Гамильтонов подход к квантовой хромодинамике на световом фронте тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Малышев Михаил Юрьевич

• Малышев Михаил Юрьевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Малышев Михаил Юрьевич

4.1 Введение

4.2 Гамильтониан КХД в координатах, близких к координатам СФ

4.3 Предельный переход к гамильтониану КХД на световом фронте

4.4 Заключение

Заключение

Благодарности

А Приложения к главе

А.1 Вычисление диаграммы I(р)

A.2 Пример сравнения вычислений диаграммы

B Приложения к главе

B.1 Вычисление расходящихся частей диаграмм, определяющих контрчлен в перенормированном гамильтониане (2+1)-мерной теории Янга-Миллса

B.2 Общий вид диаграмм Фейнмана в (2+1)-мерной теории Янга-

Миллса, имеющих инфракрасную расходимость

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гамильтонов подход к квантовой хромодинамике на световом фронте»

Введение

Актуальность темы исследования. Темой данной диссертации является подход к квантовой теории поля, связанный с квантованием на световом фронте (СФ). В настоящее время ведутся активные исследования в этом направлении. Международная группа ведущих специалистов в области квантовой теории поля выделила эту тему как одну из наиболее актуальных, создав в 2008 году для ее поддержки специальный экспертный комитет, целью которого является продвижение соответствующих научных исследований и применение данного метода к различным физическим задачам. Обзор этого метода, основных достижений и перспективных задач в данном направлении изложен в работе этого комитета [1].

Квантовая хромодинамика (КХД) достаточно хорошо описывает экспериментальные данные при высоких энергиях элементарных частиц, поскольку при этих энергиях эффективная константа взаимодействия мала, и применима теория возмущений по этой константе. В области малых и средних энергий взаимодействие становится сильным, так что требуется непертурба-тивное описание. Адроны, рассматриваемые в КХД как связанные состояния кварковых и глюонных полей, отвечают этим энергиям и поэтому для их описания необходимы непертурбативные методы. Наиболее прямым является введение решетки в пространстве и времени. Это позволяет регуляри-

зовать теорию как в ультрафиолетовой (УФ), так и в инфракрасной (ИК) области, что дает возможность искать решения численно, не используя теорию возмущений по константе взаимодействия. Однако решеточный подход сталкивается с большими вычислительными трудностями, поэтому ищутся другие подходы к описанию непертурбативных физических эффектов. Подход к КХД, связанный с квантованием на СФ, является альтернативным к решеточному и носит название "Гамильтонов подход на СФ". Он предлагает способ непертурбативного решения задачи на собственные значения гамильтониана, определенного на СФ, используя простоту вакуума, определяющего пространство Фока на СФ и рассматриваемого как состояние физического вакуума. Аналогичная задача для гамильтониана, получаемого при квантовании на поверхности постоянного времени с использованием пространства Фока над вакуумом свободной теории (т.е. над вакуумом теории невзаимодействующих полей), сталкивается с чрезвычайно сложной проблемой описания физического вакуумного состояния.

Идея рассмотрения канонического формализма на поверхности, касательной к световому конусу, т.е. на СФ, была предложена П.А.М. Дираком в работе 1949 года [2]. Он использовал вместо обычных лоренцевых коорди-

0 19 3 /-ч^тч -I- 9 3 +

нат х , х , х , х координаты СФ: х = ^ , х , х , в которых х, играет роль времени, х9, х3 — поперечные координаты (в оригинальной работе П.А.М. Дирака использовались координаты х± = , а х1, х2 были поперечными координатами, здесь для обобщения на пространство меньшего числа измерений удобней использовать координаты, в которых выделена ось

х1). Канонический формализм строится на поверхности СФ: х+ = 0. Введем компоненты оператора энергии-импульса в координатах СФ: оператор Р+ = , который является гамильтонианом на СФ, операторы Р_ = , Р± = (Р2, Р3), которые являются аналогами трехмерных пространственных компонент импульса. Уравнение на собственные значения гамильтониана Р+ на СФ имеет вид:

т2 + р2

Р+\р-,р±) = 2р ±\р-,р±), (0.1)

