Энтропийные эффекты в диффузионном транспорте, обусловленные геометрией среды тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.07, кандидат наук Антипов, Анатолий Евгеньевич

• Антипов, Анатолий Евгеньевич
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Антипов, Анатолий Евгеньевич

Содержание

Содержание..........................................................................................2

Введение...........................................................................4

1 Анализ литературы и постановка задач исследования....................................7

1.1 Примеры процессов, контролируемые энтропийным фактором........................7

1.2 Концепции, методы и основные результаты..............................................10

1.2.1 Базовая модель......................................................................10

1.2.2 Особенности диффузии в неоднородных средах и в условиях пространственных ограничений............................................................12

1.2.3 Выход броуновской частицы из полости сквозь малое отверстие ............13

1.2.4 Перенос частиц через капиллярные каналы ....................................14

1.2.5 Диффузия в каналах и трубках переменного сечения..........................16

1.3 Задачи исследования........................................................................25

2 Диффузия в квазиодномерных структурах..................................................27

2.1 Формулировка подхода....................................................................27

2.2 Общая формула для эффективного коэффициента диффузии..........................30

2.3 Диффузия в периодически расширяющейся трубке....................................32

2.4 Выводы......................................................................................35

3 Диффузия в трубках с альтернирующим сечением........................................36

3.1 Диффузионный транспорт в отсутствие внешних воздействий........................37

3.1.1 Статистика времен переходов....................................................37

3.1.2 Эффективный коэффициент диффузии..........................................41

3.2 Диффузионный транспорт под действием внешних воздействий......................45

3.2.1 Эффективная подвижность........................................................45

3.2.2 Эффективный коэффициент диффузии..........................................49

3.3 Выводы......................................................................................54

4 Энтропийный броуновский мотор............................................................55

4.1 Молекулярные моторы и насосы..........................................................56

4.1.1 Белковые моторы..................................................................56

4.1.2 Синтетические моторы............................................................58

4.2 Броуновские моторы........................................................................62

4.3 Зависимость эффективной подвижности от приложенной силы в трубках различной структуры..............................................................................64

4.4 Дрейф частицы в периодически сужающейся трубке, индуцируемый периодически меняющейся по направлению силой ................................................67

4.5 Выводы......................................................................................77

5 Характеристики энтропийного броуновского мотора......................................78

5.1 Эффективность преобразования энергии................................................78

5.1.1 Адиабатический предел............................................................79

5.1.2 Влияние частоты возмущений....................................................80

5.2 Выпрямление синусоидального сигнала..................................................81

5.2.1 Затухание скорости дрейфа с ростом частоты переключений..................82

5.3 Выпрямление сигнала, изменяющегося по случайному закону........................84

5.4 Обсуждение результатов ..................................................................87

5.5 Выводы......................................................................................89

Заключение..........................................................................................90

Литература..........................................................................................95

Приложение А: Компьютерное моделирование........................107

Приложение Б: Вывод формулы (3.8)..............................110

Приложение В: Вывод формулы (3.20).............................112

Приложение Г: Вывод формулы (3.38).............................116

Приложение Д: Суммирование ряда в формуле (4.27)....................118

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Энтропийные эффекты в диффузионном транспорте, обусловленные геометрией среды»

Диффузионный транспорт определяет протекание разнообразных природных и технологических процессов. Следует особенно подчеркнуть его ключевую роль в функционировании живых систем. Закономерности диффузии в неограниченном однородном пространстве достаточно полно изложены в ряде отечественных и зарубежных монографий (см., например, [1-3]). В последние десятилетия интерес исследователей, будучи стимулирован проблемами молекулярной биологии и современных технологий, а также благодаря возросшим возможностям эксперимента, сместился в сторону изучения транспорта в микро- и наноразмерных объектах (пористых материалах, внутриклеточном и межклеточном пространстве, мембранах различного происхождения и других подобных объектах). В результате наши представления о диффузии и контролируемых ею процессах не только обогатились новыми фактами, но и претерпели во многих аспектах качественные изменения (см., например, [4,5]).

В условиях пространственных ограничений (присущих таким объектам), наряду с рядом других факторов [6], важным оказался учет того обстоятельства, что область пространства, доступного для диффундирующей частицы, зависит от ее положения. Порождаемая таким образом пространственная зависимость энтропии частицы, обусловленная геометрией среды, приводит к ряду неожиданных, ярких эффектов, изучению которых и посвящена данная работа.

Актуальность исследования обусловлена потребностью понять механизмы внутриклеточного транспорта [6] и необходимостью разработать устройства, обеспечивающие контролируемое движение на наноуровне [7]. Критический анализ литературы показывает, что на данном этапе особенно остро ощущается нехватка аналитически трактуемых подходов и результатов.

Диссертационная работа преследует двоякую цель: (а) развить аналитические методы учета обусловленных геометрией эффектов в диффузионных процессах и для ряда квазиодномерных периодических структур найти эффективные транспортные коэффициенты, как функции геометрических параметров среды; (б) предложить механизм выпрямления неравновесных флуктуаций за счет асимметрии формы окружения, то есть разработать энтропийный броуновский мотор.

Для достижения этих целей в работе поставлены и решены следующие задачи:

1. Найти эффективный коэффициент диффузии Deff в периодических квазиодномерных структурах.

2. В трубке, состоящей из чередующихся широких и узких участков, проанализировать статистику времен перехода диффундирующей частицы между соседними ячейками и рассчитать Deff при произвольных геометрических параметрах трубки.

3. Для такой же трубки изучить дрейф и диффузию частиц под действием постоянной силы.

4. Разработать энтропийный броуновский мотор и рассчитать его основные характеристики (скорость дрейфа, силу остановки и энергетическую эффективность) в зависимости от характера внешнего воздействия. Основные положения, выносимые на защиту:

1. Общая формула для в периодических квазиодномерных структурах.

2. Оправданность метода гомогенизации поверхности в задачах диффузионного транспорта не только при вычислении средних, но и более детальных характеристик диффузионного процесса.

3. При больших значениях движущей силы в трубке с перегородками (с отверстиями в их центре) Д^ растет пропорционально квадрату силы. С утолщением перегородки Веа монотонно спадает, если отверстие достаточно велико, и ведет себя немонотонно в противном случае.

4. Феномен возникновения направленного движения броуновской частицы, находящейся в трубке асимметричной формы, под действием флуктуирующей силы с нулевым средним, т.е. выпрямление сигнала возможно исключительно за счет нарушенной зеркальной симметрии формы окружения.

