L2-метод в задаче о порождающих для весовых пространств без кольцевой структуры тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Шамраева, Виктория Викторовна

• Шамраева, Виктория Викторовна
• кандидат физико-математических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Шамраева, Виктория Викторовна

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА I

МОДИФИКАЦИЯ £2-МЕТОДА H.SCODA

§ 1.1. Постановка задачи и функциональный "ключ"для ее решения 17 ^

§ 1.2. Формулировка основного результата главы для конечных систем образующих

§ 1.3. Вспомогательные результаты

§ 1.4. Доказательство основного результата

§ 1.5. Некоторые следствия из основного результата

§ 1.6. Основной результат главы для счётных систем образующих

ГЛАВА II

ПРЕДЕЛЬНЫЙ СЛУЧАЙ МОДИФИЦИРОВАННОГО

12-МЕТОДА ф

§ II.1. Вспомогательные результаты

§ II.2. Формулировка и доказательствр предельного случая модифицированного .£2-метода

§ II.3. Некоторые следствия

§ II.4. Условия на систему порождающих функций для весов, являющихся верхними огибающими модулей голоморфных функций

ГЛАВА III

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «L2-метод в задаче о порождающих для весовых пространств без кольцевой структуры»

Для пространства Яоо всех аналитических и ограниченных в единичном круге функций задача о порождающих идеалах была поставлена. и решена Л.Карлесоном [1] в начале 60-х годов. В последующем она исследовалась для различных колец аналитических функций многими известными математиками. В той части этой тематики, в которой рассматриваются пространства, определяемые системами плюрисубгармонических весов, применяются в основном три метода: 1) интерполяционный Л.Карлесопа (см. [2]); 2) Л.Хёрмандера [3]

4], основанный на использовании его результатов о разрешимости 5-задачи с весовыми оценками и комплекса Кошуля, и 3) £2-метод А.Скода [5]. Следует отметить, что L2 -метод имеет определенные преимущества по сравнению с наиболее широко применяемым методом Л.Хёрмандера.

В последнее время в связи с некоторыми задачами теории уравнений свертки возникла необходимость в исследовании проблемы порождающих не только в кольцах, но и в пространствах, не имеющих кольцевой структуры. На пути её решения О.В.Епифановым [6]-[8] и А.В.Абаниным [9]) было развито обобщение метода Л.Хёрмандера.

В настоящей работе разработана модификация £2-метода А.Скода

5], применимая к пространствам, определяемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру. В качестве приложений получены результаты о порождающих в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора.

Задача о порождающих, которую мы будем изучать, заключается в следующем:

Пусть О, — открытое множество в CN (N ^ 1); Н(0.) — наделенное стандартной топологией равномерной сходимости на компактах пространство всех голоморфных в О, функций. Пусть, далее, Е и Ej (1 ^ j < р) — подмножества в Н(0,)\ ~д — (gj : 1 ^ j < р) — фиксированный набор функций из H(Q), где pGN или р = оо. Необходимо решить вопрос о том, при каких условиях на = (gj : 1 ^ j < р) справедливо равенство:

Е= Е 9jEj. i<j<p

Другими словами, когда V/ € E3hj € Ej (1 ^ j < р):

М = Е ф)1ф) (Z е Q).

Функции gj условно называют образующими.

Задача о характеризации порождающих исследовалась Л.Карлесо-ном [1], Дж.Ксллехсром и Б.А.Тейлором [2], [4], Л.Хёрмандером [3], А.Скода [5], А.Ф.Леонтьевым [10], Ф.А.Шамояном [11], В.В.Напалковым [12], В.Хеииекемпером [13], А.В.Абаиипым, И.С.Шабаршииой [14]-[18] и многими другими математиками. О.В.Епифанов был, по-видимому, первым, кто исследовал задачу о порождающих в пространствах целых функций одной комплексной переменной, когда Е не имеет структуры кольца ([7]) и когда hj могут лежать в разных весовых классах. В дальнейшем аналогичная задача была решена для функций многих переменных А.В.Абаниным (см. [9]). Ранее А.Скода ([5]) удалось упростить 1/2-технику Л.Хёрмандера ([3]) при исследовании оператора представления в случае, когда искомые функции удовлетворяют одной и той же весовой оценке. Его метод обладает тем i преимуществом, что он позволяет использовать решение только одной

9-задачи вместо нескольких (в зависимости от размерности пространства и числа образующих), как это было в методе Л.Хёрмандера. Приведём один из основных результатов А.Скода.