где квадрат массы в координатах СФ есть т2 = 2р+р- — р2±, а состояния |р—,р±) отвечают собственным значениям операторов импульса. Вакуумное состояние определяется как состояние, отвечающее минимальному собственному значению (р— = 0) оператора Р— ^ 0 (т.к. при т2 ^ 0 в силу ло-ренцевой симметрии данное вакуумное состояние отвечает и минимальному собственному значению (р+ = 0) оператора Р+ ^ 0). Тем самым для описания вакуумного состояния на СФ не требуется решать задачу на минимум гамильтониана Р+ (что при обычном квантовании на поверхности х0 = 0 для гамильтониана Р0 является очень сложной проблемой). Фурье-разложение по х- операторов поля в представлении Гейзенберга позволяет ввести операторы рождения и уничтожения квантов поля с определенным импульсом р—. Эти операторы рождения и уничтожения различаются по знаку р—. Это дает возможность ввести физическое пространство Фока на СФ и решать уравнение (0.1) в этом пространстве. При этом волновые функции в пространстве Фока на СФ описывают структуру адронов как связанных состояний кварков

и глюонов.

Надо отметить, что квантование на СФ также активно применяется при анализе рассеяния частиц при высоких энергиях, поскольку СФ можно интерпретировать как предел перехода к бесконечно большому импульсу. Это предполагает использование соответствующей квантованию на СФ теории возмущений по константе взаимодействия, которая мала в области высоких энергий. В этом смысле формулировка на СФ может применяться как в пер-турбативной, так и в непертурбативной области.

Степень разработанности темы исследования. Наряду с вышеуказанными преимуществами гамильтонов подход на СФ сталкивается с трудностями описания тех эффектов, которые обычно связывают со сложной структурой квантового вакуума при квантовании на пространственно-подобной поверхности. На СФ имеется сингулярность, связанная с Фурье-модами полей по х- при р— = 0, и вышеуказанные трудности тесно связаны с особенностями регуляризации этой сингулярности. Обычно применяются следующие способы трансляционно-инвариантной регуляризации: (а) обрезание значений импульса р— снизу, р— ^ £ > 0, при котором фактически отбрасывается окрестность нулевых мод (мод полей, независящих от х—), (Ь) ограничение пространства по х— с соответствующими периодическими граничными условиями для функций поля | х | ^ Ь. В случае (а) среднее значение скалярного поля в вакууме оказывается равным нулю, что исключает возможность описания вакуумного конденсата, связанного с этим средним значением. Также не удается правильно описать и вакуумные средние от ин-

вариантных произведений полей (например, фермионный конденсат в модели Швингера [3, 4, 5, 6]). В случае (Ь) спектр Фурье-мод дискретен (р— = пи/Ь), при этом нулевая мода присутствует, но она не является независимой динамической переменной и должна быть выражена через ненулевые моды посредством решения сложных связей. Как правило, эти связи нелинейны по полям и поэтому неоднозначно определены в квантовой теории. Кроме того, выбор периодических граничных условий тоже может исказить правильное описание вакуумных эффектов.

Регуляризация сингулярности при р— = 0 может породить трудности и в рамках теории возмущений по константе взаимодействия. А именно, теория возмущений, генерируемая каноническим гамильтонианом на СФ, может после регуляризации отличаться от обычной теории возмущений в лоренцевых координатах. Так если применять регуляризацию |р—| ^ £ > 0, то диаграммы ковариантной теории возмущений на СФ могут отличаться от соответствующих диаграмм обычной ковариантной теории возмущений в лоренцевых координатах даже в пределе £ ^ 0. Для восстановления эквивалентности этих теорий возмущений может потребоваться бесконечно большое число различных добавок к гамильтониану на СФ. Тем не менее, как было обнаружено в работах [7, 8], указанных отличий диаграмм можно избежать, если в качестве УФ регуляризации теории использовать метод, аналогичный известной регуляризации Паули-Вилларса (П-В) [9]. С другой стороны, такая УФ регуляризация не сохраняет калибровочную инвариантность, характерную для рассматриваемой нами КХД. Поэтому возникает задача восстановления этой

инвариантности в рамках теории возмущений. В работе [8] указан способ решения этой задачи путем надлежащей УФ перенормировки. Такая перенормировка требует добавки к гамильтониану конечного числа контрчленов, т. е. членов, зависящих от произведений полей и их производных с коэффициентами, зависящими от исходных параметров теории и параметров регуляризации. Точное определение этих коэффициентов в (3+1)-мерных моделях обычно требует вычисления бесконечного числа диаграмм. Если перенормированный таким образом гамильтониан на СФ применять для непертурбатив-ных расчетов, то указанные коэффициенты будут новыми неизвестными параметрами теории. Однако если применять этот подход к тем же моделям, но в (2+1)-мерном пространстве-времени, то возможны упрощения, связанные со свойством суперперенормируемости этих моделей. Это свойство заключается в наличии только конечного числа УФ расходящихся диаграмм. Учёт расходимости таких диаграмм позволяет точно определить вышеуказанные коэффициенты при контрчленах. Вычисление таких коэффициентов входит в число задач данной диссертации.

