Градуированные алгебры Ли характеристики 2 и их деформации тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Кондратьева Алиса Витальевна

• Кондратьева Алиса Витальевна
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Кондратьева Алиса Витальевна

§1 Ортогональные алгебры Ли

§2 Инвариантность стандартной фильтрации

§3 Теорема вложения для фильтрованных деформаций

§4 Построение неальтернирующей гамильтоновой формы для фильтрованной алгебры

§5 Простые неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли

Заключение

Литература

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Градуированные алгебры Ли характеристики 2 и их деформации»

Актуальность темы и степень ее разработанности

Диссертация посвящена исследованию градуированных неальтернирую-щих гамильтоновых алгебр Ли над совершенным полем характеристики 2 и их фильтрованных деформаций. Под фильтрованной деформацией градуированной алгебры Ли Ь понимается фильтрованная алгебра Ли для которой ассоциированная градуированная алгебра Ли изоморфна Ь.

К настоящему времени известна классификация простых конечномерных алгебр Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 3. В 1966 г. А. И. Кострикин и И. Р. Шафаревич [32, 33] сформулировали гипотезу, согласно которой простая ограниченная алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 5 либо является классической, либо изоморфна градуированной алгебре Ли картановского типа Ж, К (общие, специальные, гамильтоновы и контактные алгебры Ли). В 1988г. Р. Блок и Р. Вильсон [5] доказали эту гипотезу в случае р > 7. В 1991г. X. Штраде и Р. Вильсон анонсировали доказательство обобщенной гипотезы Кострикииа-Шафаревича без предположения ограниченности простой алгебры Ли также для р > 7, [ ]. В обобщенной гипотезе список алгебр Ли картановского типа включает фильтрованные алгебры. Классификация простых алгебр Ли в случаях р = 5 и р = 7 была получена в работах X. Штраде и А. Премета и изложена в монографии [21]-[23]. Согласно классификационной теореме простая алгебра Ли над алгебраически замкнутым полем характеристики р > 3 либо является классической алгеброй Ли, либо изоморфна алгебре Ли картановского типа или одной из алгебр Меликяна [ ] в случае, когда р = 5.

Классификация простых конечномерных алгебр Ли над полями малой характеристики р = 2, 3 остается открытой проблемой. Здесь построено много серий простых алгебр Ли, которые не являются ни классическими, ни алгебрами Ли картановского типа. Исключительные простые алгебры Ли характеристики 3

характеристики 2 можно найти в работах [7, 8, 10, 12, 19, 55]. При этом клас-

сические алгебры и алгебры Ли картановского типа играют важную роль при построении исключительных простых алгебр.

В 1993 г. Л. Лин [16] построил новые простые алгебры Ли над полем характеристики 2 - неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли, - которые аналогичны обычным гамильтоновым алгебрам, но соответствуют неальтер-нирующим дифференциальным формам. В работе Л. Лина они также реализуются на пространстве алгебры разделенных степеней от п неизвестных, но структура алгебры Ли задается простейшей симметричной скобкой Пуассона {1,9} = ^г1дг9- Там же показано, что в случае алгебры срезанных мно-

г

гочленов новые алгебры Ли изоморфны алгебрам из первой серии алгебр И. Капланского [12].

Неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли над полем характеристики

2

аналоги над полем нулевой характеристики. Неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли, построенные Л. Лин, также имеют аналоги в нулевой характеристике - конечномерные гамильтоновы супералгебры Ли Н(г) от п нечетных неизвестных. В работах Д. Лейтеса, А. Лебедева, С. Борроудж, П. Грозма-на, У. Н. Айер [6, 9, 15] рассматривались градуированные неальтернирующие

2

мильтоновым супералгебрам Ли Н(п,т) над полем нулевой характеристики с четными и нечетными неизвестными относительно стандартных (супер)скобок Пуассона. Был построен комплекс симметрических дифференциальных форм, введена структура разделенных степеней, проведен анализ некоторых градуированных алгебр Ли с точки зрения продолжений Картана ортогональных алгебр Ли. Принятое в диссертационной работе инвариантное определение комплекса симметрических дифференциальных форм и структуры разделенных степеней на нем принадлежит М. И. Кузнецову. Ему также принадлежит вычисление кольца когомодогий этого комплекса (см. [52]). Неадьтернирующая гамидьтонова алгебра Ли соответствует неадьтернирующей невырожденной замкнутой симметрической дифференциальной форме, также как обычная гамидьтонова алгебра Ли соответствует симпдектической форме, т.е. замкнутой невырожденной кососимметрической форме. Таким образом, неальтернирующие гамильтоновы алгебры расширяют класс гамильтоновых алгебр Ли в ха-

рактеристике 2.

