Динамика ротора осевого насоса на комбинированном магнитном подвесе с генерацией пульсирующего потока жидкости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Скорюков Станислав Владимирович

• Скорюков Станислав Владимирович
• кандидат наук
• 2023

Оглавление диссертации кандидат наук Скорюков Станислав Владимирович

Список обозначений и сокращений

Введение

Глава 1, Современное состояние разработки насосов вспомогательного кровообращения

1.1 Насосы вспомогательного кровообращения как средство борьбы с сердечной недостаточностью

1.2 История развития насосов вспомогательного кровообращения и актуальные задачи разработки

1.3 Направления модернизации конструкции насосов вспомогательного кровообращения

1.4 Магнитный подвес: история, разновидности и применение в технике

1.4.1 Пассивный магнитный подвес

1.4.2 Активный магнитный подвес

1.4.3 Применение магнитного подвеса в конструкции насоса вспомогательного кровообращения

1.5 Двигатели насосов вспомогательного кровообращения

1.6 Обзор методов моделирования динамики рабочего колеса насоса вспомогательного кровообращения на магнитном подвесе

1.7 О гидродинамических силах на рабочем колесе насоса вспомогательного кровообращения

1.8 Выводы по главе

Глава 2. Подход к оценке эффективности пульсаций потока крови, обеспечиваемого насосом вспомогательного кровообращения

2.1 Количественные оценки эффективности пульсаций потока крови

2.2 Характеристики естественного потока, обеспечиваемого сердцем

2.3 Универсальные энергетические характеристики насоса вспомогательного кровообращения

2.4 Оценка мощности электродвигателя при пульсирующем режиме

2.5 Синтез закона пульсаций

2.6 Выводы по главе

Глава 3. Математическая модель динамики ротора на магнитном подвесе

3.1 Выбор компоновки магнитного подвеса ротора

3.2 Расчётная схема и основные предположения

3.3 Кинематика жёсткого ротора

3.4 Уравнения движения жёсткого ротора

3.5 Уравнения движения в матричной форме

3.6 Учёт сил в магнитных подшипниках

3.6.1 Магнитная сила в пассивном магнитном подшипнике

3.6.2 Магнитная сила в активном магнитном подшипнике

3.7 Учёт влияния двигателя

3.8 Учёт гидродинамических сил

3.9 Учёт внешних воздействий

3.10 Приведение уравнений движения в поперечных направлениях к безразмерному виду

3.11 Выводы по главе

Глава 4. Разработка конструкции магнитного подвеса ротора осевого насоса

4.1 Компоновка магнитного подвеса ротора осевого насоса

4.2 Уравнения электромагнитного поля

4.3 Определение жёсткости пассивного магнитного подшипника

4.3.1 Постановка задачи метода конечных элементов для пассивного магнитного подшипника

4.3.2 Геометрия и свойства материалов

4.3.3 Результаты расчёта магнитной силы в пассивном магнитном подшипнике

4.4 Конфигурация активного магнитного подшипника и закон управления током

4.5 Приведение уравнений движения в продольном направлении к безразмерному виду

4.6 Выводы по главе

Глава 5, Моделирование динамики ротора осевого насоса на магнитном подвесе

5.1 Параметры системы для моделирования динамики ротора

5.2 Динамика ротора вдоль его продольной оси

5.2.1 Безразмерные параметры системы ротора при колебаниях вдоль продольной оси

5.2.2 Влияние параметров системы ротора при движении вдоль продольной оси на устойчивость движения

5.2.3 Динамика ротора вдоль его продольной оси во временной

области

5.3 Динамика ротора в поперечных направлениях

5.3.1 Безразмерные параметры системы ротора при колебаниях в поперечных направлениях

5.3.2 Влияние параметров системы ротора в поперечных направлениях

на устойчивость движения

5.3.3 Динамика ротора в поперечных направлениях во временной области

5.4 Оценка энергопотребления осевого насоса

5.5 Выводы по главе

Общие выводы и заключение

Список литературы

Приложение

СПИСОК ОБОЗНАЧЕНИЙ И СОКРАЩЕНИЙ

АМП — активный магнитный подшипник

БДПТ — бесщёточный двигатель постоянного тока

ИЖС — искусственный желудочек сердца

КПД — коэффициент полезного действия

ЛК — линейно-квадратичное управление

МКЭ — метод конечных элементов

МПК — механическая поддержка кровообращения

ПД — пропорционально-дифференциальное управление

ПИ — пропорционально-интегральное управление

ПИД — пропорционально-интегрально-дифференциальное управление

ПМП — пассивный магнитный подшипник

РНХ — расходно-напорная характеристика

НВК — насос вспомогательного кровообращения

САУ — система автоматического управления

СИ — международная система единиц

СН — сердечная недостаточность

ССЗ — сердечно-сосудистые заболевания

ССС — сердечно-сосудистая система

BTC — bridge to candidacy (мост к принятию решения)

BTR — bridge to recovery (мост к восстановлению)

BTT — bridge to transplantation (мост к трансплантации)

CFD — computation fluid dynamics (вычислительная гидродинамика)

DT — destination therapy (постоянная имплантация)

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Динамика ротора осевого насоса на комбинированном магнитном подвесе с генерацией пульсирующего потока жидкости»

Актуальность проблемы:

По данным Всемирной Организации Здравоохранения наблюдается быстрый рост сердечно-сосудистых заболеваний (ССЗ), в то время как донорский ресурс остается ограниченным [1]. В 2016 году от ССЗ в общей сложности умерло 17,9 млн. человек, что составило около 31 % всех случаев смерти в мире [2].

На сегодняшний день основная альтернатива пересадке донорского сердца пациентам с терминальной стадией сердечной недостаточности заключается в установке насоса вспомогательного кровообращения (НВК). Анализ научных источников из зарубежных баз данных (ScienceDirect, ASME, ASAIO, Wiley Online Library, Springer) выявил возрастающий интерес к разработке систем вспомогательного кровообращения в качестве средства терапии сердечной недостаточности (СН). О развитии отрасли говорит тот факт, что количество установок насосов вспомогательного кровообращения и выживаемость пациентов возрастают [3].

В истории разработки насосов вспомогательного кровообращения можно отметить ряд этапов: от громоздких пульсирующих пневматических насосов (например, Герц-01), устанавливаемых рядом с телом пациента, до миниатюрных имплантируемых устройств (таких как HeartWare или HeartMate III). В работе [4] дана общая характеристика поколений НВК. В настоящее время в клиническую практику внедряются насосы третьего поколения, которые уже прошли предварительные клинические испытания: HeartWare (Medtronic Inc., США), HeartMate II и HeartMate III (Thoratec Inc., США), АВК-Н «Спутник» (Биософт-М, Россия) и прочие.