Нахождение этих коэффициентов позволяет ввести необходимые контрчлены в выражение для гамильтониана на СФ. Такой гамильтониан порождает теорию возмущений по константе взаимодействия, эквивалентную обычной ковариантной теории возмущений. Его можно пытаться использовать и в рамках непертурбативного гамильтонова подхода на СФ. Пример такого использования был рассмотрен в работе [3] для случая двумерной квантовой электродинамики (используя бозонизацию и анализ теории возму-

щений по массе фермиона во всех порядках). Спектр полученного при этом гамильтониана на СФ хорошо согласуется с известным спектром гамильтониана, соответствующего обычному квантованию в лоренцевых координатах, не только при малых, но и при больших значениях константы взаимодействия.

Проблема УФ регуляризации и перенормировки гамильтониана на СФ рассматривалась также вне рамок теории возмущений К.Г. Вильсоном и С.Д. Глазеком [10, 11]. Эту проблему они решают путём приведения гамильтониана к блок-диагональной форме, в которой матричные элементы, соответствующие низким и высоким энергиям, соответствуют различным блокам. Это позволяет свести задачу вычисления спектра масс (его конечной части) к задаче вычисления спектра соответствующего блока. Задача УФ перенормировки при этом значительно упрощается. Отметим, что идея такого подхода была предложена ранее Ф. Вегнером [12].

В этом подходе рассматривается непрерывное множество гамильтонианов И\, зависящих от параметра Л. При этом гамильтониан меняется согласно уравнению, которое носит название "Flow-equation":

^ = [гуд, Ял], Ял = S+HSX, (0.2)

где И — исходный гамильтониан, а пл играет роль генератора преобразования S\:

5Л = Texp ^ — J dX пл^ . (0.3)

Здесь T — символ упорядочения по параметру Л. Исходный гамильтониан И соответствует начальному значению параметра Л = Л0, а квазидиагонализа-

ция гамильтониана достигается в пределе Л то, если выбрать оператор пл в виде

Пл = [Н,Н], (0.4)

где Н — диагональная часть оператора Нл.

В отличие от квантовой механики, применение этого метода для КХД оказывается чрезвычайно сложным, поэтому используются полуфеноменологические упрощения, связанные с идеей об эффективных составных частицах в адроне, которые и должен описывать эффективный гамильтониан, получаемый путем квазидиагонализации.

Также широко известен развитый С. Бродским и Г. де Терамоном полуфеноменологический подход к описанию спектра масс в КХД на СФ, основанный на АдС/КХД дуальности [13, 14]. Под дуальностью имеется в виду соответствие между 4-мерной КХД при большом значении константы связи и теорией струн в 5-мерном пространстве Анти-де-Ситтера (АдС) при малой константе связи. В настоящее время существуют различные варианты АдС/КХД дуальности, с помощью которых добиваются правильного феноменологического описания. Данный подход пока еще имеет характер полуфеноменологической теории.

С. Бродский и Г. де Терамон обнаружили, что уравнения, аналогичные уравнениям поля в 5-мерном АдС пространстве, можно получить, записывая уравнение Шредингера на СФ для эффективных составных частиц адрона в специально подобранных переменных (составленных из относительных по-

перечных координат и относительных импульсов р—) при соответствующем потенциале взаимодействия этих частиц. Тем самым удается переформулировать результаты АдС/КХД дуальности как решение квантовомеханической задачи для составных частиц на СФ.

Цели и задачи диссертационной работы. Таким образом, гамиль-тонов подход на СФ требует решения двух основных задач:

• построение квантового перенормированного гамильтониана на СФ, порождающего теорию возмущений, эквивалентную обычной теории возмущений в лоренцевых координатах;

• исследование роли "нулевых" мод полей в непертурбативном описании эффектов, возможных в области низких энергий в КХД (конфайнмента кварков и глюонов, вакуумных конденсатов).

