Дискретные уравнения, дискретные преобразования и их применение в численном анализе тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Каманда-Бонгэй Абу Бакарр

• Каманда-Бонгэй Абу Бакарр
• кандидат наук
• 2025

Оглавление диссертации кандидат наук Каманда-Бонгэй Абу Бакарр

Введение

Глава 1 Основы теории псевд о дифференциальных операторов

1.1 Введение к первой главе

1.2 О псевдодифференциальных оператора

1.3 Дискретные пространства Соболева - Слободецкого

1.4 Дискретные псевдодифференциальные операторы и уравнения

1.5 Общее решение

1.6 Используемые математический аппарат

1.7 Итоги первой главы

Глава 2 Дискретные краевые задачи, преобразование

и уравнение

2.1 Введение ко второй главе

2.2 Дискретные функции, пространства и операторы

2.3 Дискретные уравнения и факторизация периодических волн

2.4 Теорема о разрешимости

2.5 Дискретная краевая задача

2.6 Сравнение

2.7 Основные результаты второй главы

Глава 3 Многомерные дискретные преобразования и их

применение к дискретным уравнениям

3.1 Введение к третьей главе

3.2 Дискретные преобразования и операторы трансмутации

3.3 Дискретные краевые задачи

3.4 Промежуточные итоги

Глава 4 Дискретные уравнения и метод редукции

4.1 Введение к четвертой главе

4.2 Предыстория: цифровые операторы, дискретные уравнения

4.3 Бесконечные матрицы

4.4 Основной результат

4.5 Заключение к четвертой главе

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Дискретные уравнения, дискретные преобразования и их применение в численном анализе»

Введение

Актуальность темы исследования. Теория псевдодифференциальных операторов и соответствующий термин появился в середине 60-х годов прошлого столетия [42, 43, 44] и сразу приобрела большую популярность. Во-первых, эта теория охатывала как теорию дифференциальных операторов, так и теорию интегральных операторов типа свертки, включая уравнения с такими операторами. Во-вторых, выяснилось, что такие операторы естественно возникают при обращении дифференциальных операторов, но, что самое важное, эти операторы появляются в различных задачах математической физики, в частности, в теории электромагнитных воли и квантовой вмехапика. Появилось большое количество работ, изучающих псевдодифференциальные операторы в различных функциональных пространствах, а также работ, в которых эти операторы возникали в различных прикладных задачах. В большинстве прикладных работ эти операторы участвовали в операторных уравнения, в связи с чем возникла необходимость исследования разрешимости соответствующих операторных уравнений. В евклидовом пространстве и па гладком многообразии (без края) было построено символическое исчисление, которое позволяло, грубо говоря, сводить операторное уравнение к алгебраическому с допустимой погрешностью (с точностью до компактных операторов), и это позволяло описать условия фредгольмовости исходного операторного уравнения в терминах его символа. Кульминацией символического исчисления стала теорема Атьи - Зингера об индексе эллиптического оператора, которая выражала индекс оператора в топологических терминах. Если же у многообразия присутствует край (даже гладкий), имеющиеся символические исчисления уже не работают, и приходится привлекать новый технический аппарат. Основой теории псевдодифференциальных операторов и уравнений в любой ситуации служит специальный локальный принцип [32], который утверждает, что для описания фредгольмовости исследуемого операторного уравнения следует описать условия обратимости его ло-

кальных представителей. Эти локальные представители являются псевдодифференциальными операторами в евклидовом пространстве с символом, не зависящим от пространственной переменной в специальной «канонической» области. В случае многообразия без края такой канонической областью служило все евклидово пространство, в случае многообразия с гладким краем возникало уже два типа канонических областей: все евклидово пространство и полупространство, которое локально представляло собой окрестность граничной точки. Детальное исследование случая полупространства было проведено М. И. Ви-шика и Г. И. Эскина [63], где наряду с гармоническим анализом использован аппарат классической краевой задачи Римана и одномерных сингулярных интегральных уравнений [14, 15, 16, 34]. Их исследования составили основу теории эллиптических краевых задач для псевдодифференциальных уравнений [27].

Степень её разработанности. Несмотря на всю значимость проведенных исследований остается открытым вопрос о нахождении решений псевдодифференциальных уравнений и связанных с ними эллиптических краевых задач. Как правило, аналитическую формулу для решения получить не удается, в связи с чем па пер вый план выходят приближенные методы решения, реализуемые с помощью компьютерных вычислений. В теории краевых задач для дифференциальных уравнений широкое распространение получили метод разностных схем [30] и метод разностных потенциалов [28, 29] в теории интегральных уравнений- метод коллокации и различные интерполяционные методы [17, 18, 19, 21, 24, 31, 33, 51, 52, 56, 21, 68, 41]. Однако для псвдодиф-ференциальных уравнений отсутствуют соответствующие аналоги этих методов, которые в данной ситуации неприменимы. С учетом этих обстоятельств была предпринята попытка создать дискретную теорию эллиптических псевдодифференциальных уравнений и соответствующих дискретных краевых задач, описать картину их разрешимости и показать, что дискретных краевые задачи могут иметь хорошие аппроксимационные свойства при подходящем выборе дискретных аппроксимаций. Первые исследования в этом направлении были

проведены с многомерными сингулярными интегральными операторами Каль-дерона - Зигмунда [75, 77, 43] где были получены результаты о разрешимости дискретных уравнений и дано сравнение дискретных и непрерывных решений. Эти исследования получили развитие в более широком контексте псевдодиф-ференциальных уравнений [87, 88, 89, 90, 92, 93, 94, 95, 96, 97], позволив описать условия разрешимости дискретных псевдодифференциальных уравнений и некоторых краевых задач.

В настоящей работе основной акцент сделан на сравнении дискретных и непрерывных эллиптических краевых задач в полупространстве

я = {х = (х\ хт) е мт I х' е мт-\ Хт > 0}

для простейших простейших псевдодифференциальных операторов. В дальнейшем перейдем к рассмотрению более общих псевдодифференциальных операторов с символами, зависящими от пространственной переменной

Цель и задачи. Целью работы является исследование разрешимости дискретных псевдодифференциальных уравнений и дискретных краевых задач, обоснование предельного перехода от дискретного к континуальному случаю, получению оценок погрешности дискретных решений. Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. построение дискретных аналогов псевдодифференциальных операторов:

2. исследование разрешимости дискретных краевых задач;

3. обоснование сходимости дискретных решений к непрерывным;

4. установление шага погрешности дискретных решений относительно шага сетки;

5. доказано существование и единственность решений для построенных дискретных схем при различных типах граничных условий.

