением.

Достоверность полученных результатов обеспечивается использованием известных верифицированных физико-математических моделей сред и численных методов. Она подтверждается тестированием реализованных алгоритмов на модельных задачах, в том числе на задачах с известными аналитическими решениями, проверкой физической непротиворечивости полученных решений,

исследованием сеточной сходимости. Полученные результаты согласуются с результатами, полученными другими отечественными и зарубежными авторами.

Апробация работы. Основные результаты работы были доложены автором на следующих конференциях и научных семинарах:

1. «Семинар Красноярского математического центра по прикладной математике», онлайн, 04 декабря 2024 г.

2. «Марчуковские чтения - 2024», г. Новосибирск, 2024 г.

3. «Интеллектуальные информационные технологии и математическое моделирование - 2024», с. Дивноморское, Краснодарский край, 2024 г.

4. «66-я Всероссийская научная конференция МФТИ», г. Долгопрудный, 2024 г.

5. «65-я Всероссийская научная конференция МФТИ», г. Долгопрудный, 2023 г.

6. «Математика. Компьютер. Образование. III-я конференция», г. Дубна, 2023 г.

7. «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications - 2024», Сириус, 2024 г.

8. «Quasilinear Equations, Inverse Problems and their Applications - 2023», г. Долгопрудный, 2023 г.

9. «Numerical methods and experimental techniques for sustainable and disaster resilient infrastructure - 2023», Indore, India, 2023 г.

Личный вклад. Представленные в диссертации результаты являются оригинальными и получены лично автором или при его непосредственном участии. Формулы предложенного автором способа задания граничных и контактных условий, а также выражения для безматричной реализации операторов в случае пористой среды, описываемой моделью Доровского, были выведены соискателем лично; формулы неявной схемы для упруговязкопластической среды с разупрочнением были получены совместно с д.ф.-м.н. Никитиным Ильёй Степановичем. Программная реализация алгоритмов, их тестирование и все расчёты были проведены лично автором.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 10 печатных изданиях, индексируемых Web of Science и Scopus. Зарегистрирована 1 программа для ЭВМ.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, 3 глав и заключения. В первой главе описаны используемые физико-математические модели сред, во второй — численные методы, а в третьей представлены результаты расчётов. Полный объём диссертации составляет 82 страницы, включая 14 рисунков и 14 таблиц. Список литературы содержит 73 источника.

Глава 1. Физико-математические модели сред

Для описания процессов статического и динамического нагружения упругих тел используются физико-математические модели, определяемые системами дифференциальных уравнений в частных производных. Применяется стандартный для механики сплошных сред подход [1—10], заключающийся в рассмотрении бесконечно малых объёмов деформируемого тела и определении в таком бесконечно малом объёме искомых величин, например, смещений или давления, взятых относительно положения равновесия. Эти величины становятся неизвестными функциями дифференциальной задачи. Для корректности задачи по Адамару система дополняется начальными и граничными условиями. В данной главе описаны модели, которые применялись в настоящей работе.

Одной из простейших моделей среды, в которой распространяются волны, является акустическая. Её определяющие уравнения могут быть записаны как система дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестных функций давления р(х,Ь) и скорости у(х,Ь), зависящих от времени Ь и пространственных координат х е С С К^, где С — расчётная область с кусочно-гладкой границей дС, б е {1,2,3} определяет размерность рассматриваемого простран-

В данном уравнении параметры среды задаются известными функциями пространственного распределения плотности р(х) и скорости волн с(х), не зависящих от времени. определяет правую часть неоднородной системы уравнений и имеет физический смысл приложенной внешней силы. Часто используются обозначения Z = ср для акустического импеданса и К = cZ = с2р для объёмного модуля упругости. Дополнительно отметим, что все неизвестные функции

1.1 Модель акустики

ства, V е ^ [1, §64; 5, §13]:

(1.1)

отсчитываются от равновесного состояния, потому значения давления p могут принимать как положительные, так и отрицательные значения.

Известно, что решение системы (1.1) с высокой точностью описывает процесс распространения низкоамплитудных объёмных волн в жидкостях и газах [5, §13]. В связи с относительной простотой данной модели, её широко применяют и для описания продольных волн в упругих телах, в частности, для моделирования сейсмических процессов [13; 36].

