Электронные корреляции и поляронные эффекты в двухэлектронных системах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Сычев, Вячеслав Викторович

• Сычев, Вячеслав Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2004

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Сычев, Вячеслав Викторович

ВВЕДЕНИЕ.

ГЛАВА 1. КОНТИНУАЛЬНАЯ ТЕОРИЯ БИПОЛЯРОНОВ.

1.1. Двухцентровый биполярон.

1.2. Электронные корреляции в теории F'-центра и биполярона Пекара.

1.3. Энергетический спектр одноцентровых двухэлектронных систем (биполярон, F' и D~ -центры) при произвольной величине электрон-фононного взаимодействия.

1.4. Метод интегрирования по траекториям в применении к биполяронной задаче.

1.5. Биполяроны и сверхпроводимость в анизотропных квазидву- и квазиодномерных кристаллах.

1.6. Эффективная масса биполярона.

ГЛАВА 2. ДВУХЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ В КРИСТАЛЛАХ С СИЛЬНЫМ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ.

2.1. Исходные уравнения.

2.2. Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для сильного электрон-фононного взаимодействия.

2.3. Получение аналитических выражений для функционала двухэлектронных систем в полярных кристаллах.

2.4. Корреляционные эффекты и пространственная конфигурация биполярона.

2.4.1. Синглетный биполярон.

2.4.2. Триплетный биполярон.

ГЛАВА 3. ДВУХЭЛЕКТРОННЫЕ СИСТЕМЫ В КРИСТАЛЛАХ С ПРОИЗВОЛЬНЫМ ЭЛЕКТРОН-ФОНОННЫМ ВЗАИМОДЕЙСТВИЕМ

3.1. Исходные уравнения.

3.2. Каноническое преобразование гамильтониана Фрелиха для произвольного электрон-фононного взаимодействия.

3.3. Биполярон в кристаллах с промежуточной величиной электрон-фононного взаимодействия.

ГЛАВА 4. РЕАЛИЗАЦИЯ ПРОГРАММНОГО КОМПЛЕКСА ДЛЯ РАСЧЕТА ЭНЕРГИИ АВТОЛОКАЛИЗОВАННЫХ ОДНО- И ДВУХЭЛЕКТРОННЫХ СОСТОЯНИЙ.

4.1 Методы минимизации функций многих переменных.

4.1.1. Метод покоординатного спуска и метод Хука-Дживса

4.1.2. Градиентный метод и метод Флетчера-Ривса.

4.1.3. Метод случайного поиска.

4.2 Аналитические формулы.

4.2.1. F-центр.

4.2.2. Одноцентровая конфигурация. d~ -центр (связанный биполярон).

4.2.3. Двухцентровая конфигурация. F2-центр (связанный двухцентровый биполярон).

4.2.4. Произвольная связь.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Электронные корреляции и поляронные эффекты в двухэлектронных системах»

Представляемая диссертация посвящена актуальной проблеме — разработке алгоритмов и программного обеспечения для численного исследования автолокализованных электронных состояний: поляронов и биполяронов в ионных кристаллах, D~ -центров в ковалентных кристаллах и смешанных кристаллах.

Интерес к биполяронам вырос в связи с экспериментальными доказательствами их существования в ряде кристаллов, а также с развитием представлений о биполяронном механизме высокотемпературной сверхпроводимости.

D~ -центры и подобные им системы стали активно изучаться в связи с развитием нанотехнологий и принципиальной возможностью создания квантовых компьютеров на электронном спиновом резонансе и, в частности, в структурах Ge-Si.

Целью диссертационной работы является

1. Найти пробную волновую функцию наиболее общего вида для минимизации энергии двухцентровой двухэлектронной системы, взаимодействующей с фононами. Волновая функция должна позволить провести интегрирование по электронным координатам в аналитическом виде и учитывать электронные корреляции.

2. Разработать программу для расчета энергии автолокализованных одно- и двухэлектронных состояний в рамках метода Буймистрова-Пекара в случае сильной и произвольной связи с фононами, предусматривающую условную минимизацию функций многих переменных различными методами.

3. Рассчитать энергии синглетных и триплетных термов свободных и связанных биполяронов (одноцентровые и двухцентровые конфигурации) в кристаллах с ионной и ковалентной связью с учетом корреляционных эффектов (прямой зависимости волновой функции системы от расстояния между электронами) для произвольной величины электрон-фононного взаимодействия.

