Численный анализ деформирования и устойчивости пластин и пологих оболочек с учетом больших перемещений и нелинейной работы материала тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.23.17, кандидат технических наук Иванов, Сергей Александрович

• Иванов, Сергей Александрович
• кандидат технических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат технических наук Иванов, Сергей Александрович

ОГЛАВЛЕНИЕ

Введение

Глава 1. Обзор исследований по теории и численным методам расчета тонкостенных конструкций с учетом геометрической и физической нелинейности

1.1. Развитие теории устойчивости нелинейно деформируемых стержневых и тонкостенных конструкций

1.2. Численные методы исследования напряженно-деформированного состояния пластин и оболочек

1.3. Методы и алгоритмы решения нелинейных задач с параметром

продолжения

Глава 2. Построение исходных соотношений теории гибких оболочек с учетом физической нелинейности

2.1. Геометрические соотношения нелинейно деформируемых оболочек

2.2. Физические соотношения для оболочек из упругопластического материала

2.3. Функционал Лагранжа для оболочек из упругопластического

материала и граничные условия

Глава 3. Методика численного решения задачи

3.1. Разностно-квадратурная аппроксимация функционала

3.2. Алгоритм решения упругопластических задач

3.3. Нелинейная работа материала

3.4. Решение тестовых задач

Глава 4. Численный анализ устойчивости гибких

упругопластических оболочек

4.1. Расчет пологой цилиндрической оболочки при действии поперечной равномерно распределенной нагрузки

4.2. Исследование влияния граничных условий на устойчивость

пологой цилиндрической упругопластической оболочки

4.3. Исследование влияния начальных несовершенств на устойчивость упругопластической оболочки

4.4. Исследование поведения пологой цилиндрической упругопластической оболочки при статическом приложении равномерно распределенной нагрузки и последующей разгрузкой

4.5. Расчет вертикального цилиндрического резервуара, защемленного в уровне днища, под действием гидростатического давления жидкости

4.6. Расчет листового цилиндрического резервуара

4.7. Исследование устойчивости подземного цилиндрического

металлического резервуара, подкрепленного ребрами

Заключение

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Численный анализ деформирования и устойчивости пластин и пологих оболочек с учетом больших перемещений и нелинейной работы материала»

Введение

Исследование устойчивости пологих оболочек имеет большое практическое значение, так как строительные конструкции, имеющие подобную форму, часто являются большепролетными и весьма ответственными. Учет перемещений конструкций и нелинейной работы материала при анализе устойчивости позволит оценить возможное уменьшение опасных нагрузок, которые могут привести к резкому возрастанию перемещений и деформаций, т. е. привести к потере устойчивости конструкции.

В задачу исследования устойчивости оболочек входит определение их критических нагрузок и форм потери устойчивости. Проинтегрировать уравнения устойчивости в замкнутом виде удается лишь в простейших случаях одномерных задач при однородном исходном состоянии, когда уравнения имеют постоянные коэффициенты. В общем же случае, в том числе при учете перемещений оболочек и нелинейной работы материала, получение точного решения уравнений устойчивости связано с непреодолимыми математическими трудностями. Поэтому большинство результатов в области устойчивости оболочек получено различными приближенными методами. Один из путей решения данного класса задач состоит в непосредственном решении нелинейных уравнений с использованием различных численных методов: метода Ньютона-Рафсона, последовательных приближений, последовательных нагружений, различных методов численного интегрирования и других. В этом случае нет необходимости в разделении задачи на задачу определения исходного состояния оболочки и задачу устойчивости, как это делается при использовании статического критерия устойчивости. Критические нагрузки определяются по предельным точкам в характеристиках задачи (нагрузка-характерный параметр) или в точках разветвления нелинейного решения. Этот путь довольно трудоемок в машинной реализации, однако он дает

возможность получать более полную информацию о поведении оболочки по сравнению, например, с методом конечных элементов. Вместе с критическими нагрузками при таком подходе можно найти нижние критические нагрузки. Первая нижняя критическая нагрузка является нагрузкой выхлопа с первого закритического равновесного состояния. Эта нагрузка, в отличие от традиционно определяемой нижней критической нагрузки как наименьшей из всех нижних нагрузок, может быть также принята за характеристику устойчивости оболочек.