Научная новизна. Подход к построению перенормированного гамильтониана на СФ, использующий регуляризацию П-В, был развит в работах С.А. Пастона, Е.В. Прохватилова и В.А. Франке. Данная диссертационная работа является дальнейшей разработкой этого подхода. В частности, впервые вычислены вышеуказанные коэффициенты при контрчленах в (2+1)-мерных моделях Л^4 и Янга-Миллса, что позволяет получить точное выражение для соответствующих перенормированных гамильтонианов на СФ. Исследование роли "нулевых" мод калибровочных полей в гамильтониане на СФ, инициированное работами Ю.В. Новожилова, Е.В. Прохватилова и В.А. Франке, в дальнейшем связывалось с предельным переходом на СФ от теорий, квантованных на пространственно-подобной поверхности, приближа-

ющейся к СФ. На этом пути была найдена возможность полуфеноменологического описания нулевых мод, приближенно учитывающего указанные выше непертурбативные эффекты. В диссертации впервые была дана точная калибровочно-инвариантная формулировка такого полуфеноменологического описания, использующая решетку по поперечным координатам в качестве УФ регуляризации теории. При этом предлагается новый способ параметризации полей на решетке.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является вкладом в разработку такого непертурбативного подхода к КХД как гамильтонов подход на СФ. Полученные в диссертации результаты важны для практического решения задачи о спектре связанных состояний (в том числе их масс). Также эти результаты могут дополнить читаемые в настоящее время курсы лекций по квантовой теории поля.

Методология и методы исследования. Построение квантового перенормированного гамильтониана на СФ требует сравнения теории возмущений по константе взаимодействия, порождаемой этим гамильтонианом, во всех порядках, с обычной теорией возмущений, соответствующей квантованию на поверхности х0 = 0. В диссертации для этого используется и обобщается метод УФ регуляризации, предложенный ранее В.Э. Паули и Ф.М.Г. Вил-ларсом. Для восстановления калибровочной инвариантности при перенормировке таким образом регуляризованной теории возмущений используется метод сравнения ее с размерно регуляризованной теорией возмущений. Также в диссертации используется метод предельного перехода к гамильтониану на

СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных поверхностях, приближающихся к СФ. При этом используется метод решеточной регуляризации, сохраняющей калибровочную инвариантность и предлагается новый способ параметризации полей на решетке. Для дискретизации светоподобной компоненты импульса p- используется метод регуляризации теории на СФ с помощью ограничения пространства по координате х- с соответствующим наложением периодических граничных условий на функции поля.

Положения, выносимые на защиту:

• построение перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной теории А^4 скалярного поля с учетом возможности спонтанного нарушения симметрии;

• построение перенормированного гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной SU(N) калибровочно-инвариантной теории Янга-Миллса;

• построение полуфеноменологической модели учета нулевых мод для решеточно-регуляризованного гамильтониана на СФ (3+1)-мерной КХД.

Степень достоверности и апробация результатов. Достоверность результатов обеспечивается использованием хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля, результаты работы докладывались и обсуждались на следующих международных научных конференциях:

• III Международная конференция "Модели квантовой теории поля", посвященная 70-летию со дня рождения А.Н. Васильева, Санкт-Петербург, Россия, 18-22 октября 2010 г., http://hep.phys.spbu.ru/conf/mktp2010/index.htm

• Международная конференция "Конфайнмент кварков и спектр адронов XI", Санкт-Петербург, Россия, 8-12 сентября 2014 г., http://phys.spbu.ru/confxi.html

• Международная конференция по физике "В поисках фундаментальных симметрий", посвящённая 90-летию со дня рождения заслуженного деятеля науки, почётного профессора СПбГУ Ю.В. Новожилова, Санкт-Петербург, Россия, 2-5 декабря 2014 г., http://hep.phys.spbu.ru/conf/novozhilov90/index.html

• V международная конференция "Модели квантовой теории поля", посвященная 75-летию со дня рождения А.Н. Васильева, Санкт-Петербург, Россия, 21-25 сентября 2015 г., http://hep.phys.spbu.ru/conf/mqft2015/index.htm

По теме диссертации опубликовано 6 научных статей в изданиях, рекомендованных Высшей аттестационной комиссией при Министерстве образования и науки России и входящих в базы данных РИНЦ, Web of Science и Scopus:

• М.Ю. Малышев, Е.В. Прохватилов. Калибровочно-инвариантная регуляризация КХД на световом фронте в пространстве с поперечной решёткой. Вестник Санкт-Петербургского университета, 2010, сер. 4, вып.2, стр. 2-7, http://arxiv.org/abs/1311.4650.