Для корректности дифференциальной задачи должны быть добавлены начальные условия: p(x,0) = p0(x), v(x,0) = v0(x) Ух G G.

Также должны быть заданы корректные граничные условия.

- В общем случае на границе должно быть задано давление:

- Распространённый частный случай — условие свободной границы [5, §41, с. 124; 37, раздел 7.3], также известное в геофизике как условие «дневной поверхности»:

В моделировании сейсмических процессов это условие контакта акустической среды с вакуумом (средой с предельно низкой скоростью распространения акустических волн), оно задаётся на верхней грани расчётной области — границе среда-воздух.

- Для моделирования волн, уходящих «на бесконечность» и не порождающих отражений, для уменьшения расчётной области с целью ускорения расчётов могут использоваться неотражающие граничные условия [37, раздел 7.3]. Обычно их не записывают в виде р(х,Ь) = Р(ж,£), поскольку в этом случае функция Р(х,Ь) зависит от решения и не известна до начала расчёта.

Известно, что уравнения акустики являются гиперболическими [37, раз-

p(X,t) = P(x,t) Ух G dG Уг ^ 0.

(1.2)

p(x,t) = 0 Ух G dG Уг ^ 0.

(1.3)

дел 2.9].

1.2 Модель линейной упругости

Для описания волновых процессов в упругих деформируемых телах, в которых возможны как продольные, так и поперечные волны, часто используют линейную теорию упругости [2; 5]. В изотропном случае определяющие уравнения могут быть записаны в виде системы дифференциальных уравнений первого порядка относительно неизвестного вектора скорости у(х,Ь) е и тензора напряжений Коши с(х,Ь), который может быть представлен симметричной матрицей размерами б х б:

рУ = V • с + (14)

С = Л(У • V)! + —(V ® V + (У ® У)т).

Здесь использованы обозначения V • а = дХг, г е {1,2,... ,б}, а также

тензорное произведение б-мерных векторов (а ® Ъ)^ = щ • ^, г,] е {1,2,... ,б}.

Параметры среды определяются известными постоянными во времени пространственными распределениями плотности р(х) и параметров Ламе Л(х), —(х). Отметим, что скорости распространения продольных волн Ср и поперечных волн Са однозначно выражаются через приведённые параметры:

Ср = \\--, Са = А —. (1.5)

рр

Аналогично акустическим уравнениям, вводится импеданс продольных волн Zp = рСр и импеданс поперечных волн Zа = рСа. Таким образом, среду можно описать либо плотностью р и параметрами Ламе Л(х), — (х), либо плотностью р и скоростями Ср, С а, либо плотностью р и импедансами Zp, Zs, либо иной параметризацией.

Система уравнений (1.4) также является гиперболической. Для корректности дифференциальной задачи необходимы начальные условия: УУ(х,0) = щ(х), ст(ж,0) = сго(х) Ух е С.

Также необходимы граничные условия, описанные, например, в работе [5, §137]. В настоящей работе использовались следующие граничные условия:

- Заданная скорость: у(х,Ь) = V(х,Ь) на границе х е дС, Ь ^ 0.

- Заданная сила: с • п = ?(х,Ь) на границе х е дС, Ь ^ 0.

- Частный случай предыдущего пункта — условие свободной границы («дневной поверхности»)

а • п = 0 Ух е да УЬ ^ 0. (1.6)

- Неотражающие граничные условия, аналогично акустическому случаю, соответствуют моделированию поведения бесконечной среды при помощи ограниченной расчётной области.

1.3 Модель упруговязкопластичности с разупрочнением

Расширением уравнений изотропной линейной упругости (1.4) на случай упруговязкопластической (УВП) среды с разупрочнением при малых деформациях в трёхмерном случае является следующая система уравнений:

за -> ->

р— = V • а + ^ (1.7а)

дЬ

% = (ЛV •* (1-7б)

а = 1 Тг а = 1 (а : I), (1.7в)

девиатор 8 = а — а1, (1.7г)

I=—^ р—о) * (1.7д)

е = (V ® а + а ® V /2, (1.7е)

девиатор е' = е — - (Тг е) I, (1.7ж)

3

д к ._

Х/ър : еър, (1.7з)

дЬ

—

\/87~8 \ (к)

е'ур = ^ — 0 )/т- (1.7и)

Аналогично чисто упругому случаю, а(х,Ь) —вектор скорости, а(х,Ь) — тензор напряжений, р — плотность среды, Л и ^ — модули упругости Ламе, — приложенная внешняя сила. Также рассматривается скалярное среднее напряжение а (1.7в), девиатор тензора напряжений (1.7г) 8 с компонентами в^, тензор скорости вязкопластической деформации е (1.7е) и его девиатор (1.7ж). Отметим,

что уравнения (1.7) рассматриваются в трёхмерном случае d = 3, потому коэффициент 1/3 внесён в формулы для девиаторов. Использовалось общепринятое обозначение a : b = Y1 dj=i aij bij для двойного скалярного произведения (двойной свёртки) тензоров.

