Геометрия узлов как средство развития пространственного мышления школьников тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 13.00.02, кандидат педагогических наук Рейхани Эбрахим

• Рейхани Эбрахим
• кандидат педагогических наук
• 2005

Оглавление диссертации кандидат педагогических наук Рейхани Эбрахим

0. Введение.

1.Изучение узлов как средство развития геометрического воображения школьников.

1.1. Развитие геометрического воображения учащихся.

1.2. Использование узлов для развития геометрического воображения.

1.3."Школьная наука": проблемы и методология построения.

1.4.Преимущества узлов с точки зрения методологии обучения геометрии.

1.5. Общая схема изучения узлов.

2. Геометрическое мышление.

2.1. Что такое геометрия?.

2.2. Теория стадий Пиаже.

2.3. Модель Ван Хиле (van Hiele ). ц 2.4.Сравнение двух теорий.

2.5.Пространственная способность и пространственное мышление.

2.6. Анализ психологических основ пространственного мышления в концепции И.С.Якиманской.

2.7. Создание и оперирование образами как ступени пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича.

2.8. Способы математического мышления.

3. Знакомство с узлами и формирование основных представлений об узлах.

3.1. Занятие 1. Знакомство с узлами.

3.2. Занятие 2. Изображение узлов.

3.3. Занятие 3. Раскрашивание узлов.

4. Простейшие операции с узлами.

4.1. Занятие 4. Упрощение и усложнение узлов. Понятие о движениях в теории узлов.

4.2. Занятие 5. Изучение раскраски при движении.

4.3. Занятие 6. Зеркальное отражение. Обратная проекция.

4.4. Занятие 7. Бегущие залы.

5.Движение от практики к математике (формирование абстракции).

5.1. Занятие 8. Узлы на одной веревке.

5.2. Занятие 9. Узлы на двух веревках.

5.3. ЗанятиеЮ. Раскраска узлов.

5.4. Занятие 11. Игры и узлы.

5.5. Занятие12. Узел на замкнутой веревке. б.Элемеитарная теория математического узла в школе.

6.1. Занятие 13. Узлы с одним и двумя пересечениям.

6.2. Занятие 14. Движения Рейдемейстера.

6.3. Занятие15. Изучение раскраски при применении третьего типа движения

6.4. Занятие 16. Применение движений Рейдемейстера- упрощение узлов.

6.5. Занятие 17. Представление некоторых математических узлов.

6.6. Занятие 18. Понятие эквивалентности узлов.

6.7. Занятие 19. Индекс пересечения — инвариант.

7.Пространственная геометрия узлов.

7.1. Занятие 20. Вращение и Представление узлов с разных сторон.

7.2. Занятие 21. Программное обеспечение.

7.3. Занятие 22. Число звеньев.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Геометрия узлов как средство развития пространственного мышления школьников»

В диссертации представлены результаты разработки цикла занятий, посвященных изучению в школе узлов. Это разработка имеет три основные цели.

Первая цель - чисто методическая: представить материал, очень интересный и полезный для изучения. Выбор именно узлов определяется тем, что они являются одним из удачных средств развития геометрического воображения учащихся, так как позволяют опереться при изучении на чрезвычайно мощный пласт ассоциированных друг с другом визуальных представлений, осязательных комплексов и активных действий (манипуляций).

Вторая цель - методологическая: мы хотели бы продемонстрировать на излагаемом материале, как строить "школьную теорию". Узлы являются здесь удачным примером потому, что, с одной стороны, это - объект, широко употребляемый и в обыденной жизни, и в профессиональной деятельности (см., напр., [1]), а с другой - предмет изучения одной из интенсивно развивающихся ветвей математики, имеющей приложения в физике, химии, биологии. Проблема состоит в том, что обыденные представления об узлах - это чисто эмпирическое знание, а, с другой стороны, научная теория (см., напр. [2-3]), даже на уровне простейших определений, совершенно недоступна для восприятия школьников. Для того, чтобы "закрыть" возникшую дыру, и приходится строить "школьную теорию" узлов. Основные функции "школьной теории" - формирование лестницы из представлений, ведущей от представлений обыденных к представлениям, характерным для научного знания. Построение, если так можно выразиться, пути от «жизни к науке». Главное требование, предъявляемое к этому пути - чтобы каждый следующий шаг учащиеся могли сделать самостоятельно: выделить свойство, сформулировать правило, задать ограничение, ввести понятие и т.п. Роль учителя же должна состоять не в изложении истин, а в формировании взгляда на проблему путем предъявления подобранных специально для этого примеров и контрпримеров.

