Геометрические методы в моделировании деформаций панели с сотовым заполнителем тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.04, кандидат наук Никульчиков, Андрей Викторович

• Никульчиков, Андрей Викторович
• кандидат наук
• 2013

Оглавление диссертации кандидат наук Никульчиков, Андрей Викторович

Глава 1

1.1. Общие сведения о композиционных материалах

1.1.1. Применение композиционных материалов в промышленности

1.1.2. Материалы, используемые при изготовлении композиционных материалов

1.1.4. Сэндвич-панели

1.2. Моделирование композитных материалов и процессов, происходящих при их деформациях

1.2.1. Общие сведения о математическом моделировании

1.2.2. Математические модели композитных материалов

1.2.3. Различные способы исследования композитных материалов и сэндвич-панелей на прочность

1.2.4. Процесс деформации композиционных материалов и процессы структурного разрушения

1.3. Другие методы инженерного анализа

1.3.1. Общие сведения об инструментах инженерного анализа

1.3.2. Численные методы инженерного анализа

1.3.3. Применение МКЭ при исследовании деформаций сэндвич-панелей

Заключение

Глава 2. Моделирование точечного соответствия поверхностей

2.1. Общая постановка вопроса

2.2. О точечном соответствии двух поверхностей

2.3. Моделирование изгибания сотовой панели

Заключение

Глава 3. Поля на поверхностях, находящихся в точечном соответствии

3.1. Соображения общего характера

3.2. Скалярные поля

3.3. Векторные поля

Заключение

Глава 4. Измерение величины искажения

Заключение

Глава 5. Приложения к задачам механики

5.1. Построение тензора деформации

5.2. Рекомендации по замощению параболоидного купола

Заключение

Основные результаты и выводы

Приложение А. Комплекс Мар1е-программ

1. Состав комплекса программ

2. Мар1е-процедуры, входящие в комплекс программ

2.1. Процедура OTNKRIV

2.2. Процедура ISK

2.3. Процедура KRIV

2.4. Процедура LINJJROVN

2.5. Процедура ZVET

2.6. Процедура KON

2.7. Процедура SURFER

2.8. Процедура POROG

2.9. Процедура GRAD

2.10. Процедура POLE

2.11. Процедура NAPR

2.12. Процедура TRAEKT

3. Компоновка Мар1е-программ

3.1. Программа «Поля и градиенты параллельных поверхностей»

3.2. Программа «Скалярные и векторные поля. Градиент»

3.3. Программа «Области и граница»

3.4. Программа «Модель деформированной сотовой панели»

3.5. Программа «Окружность в криволинейных координатах»

Список использованных источников

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрические методы в моделировании деформаций панели с сотовым заполнителем»

Введение.

Актуальность работы.

В связи с повсеместным использованием в промышленности

композиционных материалов и конструкций (например, аэрокосмическая отрасль, морская промышленность) часто возникает вопрос о поведении этих конструкций при различного рода нагрузках, в частности, об их устойчивости и особенностях их деформации.

Существует много различных видов экспериментов и видов расчетов, призванных определить величину деформации панели с заполнителем, каждая из которых наряду с достоинствами не лишена и определенных недостатков. В случае натурных экспериментов исследователи сталкиваются с особыми требованиями к проведению экспериментов (например, в случае исследования устойчивости панелей с заполнителем к взрывным нагрузкам нужно соблюдать четкие правила техники безопасности, нужен полигон, пригодный для взрывных работ и т.д.); способы, принятые в механике композиционных материалов (например, системы уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами) имеют определенную сложность; или, в случае конечно-элементного анализа, требуют весьма дорогостоящих программных продуктов.

Таким образом, математическое моделирование деформаций панелей с заполнителем представляют существенный интерес для исследователей. Такие исследования с точки зрения механики композитов проводятся с помощью уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами, характеризующими отдельные компоненты композиционной структуры. Такой подход существенно затрудняет решение возникающих при проектировании задач. С 70-х годов XX века для композитов регулярной структуры используется асимптотический метод осреднения, при использовании которого быстро изменяющиеся коэффициенты предстают в виде периодических функций.

В тех случаях, когда для решения поставленной в ходе разработки конструкции не требуется детального рассмотрения процессов, происходящих в панели с заполнителем, а достаточно указать в каких пределах происходит изменение локальных метрических свойств сэндвич-конструкции, то применение более простых способов оценки величины деформации, основанных на геометрических методах, является более оправданным. Например, если при проектировании конструкций с сотовым заполнителем возникает необходимость придать панели какую-либо специфическую форму (например, прикрепить панель к какой-либо поверхности), то необходимо иметь возможность оценить величину деформации еще на этапе проектирования. Таким образом, представляет интерес использовать аппарат геометрии для вычисления экстремальных значений отношения метрических форм («исходной» поверхности, т.е. поверхности до манипуляций и «деформированной» поверхности), по которым можно судить о величине деформации панели. Поскольку деформации распределены по панели неравномерно, то речь может идти только о локальном исследовании. Следовательно, геометрия имеется в виду в первую очередь дифференциальная. Даже если невозможно обойтись без дорогостоящих натурных испытаний, предварительный анализ методами моделирования позволит сузить поле эксперимента, что приведет к экономии ресурсов.

Цель работы: создание математической модели деформации, позволяющей в рамках дифференциальной геометрии решать ряд задач, традиционно решаемых в механике деформируемого твердого тела.

Выбор программной среды для решения достаточно богатый (Mathematica, MatLab, Maple, MathCad и др.) и был осуществлен в пользу Maple (причем имеется в виду так называемый Classic Worksheet). Не последнюю роль сыграло следующее обстоятельство: примерно с конца 1997 года версия Maple V R4 открыто и бесплатно распространяется через Internet,

а значит, объем публикаций Мар1е-программ именно на языке Classic Worksheet (а он с тех пор существенно не менялся), практически необозрим.

Последовательное достижение целей исследования конкретизировалось в представлении панели с сотовым заполнителем в виде пары поверхностей, находящихся в точечном соответствии, причем отрезки, соединяющие соответствующие точки, лежат на общих нормалях этих поверхностей. Соответствие поверхностей такого рода рассматривалось различными геометрами. Существенные для нас моменты приведены В.Ф. Каганом в работе «Основы теории поверхностей». Применение данной конструкции для наших целей потребовало решения следующих задач:

1. Построение математической модели панели с сотовым заполнителем.

2. Разработка математического аппарата, позволяющего рассматривать процесс деформации панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.

3. Установление связи между объектами механики деформируемого твердого тела и объектами предложенной математической модели, подтверждающей адекватность предложенной модели.