Упругая часть уравнений соответствует уравнениям линейной теории упругости (1.4), упруговязкопластическая часть уравнений была сформулирована в работах [10; 38; 39].

Дополнительной неизвестной функцией становится так называемый параметр разупрочнения к(Х^), определяемый из уравнения (1.7з) и начального условия к(х,0) = 0; дополнительные граничные условия не требуются [33; 34]. Отметим, что, поскольку правая часть (1.7з) всегда неотрицательна, параметр разупрочнения к в процессе расчёта может только увеличиваться, что имеет физический смысл роста числа микродефектов (микропор, микротрещин и других) в единице объёма. Все остальные начальные и граничные условия берутся из модели упругости, описанной в предыдущем разделе.

Выражение ^F (off) — /т отвечает за вязкопластическое поведение среды. Здесь угловые скобки обозначают функцию Хевисайда, а F — в общем случае нелинейная функция вязкости, F ^ 0, F(0) = 0:

{F(x), если x > 0,

(1.8)

0, иначе.

Переменный предел текучести оДк) = о0 f (к), где о0 — начальное значение предела текучести для неповреждённого материала, f (к) — функция разупрочнения, f (0) = 1, f'(к) ^ 0, то есть предел текучести невозрастает со временем. Часть дальнейших формул была выведена в общем случае произвольной функции разупрочнения f (к), удовлетворяющей вышеописанным требованиям, однако во всех расчётах использовалась функция разупрочнения

f (к) = тток • (1-9)

Эта функция зависит от дополнительного параметра а ^ 0, определяющего скорость разупрочнения. Задание а = 0 соответствует УВП среде без эффекта разупрочнения, поскольку в этом случае предел текучести os = o0f (к) = о0 =

const.

Параметр т > 0, [с] — характерное время релаксации компонент девиатора напряжений на поверхность текучести.

Отметим, что добавление вязкости к задаче с разупрочнением делает задачу корректной [40].

1.4 Модель пористой среды В.Н. Доровского

В.Н. Доровский предложил модель, основанную на линеаризации нелинейных уравнений континуальной теории фильтрации [31; 32], которая описывает динамическое упругое поведение двухфазной среды: упругого пористого скелета и связанных пор, насыщенных флюидом (жидкостью или газом). Полагается, что в каждом малом объёме есть и скелет, и поровый флюид. Система может быть записана в следующем виде [32; 41]:

и + £У •Ь + Vp = ^ V + ¿0 V Р = РехЬ,

Ь + — V ® и + (V ® и)т] + Г (Л - ^к) (V • и) - р-К(V • V)

I = 0,

Ро ) к ' Ро

рг - (К - аорора)V • и + аоPоPfV • V =0.

(1.10)

Неизвестными являются скорость скелета и(х,Ь), скорость флюида у(х,Ь), минус тензор напряжений скелета Ь(х,Ь) и поровое давление р(х,Ь). ¥ехЛ задаёт приложенную внешнюю силу.

Среда определяется следующими параметрами:

- объёмная пористость в, 0 ^ в ^ 1, безразмерный параметр;

- физические плотности скелета р° и флюида р°, [кг/м3];

- эффективные плотности рf = вр°, ра = (1 - в)р°, ро = ра + Pf, [кг/м3];

- три упругих параметра К, [Па], —, [Па], и ао, [Па / (кг/м3)2]. Характерной особенностью моделей пористых сред является наличие двух

скоростей продольных волн: быстрой ср1 и медленной ср2, ср1 > ср2. Также существуют поперечные волны, распространяющиеся со скоростью са. Модель

Доровского позволяет пересчитать параметры К, ц, а0 через скорости волн:

Ц = Р^, (1.11)

