Экономическая пространственно-трехмерная модель для расчета гидродинамических процессов в морских заливах замкнутого типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Цирулик, Дмитрий Владимирович

• Цирулик, Дмитрий Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Цирулик, Дмитрий Владимирович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. МОДЕЛИ ЗАДАЧ ГИДРОДИНАМИКИ.

1.1. Существующие модели гидродинамики.

1.2. Трехмерные модели задач морской гидродинамики.

1.3. Исследование модели и построение разностных схем.

1.4. Алгоритмы решения сеточных уравнений.

1.5. Геленджикская бухта - наблюдаемая картина течений.

ГЛАВА 2. ПОСТРОЕНИЕ И ИССЛЕДОВАНИЕ ДИСКРЕТНОЙ МОДЕЛИ.

2.1. Постановка задачи динамики трехмерной несжимаемой жидкости на примере Геленджикской бухты.

2.2. Построение конечно-разностной модели квазизамкнутого водоема.

2.3. Попеременно-треугольный метод.

2.4. Вычислительный алгоритм.

2.5. Двухслойная модель.

ГЛАВА 3. ВЫЧИСЛИТЕЛЬНЫЙ ЭКСПЕРИМЕНТ.

3.1. Подбор параметров задачи.

3.2. Численное моделирование основных типов циркуляции в Геленджикской бухте.

3.3. Обсуждение результатов моделирования.

3.4. Сравнение модели с принстонской моделью циркуляции.

ГЛАВА 4. ПРОГРАММНЫЕ СРЕДСТВА ДЛЯ МОДЕЛИРОВАНИЯ 3D ТЕЧЕНИЙ В ЗАМКНУТЫХ ВОДОЕМАХ.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Экономическая пространственно-трехмерная модель для расчета гидродинамических процессов в морских заливах замкнутого типа»

В данной работе изучается циркуляция вод и ее влияние на экологию неглубоких водоемов квазизамкнутого типа, имеющих почти сплошную береговую линию и соединенных с другими водными бассейнами проливами, размеры которых в поперечном сечении малы по сравнению с непроницаемой береговой границей. Малость размеров пролива в данном случае понимается в том смысле, что для данных водоемов влияние взаимодействия с открытым морем на жидкой границе без существенной потери точности описания процессов гидродинамики может быть учтено заданием граничных условий в виде потоков осредненных по вертикали.

Актуальность работы. Основными факторами, определяющими движение водной среды в рассматриваемых водоемах, являются процессы переноса вдоль траекторий потоков, диффузия, адаптация полей течений. Естественная вентиляция и самоочищение вод квазизамкнутого водоема практически полностью зависят от системы внутренних течений и его водообмена с морем. Основными внешними факторами, определяющими характер циркуляции водной среды в квазизамкнутых водоемах, являются:

1. течение вблизи пролива - постоянно действующий фактор,

2. направление, сила и продолжительность действия ветра -эпизодический фактор.

Моделирование данных явлений - важнейший инструмент решения задач прогнозирования последствий антропогенного воздействия. Например, большую важность представляет решение задачи оценки возможных последствий строительства дамб, причалов, мостов и более крупных гидротехнических сооружений, таких как порт, для экологической ситуации, анализ возможного влияния планируемых и уже существующих сооружений на экологическую ситуацию. Это важно, например, для Геленджикской бухты, так как ухудшение экологической ситуации в бухте, которая является достаточно напряженной и не может быть признана вполне благополучной, может явиться причиной потери регионом статуса курортного и, в результате, оказать неблагоприятное влияние на экономику и инфраструктуру региона. Помимо этого, сама по себе задача построения эффективного современного алгоритма, позволяющего производить моделирование циркуляции в сжатые по времени сроки, и реализованного в виде вычислительной программы для ЭВМ представляется весьма актуальной.

Несомненно, что количество существующих в настоящее время моделей велико. Однако большая их часть нацелена на решение достаточно узких вопросов моделирования, например моделирование течений в пограничном слое, или же описывают крупномасштабные процессы циркуляции мирового океана. При этом очевидна важность получения эффективной и современной модели «промежуточного» уровня, которая могла бы описывать основные процессы эволюции водной среды в небольших водных бассейнах.

Цель работы. Основной целью данного исследования является построение эффективной модели для водоемов квазизамкнутого типа, которая не только позволила бы с достаточной точностью производить расчет и анализ картины течений в этих водоемах в зависимости от внешних факторов (времени года, силы и направления ветра, характера течения в проливе), но также могла бы явиться бы инструментом исследования последствий антропогенного воздействия на них.

