Численное моделирование собственных колебаний нагруженных механических систем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Самсонов Антон Андреевич

• Самсонов Антон Андреевич
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Самсонов Антон Андреевич

ВВЕДЕНИЕ

Глава 1 Асимптотический метод

1.1 Бесконечномерные задачи

1.2 Конечномерные аппроксимации

1.3 Классификация резонансных кривых

1.4 Заключение к главе

Глава 2 Одномерные математические модели

2.1 Нагруженный на торце стержень

2.2 Комплекс программ расчёта собственных колебаний нагруженного на торце стержня

2.3 Нагруженный на внутреннем сечении стержень

2.4 Комплекс программ расчёта собственных колебаний нагруженного на внутреннем сечении стержня

2.5 Заключение к главе

Глава 3 Двумерные математические модели

3.1 Пластина с грузом на упругой опоре

3.2 Комплекс программ расчёта собственных колебаний пластины

с грузом на упругой опоре

3.3 Оболочка с грузом на упругой опоре

3.4 Комплекс программ расчёта собственных колебаний оболочки

с грузом на упругой опоре

3.5 Иллюстрация классификации резонансных кривых

3.6 Заключение к главе

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численное моделирование собственных колебаний нагруженных механических систем»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы исследования. Диссертация посвящена исследованию и решению задач вибрации нагруженных механических систем. Такие задачи имеют важные приложения в науке и технике и привлекают значительное внимание исследователей на протяжении длительного периода [1,2,7,15,16,21-24,59,61,62,73,77,78,105]. Это внимание вызвано как развитием математического аппарата исследования новых математических моделей, так и появлением новых возможностей реализации математических моделей на современной вычислительной технике. Задачи вибрации нагруженных механических систем возникают при проектировании надводных и подводных судов, самолётов, космических аппаратов, различных инженерных конструкций. Обычно проектируемые конструкции включают неоднородные локальные компоненты, такие как двигатели, оборудование, топливные баки и перевозимые грузы. Локальные компоненты имеют малые размеры, но сильно влияют на свойства механической конструкции, что следует принимать во внимание при разработке защиты от резонансных воздействий. На рисунке 1 показаны механические конструкции, применяемые на практике.

Рисунок 1 — Типичные механические конструкции [59, с. 10]

Приведём известные примеры техногенных аварий и катастроф, связанных с обрушением составных механических тонкостенных сооружений и конструкций [18,109].

Спортивно-развлекательный комплекс «Трансвааль-парк» был открыт в июне 2002 года на юго-западе Москвы в районе Ясенево на Го-

Рисунок 2 — Комплекс «Трансвааль-парк» в Москве до трагедии, URL: https://bangkokbook.ru/zametki/transvaal-park-do-tragedii-81-foto.html

лубинской улице. Это был первый аквапарк, построенный в столице. 14 февраля 2004 года произошло обрушение конструкции крыши сооружения. В момент аварии в аквапарке находились до 1300 человек. Под завалами «Трансвааль-парка» погибли 28 человек, из них восемь детей. 12 человек получили тяжелые увечья, а 189 — ранения разной степени тяжести. Аквапарк до и после трагедии показан на рисунках 2 и 3.

Рисунок 3 — Комплекс «Трансвааль-парк» в Москве после трагедии, URL: https://bangkokbook.ru/zametki/transvaal-park-do-tragedii-81-foto.html

20 мая 2010 года около шести часов вечера при скорости ветра 16 м/с волгоградский мост (рисунок 4) протяженностью более километра стал заметно раскачиваться [37,38]. Железобетонные опоры вместе с конструк-

Рисунок 4 — Мост через Волгу в Волгограде [74]

цией шоссе раскачивались с амплитудой до полуметра (рисунок 5). Было остановлено автомобильное и пешеходное движение по мосту. После этого случая специалистами были спроектированы и установлены дополнительные системы гашения колебаний.

Рисунок 5 — Раскачивание моста через Волгу в Волгограде [37]

Подобные случаи зафиксированы [35, 36] ранее у следующих конструкций: виадук «Tozaki» в Японии, мост через Токийский залив «Trans Tokyo Bay Highway bridge» в Японии, мостовой переход к аэропорту «Kansai» в Японии, мосты-подходы к мосту «Oshima» в Японии, мост «Rio-Niteroi» в Рио де Жанейро в Бразилии, мосты-подходы к Восточному мосту «Большой Бельт» в Дании, мост «Миллениум» в Лондоне.

7 ноября 1940 года рухнул знаменитый Такомский мост штата Вашингтон в США (рисунки 6 и 7). Причиной аварии было названо явле-

Рисунок 6 — Такомский мост штата Вашингтон в США, URL: https: //elementy.ru/nauchno-populyarnaya_biblioteka/433148/ Poyushchaya_travinka_i_Takomskiy_most

ние «механического резонанса», вызванного совпадением частоты внешнего воздействия с частотой собственных колебаний элементов конструкции. Эта авария послужила мощным импульсом к развитию новых направлений исследований в области упругости материалов, аэродинамики, аэроупругости и механического резонанса.

Рисунок 7 — Обрушение Такомского моста штата Вашингтон в США, URL: https://dzen.ru/a/Xa0wcgSvHwCyBDAW

Следует отметить, что при возведении сооружений несущие конструкции, как правило, проектируются с учётом значительных запасов прочности. Анализ техногенных катастроф показал, что при проектировании тонкостенных конструкций необходимо также учитывать резонансные характеристики составных элементов тонкостенных конструкций [18,109].

Степень разработанности темы исследования. Изложим основные известные классические методы решения и исследования задач о собственных колебаниях механических систем с присоединёнными грузами. В качестве модельного примера рассмотрим задачу

рп''(х) + Лгп(х) = 0, х Е (0, 1), п(0) = рп'(1) — Л дп(1) = 0,

где р, г, 1 — заданные положительные числа, д — заданное неотрицательное число. В этой задаче требуется найти числа Л и соответствующие ненулевые собственные функции п(х). Сформулированная задача описывает поперечные собственные колебания однородной струны или продольные собственные колебания однородного стержня постоянного сечения с граничным условием жёсткого закрепления в точке х = 0 и с грузом массой д в граничной точке х = 1. Для струны коэффициент р задаёт натяжение струны, г — линейную плотность материала струны, а для стержня р = ЕБ, г = рБ, через Е обозначен модуль упругости материала, через Б обозначена площадь поперечного сечения, р — линейная плотность материала стержня. Для упрощения изложения положим р = 1, г = 1,1 = 1. Тогда исходная задача запишется в следующей форме

п''(х) — Лп(х) = 0, х Е (0,1), п(0) = п'(1) — Л дп(1) = 0. (0.1)