К - р0р^г2 + г2 8 Р/ г2 КС2 с2 А2 64 р/Р ГЛ (1 12)

К — ^р/Д^1 + ^" 3 Р0г* V " гР2) " "9"РТГа)' ( )

а = 1 (г2 + г2 8 Р г2 + 1(г2 г2 А2 64 Р/Р гЛ + К (113)

ао - 2Р0 ^ + ГР2" 3 Р0г* + у (ГР1" ГР2) " ¥"РТг*) + Р2 • (1Л3)

Уравнения (1.10) дополняются начальными условиями и(х,0) — и0(х), у(х,0) — у0(х), Ь(х,0) — Ь0(х), р(х,0) — р0(х) Ух е С.

Также задаются граничные условия: например, приложенные к границе дС сила и давление Ь • п — /(£,£), р — Р(х£) на границе х е дС, £ ^ 0.

Система уравнений (1.10) также является гиперболической [41].

Модель Доровского может быть использована для описания волновых процессов в водо-, газо- и нефтенасыщенных средах, поскольку их пористость в может достигать 30%. Так, в работе [42] был описан подход к численному моделированию динамического поведения пористой среды с использованием PML слоя, в работах [43—45] модель Доровского использовалась для описания геологических массивов в процессе сейсморазведки, а в работах [46; 47] с её помощью описывалось прискважинное пространство, насыщенное водой, нефтью и буровым раствором.

Глава 2. Численные методы решения прямых задач

В настоящей работе для решения гиперболических систем уравнений, описанных в предыдущей главе, использовался сеточно-характеристический численный метод на прямоугольных сетках [23; 48; 49]. Для полноты изложения в разделе 2.1 описано построение одномерных сеточно-характеристических схем, в разделе 2.2 —способы задания граничных и контактных условий в одномерном случае, как ранее известные, так и предложенные автором. В разделе 2.3 описано операторное расщепление в трёхмерном случае, на основе которого была построена трёхмерная сеточно-характеристическая схема третьего порядка аппроксимации. В разделе 2.4 подробно описано построение неявной части явно-неявной схемы для моделирования упруговязкопластических сред с разупрочнением. Завершает главу раздел 2.5, в котором описан итоговый алгоритм, обсуждаются некоторые особенности реализации, повышающие производительность, а также приводятся соображения относительно распараллеливания.

2.1 Сеточно-характеристический метод в одномерном случае

В данном разделе кратко представлено описание сеточно-характеристи-ческих схем в одномерном случае. Основы сеточно-характеристического метода были заложены в работах [21; 23] и получили дальнейшее развитие в работах [25; 35].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Шевченко Алексей Владимирович, 2025 год

Список литературы

1. Ландау, Л. Теоретическая физика: учебное пособие. Том VI Гидродинамика / Л. Ландау, Е. Лифшиц; под ред. Л. Питаевский. — Физматлит, 2001. — 736 с.

2. Ландау, Л. Теоретическая физика: учебное пособие. Том VII Теория упругости / Л. Ландау, Е. Лифшиц ; под ред. Л. Питаевский. — Физматлит, 2003. — 264 с.

3. Бреховских, Л. Введение в механику сплошных сред (в приложении к теории волн) / Л. Бреховских, В. Гончаров ; под ред. Г. Баренблатт. — Наука, 1982. — 337 с.

4. Бреховских, Л. Волны в слоистых средах / Л. Бреховских. — Наука, 1973. — 343 с.

5. Исакович, М. Общая акустика: учебное пособие / М. Исакович. — Наука, 1973. — 495 с.

6. Куликовский, А. Математические вопросы численного решения гиперболических систем уравнений / А. Куликовский, Н. Погорелов, А. Семёнов. — Физматлит, 2001. — 600 с.

7. Wilkins, M. Computer simulation of dynamic phenomena / M. Wilkins. — Springer Berlin, Heidelberg, 1999. — 264 p.

8. Кукуджанов, В. Вычислительная механика сплошных сред / В. Кукуджа-нов. — Физматлит, 2008. — 320 с.

9. Никитин, И. Теория неупругих слоистых и блочных сред / И. Никитин. — Физматлит, 2019. — 190 с.

10. Фрейденталь, А. Математические теории неупругой сплошной среды / А. Фрейденталь, Х. Гейрингер ; под ред. Э. Григолюк. — Физматгиз, 1962. — 432 с.