В практических применениях часто оказывается важной простота и прозрачность модели, которая естественным образом ведет к доступности в использовании вычислительного алгоритма и быстроте получения результатов моделирования. Кроме того, результаты моделирования, полученные при помощи данной модели, могут явиться основой для уточнений при помощи более сложных и громоздких моделей.

Таким образом, ставится цель получить эффективную, простую, физически прозрачную, доступную для реализации и легкую в применении, а также «быструю» модель циркуляции жидкости по сравнению с известными.

Научная новизна. Подход, используемый в настоящей работе, основан на моделировании течений в квазизамкнутых водоемах (например, бухтах) при помощи эффективной и экономичной численной модели. Последняя базируется на современных методах расщепления [1], [2] и методах решения сеточных уравнений [3].

Для описания течения жидкости предложена математическая модель квазизамкнутого водоема в виде следующей системы уравнений в частных производных

Эи ди Эи Эи д + и--h V— + w--lv = —— + — dt дх dy dz дх dz dv dv dv dv s<f д

-+ U-+ V--h W--h 111 = —— +dt 5x dy dz dy dz du 8z. dv dz j! \ дм d и M дкг dy' 2 5,2 \ о v d v

8k2 dy2

E, =— I fudz +—I [vdz

Эи dv <3w „ — + — + — = 0, дх dy dz к которой присоединяются соответствующие граничные условия.

Выбор математической модели (краевой задача для системы уравнений с частными производными), используемой в настоящей работе для анализа течений, продиктован требованиями максимально возможного упрощения системы уравнений в частных производных с целью построения наиболее эффективного и экономичного вычислительного алгоритма, позволяющего получать результаты «на лету», а также соображениями «физичности» используемой системы переменных, что позволяет сделать максимально легкой и прозрачной интерпретацию полученных результатов не только специалистам, хорошо владеющим математическим аппаратом гидродинамики, но и исследователям в прикладных областях. В частности, данный подход значительно облегчает процедуру сравнения результатов моделирования с данными натурных измерений.

Предложен способ адаптации данной модели для случаев, когда стратификация жидкости играет существенную роль в происходящих процессах водообмена, который состоит в переходе от исходной модели к двухслойной или многослойной модели. При этом жидкость делится на слои, внутри которых плотность может считаться постоянной, и каждый из таких слоев описывается при помощи основной модели. На границах слоев в этом случае ставятся граничные условия, согласующие полевые переменные, описывающие циркуляцию жидкости в слоях.

На основе построенной конечно-разностной схемы разработан алгоритм для расчетов на ЭВМ. Данный алгоритм реализован в виде пакета программ, включающего в себя как средства решения численных уравнений, так и вспомогательные программы автоматического ввода-вывода информации, созданные при помощи современных средств программирования.

Получены результаты моделирования циркуляции вод для квазизамкнутых водоемов на примере Геленджикской бухты для типичных существующих в действительности сил и направлений ветров и течений на входе в бухту.

Проведен анализ результатов моделирования и сравнение с наблюдаемой в действительности, реальной, картиной течений, на основании чего подобраны численные параметры модели, соответствующие ситуации, а также выбраны адекватные граничные условия.

Проведено моделирование и анализ возможных последствий строительства гидротехнических сооружений в курортной зоне.

Проведено сравнение результатов вычислений при помощи предложенной модели и принстонской модели циркуляции (Princeton Ocean

Model) [4]. Установлено соответствие результатов моделирования при помощи предложенной модели и модели Princeton Ocean Model.

Практическая значимость. Практическая значимость модели заключается в следующем. Предложенная модель является простой, что отражается в ее быстроте, понятности получаемых с ее помощью результатов, легкости сравнения результатов моделирования с данными натурных измерений.

Получена модель, работа которой апробирована сравнением с известной существующей моделью Princeton Ocean Model.

Модель реализована в виде программы для ЭВМ, включающей в себя как средства ввода первичной информации, средства построения сетки, так и наглядные средства отображения результатов моделирования. Данная программа, будучи основанной на предложенной модели, отличается быстротой и эффективностью получения расчетов, что предоставляет значительные удобства практического использования.

Получены результаты моделирования циркуляции для Геленджикской бухты, на основании которых дан ряд рекомендации, касающихся возможности строительства в бухте гидротехнических сооружений.