4. Построить зависимости энергии системы (синглетные и триплетные термы), состоящей из двух поляронов от расстояния между центрами поляризационных ям с учетом электронных корреляций. Определить какой из биполяронов - одноцентровый или двухцентровый, энергетически наиболее выгоден.

Все результаты, изложенные в оригинальной части диссертации, получены впервые.

Практическая ценность. Разработанный программный комплекс «Extreman» установлен в Институте математических проблем биологии РАН (г. Пущино), а также в Институте физики полупроводников НАН Украины (г. Киев), где использовался с.н.с., к.ф.-м.н. Кашириной Н.И. и чл.-к. НАН Украины, проф., д.ф.-м.н. Шейнкманом М.К. для проведения вычислительных экспериментов в области физики твердого тела.

С помощью созданного программного комплекса получен ряд результатов, имеющих самостоятельный физический интерес. При этом разработанные алгоритмы и программное обеспечение имеют самостоятельную ценность и могут применяться для решения других актуальных задач.

В частности, в настоящее время с использованием разработанного программного обеспечения проводится изучение поляронных эффектов в двухэлектронных системах в анизотропных кристаллах и структурах с пониженной размерностью.

Апробация работы. Основные результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научных семинарах Института математических проблем биологии РАН (Пущино), семинарах Теоретического отдела Института физики полупроводников НАН Украины (Киев), Международной конференции по физике электронных материалов (Калуга, 2002), V Международном конгрессе по математическому моделированию (Дубна), I Украинской конференции по физике полупроводников (с международным участием) (Одесса), I Всероссийской конференции «Спектральные методы обработки информации в научных исследованиях» (Пущино).

Публикации. По результатам диссертации опубликовано 10 работ, из которых 2 статьи в российских научных журналах (Физика твердого тела; Физика и техника полупроводников), 2 статьи в международном научном журнале Physica Status Solidi (b), и 2 статьи в международном научном журнале Semiconductor Physics, Quantum Electronics & Optoelectronics.

Структура и содержание работы. Диссертация состоит из введения, четырех глав и заключения, содержит 100 страниц, 18 рисунков, 5 таблиц и список цитируемой литературы, включающий 100 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Сычев, Вячеслав Викторович

Заключение

1. Пробная двухэлектронная волновая функция предложена в виде линейной комбинации гауссовых орбиталей с корреляционными множителями, что позволило аналитически провести интегрирование по электронным координатам в функционалах автолокализованных электронных систем и одновременно учесть электронные корреляции. Таким образом, в рамках единого подхода удалось смоделировать различные пространственные конфигурации двухэлектронных двухцентровых систем в кристаллах с учетом электрон-фононного взаимодействия.

2. На языке Borland С++ Builder 6 создан программный комплекс «Extreman» для расчета энергии основного состояния автолокализованных одно- и двухэлектронных состояний в рамках метода Буймистрова-Пекара, предусматривающий условную минимизацию функций многих переменных различными методами нулевого и первого порядка.

3. С помощью разработанного программного комплекса показано, что единственный энергетический минимум соответствует одноцентровому биполярону, а двухцентровая конфигурация биполярона энергетически не выгодна и ее появление связано с менее общим выбором пробной волновой функции без учета электронных корреляций.

4. Для произвольной величины электрон-фононного взаимодействия получены наиболее низкие значения энергии основного состояния свободного биполярона и D~ -центров по сравнению с другими методами, использующими прямое варьирование волновой функции.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Сычев, Вячеслав Викторович, 2004 год

1. Дейген М.Ф., Каширина Н.И., Суслин J1.A. Обменное взаимодействие примесных центров в кристаллах, обусловленное фононами // Журн. эксперим. и теорет. физики. - 1978. - Т. 75. №1. - С. 149- 152.

2. Каширина Н.И., Суслин J1.A. Обменное взаимодействие парамагнитных центров в проводящей среде // Физика твердого тела. 1986. - Т. 28. №1. - С. 257 - 262.

