Модельные псевдодифференциальные уравнения в многомерных областях с разрезом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Гебресласи Хадиш Фессехатсион

• Гебресласи Хадиш Фессехатсион
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Гебресласи Хадиш Фессехатсион

Введение

Глава 1 Предварительные сведения

1.1 Историческая справка о псевдодифференциальных уравнениях

1.2 Функциональный анализ, пространство Соболева-Слободецкого

1.3 Волновая факторизация

1.4 Дополнительно о псевдодифференциальных уравнениях и условиях их

разрешимости

Глава 2 О задаче Дирихле в специальной области

2.1 Введение ко второй главе

2.2 О задаче Дирихле в плоской области с разрезом

2.2.1 Структура решения и условие Дирихле

2.2.2 Переход к пределу и интегральное уравнение

2.2.3 Задача Дирихле в области с разрезом

2.3 О задаче Дирихле в многомерной области с разрезом

2.3.1 Однородное уравнение

2.3.1.1 Предел а ^ ж

2.3.1.2 Граничное условие Дирихле

2.3.2 Неоднородное уравнение

2.3.2.1 Предел а ^ ж

2.3.2.2 Условие Дирихле на разрезе

Глава 3 Модельные псевдодифференциальные уравнения в пространстве

с разрезом

3.1 Трехмерное пространство

3.1.1 Введение и постановка задачи

3.1.2 Предварительная информация: уравнение, символ, факторизация

3.1.3 Определение уникального решения с интегральными условиями

3.1.4 Переход к пределу и условия разрешимости

3.2 Четырёхмерное пространство

3.2.1 Постановка задачи

3.2.2 Общее решение

3.2.3 Предел перехода и условие разрешимости

3.2.3.1 Трехмерный разрез

3.2.3.2 Двумерный разрез

Глава 4 Об эллиптических псевдодифференциальных уравнениях

с интегральным условием в специальном многомерном конусе

4.1 Введение к четвертой главе

4.2 Предварительные сведения

4.3 Форма общего решения

4.4 Низкоразмерные конусы

4.4.1 а — ж, b — ж, и d = const

4.4.2 а — 0, b —у ж, и d = const

4.4.3 а — ж, b — 0, и d = const

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Модельные псевдодифференциальные уравнения в многомерных областях с разрезом»

Введение

Актуальность темы исследования. Псевдодифференциальные уравнения обобщают классические дифференциальные уравнения, включая нелокальные операторы. Их важность в современной аналитике и математической физике проявляется, например, при изучении краевых задач и дифференциальных уравнений в частных производных. Эти уравнения необходимы для моделирования различных ситуаций в инженерии, физике и прикладной математике, поскольку они эффективно учитывают нерегулярности и сингулярности в решениях. Изучение разрешимости псевдодифференциальных уравнений важно для определения существования решений при определённых условиях. Настоящее исследование подчёркивает однозначную разрешимость, гарантируя существование единственного решения для заданных граничных условий. Этот аспект крайне важен при применении данных уравнений к реальным задачам, где множество решений может привести к неоднозначности или нестабильности. Недавние разработки установили достаточные условия для однозначного решения определённых задач, в частности эллиптических псевдодифференциальных уравнений в пространствах Собо-лева-Слободецкого. Эти пространства допускают различные уровни гладкости по разным переменным, что делает их идеальными для изучения сложных краевых задач.

Разрешимость зависит от различных факторов, а именно,

- Гладкость коэффициентов имеет решающее значение; если коэффициенты достаточно гладкие, существование решений часто может быть гарантировано.

- Характер граничных условий, таких как условия Дирихле, Неймана, интегральные или смешанные условия, влияет на разрешимость. В некоторых случаях определенные граничные условия приводят к корректно поставленным задачам.

- Геометрические и топологические свойства области, в которой определено уравнение, также могут влиять на разрешимость. Области с углами или ребрами могут создавать дополнительные трудности.

Предельное поведение решений псевдодифференциальных уравнений является другой важной темой, особенно при рассмотрении областей с каноническими разрезами, такими как полупространства или конусы. Понимание того, как решения ведут себя при различных пределах, например, приближаясь к границам или особым точкам, может дать представление о стабильности и физической значимости изучаемых моделей.

Канонические разрывы — это типы разрывов, возникающие в области исследования определенных уравнений, например, на границе раздела различных материалов или при внезапных изменениях граничных условий. Эти разрывы создают уникальные проблемы как для анализа, так и для численного приближения решений псевдодифференциальных уравнений.

В областях с каноническими разрывами решения должны удовлетворять определённым условиям на границах между различными состояниями или областями. Это часто требует согласования условий как для решения, так и для его производных на границах разрыва. Разрывы могут приводить к потере гладкости решений; поэтому необходимо понимание поведения решений вблизи этих точек. Изучение поведения решений псевдодифференциальных уравнений вблизи канонических разрывов представляет собой значительную область исследований.

Основные аспекты изучения этой области включают, анализ поведения решений вблизи разрывов необходим для таких приложений, как задачи распространения волн. Изучение влияния малых возмущений на решения вблизи разрывов помогает определить свойства устойчивости, что важно для практических приложений. Определение поведения вблизи разрывов необходимо для вычислительных формулировок, включающих псевдодифференциальные уравнения.

Исследования показали, что при определённых условиях можно вывести асимптотические разложения для решений вблизи этих точек, что даёт представление об их предельном поведении.

Изучение псевдодифференциальных уравнений важно не только в теоретической математике, но и в различных других областях:

- Инженерия: Они используются в структурном анализе и материаловедении для моделирования зависимостей напряжение-деформация.

- Физика: Они описывают волновые функции в квантовой механике через псевдодифференциальные операторы.