В диссертационной работе исследование устойчивости оболочек производилось путем решения нелинейных уравнений методом продолжения в сочетании с вариационно-разностным методом. При таком подходе задача расчета нелинейно деформируемой оболочки формулируется как вариационная и сводится к нахождению функций перемещений на каждом шаге по ведущему параметру, дающих минимальное значение полной потенциальной энергии системы.

Целью диссертационной работы является:

- Построение базовой математической модели тонких и средней толщины пластин и оболочек с учетом геометрической и физической нелинейностей, ориентированной на численную реализацию решения;

- Разработка численных методик решения задач устойчивости в геометрически и физически нелинейной постановке на базе вариационно-разностного подхода и метода продолжения решения по параметру;

- Создание алгоритмов решения задач устойчивости и реализация их в виде программного обеспечения для ЭВМ;

- Выполнение расчетов пластин и оболочек на различные виды воздействий.

Научную новизну работы составляют:

- Вариант энергетического функционала Лагранжа теории пластин и оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической

нелинейности и физической нелинейности по теории малых упруго-пластических деформаций;

- Методика решения геометрически и физически нелинейной задачи на основе вариационно-разностного подхода с использованием различных вариантов метода продолжения решения по параметру;

- Решение ряда задач расчета гибких тонкостенных пространственных конструкций при различных видах воздействий в физически линейной и физически нелинейной постановках.

Практическая ценность диссертации состоит в разработке программного обеспечения для расчета изотропных пластин и оболочек при различных видах статического и кинематического воздействия с учетом деформаций поперечного сдвига, геометрической нелинейности и неупругой работы материала, которое реализовано на языке программирования Fortran 90/95 и позволяет визуализировать результаты расчетов, в т. ч. кривые равновесных состояний оболочек и напряженно-деформированное состояние.

Заключение диссертации по теме «Строительная механика», Иванов, Сергей Александрович

Заключение

В настоящей работе получены следующие основные результаты:

1. Получен вариант функционала Лагранжа теории тонких и средней толщины оболочек с учетом геометрической нелинейности и физической нелинейности (нелинейно-упругий и упругопластический материал) при учете сдвиговых деформаций по толщине.

2. Разработан и реализован численный алгоритм решения задач устойчивости оболочек с применением полученной математической модели.

3. Исследовано поведение пологой цилиндрической панели из линейно-упругого и упругопластического материалов под действием равномерно распределенной нагрузки при изменении геометрических характеристик оболочки, граничных условий, при наличии начальных несовершенств, при простом и сложном нагружении.

4. Получены оценки верхних критических нагрузок для пологой цилиндрической панели из упругопластического материала.

5. Получены распределения перемещений, внутренних усилий и интенсивностей напряжений для характерных состояний оболочки при статическом приложении нагрузки.

6. Сопоставление результатов расчета с результатами, полученными другими методами и в работах других авторов показало их достаточно хорошее совпадение.

7. С помощью разработанной методики выполнен расчет оболочечных конструкций реальных сооружений. Полученные результаты имеют хорошее схождение с результатами расчетов по сертифицированным конечно-элементным программных комплексам.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Иванов, Сергей Александрович, 2012 год

Литература

1. Абовский Н.П., Андреев Н.П., Деруга А.П. Вариационные принципы теории упругости и теории оболочек. - М.: Наука, 1978. - 288 с.

2. Агапов В.П. Метод конечных элементов в статике, динамике и устойчивости пространственных тонкостенных подкрепленных конструкций. - М.: АСВ, 2000.

3. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H. Строительная механика. Тонкостенные пространственные системы. - М.: Стройиздат, 1983. -488 с.

4. Антонов E.H. К анализу соотношений геометрически нелинейной теории малых деформаций тонкой оболочки // Изв. вузов. Сер. Стр-во и архитектура, 1983, №11, с.41-45.