ТЕОРЕМА 1. Пусть fi — открытое псевдовыпуклое множество в CN, ip — плюрисубгармоническая функция в Q, (gi,g2, • • • ,9i>) [соотв. система, состоящая из р аналитических в Q функций [соотв. последовательность из анал. функций], q = Inf(N,p — 1), q > 1. Тогда для любой функции / G удовлетворяющей условию J [f\2\g\~2n(J~2e~^dX < +оо найдутся функции hj € H(Q)} п j = 1,р [соотв. последовательность (hj)j^] такие, что

Р ос

1) / = Е 9jhj [соотв. / = Е 9jhj}; п п

Им также был исследован предельный случай, соответствующий а = 1.

В связи с вышеизложенным представляется актуальной задача о распространении результатов А.Скода на ситуацию, рассмотренную О.В.Епифановым и А.В.Абаниным. В диссертации исследованы следующие ее аспекты:

• модификация L2-метода А.Скода, применимая к пространствам, задаваемым отличными друг от друга весами и не обязательно имеющим кольцевую структуру;

• предельный случай модифицированного Ь2-метода;

• характеризация порождающих наборов для пространств целых функций с оценкой индикатора.

Диссертация состоит из Введения и трех глав. Во всех главах мы придерживаемся двойной нумерации параграфов (§ 1.2 - второй параграф главы I) и тройной - получаемых утверждений и формул (теорема II.2.1 - теорема 1 параграфа 2 главы II; (III. 1.1) - первая формула параграфа 1 главы III).

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Шамраева, Виктория Викторовна, 2005 год

1. Carleson L. 1.terpolation by bounded analytic functions and the corona problem // Ann. of math. 1962. V. 76. N 3. P. 547-559.

2. Kelleher J.J., Taylor B.A. An application of the corona theorem to some rings of entire functions // Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 2. P. 246-249.

3. Hormander L. Generators for some rings of analytic functions II Bull. Amer. Math. Soc. 1967. V. 73. N 6. P. 943-949.

4. Kelleher J.J., Taylor B.A. Closed ideals in locally convex algebras of analytic functions // J. Reine Angew. Math. 1972. V. 255. P. 190209.

5. Scoda H. Application des techniques L2 a la theorie des idcaux d'une algebre de fonctions holomorphes avec poids // Ann. sci. Ec. Norm. Sup. 1972. 4-e serie. V. 5. N 4. P. 545-579.

6. Епифанов О.В. Разрешимость уравнения Коши-Римана с ограничениями роста функций и весовая аппроксимация аналитических функций II Изв. вузов. Математика. 1990. № 2. С. 49-52.

7. Епифанов О.В. О разрешимости неоднородного уравнения Коши-Римана в классах функций, ограниченных с весом и системой весов // Матем. заметки. 1992. Т. 51, № 1. С. 83-92.

8. Епифанов О.В. О пороэюдающих для некоторых пространств аналитических функций // Линейные операторы в комплексном анализе.-Ростов н/Д.:Изд-во Рост, ун-та. 1994. С. 44-46.

9. Абапип А.В. Модификация метода Л.Хермандера в задаче о порождающих и ее приложения // Изв. вузов. Математика. 1995. № 8. С. 3-12.

10. Леонтьев А.Ф. Об одном применении интерполяционного метода // Матем. заметки. 1975. Т. 18, № 5. С. 735-752.

11. Шамоян Ф.А. Приложения интегральных представлений Дэюр-башяна к некоторым задачам анализа // ДАН СССР. 1981. Т.261. № 3. С.557-561.

12. Напалков В.В. Уравнения свёртки в многомерных пространствах М.: Наука, 1982. 240 с.

13. Heimekemper W. Uber Differcntialideale im Ring der ganzer Funk-tionen endlicher Wachstumsordnung // Arch. Math. 1986. V.46. P.250-256.

14. Абанин А.В., Шабаршина И.С. К задаче о порождающих // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1997. № 2. С. 3-5.

15. Абанин А.В., Шабаршина И.С. Пороэюдающие и дифференциальные идеалы и нулевые множества их образующих // Докл. РАН. 1999. Т. 368. № 2. С. 151-153.