• М.Ю. Малышев, Е.В. Прохватилов. Квантовая хромодинамика на световом фронте с нулевыми модами, моделирующими вакуум. Теоретическая и математическая физика, том 169, № 2, 2011, стр. 272-284,

http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v169/i2/p272.

• M.Yu. Malyshev, S.A. Paston, E.V. Prokhvatilov, R.A. Zubov. Renormalized Light Front Hamiltonian in the Pauli-Villars Regularization. International Journal of Theoretical Physics, 2015, Vol. 54, Issue 1, pp. 169-184, http://arxiv.org/abs/1311.4381.

• М.Ю. Малышев, С.А. Пастон, Е.В. Прохватилов, Р.А. Зубов, В.А. Франке. Регуляризация Паули-Вилларса и гамильтониан на световом фронте в (2+1)-мерной теории Янга-Миллса, ТМФ, том 184, № 3, 2015, стр. 503-514, http://arxiv.org/abs/1505.00272.

• Р.А. Зубов, Е.В. Прохватилов, М.Ю. Малышев. Предельный переход на световой фронт для квантовой хромодинамики и кварк-антикварковое приближение, ТМФ, том 184, № 3, 2015, стр. 472-480, http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v184/i3/p456.

• M. Yu. Malyshev, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov, R.A. Zubov, V. A. Franke. Pauli-Villars Regularization in Nonperturbative Hamiltonian Approach on the Light Front. AIP Conference Proceedings, vol. 1701, 100012 (2016), http://arxiv.org/abs/1504.07951.

В первой главе данной диссертации приводится построение гамильтониана на СФ в (2+1)-мерной теории А^4 скалярного поля для случаев с ненарушенной симметрией и со спонтанным нарушением симметрии. В качестве УФ регуляризации используется регуляризация Паули-Вилларса (П-В) [9]. Она осуществляется с помощью введения дополнительного ("духового") поля большой массы. Перенормировка такого гамильтониана в регуляризации П-В

осуществляется путем сравнения всех порядков теории возмущений, порожденной гамильтонианом на СФ, и обычной теории возмущений в лоренцевых координатах.

Вторая глава содержит анализ отличий диаграмм теории возмущений на СФ и обычной теории возмущений в лоренцевых координатах на примере модели Юкавы. При этом показывается роль регуляризации Паули-Вилларса в устранении этих отличий.

В третьей главе приводится перенормировка (2+1)-мерной теории Янга-Миллса при квантовании на СФ. Для восстановления пертурбативной эквивалентности между этой теорией и обычной формулировкой в лоренцевых координатах вводятся дополнительные поля, аналогичные полям, используемым при регуляризации Паули-Вилларса. Эти же поля осуществляют ультрафиолетовую регуляризацию теории. Полученные результаты позволяют построить перенормированный гамильтониан теории на СФ.

В четвёртой главе представлено построение гамильтониана КХД на СФ, включающее полуфеноменологическое описание вакуумных эффектов. В данном подходе теория на СФ получается предельным переходом от теории, сформулированной на пространственно-подобных плоскостях, близких к СФ. Чтобы нулевые моды Фурье полей по координате вдоль светового конуса остались независимыми динамическими переменными на СФ, предельный переход осуществляется по-разному для нулевых и ненулевых мод. При этом нулевые моды моделируют вакуум на СФ и позволяют ввести полуфеноменологическое описание вакуумных эффектов. Для калибровочно-инвариантной

регуляризации вводится решетка в пространстве поперечных координат и калибровочно-инвариантное ограничение компоненты импульса вдоль светового конуса. Вводится новое описание полевых переменных на решетке. Так для глюонных нулевых мод используются унитарные матрицы, относящиеся к ребрам решетки, а для ненулевых мод — эрмитовы матрицы, относящиеся к соответствующим узлам решетки.