3. Ogg R.A. Superconductivity in solid metal-ammonia solutions // Phys. Rev. 1946. - Vol. 70. №1. - P. 93 - 93.

4. Беднорц И.Г., Мюллер K.A. Оксиды перовскитного типа новый подход к высокотемпературной сверхпроводимости // Успехи физич. наук. - 1988. - Т. 156. №2. - С. 323 - 346.

5. Дмитренко И.М., Щеткин И.С. К вопросу о сверхпроводимости в системе натрий аммиак // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики. - 1973. - Т. 18. №8. - С. 497 - 501.

6. Пашицкий Э.А. Наблюдал ли Огг высокотемпературную сверхпроводимость в металл-аммиачных растворах? // Физика низких температур. 1998. - Т. 24. №11. - С. 1110 - 1112.

7. Пекар С.И., Томасевич О.Ф. Теория F'-центров // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1951. - Т. 21. №11. - С. 1218 - 1222.

8. Томасевич О.Ф. F'-центры в щелочно-галоидных кристаллах // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1951.-Т. 21. №11.-С. 1223 - 1226.

9. Пекар С.И. Исследования по электронной теории кристаллов. -М., Л.: ГИТТЛ, 1951.(256 с.)

10. Москаленко С.А. Два «лишних» электрона в среде с большой диэлектрической проницаемостью // Ученые зап. Кишинев, гос. ун-та. 1955.-Т. 17.-С. 103-110.

11. Дейген М.Ф. Энергия тепловой диссоциации и основное состояние двойного центра окраски в ионных кристаллах // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1951. - Т. 21. №9. - С. 992 - 1000.

12. Frohlich Н., Pelzer Н., Zienau S. Properties of slow electrons in polar materials // Phil. Mag. 1950. - T. 41. - P. 221 - 242.

13. Винецкий B.JI., Гиттерман М.Ш. К теории взаимодействия «лишних» зарядов в ионных кристаллах // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1957. - Т. 33. №9. - С. 730 - 734.

14. Винецкий В.Л. О биполяронных состояниях носителей тока в ионных кристаллах // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1961. — Т. 40. №5.-С. 1459- 1468.

15. Винецкий В.Л., Семенец Т.И. Биполяроны промежуточной связи и сверхпроводимость неметаллических кристаллов // Украинский физич. журн. 1975. - Т. 20. № 3. - С. 353 - 359.

16. Винецкий В.Л., Пашицкий Э.А. Биполяронные состояния в кристаллах с анизотропной эффективной массой свободных носителей заряда // Физика твердого тела. 1983. - Т. 25. №6. - С.1744- 1747.

17. Винецкий В.Д., Пашицкий Э.А., ЯнчукВ.А. Биполяроны в неметаллических кристаллах // Журн. структурной химии. 1986. -Т. 27. №6.-С. 181 - 185.

18. Супрун С.Г., Мойжес Б.Я. О роли электронной корреляции в образовании биполярона Пекара // Физика твердого тела. 1982. -Т. 24. №5.-С. 1571 - 1573.

19. Larsen D.M. Giant binding of D~ -centers in polar crystals // Phys. Rev. В. 1981. - Vol. 23. №2. - P. 628 - 631.

20. Слэтер Дж. Диэлектрики, полупроводники, металлы. М.: Мир, 1969.

21. Байматов П.Ж., Хужакулов Д.Ч., Шарипов Х.Т. Биполярон в методе промежуточной связи // Физика твердого тела. 1997. -Т. 39. №2. - С. 284-285.

22. Anderson P.W. Resonating valence bonds: A new type of insulator // Mater. Res. Bull. 1973. - Vol. 8. №2. - P. 153 - 160.

23. Кулик И.О., Педан А.Г. Фазовый переход в модели «сверхпроводящего стекла» // Журн. эксперим. и теорет. физики. -1980. Т. 79. №4. - С. 1469 - 1482.

24. Alexandrov A.S., Ranninger J. Bipolaronic superconductivity // Phys. Rev. B. 1981. - Vol. 24. №3. - P. 1164 - 1169.

25. Mott N.F. Polaron models of high-temperature superconductors // J. Phys.: Condensed Matter. 1993. - Vol. 5. №22. - P. 3487 - 3506.

26. Нагаев Э.Л. Физика магнитных полупроводников. М.: Наука, 1979.