5. Бате К., Вилсон Е. Численные методы анализа и метод конечных элементов. - М.: Стройиздат, 1982. - 448 с.

6. Бенерджи П., Баттерфилд Р. Метод граничных элементов в прикладных науках. - М.: Мир, 1984. - 494 с.

7. Бреббия К., Теллес Ж., Вроубел Л. Методы граничных элементов. - М.: Мир, 1987. - 524 с.

8. Бреббия К., Уокер С. Применение метода граничных элементов в технике. - М.: Мир, 1982. - 248 с.

9. Вайнберг Д.В., Синявский А.Л. Дискретный анализ в теории пластин и оболочек // Труды VI Всесоюзной конференции по теории оболочек и пластинок. - М.: Наука, 1966, с.209-214.

Ю.Валишвили Н.В. Методы расчета оболочек вращения на ЭЦВМ. - М.: Машиностроение, 1976. -278 с.

П.Верюжский Ю.В. Численные методы потенциала в некоторых задачах прикладной механики. - Киев: Вища школа, 1978.-183с.

12.Ворович И.И. О некоторых прямых методах в нелинейной теории пологих оболочек // ПММ, 1956, 20, №4, с.449-474.

13.Ворович И.И., Зипалова В.Ф. К решению нелинейных краевых задач теории упругости методом перехода к задаче Коши // ПММ, 1965, т.29, №5, с.894-901.

14.Галлагер Р. Метод конечных элементов. Основы. - М.: Мир, 1984. - 428

с.

15.Григолюк Э. И., Кабанов В. В. Устойчивость круговых цилиндрических оболочек // Итоги науки. Механ. тверд, деформ. тел. 1967. -М., ВИНИТИ, 1969.

16.Григолюк Э.И., Шалашилин В.И. Проблемы нелинейного деформирования: Метод продолжения решения по параметру в нелинейных задачах механики твердого деформируемого тела. - М.: Наука, 1988. - 232 с.

П.Григорьев A.C. Большие прогибы прямоугольных мембран //Известия АН СССР, ОТН, Механика и машиностроение, 1959, №3, с. 105-113.

18.Давиденко Д.Ф. Об одном новом методе численного решения систем нелинейных уравнений // ДАН СССР, 1953, т.88, №4, с.601-602.

19.Енджиевский JI.H. Нелинейные деформации ребристых оболочек. -Красноярск: Изд-во Краснояр. ун-та, 1982. - 295 с.

20.3енкевич О. Метод конечных элементов в технике. - М.: Мир, 1975. -542 с.

21.3олотов А.Б., Сидоров В.Н. Алгоритмизация решения краевых задач строительной механики на ЭВМ // Строительная механика и расчет сооружений, 1975, №5, с.36-42.

22.Иванов A.C., Трушин С.И. Разработка и оценка вычислительных алгоритмов исследования устойчивости нелинейно деформируемых оболочек // Строительная механика и расчет сооружений, 1991, №5, с.53-58.

23 .Иванов A.C., Трушин С.И. Расчет несущей способности нелинейно деформируемых пологих оболочек с учетом начальных несовершенств / Пространственные конструкции зданий и сооружений: Исследование, расчет, проектирование. Вып.7. - М.: Изд-во ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1992, с.24-29.

24.Ильюшин А. А. Устойчивость пластинок и оболочек за пределом упругости // Прикл. матем. и механ., 1944, т. 8, № 5, стр. 337-360.

25.Исаханов Г.В., Кепплер X., Киричевский В.В., Сахаров A.C. Исследование алгоритмов решения нелинейных задач теории упругости методом конечных элементов // Сопротивление материалов и теория сооружений. - Киев: Будгвельник, 1975, вып.ХХУП, с.3-10.

26.Карпов В.В. Применение процедуры Рунге-Кутта к функциональным уравнениям нелинейной теории пластин и оболочек // Расчет пространственных систем в строительной механике. - Саратов: Изд-во Сарат.политехнич.ин-та,1972,с.З-8.

27.Колкунов Н.В. Основы расчета упругих оболочек. - М.: Высшая школа, 1963. - 278 с.

