Численные и аналитические методы расчёта воздействия электромагнитного поля на проводящее тело тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор наук Савченко Александр Оливерович

• Савченко Александр Оливерович
• доктор наук
• 2020

Оглавление диссертации доктор наук Савченко Александр Оливерович

Введение

Глава 1 Проводящий шар в осесимметричном электрическом поле

1.1 Электрические характеристики проводящего шара в неоднородном электрическом поле

1.1.1 Потенциал осесимметричного проводника на оси электрического поля

1.1.2 Плотность заряда на поверхности проводящего шара

1.1.3 Полный заряд и дипольный момент проводящего шара

1.1.4 Мультипольные моменты проводящего шара

1.1.5 Сила, действующая на проводящий шар

1.2 Свойства матрицы моментов от многочленов Лежандра

Глава 2 Эллипсоидальные и осесимметричные проводники и сверхпроводники в осесимметричных электрических и магнитных полях

2.1 Свойства семейства функций, ортогональных к многочленам

2.2 Семейства функций, непрерывно зависящих от параметра, и ортогональных к многочленам

2.3 Применение функций, ортогональных к многочленам, при решении задач физики

2.3.1 Плотность поверхностного заряда проводящего эллипсоида в соосном электрическом поле

2.3.2 Токи на поверхности сверхпроводящего эллипсоида в соосном магнитном поле

2.3.3 Сила, действующая на сверхпроводящий эллипсоид вращения в соосном магнитном поле, и его магнитный момент

2.3.4 Начало координат в вершине сверхпроводящего эллипсоида,

соосного внешнему магнитному полю

2.4 Численный расчёт плотности заряда и поверхностного тока для осесимметричных проводников

2.4.1 Метод решения

2.4.2 Численные эксперименты

Глава 3 Вычисление потенциала и напряжённости электрического поля заряженного эллипсоида

3.1 Квадратурные формулы для интеграла от произведения функций

3.2 Вычисление потенциала эллипсоида

3.3 Вычисление напряжённости поля эллипсоида

3.3.1 Составляющая напряжённости поля по координате r0

3.3.2 Составляющая напряжённости поля по координате 0О

3.3.3 Составляющая напряжённости поля по координате

3.4 Аналитическое вычисление потенциала и напряжённости поля эллипсоида для функции плотности специального вида

3.4.1 Потенциал эллипсоида

3.4.2 Компоненты напряжённости поля эллипсоида

3.5 Численные эксперименты

Глава 4 Осесимметричный проводник в соосном переменном магнитном поле

4.1 Проводник в переменном магнитном поле: постановка задачи и идея решения

4.2 Метод решения, аппроксимация и сходимость ряда Неймана

4.3 Разложение в ряд решения линейных операторных уравнений

4.4 Семейство методов для решения уравнения Гельмгольца

4.5 Приведение к интегральному уравнению и нахождение осевой напряжённости поля

4.6 Выбор первого члена суммы

4.7 Вычисление компонентов суммы

4.8 Численные эксперименты

Глава 5 Проводящее тело в переменном магнитном поле при

квазистационарном приближении

5.1 Постановка задачи

5.2 Введение фиктивной поверхности

5.3 Задача для полей, гармонически изменяющихся по времени. Метод решения

5.4 Решение уравнения для векторного потенциала

5.5 Нахождение градиента скалярного потенциала по известным значениям векторного потенциала

5.6 Численные эксперименты и обсуждение результатов

Глава 6 Решение внешних краевых задач декомпозицией области

6.1 Метод декомпозиции с пересечением подобластей для решения внешних краевых задач

6.2 Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа декомпозицией области с пересечением

6.3 Решение внешней краевой задачи для уравнения Лапласа декомпозицией области без пересечения

6.4 Решение внешней краевой задачи для уравнения Гельмгольца декомпозицией области

Приложение Описание комплексов программ для ЭВМ

П 1 РОТЕЬЬ программа вычисления потенциала эллипсоида вращения .. 202 П 2 БОКСЕЬЬ программа вычисления компонентов напряжённости поля заряжённого эллипсоида вращения

П 3 Свидетельства о государственной регистрации программ РОТЕЬЬ и

БОКСЕЬЬ для ЭВМ

Заключение

Перспективы дальнейшей разработки темы диссертации

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные и аналитические методы расчёта воздействия электромагнитного поля на проводящее тело»

Введение

Диссертация посвящена исследованию математическими методами проблем, возникающих в теории электромагнетизма, а именно в разработке математического аппарата и приложению его результатов в теории воздействия внешнего электромагнитного поля на проводящие тела. Такое воздействие можно формально рассматривать как частный случай более общей проблемы преобразования внешнего электромагнитного поля во всём пространстве неоднородностями с различной проводимостью. Решению последней проблемы посвящено большое количество работ в математической теории дифракции (см., например, [42, 45, 46, 72-74, 80, 81, 83, 87]). Работы по дифракции охватывают не только проблему решения задачи в общей постановке, но также исследование эффективных методов решения частных случаев общей проблемы, имеющих практическое значение для решения ряда физических задач. Это задачи дифракции плоских волн [44, 124], расчёт вихревых токов на тонких пластинах и оболочках, дифракция на диэлектрическом теле в волноводе и резонаторе [47], дифракция на импедансных и идеально проводящих телах [98], на телах, имеющих цилиндрическую и конусообразную форму [122].

В настоящей диссертации изучается задача дифракции на проводниках, имеющих шаровую, эллипсоидальную и осесимметричную форму, а также на проводниках, ограниченных гладкой поверхностью. Выбор форм проводников не случаен и связан с проблемой бесконтактного ускорения проводящих тел внешним электромагнитным полем. Для определения движения проводника необходимо найти в нём магнитное и электрическое поле или определить заряд и ток, возникающий на поверхности и внутри проводника в результате воздействия внешнего поля. Ускоряемые тела имеют, как правило, шаровую или эллипсоидальную форму, а внешнее поле в установке является осесимметричным. По этой причине в диссертации уделяется много внимания определению наведённых электрических

характеристик на проводниках таких форм, расположенных соосно оси внешнего осесимметричного поля. В пятой главе рассматривается более общий случай, когда в процессе движения ускоряемое тело может сойти с оси внешнего поля. Для этих задач справедливы условия квазистационарного приближения.