В качестве дополнительного физического параметра задачи здесь выступает масса д присоединённого груза. Теоретические результаты о предельных свойствах параметрической задачи на собственные значения (0.1) содержатся в книге [73, с. 161, 162]. Обсудим полученные здесь теоретические результаты, касающиеся зависимости собственных значений Л = Л(д) и собственных функций п(х) = пм(х) от параметра д ^ то. Для этого воспользуемся формулой общего вещественного решения для дифференциального уравнения второго порядка с постоянными коэффициентами п(х) = с ео8(шх) + ё Бт(шх), где с и ё — произвольные постоянные, ш = л/Л. Из граничных условий выводим формулу для нахождения собственных функций п(х) = ё 8т(шх) и частотное уравнение tg ш = (дш)—1 для вычисления собственных частот ш. Обозначим через ¡ш = ш^(д), г = 0,1,..., корни частотного уравнения. Тогда получим следующие формулы для вычисления решений задачи:

Лг(д) = (шг(д))2, п^(х) = ёг(д) йт(шг(д)х), г = 0,1,...,

где нормирующие множители ¿¿(м) > 0 определяются по формуле

,—2 1 , М 1

(адг = о + £

2 2 1+ м2л*(м)

для нормировки вида

1

М))2 * + м«(1»2 = 1.

0

Введём предельную задачу

м"(ж) - vw(ж) = 0, х е (0,1), Ц0) = Ц1)=0. (0.2)

Эта задача описывает собственные колебания струны или стержня с граничными условиями жёсткого закрепления. Собственные значения и собственные функции задачи (0.2) определяются формулами:

V = (гп)2, ^(ж) = л/2вт(гпж), г = 1, 2,....

При этом выполнены следующие условия нормировки

1

/м.))2^ = 1, г = 1,2,....

0

Применяя разложение в ряд Тейлора для функции tg ^¿(м) в окрестности точки гп, г = 1, 2,..., из частотного уравнения

^ ^М =—^, г = 12,...,

выводим следующие предельные свойства:

0 < л*(м) - V* ^ 0, <(ж) - ^¿(ж) ^ 0, (0.3)

при м ^ го, г = 1, 2,..., и асимптотические формулы:

Л*(м) = + О (М), < (ж) = ^¿(ж) + о (М),

при м ^ го, г = 1, 2,....

Согласно проведённому в [73, с. 162] анализу был сделан следующий вывод: «при увеличении нагрузки собственные частоты убывают, равномерно приближаясь к собственным частотам струны с закреплёнными концами». Как показано в параграфе 2.1 диссертации это утверждение неверно, поскольку основная собственная частота не приближается к собственной частоте струны с закреплёнными концами.

Таким образом, результаты [73, с. 161, 162] о предельных свойствах не является полными, так как не исследованы предельные свойства минимального собственного значения Ло(д) и соответствующей собственной функции п(О(х), не дана механическая интерпретация этих свойств. Эти вопросы исследованы в настоящей работе для общей постановки в виде вариационной задачи в гильбертовом пространстве. Чтобы сформулировать полученные результаты применительно к задаче (0.1), введём следующую предельную задачу

п''(х) = 0, х Е (0,1), п(0) = п'(1) — цо дп(1) = 0, (0.4)

где щ = щ (д), п(х) = п°(х). Эта задача описывает собственные колебания невесомой струны или невесомого стержня с присоединённым грузом большой массой д. Задача (0.4) имеет единственное простое собственное значение и соответствующую единственную нормированную собственную функцию, определяемые формулами

1 х 1

Ыд) = -, <(х) = ¿д х Е [0,1], <(1) = —. (0.5) д д д

В диссертации доказаны следующие предельные свойства:

0 < ^о(д) — Ло(д) ^ 0, пО(х) — пО(х) ^ 0, (0.6)

при д ^ то, а также асимптотические формулы:

Ло(д)=о (д), «х)=¿д+о (¿д), (а7)

при д ^ то, пО(1) > 0.

В параграфах 2.1 и 2.2 диссертации установлены асимптотические свойства основной собственной частоты и отвечающей формы колебаний для одномерных задач с переменными коэффициентами, а в параграфах

2.1 и 2.2 эти результаты получены и в двумерном случае. Обоснование данных результатов проведено с помощью теории асимптотического метода для вариационных задач в гильбертовом пространстве, изложенной в параграфе 1.1 диссертации. В рамках классического подхода [73, с. 161, 162] эти результаты оказались недоступными. Заметим также, что методика асимптотического метода [73, с. 161, 162] ограничена одномерными задачами с постоянными коэффициентами.

Применяя другой классический метод (метод функций влияния [15, с. 186], [24, с. 278]) для задачи о невесомой струне с грузом (0.4), получим следующие формулы для вычисления решений задачи (0.4):

МёЬ, <(ж) = . ж е [°, 1], <(1) =

где г =1 — точка присоединения груза, С(ж,£) — функция Грина (функция влияния) вида

{ж, ж е [0,£], £, ж е [£, 1],

для краевой задачи

-^'(ж) = ](ж), ж е (0,1), ^(0) = ^(1) = 0.

Очевидно, что формулы (0.8) совпадают с формулами (0.5). Поэтому асимптотические свойства (0.3) и (0.6) устанавливают для исходной задачи (0.1) асимптотическую модель в виде двух предельных задач (0.2), (0.4) и являются математическим обоснованием метода функций влияния (0.8). Отметим, что изучение и применение метода функций влияния ограничивалось только одномерными задачами, для которых известна функция Грина.

Следует также отметить, что метод функций влияния входит во многие современные учебные пособия по теории колебаний для студентов вузов [8, с. 95], но теоретическое обоснование этого метода получено только в настоящей диссертации.

Чтобы описать метод разложения по собственным функциям [1, с. 41] для вычисления решений задачи (0.1), введём вспомогательную задачу на собственные значения

V''(ж) - пу(ж) = 0, ж е (0,1), ^(0) = ^(1)=0,

для которой известны собственные значения и собственные функции:

П = ((г + 0.5)п)2, ^(х) = ¿2вт((г + 0.5)пх), г = 0,1,....

Раскладывая решение задачи (0.1) в ряд по этим собственным функциям, получим уравнение

1= п — Л дЛ

для вычисления собственных частот ш =

у/Л нагруженной механической системы. Этот метод ограничен задачами, для которых известны аналитические формулы собственных частот и собственных форм колебаний несущей конструкции. Более того, этот метод приводит к сильному повышению основной частоты собственных колебаний при использовании недостаточного числа слагаемых ряда в уравнении (0.9).

