Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат наук Зубов Роман Андреевич

• Зубов Роман Андреевич
• кандидат наук
• 2016

Оглавление диссертации кандидат наук Зубов Роман Андреевич

Введение

Глава 1. Решеточный гамильтониан кварк-антикварковой модели в

КХД на световом фронте

1.1 Введение

1.2 Формулировка кварк-антикварковой модели и вычисление ее гамильтониана

1.3 Предельный переход к гамильтониану модели на световом фронте

1.4 Заключение

Глава 2. Спектр масс кварк-антикварковой модели

2.1 Введение

2.2 Формулировка модели в 2+1 измерениях

2.3 Действие гамильтониана на базисные состояния

2.3.1 Оператор, связанный с нулевыми модами

2.3.2 Двухфермионный оператор

2.3.3 Оператор, соответствующий кинетическому члену

2.3.4 Четырехфермионный оператор

2.4 Спектральное уравнение модели в 2+1 измерениях

2.5 Обобщение модели на (3+1)-мерный случай

2.6 Заключение

Глава 3. Анализ асимптотики решений уравнения 'т Хоофта

3.1 Введение

3.2 Предел тяжелых кварков

3.3 Заключение

Заключение

Список литературы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Кварк-антикварковая модель с динамическими нулевыми модами на световом фронте»

Введение

Актуальность темы исследования. Одна из важнейших задач современной физики — найти решения, которые описывают адроны в теории сильных взаимодействий, квантовой хромодинамике (КХД). Эта теория, наряду с электрослабой теорией, составляет теоретический фундамент физики элементарных частиц. Успехи КХД в описании экспериментов по столкновению высокоэнергичных частиц во многом обусловлены тем, что в области, где велики переданные энергия или импульс, проявляется свойство асимптотической свободы, и может быть применена теория возмущения по константе связи. Однако в области низких и промежуточных энергий сильные взаимодействия необходимо описывать непертурбативным образом, так как константа связи становится большой, и учет конфайнмента кварков и глюонов, как партонных составляющих адронов, становится существенным.

В этой непертурбативной области на данный момент развито несколько успешных подходов. Один из них—формулировка КХД на конечной пространственно-временной решетке (Lattice QCD) [1—4]. Он напрямую связан с лагранжианом КХД и позволяет совершать вычисления из первых принципов. Основываясь на евклидовой формулировке, решеточная КХД позволяет оценить интеграл по траекториям и вычислить низкоэнергетические свойства адронов, такие как значения их масс. Однако несмотря на то, что наблюдаемые удается вычислять напрямую, в рамках КХД на решетке трудно получить волновые функции, которые необходимы для описания структуры и динамики адронов. Другие подходы включают, например, применение формализма уравнений Швингера-Дайсона [5; 6], и учет топологических (инстантонных) эффектов [7].

Квантование на световом фронте — это альтернативный подход к КХД, применимый в том числе в области сильной связи. Этот подход использует гамиль-тонов формализм, и его существенной частью является предложенная Дираком [8] форма гамильтоновой динамики, где теория квантуется при фиксированном времени светового фронта x+ = (x° + ж3)/л/2, в отличие от обычного времени x°. При этом начальные условия задаются на светоподобной поверхности x+ = 0. Решения в рамках этого подхода дают точные спектры масс и волновые функции на

СФ, которые могут быть использованы, например, для вычисления структурных функций кварков и глюонов в составе адронов.

Формулировка теории на СФ имеет множество привлекательных особенностей. К примеру, эта формулировка предоставляет наибольшее количество кинематических, т. е. независящих от взаимодействия, генераторов преобразований группы Пуанкаре в релятивистской гамильтоновой динамике -- семь против шести в других формулировках [8]. Другим преимуществом является то, что этот подход дает возможность упростить проблему описания вакуумного состояния в квантовой теории поля. К этому можно добавить, что собственные значения гамильтониана Р+ простым образом связаны с собственными значениями оператора квадрата массы М2 = 2Р+Р_ — Р2. Таким образом, квантование на СФ — это естественная формулировка для непертурбативого описания структуры связанных состояний адронов в КХД, и настоящая диссертация посвящена развитию данного подхода.

Степень разработанности темы исследования. В рамках гамильтонова подхода на СФ ведутся активные исследования. Хороший обзор текущих направлений исследований, решаемых задач и связанных с ними трудностей приведен в [9]. Одна из трудностей, которые ограничивают широкое применение этого подхода и требуют основательного рассмотрения, является проблема учета нулевой фурье-моды полей на СФ, т. е. моды, независящей от координаты х_ = (х0 — ж3)/л/2. Эта проблема заключается в том, что на СФ поверхность квантования х+ = 0 является характеристической, и нулевая мода полей по координате х_ оказывается нединамической, т. е. выпадает из уравнений движения. Это можно увидеть рассмотрев, например, в лагранжиане простой скалярной теории с полем ф(х) слагаемое д+ф д_ф, содержащее производную по «времени» х+. Нулевая мода, т. е. поле, не зависящее от х_, в этом члене отсутствует, поэтому канонически сопряженный с ней импульс обращается в ноль.