В теории простых алгебр Ли над полями малой характеристики важную роль играет теория деформаций. В работах А. С. Джумадильдаева [29], А. Н. Рудакова [42], М. И. Кузнецова, Н. Г. Чебочко [35], Н. Г. Чебочко [47] исследовались общие деформации классических алгебр Ли над полями малой характеристики. В работах А. И. Кострикина, А. С. Джумадильдаева [13], А. С. Джумадильдаева [30], М. И. Кузнецова [14] рассматривались деформации алгебр Ли картановского типа. В [11] А. Н. Гришков, П. Зусманович и др. исследовали деформации полу простых алгебр Ли в связи с алгебрами С. М. Скрябина (см. [19]).

Качественное описание фильтрованных деформаций градуированных алгебр Ли картановского типа было получено в работах В. Г. Каца [31] и Р. Вильсона [26]. Позднее в работе С. А. Кириллова и М. И. Кузнецова [34] при некоторых ограничениях были найдены классы изоморфизма гамильтоновых алгебр Ли. Проблеме нахождения классов изоморфизма гамильтоновых алгебр Ли посвящена работа [2]. Общие вопросы применения техники усеченных коиндуци-рованных модулей над транзитивными алгебрами Ли для построения фильтрованных деформаций рассматривались в работе М. И. Кузнецова [38]. Полное решение проблемы описания классов изоморфизма фильтрованных деформаций градуированных алгебр Ли картановского типа получено в работах С. М. Скрябина [17, 18, 43, 44, 45]. В настоящей работе существенно используется техника, развитая С. М. Скрябиным для гамильтоновых алгебр Ли. Неальтерни-рующие гамильтоновы алгебры Ли, соответствующие формам с непостоянными коэффициентами, являются фильтрованными алгебрами. Поэтому естественно возникает задача нахождения всех фильтрованных деформаций градуированных неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли.

Цели и задачи работы

Основная цель работы состоит в развитии методов исследования алгебр Ли картановского типа на случай неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли. Главными задачами диссертации являются:

1. Классификация неальтернирующих симметрических билинейных форм

относительно флага над полем характеристики 2.

2. Классификация неальтернирующих гамильтоновых дифференциальных форм над алгеброй разделенных степеней.

3. Доказательство инвариантности максимальной подалгебры фильтрованной деформации градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли и теоремы о минимальном вложении фильтрованной деформации в общую алгебру Ли картаповского типа.

4. Реализация фильтрованных деформаций градуированных неальтернирующих алгебр Ли как неальтернирующих гамильтоновых алгебр, соответствующих формам с полиномиальными коэффициентами в разделенных степенях. Описание автоморфизмов и дифференцирований неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли.

5. Описание простых неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли.

Основные методы исследования

В диссертации используются классические методы теории алгебр Ли. При исследовании неальтернирующих гамильтоновых форм и соответствующих алгебр Ли используются методы, разработанные С. М. Скрябиным для симплек-тического случая.

Научная новизна

Все основные результаты диссертационной работы являются новыми и получены автором самостоятельно.

Положения, выносимые на защиту:

1. Канонический вид неальтернирующих симметрических билинейных форм относительно флага над полем характеристики 2.

2. Классификация неальтернирующих гамильтоновых дифференциальных форм над алгеброй разделенных степеней.

3. Доказательство инвариантности стандартной максимальной подалгебры фильтрованной деформации градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли (при некоторых ограничениях, когда число переменных равно 2 или 3).

4. Доказательство взаимно однозначного соответствия (с точностью до изоморфизма) между фильтрованными деформациями градуированных неаль-тернирующих гамильтоновых алгебр Ли и классами эквивалентности неаль-тернирующих гамильтоновых дифференциальных форм с полиномиальными коэффициентами в разделенных степенях (при некоторых ограничениях, когда число переменных равно 2, 3 или 4).

5. Описание автоморфизмов и дифференцирований неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли.

6. Описание простых неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли.