В настоящей диссертации предельные свойства (0.3), (0.6), асимптотические формулы (0.7) получены и обоснованы в общей форме для вариационной задачи в гильбертовом пространстве. Предложены аппроксимации асимптотических формул, и построены эффективные алгоритмы реализации. Быстродействие асимптотических формул достигается за счёт того, что вычисление решения задачи на собственные значения проводится с помощью решения краевой задачи, а не задачи на собственные значения. Дана механическая интерпретация асимптотических формул. Исследованы теоретически и численно свойства резонансных кривых, дана классификация резонансных кривых. Результаты диссертации получены в общей форме и позволяют проводить исследование и решение широкого класса прикладных задач о собственных колебаниях механических систем с присоединёнными грузами.

Исследованию собственных колебаний нагруженных механических систем с помощью классических методов посвящено большое количество работ. В монографии [1] содержится обзор ранних исследований по резонансным вибрациям нагруженных пластин и оболочек. В монографии [61] изучены задачи о резонансных колебаниях систем с упруго присоединёнными массами. Однако здесь не исследована зависимость решений от физических параметров грузов. В монографии [59] дан обзор публикаций, а также отмечены несостоятельные выводы, полученные аналитическими

(0.9)

методами, выделены основные нерешённые проблемы, среди которых отмечено влияние геометрических и волновых параметров несущей конструкции на основную собственную частоту, влияние неоднородностей несущей конструкции на основную собственную частоту, несоответствие аналитических решений изменению основной частоты при увеличении величины присоединённой массы. Для адекватного выявления специфических особенностей решений данного класса задач в [59] указана необходимость создания точной теории таких задач и теоретически обоснованных методов решения.

Среди недавних публикаций отметим следующие работы. В работах [18, 19, 21, 21, 22, 22, 27-29, 50-60, 63-69, 71, 89, 89, 107-110] с помощью аналитических и экспериментальных методов изучаются задачи динамики замкнутых и разомкнутых цилиндрических оболочек с присоединёнными массами. В этих работах установлено, что эффект снижения наименьшей собственной частоты зависит не только от присоединённой массы, но и от геометрических и волновых параметров оболочки. Аналитические и экспериментальные методы для исследования задач о колебаниях нагруженных пластин применялись в работах [62,79,90,112,115,116]. Одномерные математические модели колебаний балки и стержня с нагружением изучались аналитическими методами в работах [3-7,20,83,91-95,111,113,114]. В перечисленных работах применялись специальные аналитические методы исследования, ограниченные уравнениями с постоянными коэффициентами, специальными граничными условиями и простыми областями. Качественные методы для дифференциальных уравнений с граничными условиями и областями общего вида для данного класса задач не применялись.

В диссертации используются хорошо известные результаты по теории колебаний механических систем [9-14, 40-42] и теории метода конечных элементов [17,26,70,81,84,86-88,99-104,106].

Таким образом, из анализа литературных источников можно сделать следующие выводы.

1. Главное направление проводимых теоретических исследований состоит в изучении влияния параметров нагрузки на резонансные характеристики нагруженной механической конструкции.

2. Полученные ранее теоретические результаты имеют существенные

ограничения в приложениях и ограничены задачами с постоянными коэффициентами, с разделяющимися переменными, с аналитическими решениями, со специальными граничными условиями, с областями канонической формы (квадрат, круг).

3. Выявлены значительные трудности при качественном исследовании зависимости основной собственной частоты и соответствующей формы колебаний нагруженной механической конструкции от параметров нагру-жения.

4. Качественные и численные методы в общем виде для класса задач о собственных колебаниях нагруженных механических систем не исследовались.

Цель и задачи работы. Целью диссертации является разработка и обоснование асимптотического метода качественного и численного исследования математических моделей собственных колебаний нагруженных механических систем.

В соответствии с этой целью были выделены следующие задачи исследования.

1. Сформулировать вариационную постановку в гильбертовом пространстве для класса математических моделей собственных колебаний нагруженных механических систем.

2. Построить вариационные постановки в гильбертовом пространстве асимптотических математических моделей для класса математических моделей собственных колебаний нагруженных механических систем.

3. Провести обоснование асимптотических математических моделей.

4. Сформулировать конечномерную аппроксимацию вариационной постановки в гильбертовом пространстве для класса математических моделей собственных колебаний нагруженных механических систем.

5. Построить конечномерные аппроксимации асимптотических математических моделей.

6. Провести обоснование конечномерных аппроксимаций асимптотических математических моделей.

7. Применить общие теоретические результаты для качественного и численного исследования прикладных задач.

Научная новизна. В диссертации получены следующие новые ре-

зультаты.

1. Новые вариационные постановки в гильбертовом пространстве асимптотических математических моделей нагруженных механических систем.

2. Вариационные постановки в гильбертовом пространстве конечномерных аппроксимаций асимптотических математических моделей нагруженных механических систем.

3. Качественные и численные результаты о свойствах резонансных частот и резонансных форм колебаний нагруженных механических систем.

4. Комплексы программ реализации эффективных численных методов для расчёта резонансных характеристик математических моделей нагруженных механических систем и проведения вычислительных экспериментов.

Теоретическая и практическая значимость работы. Предложенный асимптотический метод даёт возможность установить качественные результаты о свойствах исходной параметрической задачи на всей области изменения параметра в случаях, когда не могут быть найдены решения задачи в явном виде. Конечномерный вариант асимптотического метода позволяет получить качественные результаты о свойствах конечномерной аппроксимации математической модели на всей области изменения параметра без предварительных расчётов. Конечномерный вариант асимптотического метода позволяет также строить эффективные численные методы вычисления решений. Разработанный подход качественного исследования и численного решения прикладных задач механики нагруженных систем носит общий характер и может быть применён для спектральных задач, моделирующих собственные колебания механических систем с присоединёнными грузами для балок, пластин и оболочек, а также для составных тонкостенных механических конструкций.

Методология и методы исследования. Теоретические результаты работы получены на основе спектральной теории и теории аппроксимации в гильбертовом пространстве с применением теории пространств Соболева, вычислительные эксперименты проведены с использованием ЭВМ.

Краткое содержание диссертации. В главе 1 строится общая теория асимптотического метода и конечномерного аналога асимптотического

метода для класса изучаемых задач в гильбертовом пространстве, которая применяется во второй и третьей главах при исследовании и численной реализации одномерных и двумерных математических моделей механики нагруженных тонкостенных конструкций.

