Гироскопическая стабилизация: случайная матрица гироскопических сил, оценки степени устойчивости тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.05, кандидат физико-математических наук Карапетян, Артем Александрович

• Карапетян, Артем Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Карапетян, Артем Александрович

Введение

Глава 1. Условия гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы гироскопических сил.

1.1. Задача об устойчивости при больших гироскопических силах

1.2. Случайная матрица гироскопических сил; четырехмерный случай

1.3. Применение ¡еории 11-статистик

Глава 2. Степень устойчивости и гироскопическая с табилизация

2.1. Степень устойчивости и индексы инерции

2.2. Сигнатуры частичных гамильтонианов, доказательство основной теоремы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Гироскопическая стабилизация: случайная матрица гироскопических сил, оценки степени устойчивости»

При рассмотрении -задачи устойчивости движения механической системы, линеаризованной в окрестности положения равновесия и находящейся иод дей( гвием гироскопических и потенциальных сил, исследование сводится к анализу дифференциального уравнения вида:

2г + аг + Яг = о, (1) где х € Я", матрицы <2 и Я - симметрические \ш рицы размера пхп (С— ф, Яг = Я), матрица положи!елыю определена, т е. скалярное произведение ((¿х^х) неотрицательно для любого а; € Я" и обращается в нуль лишь при х = 0, мафица С - кососиммефичсская матрица (С1 = -С) Точка означает дифференцирование по времени так что х скорое 1Ь системы, а х ее ус кореиие

В механике симметрическая матрица 0, определяет инерционные свойства системы, более точно, квадрашчная форма но скоростям (1/2)(фг, х) - кинетическая энергия сис 1емы. Симметрическая матрица Я задает потенциальную энергию (1/2)(Ях,х) Кососимметрическая матрица С в механике обычно называется матрицей гироскопических сил

Гироскопические силы появляются при переходе во вращающуюся сис I ему отсчета, при понижении порядка (истомы метдом Рауса, а 1акже при описании движения заряженных час нщ в магнитных нолях [19, 1|

Сис юму (1) можно привоем и к более простому виду. Воспользуемся хорошо известным результатом из линейной алюбры, согласно которому найдется матрица С ыкая, чю С1(^С = I (-здесь I - единичная матрица пхп) Тогда С1вС = Г = -ГС1ИС = Р = Р1. Сделав -замену х = Сг, получим дс-£ + ва + ясх = о.

Помножив слева на Сь и пореобозначив г через х, имеем: х + ГЛ-Рх^ 0. (2)

Слагаемое —называется гироскопической, а слагаемое -Рх -исменциальной силой, действующей на рассмафиваемую сис 1 ему с п еюненями свободы. Заметм, что вид системы (2) можно сделать еще более простым, добившись юю, чтобы мацшца потенциальных сил смала диагональной

Важнейшее свойс 1во гироскопических сил с остоит в том, что их наличие не влияет на сохранность полной энергии (т. е. на существование интеграла энергии) Из уравнения движения (2) получаем (х, х) + (Г\Ь, х) + (Рх, х) = 0 Заметим, что (х,х)' = 2(т,х), (Рх, г)' = 2(Рх,х), а (Гх,х) = (х,Г1х) = —(х,Гх),т е (Га;,ж) = 0 Отсюда получаем интеграл энергии1

1/2)(г, с) + (1/2)(Рх,х) = согЫ. (3)

Указанный интеграл cooineic inyei 1акже (истоме вида х + Рх = 0; (4) таким образом вклад гироскопических с ил в интеграл энергии равен нулю

Пример (сила Лоренца). Движение частицы массы га заряда е в -электромагнитном иоле описывается уравнением тпх = г(Е + [х, Н]), здесь Е - напряженноеib '-электрического поля, Н - напряженность магнитного поля. Сила, действующая на частицу, называется слой Лоренца Считаем магнитное поле Н постоянным. Тогда, согласно уравнениям Максвелла получаем, что rotE = 0, и поэтому напряженное i ь '-электрического поля можно представить в виде Е = -grad</?. Ясно, что положение равновесия заряда совпадае! с критической (стационарной) точкой потенциала </? Пусть, например, х — 0 - одно in равновесий Положим </? = (1/2)(Рх,х) -}-о(|г|2), Р = diag(cij,с/г,Записывая линеаризованное уравнение, получим систему вида rrix 1 = d\Т\ + хуII.i ~ ¿¿Н-2 m±2 = -d2 г2 ~ 3*1 Д] + -глН\ тхч = -djj-j + x\Il2 - i2 Я] или, что тоже самое гаг + Гх + Рх = 0,