5. Теория энтропийного броуновского мотора, определяющая его основные характеристики в зависимости от геометрических параметров модели, характера и частоты флуктуирующей силы.

Научная новизна:

1. В диссертации поставлен и решен принципиальный вопрос о возможности возникновения направленного движения под действием неравновесных флуктуаций за счет асимметрии формы окружения. Привлекательность оригинальной модели энтропийного броуновского мотора — в ее необычных свойствах, высокой эффективности, а также доступности аналитических решений.

2. Впервые изучены диффузия и дрейф частицы под действием постоянной силы в трубке, состоящей из чередующихся широких и узких участков. При больших значениях силы найдены решения, отражающие ранее неизвестные закономерности транспорта.

3. В трубках с альтернирующим и периодически сужающимся сечением получены новые формулы для Дя (в отсутствие внешних сил).

4. Впервые показано, что метод гомогенизации поверхности пригоден не только в отсутствие энтропийного потенциала, но и при его наличии.

Практическая значимость диссертационной работы заключается в том, что полученные в ней зависимости могут быть применены для интерпретации физико-химических и биологических процессов, в которых диффузия частиц контролируется геометрией среды. Развитые в дис-

сертации методы могут быть использованы для учета энтропийных эффектов в диффузионном транспорте в ситуациях, отличных от рассмотренных.

Методы расчета транспортных коэффициентов в периодических квазиодномерных структурах и учета энтропийных эффектов включают в себя аналитические подходы, обеспечивающие редукцию размерности задачи (подход Фика-Джейкобса, эффективное одномерное описание с гомогенизацией поверхности, метод «застойных» зон), а также компьютерное моделирование, выполненное методом броуновской динамики.

Достоверность полученных результатов и выводов диссертационной работы обеспечивается корректностью использования математического аппарата, контролируемостью используемых приближений за счет сопоставления предсказаний аналитических расчетов с данными компьютерного моделирования, и подтверждается правильностью предельных переходов к известным результатам других авторов, полученным ранее в предметной области исследования.

Апробация работы. Основные результаты работы были представлены на XXII и XXV симпозиумах «Современная химическая физика» (г. Туапсе, 2010, 2013), XIII Российской конференции по теплофизическим свойствам веществ (с международным участием) (г. Новосибирск, 2011), международных молодежных научных форумах «Ломоносов» (г. Москва, 2010-2012) и II международной научной интернет-конференции «На стыке наук. Физико-химическая серия» (г. Казань, 2014), а также на научных семинарах в ИНХС им. А. В. Топчиева, МГУ, НИФХИ им. Л.Я. Карпова.

Личный вклад. Автор принимал непосредственное участие в постановке задач, их аналитическом решении и обсуждении полученных результатов, а также лично проводил численное моделирование процесса диффузии в исследуемых системах методом броуновской динамики. Программное обеспечение для выполнения компьютерных экспериментов написано автором.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 13 печатных изданиях, 6 из которых опубликованы в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК, 7 — в виде тезисов докладов.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографического списка литературы и пяти приложений. Полный объем диссертации составляет 118 страниц с 32 рисунками и 2 таблицами. Список литературы содержит 206 наименований.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Антипов, Анатолий Евгеньевич, 2014 год

научной группе и моим замечательным учителям: Сергею Михайловичу Алдошину и Юрию Абрамовичу Махновскому. Огромное спасибо за полезные обсуждения и ценные советы Владимиру Юрьевичу Зицерману и Александру Михайловичу Бережковскому.

Список опубликованных работ по теме диссертации

1. V.Yu. Zitserman, A.M. Berezhkovskii, A.E. Antipov, and Yu. A. Mahnovskii. Communication: Drift velocity of brownian particle in a periodically tapered tube induced by a time-periodic force with zero mean: Dependence on the force period. Journal of Chemical Physics, 135(12):121102, 2011. Импакт-фактор: 3.162.

2. A. E. Antipov, A. V. Barzykin, A. M. Berezhkovskii, Yu. A. Makhnovskii, V. Yu. Zitserman, and S. M. Aldoshin. Effective diffusion coefficient of a brownian particle in a periodically expanded conical tube. Physical Review E - Statistical, Nonlinear, and Soft Matter Physics, 88(5):054101, 2013. Импакт-фактор: 2.313.

3. В.Ю. Зицерман, Ю.А. Махновский и A.E. Антипов. Направленный транспорт броуновской частицы в периодически сужающейся трубке. Журнал Экспериментальной и Теоретической Физики, 142(9):603-620, 2012. Импакт-фактор: 0.946.

4. А.Е. Антипов, Ю.А. Махновский и В.Ю. Зицерман. Асимметрия формы окружения как механизм генерации направленного движения. Журнал Технической Физики, 83(11): 15—23,

2013. Импакт-фактор: 0.552.

5. А.Е. Антипов, В.Ю. Зицерман, Ю.А. Махновский, С.М. Алдошин. Диффузия в квазиодномерных периодических структурах. Доклады Академии Наук 454(6):576-579, 2014. Импакт-фактор: 0.885.

6. А.Е. Антипов, Ю.А. Махновский, В.Ю. Зицерман, С.М. Алдошин. Диффузия в трубке, состоящей из чередующихся широких и узких участков. Химическая Физика, 33(9):78-86,

2014. Импакт фактор: 0.211.

7. Антипов А.Е., Махновский Ю.А., Зицерман В.Ю., Бережковский A.M. «Диффузия в трубах с периодически скачкообразно меняющимся сечением» // XXII симпозиум «Современная химическая физика» (г. Туапсе, Россия, 24 сентября - 5 октября, 2010 г.): аннотации докладов - г. Туапсе, 2013 г. - с. 55.

8. Антипов А.Е. «Диффузия в трубах с периодически меняющимся сечением» // Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2010» (г. Москва, Россия, 12-15 апреля, 2010 г.): материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2010» [Электронный ресурс: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_ 2010/23 .htm] - М.: МАКС Пресс.

9. Зицерман В.Ю., Антипов А.Е., Махновский Ю.А., Бережковский A.M. «Подвижность на-ночастицы в условиях пространственной асимметрии. Выпрямляющий эффект сильного поля» // XIII Российская конференция по теплофизическим свойствам веществ (с международным участием) (г. Новосибирск, Россия, 28 июня - 1 июля, 2011 г.): тезисы докладов - г. Новосибирск - с. 110-111.

10. Антипов А.Е. «Диффузия в трубах с альтернирующим диаметром» // XVIII Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2011» (г. Москва, Россия, 11-16 апреля, 2011 г.): материалы Международного молодежного научного форума «JIOMOHOCOB-2011» [Электронный ресурс: http://lomonosov-msu. ru/archive/Lomonosov_ 2011/index_2 .htm] - M.: МАКС Пресс.