В параграфе 1.1 излагается теория асимптотического метода качественного исследования математических моделей собственных колебаний нагруженных механических систем. Под асимптотическим методом понимается метод описания предельного поведения математической модели при изменении параметра математической модели. Обозначим К = (—то, то), Л = (0, то), Л = [0, то). Зададим бесконечномерное гильбертово пространство V, оснащённое нормой ((•Ц, а также симметричные билинейные формы а(г>,п), 6(г>,п), с(г>,п), г>,п Е V, для которых справедливы требования:

а) для любого элемента v Е V и фиксированных положительных констант «1 и а2 выполняются соотношения положительной определённости и ограниченности

а^^||2 ^ а^^) ^ а2|^||2;

б) для любого ненулевого элемента V Е V \ {0} выполняется неравенство положительности > 0;

в) для слабо сходящейся последовательности v¿ ^ V в V при г ^ то к некоторому элементу V Е V имеет место сходимость

b(v¿, v¿) ^

при г ^ то;

г) справедливо представление

c(u,v) = /(п)/

для любых элементов п, v Е V, где / : V ^ К есть линейный ограниченный функционал такой, что ео&ш V = 1, V = ^ : v Е V, f (v) = 0}.

Объектом исследования диссертации является класс математических моделей нагруженных механических систем, которые формулируются в виде следующей задачи.

Задача 1. При фиксированных Е Л найти Л = Л(^,д) Е К, п = п(£, д) Е V \ {0}, если

а(п, v) + ^с(п, v) = Л(6(п, v) + дс(п, v)) Vv Е V.

Для исследуемого класса математических моделей гильбертово пространство V определяется как прямое произведение пространств Соболева. Физические параметры задачи £,д е Л задают параметры нагружения механической системы конструкция-груз-опора, д — масса присоединённого груза, £ — коэффициент упругости опоры присоединённого груза. Собственные значения задачи Л = Л(£,д) определяют резонансные частоты колебаний, собственные элементы задачи и = и(£, д) определяют резонансные формы колебаний. В диссертации проводится теоретическое и численное исследование резонансных частот и резонансных форм колебаний в зависимости от параметров нагружения.

Для исследования предельных свойств решений на границе интервала Л также вводятся вспомогательные предельные задачи на собственные значения (задачи 2 и 3) и вариационное уравнение (задача 4).

Задача 2. Найти V е К, эд е V \ {0}, если

а(эд^) = ^(эд^) Vv е И.

Задача 3. При фиксированных £ е Л и д е Л найти ^ = ^(£,д) е К, = эд0(£, д) е V \ {0}, если

а(эд0, V) + £с(^0, V) = ^ дс(^0, V) Vv е V.

Задача 4. Найти элемент v0 е V, если

= ](V) Vv е V.

Для задачи 1 сформулированы теоретические результаты о существовании решений, изучена монотонность собственных значений, получены оценки возмущения решений в зависимости от физических параметров. Предложена постановка асимптотической математической модели при д ^ го в виде задачи 2 и задачи 3 в гильбертовом пространстве, с помощью решения задачи 4 получены асимптотические формулы для вычисления основной резонансной частоты и соответствующей резонансной формы колебаний, дана механическая интерпретация асимптотических формул основной резонансной частоты и соответствующей резонансной формы колебаний. Предложена также постановка асимптотической математической

модели при £ ^ го в виде задачи 2 в гильбертовом пространстве. Исследованы асимптотические свойства собственных значений и собственных элементов.

В параграфе 1.2 изложена теория конечномерного аналога асимптотического метода (конечномерный асимптотический метод) качественного и численного исследования математических моделей собственных колебаний нагруженных механических систем. Под конечномерным асимптотическим методом понимается метод описания предельного поведения конечномерной математической модели при изменении параметра математической модели. Сформулирована конечномерная аппроксимация вариационной задачи 1, и изучены качественные свойства решений. Построена конечномерная постановка асимптотической математической модели при д ^ го, получены приближённые асимптотические формулы для вычисления основной резонансной частоты и соответствующей резонансной формы колебаний. Построена конечномерная постановка асимптотической математической модели при £ ^ го. Установлены также теоретические оценки погрешности для конечномерных аппроксимаций решений.

В параграфе 1.3 приведена общая классификация резонансных кривых нагруженных механических систем на основе теоретических результатов первой главы для вариационной формулировки задачи в бесконечномерном вещественном гильбертовом пространстве. Эта общая классификация будет проиллюстрирована далее результатами глав 2 и 3 для конкретных математических моделей.

В главе 2 с помощью результатов, полученных в главе 1, исследованы одномерные математические модели продольных собственных колебаний стержня.

В параграфе 2.1 исследуется задача о стержне с присоединённой массой к торцу, который закреплён упруго. Другой торец стержня закреплён жёстко. Собственные колебания описываются однородным дифференциальным уравнением второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле и Ньютона. Граничное условие Ньютона содержит спектральный параметр задачи. Собственные значения этой задачи являются простыми и составляют последовательность, стремящуюся к бесконечности. Соответствующая последовательность собственных функций образует полную

ортонормированную систему. Каждая собственная функция удовлетворяет свойству неравенства нулю в граничной точке с однородным условием Ньютона. Для этой задачи формулируются результаты существования, устанавливаются предельные свойства решений, строятся приближённые решения, приводятся оценки погрешности. В параграфе 2.2 дано описание комплекса программ и приведены результаты вычислений на ЭВМ.

В параграфе 2.3 изучается задача собственных вибраций стержня упруго закреплённого на внутреннем сечении, к которому жёстко присоединён дополнительный груз. Задача сводится к однородному дифференциальному уравнению второго порядка с однородными краевыми условиями Дирихле. В точке нагружения предусмотрено условие непрерывности собственной функции и дополнительное условие сопряжения, содержащее спектральный параметр задачи. Собственные значения этой задачи являются простыми и составляют последовательность, стремящуюся к бесконечности. Соответствующая последовательность собственных функций образует полную ортонормированную систему. Для этой задачи формулируются результаты существования, устанавливаются предельные свойства решений, строятся приближённые решения и устанавливаются оценки погрешности. В параграфе 2.4 приводятся результаты численных экспериментов, подтверждающих полученные теоретические результаты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Самсонов Антон Андреевич, 2025 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1 Андреев, Л.В. Динамика тонкостенных конструкций с присоединёнными массами / Л.В. Андреев, А.И. Станкевич, А.Л. Дышко, И.Д. Павленко. — М.: Издательство МАИ, 2012. — 214 с.

2 Базаров, М.Б. Численное моделирование колебаний диссипативно однородных и неоднородных механических систем / М.Б. Базаров, И.И. Сафаров, Ю.И. Шокин. — Новосибирск: Издательство СО РАН, Издательство «Студия Дизайн ИНФОЛИО», 1996. — 189 с.

3 Баргуев, С.Г. Решение начально-краевой задачи о колебаниях осциллятора на упругом стержне / С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон // Вестник Бурятского государственного университета. — 2012. — № 2. — С. 63— 68.

4 Баргуев, С.Г. Об одном обобщении для решения начально-краевой задачи о колебаниях произвольного числа осцилляторов на стержне / С.Г. Баргуев, Т.В. Аюшев, А.Д. Мижидон // Вестник Бурятского государственного университета. — 2012. — № 9. — С. 95—100.