1 0 -НА Н2 Х г =

Я} О -Я]

-я2 Я! о

Рассмотрим систему (4), которая соошстствует сис 1еме (2) в от су к гвие гироскопических сил

Напомним, что решение х(Ь) = 0 линейной системы, называемое положением равновесия, устойчиво в том и только том случае, если все его решения .г(/) ограничены Если же найдется хотя бы одно неограниченное решение, ю положение равновес ия будет неустойчивым.

Критерий усюйчивос 1и Ла1ранжа утверждает, чю положение равновесия сис юмы (4) ус юйчиво тогда и только тогда, когда квадратичная форма (1/2 )(Рх,.г) положительно определена Дос I а точное условие следует из вида интеграла энергии (3). Псу-ному для системы (2) справедливо следующее утверждение (достаточное условие устойчивости), если квадратичная форма ([/'2)(Рх,т) положительно определена, то решение :г(£) = 0 системы (2) также устойчиво.

Это утверждение можно понимать следующим образом. Если положение равновесия "исходной" системы (4) устойчиво, то при добавлении гироскопических сил - при рас смотрении "расширенной" сис1емы (2) -положение равновесия останется ус шйчивым Предположим п'иерь, что положение равновесия системы (4) неустойчиво Если при добавлении гироскопических сил положение равновесия станет устойчивым, ю говоря!,

41 о имеет мест гироскопическая стабилизация.

Офицательный индекс инерции квадрантной формы (1/2)(Рг/{) называется степенью неус юйчивос ш по Пуанкаре Для линейной с ис 1емы (4) ее степень неустойчивости но Пуанкаре равна в точное Iи количеиву вещественных положительных точек спек фа эюй системы (т е числу точек спектра, лежащих в правой комплексной полуплоскости)

Напомним, что при любом способе приведения произвольной квадратичной формы Етг]хгх] к сумме квадратов £Ьгу^ посредством невырожденной линейной замены переменных число г+ (соответственно г-) таких индексов г, что Ьг > 0 (соответственно Ьг < 0), остается неизменным и называется положительным (соотвепчвенно отрицательным) индексом инерции квадратичной формы Пара (г+,г~) называек-я сигнатурой эюй квадратичной формы. В дальнейшем для наглядности сигнатуру (г+,г~) будем заиисыват ь также1 в следующем виде.

4 V '4 V ' г * г~

Томсоном было отмечено следующее необходимое условие гироскопической стабилизации [10} Если сюпень неус юйчивос ги нечечна, то положение равновесия системы (2) будет неустойчивым для любой матрицы Г, т е гироскопическая стабилизация невозможна Если же степень неус юйчивости четна, то существует матрица Г, для которой положение равновесия соответствующей системы (2) устойчиво, т е. гироскопическая стабилизация возможна

Пусть Р < 0, г е мафица пененциальных сил Р енрицаюльно определил. Из теоремы Томсона следуст, чю при нечетных п положение равновесия системы (2) неус гойчиво, а при че!ных п положение равновесия этй сииемы может быть устойчиво (гироскопическая с ыбилпация возможна) Пус гь п четно В рабоых [16, 2| показано, чю если 4Р — Г2 < О, то положение равновесия сииемы (2) неустойчиво. С другой стороны, если РГ = ГР, то положение равновесия системы (2) устойчиво тогда и только тогда, когда 4Р - Г2 > 0 [20] За дальнейшими результаыми по теории устойчивости таких систем следует обрашшя к работе [3[

При изучении задачи о гироскопической стабилизации полезно рассмотреть случай, при котором гироскопические силы, действующие на сис1ему, очень велики Другими словами, мафица гироскопических сил преде гавима в виде ЛТ, где N числовой кенффицент, N » 1 Сразу ошешм, что если матрица потенциальных сил Р отрицательно определена, а размерность системы п четна, то при дос таточно больших N гироскопическая стабилизация заведомо имеет место [15, в].

