Гибридные конечные элементы для автоматизированного проектирования пространственных пластинчатых конструкций тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.12, кандидат технических наук Семенов, Павел Юрьевич

• Семенов, Павел Юрьевич
• кандидат технических наук
• 1999

Оглавление диссертации кандидат технических наук Семенов, Павел Юрьевич

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Обзор исследований по построению конечных элементов

1.2. Цель и задачи работы

2. ПОСТРОЕНИЕ ГИБРИДНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Выбор модели

2.2. Вариационный функционал

2.3. Конечные элементы плоско-напряженного

(плоско-деформированного) состояния

2.4. Изгибные конечные элементы

3. РЕЗУЛЬТАТЫ ТЕСТИРОВАНИЯ И ЧИСЛЕННЫЕ ПРИМЕРЫ

3.1. Сходимость построенных конечных элементов

3.2. Результаты тестирования элементов плоско-напряженного и плоско-деформированного состояний

3.3. Результаты тестирования изгибных элементов

3.4. Результаты тестирования элементов плоской оболочки

3.5. Использование новых конечных элементов в ПК семейства МкгоГЕ

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гибридные конечные элементы для автоматизированного проектирования пространственных пластинчатых конструкций»

ВВЕДЕНИЕ

Одно из центральных мест в современных системах автоматизированного проектирования (САПР) строительных конструкций занимают подсистемы прочностных и конструктивных расчетов. Следует отметить, что во многом именно возможности этих подсистем определяют экономичность и надежность результатов для САПР в целом.

В последние годы широкое применение в подсистемах прочностных и конструктивных расчетов пространственных строительных конструкций нашел метод конечных элементов (МКЭ). Как правило, при решении таких задач используются конечные элементы, полученные на основе метода перемещений для применения в плоских задачах. Наряду с тем, что используемые на практике простые элементы несовместны даже в случае плоской геометрии, они обладают и другими существенными недостатками. Так, несогласованность аппроксимаций перемещений в срединной плоскости и поперечного перемещения приводит к разрывам перемещений по линиям излома геометрии (стена-перекрытие). В узлах используется пять степеней свободы - две для плоско-напряженного и три для изгибного состояния или шесть степеней свободы с использованием фиктивной жесткости для вращения относительно нормали к срединной плоскости. Кроме этого, конечные элементы, используемые в широко распространенных подсистемах прочностного расчета (ЛИРА, SCAD и т.п.), построены на основе метода перемещений. Известно, что такие элементы позволяют определять усилия (напряжения) в несущей конструкции с существенно более низкой точностью, чем перемещения. В то же время для строительного проектирования наибольший интерес представляют именно усилия, так как проектирование (например, подбор арматуры) выполняется

по усилиям. Поэтому для получения решения по усилиям с достаточно высокой точностью необходима мелкая конечно-элементная сетка и в результате приходится решать системы уравнений высокого порядка, что является сложной и нерешенной окончательно задачей. Использование элементов, свободных от вышеперечисленных недостатков, позволяет получать решение для усилий с необходимой точностью на более грубых сетках и, следовательно, решать системы уравнений меньшего порядка.

Диссертация посвящена исследованию и разработке высокоточных конечных элементов пространственных пластинчатых систем. Основное внимание уделяется построению таких элементов плоского и изгибного напряженных состояний, которые были бы согласованы и совместны по перемещениям друг с другом.

В диссертации для этого используется гибридный метод, в котором варьируются поле усилий и перемещений по площади элемента и поле перемещений по границе элемента. Изгибные элементы строятся на основе теории толстых плит Миндлина-Рейснера и имеют в узле три стандартные степени свободы - поперечное перемещение и два угла поворота нормали к срединной поверхности. Полученные элементы свободны от эффекта "сдвигового запирания" и могут использоваться для расчета толстых и тонких плит. Элементы для анализа плоско-напряженного (плоско-деформированного) состояния также имеют три степени свободы в узле -два смещения и вращательная степень свободы. Элементы плоской оболочки (тре- и четырехугольные) с шестью степенями свободы в узле (три перемещения и три вращения) строятся путем объединения изгибных и плоско-напряженных элементов без использования фиктивной нормальной вращательной жесткости или других специальных приемов. Интерполяционные функции для линейных степеней свободы выбираются

таким образом, что по линиям излома геометрии (например, стена-перекрытие) перемещения остаются непрерывными. Результаты численного анализа новых элементов иллюстрируют существенно более высокую их точность при вычислении усилий даже на очень грубых сетках. Сходимость построенных элементов подтверждается выполнением ра1;с11-тестов.

Работа выполнена в ОАО "ЦНИИпроект" и ООО "Еврософт" под руководством кандидата технических наук В.А. Семенова.

1. ОБЗОР ЛИТЕРАТУРЫ. ЦЕЛЬ ДИССЕРТАЦИИ

1.1. Обзор исследований по построению конечных элементов.

Начиная с самых ранних разработок метода конечных элементов (МКЭ), заметное количество работ было посвящено анализу плит и оболочек. Различные подходы, теории, вариационные принципы использовались, чтобы обойти трудности, возникающие при анализе пластин и оболочек общего вида. Однако, несмотря на большое количество исследований, посвященных этому вопросу, все еще требуются дальнейшие усилия для снабжения инженеров надежной, эффективной и точной вычислительной программой для решения различных сложных оболочечных задач.

Уравнения теории тонких пластин [4] (плоские оболочки) в линейном случае состоят из двух несвязанных систем уравнений, одна из которых описывает плоское напряженное состояние, а другая описывает изгиб пластины. Поэтому часто работы посвящаются отдельно изгибным или плоско-напряженным элементам.

В рамках истории метода конечных элементов интерес к изгибным элементам плиты возник очень давно. В начале 60-х годов ряд элементов был предложен такими исследователями как Clough [43], Adini [19], Melosh [83], Tocher [115]. Эти элементы, как и большинство элементов того периода, были элементами метода перемещений, основанными на теории тонких плит Киргофа.

К середине 60-х годов вариационные основы МКЭ стали более понятны и в связи с этим пришло осознание важности свойства совместности элементов, без которого сходимость не всегда может быть

получена. Поскольку теория Киргофа изгиба пластин ведет к уравнению четвертого порядка для прогиба, то в функционал энергии входят вторые производные. Следовательно, элементы, основывающиеся на этой теории, должны обладать С1 -непрерывностью, и требование совместности в задачах изгиба плит означает непрерывность поперечного перемещения и первых производных от поперечного перемещенияи (углов поворота нормали к срединной поверхности) по границе между элементами. Большинство ранних изгибных элементов были несовместными. В [43] рассматриваются три ранее введенных несовместных треугольных элемента с 3-мя степенями свободы в узле, построенных на основе полиномов третьей степени в локальных г, у -координатах. В [105] рассматриваются некоторые вопросы построения и сходимости несовместных изгибных элементов.

Успех в достижении полной совместности легче всего пришел в случае прямоугольных элементов. Bogner et al. [40] разработал совместные прямоугольники с 16-ю и 32-мя степенями, которые проявили хорошие свойства сходимости. Однако стало необходимым использование вторых производных от перемещения как степеней свободы. В элементе с 16-ю степенями свободы было использовано кручение. Как было показано позднее Irons и Draper [70], невозможно получить совместный элемент, используя простые полиномы и только три геометрические степени свободы в узле.

Удовлетворить условиям совместности в треугольных элементах оказалось особенно трудным. И последовал ряд различных подходов.

Чтобы получить совместный элемент с использованием только трех геометрических степеней свободы, Bazeley et al. [36] ввел неполиномиальные (superimposing non-polynomial) функции формы. Зенкевич [134] этот тип функций перемещений определил как "совместные функции формы с

узловой сингулярностью". Это определение отражает тот факт, что вторые производные или кривизны не определены однозначно в узлах элемента. В [36] представлены несовместный и совместный элементы. Несовместный элемент удовлетворяет перемещениям как жесткого целого и состояниям с постоянными деформациями. Функции формы выражены в площадь-координатах и приводятся в [10,134]. Важным недостатком этого элемента вследствие несовместности является то, что он не сходится к точному решению для некоторых модельных сеток. Совместный элемент получен соответствующей суперпозицией полиномиальных и рациональных функций формы в площадь-координатах. Вследствие наличия рациональных функций требуется схема численного интегрирования очень высокого порядка (16 точек в [36]) для вычисления матрицы жесткости. Приводится также модификация этого элемента, полученная заменой истинных вторых производных от функций формы на сглаженные производные. Эти псевдопроизводные есть линейный вариант (в смысле метода наименьших квадратов) истинных вторых производных, и в результате только три точки численного интегрирования необходимы для получения матрицы жесткости.

Clough [43] ввел, как определил Gallagher [56], "подход подобластей", в котором треугольник разбивался на три подтреугольника. При получении матрицы для всего элемента подразумевалась совместность вдоль границ подтреугольников. Неполные кубические полиномы (9 слагаемых) использовались в каждой подобласти для прогиба, и нормальная производная вдоль внешнего края каждой области изменяется линейно. Элемент также был сформулирован через площадь-координаты [44]. Однако формулировка включает громоздкие алгебраические операции и элемент достаточно жесткий. Другие исследователи также использовали подход подобластей или его вариации. В [45] описан треугольник с 9-ю степенями

свободы, при построении которого использовались два подтреугольника. Авторам удалось добиться непрерывности нормальной производной вдоль трех сторон, но поперечное перемещение не является непрерывным вдоль одной стороны [57].