Научная новизна. В диссертационной работе впервые:

1. Применена модель сотовой панели на основе пары поверхностей, соответствующие точки которых соединены отрезками одинаковой длины, нормальными для обеих поверхностей. В отличие от теории деформируемого твердого тела и от механики сплошной среды мы в основу модели кладем пару ограничивающих поверхностей со специфическим точечным их соответствием.

2. Для описания геометрических свойств модели применены, кроме экстремалей отношений метрических форм, совместные кривизны и их экстремали.

3. Применены направления экстремальных отношений метрических форм.

4. Для предложенной модели деформации панели с сотовым заполнителем построен тензор деформаций.

5. Разработаны рекомендации по замощению параболоидного купола трапецевидными кусками панели с сотовым заполнением, существенно опирающиеся на геометрические построения.

Для отмеченных геометрических конструкций построены алгоритмы, реализованные в Мар1е-программах.

Теоретическая значимость. Представленные в работе теоретические исследования включают в себя:

1. В сформулированных новых инвариантах теории поверхностей -т.н. «совместных кривизнах».

2. В способе задания и применения поточечного соответствия поверхностей.

3. В построенном для модели панели тензоре деформаций. Практическая значимость. Модель, построенная в работе, и реализованная в Мар1е-программах, позволяет оценивать изменения, происходящие в обеих ограничивающих поверхностях панели с сотовым заполнителем.

Достоверность полученных результатов обеспечивается адекватностью и непротиворечивостью используемого математического аппарата, тщательным тестированием программ и анализом результатов. Для подтверждения результатов, полученных в ходе работы, также был проведен схожий эксперимент, основанный на методе конечных элементов, показавших близость результатов теоретической модели с результатами, полученными с помощью конечно-элементной модели.

Личный вклад автора заключался в анализе литературных данных, написании и отладке программ, обсуждении полученных результатов.

Научные положения, выносимые на защиту

1. Геометрическая модель панели с сотовым заполнителем.

2. Математический аппарат, позволяющий рассматривать процесс деформирования панели с сотовым заполнителем в рамках дифференциальной геометрии.

3. Построенный в ходе работы тензор деформаций, характеризующий изменение формы модели панели с сотовым заполнителем.

Апробация работы основные положения диссертационной работы докладывались и обсуждались на конференциях различного ранга: III Всероссийская молодежная научная конференция «Современные проблемы математики и механики-2012». (Томск, 23-25 апреля 2012 года), XVIII Международная конференция студентов, аспирантов и молодых учёных «Ломоносов»-2011. (Москва, МГУ, 11-15 апреля 2011 года), Объединенный семинар кафедры геометрии ММФ ТГУ и отдела математической физики НИИПММ ТГУ, (Томск, 16 октября 2013 года), Семинар механико-математического факультета КемГУ. (Кемерово, 6 ноября 2013 года).

Публикации. По теме диссертации автором опубликованы 2 печатные работы, опубликованные журналах, которые включены в перечень российских рецензируемых научных журналов и изданий для опубликования основных научных результатов диссертаций. Объем работы. Диссертация состоит из введения, пяти разделов, заключения и списка литературы из 157 наименований, содержит 60 рисунков, 3 таблицы. Общий объем диссертации составляет 175страниц.

Глава 1.

1.1. Общие сведения о композиционных материалах.

1.1.1. Применение композиционных материалов в промышленности

Композиционным (или композитным) материалом называются материалы, обладающие следующими свойствами [1]:

1. Не встречаются в природе, так как созданы человеком.

2. Состоят из двух и более компонентов, различающихся по своему химическому составу и разделенных выраженной границей.

3. Имеют новые свойства, отличающиеся от свойств составляющих их компонентов.

4. Неоднородны в микромасштабе и однородны в макромасштабе.

5. Состав, форма и распределение компонентов «запроектированы» заранее.

6. Свойства определяются каждым из компонентов, которые в связи с этим должны быть в материале в достаточно больших количествах (больше некоторой критической величины)

Изначально применявшиеся в аэрокосмической отрасли как жесткие и прочные материалы [2], обладавшие небольшим весом, постепенно они проникли и в другие сферы промышленности. В морской отрасли, например, использование композитов стабильно увеличивается с начала 1950-х годов, что частично обуславливается низкой стоимостью стекловолоконного волокнита (FRP - Fibre Reinforced Polymer). Вначале этот материал применялся на небольших судах, спасательных шлюпках и прогулочных катерах, но потенциальная область применения очень широка — радары, мачты и трубопроводы, корпуса кораблей, их надстройки и подводные аппараты [3,4]. Например, яхты, участвующие в регате «Кубок Америки», имеют полностью композитные корпуса, кили и мачты. В последние десятилетия композитные материалы все больше проникают в отрасли, далекие от аэрокосмической - кузова гоночных автомобилей, изготовленные

из композитов, дают большую защиту водителям (отнесенную к единице массы) [5]; спортивный инвентарь теперь тоже все больше и больше изготавливается из композитных материалов: ракетки для тенниса, клюшки для гольфа, весла для лодок, велосипеды и т.п. Применение этих материалов также включает в себя высокоскоростные поезда, вагоны поездов метро и надводные корабли [6]. Помимо меньшего веса, композитные материалы имеют и другие преимущества, такие как: способность выдерживать воздействие агрессивной окружающей среды, надежность, ремонтопригодность и стоимость эксплуатационного периода.

1.1.2. Материалы, используемые при изготовлении композиционных материалов.

Композиционные материалы можно классифицировать по типу

используемых материалов:

Композиты:

1) Полимерные композиционные материалы

2) Металлические композиционные материалы

3) Керамические композиционные материалы

4) Углеродные композиционные материалы

Также композиционные материалы можно классифицировать по виду армирующего наполнителя: волокнистые (армирующим компонентом служат волокнистые структуры), слоистые, наполненные пластики (армирующим компонентом служат различные частицы). В свою очередь наполненные пластики могут быть разделены на насыпные (гомогенные) и скелетные (начальные структуры, заполненные связующим элементом). Армирующие компоненты могут представлять собой различные волокна, порошки, микросферы и кристаллы и т.п.

Несущие слои панелей, используемых в строительстве, изготавливаются из различных металлических материалы, различных полимерных материалов - стеклопластики, асбестоцемента, гипсовой

и

штукатурки и др [7]. В качестве заполнителя используют крафт-бумагу, картон, ткани, пропитанные смолами, Также используют пенные заполнители, минеральную вату, пенополистирол, пенополиуретан и многие

др.

ШШЕШу

{а)

(1>)

Г , V V V

^ V \ V у V ^ V V

V - V " V

V ч. \.