28.Коннор Дж. и Морин Р. Метод возмущений в расчете геометрически нелинейных оболочек // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - Л.: Судостроение, 1974, т.2, с. 186-202.

29.Копейкин Ю.Д. Применение бигармонических потенциалов в краевых задачах статики упругого тела. Диссертация на соискание ученой степени доктора физико-математических наук. - М., 1978.

30.Коренев Б.Г. Задачи теории теплопроводности и термоупругости. - М.: Наука, 1980. - 400 с.

31.Корнишин М.С. Нелинейные задачи теории пластин и пологих оболочек и методы их решения. - М.: Наука, 1964. - 192 с.

32.Корнишин М.С., Исанбаева Ф.С. Гибкие пластины и панели. - М.: Наука, 1968. - 260 с.

33.Корнишин М.С., Столяров H.H. Большие прогибы прямоугольной в плане пологой цилиндрической панели с неподвижными краями // Исследования по теории пластин и оболочек. - Казань: Изд-во Казан, ун-та, 1970, вып.6-7, с. 165-186.

34.Кривошапко С.Н. Геометрия и прочность торсовых оболочек. - М.: Изд-во АСВ, 1995. - 280 с.

35.Кривошапко С.Н., Иванов В.Н., Халаби С.М. Аналитические поверхности: материалы по геометрии 500 поверхностей и информация к расчету тонких оболочек. - М.: Наука, 2006. - 544 с.

36.Купрадзе В.Д. Методы потенциала в теории упругости. - М.: Физматгиз, 1963. - 472 с.

37.Мануйлов Г.А., Косицын С.Б., Бегичев М.М. Особенности численного моделирования и решения задач устойчивости упругих пластин и оболочек // Труды Международной научно-практической конференции «Инженерные системы - 2010». Москва, 6-9 апреля 2010 г. - М.: РУДН, 2010. - 380 с.

38.Матевосян P.P. Метод решения и анализа систем нелинейных уравнений // Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1974, вып.35, с.22-33.

39.Милейковский И.Е., Сидоров В.Н., Трушин С.И., Булгакова М.В., Кислов В.В. Численные методы расчета оболочек с учетом геометрической и физической нелинейности и деформаций поперечного сдвига // Теория и экспериментальные исследования пространственных конструкций. Применение оболочек в инженерных сооружениях. Труды Международного Конгресса ИАСС, М, 1985, т.1, с.580-594.

40.Милейковский И.Е., Трушин С.И. Расчет тонкостенных конструкций .

- М.: Стройиздат, 1989. - 200 с.

41.Михлин С.Г. Многомерные сингулярные интегралы и интегральные уравнения. - М.: Физматгиз, 1962. - 254 с.

42.Моисеев Н.Н., Иванилов Ю.П., Столярова Е.М. Методы оптимизации.

- М.: Наука, 1978. - 352 с.

43.Мусхелишвили Н.И. Некоторые основные задачи математической теории упругости. - М.: Наука, 1966. - 707 с.

44.Немировский Ю.В., Янковский А.П. Упругопластическое деформирование гибких пологих оболочек со сложными структурами армирования // Проблемы прочности и пластичности. 2009. № 71. С. 84-94.

45.Норри Д., де Фриз Ж. Ведение в метод конечных элементов. - М.: Мир, 1981.-304 с.

46,Овчинников И.Г., Трушин С.И. О расчете гибкой пластинки из нелинейно-упругого материала, свойства которого зависят от температуры // Прикладная теория упругости. - Саратов: Изд-во Сарат.политехнич.ин-та, 1979, вып.2, с.130-134.

47.0вчинников И.Г., Трушин С.И. Приложение метода последовательных нагреваний к расчету нелинейно-упругих пластин на температурные воздействия // Прикладная теория упругости. - Саратов: Изд-во Саратовского политехнического института, вып.1, 1977, с.60-65.

48,Оден Дж. Конечные элементы в нелинейной механике сплошных сред.

- М.: Мир, 1976.-464 с.

