Достаточные условия существования инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Чалкина, Наталья Александровна

• Чалкина, Наталья Александровна
• кандидат физико-математических наук
• 2012

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Чалкина, Наталья Александровна

Введение

1 Понятие инерциального многообразия и волновое уравнение с сильной диссипацией

1.1 Инерциальное многообразие и теорема о его существовании для абстрактного дифференциального уравнения.

1.2 Начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией.

1.3 Спектр линейной задачи для волнового уравнения с сильной диссипацией.

2 Теоремы о существовании инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией

2.1 Спектральная щель в действительной части спектра.

2.1.1 Формулировка теоремы.

2.1.2 Норма 74, к = 1,., N.

2.1.3 Норма в Ноо.

2.1.4 Доказательство теоремы.

2.2 Спектральная щель в недействительной части спектра.

2.2.1 Формулировка теоремы.

2.2.2 Норма в подпространствах Т~Ск, к = 1,. ,к\

2.2.3 Норма в подпространствах Нь, к = к\ + 1,. •.,

2.2.4 Норма в Н^.

2.2.5 Доказательство теоремы.

3 Следствия и частные случаи

3.1 Условия спектральной щели в действительной части спектра

3.1.1 Случай малых коэффициентов диссипации.

3.1.2 Случай больших коэффициентов диссипации.

3.2 Условия спектральной щели в недействительной части спектра

3.2.1 Нелинейная функция зависит только от и: уравнение иц - 2т8Ащ + 2т- Аи = /(и)

3.2.2 Нелинейная функция зависит только от щ\ уравнение ии - 2тяАщ + 2т- Аи = д(щ).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Достаточные условия существования инерциального многообразия для волнового уравнения с сильной диссипацией»

В диссертационной работе исследуется асимптотическое (при больших временах) поведение решений сильнодиссипативного волнового уравнения, а именно возможность построения инерциального многообразия. В диссертации рассматривается начально-краевая задача для квазилинейного сильнодиссипативного волнового уравнения вида ии - 273Ащ + 2т- Аи = /(и) + д(щ), (0.1) в ограниченной области условиями Дирихле на границе, дополненного начальными условиями

0 =щ(х) еН^П), щ1=0=ро(х)еЬ2(П). (0.2)

Уравнения такого типа возникают во многих физических приложениях, например, уравнение (0.1) описывает теплопроводность третьего типа в соответствии с теорией Грина-Нагди (см. [14, 15, 16]). Возможны и другие физические интерпретации, такие как теория перехода Джосефсона (возмущенное уравнение эт-Гордона для потока, см. [18]) или движение вязкоупругих тел типа Кельвина-Войта (см. [9, 19]).

Задача (0.1), (0.2) исследовалась многими авторами. Для уравнений с нелинейной зависимостью только от и (то есть при д = 0) глобальное существование и диссипативность сильных, лежащих в регулярном фазовом пространстве [H2(il) ПЛо(П)] х -^о(^) решений были установлены в [33] (см. также [34]) без какого-либо ограничения на рост нелинейной функции /. С другой стороны, если дополнительно наложить условие \f'(u)\ ^ с( 1 + |w|p), р ^ 4 при п = 3, то уравнение (0.1) будет корректно поставлено также в естественном энергетическом фазовом пространстве х Ьг(Г^) (см., например, [26]). Условия на функции / и д, при которых существует и единственно слабое решение задачи (0.1), (0.2), были приведены в [13]. Кроме того, доказательство корректности поставленной задачи при более мягких условий можно найти, например, в [8].

Значительная часть работ посвящена асимптотическому поведению решений уравнения (0.1) при больших временах.

Хорошо известно, что асимптотическое поведение при больших временах многих диссипативиых систем, порождаемых уравнениями математической физики, может быть описано в терминах так называемых глобальных аттракторов, то есть таких компактных инвариантных множеств фазового пространства, которые притягивают образы всех ограниченных множеств при стремлении времени к бесконечности (см., например, [6, 27, 30]). С одной стороны, глобальный аттрактор, если он существует, содержит все нетривиальные предельные динамики рассматриваемой системы, а с другой стороны, он существенно меньше, чем исходное фазовое пространство. В частности, если упомянутое уравнение рассматривается в ограниченной области С Ж", то этот аттрактор часто имеет конечную фрактальную размерность (см. [6, 27, 30] и ссылки, приведенные в этих работах). В силу этого свойства несмотря на изначальную бесконечномерность фазового пространства Е предельная динамика оказывается конечномерной; она эквивалентна некоторой подходящей динамической системе, определенной на компактном подмножестве R". Этот факт, основанный на модифицированной теореме Гельдера

Мане (см. [17]), называется принципом конечномерной редукции.