Основные результаты работы, выносимые на защиту. Построена трехмерная модель гидродинамики для замкнутых водоемов, являющаяся более экономичной и эффективной по сравнению с известными.

Разработан эффективный и экономичный численный алгоритм реализации модели, базирующийся на схеме расщепления по физическим процессам, использующий для решения разностных уравнений современные численные схемы, а для решения уравнения свободной поверхности жидкости - предложенный в работе вариант попеременно-треугольного метода; эффективность и экономичность алгоритма подтвердилась в вычислительном эксперименте (как показано в работе, разработанный алгоритм предъявляет значительно меньшие требования к вычислительным ресурсам, чем существующие при не худшей точности, на примере сравнения с алгоритмом Princeton Ocean Model).

Создан набор программных средств для моделирования циркуляции водной среды в мелководных водоемах, который может иметь широкое практическое применение благодаря эффективности предложенной модели, умеренным требованиям к вычислительным ресурсам, а также средствам ввода первичной информации и отображения результатов.

При помощи разработанного набора программ проведен вычислительный эксперимент, на основании данных которого получены картины основных типов циркуляции водной среды для Геленджикской бухты, качественно совпадающие с реально существующими.

Проанализирован вопрос о влиянии существующих, а также планируемых гидротехнических сооружений на характер циркуляции в бухте.

Публикации по теме диссертации. Результаты работы обсуждались в семи научных публикациях:

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В., Гончарова М.В. Пространственно-трехмерные модели гидродинамики Таганрогского залива и Геленджикской бухты.- Известия ТРТУ. Тематический выпуск. Мат. моделир. и системные исследования в экологии. Таганрог:Изд-во ТРТУ, 2001, №2(20)

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В. Пространственно-трехмерная модель циркуляции и ее применение для прогноза состояния Геленджикской бухты,- Тр. Воронежской весенней мат. шк. «Совр. методы в теории краев, задач «Понтрягинские чтения - XII», Воронеж: Изд-во ВГУ, 2001

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В. Пространственно-трехмерная модель циркуляции вод в Геленджикской бухте и ее применение для прогноза экологического состояния. - Изв. вузов. Сев.-кав. регион. Естеств. науки, 2001. Спецвыпуск. Мат. моделиров. и вычисл. эксперимент в механике и физике. 2001

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В. Моделирование циркуляции вод и экологическое состояние Геленджикской бухты. - Тр. Международной конференции по новым технологиям и приложениям современных физико-химических методов (ядерный магнитный резонанс, хроматография/масс-спектрометрия, ИК-Фурье спектроскопия и их комбинации) для изучения окружающей среды., г. Ростов-на-Дону 2528 сен. 2001г.

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В., Кирильчик С.В. Экономичная 3D модель гидродинамики для Геленджикской бухты.- Совр. пробл. мех. спл. среды. Тр. VIII Межд. Конф., г. Ростов-на-Дону 14-18 окт. 2002/ Ростов-на Дону: Изд-во «Новая книга», 2002

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В. Моделирование циркуляции вод в Геленджикской бухте.- Известия ТРТУ. Спецвыпуск «Материалы XLVII научно-технической конференции», Таганрог: Изд-во ТРТУ, 2002, №1(24)

• Сухинов А.И., Цирулик Д.В., Цирулик В.Г. Численные эксперименты с моделями «Princeton Ocean Model» и экономичной 3D моделью для Геленджикской бухты.- XI Международная научная конференция, поев. 50-летию ТГПИ «Мат. модели физичеких процессов», г.Таганрог, ТГПИ, 29-30 июня, 2005

Структура работы. Структура данной работы состоит из шести разделов (четыре главы, введение и заключение) и организована следующим образом.

В главе I «Модели задач гидродинамики», которая является вводной, представлены основные уравнения динамики жидкости, существующие двух-и трехмерные модели динамики жидкости, рассмотрены варианты граничных условий. В ней также затронуты вопросы построения конечно-разностных уравнений, методов их решения, а также вопросы эффективности, точности, сходимости и устойчивости. В главе I также представлено описание наблюдаемой в Геленджикской бухте картины течений.