11. Антипов А.Е. «Дрейф броуновской частицы в периодически сужающейся трубке под действием периодически меняющейся со временем силы» // XIX Международный молодежный научный форум «Ломоносов-2012» (г. Москва, Россия, 9-13 апреля, 2012 г.): материалы Международного молодежного научного форума «ЛОМОНОСОВ-2012» [Электронный ресурс: http://lomonosov-msu.ru/archive/Lomonosov_2012/index_2. htm] — M.: МАКС Пресс.

12. Зицерман В.Ю., Антипов А.Е., Махновский Ю.А., Бережковский A.M. «Дрейф частиц в периодических асимметричных структурах, индуцированный переменной по направлению силой» // XXV симпозиум «Современная химическая физика» (г. Туапсе, Россия, 20 сентября - 1 октября, 2013 г.): аннотации докладов - г. Туапсе, 2013 г. - с. 75.

13. Зицерман В.Ю., Антипов А.Е., Махновский Ю.А. «Энтропийный механизм функционирования броуновского мотора» // II международная научная интернет-конференция «На стыке наук. Физико-химическая серия» (г. Казань, Россия, 28 января 2014 г.): материалы конференции - г. Казань, 2014 г. - т. 1, с. 10.

1. Де Гроот С., Мазур П. Неравновесная термодинамика. М. Мир, 1964.

2. Crank J. Mathematics of diffusion. Clarendon, Oxford, 1956.

3. Френкель Я. И. Кинетическая теория жидкостей. Л.: Наука, 1975.

4. Kärger J., Ruthven D. M. Diffusion in zeolites and other microporous solids. Willey & Sons, New York, 1992.

5. Barzykin A. V., Seki K., Tachiya M. Kinetics of diffusion-assisted reactions in microheteroge-neous systems // Adv. Colloid Interface Sei. 2001. Vol. 89-90. P. 47 - 140.

6. Bressloff P. C., Newby J. M. Stochastic models of intracellular transport // Rev. Mod. Phys. 2013. Vol. 85. P. 136- 196.

7. Feynman R. P. There's plenty of room at the bottom // Eng. and Sei. 1960. P. 22 - 36.

8. Stuart G., Spruston N., Hausser M. Dendrites. Oxford University Press, Oxford, 2008.

9. Lopez G. P., Marin G. V., Freire M. The discovery of dendritic spines by Cajal in 1888 and its relevance in the present neuroscience // Prog. Neurobiol. 2010. Vol. 83, no. 2. P. 110-130.

10. Higley J. M., Sabatini B. L. Calcium signaling in dendritic spines. Cold. Spring. Harb. Perspect. Biol., 2012.

11. Küsters R., Kapitein L. C., Hoogenraad С. C., Storm C. Shape-induced asymmetric diffusion in dendritic spines allows efficient synaptic AMPA receptor trapping // Biophys. J. 2013. Vol. 105, no. 12. P. 2743-2750.

12. Holcman D., Schuss Z. Diffusion laws in dendritic spines // J. Mat. Ncurosci. 2011. Vol. 1. P. 10-14.

13. Byrne M. J., Waxham N., Kubota Y. The impacts of geometry and binding on CaMKII diffusion and retention in dendritic spines // J. Comput. Neurosci. 2011. Vol. 31, no. 1. P. 1 - 12.

14. Dagdug L., Berezhkovskii A. M., Makhnovskii Yu. A., Zitserman V. Yu. Transient diffusion in a tube with dead ends // J. Chem. Phys. 2007. Vol. 127, no. 22. P. 224712.

15. Зицерман В. Ю., Махновский Ю. А., Дагдуг Л., Бережковский А. М. Диффузия в пористой среде с застойными зонами: анализ методами теории диффузионно-контролируемых реакций // ж. физ. хим. 2008. Т. 82. С. 2265 - 2270.

16. Yu. V., Lu В. Synapses and dendritic spines as pathogenic targets in Alzheimer's disease // Neural Plast. 2012. Vol. 2012. P. 247150.

17. Harel M., Schalk I., Ehret-Sabatier L. et al. Quaternary ligand binding to aromatic residues in the active-site gorge of acetylcholinesterase // Proc. Natl. Acad. Sei. USA. 1993. Vol. 90. P. 90319035.

18. Huang X., Holden H.M., Raushel F.M. Channeling of substrates and intermediates in enzyme-catalyzed reactions // Annu. Rev. Biochem. 2001. Vol. 70. R 149 - 180.

19. Stein W. D. Channels, carriers, and pumps. Elsevier, 2012.

20. Тимашев С. Ф. Физико-химия мембранных процессов. Химия, Москва, 1988.

21. Alekeev А. Е., Reyes S., Selivanov V. et al. Compartmentation of membrane processes and nucleotide dynamics in diffusion-restricted cardiac cell microenvironment // J. Mol. Cell. Cardiol. 2012. Vol. 52, no. 2. P. 401^09.

22. Buonomenna M. G., Yave W., Golemme G. Some approaches for high performance polymer based membranes for gas separation: block copolymers, carbon molecular sieves and mixed matrix membranes // RSC Adv. 2012. Vol. 2, no. 29. P. 10745-10773.

23. Berezhkovskii A. M., Pustovoit M.A., Bezrukov S.M. Channel-facilitated membrane transport: transit probability and interaction with the channel // J. Chem. Phys. 2002. Vol. 116, no. 22. P. 9952-9956.

24. Hille B. Ion channels of excitable membranes. Sinauer Associates, 2001.

25. Santamaría F., Wils S., De Schutter E., Augustine G. J. Anomalous diffusion in Purkinje cell dendrites caused by dendritic spines // Neuron. 2006. Vol. 52. P. 635-648.

26. Santamaría F., Wils S., De Schutter E., Augustine G. J. The diffusional properties of dendrites depend on the density of dendritic spines // Eur. J. Neurosci. 2011. Vol. 34, no. 4. P. 561-568.

27. Rao P. S. C., Jessup R. E., Addiscott Т. M. Experimental and theoretical aspects of solute diffusion in spherical and nonspherical aggregates // Soil Sci. 1992. Vol. 133. P. 342.

28. Hummer G., Rasaiah J. C., Noworyta J. P. Water conduction through the hydrophobic channel of a carbon nanotube // Nature. 2001. Vol. 414. P. 188 - 190.