- Финансовая математика: Они применяются в моделях оценки опционов с использованием стохастических процессов. Создавая надежные структуры для понимания разрешимости и предельного поведения, исследователи могут разрабатывать более точные модели, отражающие реальные явления.

В заключение, изучение псевдодифференциальных уравнений, особенно их разрешимости и предельного поведения в областях с каноническими разрывами, является фундаментальным в современной математической анализе и прикладной математике. Оно охватывает богатое взаимодействие между теорией и приложением, предлагая инструменты для решения сложных задач в различных научных областях. Изучение псевдодифференциальных уравнений важно из-за их широкой применимости и способности решать сложные краевые задачи с уникальными критериями разрешимости и анализа предельного поведения в канонических областях. Это исследование не только расширяет теоретические знания, но и значительно способствует практическому применению в различных областях. Изучение псевдодифференциальных уравнений, особенно их разрешимости и предельного поведения в областях с каноническими разрывами, является основополагающим в современной математической анализе и прикладной математике. Оно охватывает богатое взаимодействие между теорией и практикой, предлагая инструменты для решения сложных задач, возникающих в различных научных сферах.

Степень разработанности темы: Вторая половина прошлого века в математике была отмечена формированием и быстрым развитием теории псевдодифференциальных операторов. Это привело к взаимозависимости идей и результатов из теории многомерных сингулярных интегралов, частных дифференциальных операторов, теории обобщенных функций, алгебраической топологии, симплектиче-ской геометрии и физики теории калибровочных полей. Хотя сложно всесторонне

описать различные аспекты этого явления, мы сосредоточимся на двух фундаментальных концепциях теории псевдодифференциальных операторов. Первый - это символ псевдодифференциального оператора. Уже упоминалось, что эта новая математическая теория возникла из теории многомерных сингулярных интегралов и уравнений, содержащих такие интегралы, первоначально в работах Ж. Жиро и С. Г. Михлина. Позже было обнаружено, что символ, который они использовали, можно получить с помощью преобразования Фурье ядра в некотором обобщенном смысле (А. Кальдерон, А. Зигмунд, Б. Мальгранж), что позволило математикам определять оператор непосредственно по символу А(х, £) (Дж. Кон, Л. Ниренберг, Л. Хёрмандер, А. С. Дынин).

Так появились псевдодифференциальные операторы и целая серия исследований, посвященных им, связанных с непрерывностью, обратимостью таких операторов, а также изучением разрешимости псевдодифференциальных уравнений. Когда дело касалось псевдодифференциальных уравнений на гладких компактных многообразиях без границы, не требовалось новых математических понятий и объектов для описания условий разрешимости таких уравнений. Но когда многообразие приобретает край, даже если он гладкий, вся идиллия мгновенно исчезает. Эллиптическое свойство символа больше не достаточно для нормальной разрешимости псевдодифференциального уравнения, и требуются дополнительные граничные условия. Чтобы понять механизм их появления, в работах М. И. Вишика и Г. И. Эскина появился второй ключевой концепт: факторизация эллиптического символа по одной из переменных при фиксированных остальных. Псевдодифференциальные операторы и их свойства исследовались, основываясь на выводах теории М. И. Вишика, Г. И. Эскина, можно сравнить их результаты с результатами В. Б. Васильева. Из-за локального принципа В. Б. Васильев ограничил свое изучение символами, которые не зависят от пространственной переменной х.

Псевдодифференциальное уравнение в конусе имеет вид

РАи+ = /

где и+ е Н8(Ст), то есть и+ е Н3(Ш) и и+(х) = 0,х </ Ст, Ст - эллиптическое т-мерное пространство в Кт, Р - оператор сужения на выпуклый конус Ст, А - псевдодифференциальный оператор с символом ), удовлетворяющим неравенству

Сх(1 + 1Г <№)1< С2(1 + К Г

Класс таких символов будет обозначен как Са.

В данной диссертации основной целью является изучение разрешимости и единственности эллиптических краевых задач в многомерных пространствах с многосторонними каноническими разрезами. Кроме того, исследуется предельное поведение решений этих задач при стремлении некоторых углов разреза к нулю.

Наконец, последняя часть литературы, упомянутой в списке, содержит работы, которые имеют некоторые идеологические сходства (иногда очень отдаленные) с определенными положениями данной диссертации. Эти работы обозначены следующими ссылками [10,19,28,30,39,40,47,49,52,58,59,62,63,66,71-79].

Цель работы. Исследовать разрешимость краевой задачи для модельного эллиптического псевдодифференциального уравнения в многомерном пространстве вне конуса с различными ребрами.

Для достижения поставленной цели были решены следующие задачи:

1. Рассмотрены эллиптические краевые задачи в пространстве \ С +, где

т—1

С+ = {х = (Х1,Х2, ...,хт) е : хт > 1хк 1,ак > 0,Ук = 1, ...,т — 1}

к=1

для специального псевдодифференциального оператора ), который допускает волновую факторизацию относительно С^ с индексом ш таким, что ш — й = 1 + 5,

Н < 1;

2. Изучена разрешимость для эллиптических краевых задач в многомерном пространстве, где конус с различными ребрами вырождается в многомерное пространство с разрезом, доказана единственность решения в этом случае;

3. Исследована возможность такого предельного перехода, когда некоторый угол конуса вырождается до нуля для решения задачи Дирихле и интегральных краевых задач для эллиптического псевдодифференциального уравнения в многомерной кромке разреза;

4. Показано как ведет себя решение при приближении некоторых параметров конуса к предельным значениям, что в конечном итоге определяет единственность разрешимости краевых задач

Научная новизна. Все результаты, полученные в диссертации, являются новыми. Разработана строгая теория разрешимости псевдодифференциальных уравнений в областях с коническими разрезами меньшей размерности. Исследовано предельное поведение решений этих уравнений с различными граничными условиями в нескольких многомерных ситуациях.