Тенденции развития НВК направлены на создание насоса и организацию его работы таким образом, чтобы воздействие его и здорового сердца на организм пациента стали бы эквивалентны. Высокие требования к насосам вспомогательного кровообращения касаются надежности, долговечности, биологической

совместимости, адаптивности к изменяющимся внешним воздействиям. Решение задачи проектирования при условии выполнения высоких требований к конструкции и алгоритмам управления узлами устройства лежит на стыке областей научных знаний. Обозначенная тенденция определяет следующий виток совершенствования устройств НВК, т.е. разработку насоса 4-го поколения.

Несмотря на невозможность предсказания точного облика насоса 4-го поколения, для формирования общей картины уместно экстраполировать тенденции развития от насосов 3-го поколения до возможных характеристик будущего устройства. В насосах 3-го поколения отсутствуют физиологичные пульсации потока крови либо реализован алгоритм периодического изменения скорости вращения ротора (для роторных насосов) без построения обратной связи по физиологическим потребностям организма. В НВК 4-го поколения пульсации присутствуют, причем система управления подстраивает режим работы насоса на основе показаний датчиков, отслеживающих физиологические параметры организма. Система управления учитывает циркадный ритм тела пациента [5].

Роль опор для рабочего колеса в насосах 3-го поколения играют подшипники скольжения или качения, в некоторых случаях используется совмещенный вариант гидродинамического подшипника с системой магнитной левитации. Зазор между поверхностями не контролируется. В насосах 4-го поколения ротор подвешен в магнитном поле по всем степеням свободы, что позволяет минимизировать воздействие на кровь со стороны опор. Зазор между поверхностями полностью контролируется системой управления.

Передача электроэнергии к насосу 3-го поколения осуществляется через чрескожный кабель, место входа которого в тело пациента является потенциальным очагом инфекции. В случае насоса 4-го поколения передача обеспечивается системой бесконтактной передачи энергии посредством электромагнитных полей без нарушения структуры кожных покровов.

В насосах 3-го поколения измеряются гидравлические характеристики системы: перепад давления по датчикам давления, расход по току на обмотках двигателя (косвенный метод измерения расхода). В насосах 4-го поколения для

обеспечения функции оксигенации к перечисленным измерениям добавляется определение соответствующими датчиками концентрации кислорода или углекислого газа, а также мгновенного состава крови.

В качестве материалов в конструкции насоса 3-го поколения преимущественно используются титан, керамика, искусственные рубины. В насосах 4-го поколения применены полимерные материалы.

Оба поколения насосов полностью имплантируемы в тело пациента. Длительность операции по установке насоса 3-го поколения составляет от трёх часов и более, 4-го - до двух часов.

В настоящее время в клинике насосы вспомогательного кровообращения представлены насосами третьего поколения [6]. Наиболее близкое воплощение насоса 4-го поколения - насос Неа^ММе III [7], однако, вероятно, в нем реализованы не все указанные особенности насоса 4-го поколения. К сожалению, чётко указать реализованные функции на данный момент не представляется возможным, так как разработка нова, и в научных публикациях содержится крайне мало данных о клинической эксплуатации.

Часть направлений по совершенствованию насосов роторного типа включает решение задачи динамики ротора. К ним относятся организация естественных пульсаций потока крови, разработка опор рабочего колеса.

Отсутствие пульсаций потока крови оказывает пагубное воздействие на организм. Сосудистая система пациентов с непульсирующими насосами в долгосрочной перспективе предрасположена к внутреннему кровотечению, охрупчиванию сосудов, атрофии клапанов сердца, воспалению тканей и органов ввиду изменения свойств стенки сосудов [8-13]. В этой связи задача создания пульсаций на выходе из камеры насоса становится одной из приоритетных при разработке насоса вспомогательного кровообращения нового поколения.

Контакт вращающегося ротора и крови в механических подшипниках насосов 2-го поколения приводит к травме крови (гемолизу) и увеличивает риск тромбоза. Возрастанию гемолиза в узких зазорах гидродинамических подшипников (насос 3-го поколения) способствуют повышенные сдвиговые

напряжения. Решением данной проблемы выступает ввод в конструкцию магнитных опор, которые предотвращают механический контакт движущихся частей НВК и способствуют уменьшению гемолиза [14,15]. В число критериев работоспособности НВК, обусловленных магнитным подвесом, входит способность подвеса обеспечивать малость амплитуд колебаний ротора для всего рабочего диапазона скоростей вращения при действии нагрузок различной физической природы [16,17].

Приближённый аналитический расчёт параметров магнитного подвеса даёт большое количество информации о динамике системы [18,19], что может быть достаточно для определения конфигурации магнитного подвеса в первом приближении. Тем не менее, появляется необходимость более точного моделирования. В работе [16] проведено детальное моделирование геометрии и решение задачи распределения магнитных полей в подвесе методом конечных элементов (МКЭ), что позволило с высокой точностью вычислить магнитные силы. При проектировании сложных устройств, к которым относится и НВК, требуется междисциплинарная постановка задачи. Так, для определения характеристик жёсткости магнитного подвеса (зависимость магнитной силы в радиальном направлении при смещении в осевом и наоборот) необходимо произвести расчёт электромагнитных полей в системе «ротор-магнитные подшипники», как это реализовано в работах [16,20].

В литературе хорошо освещены вопросы контроля активного магнитного подвеса. В [18,19] раскрыты вопросы управления, показаны алгоритмы, обеспечивающие устойчивую динамику системы в широких диапазонах частот и внешних нагрузок. В работах [17,19] показано, что имеют место алгоритмы с переменными динамическими характеристиками магнитных опор. Тем не менее, наибольшее предпочтение отдаётся ПИД-регулятору как одному из наиболее надёжных и простых алгоритмов.

В литературных источниках не было обнаружено решения задачи динамики рабочего колеса осевого насоса с учётом нелинейных гидродинамических и магнитных характеристик крови, заполняющей зазор. Кроме того, интерес

представляет динамика системы с учётом нагрузочной характеристики магнитных подшипников, что в научной литературе также не встречено. Отсутствуют модели динамики ротора в магнитном подвесе, вращающегося с переменной скоростью для создания естественных пульсаций потока крови.

Объект исследования:

Ротор насоса вспомогательного кровообращения осевого типа на пассивных радиальных и активном осевом магнитных подшипниках.

Цель диссертационной работы:

Обеспечить удовлетворительные динамические характеристики рабочего колеса на бесконтактных опорах осевого насоса вспомогательного кровообращения в процессе генерации естественных пульсаций потока крови.

Для реализации поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Провести анализ существующих расчетных моделей и подходов, используемых для решения задачи роторной динамики осевого насоса на магнитном подвесе, выявить характерные особенности типов опор.

2. Разработать закон изменения скорости вращения рабочего колеса насоса, обеспечивающий пульсирующий режим потока крови, близкий к создаваемым сердцем человека естественным пульсациям.

3. Составить математическую модель роторной динамики рабочего колеса насоса вспомогательного кровообращения, учитывающую гироскопический эффект, влияние неуравновешенности ротора при переменной скорости вращения, а также действие сил гидродинамической, электромагнитной природы, внешние силы инерционной природы.

4. Привести разработанные математические модели к безразмерному виду; выделить набор критериев подобия, позволяющий проектировать класс насосов вспомогательного кровообращения подобной конструкции; выделить масштабные множители базовой системы.