В диссертации предложены новые эффективные методы решения рассматриваемых задач с учётом специфики их постановки. Эти методы базируются на проведённых исследованиях в области линейной алгебры (свойства матрицы моментов от многочленов Лежандра), математического анализа (введение семейства функций, ортогональных к многочленам и исследование свойств производящих их функций), математической физики (методы решения уравнения Гельмгольца с кусочно-постоянным коэффициентом в бесконечной области), вычислительной математики (исследование методов декомпозиции для решения внешних краевых задач, квадратурные формулы для вычисления объёмных и поверхностных интегралов с сингулярными ядрами).

Основой для описания процессов электромагнитных колебаний в различных

средах является система уравнений Максвелла

1 д D 4л 4л rot H =1 dD +—j е +—j, div B = 0, (В 1)

c д t c c

1 д B

rotE =---, div D = 4лр, (В 2)

c д t

где E и H - напряжённость электрического и магнитного поля, D и B -индукция электрического и магнитного поля, р - объёмная плотность заряда, j и j - объёмные плотности стороннего тока, возбуждающего

электромагнитное поле, и вихревого тока, индуцированного воздействием сторонних ЭДС. К этим уравнениям следует добавить материальные уравнения поля

D = sE и B = jH, (В 3)

где s и j - диэлектрическая и магнитная проницаемости.

На границе раздела сред £ уравнения Максвелла не выполняются, и заменяются условиями сопряжения

[е4=!=4р , [н4 =, [во,

где символ [А]| = А_ А обозначает разрыв касательной Ат или

нормальной А компоненты вектора на границе раздела, р$ и ^ -плотности поверхностных зарядов и токов.

На основе этих уравнений в диссертации определяются электромагнитные характеристики однородного проводника, индуцированные внешним полем, в объёме, который он будет занимать, или на поверхности, ограничивающий этот объём, если его поместить в заданное внешнее электромагнитное поле. Предполагается, что проводник находится в непроводящей среде, а внешнее поле является гармонической функцией в объёме, занимаемом проводником. Входными параметрами в задаче являются значения внешнего поля только в области, где находится проводник, а также геометрия и проводимость проводника. По этой причине в уравнениях (В 1) - (В 3):

1. Объёмная плотность стороннего тока \е = 0 в области внутри проводника,

т.к. источник внешнего поля находится вне его.

2. Диэлектрическая и магнитная проницаемость б и / являются постоянными величинами.

3. В условиях квазистационарного приближения (глава 5 и раздел 4.8)

пренебрегается током смещения 1 в (В 1); связь между плотностью тока

с д ?

проводимости и напряжённостью электрического поля определена законом Ома ] = ЛЕ, где Л - коэффициент проводимости тела, а заряд распределён только на поверхности проводника.

Актуальность темы. Решению общей проблемы математической теории дифракции посвящено большое количество работ. Для численного решения задач, имеющих сложную структуру в пространственной области,

характеризующихся наличием большого количества неоднородностей в расчётной области, обычно применяют конечно-разностный или конечно-элементный подход. Известны модификации такого подхода, аппроксимирующие решение исходной задачи решением системы линейных алгебраических уравнений, являющихся дискретным аналогом решения интегрального уравнения Липпмана-Швингера в бесконечной области [1], что позволяет значительно улучшить сходимость метода [2], [3]. Однако необходимо отметить, что из-за наличия условий на бесконечности область, где ищется решение, оказывается чрезвычайно большой, что приводит к необходимости использовать огромные вычислительные ресурсы. Поэтому для решения задач моделирования воздействия электромагнитного поля на объекты, имеющие более простую структуру, например на однородные проводники, ограниченные кусочно-гладкой поверхностью, целесообразно применять другие численные методы. Общепринятым методом решения таких задач является приведение решения исходного операторного уравнения к решению сингулярного интегрального уравнения в объёме, ограниченном проводником. Для дискретизации интегрального уравнения используется метод Галёркина или метод коллокаций. Решение системы линейных уравнений, получающихся после дискретизации объёмного интегрального уравнения, производится итерационными методами, например, методом сопряжённых градиентов с модификациями [4], [5], методом простой итерации и методом минимальных невязок [6], [42]. Для решения задачи с идеально проводящим телом, а также с импедансным и диэлектрическим рассеивателем может быть использован метод дискретных источников [98].

Вместе с тем, во многих практических задачах физики возникает необходимость определения электромагнитных характеристик, вызванных воздействием внешнего поля, только внутри или на поверхности проводника. Такое сужение общей постановки задачи позволяет применять

для её решения высокоэффективные методы специального вида, изложенные в диссертации.

Цель работы. Разработка и исследование математических методов для определения воздействия внешнего электромагнитного поля на однородные проводники определённых форм. А именно, на шаровые, эллипсоидальные, осесимметричные, и на проводники, ограниченные гладкой поверхностью. Определение поля вне проводника решением внешних краевых задач декомпозицией области. Для этого:

- Разработать эффективные численные и аналитические методы определения индуцированных электромагнитных характеристик осесимметричных проводников различных форм.

- Определить индуцированные электромагнитные характеристики в произвольных проводниках, ограниченных гладкой поверхностью, в квазистационарном приближении.

- Разработать, исследовать и провести анализ методов решения внешних краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца декомпозицией области.

- Развить необходимый математический аппарат в математическом анализе, теории ортогональных многочленов, численном интегрировании, линейной алгебре, уравнениях математической физике, предназначенный для решения вышеперечисленных задач.

Методы исследований, достоверность и обоснованность. В

диссертационной работе используется широкий спектр аналитических, полуаналитических и численных методов исследований. Доказан ряд теорем линейной алгебры, математического анализа и уравнений математической физики, которые нашли своё применение в разработанных численных методах. Выводы и положения, сформулированные в диссертации, базируются на строгих математических доказательствах и являются

обобщением ряда известных результатов. Все предложенные численные методы проиллюстрированы численными экспериментами, для которых выбраны наиболее сложные тестовые функции. Достоверность численных моделей подтверждается сравнением результатов численных экспериментов с точными значениями для модельных задач. В тех случаях, когда точное решение неизвестно, достоверность моделей подтверждается сравнением численных результатов, полученных применением разных методов вычислений.