В главе II поставлена задача динамики трехмерной несжимаемой жидкости для описания циркуляции в водоемах замкнутого типа (система уравнений в частных производных), даны варианты возможных граничных условий. В этой главе строится и исследуется конечно-разностная модель для предложенной системы уравнений. Произведен выбор методов решения конечно-разностных уравнений расщепленной схемы, а также дискретизация граничных условий. Для решения наиболее громоздкого уравнения -уравнения описывающего поведение свободной поверхности - предложена разновидность попеременно-треугольного метода, являющегося, как видно из параграфа 1.4, наиболее эффективным по сравнению с другими существующими методами. На этой основе построен вычислительный алгоритм. Затронуты вопросы устойчивости и сходимости численного алгоритма. В данной главе также предложен простой подход к адаптации разностной схемы для использования при организации расчетов при помощи предложенного алгоритма циркуляции жидкости в стратифицированных водоемах, который основан на использовании двухслойной или многослойной модели.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Цирулик, Дмитрий Владимирович

Заключение

Несмотря на то, что в настоящее время построено большое количество трехмерных математических моделей, описывающих процессы гидротермодинамики водоемов, подавляющее большинство из них рассчитано на описание отдельных модельных задач (таких как задачи обтекания, пограничного слоя и т.п.) или же предназначены для описания крупномасштабной циркуляции мирового океана. Другими словами, данные модели либо описывают частные и достаточно тонкие явления, происходящие в жидкости, либо описывают движение мирового океана и включают в себя большое количество полевых переменных (скорости течений, концентрации примесей, солей, термодинамические величины), вследствие чего требуют мощных вычислительных средств и поэтому пригодны для реализации лишь на наиболее мощных и современных вычислительных средствах.

Трехмерная модель, предложенная в настоящей работе, построена на основе подхода, базирующегося на максимально возможном упрощении исходных уравнений движения и оптимального выбора методов их численной реализации. Данная математическая модель, описывающая движение несжимаемой водной среды с постоянной плотностью, годится для описания движения жидкости для водоемов с небольшими глубинами. Описывающая модель система уравнений в частных производных записана в переменных скорость-положение свободной поверхности, что дает возможность построить весьма экономичное и эффективное средство расчета картин течений жидкости, позволившее на примере Геленджикской бухты получить картины циркуляции, качественно совпадающие с реально существующими. Для подтверждения соответствия результатов моделирования, полученных при помощи предлагаемой модели, произведено сравнение полученных картин циркуляции с результатами моделирования при помощи модели Princeton Ocean Model.

Эффективность и экономичность конечного продукта - набора программ обусловлена следующими факторами. Переход к переменным скорость-положение свободной поверхности дал возможность не только попутно разрешить задачу слежения за перемещениями верхней границы трехмерной области, но и стал основой для построения оптимального численного алгоритма. Использование современной схемы расщепления по физическим процессам при построении разностной модели дает возможность широкого маневра в выборе методов решения полученных разностных уравнений. Таким образом, для разностных уравнений, реализующих модель, применены эффективные способы численной реализации, основанные на современных методах решения сеточных уравнений. Характерные черты данных схем - достаточный запас устойчивости при выборе шагов по временной и пространственным координатам и простота реализации. Наибольших вычислительных затрат требует решение уравнения свободной поверхности. Для этого в работе используется предложенный вариант попеременно-треугольного метода для решения уравнения свободной поверхности, который дает значительный выигрыш по сравнению с другими известными методами решения сеточных уравнений.

Один из принципов использованного в работе подхода - максимальное упрощение уравнений движения с целью построения экономичного вычислительного алгоритма - выражается в том, что из системы уравнений удалено уравнение состояния. Поэтому, на первый взгляд, круг процессов, описываемых данной моделью существенно ограничен. Однако, в работе показано, что данное ограничение, в случаях, когда есть возможность выделить в жидкости слои с постоянной плотностью, снимается. Процессы циркуляции такой жидкость могут быть описаны моделью, являющейся совокупностью моделей с постоянными плотностями для каждого слоя, связанных поставленными граничными условиями - двухслойная или многослойная модель.

В результате использования построенной модели для расчета течений в Геленджикской бухте получены количественные характеристики (значения величин скоростей течений) приближенные к реальным, а также верные качественные характеристики (картины течений, выделение зон на основании особенностей циркуляции жидкости), что подтверждается данными натурных наблюдений.