Публикации

Все основные результаты диссертационного исследования опубликованы в 4 статьях, из которых работы [49] [51] опубликованы в изданиях из перечня, рекомендованного ВАК, работа [48] в издании, входящем в международные реферативные базы цитирования Web of Science и Scopus.

Результаты работы [48] получены автором самостоятельно. В совместных работах [49] [51] соавтору (Кузнецов М.И.) принадлежит постановка задач. В работе [49] все основные теоремы доказаны автором. М.И. Кузнецову принадлежит определение дополнительных инвариантов неальтернирующих симметрических билинейных форм относительно флага. В работе [50] автором доказаны предложение 2, теорема 2, лемма 1 и утверждение 1 теоремы 3. В работе [51] автором доказаны все леммы, предложение 2.1 и предложение 2.3.

Апробация результатов

Результаты диссертационного исследования по мере их получения были доложены автором на следующих конференциях (см. [56] [76]) и семинарах:

1. Конференции:

— Международная конференция по алгебре, анализу и геометрии, Казань, КФУ, 2016.

— Международная конференция «Contemporary mathematics», приуроченная к 80-летию В. И. Арнольда, Москва, институт им. Стеклова, 2017.

— Международная конференция посвященная 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша, Москва, МГУ, 2018.

— Международная конференция «Topological methods in dynamics and related topics», Нижний Новгород, НИУ ВШЭ, 2019, 2023.

— Международная конференция посвященная 90-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ, Москва, МГУ, 2019.

— Международная конференция «Алгебра и математическая логика: теория и приложения», Казань, КФУ, 2019, 2024.

— Международная школа-конференция «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов», Москва, МГУ, 2020, 2023; Самара, Самарский университет, 2021.

— Международная конференция «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии»: Нижний Новгород, ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2021, 2022, 2023, 2024.

— Международная конференция «Лобачевские чтения», Казань, КФУ, 2022.

— V конференция математических центров России, Красноярск, СФУ, 2025.

2. Семинары:

— Семинар «Избранные вопросы алгебры» под руководством М. В. Зайцева, А. А. Михалева и И. А. Чубарова, Москва, МГУ, 2022.

Теоретическая и практическая ценность работы

Диссертация имеет теоретический характер. Полученные в работе результаты могут найти применение в теории модулярных алгебр Ли. А также могут быть использованы при написании учебных пособий и чтении спецкурсов по теории алгебр Ли.

Структура и объем диссертации

Диссертация состоит из введения, трех глав, разбитых на параграфы, заключения и списка литературы, содержащего 76 наименований, включая список

работ, опубликованных автором по теме диссертации. Общий объем диссертации 107 страниц.

Краткое содержание работы

В работе предполагается, что основное поле К - совершенное поле характеристики р = 2. Глава содержит основные определения. В даются определения алгебр разделенных степеней 0(Е), ) и алгебр Ли W(Е), W) специальных дифференцирований алгебр 0(Е), ), соответственно. Здесь Е - векторное пространство над полем К с базис ом {х1,...,хп}, &: Е = Е0 Э Е1 Э ... Э Ег Э Ег+\ = {0} - флаг пространства Е. Максимальный идеал ) обозначается через ш. Подробнее данные алгебры изучаются в работе [33].

В строится комплекс симметрических дифференциальных форм 3).

Пусть Я = ), W = W), 5^) = ф Зг^) - симметрическая ал-

0

гебра Д-модуля которая имеет естественную структуру алгебры Хопфа, ЗПГ(&) = Бг)* = Нотп(Бг),Я), ) = Б)* = 0 ^)* ^

алгебра, двойственная к Б). Алгебра Б) имеет естественную структуру алгебры разделенных степеней и изоморфна алгебре симметрических Я-иолилинейных отображений на Ж со значениями в Я. Внешний дифференциал й: Б) — Б) определяется так же, как и для обычных (кососиммет-рических) дифференциальных форм. При этом комплекс кососимметрических дифференциальных форм ) является подкомплексом комплекса Б). Описание Н*(30.(&)) приведено в теореме

В §3 строятся неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли. Симметрическая 2-форма ш € Б) называется неальтернирующей гамильтоповой формой, если ¡^невырожденная, замкнутая и = 0 для некоторого

п

И € W ). Форм а ш € ) имеет в ид ш = ^ шц((1х)2 + ^ dxidxj,

г=1 \<з

где Шц € ). Согласно лемме , если (1ш = 0, то шц € К, ) € К.