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Была разработана строгая теория разрешимости дискретных аналогов задач Дирихле, создана дискретная версия пространств Соболева - Соболев-

ского. Предложен метод сравнительного анализа дискретных и непрерывных моделей

Теоретическая и практическая значимость работы. Результаты диссертации имеют теоретический характер. Они могут быть использованы для последующего развития более общей теории дискретных псевдодифференциальных уравнений и дискретной теории краевых задач. Практическая значимость работы подтверждена внедрением полученных результатов в практику деятельности кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования института инженерных и цифровых технологий федерального государственного автономного образовательного учреждения высшего образования «Белгородский государственный национальный исследовательский университет».

Методология и методы исследования. В диссертационной работе используются методы теории краевых задач, интегральных уравнений и методы гармонического анализа

Положения, выносимые на защиту.

1. Демонстрация разрешимости дискретной задачи Дирихле, связанной с эллиптическим псевдодифференциальным оператором.

2. Вывод оценок ошибок для дискретной задачи Дирихле при изменяющихся правых частях граничных условий.

3. Установление доказательств разрешимости общей дискретной красной задачи в полупространстве с использованием дискретной версии пространства Соболева - Соболевского.

4. Сравнительный анализ дискретных и непрерывных решений общей краевой задачи, расположенной в полупространстве.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов основывается на строго доказанных математических фактах, которые многократно использовались и применялись в других математических исследованиях.

Результаты работы докладывались на следующих конференциях

и семинарах:

1. Международная конференция «Современные методы «Теория функций и связанные проблемы», Воронежская зимняя математическая школа: «О численном решении одной краевой задачи» (Воронеж, 30 января - 4 февраля 2025 г.).

2. XXII Международная Саратовская зимняя школа «Современные проблемы теории функций и их приложений». Посвящена 300-летию Российской академии паук.: «О переодическом аналоге одного интегрального преобразования» (Саратов, 28-31 января 2024 г.).

3. Международная Воронежская весенняя математическая школа «Современные методы теории краевых задач» и XXXV Поптрягипские чтения: «Об одной дискретной краевой задаче в плоском секторе» (Воронеж, 26-30 апреля 2024 г.).

4. Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», посвященная 90-летию заслуженного профессора Валентина Ивановича Жегалова: «О сравнении решений дискретных и непрерывных краевых задач для эллиптических уравнений» (Казань, 6-7 июня 2024 г.).

5. Всероссийская научно-практическая конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения», посвященная 90-летию профессора Терехииа: «О дискретной краевой задаче с нелокальными условием» (Рязань, 18-20 июня 2024 г.).

6. VIII Международная школа-семинар «Нелинейный анализ и экстремальные задачи»: «О дискретных уравнениях в многомерном пространстве» (Иркутск, 24-28 июня 2024 г.).

7. Всероссийская научно-практическая конференция «Современные проблемы физико-математических наук»: «О некоторых двумерных дискретных уравнениях» (Орел, 29-30 ноября 2024 г.).

По теме диссертации опубликовано 11 научных работ [1, 46, 47, 81, 82, 83, 84, 8, 85, 861, в том числе 1 статья в рецензируемом научном журнале, рекомендованном Министерством науки и высшего образования Российской Федерации (Минобрнауки России), и 2 статьи в международных журналах, индексируемых в базе Scopus. В совместных работах В.Б. Васильеву принадлежит формулиров-

ка задачи и выбор метода исследования, а Абу Бакарр Каманда-Бонгэй осуществил реализацию выбранных методик.

Введение содержит обзор ключевых результатов, связанных с дискретными псевдодифференциальными операторами и уравнениями. В нём представлен краткий исторический контекст темы диссертации, обоснована значимость области исследования, определены цели диссертации, описана апробация работы, выделены публикации, относящиеся к теме диссертации, и подробно изложен вклад автора в совместные проекты. Кроме того, в нём описана структура диссертации и приведён краткий обзор основных результатов.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, главы

и» /*' и 1 и и

первой, разбитой на семь параграфов, главы второй, разбитой на семь параграфов, главы третьей, разбитой на четыре параграфа и главы четвертой, разбитой на пять параграфов, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации составляет 111 страниц. Диссертация содержит список литературы из 112 наименований.

Глава 1 Основы теории псевдодифференциальных операторов

1.1 Введение к первой главе

В этой главе мы начинаем исследование псевдодифференциальных операторов, начиная с основных понятий и простых иллюстративных примеров. Псевдодифференциальные операторы играют важную роль в современной анализе и уравнениях с частными производными, служа мостом между классическими дифференциальными операторами и более обобщенными формами, которые учитывают нерегулярности в функциях или коэффициентах. Мы углубимся в основные свойства этих операторов, разъясняя их значимость в различных математических контекстах.

После нашего введения в псевдодифференциальные операторы мы перейдем к дискретным аналогам этих фундаментальных конструкций. Процесс дискретизации является важным для численного анализа и вычислительных приложений, позволяя нам приближать непрерывные задачи с использованием дискретных структур. Мы введем дискретные пространства Соболева - Сло-бодецкого, которые предоставляют надежную основу для анализа функций, определенных па дискретных доменах, сохраняя при этом основные свойства их непрерывных аналогов. Кроме того, мы обсудим разрешимость дискретных псевдодифференциальных уравнений в пространственных контекстах. Это обсуждение имеет ключевое значение, поскольку оно закладывает основу для понимания того, как решения могут быть построены и проанализированы в дискретных условиях, параллельно с традиционными подходами, используемыми в непрерывных сценариях.

Основная цель этой главы — представить всесторонний обзор дискретных операторов и пространств, строго доказывая теорему о структуре общего решения для модельного дискретного эллиптического псевдодифференциального

уравнения. Установив эту основу, мы стремимся предоставить читателям необходимые инструменты и понимание, необходимые для дальнейшего изучения продвинутых тем, связанных с псевдодифференциальным анализом.

1.2 О псевдодифференциальных операторах

Пусть А(£) будет локально суммируемой функцией, которая удовлетворяет оценке [43|.

|A(Ç)|<C(1 + |Ç|)°. (1.1)

Класс таких функций будем обозначать S^ на пространстве гладких функций. Соответствующий оператор будет обозначен А, действующим на функции из S(Rn) в топологии.

+оо

Аи = (¿F / (L2)

— 00

где й(£) - это преобразование Фурье функции и(х) G S(Wl). Символ является символом оператора А. Если однороден степени то

+ ОС

Au = -1- f ]Г akÇkû(Oe~iMdÇ = £ akDku(x).

-io \k\<m \k\<m

Рассмотрим тот факт, что A является дифференцируемым оператором. Мы определим новый дифференцируемый оператор А(£) через A(D). В (1.1), если а < — п, то А(£) является абсолютно интегрируемой функцией и а(х) = является неубывающей обобщенной функцией. Это предпола-

гает некоторую связь или преобразование, связанное с преобразованием Фурье.

+00

Au = F~\A(0û(0) = J а(х- y)u(y)dy,

-ОС-

Пусть оператор А(£) G S^ и а < —п является псевдодифференциальным оператором типа S0. Предполагается, что существует число m > 0, такое что

а — 2т < —п.