Исходя из результатов моделирования, для течений в Геленджикской бухте сделаны следующие выводы. Течения в верхнем слое в районах пляжей, при типах циркуляции благоприятствующих выносу загрязнений из бухты (циркуляция второго типа), как правило, ориентированы вдоль берега, поэтому любые гидротехнические сооружения ориентированные перпендикулярно береговой линии будут препятствовать вдольбереговому течению и способствовать развитию неблагоприятной в экологическом плане ситуации. Наиболее сильные и устойчивые течения наблюдаются в зоне пролива, так как входящие в бухту потоки рассеиваются. Наиболее вентилируемой областью бухты являются участки в районе пролива. В северо-восточной и юго-западной зонах, удаленных от пролива, следует ожидать возникновение невентилируемых зон с неблагоприятными экологическими условиями, особенно в летний период при маловетренной погоде. В летний период (маловетренная погода) вентиляция бухты происходит медленно, время полной вентиляции может достигать 1 недели, поэтому в курортный сезон складывается неблагоприятная экологическая обстановка, которая может отягощаться заносом сточных вод городской канализации в бухту. Отметим, что данные выводы, а также результаты моделирования (картины течений) качественно согласуются с реально наблюдаемой картиной течений, описанной в [95, 96]. Предсказано также для юго-восточной части бухты возможность появления антициклонического круговорота, центр которого будет совершать колебательные движения.

Данные результаты получены при помощи набора программ, в полной мере реализующего весь ход вычислительного эксперимента. В виде программ на языках высокого уровня (С++, фортран) реализованы все стадии процесса моделирования: создание трехмерной сетки, соответствующей выбранному водоему, задание численных параметров модели, граничных условий на твердых и жидких границах, расчет значений величин компонент скорости жидкости и положения свободной поверхности, сохранение и вывод результатов моделирования.

Таким образом, основными результатами работы, являются следующие:

1. построена трехмерная модель гидродинамики для замкнутых водоемов, являющаяся более экономичной и эффективной по сравнению с известными;

2. разработан эффективный и экономичный численный алгоритм реализации модели, базирующийся на схеме расщепления по физическим процессам и на предложенном варианте попеременно-треугольного метода для решения уравнения свободной поверхности жидкости; эффективность и экономичность алгоритма подтвердилась в вычислительном эксперименте (как показано в работе, разработанный алгоритм предъявляет значительно меньшие требования к вычислительным ресурсам, чем существующие при не худшей точности, на примере сравнения с алгоритмом Princeton Ocean Model);

3. создан универсальный комплекс программных средств для моделирования циркуляции водной среды в мелководных водоемах, который может иметь широкое практическое применение благодаря умеренным требованиям к вычислительным ресурсам, эффективности и использования переменных скорость-положение свободной поверхности;

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Цирулик, Дмитрий Владимирович, 2007 год

1. Г.И. Марчук Методы вычислительной математики. М., Наука, 1980

2. Г.И.Марчук Методы расщепления, М. "Наука", 1988

3. А.А. Самарский, Е.С. Николаев Методы решения сеточных уравений., М. Наука, 1978

4. Blumberg, A.F., and G.L. Mellor, A description of a three-dimensional coastal ocean circulation model, in Three-Dimensional Coastal Ocean Models, Vol. 4, edited by N. Heaps, pp.208, American Geophysical Union, Washington, D.C., 1987.

5. JI.A. Чудов Некоторые применения разностных методов в механике жидкости и газа. Автореф. Дисс. Доктора физ.-мат. Наук.- М.: Институт проблем механики АН СССР, 1967

6. Кускова Т.В. Численное исследование двумерных течений вязкой несжимаемой жидкости.-В кН.: Некторые применения метода сеток в газовой динамике, вып. Ш.-М.:Изд. МГУ, 1971

7. Kavaguti М. Two-dimensional cavity flow of a laminar viscous fluid.-J.Phys.Soc., Japan, 1960, 16, №12

8. Симуни Л.М. Численное решение некоторых задач вязкой жидкости.-Инж. Журнал, 1964, 4, вып. 3

9. Тарунин Е.Л. Численное исследование задач свободной конвекции.-В кН.: Гидродинамика. Ученые записки.-Пермь, 1968, вып. 1, № 184

10. O.Pearson С.A. A computational method for viscous flow problem.-J.Fluid Mech., 1965, 21, pt.4.

11. П.Громов Б.Ф., Петрищев B.C. О решении двумерных задач гидродинамики вязкой несжимаемой жидкости. В кн.: Труды всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск: Наука, 1969

12. Булеев Н.И., Тимухин Г.И. О численном решении уравнений гидродинамики для плоского потока вязкой несжимаемой жидкостию-Изв. АН СССР. Сер. Техн. Наук, 1969, вып.1, № 3

13. Хокни Р. Методы расчета потенциала и их приложения.-В кн.: Вычислительные методы в физике плазмы.-М.: Мир, 1974

14. Тарунин E.JL Оптимизация неявных схем для уравнений Навье-Стокса в переменных функции тока и вихря скорости.-В кН.: Труды V всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости, ч. 1-Новосибирск, 1975

15. Тарунин E.JI. Методы последовательности сеток для задач свободной конвекции.-ЖВМ и МФ, 1975, 15, №2.

