Двухжидкостная гидродинамика: Новые аспекты тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Мельниковский, Лев Александрович

• Мельниковский, Лев Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Мельниковский, Лев Александрович

1 Введение

2 Термодинамика Не

2.1 Устойчивость.

2.2 Обсуждение.

2.3 Фононно-ротонная модель

2.4 Окрестность Т\.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Двухжидкостная гидродинамика: Новые аспекты»

В соответствии с общими принципами статистической физики [1], термодинамические (и гидродинамические) свойства системы определяются ее аддитивными интегралами движения. Для «обычных» нормальных систем существуют три независимых локальных закона сохранения: массы, энергии и импульса. Уравнения гидродинамики обычной жидкости однозначно следуют из этих законов сохранения, фактически их вывод сводится к выяснению вида потоков массы, энергии и импульса.

В сверхтекучей жидкости (мы будем говорить о сверхтекучести в 4 Не) появляется еще один интеграл движения — сверхтекучая скорость. Появление дополнительной переменной приводит к усложнению уравнений гидродинамики и к такому наблюдаемому явлению, как, например, появление двух видов звуковых волн в Не-Н. Термодинамика сверхтекучей жидкости тоже отличается от обычной, ее изучению посвящена глава 2. В частности там выводятся термодинамические неравенства для этой системы, являющиеся естественным обобщением критерия сверхтекучести Ландау на конечные температуры.

В некоторых системах появление дополнительной переменной связано с существованием приближенного закона сохранения в однородной системе. Примером может служить кристалл с газом квазичастиц в пренебрежении процессами переброса. Угадать вид дополнительного интеграла движения в этой системе из общих соображений не представляется возможным, поэтому для вывода общих уравнений двухскоростной теории упругости приходится привлекать кинетическую теорию (глава 3). На основе полученных уравнений оказывается возможным объяснить линейный рост кристаллов гелия с гладкими гранями и предсказать ряд необычных явлений.

Ни один из описанных подходов, вообще говоря, неприменим для системы, находящейся во внешнем поле: законы сохранения в таком случае должны включать и переменные, относящиеся к среде, и переменные, относящиеся к полю. Если попытаться исправить законы сохранения и добавить в них члены, связанные с полем, вид диссипативных членов все равно остается неопределенным: во внешнем поле даже в равновесии система, вообще говоря, неоднородна. Существует, однако, ситуация, когда эту проблему можно обойти: как известно, включение гравитационного поля эквивалентно переходу в ускоренную систему отсчета. В главе 4 производится описанная процедура. Из полученных уравнений видно, что в поле тяжести сверхтекучий гелий характеризуется конечной эффективной теплопроводностью.

Глава 2

Термодинамика Не-11

Характерной особенностью сверхтекучей жидкости является одновременное существование двух независимых типов движения. Ее равновесное состояние, таким образом, характеризуется двумя скоростями этих движений. Как уже отмечалось во Введении, термодинамически равновесное состояние системы, должно однозначно определяться значениями ее аддитивных интегралов движения. Интегралом движения, соответствующим одной из этих скоростей (скорости «нормальной компоненты»), также как и в обычной гидродинамике, является импульс.

То, что сверхтекучая скорость оказывается термодинамической переменной означает появление дополнительного интеграла движения. Ниже мы найдем этот интеграл в явном виде, что позволит исследовать общие условия термодинамической устойчивости сверхтекучей жидкости и решить проблему критических скоростей.

Как известно, гелий II теряет свойство сверхтекучести при достаточно больших скоростях движения. Само существование критической скорости следует из формы энергетического спектра элементарных возбуждений: при больших скоростях нарушается критерий сверхтекучести Ландау. Экспериментально наблюдаемое разрушение сверхтекучести обычно связано с рождением вихрей и происходит при нарушении условия Фейнмана, т.е., при скоростях значительно меньших, чем критическая скорость Ландау. Поэтому в уравнениях сверхтекучей гидродинамики достаточно ограничиваться первыми неисчезающим членами в разложении по степеням малых скоростей.