Отметим, что дистанция между обыденными и научными представлениями имеется не только в теории узлов, она обнаруживается практически во всех школьных предметах (и в геометрии, и в арифметике, и в химии, и в литературе, и в биологии). Однако, как правило, ее преодоление осуществляется методом страуса: делается вид, что никакой дистанции нет, и детям излагается наукообразный материал, из которого выброшены наиболее сложные (и поэтому наиболее содержательные) в плане аргументации фрагменты. Узлы позволяют на материале, не засоренном традициями методик, методологий и концепций, ясно показать технику преодоления этой дистанции и построения пути, доступного для школьников и развивающего их интеллект.

Наконец, третья и самая важная цель, которую мы преследуем - это цель социально-системная. Она состоит в том, чтобы активизировать переход в школьном естественно-научном образовании от языковой компиляции (когда детей обучают не умению работать с реальными объектами материального мира, а со словами, обозначающими эти объекты, причем зачастую с полностью утраченной связью между словом и соответствующим объектом) к материально-ориентированному образованию. В качестве основных принципов материальноориентированного образования, на наш взгляд, можно назвать три следующих. Первый - это формирование абстрактных, идеальных 5 представлений в воображении ребенка на основе его чувственного опыта, путем вычленения из этого опыта наиболее важных, существенных свойств и представления этих свойств в максимально выраженной, идеальной форме. Второй - формирование представлений о воображаемых действиях с воображаемыми предметами на основе реальных действий с реальными предметами. И, наконец, третий - формирование логики (то есть принципов аргументации) путем опять же абстрагирования общих правил действий с материальными объектами, перенося их сначала в область действий воображаемых, а затем, уже в старших классах - в область понятий.

Еще один очень важный принцип, о котором мы хотели бы сказать -это принцип доказательности. Научный характер аргументации чрезвычайно важен, и, на наш взгляд, необходимо проявлять постоянное стремление к превращению педагогической аргументации в действительно научную. Аргументация именно научного характера отличается от любой другой тем, что обладает безусловной убедительностью для всех, без исключения. Мы бы хотели противопоставить такой характер аргументации другому, довольно широко распространенному и в обыденной жизни, и, к сожалению, в педагогике - когда аргументация придумывается для того, чтобы имитировать причинно-следственную связь между фактами, про которые мы только предполагаем, что они как-то связаны.

Новизна полученных результатов

Все результаты диссертации являются новыми. Методология введения в школе математических представлений об узлах опираясь на обыденной опыт и практическую деятельность с реальными узлами - используется впервые. Известные монографии либо описывают чисто практические применения узлов [1, 9, 33, 34,36, 40-42, 44-46], либо посвящены чисто математическим вопросам [2, 10, 13, 30, 58, 60]. Те же, которые претендуют на «популярное» изложение теории узлов (например, [3, 35, 37, 47, 48, 5056, 61]), на самом деле только ссылаются на практическую значимость 6 узлов, а затем переходят к чисто математическим понятиям и рассуждениям, которые школьнику практически не доступны.

Апробация

Результаты, изложенные в диссертации, докладывались на научной конференции «Ломоносовские чтения - 2005», готовится к изданию монография "Узлы в школе. Уроки развития пространственного мышления". Пробные уроки, проведенные в Иранской школе в городе Москве, показали высокую заинтересованность школьников. Особенный энтузиазм вызывает у них работа с реальным материалом.

При проведении уроков обнаружилось, что переход от третьего класса к четвертому связан с приобретением представлений об ориентации. Так, с заданием на завязывание узлов в разных направлениях (по и против часовой стрелки) школьники четвертого класса справляются, в то время как школьники третьего класса испытывают существенные трудности.

Краткое содержание диссертации

Диссертация состоит из семи глав и разбита на 34 параграфа. Нумерация параграфов двойная - по номеру главы и номеру параграфа в главе.