Научная новизна. Новыми в диссертации являются:

1. Метод определения индуцированных электромагнитных характеристик на поверхности осесимметричных проводников в осесимметричном электрическом поле, и осесимметричных сверхпроводников в осесимметричном магнитном поле, который сводится к решению одномерного интегрального уравнения.

2. Исследование матрицы моментов от многочленов Лежандра. Аналитическое определение на основе свойств этой матрицы поверхностного заряда, мультипольных моментов и силы, действующей на проводящий шар на оси неоднородного осесимметричного электрического поля.

3. Исследование свойств семейства функций, ортогональных к многочленам. На их основе разработан и исследован эффективный численно-аналитический метод определения плотности поверхностного заряда эллипсоидального проводника в неоднородном осесимметричном электрическом поле, и плотности поверхностного тока эллипсоидального сверхпроводника в неоднородном осесимметричном магнитном поле. Численный метод определения электромагнитных характеристик на поверхности осесимметричных проводников в осесимметричном внешнем поле.

4. Численно-аналитический метод вычисления потенциала и напряжённости поля проводников эллипсоидальных форм с заданной объёмной плотностью заряда на основе предложенной квадратурной формулы для вычисления сингулярных интегралов.

5. Предложено семейство методов для определения потенциала и напряжённости магнитного поля внутри осесимметричного проводника, расположенного соосно внешнему осесимметричному переменному магнитному полю, на основе разложения в ряд решения линейного операторного уравнения. Выбор метода в зависимости от физических параметров исходной задачи. Определение осевой напряжённости магнитного поля внутри проводника.

6. Определение векторного и скалярного потенциала проводника, ограниченного гладкой поверхностью, во внешнем магнитном поле, гармонически изменяющемся по времени, в квазистационарном приближении исходной задачи. Введение фиктивной поверхности и нахождение такого распределения заряда на ней, которое создаёт электрическое поле внутри проводника равное полю, создаваемому распределением заряда на исходной поверхности тела.

7. Исследование методов декомпозиции и условий их сходимости при решении внешних краевых задач для уравнений Лапласа и Гельмгольца в расчётных областях со сложной геометрической конфигурацией кусочно-гладких границ и контрастными материальными свойствами сред в различных подобластях.

Практическая ценность. Исследование воздействия внешнего электромагнитного поля на проводящие тела является необходимым этапом в моделировании движения проводящих тел в переменном магнитном поле. Попытки организации и использования электромагнитного ускорения макротел предпринимались с начала ХХ века. Они отражены в многочисленных патентах, конструктивных разработках и испытаниях

опытных образцов, имевших место в США, Англии, Франции, Германии и Японии. Основные задачи всех этих изысканий были связаны собственно с достижением сверхвысоких скоростей как для военных целей, так и для использования при создании испытательных стендов, предназначенных для изучения прочностных характеристик конструкционных материалов и моделирования столкновения макро и микротел с космическими аппаратами, а также с технологиями обработки материалов мощными импульсами электромагнитной энергии. К одному из первых фундаментальных теоретических исследований можно отнести монографию [126], в которой приведены в ряде частных случаев расчеты формирования скин-слоя в проводниках при воздействии переменного магнитного поля, изучены возможности применения взрыво-магнитных генераторов для создания сильных и сверхсильных магнитных полей, используемых для электромагнитного ускорения. Современное состояние исследований по электромагнитным ускорителям отражено в трудах конференций 17th International Symposium on Electromagnetic Launch (EML), San Diego, USA, July 07 - 11, 2014, и 18th International Electromagnetic Launch Symposium, Wuhan, China, October 24 - 28, 2016. Тематика конференций достаточно полно может быть представлена опубликованными докладами, а также обзорными статьями [94, 95, 119, 120]. Из анализа обзоров и докладов на конференциях можно заключить, что в настоящее время бесконтактным ускорением проводящих тел переменным магнитным полем пока практически не занимаются. На международном семинаре «Гидродинамика высоких плотностей энергии» (Новосибирск, 2008г.) также был только один доклад, связанный с бесконтактным ускорением проводящих тел переменным магнитным полем. В докладе «Проводящее осесимметричное тело, ускоряемое переменным магнитным полем», А.О.Савченко, А.Я.Савченко, О.Я.Савченко был разработан и обоснован способ бесконтактного ускорения тел в двухканальном перераспределителе энергии, в котором одно тело "выдавливает" из своего канала магнитный поток в

другой канал, ускоряющий второе тело. Анализу механизма такого ускорения посвящена работа [48]. Бесконтактное ускорение тел массой более 1 кг переменным магнитным полем до скорости, превышающей 10км/сек, связано с созданием установок, стоимость которых очень велика. Поэтому разработка математической модели такого ускорения - обязательный этап, предшествующий проектированию таких установок. Необходимо определять магнитные и электрические поля в движущемся теле, моделировать движение тела и исследовать устойчивость движения. Такая математическая модель из-за отсутствия сложных процессов, связанных с контактом ускоряемого тела с электродами, будет хорошо описывать его реальное движение. Сейчас такой модели нет. Ее создание - очень сложная задача. После ее создания можно уверенно определить область практического использования бесконтактного ускорения проводящих тел переменным магнитным полем.