А(0

АЛО =

(1 + тт'

Таким образом

¿1(0 < С(1 + К1Г"2т

Ах(^) - является ограниченным интегральным оператором. Функция а\(х) = где

+00

Аи = (—А + 1)ш J аг(х- у)и(у)в,у

+00

= J сч(х - у){-А + 1 )и(у)(1у,

где

п д2 к= 1

есть оператор Лапласа. Таким образом, А можно представить как оператор дифференцирования. Заметим, что А(£)й(£) для любого N удовлетворяет оценке. Оператор А, может быть представлен в виде интегрального оператора. Предположим, что А(£)й(£) при условии N ведет себя как функция.

И(0й(01<СлК1+ !£!)-",

где Е 5(МП). Учитывая, что

Аи = F-1Л(Oй(0

является ограниченной бесконечно дифференцируемой функцией. Возможно

определить псевдодифференциальные операторы для более широкого класса

символов, чем А Е -произвольная обобщенная функция. Тогда для

/

Ай{£) Е 5(МП) и для любого й(£) Е оператор определен. Определим псев-

/

додифференциальиый оператор А, действующий из 5(КП) в 5 (К") по формуле

Аи = Г~\Ай),й = Ги, и Е 5(КП),

Пусть F 1 будет оператором, таким что

(ЛЗ) = (27Г H/,yO,Vy>eS(R*)

где ф = Ftp G S(Rn). Если nn(.x) it (ж) в S(Rn), затем йп(0 в 5(МП),

затем Айп —>> Ай в iS(Mn)n F_1Aun —>> F_1A£i. Тогда псевдодифференциальный

/ _ 1 /

оператор Л непрерывно отображает S(Wl) в ¿>(МП). Пусть а = F~ A Е S(Wl).

Аи = а*иУи е S(Rn) (1.3)

Пусть Д)(£) является бесконечно дифференцируемой функцией. Предположим, что а > —п. Тогда функция А)(£) G ^ соответствует регулярному функционалу, который мы обозначаем как и псевдодифференциальный оператор с символом Д)(0 имеет вид

+оо

A°U = j2bf t MOme-tMdtyueS(Rn),u = Fu.

\П ^

-00

Если — n < a < 0, тогда

a0(x) = F-lA0(O e ОZ-ip-n

является регулярным оператором. Согласно (3)

+00

А0и = J а0(х - y)u(y)dy.

Например, дифференциальный оператор Ао является интегральным оператором со слабой сингулярностью. Для а > 0 функция А)(£) может быть представлена как

п к—1

Пусть Рк(£) и будут неоднородными многочленами степени т по где

а = ?тг + 7, и—1 < 7 < 0. Псевдодифференциальный оператор может быть

представлен как интегродифференциальный оператор

+00

А0(и) = рк(Вх) У ък(х - у)и(у)с!у =

;=1

+оо

П г.

= ]Г I Ък(х-у)Рк(Оу)и(у)с1уУи€ 5(КП),

где

Ък(х) = Р~1Вк(0,е ©"_«?-»•

Ло можно представить как псевдодифференциальный оператор различными способами.

Пример 1.1.1. Найдите представление в виде

+оо

А0и = I а0(х - у)и(у)(1у,

-00

для псевдодифференциального оператора Рп с символом £п/|£|2 ПРИ п > 3. Поскольку

1 • ^ 77-1 ^

то

£|2 дхп

О +00

г(п - 2)Г(^) [ (Хп - Уп)иШу Рпи--

47Г2 у — у\

п

+оо

) /' (^п - уп)и(у)(1у_

27Г2 7 |.т — у

п

П - 2Г /2\ = р (П

2 V 2 / ^

Пример 1.1.2. Пусть к > 0 — целое число. Тогда Д2/г(£) = ||и Д2А:п = —Аки, где А - оператор Лапласа. Если а > 0 нечетно, то существует четное число 2т > 0, такое что а = 2т + 7, где — 2 < 7 < 0. Из этого мы сразу

получаем

Ааи = Д2т+7и = (-Д)т27Г^ 2 ) Г иШУ

7г?Г(—./ — г/|п+7'

— 00

а = 2т + 7, —2 < 7 < 0.

Рассмотрим псевдодифференциальный оператор Ло'а, предполагая, что — 1 < 7 < 0. Обозначим

п к=1

Функционал ао не является регулярным для а > 0.

Если Ьк{х) € и Рк(Б)Ьк(х) е 0!°т_7_-/3_п, то ограничение обоб-

щенной функции ао является регулярным функционалом, соответствующим бесконечно дифференцируемой функции.

а0(х) = Рк(ОЫх) е

к=1

Имеем

П п.

А0и = Нт ^ / ^(ж - у) Рк (И у) и (у) ¿у. (1.4)

±>\Х-у\>£

с Рк(Иу) является однородным многочленом в Оу порядка т. тогда

Рк(Оу)и(у) = РкЩ,)

( \ Х^1 1 ^ФО / чр^ V М=о )

(1.5)

га! = Рг^'-'-Рп!- Подставляя (1.5) в (1.4), интегрируя га раз по частям, а затем переходя к пределу при е -Л 0, мы получаем

+ 00 777-1

А0и = / а0(.х - у)(и(у) - — (у - х)р)(1у.

-ОО Н=°

Этот интеграл сходится, потому что

С

\ао(х — у)\ < 77--—;——, —1 < 7 < О

1 ич ^ п — Чу _ у\ т+п+7' 1

, ^ 1 &и(х), \х-у\т, \х-у\<1,

\и(у) — } ——--(у — ху\ < <

^ р! ^ [ - г/Г"1, |х-у| > 1.

Пусть 6 имеет пулевой порядок однородности. Обозначим

= ^ •

п

Затем Е О^, А)(£) — X] £аА(0 и псевдодифференциальный оператор

к=1

Д) с символом Д)(£) можно представить как

+00

п

A0U = J ак(х ~ У)1

ди(у)

- дУк

" — ОО

dy,

Пусть = F 1Ak Е Псевдодифференциальный оператор Aq может

быть представлен как оператор сингулярного интеграла. Пусть

Ь{х) G G 5(КП).

Если существует

lim / Ь(ж - y)u(y)dy,

£->0 J

\х~у\>£

Мы скажем, что такой сингулярный интеграл сходится в смысле главного значения Коши; мы будем обозначать его:

+ 00

lim J b(x - y)u(y)dy = v.p. J b(x - y)u(y)dy,

\x—y\>£ -OO

Лемма 1.1.1. Пусть Ь{х) G Для существования сингулярного интеграла

+00

v.p. J b(x - y)u(y)dy

для любого u(x) G S(M.n) необходимо и достаточно, чтобы

[ b(u))dsw = 0 (1.6)

Sn- 1

Доказательство.

j Ь(х - y)u(y)dy = j b(x - y)(u(y) - u{x))dy+

\x—y\>£ £<\x—?/|<l

+ J b(x — y)u(x)dy + j b(x — y)u(y)dy. (1.7)

£<\x—y\<l \x—y\>l

Последний интеграл в (7) сходится, так как и(у) Е S(M.n).