27. Дейген М.Ф., Пекар С.И. О состояниях электрона проводимости в идеальном гомеополярном кристалле // Журн. эксперим. итеорет. физики. 1951. - Т. 21. №7. - С. 803 - 808.

28. Лахно В.Д. Новый тип автолокализованных состояний электрона проводимости в антиферромагнитном кристалле в сильном магнитном поле // Физика твердого тела. 1981. - Т. 23. №8.-С. 2344-2346.

29. Лахно В.Д. Об автолокализации электрона проводимости в кристаллах с магнитным порядком // Физика твердого тела. -1982. Т. 24. №9. - С. 2787 - 2793.

30. Шриффер Дж. Теория сверхпроводимости. М.: Наука, 1970.

31. Гинзбург В.Л. Современное состояние теории сверхпроводимости. II. Микроскопическая теория // Успехи физич. наук. 1952. - Т. 48. №1. - С. 26 - 118.

32. Schafroth M.R. Superconductivity of a charged boson gas // Phys. Rev. 1954. - Vol. 96. №4. - P. 1149 - 1149.

33. Foldy L.L. Diffusion of high energy gamma-rays through matter. I. Fundamental Equations // Phys. Rev. 1951. - Vol. 81. №3. - P. 395 -399.

34. Griffiths D.J. A model exhibiting type II superconductivity // Phys. Lett. 1966. - Vol. 20. №2. - P. 99 - 100.

35. Fetter A.L. Transition temperature of a dense charged bose gas // Ann. Phys. 1971. - Vol. 64. №1. - P. 1 - 20.

36. Ma S. Critical exponents for charged and neutral bose gases above lambda points // Phys. Rev. Lett. 1972. - Vol. 29. №19. - P. 1311 -1314.

37. Винецкий В.Л., Пашицкий Э.А. Сверхтекучесть заряженного бозе-газа и биполяронный механизм сверхпроводимости // Украинский физич. журн. 1975. - Т. 20. №2. - С. 338 - 341.

38. Schooley J.F., Hosier W.R., Cohen M.L. Superconductivity in semiconducting SrTi03 // Phys. Rev. Lett. 1964. - Vol. 12. №17.1. P. 474-475.

39. Emin D. Formation, motion, and high-temperature superconductivity of large bipolarons // Phys. Rev. Lett. 1989. - Vol. 62. №13. -P. 1544-1547.

40. VerbistG., Peeters F.M., and Devreese J.T. Large bipolarons in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1991. - Vol. 43. №4. - P. 2712 -2720.

41. VerbistG., Smondyrev M.A., Peeters F.M., Devreese J.T. Strong-coupling analysis of large bipolarons in two and three dimensions // Phys. Rev. B. 1992. - Vol. 45. №10. - P. 5262 - 5269.

42. Боголюбов H.H. К теории сверхтекучести // Изв. АН СССР. Сер. физич.- 1947.-Т. 11. №1. С. 77 - 90.

43. Ландау Л.Д. Теория сверхтекучести гелия-Н // Журн. эксперим. итеорет. физики. 1941.-Т. 11. №6.-С. 592-614.

44. Пашицкий Э.А., Винецкий В.Л. Плазмонный и биполяронный механизмы высокотемпературной сверхпроводимости // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики. 1987. - Т. 46. Приложение. -С. 124- 127.

45. Alexandrov A.S., Ranninger J., Robaszkiewicz S. Bipolaronic superconductivity: Thermodynamics, magnetic properties, and possibility of existence in real substances // Phys. Rev. B. 1986. -Vol. 33. №7. - P. 4526 - 4542.

46. Александров A.C. Биполяроны малого радиуса и аномальные свойства высокотемпературных сверхпроводников LBCO, LSCO и YBCO // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики. 1987. -Т. 46. Приложение. - С. 128-131.

47. Adamowski J. Energy levels of the bound polaron // Physics of Semiconducting Compounds. Vol. 6 (ed. Galazka R.R. & Rauluszkiewicz J., Ossolineum, Wroclaw, 1983) - P. 139 - 142.