29. Song L.Z., Hobaugh M.R., Shustak C. et al. Structure of staphylococcal alpha-hemolysin, a heptameric transmembrane pore // Science. 1996. Vol. 274. P. 1859 - 1866.

30. Baerlocher C., McCusker L. В., Olson D. H. Atlas of zeolite framework types, 6th rev.ed. Elsevier, Amsterdam, 2007.

31. Barrer R. M. Zeolites an clay minerals as sorbents and molecular sieves. Academic Press, London, 1978.

32. Weitkamp J. Isomerization of long-chain n-alkanes on a Pt/CaY zeolite catalyst // Ind. Eng. Chem. Prog. DD. 1982. Vol. 21, no. 4. P. 550-558.

33. Кубасов А. А. Цеолиты в катализе: сегодня и завтра // СОЖ. 2000. Т. 6, № 6. С. 44 - 51.

34. Colombo М., Nova I., Tronconi Е. {N02} adsorption on Fe— and Cu—zeolite catalysts: The effect of the catalyst red-ox state // Appl. Catal. B. 2012. Vol. 111-112, no. 0. P. 433 - 444.

35. Marquet C., Buguin A., Talini L., Silberzan P. Rectified motion of colloids in asymmetrically structured channels // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 88, no. 16. P. 168301.

36. Matthias S., Muller F. Asymmetrie pores in a silicon membrane acting as massively parallel brownian ratchets // Nature. 2003. Vol. 424. P. 53 - 57.

37. Kosinska I. D., Fulinski A. Asymmetric nanodiffusion // Phys. Rev. E. 2005. Vol. 72. P. 011201.

38. Fulinski A., Kosinska I., Siwy Z. Transport properties of nanopores in electrolyte solutions: the diffusional model and surface currents // New J. Phys. 2005. Vol. 7. P. 132-150.

39. Эйнштейн А., Смолуховскнй M. Брауновское движение. Сборник статей, (пер. с нем. и франц.) / Под ред. Д. Давыдова, Е. А. Максимовой. ОНТИ Главная Редакция Общетехнической Литературы, 1936.

40. Langevin Р. Sur la theorie du mouvement brownien, C. R. Acad. Sei. (Paris) Vol. 146. P. 530 -533 (1908): (English Trans) // Am. J. Phys. 1997. Vol. 65. P. 1079 - 1081.

41. Fick A. Über diffusion // Poggerdorf's Ann. Phys. 1885. Vol. 94. P. 59-86.

42. Purcell E. M. Life at low Reynolds numbers // Am. J. Phys. 1977. Vol. 45. P. 3-11.

43. Гнеденко Б. В. Курс теории вероятностей. М.: Наука, 1988.

44. Квасников И. А. Термодинамика и статистическая физика. Теория неравновесных систем. Москва, МГУ, 1987.

45. Ландау Л. Д., Лифшиц Е. М. Статистическая физика. Часть 1. — Издание 5-е. М.: Физмат-лит, 2001.

46. Coffey W. Т., Kalmykov Yu. Р., Waldron J. Т. The Langevin equation: with applications to stochastic problems in physics, chemistry and electrical engineering. World Sei., Washington D. C., vol. 14, Sec. ed.„ 2004.

47. Risken H. The Fokker-Planck equation: methods of solution and applications / Ed. by H. Haken. Springer, Berlin, 1984.

48. Kalinay P., Percus J. K. Phase space reduction of the one-dimensional Fokker-Planck (Kramers) equation//J. Stat. Phys. 2012. Vol. 148. P. 1135-1145.

49. Синай Я. Г. Предельное поведение одномерного случайного блуждания в случайной среде // ТВП. 1982. Т. 146. С. 247-258.

50. Havlin S., Ben-Avraham D. Diffusion in disordered media // Adv. Phys. 1987. Vol. 36. P. 695 -798.

51. Metzler R., Klafter J. The random walk's guide to anomalous diffusion: A fractional dynamics approach // Phys. Rep. 2000. Vol. 339. P. 1-77.

52. Учайкин В. В. Автомодельная аномальная диффузия и устойчивые законы // УФН. 2003. Т. 173. С. 847-876.

53. Klafter J., Drake J. M. Molecular dynamics in restricted geometries. Wiley-Interscience, 1989.

54. Sokolov I.M., Klafter J. From diffusion to anomalous diffusion: A century after Einstein's Brownian motion// Chaos. 2005. Vol. 15. P. 026103.

55. Makhnovskii Yu. A., Berezhkovskii A. M., Zitserman V. Yu. Diffusion in a tube of alternating diameter // Chem. Phys. 2010. Vol. 367, no. 2/3. P. 110 - 114.

56. Стретт Дж. В. (Лорд Рэлей). Теория звука, пер. с англ., т. 2. / Под ред. С. М. Рытова, К. Ф. Теодорчика. М.: Госиздательство технико-теоретической литературы, 1940.

57. Ward М. J., Keller J. В. Strong localized perturbations of eigenvalue problems // SIAM J. Appl. Math. 1993. Vol. 53. P. 770 - 798.

58. Grigoriev I. V., Makhnovskii Yu. A., Berezhkovskii A. M., Zitserman V. Yu. Kinetics of escape through a small hole // J. Chem. Phys. 2002. Vol. 116. P. 9574 - 9577.

59. Zhou H., Zwanzig R. A rate process with an entropy barrier // J. Chem. Phys. 1991. Vol. 94. P. 6147-6162.

60. Schuss Z., Singer A., Holcman D. The narrow escape problem for diffusion in cellular microdomains // Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 2007. Vol. 104, no. 41. P. 16098 - 16103.

61. Berezhkovskii A. M., Makhnovskii Yu. A., Monine M. I. et al. Boundary homogenization for trapping by patchy surfaces // J. Chem. Phys. 2004. Vol. 121. P. 11390 - 11394.

62. Makhnovskii Yu. A., Berezhkovskii A. M., Zitserman V. Yu. Homogenization of boundary conditions on surfaces randomly covered by patches of different sizes and shapes // J. Chem. Phys. 2005. Vol. 122. P. 236102.

63. Махновский Ю. А., Бережковский A. M., Зицерман В.Ю. Захват диффундирующих частиц поглощающими центрами на поверхности // ж. физ. хим. 2006. Т. 80, № 7. С. 1283-1289.

64. Berezhkovskii А. М., Barzykin А. V. Extended narrow escape problem: boundary homogenization-based analysis // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82, no. 01. P. 011114.

65. Berg H. C., Purcell E. M. Physics of chemoreception // Biophys. J. 1977. Vol. 20, no. 2. P. 193 -219.

66. Zwanzig R. Diffusion-controlled ligand binding to spheres partially covered by receptors: an effective medium treatment // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1990. Vol. 87. P. 5856 - 5857.