I Ъ(х - у)(и(у) - u(x))dy

£<\х—у\<1

и справедлива оценка \и(у)—и(х)\ < с\х — у\. Чтобы вычислить второй интеграл из (1.7), мы переходим к сферическим координатам.

I I У ~х \Х - у\ Г, --г 0J.

IУ щ

мы получаем

1

j b(x — y)u(x)dy — и(х) J — J b(üj)ds(JJ = u(x)ln- J b(uj)dsu.

£<\x-y\<l £ S71-1 5n_1

Тогда

lim / b(x - y)u(y)dy £^0 J

\x—y\>£

существует для любого u(x) E S'(Rn) тогда и только тогда, когда выполнено вышеуказанное условие. В силу (1.7) и (1.6).

+оо

v.p. J b(x - y)u(y)dy =

= ! Ъ(х - у)(и(у) - и(х)№ + I Ъ(х - у)и(у^у

\х—у\<1 \х—у\>1

Теорема 1.1.1. Псевдодифференциальный оператор Ао с символом ^о(0 ^

)§° может быть представлен как оператор сингулярного интеграла.

+00

Aqu = cqu(x) + v.p. j ao(x — y)u(y)dy,

где

Г(|)

Со = т^г I АоМЛз,

Б

71— 1

а0(х) е [ ао(и)с18ш = О

Зп-1

Доказательство. Как интеграл

+00

п

А0и = ! ак(Х - у)1

ди(у)

" — эо

йу,

из этого следует, что

^ Г г) ( \

А0и = НшУ^г / ак(х-у)—~-йу. (1.8)

^=1 I

Интегрируем (1.8) по частям. Получаем

А0и = Нт( [ ТI——и(у)йу+ ./ Г^ га/с

I к= 1

п р

Г^ ж ~ 2/

^=1 I

\Х—у\>£

где - элемент площади сферы \х — у\ — е. Введем сферические координаты

I I У~х \х-у\=г, --7=а;.

\У ~ х\

Т г / ак{х - у—Щ-и{у)йз£ = / \Х — у\

к=1 |

(1.9)

п Ра Го;) п С

= / ' п_] о)ки(х + £и)Еп~[ (Ьи + ги{х) / а^о^о;^^, е 0. (1.10)

1 5п-1 /с—1 5П_1

Давайте определим

ао(ж) = ^^ г

, , дхк к= 1

или

п Я

а0(х) = F-'AoiO = ^—F~lAk(0

к= 1

не является регулярным. Однако его ограничение на Шп \ {0} является регулярным функционалом, соответствующим функции ао(х).

Предел суммы интегралов (1.8) существует. Так как второй интеграл в (1.11) имеет предел при

+оо

lim J ао(х — y)u(y)dy = v.p. j а0(х - y)u(y)dy,

\х—у\>£ -ОО

тогда из Леммы 1.1.1 следует, что f ao(cj)dsu; = 0. Таким образом,

Sn-1

+оо

А$(и) = Cou(x) + v.p. I а0(ж - y)u(y)dy,

Пусть

-00

II ,,

c0 = / ak(<jü)ukdsL

к— 1 gn-i

Мы покажем, что

n r Г(-) f

^г / ak{w)wkdsu = yy / A)(r])ds?

1=1 sn~l sn~l

г I ак{и)иказш = 2

к= 1

поскольку ак = Г~1Ак, затем

,_гдАк 1 ^ ( дф

г

к=1 к= 1

Пусть = е 2 . Переходя к сферическим координатам, получаем

п

г=1 s v ' k=l v s 7

= EF_1 я?1 = т^Е (

00

г j y^ykdk(y))dsy J тгп ldr =

k— 1 " e 2

77 °°

J^Yl / M^ds^) I e-^pn~ldp,

Cn-l о

так как £ Ak(rj)rjk Л)0/), то

к=1

п—2 .

\ 2^Г(-) [ Г(-) [

^Укак(у) \ йву = ^ |2 / Л)^)^ = /

5-П-1 \&=1 / б171-1 5П_1

Пример 1.1.3. Обозначим через У^, 1 < /с < п, псевдодифференциальный оператор с символом т]к = —г. Заметим, что

/ щйвг, = 0

"Л

Sn- 1

из-за нечетности щ. Поскольку

1 f <9 il

ICI Iii'

в соответствии с Теоремой 1.1.1

—оо

= -г—^-v.p. J

—00

Сингулярные интегральные операторы называются операторами Риса.

Пример 1.1.4. Пусть А будет псевдодифференциальным оператором с символом Поскольку

Псевдодифференциальный оператор А может быть представлен как

Л Wn +/° (хк - ук) ди(у) д

Дгх = \ YkDku = > —^г-^.р. / т-^ТТ^—(1У

frï S тг— |ж-у|п+1 öjfc

Оператор А называется интегро-дифференциальным оператором Зигмунда - Кальдерона. Для любого псевдодифференциального оператора с символом

А) (О Е О^, где т > 0 является целым числом, он может быть представлен

п

А0и = ^(¿к^Вьи, к=1

рассмотрим €}к(£>) - однородные дифференциальные операторы порядка т. В к

- сингулярные интегральные операторы.

Рассмотрим (¿к(В) - однородные дифференциальные операторы порядка

т. В к - сингулярные интегральные операторы Тогда функции А) (О могут быть

/

связаны с функционалом Ао Е если а + г/3 ^ —п, — п — 1,... или если /3 = О, а = —гг, —п — 1,....

Псевдодифференциальный оператор и = имеет вид

+оо

A0U = J а0(х - y)u(y)dy1 Уи Е S(Rn),

Пусть ао(.х) = когда а + гр> ф —п, —п — 1 или когда 5 = —гг, — п — 1,....

Пример 1.1.5. Найдите псевдодиффереициальпый оператор Р2 с символом для п = 2. Поскольку

ТО

+оо

Рои = — -Ц— / т^-—^u(u)du, п = 2.

2тr J \х — у\

-00

F-l ( 1 А = F-l (il- 1 -Ml - х2 _ 1 1

£1 + ^2/ V / 2тт |x|2 27гг x\ + 1x2' F-i = + _d_) 1 1 = 1 ж , 0

\ dxi 8x2 J 27гг x\ + ix% ir{x\ + г^)2'

F_i = + JM _L = 1 x ф 0

V l£l / V 9x2J 2i[\x\ 2ixi[x\ + ix2)\x\'

Пусть A(£) E и а < О. Псевдодифференциальный оператор А$ с

символом Aq(Ao = А (О когда — п < а < 0) является интегральным оператором. Обозначим через %(£) функцию класса Co°(Rn), равную 1 при |£| < 1.