16. Torrance К. Comparison of finite-difference computations on natural convection.-J. Res. OfNBS, 1968, 72, №417.0трощенко И.В., Федоренко Р.П. О приближенном решении уравнений Навье-Стокса.-М., 1976 (Препринт/Институт прикладной математики АН СССР: №6)

17. Дайковский А.Г., Чудов Л.А. Влияние схемных факторов при расчете среды за плохо обтекаемым телом.-Числ. Методы механики сплошной среды, 1975, 6, №5

18. Ноготов Е.Ф., Синицын А.К. О численном исследовании нестационарных задач конвекции.-Инженерно-физический журнал, 1976, XXXI, №6

19. Грязнов В.Л., Полежаев В.И. Численное решение нестационарных уравнений Навье-Стокса для турбулентного режима естественной конвекции.-М., 1978 (Препринт/Институт проблем механики АН СССР: №81)

20. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. Численное моделирование переходного и турбулентного режимов конвекции наоснове нестационарных уравнений Навье-Стокса.-М., 1978 (Препринт/Институт проблем механики АН СССР: №81)

21. Грязнов B.JL, Полежаев В.И. Исследование некоторых разностных схем и аппроксимации граничных условий для численного решения уравнений тепловой конвекцию-М., 1974 (Препринт/Институт проблем механики АН СССР: №40)

22. Дайковский А.Г., Полежаев В.И., Федосеев А.И. О расчете граничных условий для нестационарных уравнений Навье-Стокса в переменных вихрь, функция тока.-Числ. Методы механики сплошной среды, 1979, 10, №2

23. Тарунин E.JL Шайдуров В.Г., Шарифулин А.И. Экспериментальное и численное исследование устойчивости замкнутого конвективного пограничного слоя.-В кН.: Конвективные течения и гидродинамическая устойчивость.-Свердловск, 1979.

24. Дородницын А.А., Меллер Н.А. О некоторых подходах к решению стационарных уравнений Навье-Стоксаю-ЖВМ и МФ, 1968, 8, №2.

25. IsraeliM. A fast implicit numerical method for time dependent viscous flows.-Studies in Appl. Math., 1970, XLIX, №4.

26. Тарунин E.JI. О выборе аппроксимационной формулы для вихря скорости на твердой границе при решении задач динамики вязкой жидкости.-Числ. Методы механики сплошной среды, 1978, 9, №7

27. Мажорова О.С., Попов Ю.П. Об одном алгоритме численного рашения двумерных уравнений Навье-Стокса.-М., 1979, (Препринт/Институт прикладной математики АН СССР: № 37).

28. Волчинская М.И., Четвертушкин Б.Н. Об одном итерационном методе решения двумерных уравнений диффузии излучения.-ЖВМ и МФ, 1977, 17, №2

29. Harlow F.H., Welch J.E. Numerical calculation of time-dependent viscous incomplessible flow of fluid with free surface.-Phys. Fluid, 1966, 8,№12.

30. Williams G.P. Numerical integration of the three-dimensional Navier-Stokes equations for incomlessible flow.-J.Fluid Mech., 1969, 22, №104

31. Владимирова H.H., Кузнецов Б.Г., Яненко Н.Н. Численный расчет симметричного обтекания пластинки плоским потоком вязкой несжимаемой жидкости.-В кН.: Некоторые вопросы прикладной и вычислительной математики.-Новосибирск, 1973.

32. Chorin A.I. Numerical solution for the Navier-Stokes equations.-Math. Of Comput., 1969, 22, № 104.

33. Ладыженская О.А., Ривкинд В.Я. Вопросы теории разностных схем для уравнений Навье-Стокса и некоторые результаты их численного решенияю-В кН. .-Труды IV всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жмдкости.-Новосибирск, 1973.