Еще один класс схем построения совместных изгибных элементов использует полиномы более высокого порядка. Этот класс относится к уточненным элементам или элементам более высокого порядка. Элемент с узлами в середине сторон, имеющий 21 степень свободы и использующий полные полиномы пятого порядка для функций перемещений, был разработан одновременно Argyris [28], Bell [37], Irons [68], Visser [122]. Определение нормальной производной вдоль стороны элемента полиномом третьего порядка исключило необходимость иметь три узла в серединах сторон. В результате элемент с 18-ю степенями свободы был разработан одновременно также тремя разными группами: Argyris [28], Bell [37], Cowper etal[ 48].

Совместные изгибные элементы не только трудно получить, но за исключением элементов более высокого порядка они также были найдены слишком жесткими. Наблюдался заметный скептицизм в необходимости удовлетворять условиям С1 непрерывности и многие исследователи искали альтернативные подходы.

Значительное улучшение подхода Baseley было представлено Irons, Razzaque [71] посредством "замещающих (substitute) функций формы" и "техники сглаживания производных". Замещающие функции формы заменяли некоторые определенные члены в первоначальных функциях. Степень наивысшего полного полинома не меняется и производные в функционале энергии аппроксимируются методом наименьших квадратов

[134]. Элементы несовместны, исключая предел при уменьшении размера элемента.

Другие исследователи экспериментировали с полными квадратичными полиномами и получили "треугольник с постоянными моментами". Двойник этого элемента в случае плоского напряженного состояния есть "треугольник с постоянными деформациями".

Однако другие исследователи искали элементы, основывающиеся на альтернативных вариационных принципах. Одним из логичных выборов является принцип минимума дополнительной потенциальной энергии, дающий "равновесную формулировку". В принципе, все что требуется - это выбрать интерполяционные функции для напряжений или изгибающих моментов внутри элемента. Выбранные функции должны обеспечивать равновесие в каждой точке конструкции и удовлетворять силовым граничным условиям на границах. Однако, как описано у Зенкевича [134], это достигалось редко непосредственно с напряжениями как переменными. Одна из основных трудностей возникает при удовлетворении кинематических граничных условий.

Начальная работа в этой области была сделана de Veubeke [119]. Чтобы избежать излишнего анализа сил, он формировал непосредственно матрицы податливости элементов, инвертировал их, чтобы получить матрицы жесткости, и продолжал работать с решением в перемещениях. Проблемы возникли тогда, когда собранная матрица жесткости оказалась положительно полуопределена, указывая на кинематическую неустойчивость конструкции.

Другой способ использовать принцип дополнительной энергии состоит в использовании подхода "сил" или "податливости", где избыточный (redundant) набор самоуравновешивающихся сил принимается за

неизвестные. В конечно-элементном анализе сложности с автоматическим выбором избыточной системы сил заставили отказаться от этого подхода.

Значительные прояснения и упрощения в использовании равновесного метода можно приписать Morley [86,87], Elias [53], которые реализовали использование элементных функций напряжений. Напряжения вычисляются по вторым производным от этих функций и, следовательно, функции напряжений должны обладать С1-непрерывностью. Однако выбор этих функций делается проще посредством "принципа двойственности". Эти аналогии интенсивно обсуждались в литературе Southwell [108], de Veubeke и Зенкевич [121], Morley [86], Elias [43], Sander [106]. Несмотря на вклад Morley, Elias, все еще существуют трудности с выбором функций напряжений, определения нагруженного состояния и точного определения граничных условий для функций напряжений. Перемещения также не обладают однозначными значениями, т.к. получаются интегрированием деформаций. Более детальное обсуждение процесса получения решения с использованием принципа минимума дополнительной энергии дается в текстах Gallagher [58], Зенкевич [134].

Некоторые другие последовавшие формулировки сделаны с использованием множителей Лагранжа, чтобы ослабить требования непрерывности вдоль межэлементных границ и таким образом понизить требование совместности до С0-непрерывности. Использование этих модифицированных функционалов привело к гибридным и обобщенным смешанным методам. Термин "гибридный" используется для обозначения формулировок, где один набор неизвестных может быть исключен на уровне элемента. Термин "обобщенный смешанный" используется для обозначения формулировок, где оба набора неизвестных остаются в глобальной системе уравнений.

и

Первым разработанным гибридным методом был гибридный метод для напряжений Пиана [92,93]. Используя модифицированный принцип минимума дополнительной энергии, Пиан выбрал полиномы для напряжений по области элемента и перемещений по периметру элемента. Последние играют роль множителей Лагранжа для обеспечения межэлементного равновесия. Этот метод известен как гибридный метод в напряжениях (hybrid stress method).

Другие исследователи, такие как Tong [116], Kikuchi и Ando [76], разработали различные гибридные подходы для перемещений на основе модифицированных форм принципа минимума потенциальной энергии.

Виды функционалов для реализации гибридных подходов в напряжениях и перемещениях анализируются в [131]. Различные вариационные постановки задач теории упругости и схемы метода конечных элементов, основанные на этих постановках, описаны в [13].

Гибридные элементы в напряжениях для решения задач изгиба пластин были предложены многими авторами. Наиболее эффективный и при этом простой треугольный элемент с 9-ю степенями свободы получен для теории плит Киргофа и имеет линейное распределение изгибающих моментов внутри элемента и кубическое изменение перемещения с линейным изменением нормальной производной по краям элемента. Формулировка этого элемента обсуждалась несколькими авторами [22,25,88,129,130]. Ими были предложены разные пути для получения матрицы жесткости элемента в зависимости от выражения для используемого функционала. Большое количество численных результатов получено при помощи этого элемента и, конечно, это один из эффективных элементов. Теоретические исследования гибридной модели в напряжениях и элементов, полученных на основе этой модели, можно найти в [22,33,93].

В [23,131] элемент был получен на основе гибридного подхода в перемещениях. Хотя доступно несколько альтернатив для получения матрицы жесткости элемента, они не приносят каких-либо преимуществ перед обычным гибридным методом в напряжениях. Основным преимуществом гибридного подхода в перемещениях [23] является более точное вычисление согласованного вектора узловых нагрузок вследствие распределенного по элементу давления.

Другой класс треугольных элементов с 9-ю степенями свободы для анализа плит Киргофа может быть получен так называемым упрощенным гибридным методом в перемещениях [76] с использованием кубического полинома с 10-ю слагаемыми для прогиба и корректировкой матрицы для восстановления непрерывности нормальной производной вдоль сторон. В результате элемент имеет 10 степеней свободы. Уменьшение до 9 степеней свободы призводится статической конденсацией. Критическая оценка этого элемента дается в [81], где показывается, что матрица жесткости в некоторых случаях может быть сингулярной (после введения граничных условий).

Еще одна альтернатива методу перемещений была дана Herrmann [60] в 1965 году. Это смешанный метод, основанный на модифицированном вариационном принципе Рейснера. Используя этот метод, различные комбинации перемещений и напряжений могут быть определены и внутри, и на границе элемента. Herrmann ослабил требования непрерывности для перемещений, но навязал условие непрерывности на поле напряжений. В результате С0-непрерывность требуется для обоих наборов пробных функций. Т.к. используются полиномы более низкого порядка, то количество вычислений для получения матрицы жесткости элемента

уменьшилось, но и равновесие, и совместность удовлетворяются только приближенно [56].

В "обобщенном методе перемещений" несовместные элементы используются в сочетании с межэлементными множителями Лагранжа. Множители Лагранжа входят в глобальную систему уравнений и могут быть идентифицированы как силы. Этот подход появился благодаря Jones [74], Greene et al. [58], Anderheggen [27], Harvey и Kelsey [59].

Аналогично, в "обобщенном равновесном методе" множители Лагранжа применяются к глобальным уравнениям и идентифицируются как перемещения. Такое решение было использовано в 1969 году Anderheggen [26] и позже - Sander [106]. В этих двух методах и в формулировке Herrmann множители Лагранжа включаются в итоговые уравнения. Эта система положительно полуопределена и, следовательно, процессу решения должно быть уделено особое внимание [57,134].

В 70-х годах снизилась интенсивность разработок новых элементов. Тем не менее исследования продолжались и в результате появились новые подходы и методы, такие как сокращенное интегрирование (reduced integration), штрафной метод, замещающие (substitute) функции формы, сглаживание производных, дискретные ограничения Киргофа. Наиболее значительными разработками, которые появились в этом десятилетии, были использования метода перемещений, основанного на теории плит Миндлина-Рейснера, и схемы сокращенного интегрирования. Уравнения равновесия для независимых переменных (перемещения и углы поворота нормали) являются дифференциальными уравнениями второго порядка, т.е. только первые производные появляются в функционале энергии и, следовательно, элементы требуют только С0-непрерывных функций формы. Кроме того функции формы для плоского напряженного состояния могут

использоваться для изгиба, при этом изгибные элементы становятся изопараметрическими.

Использовалась также концепция вырождения (the degeneration concept), состоящая в прямой дискретизации трехмерных уравнений в терминах узловых переменных срединной поверхности с использованием гипотезы прямой нормали, т.е. нормаль к срединной поверхности остается прямой в процессе деформирования. Выполнение гипотез Киргофа здесь не предполагается и эта формулировка также включает эффект поперечного сдвига.

Этот подход хорошо работает для толстых плит, однако многие авторы [70,84,118,127], которые разрабатывали элементы с учетом поперечного сдвига, получили неудовлетворительные результаты, когда применяли эти элементы для тонких оболочек. При уменьшении толщины плиты сдвиговые слагаемые начинают доминировать в матрице жесткости и, как результат, элемент выдает чрезмерно жесткое решение, которое не отражает правильно изгибное поведение. В пределе уменьшения толщины перемещения стремятся к нулю [135]. Физически этот феномен известен как сдвиговое запирание [67].