49.Петров В.В. К расчету пологих оболочек при конечных прогибах // Научные доклады высшей школы. Строительство, 1959, №1, с.27-35.

50.Петров В.В. Метод последовательных нагружений в нелинейной теории пластинок и оболочек. - Саратов: Изд-во Сарат. ун-та, 1975. - 119 с.

51.Постнов В.А., Хархурим И.Я. Метод конечных элементов в расчетах судовых конструкций. - Л.: Судостроение, 1974.-342 с.

52.Рекач В.Г., Кривошапко С.Н. Расчет оболочек сложной геометрии: Монография. - М.: Изд-во УДН, 1988. - 176 с.

53.Рикардс Р.Б. Метод конечных элементов в теории оболочек и пластин.

- Рига: Зинатне, 1988. - 284 с.

54.Розин Л.А. Расчет гидротехнических сооружений на ЭЦВМ. Метод конечных элементов. - Л.: Энергия, 1971. - 214 с.

55.Сегерлинд Л. Применение метода конечных элементов. - М.: Мир, 1979. - 392 с.

56.Столяров Н.Н. Упругопластическое деформирование и оптимизация гибких оболочек и пластин переменной жесткости // Вестник Самарского государственного технического университета. Серия: физико-математические науки. 1996. Вып. 4. С. 63-78.

57.Стрельбицкая А.И., Колгадин В.А., Матошко С.П. Изгиб прямоугольных пластин за пределом упругости. - Киев: Наукова думка, 1971.-244 с.

58.Стренг Г., Фикс Д. Теория метода конечных элементов. - М.: Мир, 1977. - 349 с.

59.Стриклин, Хейслер, Макдуголл, Стеббинс. Расчет оболочек вращения матричным методом перемещений в нелинейной постановке // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №12, с.82-89.

60.Стриклин, Хейслер, Риземан. Оценка методов решения задач строительной механики, нелинейность которых связана со свойствами материала и (или) геометрией // Ракетная техника и космонавтика, 1973, т.11, №3, с.46-56.

61.Стриклин Дж. А. Статические и динамические расчеты геометрически нелинейных оболочек вращения. // Расчет упругих конструкций с использованием ЭВМ. - Л.: Судостроение, 1974., т. 1, с. 272-292.

62.Теллес Д.К.Ф. Применение метода граничных элементов для решения неупругих задач. - М.: Стройиздат, 1987. - 160 с.

63 .Трушин С.И. Численное решение нелинейных задач устойчивости пологих оболочек с учетом деформаций поперечного сдвига // Исследования по строительным конструкциям. Труды ЦНИИСК им.В.А.Кучеренко, 1984, с.46-52.

64.Трушин С.И., Кислов В.В. Устойчивость пологих оболочек из упругопластического материала с учетом геометрической нелинейности и деформаций поперечного сдвига // Устойчивость в механике деформируемого твердого тела. Тезисы докладов II Всесоюзного симпозиума. - Калинин: Изд-во КПИ, 1986, с.80-81.

65.Фэмили, Арчер. Конечные несимметричные деформации пологих сферических оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1965, т.З, №3, с.158-163.

66.Хейслер, Стриклин, Стеббинс. Разработка и оценка методов решения геометрически нелинейных задач строительной механики // Ракетная техника и космонавтика, 1972, т. 10, №3, с.32-44.

67.Хечумов Р.А., Кепплер X, Прокопьев В.И. Применение метода конечных элементов к расчету конструкций. - М.: Издательство Ассоциации строительных вузов, 1994. - 353 с.

68.Шмит, Богнер, Фокс. Расчет конструкций при конечных прогибах с использованием конечных элементов пластин и оболочек // Ракетная техника и космонавтика, 1968, т.6, №5, с. 17-29.

69.Якушев B.JI. Устойчивость тонкостенных конструкций с учетом начальных несовершенств // Строительная механика и расчет сооружений. 2010. № I.e. 43-46.

70.Almroth В. О. Post-buckling behaviour of axially compressed circular cylinders // AIAA Journal, 1963, vol. 1, № 3, pp. 630-633.