К тому же в теории появляется сингулярность в соответствующей нулевой моде точке р_ = 0 импульсного пространства, и возникает необходимость введения регуляризации. При описании процессов рассеяния частиц высоких энергий, в рамках теории возмущений обычно используется регуляризация \р_ \ ^ £ > 0, Р± = (р0 ± р3)/л/2. Эта регуляризация соответствует пренебрежению фурье-модами полей по продольной координате СФ, близкими к нулевой моде р_ = 0. Отбрасывание этих мод позволяет регуляризовать особенности связанные с кван-

тованием на СФ, но порождает возможные отличия теории возмущений на СФ от обычной теории возмущений при квантовании на поверхности постоянного времени в лоренцевых координатах [10—13]. Единственный найденный способ устранения таких отличий в КХД в калибровке СФ -- это введение дополнительных «духовых» полей, аналогичных используемым при регуляризации Паули-Вилларса [14].

Применение квантования на СФ в области низких и промежуточных энергий, например для описания связанных состояний полей в КХД, основано на попытках решать непертурбативную задачу на собственные значения гамильтониана на СФ в пространстве Фока с «простым» физическим вакуумом. Этот вакуум определяется как состояние, отвечающее низшему собственному значению оператора импульса P- ^ 0, если в спектре теории нет безмассовых частиц и тахионов, т. е. m2 > 0. При сохранении лоренц-инвариантности это состояние отвечает также и минимуму оператора P+. К недостаткам вышеупомянутой регуляризации (\p-\ ^ е) можно отнести то, что она нарушает эту лоренцеву симметрию, которая может не восстанавливаться в пределе снятия регуляризации е ^ 0 [14]. Кроме того, окрестность нулевых мод \p- \ < е может оказаться существенной для непертурбативной области низких энергий. В частности, в работе [15] показано, что отбрасывание нулевой моды может вести к трудностям с описанием вакуумных конденсатов в массивной модели Швингера, т. е. в (1+1)-мерной квантовой электродинамике. В работе [16] модель Швингера формулируется в координатах СФ так, что она оказывается эквивалентной обычной формулировке в лоренцевых координатах. При этом нулевая мода играет существенную роль для установления этой эквивалентности. Основываясь на этом результате в работе [17] для этой модели непертурбативно вычисляется спектр масс, который находится в хорошем согласии расчетами на решетке в лоренцевых координатах.

Другая возможная регуляризация — это так называемая DLCQ-регуляризация (Discrete Light Cone Quantization). Она также нарушает лоренцеву симметрию, но сохраняет калибровочную инвариантность. В рамках такого подхода вводится ограничение пространства по продольной координате СФ, \x-\ ^ L, а на поля накладываются периодические граничные условия. При этом импульс становится дискретным, p- = pn = nn/L Таким образом, в отличие от \p-\ ^ е регуляризации, здесь удается ввести нулевую моду (p- = n = 0), четко отделив ее от ненулевых (n = 1, 2,...). Тем не менее трудности, связанные

с рассмотрением нулевых мод в канонической формулировке теории поля на СФ, все равно остаются. Действительно, вводимая в данной регуляризации нулевая мода не является независимой динамической переменной и должна быть выражена через ненулевые моды путем решения сложных и плохо определенных связей [18; 19].

Поскольку в обычной лоренцевой формулировке теории поля указанные проблемы с нулевой модой отсутствуют, возникла идея исследовать предельный переход к гамильтониану на СФ от теории, квантованной на пространственно-подобной плоскости, близкой к СФ [13; 15; 20; 21]. Для этого рассматривалась простая и хорошо изученная модель — массивная модель Швингера, т. е. квантовая электродинамика в 1+1 измерениях. В этой модели оказывается возможным [15; 22] ввести простое полуфеноменологическое описание нулевой моды, которое воспроизводит известные точные результаты при надлежащем подборе параметров модели.

В работе [15] аналогичный способ полуфеноменологического описания нулевой моды применен к КХД в 3+1 измерениях. Однако регуляризация, использованная в этой работе не обладала калибровочной симметрией. В работе [23] представлено развития этой идеи и предложена новая калибровочно-инвариантная регуляризация, удобная для рассмотрения на СФ. В данной диссертации этот подход применяется для получения гамильтониана кварк-антикварковой модели, что позволяет провести непертурбативные вычисления спектра масс легких мезонов. Стоит заметить, что поскольку для КХД в 3+1 измерениях нет точных решений в области сильной связи, т. е. области, характерной для описания спектра адронов, для излагаемой полуфеноменологической модели важно сравнение с экспериментальными данными.

Целью данной работы является изучение возможности вычислять спектры связанных состояний реальных частиц с помощью гамильтонова подхода на СФ с введением нулевой динамической моды глюонного поля. Рассматривается приближение, в котором ненулевые глюонные моды исключаются из рассмотрения, а пространство Фока на СФ ограничивается и включает одну кварк-антикварковую пару.

В соответствии с целью исследования были поставлены следующие задачи:

1. Построить гамильтониан кварк-антикварковой модели в рамках подхода, рассматривающего нулевые моды глюонного поля как динамические переменные.

2. Вычислить матричные элементы гамильтониана и получить спектральное уравнение в пределе непрерывного пространства.

3. Исследовать спектр полученного уравнения для различных значений параметров теории.

