Дифференциальные и порождающие идеалы и нулевые множества их образующих тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шабаршина, Ирина Сергеевна

• Шабаршина, Ирина Сергеевна
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шабаршина, Ирина Сергеевна

ВВЕДЕНИЕ

Глава I. ПОРОЖДАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ

Раздел 1.1. Кольца, определяемые радиальными весами

§ 1.1.1. Основные определения и вспомогательные результаты

§ 1.1.2. Порождающие и их нулевые множества

§ 1.1.3. Порождающие идеалы, характеризуемые функцией расстояния до нулевых множеств 33 Раздел. I.II. Кольца, определяемые весами, зависящими от модулей переменных

§ 1.11.1. Основные определения

§ 1.Н.2. Описание порождающих идеалов с помощью одномерных характеристик нулевых множеств

§ 1.Н.З. Описание порождающих идеалов с помощью многомерных характеристик нулевых множеств

§ 1.Н.4. Описание порождающих идеалов с помощью функции расстояния до нулевых множеств

§ 1.11.5. Дифференциальные идеалы

Глава И. ПОРОЖДАЮЩИЕ И ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ИДЕАЛЫ В

КОНКРЕТНЫХ ПРОСТРАНСТВАХ

§ 11.1. Пространства, определяемые неубывающими и невозрастающими весовыми системами

§ 11.2. Порождающие для пространств, определяемых уточненным порядком

§ II.3. Порождающие для пространств целых функций с оценкой индикатора

Глава III. ПРИЛОЖЕНИЯ К УРАВНЕНИЯМ СВЕРТКИ И СИСТЕМАМ

УРАВНЕНИЙ СВЕРТКИ

§ III.1. Оператор свертки в пространстве Я"(Оу)

§ III.2. Оператор р-свертки в ¿мвыпуклых областях Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дифференциальные и порождающие идеалы и нулевые множества их образующих»

Задача о характеризации всех конечнопорожденных идеалов в данном кольце, совпадающих со всем этим кольцом, исследовалась многими авторами в различных разделах алгебры и анализа и имеет ряд важных приложений (например, в теории уравнений типа свертки и теории интерполяции). В настоящей работе она будет исследоваться для весовых пространств целых в CN функций. Поэтому как саму ее постановку, так и краткую предысторию мы дадим, коснувшись лишь тех работ, которые имеют непосредственное отношение к теме диссертации, никоим образом не претендуя на полноту освещения всех направлений в ее исследовании.

Задача о порождающих заключается в следующем: Пусть Е - некоторое кольцо целых в С^ функций; 3" = (/i,., fm)

- фиксированный набор ненулевых элементов из Е. Необходимо pern шить вопрос о том, когда идеал Е[3] := {/ = gjfj : gj £ Е, j=i

1 ^ j К с образующими fi,., fm совпадает со всем кольцом Е. Такие идеалы мы условимся в дальнейшем называть порождающими.

Задача о характеризации порождающих идеалов исследовалась А.Ф.Леонтьевым [17], В.В.Напалковым [20], А.Ю.Тимофеевым [23]-[25], [36], Ф.А.Шамояном [27], L.Carleson'oM [28], W.Hennekemper'oM [29], L.Hormander'oM [30], J.J.Kelleher'oM и В.А.ТауЬг'ом [31], [32], H.Scoda [35]. Начиная с работы [28], относящейся к кольцу аналитических ограниченных в единичном круге функций, условия, при которых система функций порождает конкретное кольцо целых функций, даются через оценку снизу ¡^(г)] + • • • + |/т(г)| [8], [17], [20], [23], [28], [30]-[35].

В [29] \¥.Неппекетрег рассмотрел кольцо всех целых в комплексной плоскости функций конечного порядка: оо,0)с:={/€ Я(С)| Зр> ОЗС > 0 :1п|/(*)| < \г\р + С, V* е С}.

Он показал, что [оо, 0)с[Э:] совпадает с [оо, 0)с тогда и только тогда, когда выполняется следующее условие

Существует р > 0 такое, что при любом г е С хотя бы одна из функций набора 5Г не обращается в нуль (1) в круге {ио 6 С| |«; — г\ < р~1 ехр(—

Кроме того, там же установлено, что [оо,0)с[Эг] = [оо,0)с тогда и только тогда, когда [оо,0)с[?] - дифференциальный идеал, то есть, идеал, инвариантный относительно операции дифференцирования. Заметим, что условие \¥.Неппекетрег'а (1) эквивалентно такому:

Зр > 0 : 1п—^ \г\р + р, Мг е С, аф) где аф) := 8пр{сг > 0| ^ (1 ^ у ^ т) : /Д0 ф 0 при \( - г\ < <*}.