Тогда функция

= (1 - х(0)М0 е ^

она бесконечно дифференцируема, и

а—к

О < \к\ < оо.

Пусть а\ = = Затем а^ — а\ = ^_1хАо. Поскольку

х(0 £ Со°(М77'), х^о конечно. а,2(х) — ^_1хАо - целая аналитическая функция. Тогда, для а < 0, а\(х) — ао(х) — ¿^(х) Е С°° для х Ф 0, и А\ является интегральным оператором с ядром а\(х — у). Обозначим

Для N > п/2, Ьн(х) = ^ является ограниченной функцией. По-

скольку

Последовательные интегральные операторы А\ и Ау отличаются интегральным оператором с бесконечно дифференцируемым ядром а,2(х — у). Умножение символа Д)(£) па (1 — х(0) приводит к тому, что ядро а\(х — у) псевдодифференциального оператора А\ убывает быстрее любой степени при \х — у\ —> оо.

1.3 Дискретные пространства Соболева - Слободецкого

Теория псевдодифференциальных операторов и соответствующих уравнений была разработана во второй половине прошлого века [41, 42, 45, 21]. Она включает теоремы об ограниченности в различных функциональных пространствах и специфический вариант символического исчисления. Однако для дискретной ситуации не существует единой версии такой теории, хотя имеется множество приближенных конструкций для решения более простых типов

вК(0 = д^о.^Ю! < См{ 1 +1£|)

ьм{х) = ^Д^ ^1(0 = (-1)*|я|2%(ж)

то

псевдодифференциальных уравнений, таких как сингулярные интегральные и подобные уравнения [92, 67, 52, 58, 41]. К тому же, существуют некоторые недавние исследования этих дискретных ситуаций с точки зрения алгебраического или символического исчисления на га-мерной решётке Zm [64, 41]. Нет фундаментальных трудностей в переносе этого подхода на другие дискретные области, которые не совпадают с Zm, такие как дискретное полупространство или дискретный конус.

В работе предлагается устранить этот пробел и начать изучение дискретных аналогов псевдодифференциальных операторов и уравнений. Предполагается, что такая дискретная теория поможет обосновать схемы приближенного решения этих уравнений. Ранее были получены некоторые начальные результаты для специальных дискретных псевдодифферепциальиых операторов и уравнений, а именно операторов Кальдерона - Зигмунда [74, 41]. Существует некоторое сравнение между дискретными и непрерывными ситуациями |14]. Есть некоторые начальные результаты для изучения.псевдодифференциальные уравнения и связанные краевые задачи для дискретных областей в га-мерном пространстве, которые отличаются от Zm [74]. Используя параметр к > 0, мы получим перевод существующей теории псевдодифференциальных операторов и краевых задач на многообразиях с границей, при /1 —)► 0, чтобы обосновать построение приближенных решений и получить оценки ошибок между непрерывными и дискретными решениями в соответствующих дискретных функциональных пространствах. Основная цель этой главы — описать дискретные операторы, дискретные пространства и доказать теорему о структуре общего решения модельного дискретного эллиптического псевдодифферепциалыюго уравнения в дискретном полупространстве.

Мы будем использовать следующие обозначения. Пусть Тт - га-мерный куб [—7г,7г]ш, где 1г > 0 и Н = /г-1. Все функции, определенные на этом кубе, мы рассматриваем как периодические функции в Мш с областью периодов. Если € 1гЕт, является функцией дискретной переменной, то мы называем ее

дискретной функцией. Для таких дискретных функций может быть определено дискретное преобразование Фурье.

(Г„и<1т = МО= Е е~^иа(х)кт, £6 ИГ,

хе1гХт

Последний ряд сходится, и функция является периодической функцией

на Мш с основным периодом куба НТт. Дискретное преобразование Фурье представляет собой взаимпо-однозпачпое соответствие между пространствами Ь2(Н%пг) и Ь2(ПТ") с нормами.

1/2

\Ы\2= ( ^ Ых)\2нЛ

\xehZ"1 )

I ыь =

( \

1/2

У М012«

\£е/ПГт у

Поскольку определение пространств Соболева-С л ободецкого включает частные производные, мы используем их дискретные аналоги, т.е. разделенные разности. Первая разделенная разность определяется формулой.

Дискретное преобразование Фурье выглядит следующим образом

Далее, для разделенной разности второго порядка, мы имеем

(А(к2)щ)(х) = к~2(иа{хи ,хк + 2/?,, • • • ,хт)-

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Каманда-Бонгэй Абу Бакарр, 2025 год

Список литературы

1. Афанасьева, Е. Б. О периодическом аналоге некоторого интегрального преобразования / Е. Б. Афанасьева, В. Б. Васильев, А. Б. Каманда-Бонгэй // Труды XXII Международной Саратовской зимней школы. - Саратов, 28-31 января 2024 г. - С. 27-28.

2. Васильев В.Б., Машипец A.A. О дискретной краевой задаче в четверти плоскости // Вестник российских университетов. Математика. 2023. Т. 28. № 142. С. 169-181.

3. Васильев, В. Б. Приближенные решения многомерных сингулярных интегральных уравнений и быстрые алгоритмы их нахождения / В. Б. Васильев, А. В. Васильев // Владикавказский математический журнал. - 2014. - Т. 10. Л'" 1. - С. 3-11.

4. Васильев, В. Б. О дискретных краевых задачах и их аппроксимационных свойствах / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова // Итоги науки и техники. Современная математика и ее приложения. - 2020. - Т. 174. - С. 12-19.

5. Васильев, В. Б. О некоторых дискретных краевых задачах / В. Б. Васильев, О. А. Тарасова // Материалы VII международной конференции (Математика, ее приложения и математическое образование), Улан-Уде, 7-12 сентября. - 2020. - С. 61-63.

6. Васильев В. Б. Потенциалы для эллиптических краевых задач в конусах // Сибирск. электрон, матем. изв. 2016. Т. 13. С. 1129-1149.

7. Васильев В. Б., Васильев А. В. Периодическая задача Римана и дискретные уравнения в свертках // Дифференциальные уравнения. - 2015. - Т. 51. -№ 5. - С. 642-649.

8. Васильев, В. Б. О сравнении решений дискретных и непрерывных краевых задач для эллиптических уравнений / В. Б. Васильев, А. Б. Каманда-Бонгэй // Международная конференция «Дифференциальные уравнения и их приложения». - Казань, 6-7 июня 2024 г. - С. 40-41.

9. Васильев В. Б. О разрешимости некоторых дискретных уравнений и связанных с ними оценках дискретных операторов / В. Б. Васильев, А. В. Васильев // Доклады АН. - 2015. - Т. 464. Л'° 6. С. 651-655.