5. Построить математические подмодели подшипников, позволяющие определить характеристики активного и пассивного магнитных подшипников в целях последующего анализа динамики ротора.

6. Определить диапазон изменения параметров системы ротора на магнитном подвесе, гарантирующий устойчивость движения в поперечных и в осевом направлениях.

7. Применить разработанную математическую модель для анализа динамики ротора и потребления энергии осевого насоса вспомогательного кровообращения.

Научная новизна:

1. На основе подхода Шепарда, связанного с сообщаемым потоку количеству гемодинамической энергии, сформулирован подход к оценке близости пульсаций потока крови, создаваемых изменением скорости вращения рабочего колеса осевого насоса вспомогательного кровообращения, к пульсациям, создаваемым сердцем здорового человека (естественным пульсациям).

2. Подобран закон управления скоростью вращения двигателя, обеспечивающий естественные пульсации потока крови при потреблении мощности на уровне представленных в клинике насосов.

3. Построена математическая модель роторной динамики рабочего колеса осевого насоса вспомогательного кровообращения, учитывающая гироскопический эффект, влияние неуравновешенности ротора при переменной скорости вращения, а также действие сил гидродинамической, электромагнитной природы (обусловленные активным и пассивным магнитным подвесом, двигателем), внешние силы инерционной природы; обосновано развязывание динамики ротора вдоль продольной оси и в поперечных направлениях, выделены системы уравнений движения ротора вдоль продольной оси и в поперечных направлениях.

4. На основе анализа устойчивости динамических систем определён диапазон изменения параметров системы ротора на магнитном подвесе, гарантирующий устойчивость движения в поперечных и в осевом направлениях; моделирование динамики ротора проведено в безразмерном виде с выделением характерных критериев подобия прямым решением дифференциальных

уравнений; исследовано поведение системы при изменении скорости вращения рабочего колеса по заданному закону.

Степень достоверности полученных результатов:

Достоверность результатов обеспечена строгостью теоретического изложения использованных методик, проверкой программ на тестовых задачах, а также сравнением результатов расчёта с описанными в литературе экспериментальными и теоретическими исследованиями.

Внедрение:

Результаты диссертационной работы (математическая модель жёсткого ротора на магнитном подвесе с переменной скоростью вращения и пакет прикладных программ) внедрены в учебный процесс кафедры прикладной механики МГТУ им. Н. Э. Баумана. Использование результатов диссертации подтверждено соответствующими актами о внедрении

Практическая значимость:

1. Разработана математическая модель жёсткого ротора осевого насоса в радиальном пассивном и осевом активном магнитном подвесе с уменьшенным потреблением электроэнергии. На основе разработанной модели создан пакет прикладных программ, позволяющий оценить динамические характеристики системы жёсткого ротора на магнитном подвесе. В отличие от существующих математических моделей разработка позволяет учитывать динамические эффекты от неравномерности скорости вращения.

2. Предложенная компоновка магнитного подвеса ротора может быть использована для изготовления прототипа осевого насоса вспомогательного кровообращения с рабочим колесом на магнитном подвесе. Исследование позволило определить допустимые значения параметров системы для сохранения устойчивости движения в поперечных и осевом направлениях. Параметрическая форма записи критериев подобия открывает возможность анализа динамики во временной области и устойчивости для класса подобных насосов.

3. Предложенный подход к оценке близости пульсаций потока крови, создаваемого насосом, к естественным пульсациям позволяет проводить отбор

законов изменения скорости вращения для выбранного насоса вспомогательного кровообращения. В качестве примера разработки закона вращения рабочего колеса получены характеристики трапециевидного закона. Пакет прикладных программ позволяет проверить удовлетворительность динамических характеристик для уже разработанных осевых насосов вспомогательного кровообращения на магнитном подвесе в случае генерации пульсаций путём изменения скорости вращения рабочего колеса.

Апробация:

Результаты работы докладывались и обсуждались на международных научно-технических конференциях «МИКМУС-2016» (Москва, 2016), «МИКМУС-2019» (Москва, 2019), второй Всероссийской научно-технической конференции «Механика и математическое моделирование в технике» (Москва, 2017), Всероссийской конференции молодых ученых-механиков «Буревестник» (Сочи, 2020). Обсуждение проводилось на XIII Всероссийской инновационной молодежной научно-инженерной выставке «Политехника» (Москва, 2018). Ежегодно на научных семинарах кафедры прикладной механики МГТУ им. Н.Э. Баумана.

Публикации:

По теме диссертации опубликовано 8 работ, включая 2 статьи в журналах, входящих в перечень ВАК при Минобрнауки РФ, и 3 статьи в изданиях, индексируемых в международной базе данных SCOPUS.

Структура и объем работы:

Диссертация состоит из введения, 5 глав, заключения и приложений. Работа изложена на 174 страницах машинописного текста, содержит 51 иллюстрацию, 15 таблиц. Список литературы включает 145 наименований.

В первой главе выполнен обзор работ, посвященных теоретическим и экспериментальным исследованиям направления разработки насосов вспомогательного кровообращения. Представлено актуальное состояние направления, показаны проблемы, связанные с проектированием аппаратов, рассчитанных на длительное применение, выявлены тенденции

усовершенствования существующих моделей насосов вспомогательного кровообращения. Сформулированы цели и задачи исследования.

Во второй главе предложен подход к оценке эффективности пульсаций потока, создаваемых изменением скорости вращения рабочего колеса насоса. Оценка эффективности произведена с точки зрения количества энергии, сообщаемой потоку на протяжении сердечного цикла. Подход применён для синтеза закона изменения скорости вращения с требуемыми характеристиками.

Третья глава посвящена разработке математической модели ротора на магнитном подвесе. Разработанная модель включает электромагнитное взаимодействие ротора с подвесом и двигателем, учитывает влияние изменяющегося по интенсивности потока крови, внешние воздействия инерционной природы, гироскопический эффект и обусловленные неуравновешенностью возмущения при переменной скорости вращения. Система уравнений разделена на две подсистемы, подсистема движения в поперечных направлениях приведена к безразмерному виду. Выведены характерные критерии подобия с включением в них масштабных множителей.

Четвёртая глава посвящена формированию компоновки магнитных подшипников. Для радиального подвеса выбрана компоновка пассивного магнитного подвеса, как наиболее экономичная к потреблению электроэнергии. Методом конечных элементов определена сила взаимодействия колец пассивного магнитного подшипника. На основе решения задачи магнитостатики построена табличная функция зависимости осевой и радиальной силы пассивного магнитного подшипника от радиального и осевого смещений. Для осевой стабилизации рассмотрена компоновка активного магнитного подвеса. Для обеспечения устойчивого положения равновесия в качестве закона управления выбран ПИД-регулятор с раздельным управлением. Уравнения движения в продольном направлении приведены к безразмерному виду, установлены характерные критерии подобия с включёнными в них масштабными множителями.

Пятая глава посвящена анализу динамики системы ротора на магнитном подвесе для случаев движения в поперечных и в осевом направлениях.