34. Темам Р. Уравнения Навье-Стокса. Теория и численный анализ.-М.: Мир, 1981

35. Полежаев Р.И. Численное решение системы двумерных нестационарных уравнений Навье-Стокса для сжимаемого газа в замкнутой области.-Изв. АН СССР. Механ. Жидкости и газа, 1967, №2

36. Марчук Г.И. Численные методы в прогнозе погоды.-- Л.: Гидрометеоиздат, 1967.

37. Марчук Г.И. Численное решение задач динамики атмосферы и океана.- Л.: Гидрометеоиздат, 1974.

38. Мезингер Ф., Аракава А. Численные методы, используемые в атмосферных моделях.-- Л.: Гидрометеоиздат, 1979.

39. Андерсон Д., Таннехил Дж., Плетчер Р. Вычислительная гидромеханика и теплообмен.-- М.: Мир, 1990.

40. Белов П.Н. Численные методы прогноза погоды.-- Л.: Гидрометеоиздат, 1975.

41. Harlow F.H., Hirt C.W. Recent extension to eulerian methods for numerical fluid dynamics.-ЖВМ и МФб 1972, 12, №3.

42. Aziz К., Heliums J. Numerical solution of the three dimensional equations of motion for laminar natural convection.-Phys.Flud, 1966, 10, №2.

43. Тарунин Е.Л., Толкачева Л.В. Надкритические ражимы конвекции в кубической полости при подогреве снизую-В кН.: Труды Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск, 1981.

44. Sommerville R.C.J., Lipps F.B. A numerical study in three space dimension of Benard convection in a rotating fluid.-J.Atm.Sci., 1973, 39, №590

45. Lipps F.B. Numerical simulation of three dimensional Benard convection in air.-j.Fluid Mech., 1976, 75, pt.l.

46. Горовая E.H. О решении пространственных задач для уравнения Навье-Стокса по устйчивым разностным схемам на ЭВМ.-В кН.: Труды IV

47. Всесоюзного семинара по численным методам механики вязкой жидкости.-Новосибирск, 1973

48. Veltischev N.F., Zelnin А.А. Numerical simulation of cellular convection in an air.-J.Fluid Mech., 1975, 68, pt. 2

49. Белоцерковский O.M., Гущин B.A., Щенников B.B. Метод расщепления в примени к решению задач динамики вязкой несжимаемой жидкости.-ЖВМ и МФ, 15, №1, 1975.

50. Фрязинов И.В. Консервативные разностные схемы для уравнения Навье-Стокса в переменных вихрь-функция тока-момент вращения на нерегулярных треугольных сетках.- Дифференциальные уравнения, 1983, XIX, №7.

51. Вабищевич П.Н., Вабищевич Т.Н. Численные решения стационарных задач вязкой несжимаемой жидкости.-Дифференциальные уравнения, 1983, 19, №5.

52. Leca P., Roy Ph. Simulation numerique de la turbulence sur un systeme multiprocessor.-Bull.Dir.etud. et. Rech., 1983, №1, p.95.

53. Pearson C. A computational method for viscous flow problem.-J.Fluid Mech., 1965, 21,pt.4

54. Shiltz D.H. Numerical solution for the flow of a fluid in a heated closed cavity.-Quart Journ. Mech. Appl. Math., 1973, XXVI, pt.2.

55. Fromm J.E. Numerical study of buyoyancy driven flows in romm enclosures.-J. IBM Res., 1971, 15, №3.62.0zawa S. Numerical studis flow in a two-dimensioanal square cavity of high Reynolds numbers.-J.Phys. Soc. Japan, 1975, 38, №3.

56. Bontoux P., Forestier В., Roux B. Analysis of higher order methods for the numerical simulation of confined flows.-In: Proc. VI Intern. Conf. Numerical Meth. Fluid Dyn.-Tbilisi, 1978, 1, June 2-25.

57. Mallison G.D., De Wahl Davis G. Three-dimensional natural convection in a box: a numerical study.-J.Fluid Mech., 1977, 83, pt. 1.

58. McKenzie D.P., Roberts J.M., Weiss N.O. Convection in the earth's mantle: towards a numerical evaluation.-J. Fluid Mech. 1974, 62, pt. 3

59. Reynolds W.C. Computation of turbulent flows.-Ann.Rev.Fluid Mech. Paolo Alto Calif., 1976, 1,р.183-208.

60. Chia V., Chia H.V., Shin C.T. High-Re solution for incompressible flow using Navier-Stokes equations and a multigrid method.-J. of Comput. Physics, 1982, 48, p. 387-411.