5 Баргуев, С.Г. Вынужденные колебания консольной балки с массой и упруго закрепленным концом / С.Г. Баргуев, А.Д. Мижидон // Вестник Бурятского государственного университета. — 2014. — № 9(1). — С. 18—21.

6 Баргуев, С.Г. Вынужденные колебания системы твёрдых тел, установленных на консольной балке с демпфированием / С.Г. Баргуев // Вестник Бурятского государственного университета. — 2015. — № 9.

— С. 31—39.

7 Баргуев, С.Г. Решение начально-краевой задачи о колебаниях балки Тимошенко с упруго прикреплённым твёрдым телом / С.Г. Баргуев // Современные технологии. Системный анализ. Моделирование. — 2016. — № 2(50). — С. 28—32.

8 Бекшаев, С.Я. Основы теории колебаний / С.Я. Бекшаев, В.М. Фомин.

— Одесса: ОГАСА, 2013. — 103 с.

9 Вибрации в технике. Справочник. Т. 1. Колебания линейных систем / Под ред. В.В. Болотина. — М.: Машиностроение, 1978. — 352 с.

10 Вибрации в технике. Справочник. Т. 2. Колебания нелинейных механических систем / Под ред. И.И. Блехмана. — М.: Машиностроение, 1979. — 351 с.

11 Вибрации в технике. Справочник. Т. 3. Колебания машин, конструкций и их элементов / Под ред. Ф.М. Диментберга, К.С. Колесникова.

— М.: Машиностроение, 1980. — 544 с.

12 Вибрации в технике. Справочник. Т. 4. Вибрационные процессы и машины / Под ред. Э.Э. Лавендела. — М.: Машиностроение, 1981. — 509 с.

13 Вибрации в технике. Справочник. Т. 5. Измерения и испытания / Под ред. М.Д. Генкина. — М.: Машиностроение, 1981. — 496 с.

14 Вибрации в технике. Справочник. Т. 6. Защита от вибрации и ударов / Под ред. К.В. Фролова. — М.: Машиностроение, 1981. — 456 с.

15 Гантмахер, Ф.Р. Осциляционные матрицы и ядра и малые колебания механических систем / Ф.Р. Гантмахер, М.Г. Крейн. — М.—Л.: ГИТТЛ, 1950. — 359 с.

16 Гантмахер, Ф.Р. Лекции по аналитической механике / Ф.Р. Гантмахер.

— М.: ФИЗМАТЛИТ, 2001. — 264 с.

17 Даутов, Р.З. Введение в теорию метода конечных элементов / Р.З. Да-утов, М.М. Карчевский. — Казань: Казанский университет, 2011. — 240 с.

18 Добрышкин, А.Ю. Влияние малой присоединённой массы на собственные частоты и формы колебаний тонкостенных цилиндрических разомкнутых оболочек: дис. ...канд. техн. наук: 01.02.04 / Добрышкин Артём Юрьевич. — Комсомольск-на-Амуре, 2019. — 138 с.

19 Добрышкин, А.Ю. Экспериментальная проверка математической модели вынужденных колебаний разомкнутой тонкостенной оболочки с малой присоединённой массой и жёстко защемлёнными краями [Электронный ресурс] / А.Ю. Добрышкин, О.Е. Сысоев, Е.О. Сысоев // Труды МАИ. — 2019. — № 109. — URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=111349 (дата обращения: 11.02.2025).

20 Добрышкин, А.Ю. Колебания стержня, несущего малую присоединённую массу [Электронный ресурс] / А.Ю. Добрышкин // Труды МАИ. — 2020. — № 110. — URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=112820 (дата обращения: 11.02.2025).

21 Добрышкин, А.Ю. Исследование колебаний цилиндрической оболочки с присоединённой массой с учётом растяжения контура [Электронный ресурс] / А.Ю. Добрышкин, И.В. Лозовский, О.Е. Сысоев, Е.О. Сысоев // Труды МАИ. — 2023. — № 128. — URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=171385 (дата обращения: 11.02.2025).

22 Добрышкин, А.Ю. Исследование частотных характеристик движения тонкостенной цилиндрической оболочки с малой присоединённой массой с учётом крутильных колебаний [Электронный ресурс] / А.Ю. Добрышкин, О.Е. Сысоев, Е.О. Сысоев [и др] // Труды МАИ. — 2023. — № 129. — URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=173018 (дата обращения: 11.02.2025).

23 Жигалко, Ю.П. К вопросу о колебаниях тонких пластин и оболочек, несущих сосредоточенные массы / Ю.П. Жигалко, А.К. Шалабанов // Исследования по теории пластин и оболочек. — Казань: КГУ, 1970. — Вып. 6—7. — С. 511—530.

24 Коллатц, Л. Задачи на собственные значения / Л. Коллатц. — М.: Наука, 1968. — 504 с.

25 Кондратьев, В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками / В.А. Кондратьев // Тр. Моск. матем. общества. — 1967. — Т. 16. — С. 209—292.

26 Корнеев, В.Г. Схемы метода конечных элементов высоких порядков точности / В.Г. Корнеев. — Л.: ЛГУ, 1977. — 208 с.

27 Лейзерович, Г.С. О влиянии малой присоединённой массы на колебания разнотолщинного кругового кольца / Г.С. Лейзерович, Н.Б. При-ходько, С.В. Серёгин // Строительство и реконструкция. — 2013. — № 4. — С. 38—42.

28 Лейзерович, Г.С. О влиянии малой присоединённой массы на расщепление частотного спектра кругового кольца с начальными неправиль-

ностями / Г.С. Лейзерович, Н.Б. Приходько, С.В. Серёгин // Строительная механика и расчет сооружений. — 2013. — № 6. — С. 49—51.

29 Лейзерович, Г.С. Свободные колебания круговых цилиндрических оболочек с присоединённой малой сосредоточенной массой / Г.С. Лей-зерович, С.В. Серёгин // Прикладная механика и техническая физика. — 2016. — Т. 57, № 5. — С. 90—96.

30 Литвинов, В.Г. Оптимизация в эллиптических граничных задачах с приложениями к механике / В.Г. Литвинов. — М.: Наука, 1987. — 368 с.

31 Марчук, Г.И. Введение в проекционно-сеточные методы / Г.И. Мар-чук, В.И. Агошков. — М.: Наука, 1981. — 416 с.

32 Мигулин, В.В. Основы теории колебаний / В.В. Мигулин, В.И. Медведев, Е.Р. Мустель, В.Н. Парыгин. — М.: Наука, 1988. — 392 с.

33 Михайлов, В.П. Дифференциальные уравнения в частных производных / В.П. Михайлов. — М.: Наука, 1976. — 392 с.