Однако, существует ряд экспериментов [2, 3], где это приближение неприменимо. В некоторых из них изучается сверхтекучее движение сквозь узкие отверстия. В этих условиях максимальная скорость является убывающей функцией ширины отверстия и при достаточно малом сечении может достигать значений порядка критической скорости Ландау. Другой тип экспериментов относится к температурам, чрезвычайно близким к фазовому переходу в нормальное состояние. В этой области линейное приближение нарушается при низких скоростях, значительно меньших чем критическая скорость Фейнмана (которая от температуры не зависит).

Таким образом все термодинамические величины становятся нетривиальными функциями не малых сверхтекучих скоростей (т.е., они зависят не только от обычных термодинамических переменных, таких как давление и температура). В такой общей постановке, не делая никаких предположений о малости скоростей, (используя только изотропию покоящейся жидкости) мы находим (§2.1) полный набор термодинамических неравенств, то есть условий, налагаемых на термодинамические функции требованием устойчивости сверхтекучего состояния. При этом естественным оказывается (§2.2), например, обращение в ноль сверхтекучей плотности в А-точке.

В рамках фононно-ротонной модели (§2.3) мы вычисляем максимальную скорость, совместную с полученными термодинамическими неравенствами, и показываем, что ее можно интерпретировать как обобщение критической скорости Ландау на конечные температуры. Такой термодинамический сценарий разрушения сверхтекучести возможно имеет место в экспериментах по критическим скоростям в узких отверстиях и по критическим теплопотокам вблизи ТА. Для оценки поведения критической скорости в окрестности А-точки мы используем соображения теории масштабной инвариантности (§2.4).

2.1 Устойчивость

При выводе общих уравнений сверхтекучей гидродинамики обычно предполагается [4], что каждый малый элемент жидкости находится в локальном равновесии и это равновесие устойчиво. Такое условие устойчивости обычно записывают в виде термодинамических неравенств. Для устойчивости состояния необходимо, чтобы оно реализовывало максимум (по меньшей мере локальный) энтропии для замкнутой системы, т.е., при постоянных значениях аддитивных интегралов движения. Вместо исследования условий максимальности энтропии оказывается более удобным [1] использовать эквивалентное условие — условие минимальности полной энергии системы при постоянных энтропии и аддитивных интегралах движения.

В несверхтекучей системе существует три аддитивных интеграла движения: масса, энергия и импульс. Явление сверхтекучести связано со спонтанным нарушением калибровочной инвариантности. При этом система обладает особым квантовомеханическим параметром порядка: «волновой функцией Бозе-Эйнштейновского конденсата». С его существованием связано наличие двух независимых скоростей нормального и сверхтекучего движения. Сверхтекучая скорость (с точностью до постоянного множителя) — это градиент фазы волновой функции = Уф. Аналогичное соотношение можно записать для производной по времени = Уф. Последнее уравнение, очевидно, является локальным законом сохранения всех трех компонент вектора Уд = с1г. Действительно,

Другими словами, У3 — это добавочный аддитивный интеграл движения, специфический для сверхтекучей жидкости.

Полную энергию жидкости Еш можно представить в виде интеграла от плотности энергии Е по всему объему = / Е<1 г. Эту плотность энергии можно получить при помощи преобразования Галилея

2.1)

Здесь у3 — сверхтекучая скорость, р — плотность массы, а индекс «О» используется для обозначения величин, измеренных в системе отсчета, связанной со сверхтекучей компонентой (т.е., системы, в которой сверхтекучая скорость равна нулю). Таким образом, Ео и ^ — это плотность энергии и плотность импульса относительно сверхтекучей компоненты. Первая является функцией р, ^ и плотности энтропии 5. Дифференциал Ео можно записать в виде

Щ, = Т(15 + А«<1р + *г<Уо, (2.2) а соответствующие частные производные Т, ц и \у имеют смысл температуры, химического потенциала и, так называемой, относительной скорости нормальной и сверхтекучей компонент.