71.Argyris J.H. Recent Advances in Matrix Methods of Structural Analysis // Progress in Aeronautical Science, Vol.4, Pergamon Press, New York, 1964.

72.Argyris J.H., Kelsey G. Energy theorem and structural analysis. - London: Butterworth, 1960.

73.Batoz J.L. and Dhatt G. Incremental displacement algorithms for nonlinear problems // Int. J. Num. Meth. Eng., v.14, 1979, pp. 1262-1266.

74.Bergan P.G. Solution algorithms for nonlinear structural problems // Computers & Structures, v. 12, 1980, pp. 497-509.

75.Chang T.Y., Sawamiphakdi K. Large Deformation Analysis of Laminated Shells by Finite Element Method // Computers & Structures, 1981, Vol.13, pp. 331-340.

76.Clough R.W. The finite element method in plane stress analysis // Proc. 2nd ASCE Conf. on Electronic Computation. Pittsburg, 1960, pp. 345-378.

77.Courant R. Variational Methods for the Solution of Problems of Equilibrium and Variations //Bull. Amer. Math. Soc., 1943, vol.49, Nol, pp. 1-23.

78.Crisfield M.A. A Fast Incremental/Iterative Solution Procedure that Handles "Snap-Through" // Computers & Structures, 1981, Vol.13, N1, pp.55-62.

79.Crisfield M.A. An Arc-Length Method Including Line Searches and Accelerations // Int. J. Num. Meth. Engng.,1983, Vol.19, pp.1269-1289.

80.Cruse T.A. Numerical solutions in three-dimensional elastostatics // Int. J. Sol. and Struct., 1969, 5, pp. 1259-1274.

81.Donnell L. H. A. New theory for the buckling of thin cylinders under axial compression and bending // Trans. ASME, Ser. E, 1934, vol. 56, pp. 795-806.

82.Essenger F. Über Knickfagen // Schweiz, Bauzeitung, 1895, Bd 26, № 4, SS. 24-26.

83.Essenger F. Über die Knickfestigkeit gerader Stäbe // Z. Arch. und. Ing. Vereines zu Hannover, 1889, Bd 35, № 4, SS. 455-462.

84.Gallager R.H. Finite element representations for thin shell instability analysis // Buckling Struct. - Berlin e.a., 1976, pp.40-51.

85.Gallager R.H., Gellatly R.A., Pedlog J., Mallet R.H. A discrete element procedure for thin shell instability analysis // AIAA Journal, 1967, 4.

86.Hencky H. Zur Theorie plastischer Deformationen und Rierdurch im Material hervorgerufenen Nebenspannungen // Z. Math, und Mech., 1924, Bd 4, № 4, SS. 323-334; русск. перевод: Генки Г. К теории пластических деформаций и вызываемых ими в материале остаточных напряжений. В сб. Теория пластичности. М., Изд-во ин. лит., 1948, стр. 114-135.

87.Hrennikoff А. Solution of problems in elasticity by the framework method // J. Appl. Mech., 1941, 6, pp. 169-175.

88.Karman T. L., Tsien H. S. The bucking of thin cylindrical shels under axial compression // J. Aeronaut. Sei., 1941, vol. 8, No. 8, pp. 303—312; Karman Th. L. The collected works. Vol. 4. London, Butterworths, 1956, pp. 107—126.

89.Lahaye M.E. Une metode de resolution d'une categorie d'equations transcendentes // Compter Rendus hebdomataires des seances de L'Academie des sciences, 1934, v. 198, N21, pp. 1840-1842.

90.Madsen W. A., Holf N. J. The snap-through and post-buckling equilibrium behaviour of circular cylindrical shells under axial load // Univ. Stanford. Dept. Aeronaut. Engng. Rept., 1965, No. 227.

91.Marguerre K. Theorie, der gekrümmten Platte grosser Formänderung. Jahrb. 1939 deutsch. Luftfahrforchung. Bd. 1. Berlin, Aldershof Bucherei, 1939, SS. 413426; Proc. 5th Internat. Congr. Appl. Mech. Cambridge, Mass., 1938. New York, J. Willey and Son, 1939, pp. 93-101.