(с)

Рис 1.1. Различные варианты заполнителей. а - с рифленым заполнителем, Ь - с пенным заполнителем, с - с сотовым заполнителем Композиционные материалы с неметаллической матрицей, а именно полимерные карбоволокниты, используют в судо- и автомобилестроении (кузова гоночных машин, шасси, гребные винты); из них изготовляют подшипники, панели отопления, спортивный инвентарь, части ЭВМ. Высокомодульные карбоволокниты применяют для изготовления деталей авиационной техники, аппаратуры для химической промышленности, в рентгеновском оборудовании. Карбоволокниты с углеродной матрицей заменяют различные типы графитов. Они применяются для тепловой защиты, дисков авиационных тормозов, химически стойкой аппаратуры. Изделия из бороволокнитов применяют в авиационной и космической

технике (профили, панели, роторы и лопатки компрессоров, лопасти винтов и трансмиссионные валы вертолетов). Органоволокниты применяют в качестве изоляционного и конструкционного материала в

электрорадиопромышленности, авиационной технике, автостроении; из них изготовляют трубы, емкости для реактивов, покрытия корпусов судов [8], [9]. Композиционные материалы обладают уникальными свойствами теплоизоляции (тепло- и звукоизоляция салонов, кабин, узлов и агрегатов автомобилей, производственных и бытовых помещений). Отработана технология изготовления деталей из фрикционного самосмазывающего композиционного материала, накладок фрикционных гасителя колебаний рессорного подвешивания. В технике нашли широкое применение дисперсно-упрочненные композиционные материалы. Материалы данного типа относятся к классу порошковых, в которых матрица из металла или сплава упрочняется искусственно введенными мелкодисперсными частицами размером менее 0,1 мкм в количестве 0,1 - 15%. В качестве упрочняющей фазы используют дисперсные частицы оксидов, карбидов, нитридов и других тугоплавких соединений. Смеси порошков получают механическим или химическим смешиванием, поверхностным или внутренним окислением, разложением смеси солей, водородным восстановлением или химическим осаждением из растворов. После формирования и спекания проводят горячую пластическую деформацию с целью получения плотного, беспористого полуфабриката (лент, полос, профилей).

1.1.4. Сэндвич-панели.

Одним из самых распространенных композитных материалов являются сэндвич-панели (панели с заполнителем, конструкции с заполнителем). Основа сэндвич-панели состоит из:

1) пары тонких, но жестких и прочных лицевых (или несущих) поверхностей;

2) толстого, но легковесного заполнителя, разделяющего лицевые поверхности и переносящего нагрузки от одной лицевой поверхности к другой;

3) клейкого слоя, позволяющего передавать сдвиговые и осевые нагрузки по направлению к заполнителю и от него.

4) Элементов каркаса.

Рис.2.1. Сэндвич-панель - один из самых распространенных композитных материалов.

На иллюстрации представлена типичная сэндвич-панель с двойными лицевыми поверхностями и сотовым заполнителем.

Несущие слои панели воспринимают продольные нагрузки (растяжение, сжатие, сдвиг) в своей плоскости и поперечные изгибающие моменты. Заполнитель воспринимает поперечные силы при изгибе трехслойной конструкции и обеспечивает совместную работу и устойчивость несущих слоев. Способность заполнителя воспринимать нагрузку в плоскости несущих слоев зависит от конструкции заполнителя и его жесткостных характеристик. Элементы каркаса обеспечивают местную жесткость конструкции при действии сосредоточенных усилий и в местах крепления повышают сопротивление усталости, в результате разнесения несущих слоев на некоторое расстояние друг от друга достигается большое отношение жесткости конструкции к ее массе. Если сравнить это с однослойной пластиной равной массы, то отношение жесткостей будет не

менее 3

'V2

, где Нх - расстояние между срединными поверхностями

несущих слоев, а Ънс - толщина несущих слоев [10].

В табл. 1 кратко представлены характеристики сэндвич-панелей в сравнении с однослойными плитами [11] (За 1 в таблице приняты характеристики однородных плит).

2 I

Т

4 £ ±

Относительная жесткость на изгиб 1 7.0 37

Предел прочности при изгибе { 3.5 9.2

Относительная масса 1 1,03 1.06

Табл. 1.1. Преимущества использования сэндвич-панелей вместо однослойных плит. Таким образом, сэндвич-панели завоевали популярность в таких областях промышленности, в которых важно, чтобы материал имел высокие характеристики прочности и жесткости, и при этом имел небольшую массу.

1.2. Моделирование композитных материалов и происходящих при их деформациях.

процессов,

1.2.1. Общие сведения о математическом моделировании

Элементы математического моделирования используются практически с самого начала появления точных наук. Поэтому некоторые численные методы и носят названия в честь великих умов в истории математики. Второе рождение эта методология пережила в середине XX века с появлением первых ЭВМ, которые, несмотря на малую мощность, позволили ученых избавиться от многих рутинных действий при исследованиях. Также на развитие математического моделирования повлияла Холодная Война и гонка вооружений. Например, первые алгоритмы решения уравнений математической физики, описывающие процессы, происходящие при

ядерном взрыве, были получены A.A. Самарским совместно с А.Н. Тихоновым в ходе расчетов мощности зарядов, проводимых в Лаборатории Измерительных Приборов №2 АН СССР. Опыт своей работы (безотносительно области применения этих расчетов) они изложили в своей работе «Уравнения математической физики»

Процесс построения математической модели можно схематично разбить на три этапа: модель-алгоритм-программа.

На первом этапе выбирается (или строится) «эквивалент» объекта, отражающий в математической форме важнейшие его свойства — законы, которым он подчиняется, связи, присущие составляющим его частям и т.д. Математическая модель исследуется теоретическими методами, что позволяет получить важные предварительные знания об объекте.

Второй этап - выбор или разработка алгоритма для реализации модели на компьютере. Модель представляется в форме, удобной для применения численных методов, определяется последовательность вычислительных и логических операций, которые нужно произвести, чтобы найти искомые величины с заданной точностью. Вычислительные алгоритмы должны не искажать основные свойства модели и, следовательно, исходного объекта, быть экономичными и адаптирующимися к особенностям решаемых задач и используемых компьютеров.

Рис. 1.3. Схема построения математической модели

На третьем этапе создаются программы, «переводящие» модель и алгоритм на доступный компьютеру язык. Программы, в свою очередь, тщательно тестируются на предмет адекватности воспроизведения алгоритма, способности воспринимать входные параметры в достаточно широком диапазоне, обеспечивать требуемую точность результата и устойчивость к незначительным отклонениям точности входных параметров.

1.2.2. Математические модели композитных материалов.