Апробация работы. Результаты диссертационной работы докладывались и обсуждались на 2-м Международном семинаре "Гидродинамика высоких плотностей энергии", 13-18 Июля, 2008г., Новосибирск; Международной конференции «Дифференциальные уравнения, функциональные пространства, теория приближений», Новосибирск, 5-12 октября 2008г.; Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2009, 2325 июня 2009г, Новосибирск; Международной конференции "Simulation-2010", 12-14 мая 2010г, Киев (Украина); Всероссийской конференции по вычислительной математике КВМ-2011, 29 июня - 1 июля 2011г, Новосибирск; International Symposium SCAN'2012, 23-28 September, Novosibirsk; Всероссийской конференции «Актуальные проблемы вычислительной математики и математической физики», 12-15 июня 2012г, Новосибирск; Международной конференции "Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), St.Petersburg, 30 June-4 July 2014; XX Всероссийской конференции «Теоретические основы и

конструирование численных алгоритмов решения задач математической физики», Абрау-Дюрсо, 15-21 сентября 2014; семинаре лаборатории «Параллельных алгоритмов решения больших задач» ИВМиМГ, 28.04.2014г.; семинаре «Теоретические и вычислительные проблемы задач математической физики» (руководитель проф.А.М.Блохин), ИМ СО РАН, 17.04.2015г.; семинаре «Математика в приложениях» (руководитель ак. С.К.Годунов), ИМ СО РАН, 12.11.2015; объединённом семинаре ИВМиМГ

и кафедры вычислительной математики НГУ (руководитель проф. В.П. Ильин), ИВМиМГ, 17.11.2015; конференции Sixth Conference on Numerical Analysis and Applications, June 15-22, 2016 Lozenetz, Bulgaria, семинаре «Численные методы решения условно-корректных и обратных задач» института нефтегазовой геологии и геофизики и кафедры МЗТ НГУ (руководитель профессор В.А.Чеверда), 06.10.2016; семинаре «Математические проблемы геофизики» ИВМиМГ (руководитель член-корреспондент РАН С.И. Кабанихин) 22.11.2016, 14.11.2017, 19.06.2018; семинаре по геоэлектрике Института нефтегазовой геологии и геофизики СО РАН (руководитель акад. Эпов М.И.), 22.06.2017, семинаре «Информационно-вычислительные технологии» ИВТ СО РАН (руководитель акад. Шокин Ю.И. и профессор Ковеня В.М.) 29.05.2018.

Работа частично поддержана грантом РФФИ (проект №12-01-00648-а) и грантом РНФ (3 14-11-00485).

Публикации. Основные результаты диссертации содержатся в 14 работах, опубликованных в журналах из Перечня изданий ВАК:

1. Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление токов на поверхности сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное магнитное поле. //СибЖВМ, т.10, №3, 2007, с.317-324.

2. Савченко А.О., Савченко О.Я. Поверхностные токи сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующие внешнее соосное магнитное поле. // ЖТФ, т.77, №7, 2007,с.130-133.

3. Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида вращения гармоническим векторным соосным полем. //СибЖИМ, т.14, №2, 2011, с.106-111.

4. Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида гармоническим векторным полем.// ТМФ, т.170, №3, 2012, стр.381-392.

5. Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление зарядов на поверхности проводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное электрическое поле.//СибЖВМ, т.15, №3, 2012, с.321-327.

6. Савченко А.О. Вычисление объёмного потенциала для эллипсоидальных тел. // СибЖИМ, т.15, №1, 2012, с.123-131.

7. Савченко А.О. Вычисление силы притяжения эллипсоида. // ЖВМиМФ, т.53, №12, 2013, с.2063-2071.

8. Савченко А.О., Савченко О.Я. Осесимметричное проводящее тело в соосном электрическом поле. // ЖВМиМФ, т.53,№4, 2013, стр.675-684.

9. Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее осесимметричное тело в соосном переменном магнитном поле. // ЖТФ, т.84, №1,2014, стр.18-27.

10. Савченко А.О. Функции ортогональные к многочленам, и их применение в осесимметричных задачах физики.// ТМФ, т.179,№2,2014, стр.225-241.

11. Савченко А.О. Матрица моментов от полиномов Лежандра и приложение её свойств в задачах электростатики. // ЖВМиМФ, т.57,№1, 2017, стр. 163175.

12. Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее тело в переменном магнитном поле. // ЖТФ, т.85,№7,2015, стр.8-12.

13. Савченко А. О., Ильин В. П., Бутюгин Д. С. Метод решения внешней трехмерной краевой задачи для уравнения Лапласа. / СибЖИМ, том 19, № 2 (66), с.88-99, 2016.

14. Свешников В.М., Савченко А.О., Петухов А.В. Численное решение трехмерных внешних краевых задач для уравнения Лапласа методом

декомпозиции расчётной области без пересечения. // СибЖВМ, т.21, №4, 2018, с.423-436.

Произведена государственная регистрация двух программ для ЭВМ:

1. Савченко А. О. POTELL - программа вычисления потенциала эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017662812, 2017г.

2. Савченко А. О. БОКСЕЬЬ - программа вычисления силы притяжения эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017662875, 2017г.

Структура и объём диссертации. Диссертация состоит из введения, 6 глав, приложения, заключения и списка литературы. Общий объём работы составляет 227 страниц, включая 12 рисунков и 15 таблиц. Список литературы содержит 133 наименования.

Личный вклад автора. Главы 1, 2, 3 диссертации написаны на основе работ, опубликованных автором самостоятельно. Главы 4-5 базируются на работах, опубликованных в соавторстве с Савченко О.Я., которым была выполнена физическая постановка задач и физическая интерпретация полученных результатов. Глава 6 написана на основе совместных работ с Ильиным В.П. и Свешниковым В.М., в которых численные эксперименты были проведены Бутюгиным Д.С. и Петуховым А.В., а автором выполнены исследования сходимости методов декомпозиции и реализация трёхмерного интегрального представления решения.

Краткое содержание диссертации

В диссертации разработаны и исследованы методы решения задачи

воздействия электромагнитного поля на ограниченное однородное

проводящее тело. Отличительной особенностью всех физических задач,

рассмотренных в диссертации, является то обстоятельство, что в их постановке известными величинами являются только физические и геометрические параметры проводника, такие как его форма, размер и проводимость, а также значения внешнего электромагнитного поля в объёме, занимаемом проводником. При этом предполагается, что значения индуцированных электромагнитных характеристик проводника являются неизвестными как на его границе, так и в какой-либо другой части пространства.