11. Лобанов, А. Вычислительная математика. Курс лекций / А. Лобанов, И. Петров. — Физматкнига, 2021. — 476 с.

12. Igel, H. Computational seismology: a practical introduction / H. Igel. — Oxford University Press, 2017. — 324 p.

13. Virieux, J. A review of the spectral, pseudo-spectral, finite-difference and finite-element modelling techniques for geophysical imaging / J. Virieux, H. Calandra, R.-E. Plessix // Geophysical Prospecting. — 2011. — Aug. — Vol. 59. — P. 794—813.

14. Довгилович, Л. Е. Разностные методы высокого порядка точности для решения акустического волнового уравнения и уравнений анизотропной упругости : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 01.01.07 / Довгилович Леонид Евгеньевич. — Москва, 2013. — 120 с.

15. Dovgilovich, L. High-accuracy finite-difference schemes for solving elastodynamic problems in curvilinear coordinates within multiblock approach / L. Dovgilovich, I. Sofronov // Applied Numerical Mathematics. — 2015. — Т. 93. — С. 176—194. — International Conference Difference Schemes and Applications in Honor of the 90-th Birthday of Professor V. S. Ryaben'kii.

16. Lisitsa, V. Lebedev scheme for the numerical simulation of wave propagation in 3D anisotropic elasticity / V. Lisitsa, D. Vishnevskiy // Geophysical prospecting. — 2010. — Vol. 58, no. 4. — P. 619—635.

17. Lisitsa, V. Combination of the discontinuous Galerkin method with finite differences for simulation of seismic wave propagation / V. Lisitsa, V. Tcheverda, C. Botter // Journal of Computational Physics. — 2016. — Vol. 311. — P. 142—157.

18. Zienkiewicz, O. The Finite Element Method: Its Basis and Fundamentals / O. Zienkiewicz, R. Taylor, J. Zhu. — Elsevier, 2013. — 756 p.

19. Komatitsch, D. The Spectral-Element Method: An Efficient Tool to Simulate the Seismic Response of 2D and 3D Geological Structures / D. Komatitsch, J. Vilotte // Bulletin of the seismological society of America. — 1998. — Vol. 88, no. 2. — P. 368—392.

20. Peter, D. Forward and adjoint simulations of seismic wave propagation on fully unstructured hexahedral meshes / D. Peter [et al.] // Geophysical Journal International. — 2011. — Aug. — Vol. 186, no. 2. — P. 721—739.

21. Магомедов, К. О построении разностных схем для уравнений гиперболического типа на основе характеристических соотношений / К. Магомедов, А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1969. — Т. 9, № 2. — С. 373—386.

22. Холодов, А. О построении разностных схем повышенного порядка точности для уравнений гиперболического типа / А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1980. — Т. 20, № 6. — С. 1601—1620.

23. Магомедов, К. Сеточно-характеристические численные методы / К. Магомедов, А. Холодов. — Наука, 1988. — 290 с.

24. Петров, И. Численное исследование некоторых динамических задач механики деформируемого твердого тела сеточно-характеристическим методом / И. Петров, А. Холодов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 1984. — Т. 24, № 5. — С. 722—739.

25. Челноков, Ф. Б. Численное моделирование деформационных динамических процессов в средах со сложной структурой : дис. ... канд. физ.-мат. наук : 05.03.18 / Челноков Фёдор Борисович. — Москва, 2005. — 251 с.

26. Петров, И. Сеточно-характеристический метод с использованием интерполяции высоких порядков на тетраэдральных иерархических сетках с кратным шагом по времени / И. Петров [и др.] // Математическое моделирование. — 2013. — Т. 25, № 2. — С. 42—52.

27. Голубев, В. Численное моделирование сейсмической активности сеточно-характеристическим методом / В. Голубев, И. Петров, Н. Хохлов // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2013. — Т. 53, № 10. — С. 1709—1720.

28. Golubev, V. Raising convergence order of grid-characteristic schemes for 2D linear elasticity problems using operator splitting / V. Golubev, A. Shevchenko, I. Petrov // Computer Research and Modeling. — 2022. — Vol. 14, no. 4. — P. 899—910.

29. Иванов, В. Расчет волновых процессов в наследственных вязкоупругих средах / В. Иванов, И. Петров, Ю. Суворова // Механика композитных материалов. — 1990. — Т. 3. — С. 447—450.