В связи с тем, что проведение натурных экспериментов с целью определения свойств композиционных материалов зачастую требует существенных финансовых затрат, возникает необходимость построения теоретических моделей композиционных материалов, которые позволили бы определить не только характеристики материалов, но и описать локальную структуру процессов, происходящих в таких средах под действием связанных полей.

Математическое моделирование поведения неоднородной композиционной среды осуществляется с помощью уравнений с быстро изменяющимися коэффициентами, которые характеризуют свойства отдельных компонентов материала. Такой подход существенно затрудняет решение соответствующих краевых задач. С этим связана необходимость создания таких математических моделей, которые приводят к более простым уравнениям с осредненными коэффициентами. При этом осредненные уравнения должны быть такими, чтобы решение соответствующей краевой задачи было близким к решению исходной.

Современные композиты зачастую имеют регулярную или почти регулярную структуру, причем масштаб неоднородности весьма мал по сравнению с размерами тела в целом. В случае композитов регулярной структуры быстро осциллирующие коэффициенты уравнений являются периодическими функциями, и математический анализ этих уравнений может быть проведен на основе асимптотического метода осреднения,

разработанного в 70-х годах. Математический метод усреднения проверяется доказательством сходимости решений исходной и усредненной задач при стремлении размера периодической ячейки к нулю и полученными оценками этого метода. Использование асимптотического метода усреднения позволяет существенно расширить круг решенных задач для композитов, конструкционно-неоднородных материалов и конструктивных элементов, обладающих регулярной структурой. К их числу относятся задачи теории упругости, теплопроводности, термоупругости и электроупругости.

1.2.3. Различные способы исследования композитных материалов и сэндвич-панелей на прочность.

Расчет композиционного элемента, в отличие от однородного, предусматривает анализ по слоям композита. Исходя из модельных представлений механики, композиционный материал можно определить как неоднородную среду, описываемую с помощью разрывных по координатам быстроосциллирующих материальных функций, которые, как правило, считаются либо периодическими, либо случайными однородными.

В качестве иллюстрирующего кратко приведем нагрев композита с однородной матрицей и однородными включениями. Пусть теплоемкость единицы объема и теплопроводность для матрицы равны см и Хм соответственно, а для включения - св и Хв.

В таком случае теплоемкость и теплопроводность композита описываются кусочно-постоянными функциями с = с(Р) и X = Х(Р), где Р — точка с координатами (х{,х2,х3).

Эти функции резко изменяются (на величины (см-св) и (Лм-Лв))

при бесконечно малых изменениях координат, если точка Р переходит через границу Г, разделяющую материал включения и материал матрицы.

Температурное поле Т = Т(х1,х2,х3^) в таком материале подчиняется уравнению теплопроводности

дТ _ д

Э/ дх,

ЭХ,;

+ Д (/ = 1,2,3),

где Б - плотность тепловых источников.

Необходимость разработки методов решения дифференциальных уравнений с такими коэффициентов привела к появлению новой области математических исследований - теории осреднения дифференциальных операторов с частными производными, позволяющей получить решение исходной задачи с помощью более простых дифференциальных уравнений, называемых осредненными.

Проблема вычисления коэффициентов осредненных уравнений, известная в механике композитов как проблема прогнозирования эффективных характеристик, является одной из центральных, поскольку открывает возможность синтеза материалов с заранее заданным комплексом свойств, наилучшим образом соответствующих конкретным условиям эксплуатации. Каждой неоднородной среде ставится, таким образом, в соответствие некоторая анизотропная среда с эффективными свойствами, для которой удобно проводить расчеты конструкций и деталей из композиционных материалов с использованием известных методов механики деформируемого твердого тела.

Первые работы в области механики твердых структурно-неоднородных сред относятся к 20-м годам XX века, когда В. Фойгт и А. Ройсс предложили вычислять соответственно эффективные модули упругости и податливости микронеоднородных материалов по правилу механического смешивания. В 1946 г. И.М. Лифшиц и Л. Н. Розенцвейг [12] предложили метод расчета макро-свойств поликристаллов на основе решения стохастической краевой задачи теории упругости. Впоследствии этот метод получил развитие в работах В. В. Болотина, В. А. Ломакина, Т. Д. Шермергора, С. Д. Волкова, Г. А. Ванина, а также в работах М. Берана, Е. Кренера, Дж. Сендецки и др. Полученные результаты по прогнозированию эффективных свойств среды можно найти в работах [13, 14, 15, 16, 17, 18].

С начала 60-х годов благодаря усилиям 3. Хашина, С. Штрикмана, Б. Розена [19, 20], Р. Хилла [21], а впоследствии С. Айзиковича и М. Арона [22], Р. Йеха [23] и других разрабатывается подход, связанный с применением вариационных методов для вычисления границ эффективных модулей гранулированных и волокнистых композитов. Для уточнения этих границ широкое распространение получили различные упрощенные модели структурно-неоднородных сред [14, 21], не учитывающие в полной мере взаимодействия между элементами структуры, но позволяющие получить достаточно простые аналитические выражения для макромодулей. Более перспективным в этом направлении может оказаться применение метода самосогласования [24, 20].

Один из главных недостатков вариационных методов и теории случайных функций механики структурно-неоднородных сред заключается в том, что в рамках этих подходов, как правило, не удается рассматривать такие эффекты, как геометрическая форма элементов структуры и неоднородность полей деформирования в каждом из структурных элементов. Поэтому актуальными остаются работы, в которых объектом исследования являются среды с регулярной структурой. В 1975 г. Н. С. Бахвалов предложил метод осреднения дифференциальных уравнений с быстро осциллирующими коэффициентами [25, 26], который оказался очень эффективным в механике композитов [27] благодаря его успешному развитию в работах Б. Е. Победри и его последователей. [28, 29, 30].

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Никульчиков, Андрей Викторович, 2013 год

Список использованных источников.

1. Портной К. И, Салибеков С. Е., Светлов И. Д., Чубаров В. М. Структура и свойства композиционных материалов. — М: Машиностроение, 1979. - 255 стр.

2. Bart-Smith H., Hutchinson J.W., Evans A.G. Measurement and analysis of the structural performance of cellular metal sandwich construction. International Journal of Mechanical Sciences 43 (2001) 1945-1963.

3. Eric Greene Associates. Marine Composites, Eric Greene Associates, inc. Annapolis, Maryland, 1999. ISBN 0-9673692-0-7.

4. Прохоров Б.Ф., Кобел ев В.H. Трехслойные конструкции в судостроении. JI: Судостроение, 1977. 334 стр.

5. O'Rourke В. The contribution of composite materials to a world champion Formula 1 racing car design. Proc. 14th Int. SAMPLE European Chapter Conf., Birmingham, UK, Oct. 1993.

6. Панин Ф. В., Гладков Ю. А. Конструкции с заполнителем: Справочник. - М: Машиностроение, 1992 - 272 с.