10. Васильев В. Б. Операторы и уравнения: дискретное и непрерывное / В. Б. Васильев // Итоги науки и техники. Современные проблемы математики и ее приложения. - 2019. - Т. 160. - С. 164.

11. Владимиров В. С. Уравнения математической физики / В. И. Владимиров.

- Москва: Наука, 1983. - 654 с.

12. Васильев В. Б. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи. М., 2010.

13. Гавурин М. К. Лекции по методам вычислений / М. К. Гавурин. - Москва: Наука, 1971. - 248 с.

14. Гахов Ф. Д. Краевые задачи / Ф. Д. Гахов. - Москва: Физматгиз, 1963.

- 640 с.

15. Гахов Ф. Д. Уравнения типа свертки / Ф. Д. Гахов, Ю. И. Черский. -Москва: Наука, 1987. - 296 с.

16. Гохберг И. Ц. Введение в теорию одномерных сингулярных интегральных уравнений / И. Ц. Гохберг, Н. Я. Крупник. - Кишинев, Штиинца, 1973.

- 319 с.

17. Гохберг И. Ц. Уравнения в свертках и проекционные методы их решения / И. Ц. Гохберг, И. А. Фельдман. - Москва: Наука, 1971. - 352 с.

18. Даугавет И. К. Теория приближенных методов. Линейные уравнения / И. К. Даугавет. - Спб.: БХВ - Петербург, 2006. - 288 с.

19. Красносельский М. А. Приближенное решение операторных уравнений / М. А. Красносельский, Г. М. Вайникко, П. П. Забрейко, Я. Б. Рутицкий, В. Я. Стеценко. - Москва: Наука, 1969. - 346 с.

20. Лебедев В. И. Функциональный анализ и вычислительная математика / В. И. Лебедев. - Москва: Физматлит, 2005. - 264 с.

21. Лифанов И. К. Метод сингулярных интегральных уравнений и численный

эксперимент / И. К. Лифанов. - Москва: ТОО Янус, 1995. - 520 с.

22. Лифанов И. К. Пространства дробных отношений, дискретные операторы и их приложения. II / И. К. Лифанов, Л. Н. Полтавский // Матем. сборник. _ 1999. _ т. 190. - т. - С. 67-134.

23. Мусхелишвили, Н. И. Сингулярные интегральные уравнения / Н. И. Мусхе-лишвили. - Москва: Наука. 1968. - 600 с.

24. Партой В. 3. Методы математической теории упругости / В. 3. Партой, П. И. Перлин. - Москва: Наука, 1981. - 688 с.

25. Псевдодифференциальные операторы. Сборник статей. М., 1967. Мультипликаторы интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи. М., 2010.

26. Ректорис К. Вариационные методы в математической физике и технике / К. Ректорис - Москва: Мир, 1985. - 384 с.

27. Ремпель Ш. Теория индекса эллиптических краевых задач / Ш. Ремпель, Б. В. Шульце. - Москва: Мир, 1986. - 576 с.

28. Рябенький В. С. Метод разностных потенциалов и его приложения / В. С. Рябенький. - Москва: Физматлит, 2010. - 432 с.

29. Рябенький В. С. Методы внутренних граничных условий в теории разностных краевых задач / В. С. Рябенький // УМН. - 1971. - Т. 26. - №3. -С. 105-160.

30. Самарский А. А. Теория разностных схем / А. А. Самарский. - Москва: Наука, 1977. - 652 с.

31. Сетуха А. В. Численные методы в интегральных уравнениях и их приложения / А. В. Сетуха. - Москва: Аргамак-Медиа, 2014. - 256 с.

32. Симоненко И. Б. Локальный метод в теории инвариантных относительно сдвига операторов и их огибающих / И. Б. Симоненко. - Ростов-на-Дону: ЦВВР, 2007. - 120 с.

33. Соболев С. Л. Введение в теорию кубатурных формул / С. Л. Соболев. -Москва: Наука, 1974. - 808 с.

34. Солдатов А. П. Одномерные сингулярные операторы и краевые задачи теории функций / А. П. Солдатов. - Москва: Высшая школа, 1991. - 206 с.

35. Стренг Г. Теория метода конечных элементов / Г. Стренг, Дж. Фикс. -Москва: Мир, 1977. - 562 с.

36. Тарасова О. А. О дискретных приближениях для некоторых краевых задач/ О. А. Тарасова, Р. Е. Деркач // Материалы международной конференции (Современные проблемы анализа динамических систем. Теория и практика), Воронеж, 21-23 мая. - 2019. - С. 501-503.

37. Тарасова О. А. О дискретных решениях псевдодифференциальных уравнений / О. А. Тарасова, В. Б. Васильев // Международная конференция (Дифференциальные уравнения математическое моделирование и вычислительные алгоритмы), Белгород, 25-29 октября, 2021. - С. 50-51.

38. Тарасова О. А. О дискретных эллиптических псевдодифференциальных уравнениях / O.A. Тарасова / / Материалы II Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Актуальные проблемы математики и информатики), Махачкала, 5-7 февраля. - 2021. - С. 157-159.

39. Тарасова О. А. О дискретных эллиптических псевдодифференциальных уравнениях / О. А. Тарасова // Вестник Дагестанского государственного университета. - Серия естественные науки. - 2021. - Т. 36. ..Vo 3. С. 64-72.

40. Тарасова О. А. О некоторых свойствах дискретных краевых задач / О. А. Тарасова //Материалы V Всероссийской научно-практической конференции с международным участием (Современные проблемы физико-математических наук), Орел, 26 - 29 сентября. - 2019г. - С. 68-72.

41. Тарасова О. А. О приближенном решении некоторых краевых задач / О. А. Тарасова // Материалы международной научно-практической и научно-методической конференции, посвященной 40-летию университета Белгородского университета кооперации, экономики и права "Математика и механика: вопросы и тенденции развития Белгород, 2 апреля. -2019. - С. 62-66.

42. Тейлор М. Псевдодифференциальные операторы / М. Тейлор. - Москва: Мир, 1985. - 468 с.

43. Трев Ф. Введение в псевдодифференциальные операторы и интегральные операторы Фурье / Ф. Трев. - Москва: Мир, 1984. - 400 с.

44. Хермандер, Л. Анализ линейных дифференциальных операторов с частными производными / Л. Хермандер. - Т. 1-4. Москва: Мир, 1986. - 448 с.

45. Эскин Г. И. Краевые задачи для эллиптических псевдодифференциальных уравнений / Г. И. Эскин. -Москва: Наука, 1973. - 232 с.