61. Gary J. On higher order Multigrid methods with geothermal reservoiar model.-Intern. J. for Numerical Methods in Fluids, 1982, 2 № 1

62. Multigrid Methods. Lect. Notes Math. Proc. Koln-Porz, 1981.-Trottenberg: Ed. Hachbursch, 1982.

63. Gresho P.M., Lee R.L., Sani R. On the time-dependent solution of incompressible Navier-Stokes equations in two and three dimensions. -Recent Adv. Numer. Meth. Fluid, Swansea, 1980, 1, p.27-29.

64. Stevens W.N. Finite element stream function-vorticity solution on Steady laminar natural convection. Intern. J. For Numerical Meth. In Fluifs, 1982, 2, №4.

65. Grotzbach G. Direct numerical simulation of laminar and turbulent Benard convection.-J. Fluid Mech., 119, 1982, p. 27-53.

66. Canaria, Spain, ELSEVIER, Amsterdam-Berlin-London-New York-Tokyo, 2005,231-238.

67. Сухинов А.И., Цирулик Д.В., Цирулик В.Г. Числовые эксперименты с моделями «Princeton ocean model» и экономичной 3D моделью для Геленджикской бухты.- Таганрог, Издательство Таганрогского государственного педагогического института 2005

68. Сухинов А.И., Васильев B.C. Прецизионные математические модели мелких водоемов.-Математическое моделирование, 2003, №10, с. 1734

69. Сухинов А.И. Двумерные схемы расщепления и некоторые их приложения.- Москва, МГУ, Макс ПРЕСС, 2005, 408 с.

70. Сухинов А.И. Объединенная модель гидродинамики, транспорта тепла и соли мелководного водоема. Единственность решения.- Таганрог Издательство Таганрогского государственного педагогического института 2005

71. Бетяев С.К., Брыльцов О.П. Математические модели и тепологические методы в аэродинамике крыла // ПМТФ, 1995, N 1. -С.40-46.

72. Быков А.Н., Ворошин Б.Л., Козуб А.Г. и др. Комплекс программ РАМЗЕС расчета трехмерных задач газовой динамики с теплопроводностью // Технология математического моделирования. -М.: ВЦ АН СССР. 1989.

73. Вабищевич П.Н., Павлов А.Н., Чурбанов А.Г. Численные методы решения нестационарных уравнений Навье-Стокса в естественных переменных на частично разнесенных сетках // Мат. моделирование. -1997. -Т.9, №4. -С.85-114.

74. Гомилко А.И., Шлапак Ю.В. Численное моделирование течений нелинейно вязкой жидкости в плоской области // Прикладна гщромехашка. -1999. -Т. 1(73), №3. -С.11-16.

75. Зубков П.Т., Климин В.Т. Численное исследование естественной конвекции чистой воды вблизи точки инверсии плотности // Изв. АН России, МЖГ, -1999. -№4. -С.171-176.

76. Оран Э., Борис Дж. Численное моделирование реагирующих потоков. -М.: -Мир, 1990. -661с.

77. Кудинов П.И., Еричева В.А. Применение алгоритмов на неструктурированных сетках для расчета задач тепломассообмена // Труды III российской национальной конференции по теплообмену. -М: Издательство МЭИ. 2002. Т.2. -С. 186-189.

78. Ландау Л.Д., Нейман Н.Н., Халатников И.М. Численные методы интегрирования уравнений в частных производных методом сеток.-Труды III Всесоюзного математического съезда. Т. П.-М.:1956, 16с.

79. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984.

80. Ильин В.П., Кузнецов Ю.И. Трехдиагональные матрицы и их приложения М.: Наука, 1985.

81. Самарский А.А. Теория разностных схем.-М.: Наука, 1977.

82. Кордзадзе А.А. Математические вопросы решения задач динамики океана. Новосибирск: ВЦ СО АН СССР, 1982.133

83. Обухов A.M. Турбулентность в температурно-неоднородной атмосфере// Труды ин-та теоретической геофизики АН СССР.-1946.-№24(151).-С.З-42.

84. Марчук Г.И., Кочергин В.П., Климок В.И., Сухоруков В.А. Математическое моделирование поверхностной турбулентности в океане//Изв. АН СССР. Физика атмосферы и океана.-1976.-Т.12,№8.-С.841-849.

85. Joseph J., Sander Н. Uber die horisontale Diffusion in Meer//Dtsch.hydrogr.z.-1958.-Bd. 11 ,No.2.-S.49-77