Теоретическая значимость работы. Результаты могут быть использованы для дальнейших исследований и разработки более общей теории дифференциальных уравнений, в частности эллиптических псевдодифференциальных уравнений с различными граничными условиями на многомерных областях со сложными особенностями. Это позволит связать теоретические достижения с практическими реализациями.

Практическая значимость работы. Рассмотренные задачи моделируют геометрические особенности реальных объектов - углов, изломов, вершин, трещин. В данных точках физические поля ведут себя «плохо», и стандартные методы не работают. Результаты данной диссертационной работы могут быть внедрены в образовательный процесс кафедры прикладной математики и компьютерного моделирования института инженерных и цифровых технологий НИУ «БелГУ».

Методология исследования. В диссертационной работе методологическую основу исследования составляют функциональный анализ, теория операторов и

теория распределений, геометрические и топологические подходы, теория краевых задач.

Методы исследования. Основным методом исследования является метод волновой факторизации символа оператора, позволяющий построить теорию разрешимости краевых задач в зависимости от его индекса. В работе также использован аппарат гармонического анализа, преобразования Фурье и теории интегральных уравнений.

Положения, выносимые на защиту:

1. Доказана разрешимости задачи Дирихле в двумерной области с разрезом в пространстве Соболева-Слободецкого.

2. Доказана разрешимость задачи Дирихле в многомерном пространстве, когда угол раствора многомерного клина стремится к нулю.

3. Получены условия однозначной разрешимости эллиптической краевой задачи в многомерном пространстве вне многогранного конуса.

4. Исследовано поведение решения модельного эллиптического псевдодифференциального уравнения во внешности многогранного конуса с интегральными краевыми условиями при стремлении некоторых углов к предельным значениям.

Степень достоверности полученных результатов основана на строго доказанных математических принципах, которые многократно использовались и применялись в других математических исследованиях.

Апробация результатов работы и публикации.

Материалы диссертации были представлены на следующих конференциях и семинарах:

1. IX Всероссийская научно-практическая конференция "Современные проблемы физико-математических наук"(СПФМН-2023) Орловский государственный университет имени И. С. Тургенева, Орел, Россия, 24-25 ноября 2023 года;

2. Международная Воронежская весенняя математическая школа "Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения-ХХХУ Воронеж, Россия, 26-30 апреля 2024 года;

3. Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их при-ложения"посвященная 90-летию Заслуженного профессора Казанского университета Валентина Ивановича Жегалова, Казань, Россия, 6-7 июня 2024 года;

4. VIII International School-seminar "Nonlinear Analysis and Extreme Problems" (NLA-2024) IDSTU SB RAS, Irkutsk, Russia, June 24-28, 2024;

5. Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам 2024 Владимирская область, Суздаль, Россия, 28 июня - 4 июля 2024 года;

6. Международная научная конференция "Уфимская осенняя математическая школа"Уфимский университет науки и технологий, Уфа, Россия, 2-5 октября 2024 года;

7. Международная конференция "XIV Белорусская математическая конфе-ренция"Минск, Беларусь, 28 октября - 1 ноября 2024 года;

8. International Conference "Applied Mathematics, Computational Science and Mechanics: Current Problems"Voronezh, Russia, December 2-4, 2024.

9. Республиканская научная конференция «Современные методы математической физики и их приложения», приуроченная к 80-летию академика Ш. А. Алимова, Ташкент, Узбекистан, 22-24 апреля 2025 года.

10. Республиканской научной конференции на тему Современные проблемы дифференциальных уравнений и смежных разделов математики, Фергана, Узбекистан, 16-17 май, 2025 года.

11. X Всероссийской научно-техническая конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве», Орел, Россия, 5-6 июня 2025 года;

12. XVII Международная Казанская школа-конференция «Теория функций, ее приложения и смежные вопросы», Казань, Россия, 23-28 августа 2025 года.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации отражены в [1-3,5, 23-27,29,54-57,70]. Все статьи были опубликованы в журналах из перечня ВАК, а две работы [54,70] были опубликованы в международных журналах, индексиру-

емых Scopus.

Личный вклад соискателя. Все результаты диссертации получены автором. В совместных работах с научным руководителем, профессором В. Б. Васильевым постановка задачи и выбор методологии исследования принадлежат В. Б. Васильеву. Тогда как соискателю Гебресласи Х. Ф. принадлежат проведение исследования и получение конкретных результатов, их обоснование и доказательство с использованием выбранных методологий.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав, заключения и списка литературы. Общий объем диссертации (включая рисунки и список литературы) составляет 118 страниц. Диссертация содержит 1 рисунок и список литературы - 92 наименования.

Автор выражает глубокую благодарность научному руководителю, доктору физико-математических наук, профессору В. Б. Васильеву за постановку задач и оказание помощи на всех этапах диссертации, а также за его неоценимые советы и поддержку работе.

Глава 1 Предварительные сведения

1.1 Историческая справка о псевдодифференциальных уравнениях

Теория псевдодифференциальных уравнений относительно недавняя, появившись в середине 1960-х годов, когда впервые был введен термин "псевдодифференциальный оператор".