Позже была сделана попытка получить аналогичные результаты для колец [р, 0]с всех целых в С функций минимального типа при порядке р (см. [24], [36]) и [р, оо]с - всех целых в С функций, имеющих порядок не выше р ([25]). Но, как будет показано в диссертации, соответствующие результаты [24], [25], [36] ошибочны. Более того, будет установлено, что для этих колец характеризация в терминах функции (1з{г) невозможна. Других результатов в данном направлении нам неизвестно.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача об описании порождающих идеалов через нулевые множества их образующих в кольцах целых функций, задаваемых весовыми функциями, подчиненными некоторым достаточно общим свойствам. В диссертации исследованы следующие ее аспекты:

• характеризация порождающих идеалов для колец целых функций многих переменных, определяемых радиальными весами и весами, зависящими от модулей переменных, в зависимости от распределения нулевых множеств их образующих;

• описание порождающих идеалов в этих кольцах через функцию расстояния до нулевых множеств образующих;

• выделение классов весов, для которых дифференциальные идеалы совпадают с порождающими;

• характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора;

• применение полученных результатов к задаче о факторизации оператора свертки и системам уравнений свертки.

Диссертация состоит из Введения и трех глав, первая глава разделяется на два раздела; в первой главе мы придерживаемся тройной нумерации параграфов (§ I.I.3 - третий параграф раздела I главы I), определений, получаемых утверждений и формул (определение I.I.1 - определение 1 раздела I главы I; теорема I.II.3 - теорема 3 раздела II главы I; (I.II.1) - первая формула раздела II главы I); во второй и третьей главах - двойная нумерация параграфов (§ III. 1 - первый параграф главы III) и тройная - пунктов, утверждений и формул (п. II.1.3 - третий пункт § II. 1; теорема III.2.2 - теорема 2 § III.2; (II.3.2) - вторая формула § II.3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шабаршина, Ирина Сергеевна, 2000 год

1. Абанин A.B. Модификация метода Л.Хермандера в задаче о порождающих и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 3-12.

2. Агранович П.З. Индикаторы голоморфных функций многих переменных J/ Дисс. . канд. физ.-мат. наук. Харьков, 1978.

3. Братищев A.B. Базисы Кете, целые функции и их приложения // Дисс. . доктора физ.-мат. наук. Ростов-на-Дону, 1998.

4. Гришин А.Ф., Руссаковский A.M. Свободная интерполяция целыми функциями // Теория функций, функциональный анализ и их приложения. 1985. Вып. 44. С. 32-42.

5. Джрбашян М.М. Интегральные преобразования и представления функций в комплексной области. М.: Наука, 1966. 672 с.

6. Епифанов О.В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 83-92.

7. Епифанов О.В. О порождающих для некоторых пространств аналитических функций // Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 44-46.

8. Ибадов Н.В. Неоднородные системы уравнений свертки в одном классе аналитических функций // Сиб. матем. журн. 1988. Т. 29, № 1. С. 39-49.

9. Коробейник Ю.Ф. О решениях дифференциального уравнения бесконечного порядка, аналитических в некруговых областях // Матем. сб. 1966. Т. 71. № 4. С. 535-544.

10. Коробейник Ю.Ф. Представляющие системы // Успехи матем. наук. 1981. Т. 36. № 1. С. 73-126.

11. Коробейник Ю.Ф. Нетривиальные разложения нуля по абсолютно представляющим системам. Приложения к операторам свертки Л Матем. сборник. 1991. Т. 182. № 5. С. 661-680.

12. Коробейник Ю.Ф. Описание общего вида нетривиальных разложений нуля по экспонентам. Приложения // Известия АН СССР, сер. матем. 1991. Т. 55. № 5. С. 1049-1069.

13. Коробейник Ю.Ф. О ядре оператора свертки // Ростовский государственный университет: Ежегодник'91. Ростов н/Д., Изд-во Рост, ун-та, 1992. С. 32-43.