Было изучено несколько методик в попытке решить проблему сдвигового запирания. Одна из них состоит в том, чтобы делать матрицу деформаций "несовершенной" (rank deficient), используя сокращенное интегрирование. Это было использовано с некоторым успехом в 1969 году Doherty et al. [51] для снижения жесткости плоско-напряженных элементов. Для изгиба плит это было введено одновременно в 1971 году Зенкевичем и др.[136], Pawsey, Clough [90]. В обоих публикациях методика была продемонстрирована на 8-узловом серендиповом элементе оболочки Ahmad [20]. Для оценки энергии сдвиговых деформаций обе исследовательские

группы предложили "недоинтегрировать" слагаемые со сдвиговыми деформациями, в то время как изгибные слагаемые интегрировать точно. Эта процедура известна сейчас как "выборочно сокращенное интегрирование" (selectiv reduced integration). Зенкевич также пытался "недоинтегрировать" все слагаемые квадратурой одного порядка. На это сейчас ссылаются как на "полностью сокращенное интегрирование" (uniform reduced integration). Обе методики дали значительное улучшение результатов и соединили выборочно сокращенное интегрирование с теорией плит Миндлина-Рейснера [21]. В [74] на основе концепции вырождения построен оболочечный элемент переменной толщины с перемещениями и поворотами нормали к срединной поверхности как независимыми переменными. Билинейные функции формы использованы в сочетании с пониженным интегрированием энергии поперечной сдвиговой деформации. Этот подход доминировал в области исследования изгиба с середины 70-х годов. Основной вклад был сделан исследовательскими группами Hughes [64,65,66,67], Hinton [61,100].

Альтернативой выборочно сокращенного интегрирования для элементов теории Миндлина-Рейснера является введение на уровне элемента ограничений Киргофа на поворот нормали в дискретных точках, таких как точки интегрирования Гаусса или узлах Луфа (Loof nodes) [78]. Эта идея была предложена в 1968 году Wempner et al. [127] и использовалась для плит такими исследователями, как Strickling [110], Baldwin [30], Fried [55], Irons [72]. Применение было не всегда успешным и С0-непрерывность не всегда сохранялась. Wempner et al. [127] ввел гипотезы Киргофа только в серединах сторон элемента. Неудовлетворительные результаты были получены вследствие, предположительно, слишком большого количества наложенных ограничений. После сокращения количества ограничений и

подавления всей сдвиговой энергии были получены хорошие результаты, но элемент без сдвигой энергии может использоваться только для тонких оболочек. К тому же техника предложенная в [127], ведет либо к необходимости обратить несимметричную матрицу для узловых перемещений, либо к увеличению неизвестных, если для удовлетворения ограничений используется метод множителей Лагранжа.

Второй альтернативой является введение ограничений Киргофа во взвешенном интегральном смысле посредством множителей Лагранжа, которые интерполируются по области элемента. Этот метод был проверен Hrabok [62].

Ни один из последних двух методов не является таким простым и эффективным, как метод выборочно сокращенного интегрирования. Схема выборочно сокращенного интегрирования была также перенесена на гибридную модель в-напряжениях [109].

В [46] треугольный гибридный элемент в напряжениях, основанный на теории плит с поперечным сдвигом, использовался для построения четырехугольного элемента с 12-ю степенями свободы. Этот элемент проявил себя очень хорошо при анализе плит с различными отношениями длины к толщине и sandwich-плит.

В [114] исследуются другие подходы для получения изгибных элементов, которые могут использоваться для решения задач о толстых и тонких плитах. Первый представленный подход состоит в разделении поля поперечных перемещений на изгибную компоненту и сдвиговую компоненту [98]. В этом подходе необходимо вводить дополнительную степень свободы, связанную со сдвиговой компонентой прогиба. Второй подход заключается в разработке функций формы для поля перемещений элемента плиты Миндлина-Рейснера таким образом, чтобы "сдвиговое

запирание" избегалось без. обращения к уменьшению порядка интегрирования. Полученный четырехузловой оболочечный элемент с 6-ю степенями свободы (три перемещения и три вращения) в каждом узле может использоваться для решения задач о толстых и тонких плитах.

Необходимо упомянуть также элементы дискретной теории Миндлина-Рейснера с 3-мя степенями свободы в узле, которые дают хорошие результаты как для толстых, так и для тонких плит [31].

Дискретная теория Киргофа и ведение Ъоо£-узлов успешно использовались непосредственно для построения элементов тонких плит и оболочек.

При построении элементов, основанных на дискретной теории изгиба тонких пластин Киргофа, сначала рассматривается теория плит с поперечными деформациями. В этом случае прогиб и углы поворота нормалей являются независимыми переменными и необходимо удовлетворить только требование С0-непрерывности. Далее энергией поперечных деформаций пренебрегают и гипотезы Киргофа вводятся дискретно вдоль сторон элементов, чтобы связать повороты и поперечное перемещение. Этот подход был использован для построения треугольных изгибных элементов с 9-ю степенями свободы [18,49,50,110], которые сходятся к классическому решению для тонких пластин. Однако эти элементы не так хорошо известны, что можно объяснить несколькими соображениями. Нет специального вариационного принципа, связанного с этой моделью. Некоторые плитные и оболочечные элементы, основанные на дискретной теории Киргофа, используют подобласти и/или срединные узлы [50,110], вероятно поэтому потенциал простых элементов не был до конца понят. В [34] демонстрируется в основном хорошее поведение треугольного элемента с 9-ю степенями свободы. Эти результаты дополняются

предыдущими теоретическими исследованиями [55,75]. В [75] доказывается, что перемещения и частоты свободных колебаний сходятся квадратично к С1 -решению Киргофа для тонких плит.

В методе конечных элементов при анализе оболочек одной из трудных задач является построение уравнений равновесия в точках соединения элементов, не лежащих в одной плоскости. В таких узлах должны рассматриваться все шесть степеней свободы, но для оболочек в основном используется пять степеней свободы в узле. Irons [72] предложил использовать так называемый SemiLoof-элемент, для которого нормальная производная вдоль стороны определяется в узлах, которые не совпадают с теми узлами, где определены поступательные степени свободы. Как было замечено Martins, Owen [82], результаты, полученные SemiLoof-элементами на грубой конечно-элементной сетке, сравнимы с результатами, полученными с использованием большего количества элементов. Но также было выяснено, что для получения удовлетворительного решения в случае сосредоточенных нагрузок необходима мелкая сетка. Численная реализация элемента также достаточно сложна. Как было показано [94], SemiLoof-элементы для плит и оболочек могут быть легче построены на основе гибридного метода в напряжениях, и на самом деле для тонких плит равновесная модель de Veubeke [120] эквивалентна SemiLoof-элементу и может быть получена тем же способом, который используется при построении гибридного элемента в напряжениях. В [96] гибридные SemiLoof-элементы для тонких плит и оболочек разрабатываются на основе модифицированного принципа Ху-Вашицу.

Многие формулировки, упомянутые выше, не являются независимыми. Так, Malkus, Hughes [80], Spiker [109] показали

эквивалентность выборочно сокращенного интегрирования и некоторых смешанных методов.

Радикально другим и перспективным подходом является прямой метод, введенный в 1975 году Bergan и Hanssen [38]. Этот метод не базируется на вариационном принципе. Вместо этого треугольный элемент получают непосредственно из условий, которые удовлетворяют patch-теету, перемещениям как жесткого целого и требованиям постоянства деформаций. Вычислений требуется не так много, как в некоторых предыдущих методиках, и полученный элемент найден очень качественным.

Требует упоминания также метод " р -сходимости" или метод ограничений (constraint method) [103,123,etc.]. По этому методу уточнения достигаются увеличением порядка полиномов для перемещений внутри каждого элемента, в то время как сетка остается неизменной. Полиномиальные коэффициенты выбираются так, чтобы удовлетворить условия узловой межэлементной совместности.

Еще одним подходом является использование трехмерной теории упругости, на основе которой строятся ЗО-элементы. Эти элементы не приспособлены для обычных кинематических предположений, характерных для большинства оболочечных задач. Например, толщина оболочки мала по сравнению с другими размерностями. В связи с этим оболочка несет (воспринимает) нагрузку через изгибные и мембранные действия. 3D-формулировка имеет особый недостаток - несколько уровней элементов или элементы более высокого порядка требуются для отображения изгиба. Таким образом, соображения экономичности ограничивают пригодность таких элементов. Кроме того, элемент работает неправильно при умеренном отношении длины к толщине вследствие запирания перемещений по толщине. Wilson [128] советовал использовать несовместные составляющие

перемещений для улучшения свойств 3-D оболочки. Dovey [52] занимался изучением и техники сокращенного интегрирования, и добавлением несовместных составляющих. Эти модификации произвели желаемый эффект и оболочка стала более гибкой. Однако сходимость этих модифицированных ЗБ-элементов не может быть гарантирована [52].