Ранние исследования были сосредоточены на модификации уравнений, которые не вписывались в полную теорию Рисса-Шаудера, главным образом из-за разрывности их операторов. Для решения этой проблемы использовался специально выбранный оператор, известный как регуляризатор, который позволял преобразовывать эти уравнения в уравнения Фредгольма.Этот процесс, известный как регуляризация, приобрел значимость в изучении многомерных сингулярных интегральных уравнений. Более того, последующие исследования подтвердили (как указано в источниках [11,62]), что "наличие регуляризатора является как необходимым, так и достаточным для обеспечения нётеровского свойства исходного оператора что связано с конечной размерностью его ядра и коядра. Было установлено, что для получения исходного регуляризатора необходимо связать его с определенной символьной функцией оператора согласно заданному правилу. Если символ остается присутствующим, следует применить обратную символьную функцию для построения оператора, так как существует взаимно однозначное соответствие между операторами (с точностью до полностью непрерывных членов) и символами. Эта концепция была впервые исследована С.Г. Михлиным в его ранних исследованиях. Эти выводы были дополнительно развиты Р.Т. Сили и адаптированы для Ь^-пространств на гладких многообразиях. После этого стало очевидно, что более широкий класс операторов может быть проанализирован таким образом. Это привело к созданию теории псевдодифференциальных операторов на гладких компактных многообразиях без границ, а также теоремы Атьи-Сингера о индексе эллиптических псевдодифференциальных операторов, которая охватывала множество конкретных случаев, ранее изученных А.С. Дыниным и другими, включая

вклады Аграновича [36], С.Г. Михлина [62], Р.Т. Сили [64], А.А. Дезина [43] и других.

В 1968 году И. Б. Симоненко [65] представил локальный принцип, направленный на изучение свойства Нётеровости операторов локального типа, проводя аналогии с техникой замораживания коэффициентов, известной специалистам в области уравнений с частными производными. Через этот принцип он предложил новый взгляд на теорию многомерных сингулярных интегральных уравнений, определенных на гладких компактных многообразиях без границ, а также рассмотрел случаи, связанные с компактными многообразиями и гладкими границами. В этих последних сценариях локальный принцип упрощает исследование свойств Нё-тера для многомерных сингулярных интегральных уравнений, сосредотачиваясь на обратимости двух различных типов операторов. Первая категория операторов аналогична тем, что встречаются в компактных многообразиях без границ, тогда как вторая категория состоит из одномерного сингулярного интегрального оператора с параметром, который инвертируется в рамках задачи Римана о граничных значениях. Этот подход оказался полезным в изучении псевдодифференциальных уравнений на компактных многообразиях с гладкими границами, область, которая значительно развивалась благодаря вкладу М. И. Вишика и Г. И. Эскина [91].Они ввели идею факторизации эллиптического символа, и на основе индекса этой факторизации были исследованы различные краевые задачи. Условия Шапиро-Лопатинского возникли как естественное следствие необходимости уникальных решений соответствующих операторных уравнений. Исследование теории индекса для краевых задач было инициировано М. Ф. Атья и Р. Ботт [37], и было дополнительно развито такими исследователями, как Л. Буте де Монвель [38],Ш. Ремпель [20], Б. В. Шульце [66], и Б. В. Федосов [8,9,48].

Начиная с 1970-х годов, локальный принцип был интерпретирован алгебраически благодаря вкладу И. Ц. Гохберга и Н. Я. Крупника [53]. Математики всё чаще отдают предпочтение построению и анализу алгебр, связанных с многомерными сингулярными интегральными (псевдодифференциальными) операторами и опе-

раторами Винера-Хопфа. С алгебраической точки зрения значительные работы были выполнены А. С. Дыниным [6,7], Н. Л. Василевским [31-34], Р. В. Дудуча-ва [44,45] и Х.О. Кордес [41,42]. Кордес в основном сосредоточился на описании и изучении алгебр определенных типов операторов. Кроме того, эти авторы исследовали более общие подходы, которые носят поле-алгебраический характер, используя методы из теории операторных уравнений и К-теории [4, 17]. Были рассмотрены две ранее упомянутые проблемы, связанные с регуляризацией многомерных сингулярных интегральных уравнений. Третья проблема возникает при рассмотрении границы многомерной области, которая является кусочно-гладкой и характеризуется такими особенностями, как конические точки и ребра различных размеров. Многочисленные исследования В. А. Кондратьева [10, 11], В. Г. Мазьи и Б. А. Пламеневского [14], А. И. Комеча [12], Б.В. Шульце [67,68] изучали краевые задачи для дифференциальных и псевдодифференциальных уравнений в этой области.

В последующие годы были разработаны новые методологии для изучения этих вопросов, как указано в работах [13,17,66]. И. Б. Симоненко исследовал уравнения свертки в конусе с использованием суммируемого ядра в [22], применяя локальный принцип. Однако этот подход оказался довольно специализированным, что побудило Б. А. Пламеневского [18] использовать альтернативные концепции для анализа более общих форм сверток. Кроме того, Р.В. Дудучава [46] исследовал алгебры операторов, включающие сингулярные свертки в конусе. Также примечательно, что операторы Винера-Хопфа в конусе, особенно в квадранте, часто встречаются в различных контекстах (см. [7,21]).

Теория многомерных сингулярных интегральных и псевдодифференциальных уравнений заслуживает упоминания, так как она тесно связана с темой данной работы, даже не имея прямого отношения. В последнее время методы теории потенциала, которые исторически были эффективны в решении классических задач математической физики, вновь вызвали интерес благодаря теореме Кальдерона-Дэвида [39]. Многочисленные исследования сосредоточены на применении многомерных син-

гулярных интегральных (или псевдодифференциальных) уравнений к различным прикладным задачам [32,44,45], а также на разработке приближенных методов для решения этих сингулярных интегральных уравнений, хотя литература по этой теме обширна.

1.2 Функциональный анализ, пространство Соболева-Слободецкого

Пусть й будет произвольным действительным числом. Пространство С. Л. Со-болева-Л.Н. Слободецкого Нв(М) по определению состоит из обобщенных функций, и преобразование Фурье и, которое является локально интегрируемой функцией в смысле Лебега, обозначается как й(£), такое что норма

н|в = (7 №(1 + 2 < ю.