Вернемся к рассмотренному выше примеру - движение заряда в электромагнитном поле Будем ("читать, что заряд единичной массы находится в посюянном бездивергентном электрическом иоле Е и сильном машитном поле Н Линеаризованное уравнение движения заряда имеет вид х + ЛТ1 + Рг = О, здесь х е 11®, матрица Р = (\\щ((1\,(1'21 <1Л) задает электрическое поле, + ¿2 + ¿з = 0 (это условие сч гь следствие условия сПу Е = 0) Магнитное иоле задается следующим образом направление Н - фиксированная точка на единичной сфере Б2 = {Н{ + + = 1}, а шпене ивнос 1Ь поля очень нелика |Н| = N 1. Таким образом ко( о< имме1рическая матрица Г, отвечающая направлению магнитного поля в фехмерном евклидовом пространстве, определяется компонеными веж юра Н = (#1,#2,#л)

Необходимое условие ги{)оскоиической смабилизации Томсона в данных условиях означает, чю среди компонент с/ьс^с/з две отрицательные и одна положи 1ельная, можно считать, что с/ьс/2 < 0, = -((1\ + (1г) > О В работе [10] показано, что если Е = (1\Щ + + > 0, то при больших значениях N равновесие заряда ус гойчиво, если же Е < 0, то равновесие неустойчиво В той же работе дается следующая вероятностная интерпретация этого результата. В евклидовом проем рано тве Я3 конус Е = 0 пересекает единичную сферу Я2 но двум овалам и делит ее на три области. При этом условию Е > 0 енвечают ючки из двух областей, содержащих полюсы сферы (0,0,±1) ОIношение суммы площадей этих двух областей к площади всей сферы Я2 есть вероятность гироскопической стабилизации неустойчивою равновесия заряда случайно выбранным сильным магнитным полем Эта вероятность зависит от компонент <1\,в,2,(1д и заключена между значениями 1 - З-1/2 и 0,423 и 1/2 В наемное ти, при случайном выборе направления сильного магнитною ноля более верояюн случай неустойчивого равновее ия заряда

В диссертации рассмафивается круг вопросов, связанных с дальнейшим исследованием задачи гироскопической стабилизации В главе I изучакпея подходы к оценке вероятности гироскопической стабилизации при случайном выборе матрицы 1 ироскогшчее ких сил Г Элементы матрицы Г полаыюкя независимыми бернуллиевскнми случайными величинами, принимающими [значения ±1 Матрица Р полагается приведенной к диа1 опальному виду (т е Р — О = - - -, г/Т1)), а ее элементы фикс ированны, кроме специально оговоренных случаев

Для случая п = 4 (п - размерное 1ь конфигурационном) проем ране тва -число степеней свободы) в указанных предположениях получено значение вероятности гироскопической стабилизации в зависимости от элементов матрицы Р, указаны условия иа элементы матрицы Р, при которых эы вероятность нетривиальна, т е отлична от нуля и единицы.

Для произвольного и — 2т (или п = '2т + 1) указаны т необходимых условий гироскопической стабилизации, причем первое условие й\---(1п > О есть условие Томсопа чечноети степени неустойчивости В указанных предположениях об элементах матрицы Г второе условие принимает вид

Е II> а (5)

1 <г<]<п иг(-\7

Если счшагь элементы (1\,.,йп матрицы Р независимыми одинаково распределенными случайными величинами, ю сумма, стоящая в левой чае ги неравенства (5), с 1анег и-статистикой Напомним, что и-етатие ¡икой (степени т < п) независимых одинаково распределенных случайных величин Х\,.,Хп называется выражение т/ 1<г,< <гт<п где Ф(ж1,.,жш) - симметрическая функция т переменных Гкнтму, применяя теорию и-статисмик [14], можно оценить вероятность выполнения условии (5), а значит, получить оценку сверху вероятности гироскопической с табилизации