46. Abubakarr kamanda Bongay, On Certain Two-Dimensional Discrete Equations / Abubakarr kamandaBongay / All Russian Scientific and practical conference "Modern Problems of Physical and Mathematical Sciences, Orel, November 29-30, 2024,- pp. 46-49

47. Afanas'eva E. B. Discrete Equation, Discrete Transformation, and Discrete Boundary Values Problem"/ E.B. Afanas'eva, V.B. Vasilyev, A. B. Kamanda Bongay// Diff. Equ., 2023 Vol. 59 No. 12 P. 1698-1707.

48. Vasilyev A. V., Vasilyev V. B. and Tarasova O. A. Frames of solutions and discrete analysis of pseudo-differential equations. Math. Meth. Appl. Sci. 47, No. 10, 8042-8061 (2024).

49. Davies, Integral Transforms and their Applications, Springer-Verlag, New York etc. (2001)

50. Botchway L. Difference equations and pseudo-differential equations on zn / L. Botchway, R. Kibiti, M. Ruzhansky, 2017. - arxiv:1705.07564vl [math.FA]. - P. 1-29.

51. Bottcher A. Analysis of Toeplitz operators / A. Battcher, B. Silbermann. -Berlin: Springer, 2006. - 665 p.

52. Didenko V. Approximation of additive convolution-like operators. Real C*-algebre approach / V. Didenko, B. Silbermann. - Basel: Birkhouser, 2008. - 318 p.

53. Edwards R. Fourier Series. A Modern Introduction / R. Edwards. - Heidelberg

: Springer-Verlag, 1982.

54. Gakhov F. D. Boundary Value Problems / F.D. Gakhov. - Mineola : Dover Publications, 1981.

55. Gohberg I., Krupnik N. One-Dimensional Linear Singular Integral Equations / I. Gohberg, N. Krupnik. - Basel : Birkhauser, 1992.

56. Hagen R. C*-algebras and numerical analysis / R. Hagen, S. Roch, B. Silbermann. - New York: Marcel Dekker, 2001. - 400 p.

57. Hsiao G. Boundary integral equations / G. Hsiao, W. L. Wendland. - Berlin: Heidelberg, 2008. - 154 p.

58. King W. Hilbert transforms / W. King - V. 1, 2. - Oxford: Oxford Univ. Press, 2011. - 896 p.

59. Milkhin S. G., Pröosdorf, S. Singular Integral Operators / S. G. Milkhin, S. Pröosdorf. - Berlin : Akademie-Verlag, 1986.

60. Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations / N.I. Muskhelishvili. -Amsterdam : North Holland, 1976.

61. KingF. W. Hilbert Transforms. Vol. 1,2, Cambridge Univ. Press, Cambridge (2009).

62. Lifanov I. K. Hypersingular Integral Equations and their Applicalions / I. K. Lifanov, L. N. Poltavskii, G. Vainikko. - Chapman & Hall/CRC, Boca Raton, 2004. - 432 p.

63. Lifanov I. К. Singular Integral Equations and Discrete Vorlices / I.K. Lifanov. - VSP, Utrecht, 1996. - 300 p.

64. Михлин С. Г. Сингулярные интегральные операторы / С. Г. Михлин, 3. Проесдорф — Берлин: Springer-Verlag, 1986. — 628 с.

65. Mashinets A. A., Vasilyev А. V., Vasilyev V. В. On discrete Neumann problem in a quadrant // Lobachevskii J. Math. 2023. V. 44. № 3. P. 1018-1028.

66. Prossdorf, S. Numerical analysis for integral and related operator equations / S. Prossdorf, В. Silbermann - Basel: Birkhoser, 1991. - 543 p.

67. Rabinovich V. Wiener algebra of operators on the lattice ßzn depending on the

small parameter ^ > 0 / V. Rabinovich // Complex Var. Ell. Equations. - 2013. 58(6). - P. 751-766.

68. Saranen J. Periodic Integra and Pseudodifferential Equations Numerical Approximation / J. Saranen, G. Vainikko. - Springer, Berlin, 2002. - 324 p.

69. Tarasova O. A. On some estimates for discrete boundary value problems / O. A. Tarasova //Proceedings of the 2nd International Conference on Mathematical Modeling in Applied Sciences (ICMMAS), Belgorod, 20-24 August. - 2019. -P. 135-136.

70. Vainikko G. Multidimensional Weakly Singular Integral Equations / G. Vainikko // Springer-Verlag, Berlin, Heidelberg. - 1993. - P. 142.

71. Vasilyev A. V. Discrete equations and periodic wave factorization / V. B. Vasilyev Proceedings of the Inlernational Conference on Analysis and Applied Mathematics (ICAAM-2016). - 2016. - V. 1759. - P. 020126.

72. Vasilyev A. V. Difference and discrete equations on a half-axis and the Wiener-Hopf method. / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2016. - Vol. 6, №1. - P. 79-86.

73. Vasilyev A. V. Discrete singular integrals in a half-space / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Current Trends in Analysis and Its Applications (ISAAC), Krakow, Poland. - 2015. - P. 663-670.

74. Vasilyev A. V. Discrete singular operators and equations in a half-space / A. V. Vasilyev, V.B. Vasilyev // Azerbaijan Journal of Mathematics. - 2013. - Vol. 3, ..V" 1. - P. 84-93.

75. Vasilyev A. V. On finite discrete operators and equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Proc. Appl. Math. Mech. - 2016. - V.16. ..VI. - P. 771-772.

76. Vasilyev A. V. On same discrete boundary value problems in canonical domains / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev, // Springer Proceedings in Mathematics & Statistics. International Conference on Differential & Difference Equations and Applications (ICDDEA 2017), Amadora, Portugal, 5-9 June 2015. - 2018. -Vol. 230. - P. 569-579.

77. Vasilyev A. V. On solvability of some difference-discrete equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Opusc. Math. - 2016. - V. 36. 4. - P. 525-539.

78. Vasilyev A. V. Pseudo-differential operators and equations in a discrete halfspace / A. V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Math. Model. Anal. - 2018. - V.23. -№ 3. - P. 492-506.

79. Vasilyev A. V. Two-scale estimates for special finite discrete operators / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Math. Model. Anal. - 2017. - V. 22. - №3. - P. 300-310.

80. Vasilyev A.V. Numerical analysis for some singular integral equations / A.V. Vasilyev, V. B. Vasilyev // Neural, Parallel and Scientific Computations. - 2012. - V. 20. - №. 3-4. - P. 313-326.

81. Vasilyev A. Discrete Equation and the Reduction Method./ A. Vasilyev, V. B. Vasilyev, A. B. Kamanda Boongay// Lob. J. Math., - 2024 - Vol. 45 Xo. 9 P. 4611-4617.

82. VasilyevA. V. On Infinite Matrices /, V.B. Vasilyev, Abubakarr Kamanda Bongay // arXiv 2024 [math.FA] 2403.06445vl

83. Vasilyev V. On Discrete Equations in a Multidimensional Space/ V. Vasilyev,A. B. Kamanda Bongay //Proceedings of the 8th International school-seminar on Nonlinear Analysis and Extremal Problems, (XLA 2024) Irkutsk, 24-28 June 2024. - P. 37-38.