Существование и свойства аттракторов для волновых уравнений с сильной диссипацией исследовались в работах [1, 10, 13, 20, 25, 28, 29, 33] при различных ограничениях на нелинейные функции / и д.

Тем не менее упомянутый принцип конечномерной редукции хоть и очень важен, но имеет существенные недостатки. Во-первых, из теоремы Гельдера-Мане следует только, что редуцированная динамическая система непрерывна по Гельдеру. Этого недостаточно для того, чтобы представить ее в качестве динамической системы, порождаемой корректно поставленной системой обыкновенных дифференциальных уравнений. Более того, не известны разумные условия на глобальный аттрактор, которые гарантируют ее липши-цевость. Второй недостаток заключается в том, что сложная геометрическая структура аттрактора затрудняет использование принципа конечномерной редукции на практике при численных вычислениях: в сущности, возможна лишь эвристическая оценка на число неизвестных, которое необходимо для описания всех динамических эффектов в предельном случае.

В этой связи весьма полезным оказывается понятие инерциального многообразия бесконечномерной динамической системы (в случае неавтономных уравнений вводится понятие интегральных многообразий). Это многообразие представляет собой конечномерную поверхность, которая содержит глобальный аттрактор и экспоненциально притягивает все траектории. При этом появляется возможность свести исследование предельных режимов исходной бесконечномерной системы к решению аналогичной задачи для некоторой системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Инерциальные многообразия были введены и исследованы в [7, 11, 12, 22] (см. также [21, 27, 35, 38], а для неавтономных уравнений [3, 4]).

Было предложено несколько методов построения инерциальпых мпогообразий: метод Ляпунова-Перропа, построение сходящихся последовательностей приближенных инерциальных многообразий, метод граф-трансформации (см. [7, 11, 27, 38]). Однако все известные к настоящему времени методы построения инерциальных многообразий требуют выполнения довольно жесткого условия, называемого условием спектральной щели (см. [11]), которое предполагает существование произвольно больших зазоров в спектре соответствующего линейного оператора. В общем случае это свойство может быть выполнено только в одномерном пространстве. Тем не менее существование инерциальных многообразий может быть доказано для многих типов уравнений, главным образом в пространствах размерности один и два (см. [7, 11, 27, 38] и ссылки, приведенные в них).

В упомянутых работах инерциальные многообразия в основном были построены для различных квазилинейных параболических уравнений и систем с линейным самосопряженным операторным членом в правой части уравнения. В случае волновых уравнений с диссипацией соответствующий линейный оператор несамосопряжен, что приводит к значительным трудностям при формулировке условия спектральной щели. Для более известного случая волновых уравнений со слабой диссипацией инерциальные многообразия были построены, например, в [23, 24]. При этом задача может быть сведена к общей теореме для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве (см. [21, 32, 35]). Также для неавтономного волнового уравнения с диссипацией было построено интегральное многообразие (см. [5, 32]). Кроме того, в [24] были доказаны результаты о несуществовании инерциальных многообразий для диссипативного уравнения эт-Гордона.

Для слабодиссипативного волнового уравнения вида - Аи = ¡(и), (0.3) имеет место следующая теорема (см., например, Горицкий, Чепыжов [32]1).

Теорема 0.1. Пусть функция / липшицева с константой I, а 0 < Лі < Л2 ^ Аз • • • — собственные числа оператора — Д в О, с условиями Дирихле на границе. Кроме того, пусть существует такое ТУ, для которого выполнено

Тогда для задачи (0.3), (0.2) в пространстве х £2(£2) существует

N-мерное инерциальное многообразие.

Вопрос о существовании инерциальных многообразий для волновых уравнений с сильной диссипацией до сих пор в литературе не рассматривался. Отметим, что спектральные свойства линейного оператора для уравнения с сильной диссипацией принципиально отличаются от слабодиссипативного случая, и следовательно, достаточные условия существования инерциального многообразия принимают совершенно иной вид.