В первой главе рассматриваются общие вопросы, связанные с развитием геометрического воображения и геометрического мышления школьников и о роли узлов в развитии геометрического воображения и геометрического мышления.

В параграфе 1.1 излагаются основные цели изучения геометрии. В параграфе 1.2 перечисляются основные причины для выбора узлов как средства развития геометрического воображения учащихся. В параграфе 1.3 обсуждается, как можно построить "школьную теорию" узлов, какие трудности при этом возникают и как их приходится преодолевать. 7

В параграфе 1.4 приводятся некоторые совершенно естественные требования к учебному материалу в геометрии. Показывается, что изучение узлов удовлетворяет большинству этих требований. В параграфе 1.5 излагается общая схема изучения узлов.

Во второй главе излагается методологическая основа, использованная при разработке занятий. Здесь дается краткий обзор ряда теоретических моделей мышления в геометрии, которые оказываются полезными для того, чтобы описывать геометрическое мышление и понимать законы его развития. Глава состоит из восьми параграфов. В параграфе 2.1 приводится определение геометрии с точки зрения Клейна и Зимана и приводятся примеры некоторых современных практических применений геометрии. В параграфе 2.2 обсуждается «Теория стадий» Пиаже. Здесь же обсуждаются основные топологические концепции -близость, разделение, порядок и вложение. В параграфе 2.3 приводится н модель Ван Хиле обучения геометрии и описываются уровни мышления и стадии изучения. В этом параграфе же обсуждаются свойства модели Ван Хиле. Параграф 2.4 посвящен сравнению двух теорий - теории Пиаже и модели Ван Хиле. В параграфе 2.5 излагаются точки зрения Hoffer и Del Grande о пространственной способности и пространственном мышлении и о геометрических действиях, которые вовлекают семь пространственных способностей. В этом же параграфе мы кратко описываем разные действия, которые школьники осуществляют во время изучения узлов, и которые развивают их пространственные способности. В параграфе 2.6 излагается анализ психологических основ пространственного мышления в концепции И.С.Якиманской. В соответствии с выделенными ею тремя типами оперирования пространственными образами мы обсуждаем проявление этих трех типов оперирования в изучении узлов. В этом параграфе приводится также точка зрения Bishop'a на визуальные способности.

Т4'

Параграф 2.7 посвящен созданию и оперированию образами как ступеням пространственного мышления в концепции И.Я.Каплуновича. Последний 8

V; параграф в главе 2 посвящен обсуждению способов мышления, выделенных А.Пуанкаре.

В третьей главе приводится описание цикла занятий, рассчитанных на учеников 3-5 класса. В этих занятиях школьники знакомятся с простейшими узлами, изучают методы их изображения, учатся выделять основные элементы узла и формулировать простейшие свойства. Каждый из параграфов 3.1-3.3 этой главы посвящен одному занятию. Первое занятие - знакомство с узлами (простейшие узлы - одинарный узел, восьмерка», двойной узел). Здесь школьники учатся завязывать и развязывать узлы, сравнивать их между собой, обращать внимание на основные элементы узлов. Второе занятие - изображение узлов. Здесь ученики знакомятся с изображением узлов на диаграмме. Третье занятие раскрашивание узлов, точнее, диаграмм, изображающих узлы.

Раскрашивание помогает лучше увидеть и понять структуру узла. и; В главе 4 излагается материал, связанный с простейшими операциями с узлами: упрощением и усложнением узлов, зеркальным отражением и обратной проекцией. Изменения в структуре узла, происходящие при этих операциях, изучаются с помощью раскраски. Здесь же происходит первоначальное знакомство с бегущим узлом. Глава состоит из четырех параграфов, описывающих занятия 4-7 . Параграф 4.1 описывает занятие, посвященное упрощению и усложнению узлов, и введению понятия движения для узлов. На этом занятии ученики познакомятся с двумя правилами упрощения и усложнения узлов.

Следующее занятие (параграф 4.2) - изучение раскраски при движении. На этом занятии школьники с помощью раскрашивания узлов лучше и точнее знакомится со структурой узлов. Выполняя первое и второе движение с раскрашенными узлами, изучают их влияние на структуру узлов. Кроме того, раскрашивание позволяет находить существенные различия между некоторыми узлами, которые в старших классах приведут к важным классифицирующим признакам. Параграф 4.3 (шестое занятие) - изучение 9 зеркального отражения и обратной проекции. Последнее занятие в главе 4 (параграф 4.4) посвящено бегущим узлам.