92.Mayers J., Rehfield L. W. Further nonlinear considerations in the buckling of axially compressed circular cylindrical shell. Proc. 9th Mid-western Mech. Conference. Medison, Univ. Wisconsin, 1965.

93.McHenry D.A. A lattice analogy for the solutions of plane stress problems // J. Inst. Civ. Eng., 1943, 21, pp. 59-82.

94.Meek J.L. and Loganathan S. Geometrically non-linear behaviour of space frame structures // Computers & Structures, v.31, 1989, pp. 35-45.

95.Mileikovskii I.E., Trushin S.I. Analysis of Thin-Walled Structures. - New Delhi: Oxford & IBH Publishing, 1994. - 187 p.

96.Norris D.H., Vries G de. Finite element bibliography. - New York: Plenum Press, 1976.-686 p.

97.Ricks E. The Application of Newton's Method to the Problems of Elastic Stability // J. Appl. Mech., 1972, 39, pp. 1060-1066.

98.Rizzo F.J. An integral equation approach to boundary value problems of classical elastostatics // Quart, appl. Math., 1967, 25, pp.83-95.

99.Shanley F. R. Inelastic column theory. J. Aeronaut. Sei., 1947, vol. 14, № 5, pp. 261-267; русск. перевод: Шенли Ф. Теория колонны за пределом упругости. В сб. Механика. Сб. переводов и обз. ин. период, лит-ры, 1961, № 2 (6), стр. 88-98.

lOO.Shanley F. R. The column paradox. J. Aeronaut. Sei., 1946, vol. 13, № 12, p. 678.

lOl.Sidorov V.N., Trushin S.I. An efficient method for algorithmization of boundary problem solution and its application in elastoplastic analysis //

Innovative Num. Anal. Eng. Sci. Proc. 2nd Int. Symp., Montreal, 1980, pp. 625631.

102.Sobey A. J. The buckling strength of a uniform circular cylinder loaded in axial compression. Aeronaut. Res. Council Repts and Mem., 1964, No. 3366, pp. 1-22.

103.Stricklin J.A., Haisler W.E. and Von Riesemann W.A. Geometrically Nonlinear Analysis by the Direct Stiffness Method // Journal of the Structural Division, Vol.97, No.ST9, 1971, pp.2299-2314.

104.Thielemann W. F. On the post-buckling behaviour of thin cylindrical shells. NASA, Tech. Note, 1962, № D-1510, pp. 203-216.

105.Thielemann W. F., Esslinger M. E. On the post-buckling behaviour of thin-walled axially compressed circular cylinders of finite length. Dtsch. Forshungsanstalt Luft- und Raumfahrt, Inst, fur Flugzeugbau. Braunschweig, 1966.

106.Thompson J.M.T., Walker A.C. The nonlinear perturbation analysis of discrete structural systems // Int. J. Solids and Struct., 4, No.8, 1968, pp.757-768.

107.Thurston G.A. Continuation of Newton's method through bifurcation points // Trans. ASME, E36, No.3, 1969, pp.425-430.

108.Timoshenko S. P. Theory of elastic stability. New York — London, McGraw-Hill Book Co., 1936; русск. перевод: Тимошенко С. П. Устойчивость упругих систем. М., Гостехиздат, 1946; 2-е изд.: 1955.

109.Turner M.J. Designe of minimum mass structures with specified natural frequencies // AIAA Journal, 1967, '3.

11 O.Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J. Stiffiiess and Deflection Analysis of Complex Structures // J. Aero. Sci., 23, 1956, pp. 805-823.

111.Turner M.J., Dill E.H., Martin H.C. and Melosh R.J. Large Deflections of Structural Subjected to Heating and External Loads // Journal of the Aerospace Sciences, vol.27, No.2, 1960, pp. 97-106.

112.Wempner G.A. Discrete Approximations Related to Nonlinear Theories of Solids // Int. J. Solids Structures, 1971, Vol.7, pp. 1581-1599.