Исследование устойчивости динамической системы выполнено при варьировании масштабных множителей системы. Для режима разгона и режима пульсаций проведено моделирование динамики рабочего колеса во временной области с учётом дисбаланса, внешних возмущений и изменения скорости вращения. Показано, что движение системы устойчиво для установленного сочетания параметров, а величины перемещений в опорах малы в сравнении с зазором. Произведена оценка потребляемой мощности насоса как суммы мощности активного магнитного подшипника и мощности двигателя.

В заключении подведены итоги работы.

В приложении представлены вспомогательные данные: приведение к безразмерному виду систем уравнений движения в осевом и в поперечных направлениях, допустимые величины транспортных вибраций.

Благодарности:

Автор выражает искреннюю благодарность научному руководителю д.т.н., профессору кафедры прикладной механики Гуськову А.М. за помощь при написании диссертации и за поддержку в трудных решениях; Банину Е.П., Богдановой Ю.В. и Крупнину А.Е. за содействие в проведении работ и личный пример энергичности и трудолюбия; Киселёву И.А. за помощь в организационных вопросах. Исследование выполнено при финансовой поддержке РФФИ в рамках научного проекта № 19-31-90051.

ГЛАВА 1. СОВРЕМЕННОЕ СОСТОЯНИЕ РАЗРАБОТКИ НАСОСОВ ВСПОМОГАТЕЛЬНОГО КРОВООБРАЩЕНИЯ

1.1 Насосы вспомогательного кровообращения как средство борьбы с

сердечной недостаточностью

Основным проявлением практически всех болезней сердца является сердечная недостаточность. Данный синдром характеризуется потерей сердца способности транспортировать необходимый объём крови для обеспечения обменных процессов внутри организма. Более восьми миллионов человек в нашей стране страдает от сердечной недостаточности, около миллиона россиян умирают от неё каждый год [21].

В медицинской практике развитие сердечной недостаточности сдерживают медикаментозной терапией и переходом на здоровый образ жизни. Если заболевание переходит в терминальную стадию, необходимо хирургическое вмешательство. Трансплантация сердца остается золотым стандартом для устранения терминальных форм сердечной недостаточности. Тем не менее, во всём мире имеет место существенная нехватка доноров: в США годовая потребность в подобных операциях составляет 70000 единиц, в то время как выполняется только 2500 единиц. В России годовая потребность составляет 25000 - 30000 единиц при проведении существенно меньшего количества операций [22] (160 операций в год по данным [23]). Нехватка доноров и осложнения после операции приводят к поиску альтернативных терапевтических стратегий [1,24], таких как механическая поддержка кровообращения (МПК). Применение методов МПК для лечения пациентов с хронической СН, особенно наиболее тяжелых ее форм, значительно возросло в течение последних 30 лет и в настоящее время стало стандартной терапией во многих центрах сердечно-сосудистой хирургии [23,25].

Механическая поддержка кровообращения - комплекс мер по поддержанию или замещению функции сердца человека при ССЗ. Один из подходов,

практикуемых в МПК, состоит в установке миниатюрного насоса вспомогательного кровообращения (НВК) для перекачивания крови из полости желудочка в восходящий отдел аорты. В данном случае операция классифицируется как обход желудочка сердца. В клинической практике такой насос называется искусственным желудочком сердца (ИЖС) или насосом вспомогательного кровообращения [8,26]. Притом наибольшая потребность возникает в системах левожелудочкового обхода [25]. Описанная выше конструкция позволяет использовать НВК в следующих мероприятиях [4,8,25,27]:

а) мост к принятию решения (bridge to décision или bridge to candidacy - BTC). Временная установка насоса происходит в случае, когда не выработана окончательная стратегия лечения пациента, но степень поражения миокарда не позволяет провести необходимые исследования ввиду повышенного риска смертельного исхода;

б) мост к трансплантации (bridge to transplantation - BTT). Насос компенсирует дисфункцию желудочка, пока донорское сердце не будет найдено;

в) мост к восстановлению (bridge to recovery - BTR). Насос компенсирует дисфункцию желудочка на время восстановления сердечной мышцы. Применяется, в основном, после перенесенных обширных инфарктов миокарда, кардиогенного шока и иных острых проявлений СН;

г) постоянная имплантация (destination therapy - DT). Установка насоса для длительной поддержки кровообращения при противопоказаниях по трансплантации сердца (возраст, хронические заболевания, религиозные убеждения).

За последние 10 лет интерес к НВК как к альтернативе пересадке сердца, существенно возрос. В некоторых странах Европы (например, Германия) количество устанавливаемых насосов уже превзошло количество пересадок сердца, а в США эти показатели имеют тенденцию сравняться в скором времени [28]. На основании данных из отчетов американского регистра INTERMACS (INTERMACS quarterly statistical report 2016 Q4), приведённых в

работе [29], следует вывод о преобладании в клинической практике сценария постоянной имплантации фТ-сценария).

Состав системы вспомогательного кровообращения и НВК в частности (на примере НеаГМае II) представлен на Рис. 1.1.

а) общая структура системы вспомогательного кровообращения [30]

й

Источник энергии

Система контооля

б) Неа1±Мае II LVAD [8,27] Рис. 1.1. Состав системы вспомогательного кровообращения Концептуально насос вспомогательного кровообращения состоит из четырёх подсистем, без которых невозможна работа устройства, а также двух подсистем

вспомогательного характера. НВК связан с внешней системой управления и источником питания через подкожный кабель [8,21,27]. Система канюль и штуцеров служит интерфейсом для подключения НВК к сердечно-сосудистой системе (ССС).

Элементы НВК контактируют с биологическими тканями, его работа оказывает влияние на организм, что служит источником ряда требований изделию. Перечислим основные из них:

- требования биосовместимости. Входная и выходная канюли должны иметь биосовместимые переходники, например, плетёные накладки из полиэстера. Контактирующие с кровью элементы проточной части могут быть изготовлены из медицинского титанового сплава, иметь полимерное покрытие [27] или покрытие с антикоагулирующим слоем (например, с содержанием гепарина [31]). К требованиям биосовместимости также стоит отнести отсутствие застойных зон и зон рециркуляции потока крови [30];

- производительность насоса при заданном перепаде давления). Уровень указанных величин определяется физиологическими потребностями организма пациента, а обеспечивается характеристиками насоса. Так, в аппарате Неш1Ма:е II насос способен поддерживать напор 100 мм рт. ст. и подачу вплоть до 10 л/мин [27];

- минимально возможный уровень травмы крови. При вращении рабочего колеса насоса в проточной части возникают высокие сдвиговые напряжения, что приводит к травме эритроцитов с выделением гемоглобина в плазму, то есть сдвиговому гемолизу [32-34]. Конструкция проточной части насоса должна обеспечивать возможно меньший индекс гемолиза, а также исключить формирование застойных зон, где возможно оседание тромбоцитов и формирование тромба [34]. Уровень гемолиза обусловлен величиной сдвиговых напряжений и длительностью их действия [33,35-37];

- минимальные массогабаритные и высокие энергетические показатели;

- высокая надежность и ресурсные характеристики насоса, для обеспечения длительной поддержки кровообращения (до нескольких лет);

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Скорюков Станислав Владимирович, 2023 год

? — -

1тр

+

к

гА 0 0 0 0

0

Кв 0 0 0

0 0 0 0

0 0

0 0

кгА 0

0 кгВ

0 0

\

0 0 0 0

-(кгА + кгв)

. ^тргАО + /тргВО).