В главе 5 мы в изучении узлов снова возвращаемся к их применению в разных ситуациях в жизни. Тем самым мы, с одной стороны, расширяем круг изучаемых узлов, а с другой - строим базу для формирования представления о математическом узле как абстрактном объекте, сохраняющем в себе главные, существенные свойства реальных узлов и лишенного свойств второстепенных, несущественных, непринципиальных. Основная цель нашей методики - организовать естественный процесс, в котором школьник сам формирует понятие, а не заучивает его из учебника или со слов учителя. Глава состоит из пяти параграфов (занятий 8-12). Занятие 8 (параграф 5.1) посвящено узлам, завязываемым на одной веревке. На этом занятии даются несколько простых примеров, которые показывают, как узлы используются в реальной жизни. Занятие 9 (параграф 5.2) посвящено узлам, позволяющим связать между собой две веревки. Здесь школьники изучают завязывание «бабьего узла», «рифового узла», «ткацкого узла» и некоторых бегущих узлов. Десятое занятие (параграф 5.3) - раскраска узлов. На этом занятии школьники не только познакомятся со структурой одного узла, но и начнут понимать различие между разными узлами. Это важный шаг на пути к математическим представлениям об узлах. Параграф 5.4 (занятие И) - игры и узлы. Здесь приводятся несколько игр, связанных с завязыванием узлов и осуществляется их теоретический разбор. В этих примерах с помощью математических узлов объясняются причины явлений, которые производят, на первый взгляд, впечатление неясных и загадочных. Последнее занятие в главе 5 - узел на замкнутой линии. На этом занятии мы показываем, как можно двигаться от обыденного представления к математическому понятию узла.

В главе 6 мы продолжаем этот путь, работая с узлами с соединенными концами (замкнутые узлы) так, чтобы, в конце концов,

10 придти к понятию математического узла. Сначала мы показываем, что все узлы с одним и двумя пересечениями превращаются в тривиальный узел, т.е. классифицируем узлы с одним и двумя пересечениями. Далее речь заходит о таком важном понятии, как «индекс пересечения». Мы также продолжаем работу и с движениями Рейдемейстера, которые позволяют нам упрощать диаграммы сложных узлов. Затем мы представляем модель изучения нескольких математических узлов. Наконец, обсуждаем понятие эквивалентности, то есть когда два узла можно считать «одинаковыми». Глава состоит из семи параграфов (занятия 13-19). Параграф 6.1 (занятие 13) посвящено детальному изучению узлов с одним и двумя пересечениями. Здесь дается способ классификации таких узлов. Второй параграф (занятие 14) - движения Рейдемейстера. Третий - изучение раскраски при применении третьего типа движения. На этом занятии школьники, выполняя третий (а также первый и второй) тип движения с раскрашенными узлами, изучают его влияние на структуру узлов. Параграф 6.4 (занятие 16) - применение движений Рейдемейстера для упрощения узлов. Параграф 6.5 описывает занятие 17, на котором представлены уже некоторые математические узлы. Параграф 6.6 (занятие 18) вводит фундаментальное понятие эквивалентности узлов. На этом занятии школьники знакомятся с вопросом, который математиков всегда интересует: как можно определить, являются ли два узла одинаковыми или они различаются? Наконец, последнее занятие в главе 6 посвящено введению одного из главных инвариантов в теории узлов - индекса пересечения. На этом занятии ученики знакомятся с этим понятием на примере трилистника.