В главе II обобщаекя понятие степени неус юйчивос ш по Пуанкаре на случай линейных гамильтоновых систем общего вида

Пус I ь г = (р\,. ,рп,Ц\,. ,(1п) £ Я2" - канонические переменные (набор импульсов и координат), а гамилыоииан имеет вид

Н=(\/2)(Вг,.г), (6) где В - симметрический линейный оператор Тогда канонические уравнения записываются в виде х = Ах, (7) где \ О -I

I7

В переменных р, ц уравнения (7) принимают привычный вид уравнений Гамильтона

ОН . он

Рк = Чк = 7Г" (!<«'< щ

Щк орк

Пусть А - невырожденный оператор |Л| ф 0 (это эквивалентно условию \В\ ф 0) Тогда собственные числа оператора А могу1 бьпь трех типов' вещественные нары ±а, чис го мнимые пары ±г6 и четверки ±а ± гЬ

Степенью неустойчивости и сиспчиы (7) будем называть количество корней характерис шчес кого уравнения оиераюра А, лежащих в правой полунлос кости, считая их кратноети, а степеныоус юйчивости а - количество пар чисто мнимых корней характеристического уравнения оператора А, с читая их кратное ти

В главе II ус ынавлпваекя связь между с обе I венными числами онера юра А и индексами инерции г+, г~ квадрашчной формы (6) Основной результат главы II с ос ывляет

Теорема. Справедливо неравенство г+ -г'\ < 21, где I - количество пар чисто мнимых собственных чисел оператора А с жордановыми клетками нечетного порядка Следствие. Имеет мес го неравенство - ¿~| < 2б.

Данный резулыат получен с помощью юории Вильяме она вещееIвенных нормальных форм линейных уравнений Гамилыона [23]. Эюг же меюд дает простое доказательство обобщенной теоремы Томсона и = г~ ню(1 2. (8)

Сравнение (8) ус ыновлено в работах [8, 17] Для сис ¡ем общею вида (когда Я < 0) обобщенная теорема Томсона (8) доказана в рабой» [9].

Полученные с осп ношения позволяют установить ряд важных фактов о возможности гироскопической стабилизации сисIем вида (2).

Теорема. При добавлении гироскопических сил степень усюйчивости с ис темы не уменьшаете я

В (вязи с этой теоремой укажем результат работы [5] Пусть мафица потенциальных сил Р потожителыто определена (Р > 0) При увеличении потенциальной -энергии си( темы (2), т е при замене матрицы Р на Р так, чю (1/2){Р-г, I') > (1/2)(Рг,х) для любых .г ф 0, все (об( iвенные ча(т01ы -ной (исюмы могут только возрасти Под собственной час ютой системы понимается модуль вещественною числа А, являющегося одним из корней уравнения |(zA)2/ + (гА)Г + Р\ = 0 (Эю уравнение имеет 2п дейс1ви1ельных корней, причем если А - корень, то —А 1акже корень этого уравнения Таким образом, система имеет ровно п собственных частот)

Теорема. Заменим матрицу Г в уравнении (2) на NT Пусть Р < 0, т е матрица по унциальных сил Р отрицательна определена Если п нечетно и rank Г = п — 1, то при N > iVo степень иеусюйчивости сис1емы (2) равна 1.

Как известно, при нечсчных п ма1рица Г вырождена и ее максимальный ранг может быть равен как раз п - 1. Таким образом (согласно теореме Томеона), гироскопическая стабилизация невозможна, однако, при подходящем выборе больших гироскопических сил, счеиень неустойчивости можно свести к ее минимально возможному значению Проблема устойчивости для ненулевых матриц гироскопических сил минимального ранга, равною двум, рассмотрена в работах [И, 18].