Анализ плоско-напряженного состояния также занимает заметное место в ранних разработках метода конечных элементов. Действительно, первое инженерное приложение Turner et al.[\ll] плоско-напряженного конечного элемента стало основанием для метода, который широко распространен в настоящее время. Эта первая простейшая модель включала совместные линейные перемещения, интерполируемые по двум перемещениям в каждой вершине треугольного элемента, что было в дальнейшем осознано как реализация принципа минимума потенциальной энергии. Сейчас на этот элемент ссылаются как на "треугольник с постоянными деформациями" (CST - constant strain triangle). Использование вариационного подхода помогло также вывести более сложный треугольный элемент, имеющий квадратичные совместные перемещения с двумя дополнительными степенями свободы на серединах сторон элемента. В настоящее время на этот элемент ссылаются как на "треугольник с линейными деформациями" (LST - linear strain triangle). Широко известны 4/8-узловые изопараметрические элементы с 2-мя степенями свободы в узле [2], которые можно назвать четырехугольными двойниками CST- и LST-элементов. Простые плоско-напряженные и изгибные элементы метода перемещений описаны в [3].

Треугольный элемент с квадратичными перемещениями дает гораздо лучшие результаты для перемещений и напряжений на одинаковых сетках по сравнению с треугольным элементом с линейными перемещениями.

Линейное распределение напряжений, вычисленное по ЬБТ-элементу, также является более приемлемым приближением, чем постоянные напряжения, получаемые СБТ-элементом. Но это улучшение точности достигается за счет увеличения общего количества неизвестных.

Многие авторы были привлечены идеей создания конечно-элементной модели для плоско-напряженного состояния, включающей узловые вращения, и разработка плоско-напряженных элементов с вращательной степенью свободы вызывала большое внимание

[24,39,47,77,79,85,89,102,132]. Были предложены треугольные и четырехугольные элементы разной степени сложности.

В ряде работ рассматриваются элементы с кубической интерполяцией перемещений и применяются два различных метода для формирования матрицы жесткости. В первой формулировке матрица жесткости вычисляется по совместному полю перемещений на основе принципа минимума потенциальной энергии [89]. Другой подход [130] основан на гибридном методе Пиана [91] с линейным распределением напряжений. К сожалению, эти формулировки накладывают достаточно жесткие ограничения на перемещения для того, чтобы достичь совместности. А именно, углы при вершинах элемента не меняются, так что состояния с постоянными деформациями не моделируются и, следовательно, сходимость к точному решению при измельчении сетки не гарантируется [18]. В [89] демонстрируется очень ясно на тестовых примерах, что сходимость к точному решению никогда не достигается.

Олман [24] предложил замечательно простую альтернативную формулировку треугольного элемента, основанную на принципе минимума потенциальной энергии, которая сочетает лучшие черты элементов описанных выше - совместные квадратичные перемещения с

соединителями, расположенными только в углах. Соединители определяются как две компоненты перемещения и одно вращение. Таким образом, достигается более предпочтительное линейное распределение напряжений, в то время как сохраняется улучшенная вычислительная эффективность, связанная с тем, что все степени свободы расположены в углах элемента. Предположения, на основе которых строилась аппроксимация перемещений, не только не нарушили совместность, но и не ввели ограничений на углы при вершинах элемента, как это делали более жесткие условия предыдущих авторов. Все состояния с постоянными деформациями могут, таким образом, быть воспроизведены точно и, следовательно, сходимость [18] к точному решению при уменьшении шага сетки гарантируется. Дополнительно к перемещениям как жесткого целого появляется необычное состояние с нулевой энергией, но оно легко может быть подавлено присваиванием произвольного значения (скажем нуля) любому одному вращению.

При построении функций формы Олман отверг обычную практику кубического интерполирования нормальной компоненты перемещения вдоль стороны элемента [85,89] и применил квадратичную интерполяцию. Физический смысл введенных вращательных соединителей, таким образом, не совпадает с истинным вращением, определенным в механике сплошных сред, но тесно связан с ним в полученном треугольном элементе. В последние годы исследования в области элементов с вращательными степенями свободы преуспели вследствие появления схемы интерполяции Олмана, которую принес его треугольный элемент с замечательными изгибными свойствами [24]. Обобщение треугольника Олмана на четырехугольник метода перемещений и гибридный четырехугольник было сделано Cook et al. [47,132]. Однако их элементы достаточно чувствительны

к нерегулярности и испытывают запирание, когда проводится анализ с материалами, близкими к несжимаемым. MacNeal, Harder разработали уточненную версию Соок-четырехугольника метода перемещений [79]. Модификации включают сглаживание деформаций (расчитанных по перемещениям) методом наименьших квадратов так, что сохраняются только линейные составляющие. Затем включаются две вспомогательные составляющие деформаций, с которыми достигается равновесие. Рекомендуются также штрафные функции для стабилизации уточненного элемента. Lin et al. [77] разработал квазисовместный изопараметрический элемент [113] с полными линейными составляющими деформаций и двумя "дутыми" (bubble) составляющими перемещений.

Успешный треугольный элемент, использующий истинное вращение как степень свободы, был предложен Bergan, Felippa с применением свободной формулировки (free formulation) [39]. Элемент на основе свободной формулировки часто рассматривается как несовместный элемент, чьи составляющие перемещений удовлетворяют критериям сходимости Стренга-Фикса, т.е. деформации, полученные по несовместным составляющим (в свободной формулировке составляющие перемещений, отличные от перемещений как жесткого целого и от перемещений, соответствующих состояниям с постоянными деформациями), ортогональны постоянным деформациям [18]. После эмпирической оптимизации этот элемент намного превосходит элементы, использующие такие же соединители [85,89], но все же хуже элементов, полученных по схеме интерполяции Олмана [24,47,77,132].

Следует упомянуть также несовместный треугольный элемент с кубической интерполяцией поля перемещений и истинным вращением как дополнительной узловой степенью свободы. Интерполяция производится

так, что ограничения на угол при вершине не накладываются, и элемент проходит patch-теет [32].

Известно, что включением обратного детерминанта якобиана в изопараметрические функции формы для напряжений/деформаций можно сделать постоянные составляющие напряжений/деформаций ортогональными к их дополнениям более высокого порядка. Очевидное преимущество использования ортогональных функций форм состоит в увеличении разреженности матрицы податливости. Высокая разреженность не только уменьшает количество арифметических операций при формировании матрицы жесткости элемента, но также позволяет обращать матрицу податливости блочно, что также требует меньших временных затрат. В [42] на основе модифицированного принципа Ху-Вашицу разработаны 4/8-узловые изопараметрические элементы с использованием ортогональных компонент в поле напряжений/деформаций. В [111] на основе функционала Рейснера построен гибридный четырехугольный элемент с использованием схемы интерполяции Олмана, поле напряжений которого включает три постоянные и четыре квазилинейные составляющие, которые уравновешены в элементах с регулярной геометрией. Постоянные компоненты поля напряжений ортогональны составляющим более высокого порядка. Заметим, что если рассматривать напряжения в обычной х,у-системе координат, то ортогональность постоянных и линейных компонент достигается простым помещением начала координат в центр тяжести элемента, что и используется для упрощения процесса построения элементов [34].

Успешное применение метода конечных элементов в механике сплошных сред и механике сооружений сделало необходимым

систематическую обработку вариационных методов, что было выполнено в классической книге УУазЫт [125].

1.2. Цель и задачи работы.

Целью настоящей работы является построение произвольных трех- и четырехузловых конечных элементов плоской оболочки.

При этом элементы должны быть совместны не только для плоских пластин, но и совместимы для пространственных пластинчатых систем. Обычная совместность в случае плоской геометрии означает непрерывность продольных перемещений для плоско-напряженных (плоско-деформированных) элементов и непрерывность поперечного перемещения и углов поворота нормали к срединной поверхности для изгибных конечных элементов. Совместимость в случае пространственной геометрии означает дополнительно непрерывность всех трех компонент вектора перемещений по линиям излома, когда соседние элементы не лежат в одной плоскости. Другими словами аппроксимация нормального перемещения не должна отличаться от аппроксимации поперечного перемещения по границе элемента оболочки.

Элемент должен иметь также все шесть геометрических степеней свободы в узле. Поэтому, если не пользоваться искуственными приемами при построении элемента плоского напряженного (деформированного) состояния, необходимо сразу рассматривать три степени свободы в узле -два смещения и вращение.

Элемент изгибного напряженного состояния должен быть построен таким образом, чтобы мог эффективно использоваться для расчета тонких и толстых плит.

Во второй главе выбирается теория, функционал, интерполяция перемещений по границе элемента и производится построение элементов, отвечающих вышеперечисленным требованиям.

В третьей главе производится численный анализ сходимости и точности разработанных элементов.

2. ПОСТРОЕНИЕ ГИБРИДНЫХ КОНЕЧНЫХ ЭЛЕМЕНТОВ

2.1. Выбор модели.

При разработке оболочечных элементов будем следовать подходу, в котором изгибная и мембранная жесткости строятся раздельно и собираются в общей системе координат.

Рассматривая этот подход, плоские 3/4-узловые элементы, имеющие перемещения и вращения в углах как степени свободы - инженерные степени свободы, особенно привлекательны по многим практическим соображениям. Например, могут быть смоделированы произвольная оболочечная геометрия, универсальные опоры, стержневая жесткость. Такие элементы имеют шесть или пять степеней свободы в узле в зависимости от того, включено ли нормальное вращение в степени свободы.

Наша цель - построить трех- и четырехугольные элементы с 6-ю степенями свободы в узле, которые могут эффективно использоваться для анализа толстых и тонких оболочек общей геометрии.

со^ , О

<Ру1

Рис. 1

Из обзора видно, какие трудности возникали при анализе плит и оболочек.