Изотропия жидкости позволяет получить полезное соотношение на частные производные ,]о по цЛм' ^дзо^ +(-- и)кга1\ ¿0 (2 3)

Чди>г/Тр -и]2 \дю)т IV3

Действительно, скорость лу и плотность импульса ^ параллельны друг другу У

IV

Дифференцируя это тождество, получаем равенство (2.3).

Далее, преобразовывая (2.1) и используя (2.2), мы можем записать 6.Е в виде:

Е = Т(15 + + - у8уп) ¿р + 0 - руп) с!у8 + уп си, (2.4) где j = ру8 + ,]о — полная плотность импульса, а уп = у3 + лу — нормальная скорость.

Устойчивость предполагает, что любая «разрешенная» флуктуация увеличивает полную энергию системы Еш. При этом разрешенными являются флуктуации, которые оставляют неизменными сохраняющиеся величины. Это означает, что минимальность Еш нужно исследовать при постоянных энтропии и всех аддитивных интегралах движения: массы, импульса и сверхтекучей скорости.

Рассмотрим макроскопическую флуктуацию всех переменных <55, 5р, 5у3 и Сохранение этих величин обеспечивает тождественное равенство нулю первой вариации полной энергии однородной системы дЕ\ „„ (дЕ\

Ем = ( ^ ) <К + дЕх

5} ^г = 0.

Для выяснения характера экстремума необходимо рассмотреть вторую вариацию полной энергии. Матрица 8x8 квадратичной формы второй вариации — это Якобиан д{Т, уп, ц + уЦ2 - у8уп, ] - руп) £ =

5(5, j, р, у8 )

Он положительно определен (в соответствии с критерием Сильвестра), если все главные миноры М\, Мг, . Л/8 положительны. Мы последовательно проверяем условия на эти миноры:

• Первое условие

5(Т,р, v.) 5(Т, р, v») д(Т, у„, р, v.)

М1 =

5(5, р, ув) д(Т, уп, р, у8) 5(5, 1 р, у8) дг»)тЛ\дт)рш\дШ)т<р \дТ

-1 0 р \ / у является обобщением обычного требования положительности теплоемкости. Ниже будет показано (2.7), что (д^0/дю)Тр > 0, таким образом последнее неравенство фактически имеет вид (?к) .(?к)2 >0.

2.5)

• Положительность следующей группы миноров легко проверить при помощи преобразования

9(Г, уп, р, у,) 5(5, j, р, v.) д(Т, j, р, у.) 5(5,р, уя)

5(Г, уп, Р, У8) 5(Г, I р, у.)

2-6) д}\ -1 (ЯЛ

Ут,р,Ув

-1

-1

Отсюда видно, что положительность миноров Мг, Мз, М4 будет обеспечена в том и только том случае, если положительны все миноры второго множителя в (2.6) фо/дт)т>р О О О зо/ы О О 0 зо/ы

Мы использовали тождество (2.3) и выбрали направление вектора в качестве первой координаты. Таким образом, к нашему набору добавились следующие неравенства

Зо* > 0, (2.7)

2'8)

• Такое же преобразование, будучи примененным к самому большому минору, дает д{Т, у„, ц + уЦ2 - у8у„, j - руп) й'5". д(Т, у„, р, у8 )

Аналогично, положительность миноров М5, Мб, М7, М$ обеспечивается положительностью нетривиальных главных миноров матрицы 9)". Используя термодинамическое тождество р = получаем д(р + у*/2-у8уп) \ др ) ТУп(У8 \др)т<ч/ р\др)

Ниже приведено явное выражение для подматрицы, соответствующей подпространству р, г>8, г^, и8, матрицы Как и ранее, мы направили ось х в направлении вектора лу. Используя (2.3), получаем др/др)Т ш/р (д^/др)Тш - ш О О д^/др)Т ш - V) р - {д]й/д1и)Т р О О

О 0 р — зо/и) О

О 0 0 р - ¿о/ги Ло р р Р

Л ( 'др^

Р) и

Соответствующие неравенства — это

IX, >'* которое является обобщенным (на случай ненулевой относительной скорости ги) требованием положительности сжимаемости, к < ™Р (2-10)

Неравенства (2.5), (2.7), (2.8), (2.9), (2.10) и (2.11) представляют полный набор условий термодинамической устойчивости.