\,/Мт /

Гильбертово пространство Нв относительно скалярного произведения определяется как

(и,у)а = / + |£|)2я#

Jмm

и что Н°(Шт) = Ь2(Мт).

Пусть ) — локально суммируемая функция, удовлетворяющая оценке

И(С )(1 + к |П< С

для некоторой константы с. Этот класс функций обозначается как . Псевдодифференциальный оператор А — это оператор, определяемый на функциях класса Шварца 5(Мт) по формуле

(Аи)(х) = -]—[ и(£)А(х,£ (2Ж) Jмm

Функция А(^) называется символом оператора А. Если А(^) является многочленом от £, т.е. А(^) = ^|^|<п ак£к, то благодаря преобразованию Фурье

(Ли)(х) = / акее-^

= Vк и(х),

\к\<п

т.е. А является дифференциальным оператором (Т>к — это оператор дифференцирования по к-й переменной).

Пример 1.2.1: Пусть Ук, 1 < к < т, будет псевдодифференциальным оператором с символом щ (0 = ^, который является символом однородной функции нулевой степени, т.е. это символ некоторого многомерного сингулярного интегрального оператора Михлина-Кальдерона-Зигмунда. Тогда

(V \( \ -Г(^Т) [ Хк _ Ук , X , (Уки)(х) = _г —^^и.р. I -——ЦуЩ

Ж 2 J■Rm \Х _ У\

где Г — гамма-функция Эйлера, а многомерные сингулярные интегральные операторы Ук называются операторами Риса.

Пример 1.2.2: Пусть А — псевдодифференциальный оператор с символом |£|. Используя разложение

т ^

\«| = Г ь §,

к=1 ^

свойства преобразования Фурье и Пример 1.2.1, оператор А может быть представлен как

т

(Аи)(х) = ^Ук и

к=1

т „ ^

= у^ Хк _ Ук ои ; = \х _у\т+1дук У]

этот оператор называется интегро-дифференциальным оператором Кальдерона-

Зигмунда.

Теорема 1.2.1: Пусть А(^) е . Псевдодифференциальный оператор А с символом А(^) удовлетворяет оценке для любого в е ■

\\Аи|< С\\и|Уи е 5(Мт),

и, следовательно, продолжается по непрерывности до ограниченного оператора, действующего из Н3(Мт) в Н3_а(Мт).

Число а часто называют порядком псевдодифференциального оператора, а операторы Михлина-Кальдерона-Зигмунда с ограниченным символом являются псевдодифференциальными операторами нулевого порядка. Символ ) называется эллиптическим, если ) = 0, У^ = 0. Ниже приведено определение факторизации эллиптического символа по Вишику-Эскину, которое сыграло ключевую роль в изучении разрешимости псевдодифференциальных уравнений в полупространстве М™ = {х Е Мт : х = (х\, ...,хт),хт > 0}.

Пусть С™, а Е М будет классом эллиптических символов А(£), которые бесконечно дифференцируемы при ^ = 0 и представляют собой однородные функции степени а, т.е.

А(%) = 1аА(С), У1> 0.

Определение 1.2.1: Однородная факторизация эллиптического символа ) Е по переменной — это представление ^' = ..., £т—1), в виде

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Гебресласи Хадиш Фессехатсион, 2026 год

Список литературы

1. Агаркова Н. Н. О задаче Дирихле в плоской области с разрезом. /Н. Н. Агаркова, В. Б. Васильев, Х. Гебресласи // Прикладная математика & физика, -2023. - Том 55 - № 3 - С. 258-264.

2. Агаркова, Н. Н. О задаче Дирихле / Н. Н. Агаркова, В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // Материалы IX Всероссийской научно-практической конференции с международным участием. Современные проблемы физико-математических наук, Орел, 24-25 ноября. - 2023. - С. 10-15.

3. Агаркова, Н. Н. Об одной задаче для эллиптического уравнения в трёхмерном пространстве с разрезом / Н. Н. Агаркова, В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // XIV Белорусская математическая конференция, посвящённая 65-летию Института математики Национальной академии наук Беларуси: Материалы Международной научной конференции, Минск: Белорусская наука. 28 октября - 1 ноября 2024 г. -В трех Часть 2. - Т. 162 - С. 79 - 80.

4. Атья М. Ф. Лекции по K-теории / М. Ф. Атья - Москва, Мир, 1967.

5. Гебресласи, Х. Ф. Эллиптическое Псевдодифференциальное Уравнение с граничыми условиями дирихле / Х. Ф. Гебресласи // X Всероссийской научно-техническая конференции «Информационные технологии в науке, образовании и производстве», ОРЕЛ,5-6 июня 2025 года, - С. 654-659.

6. Дынин А.С. Индекс эллиптического оператора на компактном многообразии / А.С. Дынин // Успехи математических наук, 1966. — Т. 21. — №5. — С. 233-248.

7. Дынин А.С. Обратная задача для сингулярных интегральных операторов: С * - подход / А.С. Дынин // Proc. Nat. Acad. Sci. USA., 1978. - Vol. 75 - P. 4668-4670.

8. Федосов, Б.В. Аналитическая формула индекса эллиптической краевой задачи I. / Б.В. Федосов // Математический сборник, 1974. - Т. 93. - С. 62-89.

9. Федосов, Б.В. Аналитическая формула индекса эллиптической краевой

задачи II. / Б.В. Федосов // Матем. сборник., 1974. - Т. 95. - С. 525-550.

10. Кондратьев В. А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими и угловыми точками / В. А. Кондратьев // Тр. Моск. матем. о-ва. - 1967. - Т. 16 - С. 227-313.