Классические элементы оболочки строятся на основе теории Киргофа тонких пластин. Предполагается, что поворот сечения есть просто наклон оболочки. Как результат, нормаль к срединной поверхности остается нормалью. Это применимо, если оболочка относительно тонкая и поперечные деформации незначительны. Гипотезы Киргофа ведут к уравнениям равновесия для перемещений, которые есть связанный набор двух дифференциальных уравнений второго порядка в плоскости и дифференциальное уравнение четвертого порядка в поперечном направлении оболочки. Следовательно, элементы, основывающиеся на этой теории, нуждаются в С1-непрерывности поперечного перемещения, в то время как продольные перемещения должны удовлетворять только требованию С0-непрерывности. Таким образом, для поперечного перемещения требуются интерполяционные функции более высокого порядка, чем в трехмерной теории, и узловые переменные должны включать как минимум три перемещения и две производные от поперечного перемещения. Несоответствие между порядками уравнений ведет к тому, что интерполяционные функции в плоскости обычно меньшего порядка, чем поперечные изгибные функции формы. Это может создавать щели или частичные перекрытия по краям двух соседних элеметов, не лежащих в одной плоскости.

В теории Миндлина углы поворота нормали являются независимыми переменными. Эта теория ведет к уравнениям равновесия для перемещений и углов поворота нормали, которые есть связанный набор двух дифференциальных уравнений второго порядка в плоскости и трех связанных дифференциальных уравнении второго порядка в поперечном

направлении оболочки. Следовательно, элементы, основывающиеся на этой теории, нуждаются в С0-непрерывности, и, таким образом, изопараметрические функции формы могут использоваться для интерполирования всех независимых переменных. При этом по краям двух соседних элементов, не лежащих в одной плоскости, перемещения остаются непрерывными. Но в таких элементах существенную проблему представляет "сдвиговое запирание". Выборочно сокращенное интегрирование (SRI) решает эту проблему, но на основании результатов [34] можно заключить, что элемент не эффективен для тонких пластин, когда сравнивается с элементом гибридной модели в напряжениях (HSM) и элементом дискретной теории Киргофа (DKT).

Общей проблемой для обеих теорий является согласование вращательных степеней свободы. В представленном обзоре было уделено особое внимание плоско-напряженным элементам с вращательными степенями свободы в узлах. Плоские элементы с таким соединителем в узле особенно важны, т.к. пространственная пластинчатая конструкция формируется сразу с полным набором вращательных степеней свободы. Благодаря дефициту вышеупомянутых элементов во многих моделях оболочек обсуждаемая степень свободы включалась исключительно ради удобства и должна стабилизироваться фиктивными крутильными пружинами, когда рассматривается плоская геометрия. Иными словами, охват всех вращательных степеней свободы не улучшает моделирования плоско-напряженного состояния.

Рассмотрим все возможные полиномиальные интерполяции, совместные в смысле теории плоских оболочек и совместимые в пространственном смысле, использующие обычные геометрические степени свободы в узле - три смещения и три вращения.

В классической теории Киргофа поперечное перемещение вдоль стороны элемента имеет вид

V =-4-^ +-4-+-4-^ -4-

-3 + 3£2 2 -1-24+3? 3-342 2 -1 + 2£ + 3£2

= -^-7^1 +-4-+-4-(1)

где / - длина стороны элемента; w], w2, w>я1, w п2, w n , wt2 - прогиб,

нормальные и тангенциальные производные от прогиба в узлах элемента. Причем, как уже было отмечено в обзоре, невозможно построить простую полиномиальную интерполяцию для прогиба по области элемента, совпадающую на границе с выражениями (1).

Совместимые с данной интерполяцией плоско-напряженные элементы с вращательными узловыми степенями свободы имеют кубический закон изменения нормального перемещения и линейный закон изменения тангенциального перемещения

Ii =-и , ---CO, +-М„, —--СО г,

4 й1 4 2 1 4 4 2 (2)

1-4 1 + 4

где / - длина стороны элемента; ип1, ип2, ип, ип - нормальные и тангенциальные перемещения в узлах; сох,ю2 - узловые вращательные степени свободы. Кубический закон получается исходя из того, что производная вдоль стороны от нормального перемещения совпадает в узлах с вращательной степенью свободы. Как уже отмечалось выше, эти требования накладывают дополнительные жесткие ограничения на поле перемещений. Irons, Ahmad [69] показали, что элемент с такой интерполяцией никогда не сможет пройти patch-тест.

В изоттараметрических элементах теории Миндлина-Рейснера вдоль стороны все обобщенные перемещения имеют линейную аппроксимацию

1-<Г \ + 4

м> =--лу, Н---м>7

2 1 2

1-Е 1 + £

для прогиба и углов поворота нормали, где I - длина стороны элемента; м>} , , вп1 , вп2, вп , в12 - прогиб и углы поворота нормали в узлах элемента, и

,1+4

(4)

ип = +

для продольных перемещений, где / - длина стороны элемента; ит >11 п2 >11 а >- нормальные и тангенциальные перемещения в узлах.

В локальной (элементной) формулировке не существует жесткости, соответствующей вращению вокруг нормали к срединной поверхности, и в этом случае возникают сложности с использованием шести степеней свободы в узле. Это проблема общая для многих элементов, использующих шесть глобальных степеней свободы в узле. Решается она путем ввода фиктивных пружин на кручение либо локально на уровне элементов, либо в некотором псевдонормальном направлении, определенном в каждом узле [10]. Эти подходы часто неудовлетворительны, особенно для гибких систем, в которых может появится нереалистичное количество энергии в пружинах в результате движения как жесткого целого. Еще одно решение приведено в [74]. Идея состоит в том, чтобы установить дополнительную связь между крутильным вращением нормали О и вращением срединной поверхности

{иух-их^12. Это достигается добавлением к функционалу для получения

матрицы жесткости слагаемого П ~ - {иух - иху)/2] dS, которое играет

S

роль штрафной функции, накладывающей ограничение: Q ~ (иух -ux^jl. Но

в любом случае описанные приемы только стабилизируют глобальную систему уравнений и не улучшают свойств плоско-напряженных элементов.

Альтернатива двум вышеупомянутым подходам была предложена в 80-е годы. В 1984 году Олман [24], рассматривая треугольный элемент метода перемещений, предложил квадратичный закон изменения нормального перемещения вдоль стороны плоско-напряженного элемента, большим преимуществом которого стала возможность элементу пройти patch-теет. Эта схема интерполяции совпадает в двух конечных точках и в середине стороны с первой рассмотренной схемой (2), а также в двух конечных точках со второй схемой (4). Поэтому нормальное перемещение Олмана может рассматриваться как сокращенная интерполяция в смысле первой схемы и "расширенная" интерполяция в смысле второй схемы. Taylor [114] в 1985 году, строя функции формы для элемента толстой плиты, свободного от эффекта сдвигового запирания, также пришел к квадратичному закону изменения прогиба вдоль стороны плитного элемента. В этой работе [114] был рассмотрен четырехугольный элемент оболочки метода перемещений. Интерполяция перемещений вдоль стороны оболочки в этом подходе имеет вид

1 + £ + ? I 2 1 4 2 2 4 2

et^etx^et2 , -i<£<i , (5)

Ü»- 2 2

для прогиба и углов поворота нормали, где I - длина стороны элемента; w], w2, вп1, вп2, вп , вп - прогиб й углы поворота нормали в узлах элемента, и

. 1-£2 / 1 + £ -1 + £2 I

% = —«Я1 - —2 '—'

и1=—-ип+——щ2 , -1<^<1

для продольных перемещений, где / - длина стороны элемента; ил > и„1 ■>11 п > "¡2 " нормальные и тангенциальные перемещения в узлах; а>1, а>2-узловые вращательные степени свободы.

Элементы теории Миндлина-Рейснера с этой интерполяцией будут проходить ра1сЬ-тест в отличие от элементов теории Киргофа с первой интерполяцией (1, 2) и сразу иметь полный набор всех степеней свободы в узле в отличие от элементов толстой оболочки со второй интерполяцией (3, 4). Кроме того, эти элементы свободны от эффекта сдвигового запирания. Поэтому при построении элементов будем использовать выражения (5, 6).

Хотя при такой интерполяции перемещений по границе элемента и существуют обычные полиномиальные функции формы для корректного применения стандартного метода перемещений, однако в дальнейшем будем следовать гибридному подходу. Гибридные методы получили широкое распространение и подтвердили свою эффективность и надежность.

Основное отличие гибридных методов от обычного метода перемещений состоит в том, что матрица жесткости элемента строится на основе функционалов, зависящих от нескольких наборов независимых переменных. В гибридном методе для перемещений используется модифицированный функционал Лагранжа, зависящий от двух групп независимых переменных - перемещений по области элемента и перемещений по периметру элемента. На перемещения по области никаких ограничений не накладывается, а перемещения по периметру элемента должны удовлетворять требованиям совместности. В простейшем гибридном методе для напряжений используется модифицированный

принцип стационарности дополнительной энергии, таюке зависящий от двух групп независимых переменных - напряжений внутри элемента и перемещений по периметру элемента. Напряжения внутри элемента должны удовлетворять уравнениям равновесия, а перемещения по периметру должны удовлетворять требованиям совместности. При построении матрицы жесткости перемещения по границе определяются через узловые степени свободы, а для определения перемещений/напряжений по области элемента вводится дополнительный набор параметров. Эти внутренние параметры свои для каждого элемента, поэтому они могут быть исключены ("конденсированы") на элементном уровне. В результате, как и в методе перемещений, будет получена обычная матрица жесткости элемента. При использовании функционалов Рейснера, Ху-Вашицу или их модификаций может вводится несколько наборов дополнительных параметров, которые также исключаются на уровне элемента.