Изоморфизм а: ) — ') называется допустимым, если для г ^ 0, / € ш выполняется /(г) € ) тогда и только тогда, когда (а/)(г) € '), и,

если это условие выполнено, то (о~/)(г^ = а(/(г^). Допустимый изоморфизм а продолжается до изоморфизма комплексов 5) — ЯФормы и и ш' над ) и 0(&'), соответственно, называются эквивалентными, если

существует допустимый изоморфизм а такой, что аш = и!. Пусть ¡х> (0) - редукция формы ы по модулю ш. Форм а ¡х> (0) является билинейной формой на пространстве V = W/= (д\,... ,дп). Через ы(0) обозначается двойственная к ы(0) форма па пространстве Е = (х\,...,хп) = V*, через Е° - подпространство всех изотропных относительно ¡х>(0) векторов. Пусть Р(&,ш) -алгебра Ли гамильтоновых векторных полей, соответствующих неальтерниру-ющей гамильтоиовой форме ы, ,ш) = {И € W) | Иш = 0}. При

этом, И = Df = йг]д^где - элементы обратной матрицы формы

ьз

/ € ) = ) + (х\ , г = 1,..., п). Алгебра Ли Р(&,ш) изоморфна алгебре )/К со скобкой Пуассона {/,д} = ^2 дг!д]д. В дальнейшем

будем отождествлять и /.Пусть Р ,ш) = )/К со скобкой Пуассона. Алгебру Ли & будем называть неальтернирующей гамильтоиовой алгеброй Ли, если Р,и)(1) С & С Р(&,ш).

В §4 содержатся необходимые сведения об усеченных коиндуцированных модулях (см. [3, 38, 39]).

Глава 2 посвящена исследованию неальтернирующих гамильтоновых дифференциальных форм. В §1 рассматриваются неальтернирующие симметрические билинейные формы на векторном пространстве У. Пусть : 0 = У0 С С ... С = V - флаг пространства У7Ь невырожденная неальтернирующая симметрическая билинейная форма

на

У, У0 пространство изотропных векторов относительно формы Две тройки (V, , Ь) и (V', ', Ь') называются эквивалентными, если существует линейный изоморфизм V — V, переводящий флаг в а форму Ь в Ь'. В работе [ ] С. М. Скрябин построил систему инвариантов пдг тройки (V, , Ь). Пусть = Vi П Фдг = Удг/{Уч,г+\ + Уц-\,г)• Тогда пдг = dimФ(?r, для д,г ^ 1. Согласно [ ] система инвариантов {пдг, д,г ^ 1} является полной для симплектической формы. Для неальтернирующих форм инварианты пдг дополняются инвариантами п^. Пусть Ф0Г - образ канонической проекции Удг П V0 в Фдг и = dimФ(?r — dimФ0r. Основной теоремой данного параграфа является теорема 2.1, где представлен вид, к которому можно привести билинейную невырожденную неальтернирующую симметрическую форму, и доказано, что набор {пдг,п^г, д,г ^ 1} является полной системой инвариантов тройки (V, , Ь). Вид формы, получаемый с помощью данной тео-

ремы, считаем каноническим в случае Е1 С Е0. Предложение 2.1 является частным случаем теоремы , если Е1 с Е0, и следствие предоставляет канонический вид формы в случае Е1 с ЕВ теореме сформулированы результаты теоремы для двойственной формы Ь* на иространстве Е = V*. В конце параграфа находятся примеры приведения форм к каноническому виду.