Научная новизна. Все основные результаты диссертации получены впервые, что подтверждается их публикацией в ведущих отечественных и международных научных журналах. Для гамильтонова подхода с динамическими нулевыми модами в рамках предлагаемой кварк-антикварковой модели впервые установлено наличие конфайнмента по всем пространственным направлениям. При этом обнаружено, что конфайнмент в поперечном направлении (по координате х^) обеспечивается взаимодействием кварка и антикварка посредством нулевой глюонной моды. В продольном направлении (по координате х-) конфайнмент проявляется в наличии членов уравнения 'т Хоофта (Ч Ноой) [24] в полученном спектральном уравнении. В связи с этим в диссертации впервые получено аналитическое решение уравнения 'т Хоофта в пределе больших и при этом неравных масс фермионов.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Получено выражение для гамильтониана кварк-антикварковой модели в рамках подхода, рассматривающего нулевые моды глюонного поля как динамические переменные.

2. Получено уравнение на собственные значения оператора квадрата массы для кварк-антикварковой модели в 2+1 и 3+1 измерениях.

3. Получено аналитическое выражение для асимптотики решений уравнения 'т Хоофта в пределе тяжелых кварков разной массы.

Теоретическая и практическая значимость. Диссертационная работа является вкладом в разработку такого непертурбативного подхода к КХД как га-мильтонов подход на СФ. Полученные результаты могут быть использованы при описании реального спектра мезонов, наблюдаемого в экспериментах. Волновые функции, которые получены в рамках решения уравнения на спектр масс в пред-

лагаемой модели, теоретически можно использовать для расчета постоянных распада и партонных распределений.

Методология и методы исследования. В диссертации используется метод предельного перехода к гамильтониану на СФ от гамильтонианов на пространственно-подобных поверхностях, приближающихся к СФ. При этом используется метод решеточной регуляризации, сохраняющей калибровочную инвариантность, а также особая параметризации полей на решетке. Фермионы относятся к узлам решетки, а нулевые моды глюонного поля являются реберными переменными, представленными унитарными матрицами. Для дискретизации светоподобной компоненты импульса p- используется метод регуляризации теории на СФ с помощью ограничения пространства по координате х- с наложением соответствующих антипериодических граничных условий на фермионные поля. Это ведет к возможности не учитывать нулевые моды фермионных полей. Переход от действия модели к эквивалентной гамильтоновой формулировке совершается с помощью метода трансфер-матрицы [25]. Спектральное уравнение в непрерывном пространстве решается численными методами.

Достоверность результатов обеспечивается использованием мощного и хорошо развитого математического аппарата квантовой теории поля и сравнением с результатами, известными ранее для различных частных случаев.

Личный вклад автора. Все основные результаты получены соискателем лично или при его прямом участии в неразделимом соавторстве.

Апробация работы. Основные результаты работы докладывались и обсуждались на следующих международных конференциях:

1. «Quark Confinement and the Hadron Spectrum XI» (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

2. «In Search of Fundamental Symmetries», посвященная 90-летию со дня рождения Новожилова Ю. В. (Санкт-Петербург, Россия, 2014 г.).

3. V международная конференция «Models in Quantum Field Theory», посвященная 75-летию со дня рождения Васильева А. Н. (Санкт-Петербург, Россия, 2015 г.).

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и заключения. Полный объем диссертации составляет 82 страницы с 3 рисунками. Список литературы содержит 58 наименований.

В первой главе в рамках гамильтонова подхода на СФ с динамическими нулевыми модами формулируется кварк-антикварковая модель как определенное приближение к полной КХД на СФ с некоторыми феноменологическими модификациями. Высказывается предположение о том, что основную информацию об области низких энергий несет в себе динамика нулевых мод. В соответствии с предлагаемой моделью пространство Фока на СФ ограничивается и включает только состояния с одной кварк-антикварковой парой. Кроме того, все ненулевые моды глюонного поля исключаются из рассмотрения. В результате для предложенной модели вычисляется эффективный гамильтониан на СФ.

Во второй главе обсуждается задача вычисления матричных элементов оператора квадрата массы в указанном ограниченном базисе пространства Фока на СФ, что приводит к матричному уравнению на собственные значения этого оператора. Для снятия регуляризации и перехода к пределу непрерывного пространства, обсуждается необходимая перенормировка параметров теории. В итоге, после выполнения указанной перенормировки получается спектральное уравнение, которое обладает интересными феноменологическими свойствами. В частности, оно явно указывает на наличие конфайнмента по всем пространственным направлениям (двум поперечным х± и одному продольному х-). Конфайнмент в продольном направлении связан с тем, что часть уравнения, относящаяся к продольным степеням свободы кварков, имеет вид уравнения 'т Хоофта в (1+1)-мерной КХД. Поскольку полученное спектральное уравнение не поддается аналитическому решению, приводятся результаты его численного анализа для некоторого набора параметров. Полученные спектры качественно соответствуют экспериментальным спектрам легких мезонов и обладают характерным вырождением по массе.