84. Васильев В. Б. Дискретные операторы и дискретные эллиптические краевые задачи / В. Б. Васильев, Абубакар Каманда Бонгай // Материалы Воронежской весенней математической школы «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-XXIV». - Воронеж, 2024. - С. 47-48.

85. Афанасьева Е. Б. О дискретной краевой задаче с нелокальным условием / Афанасьева, Е. Б., Васильев, В. Б., Каманда Бонгай А. Б. // Дифференциальные уравнения и математическое моделирование: Межвузовский сборник научных трудов, Выпуск 6. - Рязань, 2024. - С. 21-22.

86. Васильев, В. Б. О численном решении одной краевой задачи / В. Б. Васи-

льев, Абубакар Каманда Бонгай // Математическая школа «Современные методы теории функций и смежные проблемы». - Воронеж, 2024. - С. 79-81.

87. Vasilyev V. В. Approximation properties for discrete boundary value problems for elliptic pseudo-differential equations / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // Proceedings of the International Conference Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH), Switzerland. - 2021. - P. 1089-1097.

88. Vasilyev V. B. Digital Approximations for Pseudo-Differential Equations and Error Estimates / V. B. Vasilyev // Numerical Methods and Applications (NMA 2018). - 2019. - V. 11189. - P. 483-490.

89. Vasilyev V. B. Digital Operators, Discrete Equations and Error Estimates / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Numerical Mathematics and Advanced Applications (ENUMATH 2017). - 2019. - V. 126. - P. 983-991.

90. Vasilyev V. B. Discrete boundary value problems as approximate constructions / V. B. Vasilyev, A.V. Vasilyev, O.A. Tarasova // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2022. - Vol. 43, № 6. - P. 1446-1457.

91. Vasilyev V. B. Discrete pseudo-differential operators and boundary value problems in a half-space and a cone / V. B. Vasilyev // Lobachevskii J. Math. - 2018. - V.39. 2. - P. 289-296.

92. Vasilyev V. B. Discreteness, periodicity, holomorphy, and factorization. / V. B. Vasilyev // Integral Methods in Science and Engineering. - 2017. - V.l. - P. 315-324.

93. Vasilyev V. B. On a digital approximation for pseudo-differential operators / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev // Proc. Appl. Math. Mech. - 2017. - V. 17. -P. 763-764.

94. Vasilyev V. B. On a Digital Version of Pseudo-Differential Operators and Its Applications / V. B. Vasilyev // Finite Difference Methods. Theory and Applications (FDM 2018). - 2019. - V. 11386. - P. 596-603.

95. Vasilyev V. B. On certain digital operators in the theory of boundary value problems / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev, O. A. Tarasova // Proceedings

of the 9th International Eurasian Conference on Mathematical Sciences and Applications (IECMSA-2020), Skopje North Macedonia, 25-28 August. - 2020. _ p. 40-41.

96. Vasilyev V. B. On digital approximations for elliptic boundary value problems / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // AIP Conference Proceedings. - 2020. - № 2293. - P. 090008.

97. Vasilyev V. B. On discrete boundary value problems / V. B. Vasilyev / / AIP Conf. Proc. - 2017. - 1880. - P. 050010.

98. Vasilyev V. B. To the theory of discrete boundary value Problems / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // Multidisciplinary Open Access journal (40pen). -2019. - Vol. 2. - Art. 17. - P. 1-7.

99. Vasilyev V. B. On some discrete boundary value problems for elliptic equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev, O. A. Tarasova // 90th Annual Meeting of the International Association of Applied Mathematics and Me-chanics "GAMM February 18-22, 2019, Vienna, Austria : book of abstracts eds.: J. Eberhardsteiner, M. Schoberl. - Weinheim, 2019. - P. 489-490.

100. Vasilyev V. B. On some distributions associated to boundary value problems // Complex Var. Elliptic Equ. 2019. V. 64. № 5. P. 888-898.

101. Vasilyev V. B. On some discrete elliptic boundary value problems / V. B. Vasilyev, O. A. Tarasova // Equadiff - 2019 : international meeting devoted to the field of differential equations in the broadest sense, Leiden, the Netherlands, 8-12 July 2019 : book of abstracts Leiden University. - Leiden, 2019. - P. 112.

102. Vasilyev V. On Discrete Solutions for Elliptic Pseudo-Differential Equations / V. B. Vasilyev, A. V. Vasilyev, O. A. Tarasova // Вестник Карагандинского университета. Серия Математика.- 2021. - №3(103).- С. 117-123.

103. Vasilyev V. Pseudo-differential equations and conical potentials: 2-dimensional case // Opuscula Math. 2019. V. 39. № 1. P. 109-124.

104. Vasilyev V. B. Elliptic equations and boundary value problems in non-smooth domains/ V. B. Vasilyev // Operator Theory: Advances and Applications. -

2011. - V. 213. - P. 105-121.

105. Eskin G. Boundary Value Problems for Elliptic Pseudodierential Equations / G. Eskin. - Providence, RI : AMS, 1981.

106. Gohberg I. C., Feldman, I. A. Convolution Equations and Projection Methods for their Solution / I. C. Gohberg, I. A. Feldman. - Providence, RI : AMS, 2005.

107. Tarasova O., Vasilyev V. Approximation properties of discrete boundary value problems for elliptic pseudo-dierential equations / O. Tarasova, V. Vasilyev // Numerical Mathematics and Advanced Applications. ENUMATH 2019. Proceedings of the European conference, Egmond aan Zee, The Netherlands, September 30 - October 4, 2019. - Cham : Springer, 2021. - P. 1089-1097. -(Lect. Notes Comput. Sci. Eng. ; 139).

108. Vasilyev V. On discrete pseudo-differential operators and equations / V. Vasilyev // Filomat. - 2018. - Vol. 32, No. 3. - P. 975-984.

109. Kozak, A. V. A local principle in the theory of projection methods / A. V. Kozak // Sov. Math. Dokl. - 1973. - Vol. 14. - P. 1580-1583.

110. Kozak A. V., Simonenko I. B. Projection methods for the solution of multidimensional discrete equations in convolutions // Sib. Math. J. — 1980. — Vol. 21, No. 2. - P. 235-242.

111. Vasilyev V., Vasilyev A., Mashinets A. Digital operators and discrete equations as computational tools // Computational and Mathematical Models in Biology. — Cham : Springer, 2023. — P. 35-57. — (Nonlinear Systems and Complexity ; 38).

112. Vasilyev A. V., Vasilyev V. B., Tarasova O. A. Discrete boundary value problems as approximate constructions // Lobachevskii J. Math. — 2022. — Vol. 43, No. 6. - P. 1446-1457.