34 Назаров, С.А. Эллиптические задачи в областях с кусочно гладкой границей / С.А. Назаров, Б.А. Пламеневский. — М.: Наука, 1991. — 336 с.

35 Наумова, Г.А. Гидродинамический гаситель мостовых колебаний / Г.А. Наумова, В.В. Саманов, С.А. Пономаренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 10, Инновационная деятельность. — 2012. — Вып. 7. — С. 93—98.

36 Наумова, Г.А. Сравнительный анализ традиционных и инновационных подходов к расчёту конструкций гасителей аэроупругих колебаний / Г.А. Наумова, С.А. Пономаренко // Вестник Волгоградского государственного университета. Серия 10, Инновационная деятельность. — 2013. — № 2 (9). — С. 124—134.

37 Овчинников, И.И. Танцующий мост в Волгограде: причины, аналогии, мероприятия. Часть 1. Причины [Электронный ресурс] / И.И. Овчинников, И.Г. Овчинников, В.О. Филиппова // Науковедение. — 2015. — Т. 7, № 6. — С. 1—23. — URL: http://naukovedenie.ru/PDF/07KO615.pdf (дата обращения: 11.02.2025).

38 Овчинников, И.И. Танцующий мост в Волгограде: причины, аналогии, мероприятия. Часть 2. Аналогии, мероприятия [Электронный ресурс] / И.И. Овчинников, И.Г. Овчинников, В.О. Филиппова // Науковедение. — 2015. — Т. 7, № 6. — С. 1—21. — URL: http://naukovedenie.ru/PDF/08KO615.pdf (дата обращения: 11.02.2025).

39 Пономарев, С.Д. Расчеты на прочность в машиностроении. Том 3. Инерционные нагрузки. Колебания и ударные нагрузки. Выносливость. Устойчивость / С.Д. Пономарев, В.Л. Бидерман, К.К. Лихарев [и др]. — М.: ГНТИМЛ, 1959. — 1118 с.

40 Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 1 / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968. — 832 с.

41 Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 2 / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968. — 464 с.

42 Прочность, устойчивость, колебания. Справочник. Т. 3 / Под ред. И.А. Биргера, Я.Г. Пановко. — М.: Машиностроение, 1968. — 568 с.

43 Самарский, А.А. Разностные схемы для дифференциальных уравнений с обобщёнными решениями / А.А. Самарский, Р.Д. Лазаров,

B.Л. Макаров. — М.: Высшая школа, 1987. — 296 с.

44 Самсонов, А.А. Аппроксимация задачи о собственных колебаниях пластины с присоединённым резонатором / А.А. Самсонов // Труды Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 61. Материалы XX Всероссийской молодёжной научной школы-конференции «Лобачевские чтения — 2021». Казань, 01—04 декабря 2021 г. — Казань: Издательство Академии наук Республики Татарстан, 2021. — Т. 61. —

C. 79—82.

45 Самсонов, А.А. Конечно-элементная аппроксимация задачи о собственных колебаниях пластины с присоединённым грузом / А.А. Самсонов // Материалы международной конференции «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна — 2022». — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2022. — С. 195—197.

46 Самсонов, А.А. Аппроксимация параметрической задачи на собственные значения в гильбертовом пространстве / А.А. Самсонов // Труды

Математического центра имени Н.И. Лобачевского. Т. 67. Материалы Всероссийской школы-конференции «Лобачевские чтения — 2023». Казань, 27 ноября — 1 декабря 2023 г. — Казань: Изд-во КФУ, 2023. — Т. 67. — С. 91—96.

47 Самсонов, А.А. Асимптотические свойства собственных колебаний нагруженной пластины / А.А. Самсонов // Материалы международной Воронежской зимней математической школы, посвящённой памяти В.П. Маслова «Воронежская зимняя математическая школа С.Г. Крейна — 2024». Воронеж, 26—30 января 2024 г. — Воронеж: Издательский дом ВГУ, 2024. — С. 230—232.

48 Самсонов, А.А. Асимптотические свойства параметрических задач на собственные значения в гильбертовом пространстве / А.А. Самсонов // Дифференциальные уравнения. — 2024. — Т. 60, № 8. — С. 1112— 1123.

49 Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2023614321 Российская Федерация. Программа построения математической модели резонансных воздействий для нагруженных механических систем / А.А. Самсонов, С.И. Соловьев; заявитель и правообладатель ФГАОУ ВО КФУ. — Заявка № 2023612951; заявл. 15.02.2023; опубл. 28.02.2023. — 1 с.

50 Серёгин, С.В. Исследование динамических характеристик оболочек с отверстиями и присоединённой массой / С.В. Серёгин // Вестник МГСУ. — 2014. — № 4. — С. 52—58.

51 Серёгин, С.В. Влияние присоединённого тела на частоты и формы свободных колебаний цилиндрических оболочек / С.В. Серёгин // Строительная механика и расчёт сооружений. — 2014. — № 3. — С. 35—38.

52 Серёгин, С.В. Влияние площади контакта и величины линейно распределённой и сосредоточенной массы с круговой цилиндрической оболочкой на частоты и формы свободных колебаний / С.В. Серёгин // Вестник МГСУ. — 2014. — № 7. — С. 64—74.

53 Серёгин, С.В. Численное и аналитическое исследование свободных колебаний круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединённую массу, линейно распределённую вдоль образующей / С.В. Серё-

гин // Вычислительная механика сплошных сред. — 2014. — Т. 7, № 4.

— С. 378—384.

54 Серёгин, С.В. Свободные колебания бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки с начальными неправильностями и малой присоединённой массой / С.В. Серёгин, Г.С. Лейзерович // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. — 2014. — Т. 1, № 4(20). — С. 36—43.

55 Серёгин, С.В. Свободные изгибно-радиальные колебания тонкой круговой цилиндрической оболочки, несущей присоединённую массу / С.В. Серёгин // Вестник МГСУ. — 2014. — № 11. — С. 74—81.

56 Серёгин, С.В. Об эффекте расщепления изгибного частотного спектра тонких круговых цилиндрических оболочек, несущих присоединённую массу / С.В. Серёгин // Строительная механика и расчёт сооружений. 2014. — № 6(257). — С. 59—61.

57 Серёгин, С.В. Влияние присоединённой массы на динамические характеристики тонкой оболочки / С.В. Серёгин, Г.С. Лейзерович // Проблемы машиностроения и автоматизации. — 2015. — № 4. — С. 83— 89.

58 Серёгин, С.В. Влияние малой присоединённой массы на собственные частоты и формы колебаний тонких круговых цилиндрических оболочек: дис. ...канд. техн. наук: 01.02.04 / Серёгин Сергей Валерьевич.

— Комсомольск-на-Амуре, 2015. — 122 с.