В третьей главе обсуждается область параметров модели, в которой поперечные степени свободы в полученном спектральном уравнении не играют существенной роли. В этой области решения спектрального уравнения фактически определяются уравнением 'т Хоофта в (1+1)-мерной КХД. В результате численных расчетов было замечено, что в пределе больших масс фермионов это уравнение имеет решением Фурье образы функций Эйри, которые, как известно, являются решением квантовой задачи о спектре энергии частицы в потенциальной яме с линейно растущим потенциалом. В связи с этим в данной главе исследуются аналитические свойства уравнения 'т Хоофта в пределе больших масс квар-

ков. Предлагается новая параметризация этого уравнения, которая облегчает рассмотрение указанного предельного перехода. В результате удается доказать, что уравнение 'т Хоофта в этом пределе действительно имеет в качестве решения волновые функции, связанные с функциями Эйри. Предложенный метод доказательства применим в случае неравных масс кварков, и представляет собой новый результат в анализе уравнения 'т Хоофта.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 4 печатных изданиях, рекомендованных ВАК:

1. Зубов Р. А., Прохватилов Е. В., Малышев М. Ю. Предельный переход к световому фронту в квантовой хромодинамике и кварк-антикварковое приближение // ТМФ. — 2015. — Т. 184, № 3. — С. 456-464.

2. Зубов Р. А., Прохватилов Е. В., Малышев М. Ю. Точное решение уравнения 'т Хоофта в пределе тяжелых кварков разной массы // ТМФ. —

2015.-Т. 184, №3.-С. 449-455.

3. Zubov R., Prokhvatilov E. On quark-antiquark approximation in light front QCD with zero gluon modes // AIP Conference Proceedings.— 2016. — Т. 1701.

4. Zubov R., Prokhvatilov E. On numerical solutions to the QCD 't Hooft equation in the limit of large quark mass // AIP Conference Proceedings. —

2016. — Т. 1701.

Глава 1. Решеточный гамильтониан кварк-антикварковой модели в КХД на

световом фронте

1.1 Введение

Перед тем, как сформулировать модель взаимодействия кварка и антикварка, рассмотрим основные шаги метода [23] введения динамической нулевой моды в КХД на СФ в 3+1 измерениях. В этом методе, как и в [13; 15; 20; 21], рассматривается предельный переход к гамильтониану на СФ от гамильтонианов на про-странственноподобных плоскостях, приближающихся к СФ. Для того, чтобы характеризовать эти близкие к СФ пространственноподобные плоскости, вводятся так называемые п-координаты,

Л2 -

У° = х+ + — х , у3 = х , у1 = х1, (1.1)

совпадающие в пределе п ^ 0 с координатами СФ, и соответствующие им импульсы,

п2

Яо = р+, Яз = р- = Р1■ (1.2)

Здесь р± = (р0 ± р3)/\/2 — это импульсы в координатах СФ, а р0, р1 = (р\,р2), р3 — компоненты импульса в лоренцевых координатах. Параметр п2/2 можно интерпретировать геометрически как угол отклонения плоскости квантования у0 = 0 от плоскости СФ (см. Рисунок 1.1).

Лагранжиан исходной теории с калибровочной группой БП(Ы),

ь = -1 ^ ^ ^ + - шч Ж (1.3)

X

X

X

+

у0

У

Рисунок 1.1 — Геометрическая интерпретация параметра п2/2 как угла отклонения плоскости квантования нулевой моды от плоскости СФ.

записывается в п-координатах (1.1) следующим образом:

Ь(у) = Тг { ^02з(у) + 2^к(уЩк(у) + Л2^(у) - ^(у)}

(1.4)

+ ^+(у)До-ф+(у) + ^-(у)До-ф-(у) + г>/2ф-(у)ад_(у)

+ #-(у)(В± - шя)^+(у) + #+(у)(В± + )-ф_(у).

Здесь тензор

^(у) = дцЛ^(у) _ д^Лц(у) - 1д [Лц(у),А

(1.5)

и ковариантная производная

В = дц - 1дЛц(у), = ^ акВ,

к=1,2

(1.6)

заданы через векторные потенциалы глюонного поля Лц(у), которые относятся к п-координатам уц и представляются бесследовыми эрмитовыми N х N матрицами; ак — это матрицы Паули, а д — константа связи. Фермионные (кварковые) поля с массой тд описываются биспинором

Ф =

(1.7)

с компонентами , где г и ] — это спиновый и цветной индексы соответственно. Эти спиноры отнесены к системе координат хц и соответствуют выбору матриц

2

Дирака уц в координатах хц в следующем виде:

y- - • (о".') ■ - • (0 0) y' - • (: :)■ «■»

Далее по координатам y1 — x1, y2 — x2 вводится решетка с шагом a, а по координате y- — с шагом a0. Последняя — это вспомогательная решетка, и в дальнейшем при построении гамильтониана параметр ao устремляется к нулю. Аналогично подходу DLCQ-регуляризации пространство ограничивается по координате y3 условием |y3| ^ L, а для полей вводятся соответствующие периодические граничные условия.

Компонента глюонного поля A3(y) и кварковые поля остаются без изменения и относятся к узлам решетки. Для поперечных компонент глюонного поля вводятся новые специальные переменные в виде комплексных N х N матриц следующего вида:

Ma(y)— {i + iga^My)) Ua(y), a — 0,1, 2; ai — a2 — a, (1.9)

где Ua(y) — унитарные N х N матрицы, отнесенные к ребрам (y — aaea, y) решетки, ea — единичные векторы вдоль осей ya, а Aa(y) — эрмитовы N х N матрицы, отнесенные к соответствующим узлам решетки.