Искомые электромагнитные характеристики проводника определяются значением внешнего поля в объёме, занимаемом проводником, или, при наличии осевой симметрии внешнего поля и проводника, значением внешнего поля на его оси внутри проводника. Решение задачи в первом из рассмотренных случаев находится в виде ряда, каждый член которого является решением операторного уравнения более простого вида с известной функцией Грина. Выбор ряда неоднозначен и может варьироваться в зависимости от постановки задачи. В простейшем случае такой ряд является решением интегрального уравнения Фредгольма 2-го рода методом итерированных ядер. В общем случае каждый член ряда является интегралом с особенностью в подынтегральном выражении, и для его вычисления необходимо применять методы специального вида. Для эллипсоидальных проводников разработан численно-аналитический метод вычисления интегралов, в котором квадратурные формулы не только не имеют особенностей во всех узлах расчётной области, но и не принимают в них большие значения.

Осесимметричные задачи сведены к решению одномерных интегральных уравнений. Для проводников, имеющих форму эллипсоида вращения, предложен эффективный метод их решения, сводящийся к решению системы линейных алгебраических уравнений малого порядка. Для шаровых проводников исследованы свойства матрицы этой системы, и определены

элементы обратной к ней матрицы. Это позволило найти ряд главных электрических характеристик таких проводников в аналитическом виде.

Методы, предложенные для решения вышеприведённых задач, протестированы численными экспериментами, результаты которых хорошо согласуются с теоретическими значениями, полученными для известных частных решений. Отметим, что основным приоритетом в разработке численных методов являлась точность получаемых результатов, по этой причине вопросы ускорения вычислительного процесса остались за рамками диссертации.

Структурно диссертация состоит из введения, шести глав, приложения и заключения. Главы приведены таким образом, что с увеличением их номера увеличивается и общность рассматриваемой задачи. По этой причине в первой главе получены аналитические решения, во второй - численно-аналитические, в главах с четвёртой по шестую решения только численные, которые получены и протестированы с учётом результатов, полученных в первых трёх главах. В третьей главе рассмотрены вопросы численного вычисления интегралов с особенностями, используемых при решении задач в следующих главах.

В первой главе для шарового проводника, расположенного в неоднородном осесимметричном электростатическом поле, аналитически определены его полный заряд, мультипольные моменты и сила, действующая на него [7]. Разработан и исследован метод определения поверхностной плотности заряда для проводящего шара, находящегося на оси внешнего осесимметричного поля, сводящийся к умножению матрицы с найденными элементами на вектор правой части, определяемой по значению потенциала внешнего поля на отрезке его оси внутри шара. Вывод формул для вышеприведённых электрических характеристик проводящего шара базируется на использовании свойств матрицы моментов от многочленов Лежандра, которые приведены и доказаны во второй части главы.

Во второй главе изучается воздействие внешнего осесимметричного электрического (магнитного) поля на осесимметричные проводники (сверхпроводники), расположенные соосно внешнему полю. Целью главы является определение поверхностной плотности заряда проводника во внешнем соосном электрическом поле, и определение поверхностной плотности тока сверхпроводника во внешнем соосном магнитном поле. Решение исходных задач сведено к решению одномерных интегральных уравнений Фредгольма 1 -го рода.

Доказано, что для эллипсоидальных проводников ядрами этих уравнений являются производящие функции, которые производят функции, ортогональные к многочленам [16]. Исследованы свойства таких функций, на основе которых предложен эффективный метод решения интегральных уравнений. Доказано, что если внешнее электрическое (магнитное) поле является многочленом степени п на оси проводника (сверхпроводника), а сам проводник (сверхпроводник) имеет форму эллипсоида вращения, то решением интегрального уравнения также будет многочлен степени п , коэффициенты которого определяются из решения системы линейных алгебраических уравнений с матрицей размера п х п. Найден явный вид элементов матрицы алгебраических уравнений в виде гипергеометрических функций. Разработанные методы были применены в задаче определения поверхностной плотности заряда осесимметричного проводника, расположенного соосно внешнему осесимметричному электрическому полю [10], [11], и в задаче определения токов на поверхности осесимметричного сверхпроводника, расположенного соосно внешнему осесимметричному магнитному полю [12]—[15].

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Савченко Александр Оливерович, 2020 год

Список литературы

[1] Lippmann B.A., Schwinger J. Variational principles for scattering processes. //Physical Review, 79, N3, 1950, p.469-480.

[2] Druskin V., Knizhnerman L., Lee P. New spectral Lanczos decomposition method for induction modeling in arbitrary 3-D geometry. // Geophysics, 64,N3, 1999,p.701-706.

[3] Zaslavsky M., Druskin V., Davydycheva S., Knizhnerman L., Abubakar A., Habashy T. //Hybrid finite-difference integral equation solver for 3D frequency domain anisotropic electromagnetic problems. Geophysics, Vol.76,N2,2011, p.F123-F137.

[4] Sarkar T.K. Application of conjugate gradient method in electromagnetics and signal analysis. // New-York, Elsevier, 1991.

[5] Sarkar T.K., Arvas E., Ponnapalli S. Electromagnetic scattering from dielectric bodies. // IEEE Trans.Vol.AP-37,N5,1989,p.673-676.

[6] Самохин А.Б. Объёмные интегральные уравнения: методы и алгоритмы. // М. МИРЭА, 2011.

[7] Савченко А.О. Матрица моментов от полиномов Лежандра и приложение её свойств в задачах электростатики . // ЖВМиМФ, т.57,№1, 2017, стр. 163175.

[8] Савченко А.О. Вычисление объёмного потенциала для эллипсоидальных тел. // СибЖИМ, т.15, №1, 2012, с.123-131.

[9] Савченко А.О. Вычисление силы притяжения эллипсоида. // ЖВМиМФ, т.53, №12, 2013, с.2063-2071.

[10] Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление зарядов на поверхности проводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное электрическое поле.//СибЖВМ, т.15, №3, 2012, с.321-327.

[11] Савченко А.О., Савченко О.Я. Осесимметричное проводящее тело в соосном электрическом поле. // ЖВМиМФ, т.53,№4, 2013, стр.675-684.

[12] Савченко А.О., Савченко О.Я. Вычисление токов на поверхности сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующих внешнее соосное магнитное поле. //СибЖВМ, т.10, №3, 2007, с.317-324.

[13] Савченко А.О., Савченко О.Я. Поверхностные токи сверхпроводящего осесимметричного тела, экранирующие внешнее соосное магнитное поле. // ЖТФ, т.77, №7, 2007,с.130-133.