Диссертация построена следующим образом. В главе 1 рассмотрены общие вопросы, касающиеся теории инерциальных многообразий и сильнодис-сипативного волнового уравнения. В параграфе 1.1 дано определение инерциального многообразия и приведена общая теорема о существовании инерциальных многообразий для абстрактного дифференциального уравнения в гильбертовом пространстве. В параграфе 1.2 поставлена начально-краевая задача для волнового уравнения с сильной диссипацией. Спектральные свойства соответствующего линейного уравнения для различных соотношений между коэффициентами диссипации и % рассмотрены в параграфе 1.3.

На самом деле, в работе рассматривается неавтономное уравнение, а здесь приведена переформулировка результата для автономного случая

Адг < Адг+і < и имеет место неравенство

Основные результаты работы (достаточные условия существования инер-циальных многообразий) даны в главе 2 в теоремах 2.1 и 2.2, которые касаются двух существенно различающихся случаев расположения спектральной щели. Соответственно, теорема 2.1 и параграф 2.1 посвящены случаю щели в действительной части спектра, а в теореме 2.2 и параграфе 2.2 рассматривается случай щели в недействительной части спектра. Для каждой из этих двух ситуаций в фазовом пространстве Щ (О) х ^(О) вводятся новые нормы, эквивалентные исходной, в которых выполнены условия упомянутой общей теоремы для абстрактного дифференциального уравнения. Тем не менее схемы построения этих норм существенно отличаются, и поэтому эти случаи рассматриваются отдельно. Результаты параграфа 2.1 подробно опубликованы в [2] и улучшают результаты, опубликованные автором в [36]. Результаты параграфа 2.2 частично опубликованы в [31, 37].

В главе 3 приведены следствия из теорем 2.1 и 2.2 и рассмотрены некоторые частные случаи уравнения (0.1). В параграфе 3.1 исследуется изменение условия спектральной щели в действительной части спектра при малых и при больших коэффициентах диссипации. В параграфе 3.2 даны переформулировки теоремы о щели в недействительной части спектра для частных случаев (д = 0, 7«, = 0, / = 0).

Наконец, в приложении А дано определение слабого решения и проведено доказательство корректности поставленной начально-краевой задачи.

Автор выражает глубокую благодарность и признательность своему научному руководителю Горицкому Андрею Юрьевичу за постановку задачи, плодотворные обсуждения и постоянное внимание к работе, а также Чепы-жову Владимиру Викторовичу за полезные замечания, книги и статьи.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Чалкина, Наталья Александровна, 2012 год

1. A. N. Carvalho, J. W. Cholewa, Attractors for strongly damped wave equations with critial nonlinearities // Pacific J. Math. V. 207, P. 287-310, 2002

2. N. A. Chalkina, Sufficient Condition for the Existence of an Inertial Manifold for a Hyperbolic Equation with Weak and Strong Dissipation // Russ. J. Math. Phys. V. 19, №1, P. 11-20, 2012

3. V. V. Chepyzhov, A. Yu. Goritsky, Global integral manifolds with exponential tracking for nonautonomous equations // Russ. J. Math. Phys. V. 5, №1. P. 9-28, 1997

4. V. V. Chepyzhov, A. Yu. Goritsky, Explicit construction of integral manifolds with exponential tracking // Appl. Anal. V. 71, №1-4. P. 237-252, 1999

5. V.V. Chepyzhov, A.Yu. Goritsky, M.I. Vishik, Integral manifolds and attractors with exponential rate for nonautonomous hyperbolic equations with dissipation // Russ. J. Math. Phys. V. 12, №1. P. 17-39., 2005

6. V.V. Chepyzhov, M.I. Vishik, Attractors for Equations of Mathematical Physics. Providence: AMS. Coll. Publ, 2002

7. P. Constantine, C. Foias, B. Nicolaenko, R. Temam, Integral manifolds and inertial manifolds for dissipative partial differential equations. Appl. Math. Sciences. V. 70. New York: Springer, 1989

8. F. Dell'Oro, V. Pata, Long-term analysis of strongly damped nonlinear wave equations // Nonlinearity. V. 24. P. 3413-3435, 2011

9. G. Duvant, J.-L. Lions, Inequalities in mechanics and physics. Berlin: Springer, 1976

10. A. Eden, V. Kalantarov, Finite dimensional attractors for a class of semilinear wave equations // Turkish J. Math. V. 20, P. 425-450, 1996

11. C. Foias, G. Sell, R. Temam, Inertial manifolds for nonlinear evolutionary equations // J. Diff. Eq. V. 73, №2, P. 309-353, 1988

12. C. Foias, G. Sell, E. Titi, Exponential tracking and approximation of inertial manifolds for dissipative nonlinear equations // J. Dynam. Diff. Eq. V. 1, №2, P. 199-244, 1989