30. Голубев, В. Уточнённые схемы расчета динамики упруговязкопластических сред / В. Голубев, И. Никитин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2023. — Т. 63, № 10. — С. 1674—1686.

31. Доровский, В. Континуальная теория фильтрации / В. Доровский // Геология и геофизика. — 1989. — Т. 7. — С. 39—45.

32. Blokhin, A. Mathematical modelling in the theory of multivelocity continuum / A. Blokhin, V. Dorovsky. — Nova Science Publishers, 1995. — 476 p.

33. Golubev, V. Explicit-Implicit Schemes for Calculating Dynamics of Elasto-viscoplastic Media with Softening / V. Golubev, I. Nikitin, A. Shevchenko, I. Petrov // Differential Equations. — 2024. — Vol. 60, no. 6. — P. 782—793.

34. Shevchenko, A. Explicit-Implicit Numerical Scheme for Problems in the Dynamics of Elastoviscoplastic Media with Softening / A. Shevchenko, I. Nikitin, V. Golubev, I. Petrov // Comput. Math. and Math. Phys. — 2024. — Vol. 64, no. 9. — P. 2066—2075.

35. Хохлов, Н. И. Численное моделирование сейсмических процессов на высокопроизводительных вычислительных системах : дис.... канд. физ.-мат. наук : 05.03.18 / Хохлов Николай Игоревич. — Москва, 2012. — 110 с.

36. Virieux, J. An overview of full-waveform inversion in exploration geophysics / J. Virieux, S. Operto// Geophysics. — 2009. — Vol. 74, no. 6. — WCC1—WCC26.

37. LeVeque, R. Finite Volume Methods for Hyperbolic Problems / R. LeVeque. — Cambridge University Press, 2002.

38. Perzyna, P. Fundamental problems in viscoplasticity / P. Perzyna // Advances in Applied Mechanics. — 1966. — Vol. 9. — P. 243—377.

39. Голубев, В. Уточнённые схемы расчета динамики упруговязкопластических сред / В. Голубев, И. Никитин // Журнал вычислительной математики и математической физики. — 2023. — Т. 63, № 10. — С. 1674—1686.

40. Бураго, Н. Алгоритмы сквозного счета для процессов разрушения / Н. Бура-го, И. Никитин // Компьютерные исследования и моделирование. — 2018. — Т. 10, № 5. — С. 645—666.

41. Имомназаров, Х. Об одной форме записи уравнений движения пористых сред в терминах скоростей, напряжений и давления / Х. Имомназаров // Проблемы информатики. — 2013. — Т. 4. — С. 47—52.

42. Сорокин, К. Численное решение линейной двумерной динамической задачи для пористых сред / К. Сорокин, Х. Имомназаров // Журнал Сибирского федерального университета. Математика и физика. — 2010. — Т. 3, № 2. — С. 256—261.

43. Golubev, V. Taking into account fluid saturation of bottom sediments in marine seismic survey / V. Golubev, A. Shevchenko, I. Petrov // Doklady Mathematics. — 2019. — Vol. 100, no. 2. — P. 488—490.

44. Golubev, V. Simulation of Seismic Processes with High-Order Grid-Characteristic Methods / V. Golubev, A. Shevchenko // Supercomputing Frontiers and Innovations. — 2024. — Vol. 11, no. 4. — P. 4—14.

45. Golubev, V. Simulation of seismic wave propagation in a multicomponent oil deposit model / V. Golubev, A. Shevchenko, I. Petrov // International Journal of Applied Mechanics. — 2020. — Vol. 12, no. 08. — P. 2050084.

46. Petrov, I. Problem of Acoustic Diagnostics of a Damaged Zone /1. Petrov, V. Golubev, A. Shevchenko // Doklady Mathematics. — 2020. — Vol. 101, no. 3. — P. 250—253.

47. Синёв, А. Влияние глинистой корки на волновое поле вблизи скважины в пористой насыщенной среде / А. Синёв, В. Роменский, В. Доровский // Геология и геофизика. — 2012. — Т. 53, № 8. — С. 1070—1077.

48. Хохлов, Н. И. Моделирование распространения динамических волновых возмущений в гетерогенных средах на высокопроизводительных вычислительных системах : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 05.13.18 / Хохлов Николай Игоревич. — Долгопрудный, 2022. — 298 с.