Для этих переменных закон калибровочных преобразований определяется следующим образом:

la (y) ^ ü(y)Aa(y)rt(y), Ua(y) ^ fi(y)Ua(y)fit(y — aaea), (1.10)

где ü(y) — матрица калибровочного преобразования. Для матриц Ma(y) преобразование имеет следующий вид:

Ma(y) ^ n(y)Ma(y)^(y — a aa ). (1.11)

При этом для переменных A3 и ф сохраняется обычный закон преобразования:

Аз(у) ^ ü(y)Á3(y)rt(y) + -ОДдЗ^(у), "(y) ^ ОДф(у). (1.12)

Далее вводится оператор D3, определенный следующими равенствами:

DsAa(y) = d3Aa(y) - ig [Аз(у),1а(у)] , (1.13)

D3Ua(y) = дзи«(у) - igA3(y)U«(y) + igüa(y)Аз(у - aaea), (1.14)

D3Ma(y) = d3Ma(y) - igAz(y)Ma(y) + igMa(y)Az(y - aaea), (1.15)

D3^(y)= (53 - igA3(y)) ^(y). (1.16)

Эти равенства обеспечивают перестановочность операции D3 с калибровочными преобразованиями. С помощью этого оператора матрицы Ua(y) доопределяются следующим калибровочно-инвариантным условием:

D3Ua(y) = 0, (1.17)

а на матрицы Aa(y) накладывается требование отсутствия в них части, удовлетворяющей условию D3Aa(y) = 0. В калибровке A3 = 0 эти условия просто означают разделение нулевых и ненулевых мод Фурье по y3 матриц Ma(y), где Ua(y) и igaaAa(y)Ua(y) описывают нулевые и ненулевые моды соответственно.

В термина переменных Ma можно определить решеточные аналоги полей Fvv(y) теории в непрерывном пространстве следующим образом:

Gi2(y) = - —2 (Mi(y)M2(y - aei) - M2(y)Mi(y - ae2)), (1.18)

ga

Gok(y) = — (Mk(y)Mo(y - aek) - Mg(y)Mk(y - ae)), k = 1, 2, ga0a

G3a(y) = — D:iMa(y), ga«,

для которых в наивном пределе a ^ 0, a0 ^ 0 верно G^v(y) ^ iFvv(y). Эти решеточные поля G^v(y) при калибровочных преобразованиях ведут себя следующим образом:

G3a(y) ^ Q(y)G3a(y)tt](y - a«ea), Gap (y) ^ Ü(y)G«e(y)^] (y - a«eK - apep).

Если далее в качестве ультрафиолетовой регуляризации, использовать обрезание по собственным значениям я3 оператора

|Яз| ^ Л, (1.20)

то регуляризации теории можно придать полностью калибровочно-инвариантный вид. Действие так регуляризованной теории в записывается в следующем виде:

ь

тЛ п\ (п,\п1п,\ , „2пI

Б(п) = £ / аУ3 а2а4ЧС«(у) Си(у) + п2 &ок(у) Сок(у) + (1.21)

+ С]0к (у) ^3к (у) + С\к (у) Сок (у) - &п(у) Съ(у )) -

- а^(^+(у)Мо(у) ^+(у - йоео) --

2

%п2

(V-(у)Мо(у)^-(у - аоео) - э.с.)

- - ■ III I I I I / 1 I I I I I I I 1 I 4 1 - / »Л^Л I - -11 I -

2у/2 а0

- 2а(^-(у)Мк(у) °к^+(у - аек) +

+ -ф+(у)Мк(у) ак^-(у - авк) - э.с.) +

^-(у)ЭД-(у) - ш(У-(у) ^+(у) - ^+(у) ^-(у))

Здесь символ «э.с.» означает эрмитово-сопряженные члены. Далее для краткости будет принята следующая сокращенная запись аргументов у функций поля: поле в точке у пишется без указания на аргумент, а поле в смещенной точке у ± аава пишется с указанием только на величину и направление сдвига, например:

I(у) = I, I(у ± аава) = I(±аа). (1.22)

При конечном значении п = 0 нулевые моды являются независимыми динамическими переменными. Чтобы сохранить это свойство в пределе п ^ 0, действие (1.21) модифицируется. В соответствующих членах действия параметр п

фиксируется равным п0 = 0:

10

^У0 I

£(п, По) = ЗД + 2Ь(п2 - П2)>, ^-о^-о-ао) - э.с. + (1.23)

-01 2у/2ао

+ Тг

д2ао

иио(-ак) - ЩЩ(-ао)) (Щ(-ак- ^(-ао)^) |.

Здесь о обозначает нулевую моду фермионного поля, т. е. определенную равенством Взф. о = (д3 - ¿дЛ3)^- о = 0. Пока параметр Ь конечен и фиксирован, предельный переход на СФ совершается так, чтобы нулевые моды оставались независимыми динамическими переменными, какими они являются до перехода на СФ. В этом смысле для нулевых мод предельный переход на СФ «замораживается». Таким образом, члены гамильтониана на СФ, содержащие только нулевые моды, сохраняются в виде, соответствующем теории на поверхности близкой к СФ.