[14] Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида вращения гармоническим векторным соосным полем. //СибЖИМ, т.14, №2, 2011, с.106-111.

[15] Савченко А.О., Савченко О.Я. Обтекание эллипсоида гармоническим векторным полем.// ТМФ, т.170, №3, 2012, стр.381-392.

[16] Савченко А. О. Функции ортогональные к многочленам, и их применение в осесимметричных задачах физики.// ТМФ, т.179,№2,2014, стр.225-241.

[17] Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее осесимметричное тело в соосном переменном магнитном поле. // ЖТФ, т.84, №1,2014, стр.18-27.

[18] Савченко А.О., Савченко О.Я. Проводящее тело в переменном магнитном поле. // ЖТФ, т.85,№7,2015, стр.8-12.

[19] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Электродинамика сплошных сред.// М., Наука, 1992.

[20] Bateman H., Erdelyi A. Higher Transcendental Functions. Vol.1 //McGraw-Hill Book Company, New York, 1953.

[21] Erdelyi A. Singularities of Generalized Axially Symmetric Potentials.// Communications on Pure and Applied Mathematics, 1956, Vol.IX, p.403-414.

[22] Кондратьев Б.П. Теория потенциала. Новые методы и задачи с решениями..// М. «Мир», 2007.

[23] Муратов Р.З. Потенциалы эллипсоида.// М. «Атомиздат», 1976.

[24] Никифоров А.Ф., Уваров В.Б. Специальные функции математической физики.// М. «Наука», 1978.

[25] Beylkin G., Cramer R., Fann G., Harrison R.J. Multiresolution separated representations of singular and weakly singular operators.//Appl. Comp. Harm. Anal. 23 (2007), 235-253.

[26] Maz'ya V., Schmidt G. Approximate Approximations.// Math. Surveys and Monographs vol.141, AMS 2007.

[27] Ivanov T., Maz'ya V., Schmidt G. Boundary layer approximate approximations and cubature of potentials in domains.// Advances in Computational Mathematics, Volume 10, Numbers 3-4, (1999), 311-342.

[28] Михлин С.Г., Смолицкий Х.Л. Приближённые методы решения дифференциальных и интегральных уравнений.//М.: Наука, 1965.

[29] Бахвалов Н.С. Численные методы.// М.: Наука, 1973.

[30] Дубошин Г.Н. Небесная механика. Основные задачи и методы.// М.: Наука, 1968.

[31] Суетин П.К.. Классические ортогональные многочлены.//М.: Наука, 1976.

[32] Градштейн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений.// М., ГосИзд. физ-мат. литературы , 1963.

[33] Прудников А.П., Брычков Ю.А., Маричев О.И. Интегралы и ряды. Специальные функции.//М., Наука, 1983.

[34] Орир Дж. Физика. // М.: Мир, 1981.

[35] Верлань А.Ф., Сизиков В.С. Интегральные уравнения: Методы, решения, алгоритмы. //Киев, Наукова Думка, 1986.

[36] Тихонов А.Н., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач.// М.: Наука, 1979, 288стр.

[37] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике.// М.: Макс-Пресс, 2008, 316с.

[38] Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля.// М.: Наука, 1973.

[39] Владимиров В.С. Уравнения математической физики.// М.: Наука, 1981.

[40] Свешников А.Г. Принцип излучения. // ДАН СССР, 1950.Т.73.№5.С.917-920.

[41] Тихонов А.Н., Самарский А.А. Уравнения математической физики. //М., Наука,1972.

[42] Самохин А.Б. Интегральные уравнения и итерационные методы в электромагнитном рассеянии. // М. Радио и связь, 1998.

[43] Savchenko A. Computation of potential and attraction force of an ellipsoid.// Reliable Computing, V.19, Issue 3, p.318-329, 2014.

[44] Соболев С.Л. Теория дифракции плоских волн // Л.: Изд-во АН СССР, 1934. - 23 с. - (Труды Сейсмического института; N 41).

[45] Соболев С.Л. Общая теория дифракции волн на римановых поверхностях // Труды Математического института АН СССР им. В.А.Стеклова. - 1935. - Т.9. - С.39-106.

[46] Дмитриев В.И., Захаров Е.В. Метод интегральных уравнений в вычислительной электродинамике. // М., Макс Пресс, 2008.

[47] Смирнов Ю.Г. Математические методы исследования задач электродинамики. // Пенза, ИЦ ПензГУ, 2009.

[48] Савченко А.Я., Савченко О.Я. Ускорение металлических тел переменным магнитным полем. //Вопр. оборон. техн., Сер. №11, 1990.

[49] Savchenko Alexander. Conducting body in a varying magnetic field. // Proceedings of International conference "Computer Technologies in Physical and Engineering Applications (ICCTPEA), St.Petersburg, 30 June-4 July 2014, p.156-157.

[50] Захаров Е.В., Пименов Ю.В. Численный анализ дифракции. // М., Радио и Связь, 1982.

[51] Ильинский А.С., Смирнов Ю.Г. Дифракция электромагнитных волн на проводящих тонких экранах. // М.,:ИПРЖР, 1996.

[52] Atkinson K. A survey of boundary integral equation methods for the numerical solution of Laplace's equation in three dimensions, in Numerical solution of integral equations.//Plenum Press, New York,1990,pp.1-34.

[53] Engleder S. , Steinbach O. Stabilized boundary element methods for exterior Helmholtz problems. // Numer. Math., Volume 110, Issue 2, (2008), pp. 145-160.

[54] Kleefeld A., Lin Tsu-Chu. Boundary element collocation method for solving the exterior Neumann problem for Helmholt's equation in three dimensions. // Electronic Transactions on Numerical Analysis, V.39, pp.113-143, 2012.

[55] Aziz A., Dorr M., Kellogg R. A new approximation method for the Helmholtz equation in an exterior domain.// SIAM J.Numer.Anal., V.19, N5, 1982.

[56] Ильин В.П.. Численные методы решения задач электрофизики //М.,Наука,1985, 334стр.

[57] Dolean V., Jolivet P., Nataf F. An Introduction to Domain Decomposition Methods: algorithms, theory and parallel implementation.// Master, France, https://hal.archives-ouvertes.fr/cel-01100932v3, 2015.