7. Tsai S. .W., Theory Of composite design, Think Composites, 1992.

8. Лахтин Ю. M., Леонтьева В. П. Материаловедение: Учебник для высших технических заведений. 3-е изд., перераб. и доп. -

М. Машиностроение, 1990.

9. Нейман А. Материалы будущего: перспективные материалы для народного хозяйства. Пер. с нем.- Л.: Химия, 1985.

1 O.Petras A., Design of sandwich structures, dissertation, Robinson College,

Cambridge. December 1998, 114p, 1 ЫЦунгский Б.Е. Строительные конструкции с сотовым заполнителем.

М: Стройиздат, 1977. 112 стр. 12. Лифшиц И. М., Розенцвейг Л. Н. К теории упругих свойств

поликристаллов. Ж. эксперим. и теор. физ. — 1946.-Т. 16, вып. 11. с 967980.

13. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика композитных материалов. Минск: Изд-во БГУ, 1978. - 208с.

14. Сендецки Дж. и др. Механика композиционных материалов. М: Мир, 1978. 564 с.

15. Ломакин В. А. Статистические задачи механики твердых деформируемых тел. М: Наука, 1970. - 139 с.

16. Гузь А. Н., Хорошун JI. П., Ванин Г. А. и др. Киев: Наукова думка, 1982.-368 с.

17. Шермергор Т. Д. Теория упругости микронеоднородных сред. М: Наука. 1977-400 с.

18. Beran М. Statistical continuum theories. N.Y.: Intersci. Publ., 1968. - 493p.

19.Хашин 3., Розен Б. Упругие модули материалов, армированных волокнами. Прикл. Мех. М: Мир, 1964. №2. - с. 72-82.

20. Hashin Z., Shtrickman S. A variational approach the theory of the elastic behaviour of multiphase materials. J. Mech. a. Phys. Solids. - 1963.- v.l 1, N. 2.-P. 127-142.

21. Хилл P. Упругие свойства составных сред: некоторые теоретические принципы. Механика: Сб. пер. - 1984. - Т. 87, №5. - с. 127 - 143.

22. Aizicovici S., Aron М. A variational theorem in the linear theory of mixtures of two elastic solids: The quasistatic case. Acta mech - 1977. V. 27, №1/4. P. 275-280.

23. Yeh R. H. T. Variational bounds of unidirectional fibrereinforced composites. J. Appl. Phys. - 1973. - V. 44, N. 2.-P.662-675.

24. Канаун С. К. О приближении самосогласованного поля для упругой композитной среды. ПМТФ.-1977.-№2.-с. 160-169.

25. Бахвалов Н. С. Осреднение дифференциальных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. Докл. АН СССР. - 1975. Т. 221, №3. - с. 516-519.

26. Бахвалов Н. С. Осреднение нелинейных уравнений с частными производными с быстро осциллирующими коэффициентами. Докл. АН СССР. - 1975. - Т.221, №2. - с. 249-252.

27. Каламкаров А. Д., Кудрявцев Б. А., Партон В. 3. Асимпототический метод осреднения в механике композитов регулярной структуры. Итоги науки и техники. Т. 19. Сер. Механика деформируемого твердого тела.- М: Изд. ВИНИТИ, 1987. - с. 78-147.

28. Горбачев В. И. Эффективные механические характеристики микронеоднородных тел с периодической структурой. Упругость и неупругость. Вып.5.- М.: Изд. Моск. Ун-та, 1978. - с. 7-12.

29. Каралюнас Р. И. К определению эффективных определяющих соотношений физически нелинейных композитов. Вестн. Моск. ун-та: Мат., мех. - 1984. - №2. - с. 77-80.

30. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов.- М: Изд. Моск. ун-та, 1984.-336 с.

31. Алехин В. В., Аннин Б. Д., Колпаков А. Г. Синтез слоистых материалов и конструкций. - Новосибирск: ИГ СО АН СССР, 1988. -130 с.

32. Аннин Б. Д., Каламкаров А. Д., Колпаков А. Г., Партон В. 3. Расчет и проектирование композиционных материалов и элементов конструкций. - Новосибирск: Наука, 1993. - 256 с.

33. Анциферов В. Н., Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. и др. Волокнистые композиционные материалы на основе титана. - М: Наука, 1990. - 136 с.

34. Болотин В. В., Новичков Ю. Н. Механика многослойных конструкций. -М: Наука, 1980.-375 с.

35. Ванин Г. А. Микромеханика композиционных материалов. - Киев: Наукова думка 1985. - 304 с.

36. Васильев В. В. Механика конструкций из композиционных материалов. - М: Машиностроение, 1988. - 272 с.

37. Волков С. Д., Ставров В. П. Статистическая механика композитных материалов. - Минск: Изд. БГУ, 1978. - 208 с.

38. Композиционные материалы. Справочник. Под ред. Карпиноса. -Киев: Наукова думка, 1985. — 592 с.

39. Васильев В. В., Протасов В. Д., Болотин В. В. и др. Композиционные материалы. Справочник. Под общ. ред. Васильева В. В. и Тарнопольского Ю. М. - М. Машиностроение, 1990. - 512 с.

40. А. С. Кравчук, В. П. Майборода, Ю. С. Уржумцев. Механика полимерных и композиционных материалов. - М: Наука, 1985. - 304 с.

41.Друккер Д. Пластичность, течение и разрушение. Неупругие свойства композиционных материалов. - М.: 1979. - с. 9-32.

42. Адаме Д. Ф. Упругопластическое поведение композитов. Композиционные материалы. Т. 2. Механика композиционных материалов. - М: Мир, 1978. - с. 196-241.

43. Архипов И. К., Толоконников JI. А. Вариант статистической теории пластичности коротковолокнистых композитов с направленным армированием. Механика композиционных материалов. - 1984. №4,-с.620-625.

44. Дудукаленко В. В., Мешков С. И., Сараев JI. А. К расчету эффективных характеристик пластичности неоднородных сред. Ж. прикл. мех. и техн. физики. - 1979. №5. - с. 150-154.

45. Зиновьев П. А., Сарбаев Б.С. Эндохронная теория нелинейного деформирования слоистых композитных материалов. Мех. композит, материалов. - 1985. - №3. - с. 423-430.

46. Исупов JI. П., Работнов Ю. Н. О законе пластичности для композитной среды. Изв. АН СССР: МТТ. - 1985. - №1. - с 121-127.

47. Немировский Ю. Б. Об упруго-пластическом поведении армированного слоя. Ж. прикл. техн. физики. - 1969. - №6. - с. 81-89.