Идея рассматривать предельный переход на СФ отдельно для нулевых и ненулевых мод была впервые высказана и исследована в работах [15; 22] на примере массивной модели Швингера, т. е. квантовой электродинамики в 1+1 измерениях. В этой модели была обнаружена зависимость получаемых результатов от способа предельного перехода по ^ 0 на СФ для нулевых мод. Например, если переходить на СФ, сохраняя размер 2Ь пространства по х- конечным, то становится невозможным описать фермионный конденсат, характерный для данной модели. Однако приближенно значение конденсата удается получить, если рассматривать предел Ь ^ ж одновременно с предельным переходом на СФ, фиксируя параметр Ьпо и делая его конечным. Этот параметр связывает величину Ь и угол По/2 отклонения от СФ плоскости, на которой определены «замороженные» члены гамильтониана с нулевыми модами. Получаемый в результате эффективный гамильтониан позволяет для модели Швингера вычислять в пределе Ь ^ ж как спектр масс, так и величину конденсата при надлежащем выборе параметра Ьпо. Таким образом, нулевые моды, моделирующие динамику в инфракрасной области, дают полуфеноменологический способ описания вакуумных конденсатов и правильного описания спектра масс в пределе снятия регуляризации [22]. В данной диссертации предельный переход по ^ 0 на СФ совершается аналогичным образом при фиксированном параметре Ьпо и стремлении Ь к бесконечности.

Далее в этой главе формулируется модель взаимодействия кварка и антикварка и, с использованием решеточного действия КХД в форме (1.21), (1.23), вычисляется ее эффективный гамильтониан.

1.2 Формулировка кварк-антикварковой модели и вычисление ее

гамильтониана

В настоящей диссертации предлагается модель взаимодействия кварка и антикварка в рамках формализма квантования на СФ с динамическими нулевыми модами [23]. Данная модель формулируется как определенное приближение к полной КХД на СФ с некоторыми феноменологическими модификациями. Поскольку рассматриваемый метод представляет основной интерес для низкоэнергетической физики, в предлагаемой модели предполагается, что основную информацию об этой области энергий несет в себе динамика нулевых мод. Такое предположение значительно упрощает исходную формулировку теории, а также позволяет вычислять спектр масс легких мезонов как спектр связанных состояний кварк-антикварковой пары, взаимодействующей через нулевые моды глюонного поля.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Зубов Роман Андреевич, 2016 год

Список литературы

1. Wilson K. G. Confinement of quarks // Phys. Rev. D. — 1974. — Окт. — Т. 10, вып. 8. — С. 2445—2459. — URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD. 10.2445.

2. KogutJ., Susskind L. Hamiltonian formulation of Wilson's lattice gauge theories // Phys. Rev. D. — 1975. — Янв. — Т. 11, вып. 2. — С. 395—408. — URL: http: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.11.395.

3. Bardeen W. A., Pearson R. B. Local gauge invariance and the bound-state nature of hadrons // Phys. Rev. D. — 1976. — Июль. — Т. 14, вып. 2. — С. 547— 551. — URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.14.547.

4. Gattringer C., Lang C. Quantum Chromodynamics on the Lattice: An Introductory Presentation. — Springer Berlin Heidelberg, 2009. — (Lecture Notes in Physics). — URL: https://books.google.ru/books?id=l2hZKnlYDxoC.

5. Roberts C. D., Williams A. G. Dyson-Schwinger equations and their application to hadronic physics //Progress in Particle and Nuclear Physics. — 1994. — Т. 33. — С. 477—575.

6. Maris P., Roberts C. D. Dyson-Schwinger Equations: A Tool for Hadron Physics // International Journal of Modern Physics E. — 2003. — Т. 12, № 3. — С. 297—365.

7. Инстантонная азбука / А. И. Вайнштейн [и др.] // Успехи физических наук. — 1982. — Т. 136, № 4. — С. 553—591. — URL: http://ufn.ru/ru/articles/ 1982/4/a/.

8. Dirac P. A. M. Forms of relativistic dynamics // Rev. Mod. Phys. — 1949. — Июль. — Т. 21, № 3. — С. 392—399. — URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/ RevModPhys.21.392.

9. Light-front quantum chromodynamics: A framework for the analysis of hadron physics / B. Bakker [и др.] // Nuclear Physics B - Proceedings Supplements. — 2014. — Т. 251-252. — С. 165—174. — URL: http://www.sciencedirect.com/ science/article/pii/S0920563214000930.

10. Burkardt M., Langnau A. Hamiltonian formulation of (2+1)-dimensional QED on the light cone // Phys. Rev. D. — 1991. — Т. 44, № 4. — С. 1187—1197.

11. Burkardt M., Langnau A. Rotational invariance in light-cone quantization // Phys. Rev. D. — 1991. — Т. 44, № 12. — С. 3857—3867.

12. Франке В. А., Пастон С. А. Сравнение квантово-полевой теории возмущений на световом фронте и в лоренцевых координатах // ТМФ. — 1997. — Т. 112, №3. —С. 399—416. — arXiv:hep-th/9901110.

13. Quantization of Field Theory on the Light Front / V. A. Franke [и др.] // Focus on quantum field theory / под ред. O. Kovras. — Nova science publishers, New York, 2005. — С. 23—81. — eprint: arXiv:hep-th/0404031.

14. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. К построению гамильтониана КХД в координатах светового фронта // ТМФ. — 1999. — Т. 120, № 3. — С. 417—437.