2.2 Обсуждение

В ситуации с «остановленной нормальной компонентой» поток массы Г относительно нормальной компоненты может оказаться более удобной переменной, чем поток относительно сверхтекучей ^ Очевидное соотношение между ними / = ръи—Зо приводит к следующей переформулировке полученных неравенств 0, / < ыр, (2.12)

ЭЛ ш ^гзг' др)т,п, \дш)Р,т >Р \др)^т Легко убедиться, что неравенство (2.15) может быть также записано в виде

В качестве простого примера использования выведенных соотношений рассмотрим их при ги = 0. Из (2.12), (2.13), (2.14) и (2.15) имеем дБ\ „ (др\

В обычных обозначениях последнее неравенство имеет ясный физический смысл р. > 0, рп > 0. (2.19)

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Мельниковский, Лев Александрович

Основные результаты диссертации опубликованы в работах:

1. Андреев А.Ф., Мелышковский JI.A. Two-Velocity Elasticity Theory and Facet Growth, ЖЭТФ 120, 1457 (2001).

2. Андреев А.Ф., Мелышковский JI.A. Термодинамические неравенства в сверхтекучей жидкости, Письма в ЖЭТФ 78, 1063 (2003).

3. A.F. Andreev, L.A. Melnikovsky, Thermodynamic Inequalities in Superfluid and Critical Velocities in Narrow Orifices, in Molecular Nanowires and Other Quantum Objects, 107 (Kluwer Academic Publishers: 2004).

4. A.F. Andreev, L.A. Melnikovsky, Two fluid model: new aspects, Physica С 404, 34 (2004).

5. A.F. Andreev, L.A. Melnikovsky, Thermodynamics of Superfluidity, Journal of Low Temperature Physics 135, 411 (2004).

6. L.A. Melnikovsky, Heat Transfer in Superfluids: Effect of Gravity, Journal of Low Temperature Physics 138, 61 (2005).

В заключение я хотел бы выразить благодарность моему руководителю А.Ф.Андрееву, а также Р.В.Данкану, К.О.Кешишеву, В.И.Марченко, А.Я.Паршину, Д.А.Сергацкову и И.А.Фомину.

Заключение

В диссертационной работе получены следующие основные результаты:

• В сверхтекучей системе найден новый аддитивный интеграл движения, позволивший построить последовательную термодинамику сверхтекучести.

• Изучены общие условия термодинамической устойчивости сверхтекучей жидкости в полном пространстве термодинамических переменных, содержащем (наряду с обычными термодинамическими координатами, такими как давление и температура) скорость сверхтекучего движения и плотность импульса. Условия устойчивости приводят к термодинамическим неравенствам, которые при нулевой температуре сводятся к критерию сверхтекучести Ландау.

• Построена теория критических скоростей сверхтекучего движения и получена их зависимость от температуры в области низких температур (в пределах применимости фононно-ротонной модели) и вблизи лямбда-точки (на основании гипотезы масштабной инвариантности).

• Получен полный набор точных (нелинейных) уравнений теории упругости для двухкомпонентной системы, состоящей из решетки и газа квазичастиц. Найдены граничные условия для этих уравнений.

• Дано объяснение линейного роста гладких граней кристаллического гелия. Предложен ряд новых экспериментов для проверки теоретических предсказаний.

• Получены уравнения двухжидкостной гидродинамики для сверхтекучего гелия в поле тяжести.