Наличие нескольких наборов независимых переменных позволяет повышать/понижать порядок аппроксимации перемещений и напряжений по границе и области элемента, естественным образом вводить несовместные составляющие перемещений, не нарушая общих требований совместности, производить другие модификации для получения эффективных конечных элементов. Причем в отличие от смешанных методов в итоговую систему уравнений с симметричной матрицей входят только перемещения. Поскольку целью конечно-элементного анализа является нахождение напряжений и перемещений, для построения элементов выберем гибридную модель в напряжениях.

2.2. Вариационный функционал.

Модифицированный функционал Рейснера для плоского конечного элемента толстой оболочки, в котором варьируются поле усилий и перемещений по области элемента и поле совместных перемещений по границе элемента, может быть записан в следующей форме [94,95,96,112]:

-1[вт(АтМ - й + да) + м\divQ + р2) + ит(АтЙ + + ((ё[А[М + м>гптд + йтеАтгЙ)м -

-¡[в^щ+кД+^Щм-~ - ЩлтеМ + (м>е - щ)птй + (ите - %)Атей\м

+

(7)

где

12

\/Е - и/Е О - и/Е \/Е О . О О \\С)

Вп

Ш

Л/О' о ' . О \/с\

1/Е - и/Е О - и/Е \/Е О

^ 0 0 1/а

матрицы упругих коэффициентов (изотропный материал), к - параметр модели, обычно к = 6/5;

Б - поверхность элемента, £ = ¿Б - граница элемента;

А:

д/ск О

О д/ду ,д/ду д/ск.

- матрица операций дифференцирования;

А,

/ л

Ч О

О и.

матрица, составленная из направляющих косинусов внешней

\Пу пх)

нормали п =

к контуру I;

1

м=

с \

мх му

N =

изгибающие моменты, поперечные и

продольные силы соответственно;

в =

Л =

Гф

- вектор поворота нормали к срединнои плоскости при изгибе по области элемента и на границе элемента соответственно;

, и>( - продольные и поперечное перемещения по области элемента и на границе элемента; Р

(V С Л их

и = п £

кМу)

т -

\Ру]

\тУу

, р2 - продольные и поперечная распределенные нагрузки; - распределенный изгибающий момент;

граница элемента / = 1а + 1и ;

1а - часть границы, на которой заданы силовые граничные условия

(А1М=Ш, , пТй = а , АтгЫ = Й, е /„)

М1

. а , ^

X

кЩ;

- заданные изгибающие моменты, поперечная

и продольные силы;

1и - часть границы, на которой заданы кинематические граничные условия

(^=0/ , , «1=4 е 4)

(—Л

Заключение диссертации по теме «Системы автоматизации проектирования (по отраслям)», Семенов, Павел Юрьевич

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ

1. Проведен анализ гибридных моделей плоских конечных элементов с равновесным и неравновесным полем обобщенных напряжений.

2. Построены произвольные 3-х и 4-х узловые конечные элементы плоского напряженного (деформированного) состояния с тремя степенями свободы в узлах элемента - два продольных перемещения и вращательная степень свободы. Показано, что построенные элементы являются совместными (продольные перемещения непрерывны по границе между элементами), точно воспроизводят состояния с постоянными продольными силами (patch-тecт) и, следовательно, сходятся.

3. Построены произвольные 3-х и 4-х узловые конечные элементы изгибного напряженного состояния, имеющие три стандартные степени свободы в узлах элемента - поперечное перемещение и два вращения. Разработанные элементы являются совместными (поперечное перемещение и углы поворота нормали к срединной поверхности непрерывны по границе между элементами), точно воспроизводят состояния с постоянными моментами (ра1сЬ-тест) и, таким образом, сходятся. Элементы построены на основе теории толстых плит Миндлина-Рейснера и свободны от эффекта "сдвигового запирания", следовательно, могут использоваться для анализа тонких и толстых плит.

4. Путем объединения соответствующих изгибных и плосконапряженных элементов получены произвольные 3-х и 4-х узловые конечные элементы плоской оболочки, имеющие шесть степеней свободы в узлах элемента - три перемещения и три вращения. Функции формы для перемещений вдоль стороны, использованные в полученных элементах, обеспечивают пространственную совместимость элементов плоской оболочки. Т.е. по линиям излома, когда соседние элементы не лежат в одной плоскости, все три компоненты вектора перемещений остаются непрерывными. Показано, что пространственная совместимость является важным свойством и позволяет получать результаты для трехмерных моделей с высокой точностью даже на грубых сетках. Использование истинного вращения как дополнительной степени свободы в плосконапряженных элементах, являющихся составной частью элементов оболочки, позволяет автоматически моделировать полное соединение стержня и оболочки при расчете комбинированных систем (даже если стержень перпендикулярен к плоскости оболочки).

5. Проведен численный анализ точности разработанных конечных элементов как для плоских, так и для пространственных систем. Результаты показали высокую точность построенных элементов по сравнению не только с широко используемыми конечными элементами (например, CST, Q4), но и современными высокоточными элементами (например, HSM, PS5Betta, DMT).

6. Разработанные элементы программно реализованы и включены в программные комплексы семейства MicroFe, используемые для автоматизированного проектирования объектов строительства.

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Семенов, Павел Юрьевич, 1999 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Александров A.B., Лащеников Б.Я., Шапошников H.H., Строительная механика, тонкостенные пространственные системы. М., Стройиздат, 1983.

2. Бате К., Вилсон Е., Численные методы анализа и метод конечных элементов. М., Стройиздат, 1982.

3. Варвак П.М., Бузун И.М., Городецкий A.C., Пискунов В.Г., Толокнов Ю.Н., Метод конечных элементов. Киев, "Вища школа", 1981.

4. Васильев В.В., О теории тонких пластин. Механика твердого тела, 1992, No.3, с.26-47.

5. Власов В.З., Леонтьев H.H., Балки, плиты, оболочки на упругом основании. М., Физматгиз, 1960.

6. Демидов С.П., Теория упругости. М., "Высшая школа", 1979.

7. Евзеров И.Д., Здоренко B.C., Сходимость плоских конечных элементов тонкой оболочки. СМРС, 1984, No.l, с.35-40.

8. Елсукова К.П., Сливкер В.И., Некоторые особенности МКЭ при расчете конструкций на упругом основании. Метод конечных элементов и строительная механика. Л., труды ЛПИ, 1976, No.349, с.69-80.

10. Зенкевич О., Метод конечных элементов в технике. М., "Мир", 1975.

11. Манухин В.А., Постнов В.А., Построение гибридных конечных элементов для расчета пластинчатых конструкций. Механика твердого тела, 1992, No.3, с.79-86.

12. Пастернак ПЛ., Основы нового метода расчета фундаментов на упругом основании. М., Стройиздат, 1954.

13. Розин Л.А., Метод конечных элементов в применении к упругим системам. М., Стройиздат, 1976.

14. Семенов В.А., Семенов П.Ю., Программный комплекс MicroFe и его новые возможности. Проект, 1996, No.2-3, с.9-11.

15. Семенов В.А., Семенов П.Ю., Гибридные конечные элементы для расчета пространственных пластинчатых конструкций. Проект, 1998, No.3, с.18-19.

16. Семенов В.А., Семенов П.Ю., Конечные элементы повышенной точности и их использование в программных комплексах MicroFe. Жилищное строительство, 1998, No.9, с. 18-22.

17. Семенов В.А., Семенов П.Ю., Гибридные элементы для расчета пространственных пластинчатых конструкций. Тезисы докладов Международного конгресса МКПК-98, 22-26 июня 1998, Москва, Россия, том 3, с.58.

18. Стренг Г., Фикс Дж., Теория метода конечных элементов. М., "Мир", 1977.

19. Adini A., Clough R.W., Analysis of plate bending by the finite element method. Report submitted to the National Science Foundation (Grand G7337), Washington, D.C. (1960).

20. Ahmad S., Irons B.M., Zienkiewicz O.C., Curved thick shell and membrane elements with particular reference to axisymmetric problems. Proc. 2nd Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, 1968, pp.539-572.

21. Ahmad S., Irons B.M., Zienkiewicz O.C., Analysis of thick and thin shell structures by curved finite elements. Int. J. Num. Meth. Engng, 1970, Vol.2, pp.419-451.

22. Allman D.J., Triangular finite elements for plate bending with constant and linearly varying bending moments. Proc. UITAM Symp. on High Speed Computing of Elastic Structures (Edited by B.Fraeijs de Veubeke), University of Liege, Belgium, Aug. 1970, pp.105-136..

23. Allman D.J., A simple cubic displacement element for plate bending. Int. J. Num. Meth. Engng, 1976, Vol.10, No.2, pp.263-281.

24. Allman D.J., A compatible triangular element including vertex rotations for plane elasticity analysis. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, No.1-2, pp.1-8.

25. Allwood R.J., Cornes G.M., A polygonal finite element for plate bending problems using the assumed stress approach. Int. J. Num. Meth. Engng, 1969, Vol.1, pp.135-149.

26. Anderheggen E., Finite element plate bending equilibrium analysis. J. Engng Mech. Div., ASCE 95 (EM4), 1969, pp.841-857.

27. Anderheggen E., A conforming triangular finite element plate bending solution. Int. J. Num. Meth. Engng, 1970, Vol.2, No.2, pp.259-264.

28. Argiris J.H., Fried I., Scharpf D.W., The TUBA family of plate elements for the matrix displacement method. The Aeronaut. J. Royal Aeronaut Soc., 1968, Vol.72, pp.701-709. ..