В изучаются неальтернирующие гамильтоновы формы над ). В общем случае дифференциальная форма и € Б О2 представляет собой сумму и = и(0)+ с!ф + где ф € ш^бО1, ^ € {¿хк). Здесь = 1 \ Цель данного параграфа - с помощью допустимых преобразований алгебры ), не меняющих ы(0), получить эквивалентную форму и/ простейшего вида. Под формой простейшего вида будем понимать форму и/ = ¡х>(0) + г]\ где г]' € {(1хк<Лгг) и г]' имеет наименьшее количество слагаемых относительно базиса {с12к(1хг}. Считаем, что ¡х>(0) имеет канонический вид. Вводятся две подгруппы группы С допустимых автоморфизмов алгебры ). Подгруппа О состоит из автоморфизмов а таких, что а/ — / € ш2 для всех / € ), а подгруппа С - из автоморфизмов а таких, что а/ — / € ш3 для вс ех / € ). Строится фильтрация С^ = {а € С | а/ — / € ш^'+к) У/ € ш(к\ к ^ 0} в Си, аналогично, фильтрации С^ и С- в Си С, соответственно. В предложении описаны действия подгрупп Си С в Н 2 (Б О). В предложении указана связь автоморфизма а1 € С- (а2 € С-) с дифференцированием И1 € д^ (02 € $'■). Здесь д^ = (ш2 П ш^'+^Ж), д" = (ш3 П ). Отметим, что поскольку С"

действует тривиально на когомологический класс дифференциальной формы ы, то удобнее работать с ф € ш3БО1, а, значит, необходимо перейти от формы ш к сопряженной относительно С форме ш' = ¡х>(0) + Аф' + ц', где ф' € ш^БО1. В лемме указан вид одночленов ф / ш3^О1. В лемме и следствии описано действие автоморфизма а € С'^ на форму и € БО2. В теореме найдена орбита неальтернирующей гамильтоновой формы ш € 5О!2 относительно ] ^ 2. Доказательство основано на лемме и предложении , в которых описан процесс перехода от формы ш = ш(0) + йф + оде ф € ш^+1)5О1, к сопряженной относительно С форме ш' = ш(0)+бф'где ф' € ш(+2^ЗО1. Здесь гп^') = П ш3. Далее рассматривается случай Е1 С Е0. В теореме 2.5 найдена орбита неальтернирующей гамильтоновой формы ш € БО относительно С, ] ^ 1, при ус лов ии Е1 С Е0. Доказательство основано на предложениях 2.6

и , в которых описан процесс перехода от формы ш = ¡х> (0) + йф + где 'ф € ш^+^бП1, к сопряженной относительно С форме ш' = ¡х>(0) + йф' + г]\ где ф' € т^+^бП1 и в меньше слагаемых относительно базиса {йхкб,хг}. Согласно теореме 2.6, если Е1 С Е°, то ш сопряжена относительно С форме ¡х>(0).

В рассматривается случай, когда Е1 С Е0 и кроме допустимых автоморфизмов алгебры ) используются допустимые линейные изоморфизмы ) и ') (см. лемму ). В предложении показано, что форма ш = ш(0) + йф + оде ф € ш^'сопряжена относительно С форме ш' = ¡х> (0) + + г/', оде ф' € шП1. При этом доказывается, что в некоторых случаях г/ = ц (предложение 2.9). В теореме 2.7 найдены простейшие виды неальтернирующих гамильтоповых форм ш € БП2 относительно действия группы С. В предложении описано действие автоморфизмов а € С^ а € на форму ш. Теорема показывает, каким формам может быть сопряжена ш € БП2 относительно действия группы С. Здесь Шк = ы(0) + Ах^Ах^ оде й = п, если п нечетно, в = п — 1, если п четно, и к = в. Согласно лемме 2.12 для любого автоморфизма а € С1 ) выполняется ) = шг. Далее рассматриваются допустимые изоморфизмы. В теореме доказывается, что формы и^ эквивалентны между собой и неэквивалентны шп в случае четного п. В теореме 2.10 приведены представители классов эквивалентности неальтернирующих гамильтоповых форм ш € БП2 при условии Е1 С Е

В главе 3 исследуются фильтрованные деформации градуированных неальтернирующих гамильтоповых алгебр Ли. В §1 рассматриваются ортогональные алгебры Ли о(V). Отметим, что подалгебра Ь0 градуированной неальтернирую-щей гамильтоновой алгебры Ли Ь является подалгеброй ортогональной алгебры Ли о(Ь—1), содержащей о(Ь—1)(1\ В теореме 3.1 описаны свойства подалгебр С в о(V), о(V)(1) С С. В предложении доказана тривиальность групп когомо-логпй Н1(С,У) и Н0(С,Б3(У)*).