67. Reingruber J., Holcman D. Gated narrow escape time for molecular signaling // Phys. Rev. Lett.

2009. Vol. 103. P. 148102.

68. Zhou H.-X., McCammon J. A. The gates of ion channels and enzymes // Trends Biochem. Sci.

2010. Vol. 35. P. 179- 185.

69. Benichou O., Voituriez R. From first-passage times of random walks in confinement to geometry-controlled kinetics // Phys. Rep. 2014. Vol. 539, no. 4. P. 225-284.

70. Schirmer T. General and specific porins from bacterial outer membranes // J. Struct. Biol. 1998. Vol. 121, no. 101. P. 101 - 109.

71. Bezrukov S. M., Berezhkovskii A. M., Pustovoit M. A., Szabo A. Particle number fluctuations in a membrane channel // J. Chem. Phys. 2000. Vol. 113, no. 18. P. 8206 - 8211.

72. Berezhkovskii A. M., Zitserman V. Yu., Pustovoit M. A., Bezrukov S. M. Channel-facilitated membrane transport: average lifetimes in the channel // J. Chem. Phys. 2003. Vol. 119, no. 7. P. 3943-3951.

73. Berezhkovskii A. M., Bezrukov S. M. Optimizing transport of metabolites through large channels: molecular sieves with and without binding // Biophys. J. 2005. Vol. 88. P. L17-L19.

74. Pagliara S., Dettmer S. L., Keyser U. F. Channel-facilitated diffusion boosted by particle binding at the channel entrance // Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 113. P. 048102.

75. Jepsen D. W. Dynamics of a simple many-body system of hard rods // J. Math. Phys. 1965. Vol. 6. P. 405 -413.

76. Krapivsky P. L., Mallick K., Sadhu T. Large deviations in single-file diffusion // Phys. Rev. E. 2014. Vol. 113. P. 078101.

77. Berezhkovskii A. M., Pustovoit M. A., Bezrukov S. M. Entropic effects in channel-facilitated transport: interparticle interactions break the flux symmetry // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80. P. 020904.

78. Zwanzig R. Diffusion past an entropy barrier // J. Phys. Chem. 1992. Vol. 96. P. 3926 - 3930.

79. Jacobs M. H. Diffusion processes. Springer London, Limited, 1967.

80. Reguera D., Rubi J. M. Kinetic equations for diffusion in the presence of entropic barriers // Phys. Rev. E. 2001. Vol. 64. P. 061106.

81. Berezhkovskii A. M., Pustovoit M.A, Bezrukov S. M. Diffusion in a tube of varying cross section: numerical study of reduction to effective one-dimensional description // J. Chem. Phys. 2007. Vol. 126. P. 134706.

82. Lifson S., Jackson J. L. On the self-diffusion of ions in polyelectrolyte solution // J. Chem. Phys. 1961. Vol. 36. P. 2410-2414.

83. Festa R., D'Agliano E. Diffusion coefficient for a Brownian particle in a periodic field of force: I. Large friction limit // Physica A. 1978. Vol. 90. P. 229 - 244.

84. Kalinay P., Percus J. K. Projection of two-dimensional diffusion in a narrow channel onto the longitudinal dimension // J. Chem. Phys. 2005. Vol. 122. P. 204701.

85. Kalinay P., Percus J. K. Approximations of the generalized Fick-Jacobs equation // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 78. P. 021103.

86. Kalinay P., Percus J. K. Mapping of diffusion in a channel with abrupt change of diameter // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82. P. 031143.

87. Berezhkovskii A. M., Szabo A. Time scale separation leads to position-dependent diffusion along a slow coordinate//J. Chem. Phys. 2011. Vol. 135. P. 074108.

88. Martens S., Schmid G., Schimansky-Geier L., Hanggi P. Entropic particle transport: higher-order corrections to the Fick-Jacobs diffusion equation // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83. P. 051135.

89. Kalinay P. When is the next extending of Fick-Jacobs equation necessary? // J. Chem. Phys. 2013. Vol. 139. P. 054116.

90. Traytak S.D. Asymptotic solution of the diffusion equation in slender impermeable tubes of revolution. I. The leading-term approximation // J. Chem. Phys. 2014. Vol. 140, no. 22. P. 224102.

91. Kalinay P., Percus J. K. Mapping of diffusion in a channel with soft walls // Phys. Rev. E. 2011. Vol. 83. P. 031109.

92. Bradley R. M. Diffusion in a two-dimensional channel with curved midline and varying width: reduction to an effective one-dimensional description // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80. P. 061142.

93. Dagdug L., Pineda I. Projection of two-dimensional diffusion in a curved midline and narrow varying width channel onto the longitudinal dimension // J. Chem. Phys. 2012. Vol. 137. P. 024107.

94. Riefler W., Schmid G., Burada P. S., Hanggi P. Entropic transport of finite size particles // J. Phys.: Condens. Matter. 2010. Vol. 22. P. 454109.

95. Ai B.-Q., J.-C. Wu. Transport of finite size particles in confined narrow channels: Diffusion, coherence, and particle separation // J. Phys. Chem. 2013. Vol. 139. P. 034114.

96. Chen Q., Ai B.-Q., Xiong J.-W. Brownian transport of finite size particles in a periodic channel coexisting with an energetic potential // Chaos. 2014. Vol. 24, no. 3. P. 033119.

97. Bauer M., Godec A., Metzler R. Diffusion of finite-size particles in two-dimensional channels with random wall configurations // ChemPhysChem. 2014. Vol. 16. P. 6118-6128.

98. Reguera D., Schmid G., Burada P. S. et al. Entropic transport: kinetics, scaling and control mechanisms // Phys. Rev. Lett. 2006. Vol. 96. P. 130603.

99. Laachi N., Kenward M., Yariv E., Dorfman K. D. Force-driven transport through periodic entropy barriers // Europhys.Lett. 2007. Vol. 80. P. 50009.

100. Yariv E., Dorfman K. D. Electrophoretic transport through channels of periodically varying cross section//Phys. Fluids. 2007. Vol. 19. P. 037101.

101. Burada P. S., Schmid G., Talkner P. et al. Entropic particle transport in periodic channels // J. Biol. Syst. 2008. Vol. 93. P. 16 - 22.

102. Burada P. S., Hanggi P., Marchesoni F. et al. Diffusion in confined geometries // ChemPhysChem. 2009. Vol. 10. P. 45-54.