14. Красичков-Терновский И.Ф. Одна геометрическая лемма, полезная в теории целых функций, и теоремы типа Левинсона // Матем. заметки. 1978. Т. 24. № 4. С. 531-546.

15. Левин Б.Я. Распределение корней целых функций. М.: Гостехиз-дат, 1956. 632 с.

16. Лелон П., Груман Л. Целые функции многих комплексных переменных. М.: Мир, 1989.

17. Леонтьев А.Ф. Об одном применении интерполяционного метода // Матем. заметки. 1975. Т. 18. № 5. С. 735-752.

18. Леонтьев А.Ф. Ряды экспонент. М.: Наука, 1976. 536 с.

19. Леонтьев А.Ф. Обобщения рядов из экспонент. М.: Наука, 1983. 175 с.

20. Напалков В.В. Уравнения свертки в многомерных пространствах. М.: Наука, 1982. 240 с.

21. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

22. Ронкин Л.И. Целые функции // Современные проблемы математики. Фундаментальные направления. Т. 9 (Итоги науки и техн. ВИНИТИ АН СССР). М., 1986. С. 5-36.

23. Тимофеев А.Ю. О представлении решения уравнения бесконечного порядка в виде суммы двух решений // Матем. заметки. 1982. Т. 31. № 2. С. 245-256.

24. Тимофеев А.Ю. Дифференциальные уравнения бесконечного порядка и их приложения: Учебное пособие по спецкурсу // Сыктывкарский университет. Сыктывкар, 1989. 71 с.

25. Тимофеев А.Ю. Дифференциальные идеалы в пространствах целых функций I / Линейные операторы в комплексном анализе (под ред. О.В.Епифанова). Ростов-на-Дону: Изд-во Рост, ун-та, 1994. С. 99-101.

26. Ткаченко В.А. Уравнения типа свертки в пространствах аналитических функционалов // Известия АН СССР. Сер. матем. 1977. Т. 41. № 2. С. 378-391.

27. Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений Джр-башяна к некоторым задачам анализа // ДАН СССР. 1981. Т. 261. № 3. С. 557-561.

28. Carleson L. Interpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of math. 1962. V. 76. N 3. P. 547-559.

29. Hennekemper W. Uber Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen endlicher Wachstumsordnung // Arch. Math. 1986. V. 46. P. 250-256.

30. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 6. P. 943-949.

31. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 2. P. 246-249.

32. Kelleher J.J., Taylor B.A. Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions //J. Reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 190209.

33. Korobeinik Yu.F. Absolutely representihg systems and convolution operators in the complex domain } j Turkish Journal of Mathematics. 1996. V. 20. N 2. S. 219-225.

34. Polya G. Eine Verallgemeinerung des Fabrysehen Lückensatzes // Nachr. Gesell. Wiss. Göttingen. 1927. S. 187-195.

35. Scoda H. Application des techniques L2 a la théorie des idéaux d'une algèbre de fonctions holomorphes avec poids // Ann. sei. Éc. Norm. Sup. 1972. 4-e série. V. 5. N 4. P. 545-579.

36. Timofeev A.Ju. Die Differentialideale im Ring der ganzen Funktionen, die bei vorgegebener Ordnung Minimaltyp besitzen // Math. Nachr. 1990. V. 147. P. 89-94.

37. Абанин A.B., Шабаршина И.С. К задаче о порождающих // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. № 2. С. 3-5.

38. Абанин A.B., Шабаршина И.С. О совпадении дифференциальных и порождающих идеалов // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 87-88.

39. Абанин A.B., Шабаршина И.С. Порождающие и дифференциальные идеалы и нулевые множества их образующих // Доклады АН. 1999. Т. 368. № 2. С. 151-153.

40. Шабаршина И.С. О порождающих для некоторых пространств целых функций // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону, 1999. С. 23-24.

41. Абанин A.B., Шабаршина И.С. Нулевые множества образующих и дифференциальные идеалы // Международная школа-семинарпо геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2000. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 85-86.

42. Шабаршина И.С. К задаче о порождающих для пространств целых функций с оценкой индикатора // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 26-29.

43. Шабаршина И.С. О факторизации оператора свертки // Актуальные проблемы математического анализа: Сборник научных трудов. Ростов-на-Дону: Изд-во «Гинго», 2000. С. 165-170.