1. Построение перенормированного гамильтониана на СФ в теории А^4 скалярного поля с использованием регуляризации Паули-Вилларса

1.1. Введение

В данной главе задача построения перенормированного гамильтониана на СФ реализуется для теории А^4 скалярного поля в (2+1)-мерном пространстве-времени. В качестве УФ регуляризации выбирается регуляризация Паули-Вилларса, сохраняющая лоренцеву симметрию действия. Регу-ляризованное таким образом действие порождает соответствующий гамильтониан на СФ, который используется для построения теории возмущений на СФ. В рамках такой теории возмущений проводится УФ перенормировка теории и строится перенормированный гамильтониан на СФ. Отметим, что в (2+1)-мерном пространстве теория суперперенормируема, и поэтому удаётся найти перенормировочные контрчлены явно. Выбор регуляризации П-В для данной модели мотивирован также и тем, что эта регуляризация играет особенно важную роль при построении перенормированного гамильтониана на СФ в калибровочных теориях, таких как КХД. Заметим, что данная регуляризация связана с использованием "духовых" полей, порождающих состояния с отрицательной нормой, так что непертурбативные расчёты с таким

гамильтонианом сталкиваются с проблемой индефинитной метрики состояний. Таким образом, рассмотрение модели скалярного поля является первым шагом на пути построения перенормированных гамильтонианов на СФ для более сложных моделей.

1.2. Регуляризация Паули-Вилларса

Плотность лагранжиана для рассматриваемой модели скалярного поля имеет следующий вид:

С = (1-1)

где <р(х) — скалярное поле, т — масса, а А — константа связи. В параграфе 1.5 показано, что для перенормировки теории возмущений на СФ достаточно вычислить логарифмически расходящуюся часть только одной фейнманов-ской диаграммы, для регуляризации которой достаточно ввести (согласно методу Паули-Вилларса [9]) дополнительное поле большой массы М ^ т и регуляризованный лагранжиан в следующем виде:

С = ¿(-1)' ~ ~ А/, ч> = Е 4>х. (1-2)

1=0 ^ ' 1=0

Здесь поле — это обычное поле с массой т = т0, — дополнительное поле с массой М = т\.

Заметим, что в часть взаимодействия в лагранжиане (1.2) входит суммарное поле. Это приводит к тому, что в диаграммах Фейнмана пропагаторы

полей ^о и суммируются в соответствующих диаграммах:

д/^л = г___г =_~ тр_

^ к2 - тп1 + Ю к2 - т? + гО (А;2 - + Ю)(к2 - т? + гО)'

к2 = — к 2 в лоренцевых координатах. (1.3)

В знаменателе суммарного пропагатора старшая степень импульса равна четырём, в то время как в исходном пропагаторе она была равна двум. Этой четвёртой степени достаточно для сходимости интегралов, соответствующих фейнмановским диаграммам теории при конечном параметре т1. Заметим, что дополнительное поле (духовое поле) входит в свободную часть лагранжиана (1.2) со знаком, противоположным знаку поля . Это приводит к необычным коммутационным соотношениям для операторов рождения и уничтожения и порождает состояния с индефинитной метрикой.

Таким образом видно, что введение духовых полей способом, предложенным В.Э. Паули и Ф.М.Г. Вилларсом, может дать УФ сходимость фей-нмановских интегралов, необходимую для их УФ регуляризации. Во второй главе будет дополнительно отмечено преимущество П-В регуляризации для теории поля при квантовании на СФ.

1.3. Построение гамильтониана на СФ

В данной главе строится гамильтониан на СФ для (2+1)-мерной теории А^4 скалярного поля при регуляризации Паули-Вилларса. С этой целью

напишем плотность лагранжиана в координатах СФ:

С(х) = ¿ (д+мМд-^х) -\{дт{х))2 - ^Ых))А - Х(ф))\ 1=0 \ '

1

где &(ж) = &(х)- (1-4) 1=0

Как и ранее, поле — это обычное поле с массой т0, — дополнительное поле с массой т1, а А — константа связи. Чтобы избежать канонических связей второго рода, перейдём к новым переменным с помощью следующего преобразования Фурье при ж+ = 0 [15, 16, 17]: 1 Г Г

щ(х) = — Ык± / , ~ аЛк) е~гк'х

\к-\>е

= Ц*к± / ^(«КЧе-^ + а+дае^ ), (1.5)

±

где к = (к—, к^), к • ж = к—ж + к^ж^. Для определения квантовых перестановочных соотношений подставим это преобразование в член действия,

содержащий производную по ж+:

1

У^ / (ж)д—&/(ж). (1.6)

, , „,ж)д—(ж;

/=0

Отсюда получаем следующие квантовые перестановочные соотношения для операторов а/, а+ (ж+ = 0):

а (к), а+ (к') = £(к— — к— )£ (к^ — к'^), (1.7)

эти соотношения являются аналогом перестановочных соотношений для операторов рождения и уничтожения.