16. Шабаршина И.С. К задаче о порождающих для пространств целых функций с оценкой индикатора // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 2000. № 1. С. 26-29.

17. Abanin A.V., Shabarshina I.S. Zero sets of generators and differential ideals // Math.Nachr. 2002. V.238. P.5-15.

18. Абанин А.В., Шабаршина И.С. Характеризация порождающих идеалов в некоторых кольцах целых функций // Матем. заметки. 2003. Т.74. № 4. С.483-493.

19. Кривошеев А.С. Регулярность роста системы функций и системы неоднородных уравнений свёртки в выпуклых областях комплексной плоскости // Изв. РАН. Сер. мат. 64, 2000. № 5. С. 69-132.

20. Кривошеев А.С., Ганцев С.Н. Разрешимость систем неоднородных уравнений свёртки в выпуклых областях в С // Алгебра и анализ. 2003. Т.15. Вып.6.

21. Hormander L. L2 estimates and existence theorems for the д operator // Acta Math. Soc. 1965. V. 113. P. 89-152.

22. Kelleher J.J., Taylor B.A. Finitely generated ideals in rings of analytic functions // Math. Ann. 1971. V. 193. P. 225'-237.

23. Данфорд H., Шварц Т.Джекоб. Линейные операторы. Т.2. Самосопряженные операторы в гильбертовом пространстве. М.: Мир, 1966.

24. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть I. М.: Наука, 1985.

25. Шабат Б.В. Введение в комплексный анализ. Часть II. М.: Наука, 1985.

26. Эдварде Р. Функциональный анализ. Теория и приложения. М.: Мир, 1969.27. belong P. Fonctions plirisousharmoniques et Formes differentielles positives //Gordon Breach, Paris-Londres-New York. 1968.

27. Hormander L. An Introduction to complex analysis in several vari-ablesr / Van Nostrand Company. New Jork. 1966.

28. Колмогоров А.Ф., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1989.

29. Ронкин Л.И. Введение в теорию целых функций многих переменных. М.: Наука, 1971.

30. Хёрмандер Л. Введение в теорию функций нескольких комплексных переменных. М.: Мир, 1968.

31. Робертсои А., Робертеон В. Топологические векторные пространства. М.: Мир, 1967.

32. Маркушевич А.И. Теория аналитических функций. М.: Наука, 1950.

33. Сербииа В.В. Ь2-метод в задаче о порождающих для пространств, определяемых разными весами // РГУ, Ростов-на-Дону, депон. в ВИНИТИ, №2082-В97, 26 июня 1997. 32 с.

34. Сербина В.В. Вторая теорема существования для пространств, определяемых разными весами // РГУ, Ростов-па-Дону, депоп. в ВИНИТИ, №655-В99, 3 марта 1999. 11 с.

35. Сербина В.В. Вторая теорема существования для пространств, определяемых разными весовыми функциями // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С. 11.

36. Сербина В.В. Порождающие в пространствах, определяемых разными весами // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 1998. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 119-120.

37. Сербина В.В. Порождающие в пространствах, определяемых разными весами // Изв. вузов. Сев.-Кавк. регион. Естеств. науки. 1999. № 3. С. 24-25.

38. Сербина В.В. Пороэ1сдаюгцие в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора // Научная конференция аспирантов и соискателей. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. 1999. С.22.

39. Сербина В.В. Пороэ/сдающие в пространствах целых функций нескольких переменных с заданной оценкой индикатора // РГУ, Ростов-на-Дону, депон. в ВИНИТИ, №1558-В00, 30 мая 2000. 14 с.

40. Сербина В.В. О порождающих в некоторых пространствах целых функций // Международная школа-семинар по геометрии и анализу, посвященная 90-летию Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2000. Тезисы докладов. Ростов на-Дону. С. 158 159.

41. Шамраева В.В. К задаче о порождающих // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2002. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 121— 122.

42. Шамраева В.В. Модификация L2-метода в задаче о порождающих // Современные проблемы теории функций и их приложения, 2004. Тезисы докладов 12-й Саратовской зимней школы. Саратов. С. 204-205.

43. Шамраева В.В. Регулярно порождающие пары в пространствах, определяемых разными весами // Международная школа-семинар по геометрии и анализу памяти Н.В.Ефимова, Абрау-Дюрсо, 2004. Тезисы докладов. Ростов-на-Дону. С. 162.