11. Кондратьев В. А. Краевые задачи для уравнений в частных производных в несглаженных областях / В. А. Кондратьев, О. А. Олейник // Успехи математических наук, - 1983. - Том 38. - № 2. - С. 3-76.

12. Комеч А.И. Эллиптические краевые задачи для псевдодифференциальных операторов на многообразиях с коническими точками / А.И. Комеч // Математический сборник, - 1971.-Т. 86.-С. 268-298.

13. Комеч А.И. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с кусочно-гладкой границей / А.И. Комеч // Математический сборник, - 1973. - Т. 92. - С. 89-134.

14. Мазья В.Г. Эллиптические краевые задачи на многообразиях с особенностями / В. Г. Мазья, Б. А. Пламеневский, Г. В. Розенблюм // Пробл. Мат. Анал., 6, Ленинградский гос. ун-т, 1977. - С. 85 - 145.

15. Пале Р. Семинар по теореме индекса Атьи-Сингера / Р. Пале - Москва: Мир, 1970.

16. Пламеневский Б.А. Алгебры псевдодифференциальных операторов / Б.А. Пламеневский - Москва, Наука, 1986.

17. Пламеневский Б.А. Псевдодифференциальные операторы с разрывными символами: К-теория и индексные формулы / Б.А. Пламеневский, Г.В. Розенблюм // Функц. анализ и его прил. - 1992. - Т. 26. - № 4 - С. 45-56.

18. Пламеневский Б.А. Первая краевая задача для оператора свертки в конусе / Б.А. Пламеневский, М.Е. Юдовин // Математический сборник. - 1968. - Т. 77. - № 2 - С. 222-250.

19. Псевдодифференциальные операторы / Сборник статей. - Москва: Мир,

1967.

20. Ремпель Ш. Теория индекса эллиптических краевых задач / Ш. Ремпель,

Б. В. Шульце - Москва: Мир, 1986.

21. Сеничкин В.Н. О топологии Якобсона на спектрах алгебры операторов Винера-Хопфа в конусе / В.Н. Сеничкин // Алгебра и Анализ. - 1993. - Т. 5. - № 6.-С. 194-218.

22. Симоненко И. Б. Операторы свертки в конусах. / И. Б. Симоненко // Матем. сборник - 1967. - Т. 74 - С. 298-313.

23. Васильев В. Б. Об эллиптических задачах с вырождением/В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и их приложения Сборник трудов. - Казань: КФУ, - 2024. - 139 - С. 38-39.

24. Васильев В. Б. О разрешимости задачи Дирихле в многомерной области с разрезом / В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // Международная конференция "Дифференциальные уравнения и динамические системы Сборник тезисов докладов международной конференции и международной школы молодых ученых, Суздаль, 28 июня - 3 июля 2024 г. -С. 125-126.

25. Васильев, В. Б. Об Эллиптическом Псевдодифференциальном Уравнении В Трехгранном Угле / В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // Республиканская научная конференция «Современные методы математической физики и их приложения», приуроченная к 80-летию академика Ш. А. Алимова, Ташкент, Узбекистан, 22—24 апреля 2025 года,- Т. 1, - С. 188-190.

26. Васильев, В. Б. Об эллиптической задаче во внешности многомерного конуса / В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // Республиканской научной конференции на тему Современные проблемы дифференциальных уравнений и смежных разделов математики, Фергана, Узбекистан, 16-17 май, 2025 года, - Т. 1, - С. 241-242.

27. Васильев, В. Б. Ободном операторе в теории краевых задач / В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // XVII Международная Казанская школа-конференция "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы" Казань, 23—28 августа 2025 года, - Т. 69, - С. 32-34.

28. Васильев В.Б. Потенциалы для эллиптических краевых задач в конусах

/ В.Б. Васильев // Сибирские электронные математические отчеты. - 2016. - Т. 13 -С. 1129-1149.

29. Васильев В. Б. Об эллиптическом уравнении в многомерной области с разрезом / В. Б. Васильев, Х. Ф. Гебресласи // Материалы Международной научной конференции "Уфимская осенняя математическая школа,"Уфа, 2-5 октября 2024 года. - Т. 2. - С. 43-45.

30. Васильев В.Б. Множители интегралов Фурье, псевдодифференциальные уравнения, волновая факторизация, краевые задачи / В.Б. Васильев - М.: URSS, 2010.

31. Василевский Н.Л. Двумерные операторы Михлина-Кальдерона-Зигмун-да и бисингулярные операторы. /Н. Л. Василевский // Сибирский математический журнал, 1986. -Том 27. -№ 2. -С. 23-31.

32. Василевский Н.Л. Алгебры, порожденные многомерными сингулярными интегральными операторами и коэффициентами, допускающими разрыв однородного типа. /Н. Л. Василевский// Математический сборник, 1986. -Том 129. -№ 1С. 3-19.

33. Василевский Н.Л. Об алгебре, связанной с операторами Тёплица в радиальных трубчатых областях. /Н. Л. Василевский // Известия АН СССР, Сер. матем., 1987. - Т. 51. - С. 79-95.

34. Василевский Н.Л. Пространства Харди, связанные с областями Зигеля. / Н.Л. Василевский // Доклады расширенного семинара Института прикладной математики им. И.Н. Векуа, 1988. - Т. 3. - № 1 - С. 48-51.

35. Владимиров В.С. Обобщенные функции в математической физике / В.С. Владимиров - Москва: Наука, 1979.

36. Agranovich M. S. Sobolev Spaces, Their Generalizations and Elliptic Problems in Smooth and Lipschitz Domains/ M. S. Agranovich - Springer, Cham, 2015.