При этом квантовый гамильтониан приобретает следующий вид:

Н = Н0 + йх—йх±^>4(х), где, с точностью до константы,

Щ = / ^ Г ¿к-^*™2аТЮа^к).

1=0,1 ^ —

Кроме того, можно написать выражение для оператора Р—:

/р<х>

йк—к—а+ (к)а1 (к).

0

Вакуумное состояние можно определить как состояние, соответствующее минимальному собственному значению р— = 0 оператора импульса Р—. Операторы а/, а+ играют роль операторов уничтожения и рождения в пространстве Фока над этим вакуумом.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Малышев Михаил Юрьевич, 2016 год

Литература

1. Bakker, B. L. G. Light-Front Quantum Chromodynamics: A framework for the analysis of hadron physics / B. L. G. Bakker, at al. // Nucl. Phys. B (Proc. Suppl.). - 2014. - Vol. 251-252. - Pp. 165-174. -arXiv:1309.6333 [hep-ph].

2. Dirac, P. A. M. Forms of relativistic dynamics / P. A. M. Dirac // Rev. Mod. Phys. - 1949. - Vol. 21, no. 3. - Pp. 392-398.

3. Пастон, С. А. Гамильтонов формализм на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, эквивалентный лоренц-ковариантному подходу / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ТМФ. - 2002. - Vol. 131, no. 1. - Pp. 84-97. -arXiv:hep-th/0302016.

4. Пастон, С. А. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового фронта. / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ЯФ. - 2005. -Vol. 68. - Pp. 292-303. - arXiv:hep-th/0501186.

5. Paston, S. A. On the construction of corrected light-front Hamiltonian for QED2 / S. A. Paston, V. A. Franke, E. V. Prokhvatilov. - hep-th/0011224, 2000.

6. Prokhvatilov, E. V. Effective light-front quantization of scalar field theories and two-dimensional electrodynamics / E. V. Prokhvatilov, H. W. L. Naus, H.-J. Pirner // Phys. Rev. D. - 1995. - Vol. 51. - Pp. 2933-2943.

7. Пастон, С. А. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ТМФ. - 1999. - Vol. 112, no. 3. -Pp. 399-416. - arXiv:hep-th/9901110.

8. Пастон, С. А. К построению гамильтониана КХД в координатах светового фронта / С. А. Пастон, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ТМФ. - 1999. - Vol. 120, no. 3. - Pp. 417-437. - arXiv:hep-th/0002062.

9. Pauli, W. On the Invariant Regularization in Relativistic Quantum Theory / W. Pauli, F. Villars // Rev. Mod. Phys. - 1949. - Vol. 21, no. 3. -Pp. 434-444.

10. Glazek, S. D. Renormalization of Hamiltonians / S. D. Glazek, K. G. Wilson // Phys. Rev. D. - 1993. - Vol. 48, no. 8. - Pp. 4214-4218.

11. Glazek, S. D. Perturbative renormalization group for Hamiltonians / S. D. Glazek, K. G. Wilson // Phys. Rev. D. - 1994. - Vol. 49, no. 12. -Pp. 5863-5872.

12. Wegner, F. Flow-equations for Hamiltonians / F. Wegner // Ann. Phys. (Berlin). - 1994. - Vol. 3. - Pp. 77-91.

13. Light-front holographic QCD and emerging confinement / S. J. Brodsky, G. F. de Teramond, H. G. Dosch, J. Erlich // Phys. Rep. - 2015. -Vol. 584. - P. 1-105.

14. De Teramond, G. F. Light-Front Holography: A First Approximation to QCD / G. F. de Teramond, S. J. Brodsky // Phys. Rev. Lett. - 2009. -Vol. 102, no. 081601. - 4 pp.

15. Franke, V. A. On the Light Cone Formulation of Classical Nonabelian Gauge Theory / V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov // Lett. Math. Phys. - 1981. - Vol. 5, no. 3. - Pp. 239-245.

16. Franke, V. A. On the Light Cone Quantization of Nonabelian Gauge Theory / V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, E. V. Prokhvatilov // Lett. Math. Phys. -1981. - Vol. 5, no. 5. - Pp. 437-444.

17. Focus on quantum field theory / V. A. Franke, Yu. V. Novozhilov, S. A. Paston, E. V. Prokhvatilov / Ed. by O. Kovras. - New York: Nova science publishers, 2005. - Pp. 23-81. - arXiv:hep-th/0404031.

