Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.06, доктор физико-математических наук Артамкин, Игорь Вадимович

• Артамкин, Игорь Вадимович
• доктор физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Артамкин, Игорь Вадимович

1. Канонические отображения пунктированных кривых с простейшими особенностями.

1.1. Стабильные пунктированные кривые и модулярные графы.

1.2. Модулярные графы и звездные когомологии.

1.3. Дифференциалы.

1.4. Каноническое отображение.

1.5. Неприводимые кривые.

1.6. Доказательство основной теоремы

2. Топологически тривиальные пучки на кривых с простейшими особенностями и дискретная теорема Торелли.

2.1. Топологически тривиальные пучки.

2.2. Пучки ранга один.

2.3. Пучки с тривиальным детерминантом.

2.4. Дискретная теорема Торелли.

3. Производящие функции модулярных графов и уравнение Бюргерса.

3.1. Производящие функции модулярных графов.

3.1.1. Трехвалентные графы.

3.1.2. Считающая функция для числа всех комбинаторных графов.

3.1.3. Виртуальная Эйлерова характеристика М<?,п

3.2. Склейки и разрезания модулярных графов.

3.3. Решения уравнения Бюргерса.

3.4. 0 = 0.

3.5. Считающая функция для трехвалентных графов.

3.6. Виртуальная Эйлерова характеристика Мд^п.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия и комбинаторика пунктированных кривых с простейшими особенностями»

Общая характеристика работы

Актуальность темы исследования. Изучение многообразия модулей кривых — одно из активно развивающихся направлений алгебраической геометрии, востребованное не только внутри самой алгебраической геометрии, но и во многих других разделах математики, в первую очередь в теоретической физике. Классическим объектом исследования в алгебраической геометрии является некомпактное многообразие Мд>п модулей неособых алгебраических кривых (римановых поверхностей) фиксированного рода д с п фиксированными точками, называемых пунктированными кривыми. Такое многообразие модулей существует, если группа автоморфизмов соответствующих пунктированных кривых конечна, что согласно классическому результату Гурвица [14] автоматически выполнено при любом п > О при д > 1 и требует п > 1 при д = 1 и п > 3 при д = 0. В этом случае пунктированная кривая называется стабильной; для стабильных кривых конструкция многообразия модулей Мд>п и его компактификации Мд,п с применением геометрической теории инвариантов дана в ставших уже классическими работах Кнудсена, Делиня и Мамфорда [19], [16]. При этом точкам компактификации многообразия модулей соответствуют особые кривые, имеющие только простейшие особые точки (т.е. двойные точки с разделенными касательными), на которых отмечено п неособых точек, при условии, что группа автоморфизмов такой кривой конечна. Такие особые пунктированные кривые также называются стабильными в смысле Делиня-Мамфорда. Основным комбинаторным инвариантом пунктированной кривой с простейшими особенностями является двойственный модулярный граф, вершины которого соответствуют неприводимым компонентам кривой, ребра — двойным особым точкам, а полуребра — отмеченным точкам.

Модулярные графы соответствуют различным стратам компакти-фикации многообразия модулей, а их комбинаторика — геометрии примыкания этих стратов. Это обстоятельство явилось причиной интенсивного внимания к модулярным графам в течение последних 10-15 лет Особенно востребованным в этом направлении оказался язык производящих функций (точнее, производящих формальных рядов), являющихся, по существу, статистическими суммами квантовой теории поля. Первый фундаментальный пример в этом направлении — многообразия модулей рациональных кривых Мо,п с п > 3 отмеченными точками, представляет собой классическое многообразие модулей кривых Веронезе степени п — 3 в Р™-3, проходящих через п фиксированных точек общего положения, описан на современном языке в работе Капранова [17]. Основные результаты об эйлеровой характеристике и многочлене Пуанкаре компактифицированного многообразия Мо,п оказалось удобно сформулировать именно на языке производящих функций модулярных деревьев (см. [22]). Именно в этой ситуации был впервые отмечен феномен взаимной обратное™ производящих функций для открытой части Мо,п и для его компактификации, доказанный в общем виде в [4] (см. также главу 3 настоящей диссертации). В отличие от случая рода 0 при д > 0 компактифицированное многообразие модулей всегда особо и должно рассматриваться как орбиобразие, при этом вычисление его виртуальной эйлеровой характеристики оказалось весьма трудной задачей, поддававшейся решению только для малых значений рода ([10], [11]). Основополагающей в этом направлении явилась работа Харера и Загира [31] по вычислению виртуальной эйлеровой характеристики некомпактифи-цированного многообразия модулей Мд,п. Этот результат использован (в качестве начального условия) при вычислении виртуальной эйлеровой характеристики Мд>п в [4] (см. также главу 3 настоящей диссертации).