В §2 доказывается, что для фильтрованной деформации градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли подалгебра & инвариантна. Для этого также, как в работе С. М. Скрябина [45], вводится некоторое инвариантное множество ) со свойств ом С ) С (см. лемму ). В теореме доказывается, что при п > 4 ми п = 4, Е1 С Е0, ил и п = 3, 2, Е = Е17 подалгебра является единственной подалгеброй наименьшей ко-

размерности среди всех подалгебр алгебры Ли содержат,их ), но не содержащих ненулевых идеалов алгебры ^. Доказательство теоремы основано на подсчете коразмерности нормализатора собственного ненулевого подпространства векторного пространства V в ортогональной алгебре о(V) или в о(У)(1) (см. лемму ).

В §3 находятся условия, при которых фильтрованную деформацию градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли можно вложить в общую алгебру Ли W), где & - тот же флаг, что и у градуированной алгебры. Для этого доказывается, что для фильтрованной деформации градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли выполняются условия общей теоремы о вложении фильтрованных деформаций. Из трех условий теоремы о вложении два следуют из ранее доказанных утверждений, а последнее доказывается в предложении 3.3 с помощью вычислений, проведенных в предложении 3.2. Результаты сформулированы в теореме 3.4.

В §4 строится неальтернирующая гамильтонова форма для фильтрованной деформации градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли. Для этого используются методы, разработанные С. М. Скрябиным для случая алгебр Ли картановского типа ([45]). В частности, определяются дифференциальные формы со значениями в модуле коэффициентов де Рама. Доказывается одна из основных теорем диссертационной работы, теорема 3.7, согласно которой фильтрованная деформация градуированной неальтернирующей гамильтоновой алгебры Ли изоморфна алгебре такой что Р, ш)(1) С ^ С , и), где форма ш имеет полиномиальные коэффициенты и определена однозначно, с точностью до эквивалентности.

§5 содержит описание простых неальтернирующих гамильтоновых алгебры Ли. В теореме доказано, что алгебры Ли Рявляются простыми, найдены их размерности.

Автор выражает глубокую признательность научному руководителю, д.ф.-м.н., профессору Кузнецову Михаилу Ивановичу за поддержку, внимание к работе и ценные указания.

Глава 1

Основные определения

§1. Алгебра разделенных степеней

Всюду предполагаем, что основное поле К - совершенное поле характеристики 2.

Пусть Д - коммутативная алгебра над полем К7 Е - свободный Д-модуль ранга п. Коммутативная Д-алгебра разделенных степеней 0(Е) задается образующими и(г\ и € Е^г € Ж, г ^ 0 и соотношениями (см. например [ ]).

и(0) = 1, и(1) = и, (аи)(г) = аги(г), а € Я,

и(г)и(8) = (Г + Л^, (1-1)

Г

г

(щ + щ)(г) = £ и^и^

1=0

Пусть {х1,..., хп} - базис Е над Д. Элементы х(а) = х^1 • ... • х^п\ где а = (а1,... ,ап), а,, € Ж, ^ 0, образуют базис 0(Е) над Я. Из ( ) следует,

х(а) • х{¡3) = ^ + .

Алгебра 0(Е) с фиксированным базисом {х(а^} обозначается через О(п). Алгебра 0(Е) имеет стандартную градуировку

0(Е) = 0 Ог, Ог = (х(а), Н = «1 + ... + = г)

г^-0

и фильтрацию 0(Е= ф О^. Стандартная градуировка и фильтрация не

з

зависят от базиса {х^} модул я Е. Пуст ь ш = 0(Е Пополнен не 0(Е) по системе идеалов {ш(г) = 0(Е)(¡)} обозначается через 0(Е).

Пусть Я = К, ^: Е = Е0 2 Е1 2 ... 2 Ег э Ег+1 = {0} - флаг пространства Е. Бази с {х1,... ,хп} в Е называется согласованным с флагом

если [х^^,... ,хп} П Е3 - базис Е^ Через ) обозначается подалгебра в 0(Е), порожденная элементами и(р1 \ и Ф Е^ ] = 0,... ,г. Поскольку т -максимальный идеал 0(Е), то тП) - максимальный идеал ), который обозначается через т(&).

Если [х1,..., хп} - бази с ^согласованный с ф лагом то элемен ты х(а\ а = (а1,... ,ап), 0 ^ а, < рт1 образуют базис ). Здесь т, - высота переменной х,, т, = тт[5 | х, ф Е3}. Алгебра ) с таким базисом обозначается через 0(п,т), т = (т1,..., тп).