59 Серёгин, С.В. Динамика тонких цилиндрических оболочек с присоединённой массой / С.В. Серёгин. — Комсомольск-на-Амуре: ФГБОУ ВО «КнАГТУ», 2016. — 175 с.

60 Серёгин, С.В. Качественные эффекты при колебаниях кольцевых подкрепляющих элементов с присоединённой массой, как частный случай тонкой бесконечно длинной круговой цилиндрической оболочки / С.В. Серёгин // Известия высших учебных заведений. Машиностроение. — 2017. — № 1 (682). — С. 31—43.

61 Соловьёв, С.И. Нелинейные задачи на собственные значения. Приближённые методы / С.И. Соловьёв. — Saarbrücken : LAP Lambert Academic Publishing, 2011. — 256 с.

62 Султанов, Л.У. Колебания пластин и оболочек с присоединённой массой / Л.У. Султанов, И.Р. Гарифуллин // Учён. зап. Казан. ун-та. Сер. Физ.-матем. науки. — 2024. — Т. 166, кн. 3. — С. 426—436.

63 Сысоев, О.Е. Влияние присоединённой массы на вынужденные колебания разомкнутых оболочек / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин, С.Н. Нейн // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. — 2016. — Т. 1, № 3(27). — С. 110—116.

64 Сысоев, О.Е. Влияние присоединённой массы и температурного сдвига на собственные колебания тонких пластин (мембран) / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин, С.Н. Нейн // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. — 2017. — Т. 1, № 2(30). — С. 105—111.

65 Сысоев, О.Е. Влияние величины присоединённой массы на вынужденные колебания разомкнутых оболочек из алюминиевого сплава Д19 / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин, С.Н. Нейн // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. — 2017. — Т. 1, № 4(32). — С. 100—106.

66 Сысоев, О.Е. Аналитическое и экспериментальное исследование свободных колебаний разомкнутых оболочек из сплава Д19, несущих систему присоединённых масс [Электронный ресурс] / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин, С.Н. Нейн // Труды МАИ. 2018. — № 98. — URL: https://trudymai.ru/published.php?ID=90079 (дата обращения: 11.02.2025).

67 Сысоев, О.Е. Экспериментальные исследования влияния мест присоединения малой массы на колебания тонкостенной разомкнутой цилиндрической оболочки / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин, С.Н. Нейн, К.К. Кахоров // Учёные записки Комсомольского-на-Амуре государственного технического университета. — 2018. — Т. 1, № 2(34). — С. 42—50.

68 Сысоев, О.Е. Собственные колебания пологой оболочки со смешанными граничными условиями «защемление-шарнир» и малой присоединённой массой / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин // Вестник инженерной школы ДВФУ. — 2020. — № 1(42). — С. 13—23.

69 Сысоев, О.Е. Моделирование колебаний тонкостенной цилиндрической оболочки при равномерном температурном воздействии при вариационной постановке задачи [Электронный ресурс] / О.Е. Сысоев, А.Ю. Добрышкин, Е.О. Сысоев, Е.В. Журавлёва // Труды МАИ.

— 2021. — № 117. — DOI: 10.34759/trd-2021-117-03 (дата обращения: 11.02.2025).

70 Сьярле, Ф. Метод конечных элементов для эллиптических задач / Ф. Сьярле. — М.: Мир, 1980. — 512 с.

71 Тарануха, Н.А. О влиянии начальных неправильностей и малой присоединённой массы на расщепление изгибного частотного спектра тонких круговых цилиндрических оболочек / Н.А. Тарануха, Г.С. Лейзерович // Вестник СГТУ. — 2010. — № 1 (44). — С. 18—23.

72 Тимошенко, С.П. Прочность и колебания элементов конструкций / С.П. Тимошенко. — М.: Наука, 1975. — 704 с.

73 Тихонов, А.Н. Уравнения математической физики / А.Н. Тихонов, А.А. Самарский. — М.: Изд-во МГУ, 1999. — 798 с.

74 Харебава, Ж.А. Внеклассные автодорожные мосты Нижневолжского региона / Ж.А. Харебава, С.П. Фанин, И.Г. Овчинников, В.В. Раткин.

— Саратов: Издательский центр «Наука», 2008. — 360 с.

75 Adams, R.A. Sobolev Spaces. / R.A. Adams. — New York: Academic Press, 1975. — 268 p.

76 Aitbayev, R. A quadrature finite element Galerkin scheme for biharmonic problem on a rectangular polygon / R. Aitbayev // Numer. Meth. Part. Diff. Equat. — 2008. — V. 24. — P. 518—534.

77 Algazin, S.D. Numerical study of free oscillations of a beam with oscillators / S.D. Algazin // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. — 2006. — V. 47, No. 3. — P. 433—438.

78 Algazin, S.D. Numerical analysis of free vibrations of a beam with oscillators / S.D. Algazin // Journal of Applied Mechanics and Technical Physics. — 2006. — V. 47, No. 4. — P. 573—581.

79 Amabili, M. Geometrically nonlinear vibrations of rectangular plates carrying a concentrated mass / M. Amabili // Journal of Sound and Vibration. — 2010. — V. 329. — P. 4501—4514.

80 Babuska, I. Finite element—Galerkin approximation of the eigenvalues and eigenvectors of selfadjoint problems / I. Babuska, J.E. Osborn // Math. Comp. — 1989. — V. 52, No. 186. — P. 275—297.

81 Babuska, I. Eigenvalue problems / I. Babuska, J.E. Osborn // Handbook of Numerical Analysis. V. II. Finite Element Methods (Part 1) / Ed. by P.G. Ciarlet, J.L. Lions. — Amsterdam: Elseveier Science Publishers B.V. (North-Holland), 1991. — P. 642—787.

82 Bacuta, C. Shift theorems for the biharmonic Dirichlet problem / C. Bacuta, J.H. Bramble, J.E. Pasciak // Recent progress in computational and applied PDEs. Zhangjiajie, 2001 / Ed. by T.F. Chan, Y. Huang, T. Tang [et al.]. — New York: Kluwer/Plenum, 2002. — P. 1—26.

83 Banerjee, J.R. Free vibration of beams carrying spring-mass systems — A dynamic stiffness approach / J.R. Banerjee // Computers and Structures.

— 2012. — V. 104—105. — P. 21—26.

84 Blaauwendraad, J. Plates and FEM. Surprises and Pitfalls / J. Blaauwendraad. — New York: Springer, 2010. — 413 p.

85 Blum, H. On the boundary value problem of the biharmonic operator on domains with angular corners / H. Blum, R. Rannacher // Math. Meth. Appl. Sci. — 1980. — V. 2. — P. 556—581.