— -К

(ХАЛ

хв < Уа Ув

+

трВ

Чв + £

тр0,

(3.31)

где матрица КтрВ = й1ад(кгА,кгВ,кгА,кгВ,-(кгА + кгВ)) - матрица жёсткости пассивного магнитного подвеса, а - вектор магнитных сил поджатия

пассивного магнитного подвеса. Для перевода выражения (3.31) в -координаты воспользуемся переходом через оператор В для сил и обобщённых координат. Выражение для матрицы КтрВ в ц-координатах

Ктр — ^ КтрВ , (3.32)

Перенося магнитную силу, выраженную в матричном виде (3.31), в левую часть уравнения движения (3.28), преобразуем последнее к виду

М ^ + С ч + В Ктрв В\ — и + В 1тра. (3.33)

3.6.2 Магнитная сила в активном магнитном подшипнике

Компоненты вектора магнитной силы fma активного магнитного подшипника имеют нелинейную природу. Данная нелинейность обусловлена следующими аспектами [19,51]:

- нелинейная зависимость от величины текущего осевого магнитного зазора б2 и от протекающего по виткам катушки возбуждения силы тока ¿;

- насыщение магнитопровода (возможно при высоких значениях тока I в катушке или закрытии зазора 82 между валом и корпусом подшипника);

- геометрическое ограничение вала корпусом подшипника.

Для вычисления магнитной силы применяются методы, используемые для статических полей, что допустимо, если переменные поля имеют сравнительно большую длину волны в сравнении с геометрией поля. Большую популярность при решении данной задачи получили численные методы, однако аналитические методы позволяют собрать и обработать значительно больше информации о влиянии тех или иных факторов, особенно для простой геометрии [19,51]. Выражение для магнитной силы, создаваемой катушкой с током, имеет вид

1 „ I2 I2 _— ь _

\2 Ка82

>0г °0г

/ =-и0 П2Аа^Г= к*-*-. (3.34)

} 4 ™ а82, а82

Параметр ка, Гн-м, имеет смысл конструкционного параметра АМП и определяется выражением

1

ка=^0П2Аа, (3.35)

где = 4л-10"7 Гн/м - магнитная постоянная, п - число витков в катушке, Аа -площадь полюса АМП, м2, б02 - осевой магнитный зазор при центральном положении ротора, м.

Активный магнитный подшипник в конструкции насоса составлен из двух катушек с током, которые притягивают ротор в противоположных направлениях. Разделим ток, протекающий в катушке электромагнита, на ток смещения 10 и на управляющий ток 12, который возникает как реакция на отклонение ротора от нулевого положения. Ток смещения обеспечивает магнитную силу, обеспечивающую статическое предварительное натяжение ротора. Примем раздельное управление обмотками АМП. Ток в катушке «1» равен 10 - 12, а в

катушке «2» равен ¿0 + Ьг. Тогда систему осевого АМП можно свести к схеме, изображённой на Рис. 3.6.

77777У

Рис. 3.6. Схема осевого АМП Осевая магнитная сила на роторе насоса , вызываемая действием активного магнитного подвеса в направлении оси 2, определяется суперпозицией сил и ^а2г согласно выражению

£таг fma1z + fma2z ^

а!

Оо - кУ

(§ох +

2 +

(¿о + Ь)2

(3.36)

Сила управляющего тока 12 определяется выбором закона управления. Управление АМП производят по току или напряжению в электрической цепи. В случае управления положением лёгкого ротора применяется способ контроля по току [19]. Задание закона управления и выбор величины тока смещения приведены в главе 4.

Вектор магнитной силы, создаваемой активным магнитным подшипником, примет вид

^та - {0 0 0 0 fma1z + /та2г}

Т

(3.37)

С учётом (3.37) уравнение движения (3.33) принимает вид

м ч + с ч + в ктрВ вТч = в ^тР0 + ^а) + и

(3.38)

3.7 Учёт влияния двигателя

Помимо вращающего момента двигатель создаёт на роторе радиальные силы. Среди них могут быть позиционные, диссипативные циркуляционные и вынуждающие составляющие [19,72,116]. Рассмотрим далее позиционные силы магнитного притяжения, обусловленные несбалансированностью тяги полюсов статора при отклонении ротора от центрального положения [19]. Рис. 3.7 иллюстрирует воздействие двигателя на ротор: отклонение ротора от центрального положения приводит к появлению силового фактора, направленного в одну сторону с этим отклонением.

Рис. 3.7. Воздействие двигателя на ротор [19] Согласно [19], позиционные силы и моменты зависят от обобщённых координат. Для учёта влияния двигателя на динамику ротора в поперечных направлениях в уравнения движения в правой части вводится дополнительное слагаемое, которое в координатах имеет вид

r -Cd

cdb ч.в

1 + kl 1-ki 0 0 0

1 - kl 1 + ki 0 0 0

0 0

1 + ki 1 - ki 0

0 0

1 - ki 1 + ki 0

0 0 0 0 0J

(ХАЛ ХВ

< Уа \Ув

(3.39)

где матрица С0В - матрица, обуславливающая влияние двигателя на ротор.

Коэффициент св - отрицательная жёсткость двигателя при поступательном перемещении ротора, Н/м, определяемая как

^ — (3.40)

где Rd - радиус расточки статора, м; в дальнейшем приближённо примем Rd = 8,5 мм, lD - длина магнитоактивной части двигателя, м (lD = 2/3 I), BD -максимальная индукция, Тл (BD = 0,8 Тл), 8D - радиальный зазор двигателя, м (8d = 0,7 мм), kl - безразмерный коэффициент, учитывающий соотношение магнитоактивной части двигателя lD и расстоянию между радиальными опорами 1М р — а + Ь. Коэффициент kl имеет вид

12 12

Ь—Т^ — ТтЪм- (341)

3 М 3 (а + Ь)2

Матрица позиционных сил С0 в координатах $ связана с матрицей С^в в координатах соотношением

Cd — B CDB Вт. (3.42)

С учётом (3.42) перепишем систему уравнений движения (3.38) в виде

Мц+Сц+В (КтрВ - Сш) ВТч - В + + Ъ- (3.43)

Подход, предложенный Ю.Н. Журавлёвым в [19], имеет ряд ограничений, исходящих из обобщённого описания двигателя. Так, не учтен эффект вращения магнитного поля, что приводит к возникновению циркуляционных сил [72]. Циркуляционные силы действуют с частотой, кратной количеству пар полюсов статора (по [116]). Учёт вращения магнитного поля требует установления конструкционных характеристик двигателя: количество полюсов ротора, количество полюсов статора, количество витков в обмотке статора, амплитудное значение питающего тока. На крутящий момент двигателя и на магнитную жёсткость двигателя оказывает некоторое влияние запаздывание магнитного поля ротора относительно поля, генерируемого статором двигателя. Такое запаздывание характеризуется углом отставания 0а. В статье Журавлёва [116] встречается описание магнитных сил с учётом угла отставания для двухполюсной обмотки статора, однако в данной работе предполагается постоянство угла 0 й, что возможно только при установившемся режиме работы двигателя. В случае реализации режима пульсаций о постоянстве угла отставания речи не идёт.