37. Atiyah M. F. The index theorem for manifolds with boundary/ M. F. Atiyah, R. Bott// Bombay Coll. Diff. Analysis, Oxford Univ. Press, 2015.-P. 175-186.

38. Boutet de Monvel L. Boundary problems for pseudo-differential operators./L. Boutet de Monvel// Acta. Math., 1971. -Vol. 126. - P. 11-51.

39. Calderon A.P. Singular integral operators and differential equations/ A. P. Calderon, A. Zygmund // Amer. J. Math. -1957. - Vol. 79 - No. 4 - P. 901-921.

40. Chang D. C. Singular boundary value problems/ D. C. Chang, S. Khalil, B. W. Schulze // Appl. Anal. Optim. - 2020. - Vol. 4 - No. 1 - P. 25-49.

41. Cordes, H.-O. An algebra of singular integral operators with two symbol homomorphisms / H.-O. Cordes // Bull. Amer. Math. Soc., 1969 - Vol. 75 -P. 37-42.

42. Cordes, H.-O. Pseudo-differential operators on a half-line/ H.-O. Cordes // J. Math. Mech., 1969 - Vol. 18 - P. 893-908.

43. Dezin A. A. Existence and uniqueness theorems for boundary value problems for partial differential equations in function spaces./ A. A. Dezin -//Am. Math. Soc. -1964.-Transl. II. -NO. 42. -P. 71-128.

44. Duduchava R.V. On multidimensional singular integral operators. I : The half-space case/ R. V. Duduchava // J. Oper. Theory., 1984 - Vol. 11 - P. 41-76.

45. Duduchava R.V. On multidimensional singular integral operators. II : The case of compact manifolds/ R. V. Duduchava // J. Oper. Theory. , 1984 - Vol. 11 - P. 199-214.

46. Duduchava R. On algebras generated by convolutions and discontinuous functions/ R. Duduchava // Int. Equa. and Oper. Theory, 1987 - Vol. 10 - P. 505-530.

47. Eskin G. Boundary Value Problems for Elliptic Pseudo-differential Equations./G. Eskin - Providence, RI: AMS; 1981.

48. Fedosov, B.V. Analytical index formula of elliptic boundary value problem III./B.V. Fedosov // Math. collection. 1976. -Vol. 101. - P. 380-401.

49. Gakhov F.D. Boundary Value Problems/ F. D. Gakhov - Dover, Mineola, NY, 1981.

50. Gelfand I.M. Generalized Functions, Volume 1: Properties and Operations/ I. M. Gelfand, G. E. Shilov - Providence RI: Amer. Math. Soc., 1964.

51. Gokhberg I. Ts. Introduction to the theory of one-dimensional singular

integral operators/1. Ts. Gokhberg, N. Ya. Krupnik - Chisinau: Stinza, 1973.

52. Gohberg I. One-Dimensional Linear Singular Integral Equations/1. Gohberg, N. Krupnik - Birkhauser, Basel, 1992.

53. Gokhberg I. T. Algebra generated by one-dimensional singular integral operators with piece wise continuous coefficients./ I. T. Gokhberg, N. Y. Krupnik //Functional Analysis and Its Applications -1970. -Vol. 4 -No. 3. -P. 193-201.

54. Gebreslasie H. F. On elliptic pseudo-differential equations with an integral condition in a special multidimensional cone./H. F. Gebreslasie, V.B. Vasilyev // Lobachevskii J. Math. - 2024. - Vol. 45 - No. 11 - P. 5375-5384.

55. Gebreslasie H. F. Constructing solutions of Pseudo-Differential Equations with integral boundary conditions in multidimensional space with a cut. / H. F. Gebreslasie, V.B. Vasilyev // Proceedings of the International Voronezh Spring Mathematical School. Modern Methods of the Boundary Value Problems. Pontryagin Readings - XXXV, Voronezh, VSU Publishing House, 26 - 30 April. - 2024. - P. 394 -395.

56. Gebreslasie H. F. On some pseudo-differential equation in a certain conical domain. / H. F. Gebreslasie, V.B. Vasilyev // Proceedings of the 8th International School-Seminar on Nonlinear Analysis and Extremal Problems (NLA-2024). Irkutsk, Russia, June 24-28, 2024, - P. 82 - 83.

57. Gebreslasie H. F. The Dirichlet problem for a certain pseudo-differential equation. / H. F. Gebreslasie // Actual Problems of Applied Mathematics, Computer Science, and Mechanics : Proceedings of the International Scientific Conference, Voronezh, December 2-4, 2024. - Voronezh, 2025. - P. 17-20.

58. Hormander L. Linear Partial Differential Operators/ L. Hormander -Springer-Verlag, Berlin: Heidelberg, 1964.

59. Khalil S. Boundary problems on a manifold with edge/ S. Khalil, B. W. Schulze // Asian-Eur. J. Math. - 2017. - Vol. 10 - No. 2 - Article ID 1750087, 43.

60. Kutaiba Sh. On limit behavior of a solution to boundary value problem in a plane sector/ Sh. Kutaiba, V. Vasilyev // Math. Meth. Appl. Sci. - 2021. - Vol. 44. - No.

15-P. 11904- 11912.

61. Kutaiba S. On solutions of certain limit boundary value problems/ S. Kutaiba, V. Vasilyev // AIP Conference Proceedings 2293, 2020.

62. Mikhlin S.G. Singular Integral Operators/ S. G. Mikhlin, S. ProBdorf- Berlin: Akademie-Verlag, 1986.

63. Muskhelishvili N. I. Singular Integral Equations/ N. I. Muskhelishvili -North-Holland, Amsterdam; 1976.

64. Seeley R. T. Singular integrals and boundary value problems./R. T. Seeley // American J. Math. - 1986. - Vol. 88. - No. 4 - P. 781-809.