Глава семь состоит из трех параграфов, посвященных занятиям 2022. В первом параграфе рассматриваются и сравниваются между собой два важных действия: вращение узлов и взгляд на узел с разных сторон. На этом занятии школьники, работая с узлами, изучают их структуру при вращении в плоскости, а затем сосредотачиваются на задаче представления

11

V) узлов с разных сторон. В освоении пространственной геометрии узлов оказывается очень удобным использовать компьютерное программное обеспечение (мы используем «Кпо1Р1о1»), с помощью которого можно хорошо работать с узлами. Одна из возможностей - это возможность увидеть один и тот же узел с разных сторон в пространстве. Кроме того, с помощью «Кпо1Р1оЬ> можно изобразить и диаграммы выбранных узлов. Освоению «Кпо1Р1оЬ> посвящено занятие 21 (параграф 7.2). Наконец, в последнем параграфе (занятие 22) представляется ещё одна важная характеристика узла - «число звеньев». На этом занятии школьники, завязывают узел не на веревке, а с помощью палочек, связанных в цепочку. С помощью такого объекта школьники лучше начинают чувствовать различие между плоскостью и пространством, кроме того, они изучают еще один способ различения узлов. Понятие «число звеньев» помогает химикам при изучении структуры молекул, поэтому изучение этого материала смыкается уже с применениями узлов в науке.

Список литературы диссертационного исследования кандидат педагогических наук Рейхани Эбрахим, 2005 год

1. Антропов Д.М., Как завязывать узлы: 38 надежных испытанных узлов.-М.: Наука. Физматлит, 1995.-32с.

2. Мантуров В.О., Лекции по теории узлов и их инвариантов. М.: Эдиториал УРСС, 2001. - 304 с.

3. Сосинский А.Б., Узлы и косы (Серия: «Библиотека „Математическое просвещение"») М.: МЦНМО, 2001. 24 е.: ил.

4. Роджерс Л. Историческая реконструкция математического знания, пер. с англ. // Матем. образование. 2001. N 1. С. 74-85.

5. Щетников А.И., Щетникова A.B. Преподавание математики в историческом контексте // Матем. образование. 2001. N 3. С. 60-68.

6. Пиаже Ж. Суждение и рассуждение ребенка. СПб.: СОЮЗ, 1997. 286 с.

7. Каплунович И.Я. Развитие пространственного мышления школьников в процессе обучения математике. Новгород. 1996. 100 с.

8. Рейхани Э. Система среднего образования в Иране, Ломоносовские Чтения: Научная конференция: Сборник статей и тезисов. Вып. 2 / Под ред. Н.Х. Розова.- М.: МАКС Пресс, 2004. с.41-44.

9. Дарман П., Учебник выживания в экстремальных ситуациях. — М.: ООО Изд-во Яуза, Формул а-Пресс, 2000. 352 с.

10. Прасолов В.В.; Наглядная топология, М.: МЦНМО, 1995

11. Ткачева М.В. Вращающиеся кубики: Альбом заданий для развития пространственного воображения. -М.: Дрофа, 2002. 168с.

12. Наглядная геометрия. 5 6 кл.: Пособие для общеобразовательных учебных заведений / И.Ф. Шарыгин, Л. Н. Ерганжиева. - 5-е изд., стереотип. - М.: Дрофа, 2002. - 192с.: ил.

13. Фоменко А.Т. Наглядная геометрия и топология: Математические образы в реальном мире. 2-е изд. - М.:Изд-во Моск.ун-та, Изд-во «Черо»,1998. -416с.

14. Якиманская И. С. Психологические основы математического образования: Учеб. пособие для студ. пед. вузов / Ираида Сергеевна Якиманская. — М.: Издательский центр «Академия», 2004. — 320 с.

15. Адамар Ж. Исследование психологии процесса изобретения в области математики: Перевод с французского М. А. Шаталовой и О.П. Шаталова под редакцией И. Б. Погребысского «СОВЕТСКОЕ РАДИО» МОСКВА—1970

16. Пуанкаре А. Последние работы. — Ижевск: НИЦ «Регулярная и хаотическая динамика», 2001, 208 стр.

17. Пуанкаре А. О науке: Пер. с франц.— М,- Наука. Главная редакция физико-математической литературы, 1983.— 560 с.

18. Крутецкий В.А.Психология математических способностей школьников / Под редакцией Н.И.Чуприковой. — М.: Издательство «Институт практической психологии»; Воронеж: Издательство НПО «МОДЭК», 1998. — 416 с. (Серия «Психологи отечества»),

19. Каплунович И.Я.Структура и основные этапы развития образного мышления в дошкольном детстве Вопросы психологии. 2004 № 5

20. Каплунович И.Я., Иванова Н.Ю. Влияние индивидуальных особенностей математического мышления на процесс решения задач Ж. «Математика в школе»,.2004/9

21. Каплунович И.Я. Пять подструктур математического мышления: Как их выявить и использовать в преподавании. (Новгород),Т.А. Петухова (Саров)//Математика в школе. 1998. №5 с.45-48

22. Каплунович И.Я. Психологические закономерности развития пространственного мышления.//Вопросы психологии 1999, №1. с 60-68.