15. Прохватилов Е. В., Франке В. А. Предельный переход к светоподобным координатам в теории поля и КХД гамильтониан // ЯФ. — 1989. — Т. 49. — С. 1109—1117.

16. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Гамильтонов формализм на световом фронте для двумерной квантовой электродинамики, эквивалентный лоренц-ковариантному подходу // ТМФ. — 2002. — Т. 131, № 1. — С. 84—97.

17. Пастон С. А., Прохватилов Е. В., Франке В. А. Вычисление спектра масс КЭД-2 в координатах светового фронта // ЯФ. — 2005. — Т. 68, № 2. — С. 1—12.

18. Franke V. A., Novozhilov Y. V., Prokhvatilov E. V.On the light-cone formulation of classical non-abelian gauge theory // Letters in Mathematical Physics. — 1981. — Т. 5, № 3. — С. 239—245. — URL: http://dx. doi. org/10. 1007/ BF00420704.

19. Franke V. A., Novozhilov Y. V., Prokhvatilov E. V.On the light-cone quantization of non-abelian gauge theory // Letters in Mathematical Physics. — 1981. — Т. 5, № 5. — С. 437—444. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF02285317.

20. Prokhvatilov E. V., Naus H. W. L., Pirner H.-J. Effective light-front quantization of scalar field theories and two-dimensional electrodynamics // Phys. Rev. D. — 1995. — Март. — Т. 51, № 6. — С. 2933—2942. — URL: http://link.aps.org/ doi/10.1103/PhysRevD.51.2933.

21. Квантовые поля на световом фронте, формулировка в координатах, близких к световому фронту / Е. М. Ильгенфриц [и др.] // ТМФ. — 2006. — Т. 148, № 1. — С. 89—101. — arXiv:hep-th/0610020.

22. Прохватилов Е. В., Франке В. А. Приближенное описание КХД конденсатов в светоподобных координатах // ЯФ. — 1988. — Т. 47. — С. 882—883.

23. Малышев М. Ю., Прохватилов Е. В. Квантовая хромодинамика на световом фронте с нулевыми модами, моделирующими вакуум // ТМФ. — 2011. — Т. 169, № 2. — С. 272—284.

24. 't Hooft G. A Two-Dimensional Model for Mesons // Nucl. Phys. — 1974. — Т. B75. — С. 461. — URL: http://dx.doi.org/10.1016/0550-3213(74)90088-1.

25. Creutz M. Gauge fixing, the transfer matrix, and confinement on a lattice // Phys. Rev. D. — 1977. — Февр. — Т. 15, вып. 4. — С. 1128—1136. — URL: http: //link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.15.1128.

26. An Exact, Finite, Gauge-Invariant, Non-Perturbative Model of QCD Renormalization / H. M. Fried [и др.]. — 2014. — eprint: arXiv : hep -th/1412.2072.

27. Chabysheva S. S., Hiller J. R. A dynamical model for longitudinal wave functions in light-front holographic QCD. — 2012. — eprint: arXiv:hep-th/1207.7128.

28. Bugg D. Four sorts of meson // Physics Reports. — 2004. — Т. 397, № 5. — С. 257—358. — URL: http: // www. sciencedirect. com / science / article / pii / S0370157304001565.

29. Afonin S. Experimental indication on chiral symmetry restoration in meson spectrum // Physics Letters B. — 2006. — Т. 639, 3-4. — С. 258—262. — URL: http://www.sciencedirect.com/science/article/pii/S0370269306008136.

30. Afonin S. Light meson spectrum and classical symmetries of QCD // The European Physical Journal A - Hadrons and Nuclei. — 2006. — Т. 29, № 3. — С. 327— 335. — eprint: arXiv:hep-ph/0606310. — URL: http://dx.doi.org/10.1140/epja/ i2006-10080-2.

31. Shifman M., Vainshtein A. Highly Excited Mesons, Linear Regge Trajectories and the Pattern of the Chiral Symmetry Realization // Phys. Rev. — 2008. — Т. D77. — С. 034002. — eprint: arXiv:hep-ph/0710.0863 (hep-ph).

32. Brodsky S., Huang T., Lepage G. Hadronic wavefunctions and high momentum transfer interactions in quantum chromodynamics // Particles and Fields 2 / под ред. A. Capri, A. Kamal. — Plenum Press, New York, London, 1983. — С. 143— 199.

33. Meson wave function from holographic models / A. Vega [и др.] // Phys. Rev. D. — 2009. — Сент. — Т. 80, вып. 5. — С. 055014. — URL: http://link.aps. org/doi/10.1103/PhysRevD.80.055014.

34. Radyushkin A. V. Nonforward parton densities and soft mechanism for form factors and wide-angle Compton scattering in QCD // Phys. Rev. D. — 1998. — Окт. — Т. 58, вып. 11. — С. 114008. — URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/ PhysRevD.58.114008.

35. Afonin S. S. Towards understanding broad degeneracy in non-strange mesons // Modern Physics Letters A. — 2007. — Т. 22, № 19. — С. 1359—1371. — eprint: arXiv:hep-ph/0701089. — URL: http://www.worldscientific.com/doi/abs/10. 1142/S0217732307024024.

36. Afonin S. S. Properties of possible new unflavored mesons below 2.4 GeV // Phys. Rev. C. — 2007. — Июль. — Т. 76, вып. 1. — С. 015202. — eprint: arXiv: 0707.0824. —URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevC.76.015202.