Для моделирования динамики ротора с учётом всех обозначенных выше факторов необходима разработка и детализация конструкции двигателя. Разработка конструкции двигателя представляет из себя отдельную проблему и не входит в задачи настоящей работы. Таким образом, упрощенное математическое описание двигателя через коэффициент жёсткости св принято для включения в модель динамики жёсткого ротора.

3.8 Учёт гидродинамических сил

Ротор, взаимодействующий с потоком жидкости, в данном случае крови, подвержен влиянию циркуляционных сил, обусловленных трением в жидкостном слое [45,73,76,117].

Кровь представляет собой неньютоновскую многофазную суспензию, в состав которой входят плазма, форменные элементы крови (эритроциты, лейкоциты, тромбоциты) [36,118], хиломикроны [119]. Более тяжёлые, чем плазма, форменные элементы крови составляют около 46 % объёма крови человека. Суммарный объём эритроцитов примерно в 50 раз превышает объём лейкоцитов и тромбоцитов, в соответствии с чем реологическое поведение крови в крупных каналах определяют концентрация и механические свойства только эритроцитов [36]. Данное положение при моделировании движения крови позволяет сделать допущение о гомогенности среды. Существуют дополнительное условие для принятия данной гипотезы: диаметр сосудов должен быть на два порядка больше диаметра эритроцита. Данное условие в канале насоса выполняется, поскольку диаметр эритроцита человека составляет от 7 до 8 мкм [36,118], в то время как диаметр проточной части принимает значение от 16 до 25 мм.

Воспользуемся также допущением, что кровь ведёт себя, как ньютоновская жидкость. При скоростях сдвига больше 100 1/с кровь ведет себя как ньютоновская жидкость (псевдоньютоновская) [41,119,120], что справедливо для крупных сосудов кровеносной системы. Для НВК скорости сдвига, как правило, на несколько порядков превышают 100 1/с (по данным [120] скорости сдвига локально достигают значений вплоть до 250000 1/с), поэтому применение данного упрощения так же допустимо.

Зависимость динамической вязкости крови от скорости сдвига аппроксимируют эмпирическими моделями: Casson, Powell-Eyring, Cross, Carreau, Carreua-Yasuda (Каро-Яшида), степенной закон [121,122]. Модель Карро-Яшида довольно популярна при моделировании гемодинамики. Она обладает тем достоинством в сравнении, например, с моделью Кассона, что обладает непрерывностью функции на больших и малых скоростях сдвига [122,123]. На Рис. 3.8 продемонстрирована аппроксимация функции вязкости по модели Карро-Яшида.

..................... ................. ....................1......................

High ■ty Plate

/iSC ut ;au

/

Transition Zone

Y

V

Low Viscosity: Plateau

10"6 10"4 Ю"2 10° ю2 ю4 ю6 Shear rate [1/s]

Рис. 3.8. Зависимость вязкости от скорости сдвига по модели Карро-Яшида, отражающая неньютоновское поведение крови [123] При малых скоростях сдвига вязкость приближается к своему наибольшему значению Пн0 = 0,056 Па-с, соответствующего покоящейся крови, однако при скоростях сдвига, превосходящих 100 1/с, можно считать вязкость постоянной и равной от 0,003 до 0,004 Па-с [26,45,121,122]. Примем далее Пя = 0,0035 Па-с.

В виду наличия в составе НВК двигателя и магнитных подшипников возникает вопрос о влиянии магнитного поля на вязкостные характеристики крови. Соотношение магнитных и вязкостных сил (число Гартмана) определяет зависимость вязкости от внешнего магнитного поля. Исследователи сходятся во мнении, что магнитное поле величиной ~1 Тл оказывает существенное влияние на вязкость крови (в пределах 20-30 %) лишь при малых скоростях сдвига [124-126]. Стоит отметить, что вязкость в этом случае перестаёт быть изотропной величиной. Притом R. Tao в работе [124] отмечает уменьшение вязкости при направлении ориентации магнитного поля в направлении вдоль по потоку (эритроциты выстраиваются вдоль линий магнитной индукции), а при поперечном направлении линий магнитной индукции отмечается увеличение вязкостных свойств [126,127]. Принимая во внимание то обстоятельство, что скорости сдвига велики, и течение нельзя считать ламинарным, далее принимаем влияние магнитного поля на вязкостные свойства несущественным.

Получим выражения, описывающие гидродинамический вклад потока крови в динамику ротора насоса вспомогательного кровообращения. Считаем, что

радиальные гидродинамические силы возникают по механизму формирования сил в гидродинамическом подшипнике [72,98].

Включим компоненты гидродинамических моментов и сил в правую часть уравнений движения ротора. В ц-координатах вектор гидродинамической нагрузки на ротор НВК имеет вид

^ = + (3.44)

где - матрица, учитывающая гидродинамические эффекты при обобщённых координатах, Ндч - матрица при первой производной по времени от вектора обобщённых координат, ГН0 - вектор составляющей гидродинамической нагрузки, не зависящей от ц-координат. Структуры матриц Нч и Нйч, а также вектора ГН0 получены далее.

В [72,98] выражения для проекций гидродинамических сил РНх, РНу, возникающих в гидродинамическом подшипнике, представлены следующими уравнениями

РНх = СххХ Схуу Охх± БхуУ,

- • _ (3.45)

РНу СухХ Сууу + БухХ Бууу.

Множители Си, (1,] Е х,у) имеют смысл динамических коэффициентов смазочного слоя. Выражения для них согласно [72]

С

ПН П I

хх,ху,ух,уу /п „ . з и1,2,3,4>

2 дг

т

' (3.46)

_ пн i

ихх,ху,ух,уу „ 3 с5,6,7,8.

(2 д0г\

( б )

В выражениях (3.46) с^ (,¿6 1,83) - некоторые величины, определяемые в ходе решения уравнения Навье-Стокса, С1 > 0. Данные величины зависят от режима работы насоса и конструкции проточной части. Знаменатель содержит куб относительного зазора (2 80г/Б1), где - диаметр по верхней кромке лопастей, мм.

Аналогично (3.45), введём уравнения проекций гидродинамического момента МНх, МНу.