[58] Yu De-hao. Natural Boundary Integral Method and Its Applications. // Springer, Netherlands, 552 pages, 2002.

[59] Chen Q., Liu B., Du Q. A D-N Alternating Algorithm for Solving 3D Exterior Helmholtz Problems // Mathematical Problems in Engineering, V.2014, http://dx.doi.org/10.1155/2014/418426, 2014.

[60] Савченко А. О., Ильин В. П., Бутюгин Д. С. Метод решения внешней трехмерной краевой задачи для уравнения Лапласа. // СибЖИМ, том 19, № 2 (66), с.88-99, 2016.

[61] Savchenko Alexander, Petukhov Artem. An Overlapping Domain Decomposition Method for the Helmholtz Exterior Problem. // Numerical Analysis and Its Applications, NAA 2016, Lecture Notes in Computer Science, vol. 10187, pp. 591-598, Springer, Cham, 2017.

[62] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Основные дифференциальные уравнения математической физики.// М., Гос. изд-во физ.-мат. лит., 1962, 767стр.

[63] Бицадзе А.В.. Краевые задачи для эллиптических уравнений второго порядка //М.,Наука,1966, 203стр.

[64] S^warz Н. // Ges. math. Abh., Bd 2, В., 1890.

[65] Курант Р.. Уравнения с частными производными//М., Мир, 1964, 830стр.

[66] Girault V., Raviart P. Finite element methods for Navier-Stockes equations // Springer, New York, 1986.

[67] Karniadakis G.E., Sherwin S.J. Spectral/hp element methods for CFD. // Numerical Mathematics and Scientific Computation. Oxford University Press, New York. 1999.

[68] Манжиров А.В., Полянин А.Д. Методы решения интегральных уравнений.// М.: Факториал, 1999.

[69] Белых В.Н. Ненасыщаемый численный метод решения внешней осесимметричной задачи Неймана для уравнения Лапласа.//Сиб.Мат.Журнал, Т.52, №6, 2011.

[70] Годунов С.К., Антонов А.Г., Кирилюк О.П., Костин В.И. Гарантированная точность решения систем лилейных уравнений в евклидовых пространствах.// Новосибирск: Наука, 1988, 456стр.

[71] Курант Р., Гилберт Д. Методы математической физики. Том 2. //М., Мир, 1964, 830 стр.

[72] Cotton D., Kress R.. Inverse Acoustic and Electromagnetic Scattering Theory.// Springer Verlag, Berlin, 1992.

[73] Doien A., Eremin Y., Wriedt T. Acoustic Electromagnetic Scattering Analysis Using Discrete Sources.// Academic Press, San Diego, San Francisco, New Boston, London, Sydney, Tokyo, 2000.

[74] Свешников А.Г., Могилевский И.Е. Математические задачи теории дифракции. //М., Изд-во МГУ, 2012.

[75] Quarteroni A., Valli A. Domain Decomposition Methods for Partial Differential Equations.// Oxford Science Publications, 1999.

[76] Toselli A., Widlund O. Domain Decomposition Methods - Algorithms and Theory. // Springer, Vol.34 of Springer Series in Computational Mathematics, 2005.

[77] Chan T., Mathew T. Domain Decomposition Algorithms. //Cambridge University Press, Acta Numerica, p.61-143, 1994.

[78] Gander M.J. Optimized Schwarz Methods.// Siam J.Numer.Anal., 44(2), p.699-731, 2006.

[79] Ильин В.П. Математическое моделирование. Часть 1. Непрерывные и дискретные модели.// Изд-во СО РАН, Новосибирск, 2017.

[80] Колтон Д., Кресс Р. Методы интегральных уравнений в теории рассеяния.// М., Мир, 1987, 311 стр.

[81] Смагин С.И. Интегральные уравнения задач дифракции.// Владивосток, Дальнаука, 1995, 175 стр.

[82] Лебедев В.И., Агошков В.И. Операторы Пуанкаре-Стеклова и их приложения в анализе. // М., ОВМ АН СССР, 1983.

[83] Воронин В.В. Численное решение двумерной задачи дифракции упругой волны на упругом теле методом потенциалов. // Новосибирск, Препринт ВЦ СО РАН №123, 1978, 26стр.

[84] Burdon A., Miller G. The application of integral equation methods to the numerical solution of some exterior boundary-value problems. //Proc.R.Soc.Lond. A. Math.Phys. Eng.Sci. 323(1553), 1971, p.201-210.

[85] Takahashi T., Coulier P., Darve E. Application of the inverse fast multiple method as a preconditioner in a 3D Helmholtz boundary element method. // J. Comp. Phys., 341, 2017, p.406-428.

[86] Gillis T., Winckelmans G., Chatelain P. Fast immersed interface Poisson solver for 3D unbounded problems around arbitrary geometries. // J. Comp. Phys., 354, 2018, p.403-416.

[87] Ваганов Р., Каценеленбаум Б. Основы теории дифракции. // М., Наука, 1982, 272 стр.

[88] Ильин В.А., Позняк Э.Г. Основы математического анализа. Ч.1.//М., Наука, 1971

[89] Kirsch A., Monk P. A finite element method for approximating electromagnetic scattering from a conducting object. // Numer.Math.V.92, Issue 3, 2002, p.501-534.

[90] http: //sourceforge.net/proj ects/netgen-mesher/

[91] Кошляков Н.С., Глинер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. // М., Высшая школа, 1970.

[92] Ильин В.П. Методы конечных разностей и конечных объемов для эллиптических уравнений. // Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2001.

[93] Лебедев В.И. Функциональный анализ и вычислительная математика.// М., Физматлит, 2005, 295с.

[94] Fylladitakis E., Theodoridis M., Moronis A. Review on the History, Research, and Applications of Electrohydrodynamics.//IEEE Transactions on Plasma Science, V. 42, Issue 2, 2014.

[95] Ma Weiming , Lu Junyong. Thinking and Study of Electromagnetic Launch Technology. //IEEE Transactions on Plasma Science, V. 45, Issue 7, 2017.

[96] Farhat C., Macedo A., Lesoinne M. A two-level domain decomposition method for the iterative solution of high frequency exterior Helmholtz problems.// Numer.Math. V.85, Issue 2, 2000, p.283-308.

[97] Du Qikui, Yu De-hao. Schwarz alternating method based on natural boundary reduction for time-dependent problems on unbounded domains.// Commun. Numer. Math. Engng. 20, 2004, p.363-378.

[98] Еремин Ю.А., Свешников А.Г. Метод дискретных источников в задачах электромагнитной дифракции. // М., Изд-во МГУ, 1992, 182с.

[99] Петрушенко Е.И. Постановка задачи по расчёту вихревых токов в телах произвольной формы. // Изв.Вузов, Электромеханика, №11, 1966.

[100] Петрушенко Е.И. К расчёту вихревых токов в проводниках сложной формы. // Изв.АН СССР, Энергетика и транспорт, №1, 1968.

[101] Тозони О.В., Маергойз И.Д. Расчёт трёхмерных электромагнитных полей. // Киев, Изд-во «Техника», 1974, 353с.

[102] Тозони О.В., Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчёта трёхмерного квазистационарного электромагнитного поля. // Известия Вузов, Электромеханика, №3, 1972.

[103] Маергойз И.Д. Интегральные уравнения для расчёта трёхмерного квазистационарного электромагнитного поля. // Известия Вузов, Электромеханика, №7, 1972.

[104] Астахов В.И. Квазистационарные электромагнитные поля в проводящих оболочках. // М., Физматлит, 2013, 329с.

[105] Леонтович М.А. О приближённых граничных условиях для электромагнитного поля на поверхности хорошо проводящих тел. // М., Изд-во АН СССР. В сб. «Исследования по распространению радиоволн», 1948.

[106] Маергойз И.Д. Использование приближённых граничных условий на поверхностях проводящих тел для расчёта квазистационарного электромагнитного поля. // Киев, «Наукова Думка», В сб. «Кибернетика и вычислительная техника. Методы расчёта электромагнитных полей на ЭЦВМ», Вып.22, 1973.

[107] Садовничая И.В., Хорошилова Е.В. Определённый интеграл: теория и практика вычислений. // М., Макс Пресс, МГУ, 2008, 266 с.

[108] Yu De-hao, Wu Ji-ming. A nonoverlapping domain decomposition method for exterior 3-D problem. // Journal of Computational Mathematics, V.19, No.1, 2001, p.77-86.

[109] Ильин В.П. Методы и технологии конечных элементов. // Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2007.

[110] Фаддеев Д.К., Фаддеева В.Н. Вычислительные методы линейной алгебры.// М., Физматлит, 1963, 734с.

[111] Ильин В.П. Численный анализ. Часть1.// Новосибирск: ИВМиМГ (ВЦ) СО РАН, 2004, 334с.

[112] Monk P. Finite element methods for Maxwell's equations. / Clarendon Press, Oxford, 2003.

[113] Bossavit A. Computational Electromagnetism. // Academic Press, Boston, 1998.

[114] Лаевский Ю.М., Мацокин А.М. Методы декомпозиции решения эллиптических и параболических краевых задач.// СибЖВМ, т.2, №4, с.361-372, 1999.

[115] Савченко А. О. POTELL - программа вычисления потенциала эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017662812, 2017г.

[116] Савченко А. О. FORCELL - программа вычисления силы притяжения эллипсоида вращения. //Свидетельство о государственной регистрации программы для ЭВМ № 2017662875, 2017г.

[117] Jia Z., Wu Ji-ming, Yu De-hao . A coupled natural boundary element and finite element method for solving a 3-dimensional exterior Helmholtz problem. // Mathematica Numerica Sinica, V.23, No.3, 2001, pp.357-368.

[118] Свешников В.М., Савченко А.О., Петухов А.В. Численное решение трехмерных внешних краевых задач для уравнения Лапласа методом декомпозиции расчётной области без пересечения. // СибЖВМ, т.21, №4, 2018, с.423-436.

[119] Fair H.D. Advances in Electromagnetic Launch Science and Technology and Its Applications // IEEE Transactions on Magnetics, Volume 45, Issue 1, 2009.

[120] Rutberg Ph., Shvetsov G., Kumkova I. New Steps in EML Research in Russia.// IEEE Transactions on Magnetic, V. 45, No. 1, 2009, p. 231-236.

[121] Givoli D. Numerical methods for problems in infinite domains.// Elsevior, Amsterdam, Netherlands, 1992.

[122] Васильев Е.Н. Возбуждение тел вращения. // М., Радио и Связь, 1987, 271с.

[123] Huber M. Numerical solution of the wave equation in unbounded domains.// University of Zurich, 2011.

[124] Бабич В.М., Капилевич М.Б., Михлин С.Г. Линейные уравнения математической физики.//М.: Наука, 1964.

[125] Cianchi A., Maz'ya V. Global gradient estimates in elliptic problems under minimal data and domain regularity. //Communications on Pure and Applied Analysis, V.14, N1, 2015, p.285-311.

[126] Кнопфель Г. Сверхсильные импульсные магнитные поля. // М.: Мир, 1972. - 391 с.

[127] Каширин А.А. Смагин С.И. О численном решении задач Дирихле для уравнения Гельмгольца методом потенциалов.//ЖВМиМФ, т.52, №8, 2012, стр.1492-1505.

[128] Шикин Е.В., Плис А.И. Кривые и поверхности на экране компьютера. Руководство по сплайнам для пользователей. // М., Диалог-МИФИ, 1996.

[129] Mathew T. Domain Decomposition Methods for the Numerical Solution of Partial Differential Equations.// Springer-Verlag Berlin, 2008.

[130] PETSc Web page: http://www.mcs.anl.gov/petsc.

[131] Schoberl J. NETGEN An advancing front 2D/3D-mesh generator based on abstract rules // Computing and Visualization in Science, V.1, N.1, pp.41-52,1997.

[132] Logg A., Mardal K.-A., Wells G. N. et al. Automated solution of differential equations by the finite element method // Springer, 2012.

[133] Хокни Р., Иствуд Дж.. Численное моделирование методом частиц..// М. «Мир», 1987.