49. Голубев, В. И. Математическое моделирование процесса сейсморазведки с учётом различия реологических свойств отдельных частей геологического массива сеточно-характеристическими методами : дис. ... д-ра физ.-мат. наук : 1.2.2 / Голубев Василий Иванович. — Москва, 2022. — 233 с.

50. Гусева, Е. Линейные квазимонотонные и гибридные сеточно-характеристичес-кие схемы для численного решения задач линейной акустики / Е. Гусева, В. Голубев, И. Петров // Сибирский журнал вычислительной математики. — 2023. — Т. 26, № 2. — С. 135—147.

51. Golubev, V. I. Compact Grid-Characteristic Scheme for the Acoustic System with the Piece-Wise Constant Coefficients / V. I. Golubev [et al.] // International Journal of Applied Mechanics. — 2022. — Vol. 14, no. 2.

52. Гусева, Е. Linear, quasi-monotonic and hybrid grid-characteristic schemes for hyperbolic equations / Е. Гусева, В. Голубев, И. Петров // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2023. — Vol. 44, no. 1. — P. 296—312.

53. Petrov, I. B. Approximation of Boundary Condition in Higher Order Grid-Characteristic Schemes /1. B. Petrov, V. I. Golubev, A. Shevchenko, I. Nikitin // Doklady Mathematics. — 2024. — Vol. 108, no. 3. — P. 466—471.

54. Shevchenko, A. Boundary and Contact Conditions of Higher Order of Accuracy for Grid-Characteristic Schemes in Acoustic Problems / A. Shevchenko, V. Golubev // Comput. Math. and Math. Phys. — 2023. — Vol. 63, no. 10. — P. 1760—1772.

55. Cervi, J. Towards New High-Order Operator Splitting Time-Integration Methods: PhD thesis / Cervi Jessica. — Saskatoon, Canada, 2020. — 81 p.

56. Glowinski, R. Splitting methods in communication, imaging, science, and engineering / R. Glowinski [et al.] ; ed. by R. Glowinski, S. J. Osher, W. Yin. — Springer International Publishing, 2016. — 820 p.

57. Марчук, Г. Методы расщепления / Г. Марчук. — Наука, 1988. — 263 с.

58. Auzinger, W. Defect-based local error estimators for high-order splitting methods involving three linear operators / W. Auzinger, O. Koch, M. Thalhammer // Numerical Algorithms. — 2015. — Vol. 70. — P. 61—91.

59. Favorskaya, A. Boundary Conforming Chimera Meshes to Account for Surface Topography and Curved Interfaces in Geological Media / A. Favorskaya, V. Khokhlov, V. Golubev, A. Shevchenko // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 1. — P. 191—212.

60. Wolfram Research, Inc. Mathematica, Version 14.1 [Electronic Resource] / Inc Wolfram Research. — 2024. — URL: https://www.wolfram.com/mathematica (visited on 02/01/2025).

61. Furgailo, V. Research of Techniques to Improve the Performance of Explicit Numerical Methods on the CPU / V. Furgailo, A. Ivanov, N. Khokhlov // 2019 Ivannikov Memorial Workshop (IVMEM). — 2019. — P. 79—85.

62. Ivanov, A. Parallel implementation of the grid-characteristic method in the case of explicit contact boundaries / A. Ivanov, N. Khokhlov // Computer Research and Modeling. — 2018. — Vol. 10, no. 5. — P. 667—678.

63. Петров, И. Трёхмерные сеточно-характеристические схемы повышенного порядка аппроксимации / И. Петров, В. Голубев, А. Шевченко, A. Sharma // Доклады Академии наук. — 2024. — Т. 520. — С. 11—18.

64. Baysal, E. Reverse-Time Migration / E. Baysal, D. Kosloff, J. Sherwood // Geophysics. — 1984. — Vol. 48, no. 11. — P. 1514—1524.

65. Plessix, R.-E. Frequency-domain finite-difference amplitude-preserving migration / R.-E. Plessix, W. Mulder // Geophysical Journal International. — 2004. — Vol. 157, no. 3. — P. 975—987.

66. Sun, M. Elastic least-squares reverse-time migration with density variations / M. Sun [et al.] // Geophysics. — 2018. — Aug. — Vol. 83, no. 6. — P. 1—62.