мНу = -рххв + рхуа- дххв + дхуа

(3.47)

мНх РуХв Рууа дух$ О-уу®-

Произведение соответствующей переменной состояния на коэффициент смазочного слоя Р^, (¿,у 6 хТу) в уравнении (3.47) должно быть согласовано с размерностью момента. Представим коэффициенты смазочного слоя в виде

Я

хх,ху,ух,уу

0.хх,ху,ух,уу

цн Аг I

3 ^1,2,3,4 =

£аа,ар,ра,рр Аг,

(3.48)

а

3 "5,6,7,8

где Аг = - характерная площадь ротора при обтекании в поперечном направлении, мм2;

^ (,¿6 1,8) - некоторые величины, определяемые в ходе решения уравнения Навье-Стокса, ^ >0 (по аналогии с выражениями (3.46)). Данные величины зависят от режима работы насоса и конструкции проточной части.

Структура выражений для сил (3.45) и моментов (3.47) демонстрирует связанность движений. Знаки при слагаемых, выражающих связывание уравнений по перемещениям и углам поворота, согласованы с Рис. 3.9, на котором схематично

представлены направления гидродинамических сил и моментов, возникающих вследствие вращения ротора.

у' ■ ^Нх

А V

\\ У

>

1 Г

X

а) силы

б) моменты

Рис. 3.9. Гидродинамические силовые факторы, возникающие вследствие

вращения ротора

Помимо гидродинамических сил и моментов, влияющих на поперечные перемещения ротора, в системе присутствуют и осевые составляющие. Считая осевое обтекание ротора несвязанным с радиальным, примем вид осевой гидродинамической силы

/Нг = Ар — сх т]н ¿,

(3.49)

где Ар - перепад давления в проточной части, м/с; вычисление Ар и его связь с характеристиками насоса и рабочего режима продемонстрировано в главе 2;

Апг = п — Ц^) /4 - характерная площадь ротора при обтекании в осевом направлении, на которую действует перепад Ар;

- диаметр ротора по верхней кромке лопаток, м;

Бь - диаметр ротора по втулке (основанию лопаток), м.

Первое слагаемое в выражении (3.49) имеет смысл осевой силы, создаваемой потоком крови [128]. Второе слагаемое соответствует диссипативной составляющей осевой силы.

Зависимость перепада давления от скорости вращения в соответствии с соотношениями (2.6) имеет вид Ар = Ар0 (П/П0)2, тогда осевая гидродинамическая сила из (3.49)

/яг = Асг Ля П0

(3.50)

Рассмотрим выражения (3.45)-(3.50). Сопоставив их со структурой гидродинамической силы Гн (3.44), получим выражения для матриц Нч и Ндч в виде

Нп =

Пя^

=

'й4Аг 0 —й3Аг 0 0

0 с± 0 С2 0

зП й2Аг 0 0 0

0 —сз 0 С4 0

[ 0 0 0 0 0-

'й8Аг 0 — а7Аг 0 0

0 С5 0 Сб 0

й6Аг 0 А5Аг 0 0

0 —С7 0 С8 0

- 0 0 00 Ъ

(3.51)

, 1(2 Ь0Г\3 где множитель кг = - ) .

В структуре матриц (3.51) присутствуют симметричные относительно главной диагонали элементы с противоположными знаками. Таким образом, в уравнениях движения ротора НВК отображены позиционные (в составе матрицы Нч) и гироскопические (в составе матрицы Нйч) эффекты.

В выражение (3.49) вошла осевая гидродинамическая сила, не зависящая от координат вектора состояния. Вектор гидродинамической силы ГН0 определяется выражением

^о = \0 0 0 0

ЬРо

а

Аы а2

2

Т

(3.52)

Подставим гидродинамическое сопротивление и осевую силу в правую часть уравнений движения (3.43). После переноса слагаемых при ц-координатах и их производных в левую часть, окончательно получим

М <[ + (С + нйч) ч + [В (КтрВ - Свв) ВТ + нч] q =

= В (^трО + fта) + ^ + ^Н0.

(3.53)

0

3.9 Учёт внешних воздействий

Рабочее колесо насоса вспомогательного кровообращения испытывает нагрузки инерционного характера, приходящие в систему извне. Их происхождение связано с жизнедеятельностью пациента. Согласно [129], типовыми условно принято считать импульсное (например, ходьба и толчки) и периодическое (при нахождении в транспорте) воздействия (Рис. 3.10).

А

Л г

text<} <-> <-> г

а) импульсное

б) периодическое Рис. 3.10. Схематичные графики внешних воздействий Введём вектор fu, соответствующий внешним воздействиям. Направления действия внешних нагрузок согласуются с q-координатами. Тогда представим вектор fu в виде

ГМу + Ву ят(ыехгф Fx + Ах

¥у + Ау

(3.54)

где Рх, ¥у, ¥2 - проекции импульсного воздействия внешних сил, Н;

Мх, Му - проекции импульсного воздействия внешних моментов, Н-м; Ах, Ау, А2 - проекции амплитуды периодического воздействия внешних сил, Н;

Вх, Ву - проекции амплитуды периодического воздействия внешних моментов, Н-м;

- круговая частота внешнего периодического воздействия, рад/с. Величины, образующие вектор внешних воздействий fu, определены в подразделе 5.1. С учётом внешнего воздействия (3.53) уравнение движения (3.54) примет вид

3.10 Приведение уравнений движения в поперечных направлениях к

безразмерному виду

В предыдущих подразделах получены уравнения движения ротора насоса вспомогательного кровообращения (3.55) с учётом гироскопического эффекта, внешних воздействий, нелинейностей пассивного и активного магнитных подшипников, а также гидродинамических эффектов.

Для сокращения размерности системы в данном разделе произведём переход к безразмерному виду уравнений движения. Для удобства вывода и интегрирования перенесём в правую часть все слагаемые кроме слагаемого при старшей производной

и далее приведём систему (3.56) к системе дифференциальных уравнений 1-ого порядка, выполнив переход к переменным состояния

(3.55)

(3.56)

в1 = в, *1 = *, а-1 = а, у1= у, 21 = г, в2 = в, *2= *, а2 = а, У2= у, = ¿.

(3.57)

Переменные 2-^ и 22 включены только в последние два из десяти уравнений движения 1-ого порядка. Пользуясь независимостью данных уравнений от прочих переменных, разделим единую систему на две отдельные системы уравнений. Система, состоящая из восьми уравнений (относительно переменных (3.57) за исключением 2-^ и 22), описывает движение в поперечных направлениях. Система, состоящая из двух уравнений относительно 21 и 22 описывает движение вдоль оси ротора. Продольное движение и приведение системы из двух уравнений к безразмерному виду рассмотрено в главе 4. В настоящем подразделе рассмотрим только систему из восьми уравнений. получим в развёрнутом виде уравнение движения в поперечных направлениях