• Показано, что гравитация должна разрушать бездиссипативный характер теплопередачи в стационарной сверхтекучей жидкости. Найден эффективный коэффициент теплопроводности в такой системе.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Мельниковский, Лев Александрович, 2006 год

1. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Статистическая физика, ч.1 (М: Наука, 1995.).

2. Е. Varoquaux, W. Zimmermann, and О. Avenel, in Excitations in Two-Dimensional and Three-Dimensional Quantum Fluids, edited by A.F.G. Wyatt and H.J. Lauter, p. 343 (NATO ASI Series, Plenum Press, New York-London, 1991).

3. R.V. Duncan, G. Ahlers, and V. Steinberg, Phys. Rev. Lett. 60, 1522 (1988).

4. Халатников И.М., Теория сверхтекучести (M: Наука, 1971).

5. R.J. Donnelly, Р.Н. Roberts, Journal of Low Temperature Physics 27, 687 (1977).

6. R.J. Donnelly, J. A. Donnelly, R.N. Hills, Journal of Low Temperature Physics 44, 471 (1981).

7. J. A. Flaten, C.A. Lindesmith, W. Zimmermann, Journal of Low Temperature Physics 101, 743 (1995).

8. B.D. Josephson, Phys. Lett. 21, 608 (1966).

9. J.A. Lipa, J.A. Nissen, D.A. Strieker, D.R. Swanson, T.C.P. Chui, cond-mat/0310163.

10. J.S. Langer, J.D. Reppy, Prog. Low. Temp. Phys., vol. VI, ed. C.J.Gorter (North-Holland, Amsterdam, 1970) ch.l.

11. L. Kramer, Phys. Rev. 179, 149 (1969).

12. Ландау Л.Д., Лифшиц E.M. Гидродинамика. M.: Наука,1988.

13. P. Nozi6res, in Solids Far From Equilibrium, edited by C. God^che (Cambridge University Press, Cambridge, 1991), p. 1.

14. J.P. Ruutu, P.J. Hakonen, A.V. Babkin, A.Ya. Parshin, J.S. Penttila, J.P. Saramaki, and G. Tvalashvili, Phys. Rev. Letters 76, 4187, (1996).

15. C. Herring, J. Appl. Phys. 21, 437 (1950).

16. Лифшиц И.М., ЖЭТФ 44, 1349 (1963).

17. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П., Физическая кинетика (М: Физматлит, 1979).

18. Андреев А.Ф., Пушкаров Д.И., ЖЭТФ 89, 1883 (1985).

19. Андреев А.Ф., Базалий Я.В., ЖЭТФ 98, 1480 (1990).

20. A.F. Andreev, Ya.B. Bazaliy, A.D. Savishchev, Journal of Low Temperature Physics 88, 101 (1992).

21. Лифшиц E.M., Питаевский Л.П., Статистическая физика, ч.2 (М: Физматлит, 2000).

22. Андреев А.Ф., УФН 105, 113 (1971).

23. G.A. Lengua, J.M. Goodkind, Journal of Low Temperature Physics 79, 251 (1990).

24. E. Kim, M.H.W. Chan, Nature 427, 225 (2004).

25. W.H. Keesom and Miss A.P. Keesom Physica III, 359 (1936).

26. C.J. Gorter, J.H. Mellink, Physica 15, 285 (1949).

27. D.A. Sergatskov, A.V. Babkin, S.T.P. Boyd, R.A.M. Lee, R.V. Duncan, Journal of Low Temperature Physics 134, Nos.1/2, 517 (2004).

28. Паташинский А.З., Покровский B.J1. Флуктуационпая теория фазовых переходов (М: Наука, 1982).

29. A.S. Rittner, J.D. Reppy, Elimination of the Supersolid State through Crystal Annealing, KITP Supersolid Workshop 2-06-06,http://online.itp.ucsb.edu/online/smatterm06/.