67. Stankevich, A. Learning Velocity Model for Complex Media with Deep Con-volutional Neural Networks / A. Stankevich, I. Nechepurenko, A. Shevchenko, L. Gremyachikh, A. Ustyuzhanin, A. Vasyukov // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2024. — Vol. 45, no. 1. — P. 336—345.

68. Plessix, R.-E. A review of the adjoint-state method for computing the gradient of a functional with geophysical applications / R.-E. Plessix // Geophysical Journal International. — 2006. — Vol. 167, no. 2. — P. 495—502.

69. Fichtner, A. The adjoint method in seismology: I. Theory / A. Fichtner, H.-P. Bunge, H. Igel // Physics of the Earth and Planetary Interiors. — 2006. — Vol. 157, no. 1. — P. 86—104.

70. Yang, P. A Time-Domain Preconditioned Truncated Newton Approach to Visco-acoustic Multiparameter Full Waveform Inversion / P. Yang [et al.] // SIAM Journal on Scientific Computing. — 2018. — Vol. 40, no. 4. — B1101—B1130.

71. Martin, G. S. Marmousi2: An elastic upgrade for Marmousi / G. S. Martin, R. Wiley, K. J. Marfurt // The Leading Edge. — 2006. — Vol. 25, no. 2. — P. 156—166.

72. Komatitsch, D. SpecFem2D [Electronic Resource] / D. Komatitsch, J. Tromp. — URL: https://github.com/SPECFEM/specfem2d (visited on 02/01/2025).

73. Xie, Z. Improved forward wave propagation and adjoint-based sensitivity kernel calculations using a numerically stable finite-element PML / Z. Xie [et al.] // Geophysical Journal International. — 2014. — Vol. 198, no. 3. — P. 1714—1747.

Список рисунков

2.1 Схематичное изображение характеристик вблизи границы.......23

2.2 Схема учёта граничных условий методом продолжения.........26

3.1 Одномерное распределение давления в финальный момент времени в задаче с границей..............................49

3.2 Начальное распределение давления р(ху) в плоскости ^ = 1/4 при

Ь = 0 в задаче с периодическими граничными условиями.........54

3.3 Плоская волна, заданная в качестве начальных условий в уравнениях акустики и линейной упругости.......................56

3.4 Волны в одномерной УВП среде с разупрочнением, нормальная нагрузка ........................................................................59

3.5 Волны в одномерной УВП среде с разупрочнением, смешанная нагрузка 60

3.6 Линии скольжения..............................61

3.7 Плоскости скольжения...........................62

3.8 Сравнение волновых полей в моделях упругой среды и пористой флюидонасыщенной среды.........................64

3.9 Волновое поле в модели с водонасыщенными донными осадками ... 65

3.10 Истинное распределение скорости в модели Мармузи..........71

3.11 Начальное приближение распределения скорости в модели Мармузи . 71

3.12 Результаты алгоритма RTM на акустической модели Мармузи......71

Список таблиц

1 Коэффициенты схемы расщепления XYZ.................35

2 Коэффициенты схемы расщепления Стрэнга...............35

3 Коэффициенты схемы расщепления Y7-4.................35

4 Результаты тестирования одномерной схемы с заданием граничных условий корректировкой (2.17) и константным продолжением в

мнимые узлы.................................50

5 Результаты тестирования одномерной схемы с заданием граничных условий корректировкой (2.17) и квадратичным продолжением в мнимые узлы ................................. 50

6 Результаты тестирования одномерной схемы с заданием граничных условий продолжением функции в мнимые узлы по формуле (2.28) . . 51

7 Результаты тестирования одномерной схемы с контактом из решения системы (2.32) и константным продолжением в мнимые узлы......52

8 Результаты тестирования одномерной схемы с контактом по

формулам (2.39) и (2.28)...........................52

9 Результаты тестирования на задаче с периодическими гран. условиями, расщепление XYZ.......................55

10 Результаты тестирования на задаче с периодическими гран. условиями, расщепление Y7-4.......................55

11 Результаты тестирования в модели акустики, расщепление XYZ .... 57

12 Результаты тестирования в модели акустики, расщепление Y7-4 .... 57

13 Результаты тестирования на продольной волне в модели упругости, расщепление Y7-4..............................57

14 Результаты тестирования на поперечной волне в модели упругости, расщепление Y7-4..............................57