48.Победря Б. Е., Каралюнас Р. И. Упругопластическое поведение слоистых композитов. Научно-технический прогресс в

машиностроении: Композиционные материалы. Межд. центр, научн. и техн. информации, Ин-т машиностроения им. Благонравова АН СССР. -М.: 1987. с 98-117.

49. Зилауц А. Ф., Крегерс А. Ф., Лагздинын А. Ж., Тетере Г. А. Расчет упругопластических деформаций композита при сложном нагружении. Мех. композит, материалов. - 1981, №6. - с. 987-992.

50. Сараев J1. А. Эффективные свойства многокомпонентных упругопластических композиционных материалов. ГТММ. - 1986. - Т. 50, вып. 4.-е. 700-705.

51. Эглит М. Э. Об усредненном описании процессов в периодических упругопластических средах. Мех. композит, материалов. - 1984. - №5. -с 825-831.

52. Aboudi J. Generalized effective stiffness theory for non-elastic laminated composites. Int. J. Eng. Sci. - 1982. - V. 19, N. 9, - p. 1269-1282.

53. Aboudi J. A continuum theory for fibre-reinforced elasticviscoplastic composites. Int. J. Eng. Sci. - V. 20, N. 5. - p. 605-621.

54.Hahn H. T., Tsai S. W. Nonlinear elastic behaviour of unidirectional composite laminates. J. compos. Mater. - 1983. N.7. - p. 102-118.

55. Sawicki A. Engineering mechanics of elasto-plastic composites. Mech. Mater. - 1983. V. 2, N 3.-p 926 - 981.

56. Аношкин A. H., Соколкин Ю. В., Ташкинов А. А. Неупругое деформирование и разрушение разупорядоченных волокнистых композитов. Мех. композит, материалов. - 1993. - Т. 29, №5. - с 621628.

57. Соколкин Ю. В., Свисткова JI. А. Упругопластичность волокнистых композитов с металлической матрицей. Исследования по механике материалов и конструкций. - Свердловск: УрО АН СССР, 1988. - с 8592.

58. Adams D. F. Inelastic analysis of unidirectional composite, subjected to transverse normal loading. J. Compos. Mater. - 1969. N. 4. - p. 310-328.

59. Adams D.F. Elastoplastic crack propagation in a transversely loaded unidirectional composites. J. Compos. Mater. - 1974. -N. 8. - p. 38-54.

60. Kim S. J., Shin E. S. A Termoviscoplastic theory for composite materials by using a matrix-partitioned unmixing-mixing scheme. J. Compos. Mater. 1996.-V. 30, N 15.-P. 1647-1699.

61. Li D. S., Wisnom M. R. Micromechanical modeling of SCS-6 fibre-reinforced Ti-6A1-4V under transverse tension - effect of fibre coating. J. Compos. Mater. - 1996. -V. 30, N. 5. - p. 561-588.

62. Lissenden C. J., Lerch B. A., Herakovich С. T. Response of SiC/Ti under combined loading. Part III: Microstructural evaluation. J. Compos. Mater. -1996. -V. 30, N 1. - p. 84-108.

63. Дудукаленко В. В., Мешков С. И., Сараев JI. А. К расчету эффективных характеристик пластичности неоднородных сред. Ж. прикл. мех. и техн. физики. - 1979. - №5. - с. 150-154.

64. Трауб Дж. Итерационные методы решения уравнений. - М: Мир, 1985.

- 264 с.

65. Хорошун J1. П., Вецало Ю. А. К теории эффективных свойств идеальных свойств идеальнопластических композитных материалов. Прикл. мех. - 1987. - Т. 23, № 1. - с. 86-90.

66. Гольденблат И. И. К теории малых упругопластических деформаций анизотропных сред. Докл. АН СССР. - 1955. Т. 101, №4. - с. 619-622.

67. Гузь А. Н., Хорошун JI. П., Ванин Г. А. и др. Механика композитных материалов и элементов конструкций. В 3-х т. Т.1. Механика материалов. - Киев: Наукова думка, 1982. - 368 с.

68.Ломакин В. А. О теории нелинейной упругости и пластичности анизотропных сред. Изв. АН СССР: ОТН, механика и машиностроение.

- 1960. - №4.-с. 60-64.

69. Петрищев П. П. Упругопластические деформации анизотропного тела. Вестн. Моск. Ун-та. Сер. физ.-мат и естесств. наук. — 1952. - №5. - с. 63-72.

70. Победря Б. Е. Деформационная теория пластичности анизотропных сред. Пмм. - 1984. - Т. 48, вып. 1.-е. 29-37.

71. Косарчук В. В., Ковальчук Б. И., Лебедев А. А. Теория платического течения анизотропных сред. Сообщ. 1. Определяющие соотношения. Проблемы прочности. - 1986. - №4. - с. 50-57.

72. Мансуров Р. М. Об упругопластическом поведении анизотропных сред. Упругость и неупругость. Вып. 1. -М., 1971.-е. 163-171.

73. Победря Б. Е. Теория течения анизотропной среды. Прочность, пластичность и вязкоупругость материалов и конструкций. -Свердловск, 1986.-е. 101-108.

74. Ковальчук Б. И., Косарчук В. В., Лебедев А. А. Исследования скалярных векторных свойств анизотропных материалов в условиях сложного напряженного состояния. Сообщ. 2. Пластические деформации анизотропных материалов при простом нагружении. Проблемы прочности. - 1982. - №8. - с. 114-121.

75. Chou Р. С., Chou D. К. Plastic flow rule of laminated composites. J. Compos. Mater.-1976,-V. 10,N. l.-p. 55-68.

76. Kafka V. Elastic-plastic deformation of a periodically nonhomogeneous medium. Acta techn. CSAV. - 1965. - V. 10, N 4. - p. 404-451.

77. Bahei-El-Din Y. A., Drorak G. J. Plastik deformation of a laminated plate with a hole. Trans. ASME, J. Appl. Mech. - 1980. - V. 47, N. 4. - p. 827832.

78. Bahei-El-Din Y. A., Drorak G. J. Plasticity analysis of laminated composite plates. Trans. ASME, J. Appl. Mech. - 1982. - V. 49, N. 4. -p. 740-746.

79. Whitney J. M. Compression loading of laminates: in situ failure of unidirectional plies. J. Compos. Mater. - 1995. - V. 29, N. 6. - p. 820-832.

80. Вериженко В. E. Неклассическая теория упругопластического деформирования слоистых трансверсально изотропных пологих оболочек. Проблемы прочности. - 1987, - №4. - с. 89-94

81.Сарбаев Б. С. О неупругом поведении слоистых стеклопластиков. Изв. вузов: Машиностр. - 1984. - №4. - с.6-10.