23. Каплунович И.Я. О психологических различиях мышления двухмерными и трехмерными образами.

24. Douglas H Clements, Sudha Swaminathan, Mary Anne Zeitler Hannibal, JulieSarama. Young children's concepts of shape. Journal for Research in Mathematics Education. Washington: Mar1999. Vol. 30, Iss. 2; pg. 192, 21 pgs

25. Jones K., (2000), Critical Issues in the Design of the School Geometry Curriculum. Invited paper in Bill Barton(Ed), Readings in Mathematics Education. Auckland, New Zealand: University of Auckland. http://www.soton.ac.uk/~dkj/geompub.html

26. Clausen-May, T., Jones, K., McLean, A. and Rollands, S. (2000), Perspectives on the Design of the Geometry Curriculum, Proceedings of the British Society for Research into Learning Mathematics, 20(1 &2), 34-41.

27. Sinan O., Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities International Journal of Mathematics Teaching and Learning, April 2003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

28. Barr S., Experiments in Topology, Dover Pubns; Reproduction edition, 1989.

29. BuckG., Why Knots? http://www.knots.org/exhibit/whyknots.html

30. A vision for the learning and teaching of school geometry, http ://www. wcape. school. za/malati/Vision. pdf

31. Hopkins R., Knots (Pocket Guide Series), Thunder Bay Press, 2003.

32. Bigon M., Regazzoni G., The Morrow Guide to Knots, 1982.

33. Adams C., Why knot?: an introduction to the mathematical theory of knots, Key College Publishing, 2004.

34. Adams C., The Knot Book: An Elementary Introduction to the Mathematical Theory of Knots, American Mathematical Society (September, 2004).

35. McLeay H., The Knots Puzzle Book, Grades 7-12, Key Curriculum Press,2000.

36. Penn R., The Everything Knots Book: Step-By-Step Instructions for Tying Any Knot (Everything Series) 2004

37. Bigon M., Regazzoni G., The Morrow Guide to Knots (1982)

38. Budworth G., The Complete Book of Knots (Complete) The Lyons Press, 1997)

39. Des Pawson Handbook Of Knots ,1998

40. Why knot? Knot Tying, http://www.beworldwise.org/teachers/knottying.php

41. Sailor's Knots, Bowline "The Boater's King of Knots" http ://www. downeastduck. com/knots .htm

42. The Most Useful Rope Knots For The Average Person To Know http ://www. layhands.com/knots/KnotsMiscellaneous. htm

43. Knot Knowledge, Single Loop Knotshttp://www.iland.net/~jbritton/KjiotPhoto%20SingleLoop%20Knots.html

44. Mathematics problems, Arctic string trickshttp://www2.edc.org/mathproblems/problems/printProblems/ekArcticString.pdf

45. Sossinsky A., Knots : Mathematics with a Twist. Harvard University Press, 2002.

46. Sinan O., Making Connections: Improving Spatial Abilities with Engineering Drawing Activities International Journal of Mathematics Teaching and Learning April 2003 http://www.ex.ac.uk/cimt/ijmtl/ijabout.htm

47. McLeay H., "Some Knotty Problems" Australian Mathematics Teacher Volume 50 Number 4, November 94

48. McLeay H., "Mathematics and Knots", Mathematics in School, Volume 20 Number 1, January 1991

49. Adams C., Furstenberg E., Li J., Schneider J., "Exploring Knots" in Mathematics Teacher, Vol. 90, No. 8, Nov. 1997, 640-646, 652.