37. Afonin S. S. Hydrogen-like classification for light nonstrange mesons // International Journal of Modern Physics A. — 2008. — Т. 23, № 25. — С. 4205— 4217. — eprint: arXiv:0709.4444. —URL: http://www.worldscientific.com/doi/ abs/10.1142/S0217751X0804175X.

38. Bicudo P. Large degeneracy of excited hadrons and quark models // Phys. Rev. D. — 2007. — Нояб. — Т. 76, вып. 9. — С. 094005. — eprint: arXiv: hep-ph/0703114. — URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevD.76.094005.

39. Alfaro J., Labrana P., Andrianov A. A. Extended QCD 2 from dimensional projection of QCD 4 // Journal of High Energy Physics. — 2004. — Т. 2004, № 07. — С. 067.

40. Brodsky S. Jde Téramond G. F. Hadronic Spectra and Light-Front Wave Functions in Holographic QCD // Phys. Rev. Lett. — 2006. — Май. — Т. 96, вып. 20. — С. 201601. — URL: http://link.aps.org/doi/10.1103/PhysRevLett.96. 201601.

41. Fonseca P., Zamolodchikov A. Ising Field Theory in a Magnetic Field: Analytic Properties of the Free Energy // Journal of Statistical Physics. — 2003. — Т. 110, 3-6. — С. 527—590. — eprint: arXiv:hep-th/0112167.

42. Fonseca P., Zamolodchikov A. Ising Spectroscopy I: Mesons at T < Tc. — 2006. — eprint: arXiv:hep-th/0612304.

43. Mondejar J., Pineda A. Deep inelastic scattering and factorization in the't Hooft model // Phys. Rev. D. — 2009. — Апр. — Т. 79, вып. 8. — С. 085011. — eprint: arXiv : hep- ph/0901. 3113. — URL: http : //link. aps. org/doi/10.1103 /PhysRevD. 79.085011.

44. Shifman M. Quark-Hadron Duality. — 2000. — eprint: arXiv:hep-ph/0009131.

45. Lewy H. Expansion of solutions of t' Hooft's equation. A study in the confluence of analytic boundary conditions // manuscripta mathematica. — 1979. — Т. 26, №4. — С. 411—421. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF01170264.

46. Lewy H. On Linear Difference-Differential Equations with Constant Coefficients // Indiana Univ. Math. J. — 1957. — Т. 6, вып. 1. — С. 91— 107.

47. Brodsky S. J.., de Téramond G. F. AdS/CFT and Light-Front QCD. — 2008. — eprint: arXiv:0802.0514.

48. Ziyatdinov I. Asymptotic properties of mass spectrum in 't Hooft's model of mesons // Int. J. Mod. Phys. A. — 2010. — Т. 25. — С. 3899—3910. — eprint: arXiv:hep-th/1003.4304.

49. Handbook of Mathematical Functions / под ред. M. Abramowitz, I. A. Stegun. — Washington, D. C. : National Bureau of Standards, 1972.

50. Hanson A. J., Peccei R. D., Prasad M. K. Two-dimensional SU(N) gauge theory, strings and wings: Comparative analysis of meson spectra and covariance // Nuclear Physics B. — 1977. — Т. 121, № 3. — С. 477—504. — URL: http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321377901675.

51. Huang S., Negele JPolonyi J. Meson structure in QCD in two dimensions // Nuclear Physics B. — 1988. — T. 307, № 4. — C. 669—704. — URL: http: //www.sciencedirect.com/science/article/pii/0550321388901046.

52. Jaffe R., Mende P. F. When is field theory effective? // Nucl. Phys. B. — 1992. — T. 369. —C. 189—218.

53. Krauth W., Staudacher M. Nonintegrability of two-dimensional QCD // Phys. Lett. B. — 1996. — T. 388. — C. 808—812. — eprint: arXiv:hep-th/9608122.

54. Hildebrandt S. Mathematical aspects of't Hooft's eigenvalue problem in two-dimensional quantum chromodynamics. Part I // manuscripta mathematica. —

1978. — T. 24, № 1. — C. 45—79. — URL: http : //dx. doi. org/10 . 1007/ BF01168562.

55. Hildebrandt S. Mathematical aspects of't Hooft's eigenvalue problem in two-dimensional quantum chromodynamics. Part II // Arkiv fur Matematik. —

1979. — T. 17, 1-2. — C. 29—38. — URL: http://dx.doi.org/10. 1007/ BF02385455.

56. Hildebrandt S., Visnjic-Triantafillou V. Mathematical aspects of 't Hooft's eigenvalue problem in two-dimensional quantum chromodynamics. Part III // Mathematische Zeitschrift. — 1979. — T. 168, № 3. — C. 223—240. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/BF01214514.

57. Bruning J. On the eigenvalue problem of't Hooft // manuscripta mathematica. — 1982. — T. 39, № 1. — C. 125—146. — URL: http://dx.doi.org/10.1007/ BF01312450.

58. Fateev V. A., Lukyanov S. L., Zamolodchikov A. B. On mass spectrum in't Hooft's 2D model of mesons // J. Phys. A. — 2009. — T. 42. — C. 304012. — eprint: arXiv:hep-th/0905.2280.