82.Engelstad S. P., Reddy J. N. Probabilistic methods for the analyis of metal-matrix composites. Compos. Sci. a. Technol. - 1994. - V. 50. - p. 91-107.

83. Аннин Б. Д., Колпаков А. Г. Проектирование слоистых композитов с заданными деформационно-пластическими характеристиками. Мех. композит. Материалов. - 1987. - №1. - с. 56-64.

84. Томенко Ю. С., Навроцкий И. В., Долженков Ф. Е. Деформация многослойных сталей при статическом растяжении. Изв. АН СССР: Металлы. - 1970. - №3. - с. 119-125.

85. Snyder В. С., Wadsworth J., Sherby О. D. Superplastic behaviour in ferrous laminated composites. Acta Met. - 1984. - V. 32, N. 6. - p 919-932.

86. Каралюнас P. И. Эффективные термопьезоэлектрические свойства слоистых композитов. Механика композит, материалов. 1990. №5. с 823-830

87. Каралюнас Р. И.. Эффективные определяющие соотношения слоистых упругопластических композитов: Автореферат дис. канд. Физ.-мат. Наук. - М. 1986.-7с.

88. Dvorak G. J., Bahei-El-Din Y. A., Macheret Y., Liu С. H. An experimental study of elastic-plastic behavior of a fibrous boron-aluminum composite. J. Mech. a. Phys. Solids. - 1988. - V. 32, N. 6. - p. 655-687.

89. Ермоленко А. Ф. Модель разрушения однонаправленного волокнита с хрупкой матрицей. Мех. композит. Материалов. — 1985. - №2. - с. 247256.

90. Xu L. Y. Study on the characteristic curve of stiffness degradation caused by transverse matrix cracking in multidirectional composite laminates. J. Compos. Mater. - 1996. - V. 30, N. 7-p. 820-838.

91. JIarac П. А. Нелинейных характер зависимости «напряжение-деформация» для слоистых графитоэпоксидных пластиков. Аэрокосм, техника.-1986. - №4.-с. 102-111.

92. Griffin О. H. Three-dimensional inelastic finite element analysis of laminated composites. J. Compos. Mater. - 1981. - V. 15, N. 6. - p. 543560.

93. Багмутов В. П. Об упругопластическом поведении слоисто-волокнистого материала. Проблемы прочности. - 1982. - №10. - с. 96102.

94. Протасов В. Д., Ермоленко А. Ф., Филиппенко А. А., Димитриенко И.П. Мех. композит, материалов. - 1980.-№2. - с. 254-261.

95. Кузнецов С. Ф., Парцевский В. В. О механизме деформирования и разрушения слоистых многонаправленных композиционных материалов. Мех. композит, материалов. - 1981. - №6. - с. 1006-1011.

96. Грушецкий И. В., Микельсон М. Я., Тамуж В. П. Изменение жесткости однонаправленного волокнистого композита вследствие дробления волокон. Мех. композит, материалов. - 1982. - №2. - с. 211-216.

97. Кошур В. Д., Немировский Ю. В. Континуальные и дискретные модели динамического деформирования элементов конструкций. — Новосибирск: Наука, 1990. - 198 с.

98. Кржечковский П. Г., Павлищев В. И., Никитин В. А. Моделирование на ЭВМ процесса разрушения среды с полыми сферическими включениями. Мех. композит, материалов. - 1987. №1. — с. 77-83.

99.Малмейстер А. К., Тамуж В. П., Тетере Г. А. Сопротивление полимерных и композитных материалов. Рига.: Зинатне, 1980. 572 с.

100. Тарнопольский Ю. М., Жигун И. Г., Поляков В.А. Пространственно-армированные композиционные материалы. М: Машиностроение, 1987. 225 с.

101. Димитриенко Ю. И., Соколов А. П. Об упругих свойствах композиционных материалов// Математическое моделирование. 2009, Т. 21, №4, с 96-110.

102. Бахвалов Н.С., Панасенко Г.П. Осреднение процессов в периодических средах. М: Наука, 1984. 352 с.

103. Победря Б. Е. Механика композиционных материалов. М.: МГУ, 1984. 336 с.

104. Санчес-Паленсия Э. Неоднородные среды и теория колебаний: пер. с англ. М: Мир, 1984. 471 с.

105. Димитриенко Ю. И. Механика композиционных материалов при высоких температурах. М: Машиностроение, 1997. 356 с.

106. Димитриенко Ю. И., Соколов А. П. Разработка автоматизированной технологии вычисления эффективных характеристик композитов методом асимптотического осреднения. // Вестник МГТУ им. Баумана. Сер. Естественные науки. 2008. №2, с 57-67.

107. Соколов А.П., Шпакова Ю. В., Першин А. Ю. Проектирование и разработка распределенной вычислительной системы инженерного анализа свойств композиционных материалов.// Материалы IX Международной конференции по неравновесным процессам в соплах и струях (NPNJ'2012). Алушта, Украина: Московский авиационный Институт, 2012. с 518-521.

108. Reissner Е. On the theory of bending of elastic plates. J. Math Phys. 23, 184-191. 1944.

109. Mindlin R. D. Influence of rotary inertia and shear on flexural motions of isotropic, elastic plates. J. appl. Mech. 18, pp 31-38. 1951.

110. Libove C., Batdorf S.B. A general small deflection theory fo sandwish plates. Natl. Adv. Committee for Aeronautics, Report 899, Washington D.C. 1948.

111. Habip L. M. A review of recent Russian work on sandwich structures. Int. J. Mech. Sci 6, 283-487. 1964.

112. Habip L. M. A survey on modern developments in the analysis of sandwich structures. Appl. Mech. Rev 18, 93-98. 1965.

113. Bert C. W., Francis P. H. Composite material mechanics: Structural mechanics. AIAA. J. 12, 1173-1186. 1974.

114. Bert C. W. A critical evaluation of new plate theories applied to laminated composites. Comp. Struct. 2, 329-347. 1984.

115. Yang P. C., Norris C. H., Stavsky Y. Elastic wave propagation in heterogeneous plates. Int. J. Solids Struct. 2, 665-684. 1966.

116." Whitney J. M. Stress analysis of thick laminated composite and sandwich plates. J. Comp. Mater. 6, 426-440. 1972.

117. Whitney J. M. Shear correction factors for orthotropic laminates under static load. J. appl. Mech. 40(2), 302-304. 1973.

118. Khatua T. P., Cheung Y.K. Bending and vibration of multilayer sandwich beams and plates. Int. J. Numer. Meth. Engng. 6, 11-24. 1973.

119. Hrabok M. M., Hrudy T. M. A review and catalogue of plate bending finite elements. Comput. Struct. 19, 479-495. 1984.