Связь производящих функций модулярных графов с уравнением Бюр-герса на первый взгляд представляется весьма неожиданной. Уравнение Бюргерса появилось в конце сороковых годов XX века ([8]) в гидро- и аэро-механике. Вскоре была найдена для него линеаризующая подстановка Коула-Хопфа ([20],[32]), сводящая его к обычному уравнению теплопроводности. Подстановка Коула-Хопфа для большинства интересных производящих функций модулярных графов приводит к задаче Ко-ши для уравнения теплопроводности с расходящимися или, по крайней мере, очень быстро растущими начальными условиями. Однако чисто формальная запись в этих случаях интеграла Пуассона позволяет проинтерпретировать соответствующие производящие формальные ряды как асимптотические разложения гауссовых интегралов, аналогичные рассматриваемым в последнее время в квантовой теории поля. Представляется, что связь производящих функций модулярных графов с уравнением теплопроводности указывает на фундаментальный характер понятия модулярного графа и позволяет ожидать новых интересных результатов в этом направлении.

Индивидуальная" геометрия пунктированных кривых с простейшими особенностями, кажется, первоначально привлекала меньше внимания. В ряде работ геометрия таких кривых изучалась для получения геометрических результатов о неособых кривых путем рассмотрения деформации такой кривой в стабильную особую кривую (см., например, [28] или [33]). Последовательно эти вопросы обсуждаются в книге А.Н.Тюрина [27], где особое внимание уделяется лг-кривым, имеющим только рациональные неприводимые компоненты и трехвалентный двойственный модулярный граф. Такие м-кривые являются максимально вырожденными кривыми с простейшими особенностями, соответствующими нульмерным стратам многообразия модулей. В [27] также вводится понятие топологически тривиального расслоения на At-кривой и рассматриваются многообразия модулей топологически тривиальных расслоений на них. Однако следует отметить, что интересной геометрией, практически полностью параллельной геометрии неособых кривых, обладают не только л-кривые, но и любые стабильные пунктированные кривые с простейшими особенностями. При этом кривыми "общего типа" оказываются кривые, имеющие двойственный модулярный граф с числом связности (иногда — числом реберной связности) не менее трех. Вероятно, впервые такого рода комбинаторно-топологическое условие на двойственный граф было сформулировано (для кривых без отмеченных точек) в работе [18].

Цель работы — исследование пунктированных кривых с простейшими особенностями с точки зрения алгебраической геометрии и комбинаторики. В частности, наша цель состояла в том, чтобы показать, что кривые с простейшими особенностями обладают богатой геометрией, аналогичной классической геометрии неособых кривых, и богатой комбинаторикой,

Методы исследования. В работе используются методы алгебраической геометрии и теории графов, теории производящих функций, дифференциальных уравнений в частных производных, а также компьютерные вычисления с использованием пакета "MAPLE".

Научная новизна. Все основные результаты диссертации являются новыми. Основные результаты диссертации можно кратко сформулировать следующим образом.

• Для стабильных по Делиню-Мамфорду пунктированных кривых получено описание канонического и дважды-канонического отображений, параллельное классическому описанию для неособых кривых.

• Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных расслоений на кривых с простейшими особенностями с точки зрения геометрической теории инвариантов и компактифика-ция этих многообразий модулей топологически тривиальными пучками без кручения. Для топологически тривиальных пучков ранга 1 и 2 получены явные критерии стабильности.

• Получено описание многообразий модулей топологически тривиальных пучков ранга 1 на кривых с простейшими особенностями как торического горешитейнова многообразия Фано ; доказано, что для кривых с трехсвязным двойственным графом последний определяется этим многообразием модулей однозначно (дискретная теорема Торелли).

• Доказано, что производящие функции модулярных графов удовлетворяют уравнению Бюргерса, а экспонента от них — уравнению теплопроводности. Для первого члена разложения по родам производящей функции — производящей функции модулярных деревьев — получена в общем виде формула обращения, известная прежде только в частных случаях ([22]). Для вычисления последующих членов разложения производящей функции по родам получены явные рекуррентные интегральные формулы.

• Получены явные формулы для производящих функций комбинаторных трехвалентных графов и как асимптотические разложения явных решений уравнения Бюргерса, выраженных через модифицированные функции Бесселя или функции Эйри. Эти решения доставляют интересный явный пример к теореме А.Н.Тихонова [25] о неединственности решения задачи Коши для уравнения теплопро2 водности с начальными условиями, растущими быстрее, чем ех .

• Получены явные рекуррентные формулы для вычисления виртуальной эйлеровой характеристики компактифицированных по Делиню-Мамфорду многообразий модулей пунктированных кривых Мд}П-Численные значения виртуальной эйлеровой характеристики M9ln вычислены для п = 0,1 и всех д < 20, а также для всех д < 7 и п < 6.

Научная значимость работы. Работа имеет теоретический характер. Различные результаты и методы данной работы имеют широкий спектр применения: в алгебраической геометрии, комбинаторике, теории графов и теории производящих функций, а также в квантовой теории поля.

Апробация работы. Разделы диссертации неоднократно докладывались на семинаре по алгебраической геометрии и на семинаре по дискретной математике в Математическом институте РАН им. Стеклова, на различных семинарах на механико-математическом факультете Московского Государственного Университета, в Институте Теоретической и Экспериментальной физики, в Объединенном Институте Ядерных Исследований в Дубне, на международной конференции по векторным расслоениям в Порто (Португалия) в 2003 году, на семинарах по алгебраической геометрии Института Макса Планка (Бонн, Германия) в 2003, 2005 и 2006 годах, Геттингенского Университета (Германия) в 2003 и 2005 годах, Университета Джонса Хопкинса (Балтимор, США) в 2004 году, Курантовского Математического Института (Нью-Йорк, США) в 2004 году.