103. Burada P. S. Controlling diffusive transport in confined geometries // Acta. Phys. Pol. B. 2010. Vol. 41. P. 935 - 947.

104. Rubi J. M., Reguera D. Thermodynamics and stochastic dynamics of transport in confined media // Chem. Phys. 2010. Vol. 375. P. 518 - 522.

105. Malgaretti P., Pagonabarraga I., Rubi J. M. Entropic transport in confined media: a challenge for computational studies in biological and soft-matter systems // Front. Phys. 2013. Vol. 1. P. 21.

106. Стратонович P. JI. Синхронизация автогенератора при наличии помех // РЭ. 1958. Т. 4. С. 498 - 506.

107. Reimann P., Van Вгоеск С., Н. Linke Н. et al. Giant acceleration of free diffusion by use of tilted periodic potentials // Phys. Rev. Lett. 2001. Vol. 87. P. 010602.

108. Reimann P., Van den Вгоеск C., Linke H. et al. Diffusion in tilted periodic potentials: enhancement, universality, and scaling // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 031104.

109. Burada P. S., Schmid G., Reguera D. et al. Biased diffusion in confined media: Test of the Fick-Jacobs approximation and validity criteria // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75.

110. Burada P. S., Schmid G. Steering the potential barriers: Entropic to energetic // Phys. Rev. E. 2010. Vol. 82. P. 051128.

111. Malgaretti P., Pagonabarraga I., Rubi J. M. Entropic electrokinetics: recirculation, particle separation, and negative mobility // Phys. Rev. Lett. 2014. Vol. 113. P. 128301.

112. Ghosh P. G., Marchesoni F. Note: particle transport through deformable pore geometries // J. Chem. Phys. 2012. Vol. 136. P. 116101.

113. Berezhkovskii A. M., Zitserman V. Yu., Shvartsman S. Yu. Diffusivity in periodic arrays of spherical cavities // J. Chem. Phys. 2003. Vol. 118. P. 7146 - 7147.

114. Махновский Ю. А., Зицерман В. Ю., Бережковский А. М. Диффузия в квазиодномерных структурах с периодическим резким сужением сечения // ж. хим. физ. 2009. Т. 28, № 3. С. 61 - 67.

115. Berezhkovskii А. М., Barzykin А. V., Zitzerman V. Yu. One-dimensional description of diffusion in a tube of abruptly changing diameter: boundary homogenization based approach // J. Chem. Phys. 2009. Vol. 131, no. 22. P. 224110.

116. Bosi L., Ghosh P. K., Marchesoni F. Analytical estimates of free Brownian diffusion times in corrugated narrow channels // J. Chem. Phys. 2012. Vol. 137. P. 174110.

117. Овчинников А. А., Тимашев С. Ф., Белый А. А. Кинетика диффузионно-контролируемых химических процессов / Под ред. Г. И. Белана. Москва, Химия, 1986.

118. Crick F. Diffusion in embiyogenesis // Nature. 1970. Vol. 225. P. 420 - 422.

119. Tanner J.E. Transient diffusion in a system partitioned by permeable barriers. Application to NMR measurements with a pulsed field gradient // J. Chem. Phys. 1978. Vol. 69. P. 1748-1754.

120. Del Vecchio T. The thick Neumann's sieve // Ann. Mat. Рига Appl. 1987. Vol. 147. P. 363-402.

121. Muratov С. В., Shvartsman S. Y. Boundary homogenization for periodic arrays of absorbers // Multiscale Model. Simul. 2008. Vol. 7. P. 44-61.

122. Shoup D., Szabo A. Role of diffusion in ligand binding to macromolecules and cell-bound receptors // Biophys. J. 1982. Vol. 40, no. 1. P. 33-39.

123. Berezhkovskii A. M., Monine M. I., Muratov С. В., Shvartsman S. Y. Homogenization of boundary conditions for surfaces with regular arrays of traps // J. Chem. Phys. 2006. Vol. 124. P. 036103.

124. Makhnovskii Yu. A., Berezhkovskii A. M., Zitserman V. Yu. Time-dependent diffusion in tubes with periodic partitions // J. Chem. Phys. 2009. Vol. 131, no. 10. P. 104705.

125. Hrabetova S Nicholson C., Hrabe J. Dead-space microdomains hinder extracellular diffusion in rat neocortex during ischemia // J. Neuroscince. 2003. Vol. 23. P. 8351-8359.

126. Berezhkovskii A. M., Dagdug L., Makhnovskii Yu. A., Zitserman V. Yu. Drift and diffusion in a tube of periodically varying diameter. Driving force induced intermittency // J. Chem. Phys. 2010. Vol. 132. P. 221104.

127. Marchesoni F. Mobility in periodic channels formed by cylindrical cavities // J. Chem. Phys. 2010. Vol. 132, no. 16. P. 166101.

128. Makhnovskii Yu. A., Berezhkovskii A. M., Bogachev L. V., Zitserman V. Yu. Driven diffusion in a periodically compartmentalized tube: homogeneity versus intermittency of particle motion // J. Phys. Chem. 2011. Vol. 115. P. 3992 -4002.

129. Borromeo M., Marchesoni F., Ghosh P. K. Driven Brownian transport in eccentric septate channels // J. Chem. Phys. 2011. Vol. 134. P. 051101.

130. Ghosh P. K., Hanggi P., Marchesoni F. et al. Driven Brownian transport through arrays of symmetric obstacles // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 85. P. 011101.

131. Зельдович Я. Б., Молчанов С. А., Рузмайкин А. А., Соколов Д. Д. Перемежаемость в случайной среде // УФН. 1987. Т. 152, № 1. С. 3-32.

132. Berezhkovskii А. М., Dagdug L. Analytical treatment of biased diffusion in tubes with periodic dead ends // J. Chem. Phys. 2011. Vol. 134. P. 124109.

133. Ghosh P. K., Hanggi P., Marchesoni F. et al. Brownian transport in corrugated channels with inertia // Phys. Rev. E. 2012. Vol. 86. P. 021112.

134. Ghosh P. K., Hanggi P., Marchesoni F. et al. Detectable inertial effects on Brownian transport through narrow pores // Europhys. Lett. 2012. Vol. 98. P. 50002.

135. Martens S., Sokolov I. M., Schimansky-Geier L. Impact of inertia on biased Brownian transport in confined geometries // J. Chem. Phys. 2012. Vol. 136. P. 111102.

136. Martens S., Straube A. V., Schmid G. et al. Hydrodynamically enforced entropic trapping of Brownian particles//Phys. Rev. Lett. 2013. Vol. 110. P. 010601.