48. Adamowski J. Energy spectrum of the bound polaron // Phys. Rev. B. 1985. - Vol. 32. №4. - P. 2588 - 2595.

49. Adamowski J. Formation of Frohlich bipolarons // Phys. Rev. B. -1989. Vol. 39. №6. - P. 3649 - 3652.

50. Adamowski J. Properties of D"-centers in polar crystals 11 Phys. Rev. B. 1989. - Vol. 39. №18. - P. 13061 - 13066.

51. Adamowski J., Bednarek S. Stability of large bipolarons // J. Phys.: Condens. Matter. 1992. - Vol. 4. №11. - P. 2845 - 2855.

52. Каширина Н.И., Моздор E.M., Пашицкий Э.А., Шека В.И. Биполяроны в анизотропных кристаллах // Известия РАН. Сер. физич. 1995. - Т. 59. №8. - С. 127 - 133.

53. Pokatilov Е.Р., FominV.M., Devreese J.T., Balaban S.N., and Klimin S.N. Bipolaron binding in quantum wires // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 61. №4. - P.2721 - 2728.

54. Devreese J.T., Fomin V.M., Pokatilov E.P., Kotomin E.A., and Eglitis R. Theory of bound polarons in oxide compounds // Phys. Rev. B. -2001.-Vol. 63. №18.-P. 184304-1 184304-5.

55. Adamowski J., Sobkowicz M., Szafran В., and Bednarek S. Electron pair in a Gaussian confining potential // Phys. Rev. B. 2000. - Vol. 62. №7.-P. 4234-4237.

56. Лахно В.Д. Биполяронные состояния электронов в кластерах // Известия РАН. Сер. физич. 1996. - Т. 60. №9. - С. 65 - 68.

57. Лахно В.Д. Модель F-центра для отрицательно заряженных металл-аммиачных кластеров // Известия РАН. Сер. физич. 1998. -Т. 62. №6.-С. 1091 - 1094.

58. Давыдов А.С. К теории поляронов // Тр. физич. фак. Киев. гос. ун-та 1952. - Т. 5. №1. - С. 26 - 31.

59. Collins G.W. The Fundamentals of Stellar Astrophysics // Web Edition Case Western Reserve University. - January 2003. (http://astrwww.cwru.edu/personal/collins/astrobook/)

60. Baartman R., Yuan D. Space charge neutralization studies of an H~ beam // Proc. EPAC (1988) P. 949 - 950.

61. Kuo Т., Baartman R., Milton В., Craddock M.K. and Dutto G. A possible high current H~ injector for cyclotron-based «energy amplifier» accelerator // Proc. EPAC96 (Barcelona).

62. Tomlin R. Ion beam notcher using a laser // Proceedings of the 2001 Particle Accelerator Conference, Chicago. P. 3912 - 3914.

63. Dean P.J., Hayes J.R., Flood W.F. New radiative recombination processes involving neutral donors and acceptors in silicon and germanium //Phys. Rev. 1967. - Vol. 161. №3. - P. 711 - 729.

64. Chang Y.-C., McGillT.C. Theory of D~-states in Ge and Si // Phys. Rev. B. 1982. - Vol. 25. №6. - P. 3927 - 3944.

65. Gross P., Gienger M., Lassmann K. Dependence of the phonoionization of A+-states in Si on uniaxial pressure // Jpn. J. Appl. Phys. 1987. - Vol. 26. №1. - P. 673 - 674.

66. Мухоморов B.K. Основное состояние оптического биполярона (квазимолекулярного димера) с промежуточной силой связи // Оптика и спектроскопия. 1999. - Т. 86. №1. - С. 50 - 55.

67. Mukhomorov V.K. Bipolaron states of electrons and magnetic properties of metal-ammonia systems // Physica status solidi (b). -2000. Vol. 219. №1. - P. 71 - 89.

68. Мухоморов В.К. Границы существования континуального трехмерного биполярона // Физика твердого тела. 2002. - Т. 44. №2.-С. 232-238.

69. Пекар С.И., Рашба Э.И., ШекаВ.И. Свободный и автолокализованный экситоны Ванье-Мотта в ионных кристаллах и энергия активации их теплового перехода друг в друга // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1979. - Т. 76. №1. - С. 251 - 256.

70. Bednarek S., SzafranB., Adamowski J. Many-electron artificial atoms // Phys. Rev. B. 1999. - Vol. 59. №20. - P. 13036 - 13042.