29. Arnold D. Kerr, Elastic and viscoelastic foundation models. Transactions of the ASME, Journal of Applied Mechanics, September 1964, pp.491-498.

30. Baldwin J.T., Razzaque A., Irons B.M., Shape function subroutines for an isoparametric thin plate element. Int. J. Num. Meth. Engng, 1973, Vol.7, No.4, pp.431_440.

31. Barth C., Lutzkanov D., Neue finite elemente fuer dicke und duene platten, Bauinformatik, 1994, heft 6.

32. Barth C., Lutzkanov D., Modern finite elemente fuer scheiben und schalen mit drehfreiheitsgraden, Bauinformatik, 1995, heft 6.

33. Bartholomew P., Comment of hybrid finite elements. Int. J. Num. Meth. Engng, 1976, Vol.10, No.4, pp.968-973.

34. Batoz J.L., Bathe K.J., Ho L.W., A study of three-node triangular plate bending elements. Int. J. Num. Meth. Engng, 1980, Vol.15, pp. 1771-1812.

35. Batoz J.L., An explicit formulation for an efficient triangular plate-bending element. Int. J. Num. Meth. Engng, 1982, Vol.18, pp. 1077-1089.

36. Bazeley G.P., Cheung Y.K., Irons B.M., Zienkiewicz O.C., Triangular elements in plate bending - conforming and non-conforming solutions. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.547-576.

37. Bell K., A refined triangular plate bending finite element. Int. J. Num. Meth. Engng, 1969, Vol.1, No.l,pp.l01-122.

38. Bergan P.G., Hanssen L., A new approach for deriving "good" element stiffness matrices. The Mathematics of Finite Elements and Applications (Edited by J.R.Whiteman), Academic Press, London, 1975, pp.483-497.

39. Bergan P.G., Felippa C.A., A triangular membrane element with rotational degrees of freedom. Comput. Meth. Appl. Mech. Engng, 1985, Vol.50, pp.25-69.

40. Bogner F.K., Fox R.L., Schmit L.A., Jr, The generation of inter-element compatible stiffness and mass matrices by use of interpolation formulas. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.397-443.

41. Chang-chun Wu, Some problems of plate bending hybrid model with shear effect. Int. J. Num. Meth. Engng, 1982, Vol.18, pp.755-764.

42. Cheung Y.K., Chen Wanji, Refined hybrid method for plane isoparametric element using an orthogonal approach. Comput. and Struct., 1992, Vol.42, No.5, pp.683-694.

43. Clough R.W., Tocher J.L., Finite element stiffness matrices for analysis of plate bending. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.515-545.

44. Clough R.W., Felippa C.A., A refined quadrilateral element for analysis of plate bending. Proc. Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., WPAFB, Ohio, 1968, pp.399-440.

45. Connor J.J., Will J., A triangular flat plate bending element, Rep. TR-68-3, Dept. of Civil Eng., MIT, Cambridge, Mass., 1968.

46. Cook R.D., Two hybrid elements for analysis of thick, thin and sandwich plates. Int. J. Num. Meth. Engng, 1972, Vol.5, pp.227-288.

47. Cook R.D., On the Allman triangular and related quadrilateral element. Comput. and Struct., 1986, Vol.22, pp.1065-1067.

48. Cowper G.R., Kosko E., Lindberg G.M., Olson M.D., Formulation of a new triangular plate bending element. Trans. Canadian Aeronaut. Space Inst., 1968, Vol.1, No.2, pp.86-90.

49. Dhatt G., An efficient triangular shell element. AIAA J., 1970, Vol.8, No.ll, pp.2100-2102.

50. Dhatt G., Venkatasubbu S., Finite element analysis of containment vessel. Proc. 1st Conf. on Struct. Mech. in Reactor Tech., Berlin, Germany, 1971, vol.5, paper J3/6.

51. Doherty W.P., Wilson E.L., Taylor R.L., Stress analysis of axisymmetric structures using higher oder quadrilateral elements. Structural Engineering Lab. Rep. SESM 69-3, University of California, Berkeley, 1969.

52. Dovey H.H., Extention of three dimentional analysis to shell structures using the finite element idealization. SESM Report No.72-4, Dept. of Civil Engineering, U.C.Berkeley, 1974.

53. Elias Z.M., Duality in finite element method. J. Engng Mech. Div., ASCE, 94, EM4, 1968, pp.931-946.

54. Fam A.R.M., Turkstra C., Model study of horizontally curved box girder. J. Engng Struct. Div., ASCE, 102, ST5,1976, pp.1097-1108.

55. Fried I., Shear in C° and C1 bending finite elements. Int. J. Solids Structures, 1973, Vol.9, No.4, pp.449-460.

56. Gallagher R.H., Analysis of plate and shell structures. Proc. Symp. on Application of Finite Element Methods in Civil Engng, School of Engineering, Vanderbild University, Nashville, Tennessee, Nov. 1969, pp. 155-205.

57. Gallagher R.H., Finite Element Analysis: Fundamentals. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1975.

58. Green B.E., Jones R.E., McLay R.W., Strome D.R., Generalized variational principles in the finite element method. Am. Inst. Aeronaut, and Astronaut. J., 1969, Vol.7, No.7, pp.1254-1260.

59. Harvey J.W., Kelsey S., Triangular plate bending elements with enforced compatibility. Am. Inst. Aeronaut, and Astronaut. J. , 1971, Vol.9, No.6, pp. 10231026.

60. Herrmann L.R., A bending analysis for plates. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.577-602.

61. Hinton E., Bicanic N., A comparison of Lagrangian and serendipity Mindlin plate elements for free vibration analysis. Comput. and Struct., 1979, Vol.10, pp.483-493.

62. Hrabok M.M., Analysis of stiffened plates by the hybrid stress finite element method. Thesis presented in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy, Department of Civil Engineering, University of Alberta, Edmonton, Canada, 1981.

63. Hrabok M.M., Hrudey T.M., A review and catalogue of plate bending finite elements. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, No.3, pp.479-495.

64. Hughes T.J.R., The Finite Element Method: Linear Static and Dynamic Finite Element Analysis. Prentice-Hall, Englewood Cliffs, New Jersey, 1987.

65. Hughes T.J.R., Cohen M., The "Heterosis" finite element for plate bending. Comput. and Struct., 1978, Vol.9, pp.445-450.

66. Hughes T.J.R., Cohen M., Haroun M., Reduced and selective integration techniques in the finite element analysis of plates. Nuclear Engng Design, 1978, Vol.46, pp.203-222.

67. Hughes T.J.R., Taylor R.L., Kanoknukulchai W., A simple and efficient finite element for plate bending. Int. J. Num. Meth. Engng, 1977, Vol.11, pp.1529-1543.

68. Irons B.M., A conforming quartic triangular element for plate bending. Int. J. Num. Meth. Engng, 1969, Vol.1, No.l, pp.29-45.

69. Irons B., Ahmad S., Techiques of Finite Elements. Ellis Horwood, 1980.

70. Irons B.M., Draper K.J., Inadequacy of nodal connections in a stiffness solution for plate bending. Am. Inst. Aeronaut. Astronaut. J., 1965, Vol.3, No.5, p.691.

71. Irons B.M., Razzaque A., Shape function formulations for elements other than displacement models. Presented at the Symp. on Variational Meth. in Engng, University of Southampton, 1972, pp.4/59-71.

72. Irons B.M., The semi-loof element. Finite Elements for thin Shell and curved members (Edited by G.H.Ashwell and G.H.Gallagher), Chapt. 11. Wiley, New York, 1976.

73. Jones R.E., A generalization of the direct-stif&iess method of structural analysis. Am. Inst. Aeronaut, and Astronaut. J., 1964, Vol.2, No.5, pp.821-862.

74. Kanoknukulchai W., A simple and efficient finite element for general shell analysis. Int. J. Num. Meth. Engng, 1979, Vol.14, pp. 179-200.

75. Kikuchi F., On a finite element scheme based on the discrete Kirchoff assumption. Num. Math., 1975, Vol.24, pp.211-231.

76. Kinkuchi F., Ando Y., Some finite element solutions for plate bending problems by simplified hybrid displacement method. Nuclear Engng Design, 1972, Vol.23, pp.155-178.

77. Lin H., Tang L.-M., Lu H.-X., The quasi-conforming plane element with rotational degrees of freedom. Comput. Struct. Mech. Applic., 1990, Vol.7, pp.2331 (in Chinese).

78. Loof H.W., The economical computation of stiffness of large structural elements. Presented at The Symp. on the Use of Electronic Digital Computers in Structural Engng, University of Newcastle upon Tyne, 1966.

79. MacNial R.H., Harder R.L., A refined four-node membrane element with rotational degrees of freedom. Comput. and Struct., 1989, Vol.28, pp.75-84.

80. Malkus D.S., Hughes T.J.R., Mixd finite element method - reduced and selective integration techniques: a unification of concepts. Comput. Meth. Appl. Mech. Engng, 1978, Vol.15, pp.63-81.

81. Mang H., Gallagher R., A critical assessment of the simplified hybrid displacement method. Int. J. Num. Meth. Engng, 1977, Vol.11, pp.145-167.

82. Martins R.A.F., - Owen D.R.J., Elastoplastic and geometrically nonlinear analysis by the semi-Loof element. Comput. and Struct., 1981, Vol.13, pp.505513.

83. Melosh R.J., A stiffness matrix for the analysis of thin plates in bending. J. Aeronaut. Sci., 1961, Vol.28, No.l, pp.34-42.