120. Ghosh S. K., Buragohain D. N. Two triangular elements for analysis of thick, sandwich plates. In proceedings of the International Conference on Finite Elements in Computational Mechanics, Bombay, India, 2-6 December 1985, pp259-268.

121. Yuan F. G., Miller R. E. A rectangular finite element for moderately thick flat plates. Comput. Struct. 30, 1375-1388. 1988.

122. Zienkiewicz F. C., Lefebvre D. A robust triangular plate bending element of Reissner-Mindlin type. Int. J. Numer. Meth. Engng. 26, 1169-1184.

123. Bhashyam G. R., Gallagher R. H. An approach to the inclusion of transverse shear deformation in finite element plate bending analysis. Comput. Struct. 19, 35-40. 1984.

124. Noor A. K., Mathers M. D. Shear flexible finite element models of laminated composite plates and shells. Int. J. Numer. Meth. Engng. 11, 289307. 1977.

125. Panda S., Natarajan R. Finite element analysis of laminated composite plates. Int. J. Numer. Engng. 14, 69-79.

126. Reddy J. N. A penalty plate-bending element for the analysis of laminated anisotropic composite plates. Int. J. Numer. Meth. Engng. 15, 1187-1206. 1980

127. Lakshminarayana H. V., Murthy S. A shear-flexible triangular finite element model for laminated composite plates. Int. J. Numer. Meth. Engng. 20, 591-623

128. Ding Y. Optimum design of sandwich constructions. Comput. Struct. 25, 51-68. 1987.

129. Abel J. F., Popov E. P. Static and dynamic analysis of sandwich structures. Proc. Conf. Matrix Meth. Struct. Mech. Wright-Patterson Air Force Base, OH, pp213-245. 1965.

130. Monforton G. R., Shmit L. A. Finite element analysis of sandwich plates and cylindrical shells with laminated faces. Proc. Conf. Matrix Meth. Struct. Mech. Wright-Patterson Air Force Base, OH, pp573-616. 1969.

131. Ahmed K. M. Free vibration of curved sandwich beams by the method of finite element. J. Sound Vibr. 18, 61-74. 1971.

132. Ahmed K. M. Static and dynamic analysis of sandwich structures by the method of finite elements. J. Sound Vibr. 18, 75-79. 1971

133. Ha H. K., Fazio P. Displacement model for sandwich plate analysis. Report no. SBC-17, Dept. Civil Engng., Sir George Williams University, Montreal. 1971.

134. Mayercsik N. P. Finite element analysis of advanced composite sandwich panel core geometries for blast mitigation. University of Delaware, 2010. 75

P-

135. Horrigan D. P. W., Aitken R. R. Finite Element Analysis of impact damaged honeycomb sandwich. Centre for Polymer and Composites Research, Department of Mechanical Engineering, The University of Aukland, Aukland, New Zealand

136. Minguet P. J. A model for predicting the behaviour of impact damaged minimum gage sandwich panels under compression. J. AIAA 91-1075-CP ppl 112-1122.

137. Kassapoglou C., Abbot R. A correlation parameter for predicting the compressive strength of composite sandwich panels after low speed impact. Proceedings 29th AIAA/ASCE/AHS/ASC Structures, Structural Dynamics and Material Conference. 1988.

138. Meo M., Vignjevic R., Marengo G. The response of honeycomb sandwich panels under low-velocity impact loading. International Journal of Mechanical Sciences, Vol. 47, issue 9, 2005. pp 1301-1325.

139. Dharmasena K. P., Wadley H. N. G., Xue Z., Hutchinson J. W. Mechanical response of metallic honeycomb sandwich panel structures to high intensity dynamic loading. Int. J. of impact Engng. 35, 1063-1074, 2008.

140. Rathbun H. J., Radford D. D., Xue Z., He M.Y., Yang J., Deshpande V., Fleck N.A., Hutchinson J. W., Zok F. W., Evans A. G. Performance of metallic honeycomb-core sandwich beams under shock loading. Int. J. of solids and structures 43, pp 1746-1763, 2006.

141. Anderson M. S., Stroud W. J. A general panel sizing computer code and its applications to composite structural panels, AIAA Journal, 17(8), 1979, p. 892-897.

142. Jegley D. C. Study of structurally efficient graphite-thermoplastic trapezoidal - corrugation sandwich and semi-sandwich panels. J. of Aircraft, 31(2), 1994, p 411-418.

143. Graesnar D. L., Zabinsky Z. В., Tuttle M. E., Kim G. I. Optimal design of composite structure. Composite Structures, 24, 1993. p. 273-281.

144. Каган В.Ф. Основы теории поверхностей. T. 2. ОГИЗ Государственное издательство технико-теоретической литературы. — Л.: 1943.-410 с.

145. Гастев Ю.А. Гомоморфизмы и модели. - М: Наука, 1975. - 152 с

146. Шапуков Б.Н. Дифференциальная геометрия и основы тензорного анализа. - Казань: КГУ. - 135 с.

147. Фавар Ж. Курс локальной дифференциальной геометрии. - М.: ГИТТЛ, 1960.-559 с.

148. Дубровин Б.А., Новиков С.П., Фоменко А. Т. Современная геометрия. -М.: Наука, 1979.-760 с.

149. Бляшке В. Дифференциальная геометрия. - М.-Л.: ОНТИ НКТП, 1935 -330 с.

150. Рашевский П.К. Курс дифференциальной геометрии. - М.-Л.: ГИТТЛ, 1950.-428 с

151. Будак Б.М., Фомин C.B. Кратные интегралы и ряды. - М.:Наука, ФМЛ, 1965.-608 с.

152. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория упругости. М.: Наука, ФМЛ. -1987.-246 с

153. Бухтяк М.С., Никульчиков A.B. Оценка среднеквадратичного отклонения поверхности параболического рефлектора от шестиугольной фронтальной сети. Вестник Томского Государственного Университета. Математика и Механика, №4(20), 2012г.

154. Бухтяк М.С., Никульчиков A.B. Моделирование деформации сотовой панели. Вестник Томского Государственного Университета. Математика и Механика, №2(22) 2013 г.

155. Бухтяк М.С., Никульчиков A.B. Поля на поверхностях, находящихся в точечном соответствии. - Вестник ТГУ, Математика и Механика, №6(26), 2013 г. с. 56-69.

156. Никульчиков A.B. О моделировании точечного соответствия поверхностей. Современные проблемы математики и механики 2012. Сборник трудов III всероссийской молодежной научной конференции: Изд. ТГУ-2012 г.

157. Никульчиков A.B. Визуализация главных кривизн в среде Maple. Конференция «Ломоносов 2011»:Сборник трудов конференции: Изд. МГУ-2011.