18. Квантовые поля на световом фронте, формулировка в координатах, близких к световому фронту, решеточное приближение / Е.-М. Ильгенфриц и др. // ТМФ. - 2006. - Vol. 148, no. 1. -Pp. 89-101. - arXiv:hep-th/0610020.

19. Weinberg, S. The Quantum Theory of Fields. V.1. Foundations. V.2. Modern Applications / S. Weinberg. - Cambridge: Cambridge University Press, 2000.

20. Stevenson, P. M. Gaussian effective potential: Quantum mechanics / P. M. Stevenson // Phys. Rev. D. - 1984. - Vol. 30, no. 8. - Pp. 1712-1726.

21. Stevenson, P. M. Gaussian effective potential. II. À^4 field theory / P. M. Stevenson // Phys. Rev. D. - 1985. - Vol. 32, no. 6. - Pp. 1389-1408.

22. Siringo, F. Higher order extensions of the Gaussian effective potential / F. Siringo // Phys. Rev. D. - 2013. - Vol. 88, no. 5. - 056020, arX-iv:1308.1836 [hep-ph].

23. Ligterink, N. E. Equivalence of Light-Front and Covariant Field Theory / N. E. Ligterink, B. L. G. Bakker // Phys. Rev. D. - 1995. - Vol. 52, no. 10. - Pp. 5954-5979. - arXiv:hep-ph/9412315.

24. Burkardt, M. Hamiltonian formulation of (2+1)-dimensional QED on the light cone / M. Burkardt, A. Langnau // Phys. Rev. D. - 1991. - Vol. 44, no. 4. -Pp. 1187-1197.

25. Deser, S. Topologically Massive Gauge Theories / S. Deser, R. Jackiw, S. Templeton // Annals of Physics. - 2000. - Vol. 281. - Pp. 409-449.

26. Jackiw, R. Three-Dimensional Massive Gauge Theories / R. Jackiw, S. Templeton // Phys. Rev. Lett. - 1982. - Vol. 48. - Pp. 975-978.

27. Mandelstam, S. / S. Mandelstam // Nucl. Phys. B. - 1983. - Vol. 213. -Pp. 149-168.

28. Leibbrandt, G. / G. Leibbrandt // Phys. Rev. D. - 1984. - Vol. 29. -Pp. 1699-1708.

29. Регуляризация Паули-Вилларса и гамильтониан на световом фронте в (2+1)-мерной теории Янга-Миллса / М. Ю. Малышев, С. А. Пастон, Р. А. Зубов В. А. Франке. // ТМФ. - 2015. - Vol. 184, no. 3. -Pp. 487-498. - arXiv:1505.00272 [hep-th].

30. Малышев, М. Ю. Квантовая хромодинамика на световом фронте с нулевыми модами, моделирующими вакуум / М. Ю. Малышев, Е. В. Прохватилов // ТМФ. - 2011. - Vol. 169, no. 2. - Pp. 272-284. -http://mi.mathnet.ru/rus/tmf/v169/i2/p272.

31. Анненкова, А. М. Решение уравнения Шредингера на световом фронте для модели Синус-Гордон / А. М. Анненкова, Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // Вестн. ЛГУ. Серия 1: Математика. Механика. Астрономия. - 1985. - Vol. 4. - Pp. 80-83.

32. Brodsky, S. J. Quantum Chromodynamics and other field theories on the light cone / S. J. Brodsky, H.-C. Pauli, S. S. Pinsky // Phys. Rep. - 1998. -Vol. 301, no. 4-6. - Pp. 299-486. - arXiv:hep-ph/9705477.

33. Прохватилов, Е. В. Приближённое описание КХД-конденсатов в светоподобных координатах / Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ЯФ. -1988. - Vol. 47. - Pp. 882-883.

34. Прохватилов, Е. В. Предельный переход к светоподобным координатам

в теории поля и КХД-гамильтониан / Е. В. Прохватилов, В. А. Франке // ЯФ. - 1989. - Vol. 49. - Pp. 1109-1117.

35. Creutz, M. Gauge fixing, the transfer matrix, and confinement on a lattice / M. Creutz // Phys. Rev. D. - 1977. - Vol. 15. - Pp. 1128-1136.

36. Зубов, Р. А. Предельный переход на световой фронт для квантовой хромодинамики и кварк-антикварковое приближение / Р. А. Зубов, Е. В. Прохватилов, М. Ю. Малышев // ТМФ. - 2015. - Vol. 184, no. 3. -Pp. 472-480.