84. Melosh R.J., A flat triangular shell element stiffness matrix. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.503-514.

85. Mohr G.A., Finite element formulation by nested interpolations: applications to the drilling freedom problem. Comput. and Struct., 1982, Vol.15, pp.185-190.

86. Morley L.S.D., A triangular equilibrium element with linearly varying bending moments for plate bending problems. The Aeronaut. J. Royal Aeronaut Soc., 1967, Vol.71, pp.715-719.

87. Morley L.S.D., A triangular equilibrium element in the solution of plate bending problems. The Aeronaut. Quart., 1968, Vol.19, pp. 149-169.

88. Neale B.K., Henshell R.D., Edwards G., Hybrid plate bending elements. J. Sound Vibration, 1972, Vol.23, No.l, pp.101-112.

89. Olson M.D., Breaden T.W., A simple flat triangular shell element revised. Int. J. Num. Meth. Engng, 1979, Vol.14, pp.51-68.

90. Pawsey S.F., Clough R.W., Improved numerical integration of thick shell finite element. Int. J. Num. Meth. Engng, 1971, Vol.3, No.4, pp.575-586.

91. Pian T.H.H., Derivation of element stiffness matrices by assumed stress distribution. AIAA J., 1964, Vol.2, pp.1333-1336.

92. Pian T.H.H., Element stiffness matrices for boundary compatibility and for prescribed boundary stresses. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.457-477.

93. Pian T.H.H., Tong P., Basis for finite element methods for solid continua. Int. J. Num. Meth. Engng, 1969, Vol.1, No.l, pp.3-28.

94. Pian T.H.H., Re-examination of variational formulations of finite element method in structural mechanics. Proc. 6th Invitational Symp. on the Unification of Finite Elements - Finite Differences and Calculus of Variations (Edited by H.Kardestuncer), Univ. of Connecticut, May 1982, pp. 11-23.

95. Pian T.H.H., Chen D.P., Alternative way for formulation of hybrid stress elements. Int. J. Num. Meth. Engng, 1982, Vol.18, pp.1679-1684.

96. Pian T.H.H., Sumihara K., Hybrid semiLoof elements for plates and shells based upon a modified Hu-Washizu principle. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, No. 1-2, pp. 165-173.

97. Pian T.H.H., Sumihara K., Rational approach for assumed stress finite elements. Int. J. Num. Meth. Engng, 1984, Vol.20, pp.1685-1695.

98. Plantema F.J., Sandwich Construction: The bending and buckling of sandwich beams, plates and shells. New York: J.Willey and Sons, 1966.

99. Pryor C.W. et al., Finite element bending analysis of Reissner plates. J. Eng. Mech. Div., ASCE, 96, 1970, pp.967-983.

100. Pugh E.D.L., Hinton E., Zienkiewicz O.C., A study of quadrilateral plate bending elements with "reduced integration". Int. J. Num. Meth. Engng, 1978, Vol.12, No.7,pp.l059-1079.

101. Rao G.V. et al., A high precision triangular plate bending element for the analysis of thick plate. Nucl. Eng. Des., 1974, Vol.30, pp.408-412.

102. Robinson J., Four-node quadrilateral stress membrane element with rotational stiffness. Int. J. Num. Meth. Engng, 1980, Vol.15, pp.1567-1569.

103. Rossow M.P., Lee J.C., Chen K.C., Computer implementation of the constraint method. Comput. and Struct., 1976, Vol.6, pp.203-209.

104. Salerno V.L., Golgberg M.A., Effect of shear deformation on bending of rectangular plate. J. Appl. Mech., 1960, Vol.27.

105. Samuelsson A., Some aspects on non-conforming plate bending elements. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, No.1-2, pp.193-197.

106. Sander G., Applications of the dual analysis principle. Proc. UITAM Symp. on High Speed Computing of Elastic Structures (Edited by B.Fraeijs de Veubeke), University of Liege, Belgium, Aug. 1970, pp.23-28,167-207.

107. Semenov V.A., Semenov P.Yu., Hybrid finite elements for analysis of shell structures. Proc. International Congress ICSS-98, 22-26 June 1998, Moscow, Russia, Vol.1, pp.244-251.

108. Southwell R. V., On the analogues relating flexure and extantion of flat plates. Quart. J. Math. Appl. Mech. Ill, 1950, Part 3, pp.257-270.

109. Spilker R.L., Minur N.I., The hybrid-stress model for thin plates. Int. J. Num. Meth. Engng, 1980, Vol.15, No.8, pp.1239-1260.

110. Stricklin J.A., Haisler E.W., Tisdale P.R., Gunderson R., A rapidly converging triangular plate element. AIAA J., 1969, Vol.7, No.l, pp.180-181.

111. Sze K.Y., Chen Wanji, Cheung Y.K., An efficient quadrilateral plane element with drilling degrees of freedom using orthogonal stress modes. Comput. and Struct., 1992, Vol.42, No.5, pp.695-705.

112. Tang L.M., Chen W.J., Liu Y.X., Quasi-conforming element and generalized variational illegalities. Proc. Symp. on Finite Element Method, Science Press, Beijing, 1982, pp.353-369.

113. Tang L.M., Chen W.J., Liu Y.X., Formulation of quasi-conforming element and Hu-Washizu principle. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, pp.247-250.

114. Taylor R.L., Simo J.C., Bending and membrane elements for analysis of thick and thin shells. Proceedings of the NUMETA'85 Conference /Swansea/ 7-11 January 1985, pp.587-591.

115. Tocher J.L., Analysis of plate bending using triangular elements. Thesis presented in partial fulfillment of the requirements for the degree of Doctor of Philosophy, Department of Civil Engineering, University of California, Berkeley, 1962.

116. Tong P., New displacement hybrid finite element models for solid continua. Int. J. Num. Meth. Engng, 1970, Vol.2, No.l, pp.73-83.

117. Turner M.J., Clough R.W., Martin H.C., Topp L.J., Stiffiiess and deflection analysis of complex structures. J. Aero. Sci., 1956, Vol.23, pp.805-823.

118. Utku S., Stiffiiess matrices for thin triangular elements of non-zero Gaussian curvature. AIAA J., 1967, Vol.5, pp.1659-1667.

119. de Veubeke B.Fraeijs, Bending and stretching of plates - special models for upper and lower bounds. Proc. 1st Conf. on Matrix Meth. in Structural Mech., Ohio, Oct. 1965, pp.863-886.

120. de Veubeke B.Fraeijs, Sander G., An equilibrium model for plate bending. Int. J. Solids Structures, 1968, Vol.4, pp.447-468.

121. de Veubeke B.Fraeijs, Zienkiewicz O.C., Strain energy bounds in finite element analysis by slab analogy. J. Strain Anal., 1967, Vol.2, No.4, pp.265-271.

122. Visser W., A refined mixed type plate bending element. Am. Inst. Aeronaut, and Astronaut. J., 1969, Vol.7, No.9, pp.1801-1803.

123. Wang D.W., Katz I.N., Szabo B.A., Implementation of a C1 triangular element based on the p -version of the finite element method. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, No.3, pp.381-392.

124. Wang J.-G., Wang X.-X., Huang M.-K., A boundary integral equation formulation for the Reissner's plates resting on two-parameter foundation. Acta Mechanica Solida Sinica (English Edition), Jan. 1992, Vol.5, No.l, 85-98.

125. Washizu K., Variational Methods in Elasticity and plasticity. 2nd Edn. Pergamon Press, Oxford, 1975.

126. Ween F. Vander, Application of the boundary integral equation method to Reissner's plate model. Int. J. Num. Meth. Engng, 1982, Vol.18, pp. 1-10.

127. Wempner G.A., Oden J.T., Kross D.A., Finite element analysis of thin shells. J. Engng Mech. Div., ASCE, 94, EM6,1968, pp.1273-1293.

128. Wilson E.L., Taylor R.L., Doherty W.P., Ghaboussi J., Incompatible displacement models. In Numerical and Computer Method in Structural Mechanics (Ed. S.J.Fenves et al), Academic Press, New York, 1973.

129. Yoshida Y., Equivalent of finite elements of different bases. Proc. Advances in Comp. Methods in Structural Mechanics and Design (Eds Oden, Clough, Yamamoto), Univ. of Alabama Press, Huntsville, 1972, pp.133-149.

130. Yoshida Y., A hybrid stress element for thin shell analysis. Proc. Conf. on Finite Element Methods in Engineering, Univ. of South Wales, 1974.

131. Yoshida Y., Nomura T., On interelement boundary terms of the variational principles in finite element analysis. Comput. and Struct., 1984, Vol.19, No. 1-2, pp.291-301.

132. Yiinus S.M., Saigal S., Cook R.D., On improved hybrid finite elements with rotational degrees of freedom. Int. J. Num. Meth. Engng, 1989, Vol.28, pp.785800.

133. Zhen-yi J., An exact element method for the bending of nonhomogeneous Reissner's plate. Appl. Math, and Mech. (English Edition), Nov. 1991, Vol.12, No.ll, pp.85-98.

134. Zienkiewicz O.C., The Finite Element Method in Engineering Science. McGrraw-Hill, New York, 1977.

135. Zienkiewicz O.C., Hinton E., Reduced integration, function smoothing and non-conformity finite element analysis. J. Franklin Inst. 302 (5,6), 1976, pp.443461.

136. Zienkiewicz O.C., Taylor R.L., Too J.M., Reduced integration technique in analysis of plates and shells. Int. J. Num. Meth. Engng, 1971, Vol.3, No.2, pp.275290.