50. Mathematics and Knots http://www.popmath.org.uk/exhib/knotexhib.html

51. Adams C., Why knot: knots, molecules and stick numbershttp://pass.maths.org.uk/issue 15/features/knots/

52. De Santi G., An Introduction to the Theory of Knots, December 11, 2002 www-graphics.stanford.edu/courses/cs468-02-fall/projects/desanti.pdf

53. Knot theory. A Fox's Quick Introduction to Knot Theory http://www.cs.ubc.ca/nestyimager/contributions/scharein/knot-theory/fox-knot.html

54. Bennie K., Smit S. "Spatial sense ": Translating curriculum innovation into classroom practicehttp://academic.sun.ac.za/mathed/malati/Files/Geometry992.pdf

55. Knots and Their Polynomials http://www.ams.org/new-in-math/cover/knots 1 .html59.The KnotPlot Sitehttp://www.cs.ubc.ca/nest/imager/contributions/scharein/KnotPlot.html

56. Equivalence of Knots and Links: http://www.math.cuhk.edu.hk/publect/lecture4/knots.html

57. Untangling the Mathematics of Knots http://www.c3.lanl.gov/mega-math/workbk/knot/knot.html

58. Strohecker C., Understanding Topological Relationships through Comparisons of Similar Knots TR96-06 March 1996, Published in Al&Society: Learning with Artifacts, Vol. 10, 1996, pp. 58-69.

59. Knots on the Web http://www.earlham.edu/~peters/knotlink.htm

60. NCTM Standards and the Mathematics of Knotshttp ://www. c3. lanl. gov/mega-math/workbk/knot/knnctm.html

61. Overview: Standards for School Mathematics: Prekindergarten through Grade 12 http://standards.nctm.org/document/chapter3/index.htm

62. Steve Abbott's Computer Drawn 3D Knots with KnotTyer3D http://www.abbott.demon.co.uk/knottyer3d.html

63. Walter Whiteley ,The Decline and Rise of Geometry in 20th Century North America. To appear in the Proceedings of the 1999 CMESG Conference.202http://www.math.yorku.caAVho/FacultyAVhiteley/cmesg.pdf

64. Mary L . Crowley , The van Hiele Model of the Development of Geometric Thought, National Council of Teachers Mathematics , Yearbook Lerning and Teaching Geometry . K 12

65. Teaching and Lerning Geometry C & I 811 May 1, 2001 Jamie Sutherland, Deborah Trzinski-Becker, Duggyal Tsering http://www.math.wisc.edu/~weinberg/MathEd/GeometryandSpace.doc

66. Developing Geometric Concepts and Systems http://64.78.63.75/samples/04EDKennedyGuidingChildrens 10Ch9.pdf

67. Everett S., (2000). Spatial Thinking Strategies. Science and Children, 37, (7), 36-39

68. Way J.,The Development of Spatial and Geometric Thinking http://nrich.maths.org/public/

69. Christman A., Geometric Shapes, December 10, 2001, Math Molding For Teachers http ://myweb. loras. edu/ dw078774/christman.pdf

70. Gutierrez A., Exploring the links between Van Hiele Levels and 3-dimensional geometry.http://www.uv.es/~gutierre/archivosl/textospdf/Gut92a.pdf

71. ReinHold S., Topology in Elementary School Mathematics A contribution the Improvement of Childrens Spatial Ability?http://yerme2002.uni-klu.ac.at/papers/participants/srreinhold.pdf

72. Piaget, J.& Inhelder,B.(1967).The Childs Conception of Space .NewYork:Norton

73. Piaget, J., Inhelder,B.& Szeminski,.A.(1960).The Childs Conception of Geometry. London:Routledge &Kegan Paul.

74. Conceptualizing geometric objects: from doodles to deductions http://homepage.mac.com/davidtall/davidtallhome/mathematical-growth/7.geometric-objects.pdf

75. Del Grande, J. (1990): Spatial sense, Arithmetic Teacher vol. 37.6, pp. 14-20.

76. Bishop, AJ. (1983): Spatial abilities and mathematical thinking, in Zweng, M. et al. (eds.) Proceedings of the IV I.C.M.E. (Birkhauser: Boston, USA), pp. 176178.

77. Presmeg, N.C. (1986): Visualization in high school mathematics, For the Learning of Mathematics 6.3, pp. 42-46.

78. Gutierrez, A (1996) Visualisation in 3-dimensional geometry: In search of a framework. In L. Puig and A. Gutierrez (Eds.) Proc. 20th Conf. Int. Group Psychology of Mathematics Education. Vol. 1, pp 3-19. Valencia: Universidad de Valencia.