13. J.M. Ghidaglia, A. Marzocchi, Longtime behavior of strongly damped wave equations, global attractors and their dimension // SIAM J. Math. Anal. V. 22. m, P. 879-895, 1991

14. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: I. Classical continuum physics // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 335-356, 1995

15. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: II. Generalised continua // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 357-377, 1995

16. A. E. Green, P. M. Naghdi, A unified procedure for construction of theories of deformable media: III. Mixtures of interacting continua // Proc. R. Soc. Lond. A V. 448, P. 378-388, 1995

17. B. R. Hunt, V. Y. Kaloshin, Regularity of embeddings of infinite-dimensional fractal sets into finite-dimensional spaces // Nonlinearity. V. 12, P. 12631275, 1999

18. P. S. Landahl, 0. H. Soerensen, P. L. Christiansen, Solitons excitations in Josephson tunnel junctions // Phys. Rev. B V. 25, P. 5337-5348, 1982

19. V. P. Maslov, P. P. Mosolov, Nonlinear wave equations with pertubed by viscous terms Walter de Gruyter. Berlin, New York, 2000

20. P. Massat, Limiting behavior for strongly damped nonlinear wave equations //J. Diff. Eqns. V. 48, P. 334-349, 1983

21. M. Miklavcic, A sharp condition for existence of an inertial manifold //J. Dynam. Differential Equations. V. 3, №3, P. 437-456, 1991

22. X. Mora, Finite dimensional attracting manifolds in reaction diffusion equations // Contemp. Math. V. 17. P. 353-360, 1983

23. X. Mora, Finite-dimensional attracting invariant manifolds for damped semilinear wave equations //Res. Notes in Math. V. 155. P. 172-183, 1987

24. X. Mora, J. Sola-Morales, Existence and nonexistence of finite-dimensional globally attracting invariant manifolds in semilinear damped wave equations // Dynamics of Infinite Dimensional Systems, New York: Springer, P. 187210, 1987

25. V. Pata, M. Squassina, On the strongly damped wave equation // Commun. Math. Phys. V. 253, P. 511-533, 2005

26. V. Pata, S. Zelik, Smooth attractors for strongly damped wave equations // Nonlinearity. V. 19, P. 1495-1506, 2006

27. R. Temam, Infinite-dimensional dynamical systems in mechanics and physics. Appl. Math. Sci. V. 68. New York: Springer, 1988, 2nd ed. 1997

28. G. F. Webb, Existence and asymptotic behavior for a strongly damped nonlinear wave equation // Can. J. Math. V. 32, P. 631-643, 1980

29. S. Zhou, Global attractor for strongly damped nonlinear wave equations // Funct. Diff. Eqns. V. 6, P. 451-470, 1999

30. А. В. Бабин., M. И. Вишик, Аттракторы эволюционных уравнений. М: Наука, 1989

31. А. Ю. Горицкий, Н. А. Чалкина, Инерциальные многообразия для слабо-и сильнодиссипативных гиперболических уравнений. Труды семинара Петровского №29, 2011

32. А. Ю. Горицкий, В. В. Чепыжов, Свойство дихотомии решений квазилинейных уравнений в задачах об инерциалъных многообразиях // Мат. Сб. Т. 196, №4, С. 23-50, 2005

33. В. К. Калантаров, Глобальное поведение решений нелинейных уравнений математической физики классических и неклассических типов. Автореферат диссертации на соискание ученой степени доктора физ.-мат. наук, Ленинград, 1988

34. В. К. Калантаров, Об аттракторах для некоторых нелинейных задач математической физики // Зап. Научн. сам. ЛОМИ АН СССР, Т. 152, С. 50-54, 1986

35. А. В. Романов, Точные оценки размерности интегральных многообразий для нелинейных параболических уравнений // Изв. РАН. Сер. матем. Т. 57, №4, С. 36-54, 1993

36. H.A. Чалкина, Инерциалъное многообразие для гиперболического уравнения с диссипацией // Вестн. моек, ун-та сер. 1, Математика. Механика. №6, С. 3-7, 2011

37. Н. А. Чалкина, Инерциалъное многообразие и условие спектральной щели для сильнодиссипативного гиперболического уравнения // Дифференциальные уравнения, Т. 47, №11, С. 1658, 2011

38. И. Д. Чуешов, Введение в теорию бесконечномерных динамических систем. Харьков: Акта, 1999