86 Brenner S.C., Sung Li-Yeng. C0 interior penalty methods for fourth order elliptic boundary value problems on polygonal domains / S.C. Brenner, Li-Yeng Sung // J. Sci. Comp. — 2005. — V. 22, 23. — P. 83—118.

87 Brenner, S.C. The Mathematical Theory of Finite Element Methods / S.C. Brenner, L.R. Scott. — New York: Springer, 2008. — 398 p.

88 Chatelin, F. Spectral Approximation of Linear Operators / F. Chatelin.

— Philadelphia: SIAM, 2011. — 458 p.

89 Dobryshkin, A.Yu. Modeling of the opened shell forced vibrations with a small associated mass, with hinged operation by the Pade' aproximation method / A.Yu. Dobryshkin, O.E. Sysoev, N.S. Naing // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2020. — V. 753, 032024.

90 Hong, J. Transverse vibration of clamped-pinned-free beam with mass at free end / J. Hong, J. Dodson, S. Laflamme, A. Downey // Appl. Sci. — 2019. — V. 9, 2996. — P. 1—16.

91 Jazi, A.J. Exact closed form solution for the analysis of the transverse vibration mode of a Nano-Timoshenko beam with multiple concentrated masses / A.J. Jazi, B. Shahriari, K. Torabi // International Journal of Mechanical Sciences. — 2017. — V. 131—132. — P. 728—743.

92 Manevich, A.I. Free vibrations of Timoshenko beam with end mass in the field of centrifugal forces / A.I. Manevich, V.Yu. Vlasova // Mechanics and Mechanical Engineering. — 2014. — V. 18, No. 1. — P. 37—51.

93 Paunovic, S. A novel approach for vibration analysis of fractional viscoelastic beams with attached masses and base excitation / S. Paunovic, M. Cajic, D. Karlicic, M. Mijalkovic // Journal of Sound and Vibration.

— 2019. — V. 463, 114955. — P. 1—18.

94 Qiao, G. Dynamics of interaction between an Euler-Bernoulli beam and a moving damped sprung mass: Effect of beam surface roughness / G. Qiao, S. Rahmatalla // Structures. — 2021. — V. 32. — P. 2247—2265.

95 Rozlan, S.A.M. Theoretical modelling of a beam with attached spring-mass-damper system / S.A.M. Rozlan, I. Zaman, B. Manshoor [et al.] // MATEC Web of Conferences. — 2017. — V. 90, 01030. — P. 1—9.

96 Samsonov, A.A. Eigenvibrations of a beam with load / A.A. Samsonov, S.I. Solov'ev // Lobachevskii Journal of Mathematics. — 2017. — V. 38, No. 5. — P. 849—855.

97 Samsonov, A.A. Investigation of eigenvibrations of a loaded bar / A.A. Samsonov, S.I. Solov'ev // MATEC Web of Conferences. — 2018.

— V. 224, 04013. — P. 1—5.

98 Samsonov, A.A. Mathematical modeling of the eigenvibrations for the loaded shallow shell / A.A. Samsonov, S.I. Solov'ev // E3S Web of Conferences. — 2023. — V. 431, 05013. — P. 1—10.

99 Solov'ev, S.I. Approximation of variational eigenvalue problems / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2010. — V. 46, No. 7. — P. 1030— 1041.

100 Solov'ev, S.I. Approximation of positive semidefinite spectral problems / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2011. — V. 47, No. 8. — P. 1175— 1182.

101 Solov'ev, S.I. Approximation of sign-indefinite spectral problems / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2012. — V. 48, No. 7. — P. 1028— 1041.

102 Solov'ev, S.I. Approximation of differential eigenvalue problems / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2013. — V. 49, No. 7. — P. 908— 916.

103 Solov'ev, S.I. Approximation of differential eigenvalue problems with a nonlinear dependence on the parameter / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2014. — V. 50, No. 7. — P. 947—954.

104 Solov'ev, S.I. Approximation of nonlinear spectral problems in a Hilbert space / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2015. — V. 51, No. 7. — P. 934—947.

105 Solov'ev, S.I. Eigenvibrations of a bar with elastically attached load / S.I. Solov'ev // Differential Equations. — 2017. — V. 53, No. 3. — P. 409— 423.

106 Sun, J. Finite Element Methods for Eigenvalue Problems / J. Sun, A. Zhou. — New York: CRC Press, 2017. — 343 p.

107 Sysoev, O.Ye. Nonlinear oscillations of elastic curved plate carried to the associated masses system / O.Ye. Sysoev, A.Yu. Dobryshkin, N.S. Naing // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2017. — V. 262, 012055. — P. 1—6.

108 Sysoev, O.E. Investigation of the influence of the location of the unified mass on the formed vibrations of a thin containing extended shell / O.E. Sysoev, A.Yu. Dobryshkin, N.S. Naing, A.V. Baenkhaev // Materials Science Forum. — 2019. — V. 945. — P. 885—892.

109 Sysoev, E.O. Vibrations of a rod carrying a small attached mass / E.O. Sysoev, A.Yu. Dobryshkin // Lecture Notes in Networks and Systems. — 2021. — V. 200. — P. 167—176.

110 Sysoev, O.E. Experimental verification of the mathematical model of an opened thin-wall shell forced vibrations with a small attached mass and a rigidly clamped edges / O.E. Sysoev, A.Yu. Dobryshkin, E.O. Sysoev // IOP Conf. Series: Materials Science and Engineering. — 2020. — V. 753, 032025. — P. 1—7.

111 Wang, D. Frequency sensitivity analysis for beams carrying lumped masses with translational and rotary inertias / D. Wang // International Journal of Mechanical Sciences. — 2012. — V. 65. — P. 192—202.

112 Watkins, R.J. Vibration response of an elastically point-supported plate with attached masses / R.J. Watkins, S. Santillan, J. Radice, Jr O. Barton // Thin-Walled Structures. — 2010. — V. 48. — P. 519—527.

113 Yaman, M. Finite element vibration analysis of a partially covered cantilever beam with concentrated tip mass / M. Yaman // Materials and Design. — 2006. — V. 27. — P. 243—250.

114 Yildirim, B. Comparing exact and generalized regression neural network solutions for free vibration of elastically supported Timoshenko beams with attached masses / B. Yildirim, O. Demirdag // European International Journal of Science and Technology. — 2014. — V. 3, No. 4.

— P. 31—46.

115 Yu, S.D. Free and forced flexural vibration analysis of cantilever plates with attached point mass / S.D. Yu // Journal of Sound and Vibration.

— 2009. — V. 321. — P. 270—285.

116 Zhong, Z. Analytical and experimental studies on dynamic instability of simply supported rectangular plates with arbitrary concentrated masses / Z. Zhong, A. Liu, Y.-L. Pi [et al.] // Engineering Structures. — 2019. — V. 196, 109288. — P. 1—23.