137. Chou Т., Lohse D. Entropy-driven pumping in zeolites and biological channels // Phys. Rev. Lett. 1999. Vol. 82. P. 3552-3555.

138. Muller F., Birner A., Schilling J. et al. Membranes for micropumps from macroporous silicon // Phys. Status Solidi. 2000. Vol. 182. P. 585-590.

139. Kettner C., Reimann P., Hanggi P., Muller F. Drift ratchet // Phys. Rev. E. 2000. Vol. 61. P. 312-323.

140. Henrickson S. E., Misakian M., Robertson В., Kasianowiez J. J. Driven DNA transport into an asymmetric nanometer-scale pore // Phys. Rev. Lett. 2000. Vol. 85. P. 3057 - 3060.

141. Keller C., Marquardt F., Bruder C. Separation quality of a geometric ratchet // Phys. Rev. E. 2002. Vol. 65. P. 041927.

142. Siwy Z. S., Fulinski A. Origin of l//a noise in membrane channel currents // Phys. Rev. Lett. 2002. Vol. 89. P. 158101.

143. Siwy Z., Heins E., Harrell С. C. et al. Conical-nanotube ion-current rectifiers: the role of surface charge // J. Am. Chem. Soc. 2004. Vol. 126. P. 10850 - 10851.

144. Siwy Z., Kosinska 1. D., Fulinski A., Martin C. R. Asymmetric diffusion through synthetic nanopores // Phys. Rev. Lett. 2005. Vol. 94. P. 048102.

145. Siwy Z. S., Powell M. R., Petrov P. et al. Calcium-induced voltage gating in single conical nanopores//Nano Lett. 2006. Vol. 6. P. 1729-1734.

146. Vlassiouk I., Siwy Z. S. Nanofluidic diode // Nano Lett. 2007. Vol. 7. P. 552 - 556.

147. Kosinska I. D., Fulinski A. Asymmetries and anomalous phenomena in ionic transport through nanochannels // Act. Phys. Pol. B. 2007. Vol. 38. P. 1631 - 1645.

148. Kosinska I. D., Goychuk I., Kostur M. et al. Rectification in synthetic conical nanopores: a one-dimensional Poisson-Nernst-Planck model // Phys. Rev. E. 2008. Vol. 77. P. 031131.

149. Schmid G., Burada P., Talkner P., Hànggi P. Rectification through entropie barriers // Adv. Sol. State Phys. 2009. Vol. 48. P. 317 - 328.

150. Marchesoni F., Savel'ev S. Rectification currents in two-dimensional artificial channels // Phys. Rev. E. 2009. Vol. 80. P. 011120.

151. Lu H., Nie X., Wu F. et al. Controllable transport of water through nanochannel by rachet-like mechanism//J. Chem. Phys. 2012. Vol. 136. P. 174511.

152. Reguera D., Luque A., Burada G., P. S.and Schmid et al. Entropie splitter for particle separation // Phys. Rev. Lett. 2012. Vol. 108. P. 020604.

153. Das M., Mondai D., Ray D. S. Shape fluctuation-induced dynamic hysteresis // J. Chem. Phys. 2012. Vol. 136. P. 114104.

154. Reimann P. Brownian motors: noisy transport far from equilibrium // Phys. Rep. 2002. Vol. 361. P. 57 - 265.

155. Антипов A. E., Зицерман В. Ю., Махновский Ю. А., Алдошин С. М. Диффузия в квазиодномерных периодических структурах // доклады академии Наук. 2014. Т. 454. С. 676 -679.

156. Antipov A. E., Barzykin А. V., Berezhkovskii A. M. et al. Effective diffusion coefficient of a Brownian particle in a periodically expanded conical tube // Phys. Rev. E. 2013. Vol. 88. P. 054101.

157. Антипов А. Е., Махновский Ю. А., Зицерман В. Ю., Алдошин С. М. Диффузия в трубке, состоящей из чередующихся узких и широких участков // ж. хим. физ. 2014. Т. 33. С. 78 -86.

158. Zitserman V. Yu., Berezhkovskii А. М., Antipov А. Е., Makhnovskii Yu. A. Drift velocity of Brownian particle in a periodically tapered tube induced by a time-periodic force with zero mean: dependence on the force period // J. Chem. Phys. 2011. Vol. 135. P. 121102.

159. Махновский Ю. А., Зицерман В. Ю., Антипов А. Е. Направленный транспорт броуновской частицы в периодически сужающейся трубке // ЖЭТФ. 2012. Т. 142, № 3(9). С. 603-620.

160. Антипов А. Е., Зицерман В. Ю., Махновский Ю. А. Асимметрия формы окружения как механизм генерации направленного движения // ж. тех. физ. 2013. Т. 83. С. 15-23.

161. Феллер В. Введение в теорию вероятностей и ее приложения / Под ред. Ю. В. Прохорова. Москва Мир, 1984.

162. Siegel R. A. Theoretical analysis of inward hemispheric release above and below drug solubility // J. Controlled Release. 2000. Vol. 69, no. 1. P. 109- 126.

163. L. Dagdug, Vazquez M., Berezhkovskii A. M. et al. Diffusion in the presence of cylindrical obstacles arranged in a square lattice analyzed with generalized Fick-Jacobs equation // J. Chem. Phys. 2012. Vol. 136. P. 204106.

164. Hill T. L. Effect of rotation on the diffusion-controlled rate of ligand-protein association // Proc. Nat. Acad. Sci. USA. 1975. Vol. 72, no. 12. P. 4918^1922.

165. Berezhkovskii A. M. Variance of residence time spent by diffusing particle in a sub-domain: path integral based approach // Chem. Phys. 2010. Vol. 370. P. 253 - 257.

166. Howard J. Mechanics of motor proteins and the cytoskeleton / Ed. by Victor H. Denenberg. Sinauer Associates, Sunderland, 2001.

167. Drexler К. E. Nanosystems: molecular machinery, manufacturing and computation. Wiley, New York, 1992.

168. Фейнман P., Лейтон P., Сэндс M. Фейнмановские лекции по физике / Под ред. Я. А. Смо-родинского. Мир, 1965.

169. Белиничер В. И., Стирман Б. И. Фотогальванический эффект в средах без центра симметрии // УФН. 1980. Т. 130. С. 415 - 456.

170. Bartussek R., Hanggi P. Brownsche Motoren: Wie aus Brownscher Bewegung makroskopischer Transport wird // Phys. Bl. 1995. Vol. 51. P. 506 - 507.