Дифференцирование И алгебры 0(Е) называется специальным, если

Ои(г) = и(г-1)Ви, и Ф Е.

Алгебра Ли всех специальных дифференцирований алгебры 0(Е) обозначается через W(Е). Через W) (соотв. W(п,т)) обозначается подалгебра Ли в W(Е), состоящая из всех специальных дифференцирований, сохраняющих подалгебру ) (соотв. 0(п,т)). Пусть г, = (0,..., 1,..., 0). Частные производные дг) дгх(а = х(а-£^, образуют базис свободного )-модуля №). Стандартная градуировка (соотв. фильтрация) алгебры 0(Е) индуцирует стандартную градуировку (соотв. фильтрацию) алгебр W(Е) и W),

№(&)щ = (х(а)д3, Н = г + 1,3 = 1,...,п), х(а) ф 0(&), №(&)г = (х(а)д3, Н > г + 1, 3 = 1,...,п),

аналогично для W (Е).

Определение 1.1. Изоморфизм алгебр а: ) ь 0(&') называется допустимым, если для г > 0 I Ф т выполнявтся ф ) тогда и только тогда, когда (а/)(г) Ф и если это условие выполнено, то (а/)(г) = а(/(г)).

Данное определение равносильно тому, что формула И ь а о И о а-1 задает изоморфизм W) на W(&')([]). Более подробно алгебры ), 0(п,т), W), W(п,т) рассматриваются в работах [ , , ].

§2. Симметрические дифференциальные формы

Пусть Я = 0(&), W = W) ^ Я-модуль, 5^) = 0 ) - симметрическая алгебра Д-модуля рассматриваемая как биалгебра над Я с

копроизведением

А: 5^) ^ 5^) ®к Б^), А(Б) = В 0 1 + 1 0 И,

где И € и коединицей е(О) = 0 Е € W.

Двойственная алгебра Б (Ж )* = ф Б1^ )* обладает умножением

г^-0

= (^ 0 п)г) о А,

где п)г € ^)*, ^ € Б1^)*.

Также рассмотрим алгебру симметрических полилинейных функций на W со значениями в Л с умножением

(Dl,..., Б^г) = ^ шt(Da(l),..., Ва(г))шг(Da(t+l),..., Da(t+r)),

а

где шг: 1№г ^ Я7 (¿г: ^ Ли суммирование берется по всем подстановкам а € таким, что а(1) < ... < а(¿), + 1) < ... < + г). Здесь

= № х^^х №.

4-V-'

Поставим в соответствие симметрическому полилинейному отображению шг: ^ Я линейное отображение ,шг € (Ж)* = Ноше(8г(Ж),Я) по правилу

иг (И1, ...,БГ) = -Шг^ (И1 • ... • Вг). (1.2)

Замечание 1.1. 1. Пусть алгебра А(Ж)* - двойственная к внешней алгебре А(Ж) = фАг(Ж) Д-модуля Ш. Тогда А(Ж)* изоморфна алгебре кососиммет-

рических полилинейных функций на Ж со значениями в Я (см. напр [ ]) и изоморфизм задается соотношением ( ), где шг: ^ Я - кососимметриче-ское полилинейное отображение, и)г € Л (Ш)*.

2. В характеристике 2 кососимметрические отображения содержатся в множестве симметрических отображений и А(Ж)* содержится в алгебре Б(Ж)*.

Для к € Ж, к> 0, и € ^(Ж)* = W* = Нотн(№,Я) = ), где П1(^)

- Д-модуль дифференциальных 1-форм, определим ш(к по правилу

и(0) = 1, ^(А, ...,Ок) = • ... • ш(Бк). (1.3)

Пусть [д1,..., дп} - базис алгебры [йх1,..., бхп} - двойственный базис модуля W*. Тогда [(¿х)(а^, а = (а1,... ,ап),а, > 0} - базис алгебры 5(Ш^)*7 двойственный базису [да, а = (а-^,... ,ап),а, > 0} в 5(Ш^). Здесь (йх)(а) = = (йх1)(а)... (ё,хп)(а) и да = да ...

Из замечания 1.1 следует, что сопоставление (1.2) сохраняет произведение. Таким образом, для доказательства того, что (1.2) является изоморфизмом достаточно проверить, что ^((д,х)к) = (^(¿х,))^ для любого г. Здесь отображение у задает сопоставление ( ). