Численные методы решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Павельчак, Иван Алексеевич

• Павельчак, Иван Алексеевич
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Павельчак, Иван Алексеевич

Содержание

Введение

Обзор литературы

Глава 1. Задачи определения источника возбуждения

1.1. Математические модели возбуждения сердца. Численные методы их решения

1.2. Обратная задача определения локализованного начального условия

1.3. Обратная задача определения функции источника в уравнении 2-5

1.4. Обратная задача определения начального возбуждения, рассматриваемая в двух областях

Глава 2. Задачи определения параметров моделей

2.1. Обратная задача поиска параметров моделей

2.2. Обратная задача поиска области, потерявшей способность к возбуждению

Глава 3. Программный комплекс

3.1. Программы решения прямых задач для моделей возбуждения сердца

3.2. Программы решения задач определения локализованного источника возбуждения

3.3. Программы решения обратных задач определения параметров моделей

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численные методы решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца»

Введение

Актуальность работы. В настоящее время методы математического моделирования активно используются в медицине. Одной из важных сфер применения этих методов являются проблемы кардиологии. Математические методы и компьютерные технологии позволяют анализировать различные процессы сердечной активности и совершенствовать диагностику кардиологических заболеваний.

Методы математического моделирования играют большую роль в исследовании электрофизиологических процессов, происходящих в сердце, и выявлении различных нарушений сердечной деятельности. Электрофизиологические процессы в сердечной мышце характеризуются изменением во времени трансмембранного потенциала. Для описания процесса возбуждения сердца в терминах трансмембранного потенциала предложен ряд математических моделей, см. обзор в [1]. Широкое распространение получили монодоменные модели, представляющие собой начально-краевые задачи для квазилинейных эволюционных систем уравнений в частных производных, рассматриваемых в областях с достаточно сложной геометрией [2]. К числу монодоменных моделей относятся модели Фитц-Хью-Нагумо [3-5] и Алиева-Панфилова [6], активно используемые для анализа различных процессов возбуждения сердца.

Важным направлением в применении математических методов и компьютерных технологий в кардиологии является разработка численных методов и программного обеспечения для решения различных задач диагностики заболеваний сердца. Многие методы вычислительной диагностики базируются на решении обратных задач для математических моделей возбуждения сердца. Они могут быть использованы для диагностики различных болезней, например таких широко распространенных заболеваний, как аритмия и инфаркт

миокарда. Разработка численных методов решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца, их программная реализация и применение в электрофизиологии сердца безусловно являются актуальными.

Цель диссертационной работы

• разработка численных методов решения обратных задач математических моделей возбуждения сердца

• программная реализация предложенных численных методов решения обратных задач

• проведение вычислительных экспериментов с целью анализа точности решения обратных задач и возможности применения предложенных методов для диагностики кардиологических заболеваний

Научная новизна. Рассмотрены новые постановки обратных задач для математических моделей возбуждения сердца. Разработаны численные методы решения поставленных обратных задач. Создан программный комплекс, реализующий предложенные численные методы. Проведены численные эксперименты, показавшие достаточно хорошую точность решения обратных задач предложенными методами.

Практическая значимость. Предложенные численные методы и созданный комплекс программ могут быть использованы для разработки методов и средств диагностики кардиологических заболеваний.

На защиту выносятся следующие основные результаты и положения:

• численные методы решения задач определения локализованного источника в математических моделях возбуждения сердца.

• численные методы решения задач определения параметров математических моделей возбуждения сердца и определения области, утратившей

способность к возбуждению;

• программный комплекс, реализующий разработанные численные методы; результаты вычислительных экспериментов решения обратных задач, показывающие возможность использования предложенных методов для диагностики кардиологических заболеваний.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на:

• V международной конференции "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания"(Обнинск, 14-18 мая 2011 года)

• научной конференции "Тихоновские чтения"(Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 14 июня 2011 года)

• научном семинаре лаборатории обработки биоэлектрической информации в Институте проблем передачи информации им. A.A. Харкевича РАН

• научной конференции "Ломоносовские чтения"(Москва, МГУ им. М.В. Ломоносова, 16-25 апреля 2012 года)

• научном семинаре "Обратные задачи математической физики "под руководством профессоров А.Б. Бакушинского, A.B. Тихонравова и А.Г. Яголы в Научно-исследовательском вычислительном центре МГУ им. М.В. Ломоносова

• научно-исследовательском семинаре кафедры математической физики факультета ВМиК МГУ им. М.В. Ломоносова

Публикации. Материалы диссертации опубликованы в 8 печатных работах. из них 4 статьи в журналах списка ВАК [7-10], 2 статьи [11, 12] и 2 тезиса докладов [13, 14].

Структура и объем диссертации Диссертация состоит из введения, обзора литературы, 3 глав, заключения и библиографии. Общий объем диссертации 91 страница, из них 83 страницы текста, включая 17 рисунков. Библиография включает 52 наименования на 7 страницах.

Обзор литературы

Методы математического моделирования электрических процессов, происходящих в тканях живых организмов, начали развиваться во второй половине XX века. В 1952 году Аланом Ллойдом Ходжкином и Эндрю Хаксли была предложена модель, описывающая процессы генерации и передачи электрических сигналов в гигантских аксонах кальмара. С тех пор было предложено много моделей, описывающих процессы электрического возбуждения как на клеточном уровне, так и на уровне ткани. Эти модели можно разделить на несколько категорий.

Первую категорию представляют модели ионных токов. К ним относятся модель Ходжкина-Хаксли [15-19] и некоторые её модификации [20]. В них описываются процессы течения ионных токов (Са+, К+) через клеточные мембраны. Они включаются в себя большое количество переменных и параметров. Модели ионных токов содержат большое количество уравнений и имеют очень высокую вычислительную сложность.

Во вторую категорию входят эйкональные модели [21]. Они очень просты и описывают только время, за которое деполяризационная волна распространяется от одной точки пространства до другой. Эти модели не дают достаточно точного описание процессов реакций, происходящих при электрическом возбуждении тканей.

Третью категорию образуют феноменологические модели, описывающие возникновение потенциала действия и его распространение вдоль клеточных мембран. Эти модели делятся на монодоменные, описывающие трансмембранный потенциал, и бидоменные, моделирующие внутри- и внешнеклеточные потенциалы. В моделях ионных токов внутри- и внешнеклеточные потенциалы считаются определенными на непересекающихся областях, разделенных клеточными мембранами. В феноменологических моделях эти потенциалы

считаются определенными на всей рассматриваемой возбудимой области как среднее значение по малому объему. Трансмембранный потенциал представляет собой разницу усредненных внутри- и внешнеклсточных потенциалов. Феноменологические модели возбуждения сердца лучше других подходят для исследования обратных задач, так как они с вычислительной точки зрения не столь сложны как модели ионных токов и, с другой стороны, достаточно точно моделируют процесс изменения потенциалов на уровне ткани.

В диссертационной работе исследуются обратные задачи для двух феноменологических монодоменных моделей возбуждения сердца. Первая рассматриваемая модель - Фитц-Хью-Нагумо [3-5]. На ее основе было проведено множество исследований процессов распространения возбуждения в миокарде, см. например [22-24]. Модель Фитц-Хыо-Нагумо дает хорошую точность моделирования таких наблюдаемых параметров, как продолжительность импульса и скорость его распространения [1, 25-28]. Но некоторые другие характеристики процесса, такие как форма импульса и восстанавливающие свойства среды, модель Фитц-Хью-Нагумо описывает не достаточно точно [1, 6]. Модель Алиева-Панфилова [6] более точно описывает форму наблюдаемых импульсов в миокарде. Она также использовалась в различных исследованиях процессов распространения возбуждения в миокарде [29-33]. Вопрос существования и единственности решения прямых задач для моделей Фитц-Хью-Нагумо и Алиева-Панфилова был рассмотрен в ряде работ, см. например [34-36].

Наибольший интерес с практической точки зрения представляет изучение этих моделей в трехмерных областях, соответствующих геометрии сердца. Однако, учитывая теоретическую и вычислительную сложность соответствующих трехмерных задач, в большом числе работ исследуются двумерные модели, позволяющие учесть многие эффекты, характерные для процессов возбуждения сердца, см. например [22. 28, 37]. Поскольку обратные задачи

имеют существенно большую численную трудоемкость, чем прямые, в диссертации рассматриваются обратные задачи для двумерных моделей возбуждения сердца.

Важным направлением исследований математических моделей возбуждения сердца является разработка методов решения обратных задач, ориентированных на совершенствование методов диагностики. Обратные задачи для математических моделей возбуждения сердца рассматривались в работах [1, 38-45] На настоящее время существует ряд работ, в которых рассматривались обратные задачи для моделей Фитц-Хью-Нагумо и Алиева-Панфилова. В них исследуется возможность восстановления входящих в уравнения функций или параметров по известным значениям потенциала либо на всей границе, либо в некотором количестве точек на ней.

Важным классом обратных задач для моделей возбуждения сердца являются задачи определения источника возбуждения. В работах [38-40] задача определения источника рассматривалась для стационарных моделей, в которых потенциал поля удовлетворяет уравнению Пуассона. В диссертации рассматриваются методы решениях задач определения источника возбуждения для эволюционных моделей возбуждения сердца, таких как Фитц-Хью-Нагу-мо и Алиева-Панфилова.

Ряд работ посвящен поиску неизвестных параметров моделей [41-43]. Параметры моделей могут варьироваться от пациента к пациенту, и, таким образом, задачи определения параметров имеют большое практическое значение для компьютерной диагностики в медицине. В большинстве работ рассматривались задачи определения одного неизвестного параметра. В диссертации рассматриваются постановки задач, в которых определяется как один, так и несколько параметров.

Большое значение для медицинской диагностики также имеют задачи определения участка сердца, пораженного инфарктом. Постановки таких за-

дач рассматривались в работах [1, 44, 45] для бидоменных моделей. В диссертации рассматривается постановка задачи определения области, пораженной инфарктом, для монодоменных моделей Фитц-Хью-Нагумо и Алиева-Панфилова.

Численные методы решения обратных задач, рассматриваемых в диссертации, используют априорную информацию об искомых характеристиках и, таким образом, базируются на принципах решения некорректно поставленных задач, предложенных в фундаментальных работах А. Н. Тихонова [46, 47], М. М. Лаврентьева [48] и В. К. Иванова [49].

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Павельчак, Иван Алексеевич

Заключение

В диссертационной работе разработаны численные методы решения обратных задач для математических моделей возбуждения сердца. Основные результаты, полученные в работе:

• Для математических моделей возбуждения сердца созданы и реализованы численные методы решения задач определения локализованного источника возбуждения, определяемого либо функцией начального распределения потенциала, либо функцией источника в уравнении.

• Предложены и разработаны численные методы решения задач иденте-фикации параметров математических моделей и определения области, потерявшей способность к возбуждению, в модифицированных математических моделях возбуждения сердца.

• Создан программный комплекс, реализующий предложенные численные методы. На его основе проведены вычислительные эксперименты, показавшие хорошую точность определения неизвестных характеристик математических моделей возбуждения сердца и возможность использования разработанных методов в медицинской диагностике.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Павельчак, Иван Алексеевич, 2012 год

Литература

1. Sundnes J., Lines G. Т., Cai X. et al. Computing the Electrical Activity in the Heart. Berlin and Heidelberg and New York: Springer, 2006. P. 311. ISBN: 3540334327.

2. Keener J., Sneyd J. Mathematical Physiology. Springer, 1998.

3. FitzHugh R. Mathematical models of threshold phenomena in the nerve membrane // Bull. Math. Biophysics. 1955. no. 17. P. 257-278.

4. FitzHugh R. Impulses and physiological states in theoretical models of nerve membrane // Biophysical J. 1961. no. 1. P. 445-466.

5. Nagumo J., Arimoto S., Yoshizawa S. An active pulse transmission line simulating nerve axon // Proc. IRE. 1962. no. 50. P. 2061-2070.

6. Aliev R. R., Panfilov A. V. A simple two-variable model of cardiac excitation // Chaos Solutions and Fractals. 1996. Vol. 7, no. 3. P. 293-301.

7. Павельчак И. А. Численный метод определения локализованного начального условия в моделях Фитц-Хью-Нагумо и Алиева-Панфилова // Вестник МГУ. Вычислительная математика и кибернетика. 2011. ДГе 3. С. 7-13.

8. PaveFchak I. A., Tuikina S. R. Numerical solution method for the inverse problem of the modified FitzHugh-Nagumo model // Computational Mathematics and Modeling. 2012. Vol. 23, no. 2. P. 208-215.

9. Павельчак И. А. Численный метод определения параметров в моделях Фитц-Хыо-Нагумо и Алиева-Панфилова // Вычислительные методы и программирование. 2012. Т. 13. С. 172-176.

10. Денисов А. М., Павельчак И. А. Численный метод определения локализованного начального возбуждения для некоторых математических моделей возбуждения сердца // Математическое моделирование. 2012. № 7. С. 59-66.

11. Павельчак И. А., Туйкина С. Р. О численном решении одной обратной задачи для модифицированной математической модели Алиева-Панфилова // Прикладная математика и информатика. 2012. № 40. С. 20-28.

12. Павельчак И. А. Метод численного решения задачи определения источника в модели Фитц-Хью-Нагумо // Прикладная математика и информатика. 2012. № 40. С. 29-37.

13. Павельчак И. А. Восстановление локализованного начального условия в математических моделях процессов возбуждения сердца // V международная конференция "Математические идеи П.Л. Чебышева и их приложение к современным проблемам естествознания", Обнинск, 14-18 мая 2011 г. Тезисы докладов. С. 82.

14. Павельчак И. А., Туйкина С. Р. О численном решении обратной задачи для модифицированной модели Фитц-Хью-Нагумо // Научная конференция '"'"Тихоновские чтения", Москва, 14 июня 2011 г. Тезисы докладов. С. 62.

15. Hodgkin A. L.. Huxley A. F., Katz В. Measurements of current-voltage relations in the membrane of the giant axon of Loligo // Physiology. 1952. Vol. 116. P. 424-448.

16. Hodgkin A. L., Huxley A. F. Currents carried by sodium and potassium ions through the membrane of the giant axon of Loligo // Physiology. 1952. Vol. 116. P. 449-472.

17. Hodgkin A. L., Huxley A. F. The components of membrane conductance in the giant axon of Loligo // Physiology. 1952. Vol. 116. P. 473-496.

18. Hodgkin A. L., Huxley A. F. The dual effect of membrane potentional on sodium conductance in the giant axon of Loligo // Physiology. 1952. Vol. 116. P. 497-506.

19. Hodgkin A. L.. Huxley A. F. A quantitative description of membrane current and its application to conduction and excitation in nerve // Physiology. 1952. Vol. 117. P. 500-544.

20. Noble D. A modification of the Hodgkin-Huxley equations applicable to Purk-inje fibre action and pace-maker potentials // Physiology. 1962. Vol. 160. P. 317-352.

21. Sermesant M., et al. An anisotropic multi-front fast marching method for real-time simulation of cardiac electrophysiology // in FIMH!07, 7-9 June 2007. Vol. 4466 of LNCS. P. 160-169.

22. Елькин Ю. E.. Москаленко А. В.. Стармер Ч. Ф. Спонтанная остановка дрейфа спиральной волны в однородной возбудимой среде // Математическая биология и биоинформатика. 2007. Т. 2, № 1. С. 73-81.

23. Медвединский А. В., Русаков А. В., Москаленко А. В., др. Исследование автоволновых механизмов вариабельности электрокардиограмм во время высокочастотных аритмий: результаты математического моделирования // Биофизика. 2003. Т. 48, № 2. С. 314-323.

24. Погцова М. С., Гурия Г. Т. Туннелирование автоволн через невозбудимые участки активных сред // Биофизика. 2003. Т. 48, № 6. С. 1116-1122.

25 Rmzel J , Keller J В Travelling wa\e solution of a nerve coduction equation // Biofis J 1973 no 13 P 1313-1337

26 Peitsov A M , Eimakova E A , Panfilov A V Rotating spnal waves m a modified FitzHugh-Nagumo model // Physica D 1984 no 14 P 117-124

27 Courtemanche M , Skaggs W Wmfree A T Stable three-dimensional action potential cnculation m the FitzHugh-Nagumo model // Physica D 1990 no 41 P 173-183

28 WmfieeA T Vanetnes of spnal wave behavioi An experimentalist s appioach to the theoiу of excitable media// Chaos 1991 Vol 1 no 3 P 303-334

29 Nash M P , Panfilov A V Electromechanical model of excitable tissue to study reentrant caidiac arrhythmias // Progress m Biophysics and Molecular Biology 2004 Vol 85 no 2-3 P 501 - 522

30 KHWJ T К T Panfilov A Influence of nonexcitable cells on spnal breakup m two-dimensional and thiee-dimensional excitable media // Physical Review E - Statistical Nonlmeai and Soft Matter Physics 2003 Vol 68, no 6 1 P 629021-629024

31 Panfilov A V Mullei S С , Z^kov V S Keenei J P Elimination of spnal waves in cardiac tissue by multiple electrical shocks // Physical Review E - Statistical, Nonlmeai, and Soft Mattel Physics 2000 Vol 61, no 4 В P 4644-4647

32 Медведпнский А Б , Русаков А В Циркуляция автоволн как результат их прохождения через систему невозбудимых препятствий Механизм аритмий при старении // Биофизика 2005 Т 50 1\"° 1 С 127-131

33. Clayton R. Computational models of normal and abnormal action potenrial propogation in cardiac tissue: linking experimantal and clinical cardiology // Physiological Measurement. Vol. 22.

34. Bourgault Y., Coudi'ere Y., Pierres C. Well-posedness of a parabolic problem based on a bidomain model for electrophysiological wave propagation. HAL - CCSd - CNRS, 2006. URL: http://hal.archives-ouvertes.fr/hal-00101458/en/.

35. Boulakia M., Fernandez M., J.-F. Gerbeau N. Z. A Coupled System of PDEs and Electrocardiograms Modeling // Applied Mathematics Research eXpress. 2008. Vol. 2008. P. 28.

36. Bourgault Y., Coudi'ere Y., Pierre C. Existence and uniqueness of the solution for the bidomain model used in cardiac electrophysiology // Nonlinear Analysis: Real World Applications. 2009. no. 10. P. 458-482.

37. Davidenko J. M., Salomonsz R.; Pertsov A. M. et al. Effects of pacing reentrant activity. Theoretical and experimental study // Circ. Ret>. 1995. no. 77. P. 1166-1179.

38. Gulrajani R. M. Forward and inverse problem« of electrocardiography // IEEE Engineering in Medicine and Biology. 1998. Vol. 17, no. 5. P. 84-101.

39. Pullan A., Paterson D.. Greensite F. Non-invasive imaging of cardiac electro-physiology // Phil. Trans. R. Soc. Lond. 2001. no. 359. P. 1277-1286.

40. Yamashita Y., Geselowitz D. Source-field relationships for cardiac generators on the heart surface based on their transfer coefficients // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 1985. no. 32. P. 964-970.

41. He Y., Keyes D. E. Reconstructing parameters of the FitzHugh-Nagumo system from boundary potential measurements //J. Comput. Neurosci. 2007. Vol. 23, no. 2. P. 251-264.

42. Moreau-Villeger V., Delingette H., Sermesant M. ., et al. Building maps of local apparent conductivity of the epicardium with a 2-D electrophysiological model of the heart // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2006. no. 53. P. 1457-1466.

43. Cox S. J., Wagner A. Lateral overdetermmation of the FitzHugh-Nagumo system // Inverse Problems. 2004. no. 20. P. 1639-1647.

44. Lysaker О. M., Nielsen B. F. Towards a level set framework for infarction modeling: An inverse problem // International Journal of Numerical Analysis and Modeling. 2006. Vol. 3, no. 4. P. 377-394.

45. MacLachlan M. C., Nielsen B. F., Lysaker О. M., Tveito A. Computing the size and location of myocardial ischemia using measurements of st-segment shift // IEEE Transactions on Biomedical Engineering. 2006.

46. Тихонов A. H. Об устойчивости обратных задач // Докл. АН СССР. 1943. Т. 39, № 5. С. 195-198.

47. Тихонов А. Н., Арсенин В. Я. Методы решения некорректных задач. Москва: Наука, 1974. С. 288.

48. Лаврентьев М. М., Романов В. Г., Шишатский С. Т. Некорректные задачи математической физики и анализа. Москва: Наука, 1980. С. 286.

49. Иванов В. К., Васин В. В., Танана В. П. Теория линейных некорректных задач и ее приложения. Москва: Наука, 1978. С. 206.

50. Норри Д., де Фриз Ж. Введение в метод конечных элементов. Москва: Мир, 1981.

51. Титомир Л., Кнеппо Л. Математическое моделирование биоэлектрического генератора сердца. Москва: Наука, 1999. С. 447.

52. Денисов А. М., Калинин В. В. Обратная задача для математических моделей возбуждения сердца // Журнал вычисл. матем. и матем. физики. 2010. Т. 50, № 3. С. 539-543.