65. Simonenko I. B. Some general questions in the theory of the Riemann boundary problem./1. B. Simonenko //Mathematics of the USSR-Izvestiya -1968. -Vol. 2-No. 5.-P. 1091.

66. Schulze B. W. Boundary value problems and singular pseudo-differential operators/ B. W. Schulze - Chichester: Wiley, 1998.

67. Schulze B. W. Pseudo-differential operators on manifolds with singularities/ B. W. Schulze - North-Holland, Amsterdam, 1991.

68. Schulze B. W. Pseudo-differential boundary value problems, conical singularities, and asymptotics/ B. W. Schulze - Berlin, Akademie-Verlag, 1994.

69. Taylor M. Pseudo-differential Operators/ M. Taylor - Princeton: Princeton Univ. Press, 1981.

70. Vasilyev V. B. On Dirichlet problem for a pseudo-differential equations in a special domain / V. B. Vasiliev, H. F. Gebreslasie // J. Math. Sci. - 2025 - Vol. 294 -No. 1 - P. 26-37.

71. Vasil'ev V.B. Boundary value problems for elliptic pseudo-differential equations in a multidimensional cone/ V. B. Vasil'ev // Differ. Equ. - 2020. - Vol. 56.-No. 10-P. 1324-1334.

72. Vasil'ev V. B. Wave Factorization of Elliptic Symbols: Theory and Applications. Introduction to the Theory of Boundary Value Problems in Non-Smooth Domains / V. B. Vasil'ev - Dordrecht — Boston — London: Kluwer Academic

Publishers, 2000.

73. Vasilyev V. B. On Dirichlet and Neumann problems in multidimensional cone/ V. B. Vasilyev// Math. Bohem.- 2014. - Vol. 139 - No. 2 - P. 333-340.

74. Vasilyev V. B. Elliptic problems for pseudo differential equations in polyhedral cone/ V. B. Vasilyev// Adv. Dyn. Syst. Appl.- 2014. - Vol. 9 - No. 2 -P. 221-237.

75. Vasilyev V. B. General boundary value problems for pseudo-differential equations and related difference equation/ V. B. Vasilyev// Adv. Difference Equ.- 2013 - Vol. 289 - P. 1-7.

76. Vasilyev V. B. Pseudo-differential equations, wave factorization, and related problems/V. B. Vasilyev // Math.Meth. Appl. Sci.- 2018. - Vol. 41 - No. 18 - P. 9252 -9263.

77. Vasilyev V. B. Pseudo-differential equations and conical potentials: 2-dimensional case/V. B. Vasilyev // Opusc. Math.- 2019. - vol. 39. No. 1 - P. 109 -124.

78. Vasilyev V. B. On certain 3-dimensional limit boundary value problems/V. B. Vasilyev // Lobachevskii J. Math.- 2020. - Vol. 41 - No. 5 - P. 917-925.

79. Vasilyev V. Elliptic equations in domains with a cut: certain examples/ V. Vasiliev, Sh. Kutaiba // Int. J. Appl. Math. - 2021. Vol.34, No. 2. — P. 339 -351.

80. Vasiliev V.B. On some elliptic boundary value problems in conical domains/ V. B. Vasiliev // J. computing. matem. and math. phys. - 2023. Vol. 63 - No. 8. — p. 1309-1315.

81. Vasilyev V.B. Pseudo-differential equation in a cone/ V. B. Vasilyev // Differ. Equ. -1995. Vol. 31. -No. 8 -P. 1385-1395.

82. Vasilyev V. B. Model elliptic boundary value problem for pseudo-differential operators in canonical domains/ V. B. Vasilyev // J. Math. Sci. - 2018. -Vol. 234. - No. 4 - P. 397-406.

83. Vasilyev V. B. On some equations on non-smooth manifolds: canonical domains and model operators /V. B. Vasilyev // In Functional Analysis in

Interdisciplinary Applications: Astana, Kazakhstan: Springer I. Pub. - 2017. - P. 363-375.

84. Vasilyev V. B. Towards the theory of boundary value problems on non-smooth manifolds / V. B. Vasilyev // AIP Conference Proceedings 2325. 2021.

85. Vasilyev V. B. Pseudo-differential equations on manifolds with complicated boundary singularities / V. B. Vasilyev // J. Math. Sci. - 2018. Vol. 230 - No. 1 - P. 175-183.

86. Vasilyev V. On solvability theorems for pseudo-differential equations / V. Vasilyev, V. Polunin, I. Shmal // arXiv:2302.10054v1

87. Vasilyev V. On solvability conditions for a certain conjugation problem / V. Vasilyev, N. Eberlein // Axioms - 2021. Vol. 10 - No. 3 - P. 234-244.

88. Vasilyev V.B. Generalized functions concentrated on the surface of cone and generated y them convolution/ V. B. Vasilyev // problems of Math. Analysis. - 2020. -Vol. 103.-P. 63-70.

89. Vasilyev V. On some pseudo-differential equations and transmutation operators/ V. Vasilyev // J. Phys. Conf. Ser.- 2020. 1479 012009.

90. Vishik M. I. Elliptic equations in convolutions in a bounded domain and their applications/ M. I. Vishik // Proceedings of the International Congress of mathematics Moscow: Mir. - 1968. - P. 409-420.

91. Vishik M. I. Convolution equations in a limited area/ M. I. Vishik, G. I.Eskin //Uspehi. Math. Sci. -1965. -Vol. 20. -No. 3.-p. 89-152

92. Vladimiriv V.S. Methods of the Theory of Functions of Many Complex Variables/ V.S. Vladimiriv - MIT Press, Cambridge, Mass., 1966.