71. Feynman R.P. Statistical Mechanics. Benjamin, Reading, MA,1972.

72. Орбух В.И., Шека В.И. Континуальный полярон сильной связи в анизотропном кристалле // Украинский физич. журн. 1985. -Т. 30. №5.-С. 771 - 775.

73. Inkson J.C. Screened exchange in semiconductors // J. Phys. C.1973. Vol. 6. №9. - P. L181 - L185.

74. Бразовский C.A., Кирова H.H. Экситоны, поляроны и биполяроны в проводящих полимерах // Письма в Журн. эксперим. и теорет. физики. 1981. - Т. 33. №1 - С. 6 - 10.

75. Бразовский С.А., Яковенко В.М. К теории органических сверхпроводящих материалов // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1985. - Т. 89. №12. - С. 2318 - 2340.

76. HeegerA.J., Kivelson S., Schrieffer J.R., Su W.-P. Solitons in conducting polymers // Rev. Mod. Phys. 1988. - Vol. 60. №3. - P. 781 -850.

77. Tajima S., Nakahashi Т., Uchida S., Tanaka S. Correlation between plasma frequency and superconducting transition temperature in YBa2Cu3Oy // Physica C. 1988. - Vol. 156. №3. - P. 569 - 599.

78. Пашицкий Э.А. К вопросу о механизме высокотемпературной сверхпроводимости в YBa2Cu307.5 // Физика твердого тела. 1989. - Т. 31. №1- С. 46-56.

79. Smondyrev М.А., Fomin V.M. Pekar-Frohlich bipolarons // In: Polarons and Applications, ed. Lakhno V.D. (J. Willey & Sons, Chichester, 1994), P. 13 70.

80. Bogolubov N.N. // In: Advances in Theoretical Physics, Ed. Caianiello E. (World Scientific, Singapore, 1991), P. 1 18.

81. Ландау JI.Д., Пекар С.И. Эффективная масса полярона // Журн. эксперим. и теорет. физики. 1948. - Т. 18. №5. - С. 419 - 423.

82. Smondyrev М.А., Devreese J.T., Peeters F.M. Asymptotic expansions in the path-integral approach to the bipolaron problem // Phys. Rev. B. -1995. Vol. 51. №21. - P. 15008 - 15015.

83. Гомбаш П. Проблема многих частиц в квантовой механике. -М.:ИЛ, 1953.

84. Miyake S.J. Strong coupling limit of the polaron ground state // J. Phys. Soc. Japan. 1975. - Vol. 38. №1. - P. 181 - 182.

85. Винецкий В.Л., Мередов О., Янчук В.А. Квантовая химия биполярона в изотропной континуальной среде // Теор. и эксперим. химия. 1989. - Т. 25. №6. - С. 641 - 647.

86. Deving H.L., Salje Е.К.Н. The effect of superconducting phase transition on the near-infrared absorption of YBa2Cu3C>7-delta // J. Phys. Supercond. Sci. Technol. 1992. - Vol. 5. №2. - P. 50 - 53.

87. Adamovski J., Gerlach В., and Leschke H., in: Functional Integration Theory and Applications, edited by J.P. Antoine and E. Trapegui (Plenum, New York, 1980), P. 291.

88. Hill R.N. Prof that the FT ion has only one bound state // Phys. Rev. Lett. 1977. - Vol. 38. №2. - P. 643 - 646.

89. Васильев Ф.П. Численные методы решения экстремальных задач. М.: Наука, 1980. (520 с.)

90. Карманов В.Г. Математическое программирование. М.: Наука, 1975.

91. Денисов Д.В. Метод покоординатного спуска в задачах условной минимизации // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1977. - Т. 17. №4. - С. 1034 - 1036.

92. Химмельблау Д. Прикладное нелинейное программирование. -М.: Мир, 1975.

93. Носач В.В. Решение задач аппроксимации с помощью персональных компьютеров. М.: МИКАП, 1994. (382 с.)

94. Пшеничный Б.Н., Данилин Ю.М. Численные методы в экстремальных задачах. М.: Наука, 1975.

95. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. М.: Лаборатория Базовых Знаний, 2002. (632 с.)

96. Денисов Д.В. О методе случайного поиска в задачах условной минимизации // Журн. вычислит, матем. и матем. физики. 1978. -Т. 18. №5. - С. 1103-1111.