Ос новные результаты диссертации опубликованы в рабсмах

1 К задаче гироскопической стабилизации / Карапстян А А //Вест Моек Ун-та Сер 1. Мак'матка Механика 2005 N2.0.49-52

2 О степени устойчивости 1 Коыов В.В., Каратитяи А А. // Дифференциальные уравнения 2005 Т 41 N 2. С 186-192.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Карапетян, Артем Александрович, 2006 год

1. Арнольд В.И., Козлов D.D., Нсйштадт A.M. Магматические аспекты классической и небесной механики. М.: Эдиюриал УРСС. 2002

2. Болотин C.D., Козлов D.D. Об асимптотических решениях уравнений динамики // Вест МГУ Математика Механика. 1980. N 4 С. 84-89

3. DyAamoeuH P.M. Об устойчивости линейных по унциальных гироскопических сис тем в случаях, когда потенциальная энергия имеет максимум // Г1ММ 1997 Т 61 Вып 3 С 385-3894J Джури Э Инноры и устойчивость динамических систем. М. Наука 1979

4. Журавлев D Ф Обобщение теоремы Релея на гироскопические системы // ПММ 197G Т 40 Вып 4 С 606-610.

5. Карапетян A D. К вопросу о гироскопической стабилизации // Teor. i primen meh 1994 N 20 S 89-93

6. Карапетян A.D, Румянцев D.D. Устойчивость консервативных и диссипативных систем /1 Общая механика Т6 Итоги науки и техн. М ВИНИТИ 1983

7. Ко шов В.В. Линейные еис юмы с квадратичным интегралом " ПММ 1992 Т 56 Выи 6 С 900-906

8. Ко мое В. В. О степени неустойчивости // ПММ 1993 Т 57 Вып 5 С 14-19

9. Козлов В.В. О стабилизации неустойчивых равновесий зарядов сильными магнитными полями /1 ПММ 1997 Т 61 Вып 3 С 390-397

10. Ко мое В В. Гироскопическая с габшпиация и параметрический резонанс // ПММ. 2001 Т 65 Вып 5. С. 739-745

11. Козлов В.В. Линейные системы с квадратичным интегралом и симилектическая геометрия пространств Артина // ПММ 2004 Т. 68 Выи 3 С 371-383.

12. Козлов В В Офаничения квадратичных форм на лагранжевы плоскости, квадрашые матричные уравнения и гироскопическая стабилизация /' Функц анализ и его приложения 2005 Т 39 Вып 4 С 32-47

13. Королюк В С., Воровскт Ю.В Теория 11-е гаптстик. Киев Наук Думка 1989

14. Лагаданов В.М. О стабилизации потенциальных систем // ПММ 1975. Т 39 Вып 1 С 53-58

15. Пожарицкий Г К О неустановившемся движении консервативных голономных систем // ПММ 1956 Т 20 Вып. 3 С. 429-433.

16. Рубановский ВН. О бифуркации и у< тйчивосчи < гационарных движений в некоторых задачах динамики твердого тела // ПММ 1974 Т 38 Вып 4 С 616-627.

17. Сальникова ТВ Об у< юйчивости линейных по инициальных гироскопических систем 'ПММ 2006 Т 70 Вып 1. С 35-3919| Четаев Н.Р. У< юйчивос гь движения. Работы по аналитической механике М • Изд-во ЛИ СССР 1962

18. Нинеугп К., Hagedorn P., Teschner W. On the stability of linear conservative gyroscopic systems "ZAMP 1983 V 34 N6 P 807-815

19. Lancaster P., Tiwienetbky M. Inertia characteristics of self-adjoint matrix polynomials '' Linear Algebra and Appl 1983. V. 52 '53. P. 179-496.

20. Shkalikov A A Operator pent ils arising in elasticity and hydrodynamics, the instability index formula //Operator Theory Advances and Applications 1996 V 87 P. 358-385

21. Williamson J. On a algebraic problem, concerning the normal forms of linear dynamical systems// Amei J of Math. 1936 V 58 N 1 P 141-163

22. Wimmer H K. Inertia theorems for matrices, controllability, and linear variations // Linear Algebra and Appl 1974 V 8 P. 337-343.Работы автора по теме диссертации

23. Карапетяи А.А К задаче гироскопической стабилизации //Вест МоекУн-та Сер 1. Математика Механика 2005 N 2 С 49-52

24. Коыов В.В., Карапетяи A.A. О степени усюйчивоии // Дифференциальные ураннения 2005. Т 41 N2 С 186-192