Структура и объем работы. Диссертация состоит из введения, трех глав и списка литературы из 33 наименований. Объем диссертации — 130 страниц.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Артамкин, Игорь Вадимович, 2006 год

1. Abramowitz М, Stegun 1. Handbook of mathematical functions, National Bureau of Standards Applied Mathematics Series 55 (1964).

2. Артамкин И.В. Канонические отображения пунктированных кривых с простейшими особенностями, Математический сборник, 2004, Т. 195, N 5, стр 3-32.

3. Артамкин И.В. Топологически тривиальные пучки на кривых с простейшими особенностями, Труды Математического Института им. Стеклова, 2004, Т. 246, стр. 10-19.

4. Артамкин И.В. Производящие функции модулярных графов и уравнение Бюргерса, Математический сборник, 2005, Т. 196, N 12, стр 3-32.

5. Артамкин И.В. Дискретная теорема Торелли, Математический сборник, 2006, Т. 197, N 8, стр .

6. Артамкин И.В. Ортогональная двойственность торических многообразий Фано с регулярной инволюцией, Успехи математических наук, 2006, Т. 61, N 3, стр .

7. Batyrev V., Dual polyhedra and mirror symmetry for Calabi-Yau hy-persurfaces in toric varieties. J. Algebraic Geometry 3, (1994), 493-535.

8. Burgers J.M. A mathematical model illustrating the theory of turbulence, Adv. Appl. Mech., 1, (1948), 171-199,

9. Bhosle U. Generalised parabolic bundles and applications to torsionfree sheaves on nodal curves, Arkive for Matematik,

10. Getzler E. The semi-classical aproximation for modular operads, Corn-mun. Math. Phys, 194, 481-492 (1998).

11. Griflits P., Harris J. Principles of algebraic geometry. New York, 1994.

12. Hurwitz A. Uber algebraische Gebilde mit eindeutigen Transformationen in sich, Math. Ann., 41, (1893), 403-442.

13. Данилов В.И. Геометрия торических многообразий, УМН, т.ЗЗ, 2, стр. 85-133.

14. Deligne P., Muinford D. The irreducibility of the space of curves of given genus. Publ. Math. IHES, 1969, vol. 36, 75-109.

15. Kapranov M. Veronese curves and Grothendieck-Knudsen mooduli space M0,„, J. Algebraic Geometry, 2, 1993, 239-262

16. Catanese F., Franciosi M., Hulek K., Reid M. Embeddings of curves and surfaces, Nagoya Math. Journal, 1999, v. 154, p. 185-220.

17. Knudsen F. Projectivity of the moduli space of stable curves, I, Math. Scand., 39 (1976), 19-66II, Math. Scand., 52 (1983), 161-199, III, Math. Scand., 52 (1983), 200-212.

18. Cole J.D. On a quasilinear parabolic equation occurring in aerodynamics, Quart App. Math., 9, 225-236 (1951).

19. Мамфорд Д. Геометрическая теория инвариантов, "Мир", 1974

20. Manin Yu.I. Generating functions in algebraic geometry and sums over trees, in: The moduli spaces of curves, eds. Dijkgraaf et al. Birkhauser, 1995, 199-230 (1995).

21. Manin Yu.I. Frobenius Manifolds, Quantum Cohomology, and Moduli Spaces, AMS Colloquium Publications, vol. 47, 1999.

22. Oda Т., Seshadri C.S., Compactifications of the generalized Jacobian variety, Trans, of the American Mathematical Society, vol. 253, 1979, p.1-90.

23. Tykhonov A.N. Theoremes d'unicinte pour l'equation de la chaleur, Математический сборник, 42:2, стр. 199-216, (1935).

24. Tyurin A.N. On periods of quadratic differentials, Uspekhi Mat. Nauk, 33:6 (1978); translated in Russian Math. Surveys, 33:6 (1979), 169-221.

25. Тюрин A.H. Квантование, классическая и квантовая теория поля и тэта-функции, Москва-Ижевск, 2003

26. A.N.Tyurin On the Muinford-Narasimhan problem. AG/0210135.

27. Fulton W., MacPherson R. A compactification of configuration spaces, Ann. of Math., 139, 183-225 (1994)

28. Харари Ф. Теория графов. Москва, "Мир", 1973.

29. Harer J., Zagier D. The Euler characteristic of the moduli space of curves, Invent. Math., 85, 457-485 (1986).

30. Hopf E. The partial differential equation ut + uux = цихх, Comm. Pure Appl. Math, 201-230 (1950).

31. C.Ciliberto, A.Lopez,R.Miranda Projective degenerations of КЗ surfaces, Gaussian maps and Fano threefolds, Invevt. Math., v.114, 1993, p. 641667.