171. Elston Т., Wang H„ Oster G. Energy transduction in ATP synthase // Nature. 1998. Vol. 391. P. 510-513.

172. Hanggi P., Marchesoni F. Artificial Brownian motors: controlling transport on the nanoscale // Rev. Mod. Phys. 2009. Vol. 81. P. 387-442.

173. Howard J. Mechanical signaling in networks of motor and cytoskeletal proteins // Annu. Rev. Biophys. 2009. Vol. 38. P. 217 - 234.

174.

175,

176.

177,

178.

179,

180,

181

182,

183

184,

185,

186.

187,

188.

189,

190.

Тихонов А. Н. Молекулярные моторы. Часть 2. Молекулярные основы биологической подвижности // СОЖ. 1999. Т. 6. С. 17 - 24.

Vale R. D., Milligan R. A. The way things move: looking under the hood of molecular motor proteins // Science. 2000. Vol. 288. P. 88 - 95.

Yildiz A., Tomishige M., Vale R. D., Selvin P. R. Kinesin walks hand-over-hand // Science. 2004. Vol. 303. P. 676 - 678.

Huxley A. F., Niedergerke R. Structural changes in muscle during contraction // Nature. 1954. Vol. 173. P. 971 -973.

Huxley A. F., Hanson J. Changes in the cross-striations of muscle during contraction and stretch and their structural interpretation // Nature. 1954. Vol. 173. P. 973 - 976.

Vale R. D., Milligan R. A. Animated models for muscle myosin-based motility and for processive motility by conventional kinesin. URL: http://www.sciencemag.org/site/ feature/data/1049155.xhtml.

Mogilner A., Mangel M., Baskin R. J. Motion of molecular motor ratcheted by internal fluctuations and protein friction // Phys. Rev. Let. 1998. Vol. 237. P. 297 - 306.

Fogedby H. C., Metzler R., Svane A. Exact solution of a linear molecular motor model driven by two-step fluctuations and subject to protein friction // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70. P. 021905.

Makhnovskii Yu. A., Rozenbaum V. M., Yang D.-Y., Lin S. H. Net transport due to noise-induced internal reciprocating motion // J. Chem. Phys. 2009. Vol. 130, no. 16. P. 164101.

Makhnovskii Yu. A., Rozenbaum V. M., Yang D.-Y. et al. Reciprocating nanoengine // Eur. Phys. J. B. 2006. Vol. 52. P. 501-505.

Kelly T. R., Sestelo J. P. Rotaiy motion in single-molecule machines / Ed. by Jean-Pierre Sauvage. Springer Berlin Heidelberg, 2001.

Balzani V., Credi A., Ferrer B. et al. Artificial molecular motors and machines: design principles and prototype systems // Topp. Curr. Chem. 2005. Vol. 262. P. 1 - 27.

Astumian R. D. Thermodynamics and kinetics of a brownian motor // Science. 1997. Vol. 276. P. 917 - 922.

Ashton P. R., Ballardini R., Balzani V. et al. Acid base controllable molecular shuttles // J. Am. Chem. Soc. 1998. Vol. 120, no. 46. P. 11932-11942.

Ashton P. R., Ballardini R., Balzani V. et al. A photochemically driven molecular-level abacus // Chem.-Eur. J. 2000. Vol. 6. P. 3558 - 3574.

M. Asakawa, Ashton P. R., Balzani V. et al. A chemically and electrochemically switchable [2]catenane incorporating a tetrathiafulvalene unit // Angew. Chem. Int. Ed. 1998. Vol. 37. P. 333 - 337.

Jiilicher F., Armand A., Prost J. Modelling molecular motors // Rev. Mod. Phys. 1997. Vol. 69. P. 1269- 1281.

191. Hanggi P., Marchesoni F., Nori F. Brownian motors // Ann. Phys. 2005. Vol. 14. P. 51 - 70.

192. Derenyi I., Astumian R. D. AC separation of particles by biased Brownian motion in a two-dimensional sieve // Phys. Rev. E. 1998. Vol. 58. P. 7781 - 7784.

193. Ai B.-Q., Liu L.-G. Current in a three-dimensional periodic tube with unbiased forces // Phys. Rev. E. 2006. Vol. 74, no. 6. P. 051114.

194. Ai H.-Z., B.-Q.and Xie, Liu L.-G. Thermal noise can facilitate energy transformation in the presence of entropic barriers // Phys. Rev. E. 2007. Vol. 75, no. 6. P. 061126.

195. Burada P. S., Schmid G., Hanggi P. Entropic transport: a test bed for the Fick-Jacobs approximation // Phil. Trans. R. Soc. London, Ser. A. 2009. Vol. 367. P. 3157 - 3171.

196. Dagdug L., Berezhkovskii A. M., Makhnovskii Yu. A. et al. Turnover behavior of effective mobility in a tube with periodic entropy potential // J. Chem. Phys. 2011. Vol. 134, no. 10. P. 101102.

197. Magnasco M. O. Forced thermal ratchets // Phys. Rev. Lett. 1993. Vol. 71. P. 1477 - 1481.

198. Bartussek R., Hanggi P., Kissner J. G. Periodically rocked thermal ratchets // Europhys. Lett. 1994. Vol. 28. P. 459 - 464.

199. Янке E., Эмде Ф., Леш Ф. Специальные функции: Формулы, графики, таблицы / Под ред. Л. И. Седова. Москва Наука, 1964.

200. Astumian R. D., Bier М. Fluctuation driven ratchets: molecular motors // Phys. Rev. Lett. 1994. Vol. 72, no. 11. P. 1766-1769.

201. Ajdari A., Prost J. Drift induced by spatially periodic potential of low symmetry: pulsed dielec-trophoresis // C. R. Acad. Sci. Paris Ser. II. 1992. Vol. 315. P. 1635-1639.

202. Reimann P. Rocking ratchets at high frequencies / Ed. by J. A. Freund. Springer Berlin Heidelberg, 2000.

203. Sekimoto K. Kinetic characterization of heat bath and the energetics of thermal ratchet models // J. Phys. Soc. Jpn. 1997. Vol. 66. P. 1234 - 1237.

204. Parrondo J. M. R., de Cisneros B. J. Energetics of Brownian motors: a review // Appl. Phys. A Mater. Sci. Process. 2002. Vol. 75. P. 179 - 191.

205. Machura L., Kostur M., Talkner P. et al. Brownian motors: current fluctuations and rectification efficiency // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 70, no. 6. P. 061105.

206. Makhnovskii Yu. A., Rozenbaum V. M., Yang D.-Y., Lin S. H. Flashing ratchet model with high efficiency // Phys. Rev. E. 2004. Vol. 69. P. 021102.