в- = в2,

1Х в2 = Ь а а2- ("Ля 12^д/(2 бог/Б,)3 (й8 в2 - ¿1 а2) -

-(а2 кгА + Ь2 кгВ) в1 — (—а кгА + Ь кгВ) х1 +

+ ((а + Ь)2(к1 + 1)-4 а Ь) + (-а + Ь) -4 2

-(цн 12Ис)/(2 8ог/Ос)3а (аА в- - Л3 а-) + Му + Ву sm(toвxtt) +

+Ау (1Х - 1г)(а2 ^(е) + а5т(е)),

Х1 = х2,

т±2 = -(Пн 1)/(2 &ог/Пд3 (Сб *2 + Се У 2) - (-а кгА + Ь кгВ) в- -

сп

-(кгА + кгВ) ^ + у (-а + Ь) в- + св х- -

-(Пн 0/(2 &ог/^)3 а (с- х- + С2 у-) + РХ + АХ +

+т е (а2 аг) + а sin(аt)),

а- = а2,

1ХСС2 = -1г а в2- (Пя 12Ог)/(2 8ог/0,)3 (а6 в2 + ¿5 а2) -

-(а2 кгА + Ь2 кгВ) а- + ( а. кгА + Ь кгВ) у- +

+ ^ ((а + Ь)2(к1 + 1)-4 а Ъ) а---у (-а + Ь) у--

-(Пн 12Ог)/(2 8ог/0,)3 а (с12 в- + Л- а-) +

(3.58)

+МХ + Вх siп(toвxtt) + Ау (1Х - 1г)(-й2 51п(в) + й cos(0))l

У1 = У 2,

тУ2 = -(Пн 0/(2 &0г/Пг)3 (-с7 *2 + с8 у2) + (-а кгА + Ь кгВ) а.1 -

сп

-(кгА + кгВ) у1- — (-а + Ь) а.1 + св у1 -

-(ПН 1)/(2 8ог/Ог)3 й (-с3 Х1 + с4 У1) + Ру+Ау siп(ыextt) +

+т е (й2 siп(йt) - й ^(Ш)).

Приведем систему (3.58) к безразмерному виду [130]. Числовые меры физических величин (безразмерные значения переменных) обозначены символами с чертой. В качестве независимых единиц размерности выбраны следующие масштабы

= &0п = 1> $кг = кгА' $та = ш. (359)

Прочие масштабы имеют роль вспомогательных и могут быть выражены через основные. Выражения для них собраны в Таблице 2. Два независимых метрических масштаба введены ввиду наличия анизотропии в линейных размерах в продольном и поперечном направлениях. Масштабы Бх и соотносятся как малый параметр Бх / = £.

Таблица 2.

Выражения для вспомогательных масштабов в системе уравнений движения

ротора в поперечных направлениях

Наименование Выражение

Масштаб времени ^ = V

Масштаб частоты & II 1 ГЧ-

Масштаб силы

Масштаб момента = Пт)

Параметр анизотропии £ =

Масштаб угла поворота

Безразмерные величины связаны с размерными через формулы перехода, связи между ними представлены в Таблице 3.

Таблица 3.

Формулы перехода к безразмерным величинам для системы уравнений движения

ротора в поперечных направлениях

г — г Бс 1 — 1 Ру — Ру ^

й/йг — й/(йг = шехг Мх — Мх Бм

П = П а — а Му — Му

в1 = в1 $$ Ь — Ь Ах — Яр

Ау — Ау

а1 — Щ Бр Ау — Ау Б в Вх — Вх

У1 = У1 е — ё Бх Ву — Ву Бщ

= Рх — Р'х -

Подробное описание перехода к системе уравнений движения в безразмерном виде представлено в приложении П.1.

При приведении уравнений движения к безразмерному виду введены безразмерные комплексы (критерии подобия).

Пт =

т 12

Пп =

Ср кгА

Пкв =

к

гВ

к

гА

ПНГ =

Пн I (2 г)3

N

1

т к

_ I I

ПНт = Пт т „^ ПН I

гА

(2 г)3

N

1

(3.60)

^ =П™ П»' 1

I

X

X

Ввиду выделения уравнения с переменной г из состава вектора обобщённых координат ц размерность задачи сократится. Обозначим вектор обобщённых координат размерностью 4х1 (размерный) и его первую производную по времени

• Т

44 = {в х а у]т, 44 = {в х а у} . (3.61)

Система уравнений движения в поперечных направлениях в матричном виде в форме Коши для безразмерных Щ4-координат имеет вид

х = )*т(,а =

Х = АХ + и,

О Е

-(«тр + Н^ -(С + Нйч)

о

^ +

(3.62)

где «4 = {в, X, а, у}Т, «14 = ос, 3)'} , 0 - нулевая матрица (4x4), Е - единичная матрица (4x4). Прочие матрицы и векторы из системы (3.62) имеют вид

2х2

ППП

0Пт /V-

4

((а + Ь)2(к1 + 1)-4 а -)

]в 2

ПП

^(--а + Ь)

^2 2х2

ПП

й11т ( г-

4

((- + Ь)2(к1 + 1)-4 а -)

РПт

ПП

(-а + -) Пя

й11т

2

(-а + Ь)

П

Б

К

1 2х2

к

2 2х2

2х2

О

Пт(а2 + Ь2 Пкв) Пт(-- + Ь Пкв)

-- + Ь Пкв 1 + Пкв

Пт(а2 + Ъ2 Пкв) -Пт(-а + Ь Пкв)

-(-а + Ь Пкв) 1 + П

О

^2 2х2-1

11тр

нч = й

=

ПНт^4 0

ПНт^2 0

ПНт^8 0

ПНт^б 0

0

Пн/С1 0

ПН/Сз 0

Пн/С5 0

-ПНГС7

-Пнтд.

1Нти-3 0

ПНт^1 0

кВ

К1 2х2 0 0 «2 2х2-> 0

ПН/С2

ПНт^7 0

ПНт^Б 0

0

ПН/С4-0

Пн/Се 0

ПН/С8-

(3.63)

С = П¡п

0 0 -1 0

0 0 0 0

10 0 0

0 0 0 0

*и = <

Му + Ву 5ш(соеХ££г) Рх + Ах sin(шextt) Мх + Вх sm((¿extt) + Aysm((¿extt) }

Ъ = <

' Ау (1- П;) (п2 ^(п £) + Й sin(п £)) '

ё (п2 cos(n Т) + п sm(п Т)) Ау (1- П;) (-п2 sm(n £) + П ^(п £)) е (п2 sm(п Т)-п ^(й Т))

При проектировании конструкции насоса вспомогательного кровообращения представляется важным вопрос о чувствительности динамической системы к изменению параметров. Чем бы ни было вызвано отклонение: конструктивной необходимостью, неточностью изготовления или изменением параметров среды -динамическая система должна демонстрировать удовлетворительные характеристики при работе насоса. Рассмотрим базовую систему, характеризующуюся набором параметров

{ш(1), IV 81(1), а(1\ О™, к™, к™, с(?\ с(1),а(1)1е1иЗ>п((1),е(1)>Ау(1)>п(1)}.

(3.64)

Отклонённая система связана с базовой системой через безразмерные масштабные множители гуаг (индекс уаг обозначает один из параметров системы)

т = гт т(1\ 1Х = г1х \ 1г = £1г \ 80г = £$г ^^ I = £11(1\ ...

а(1)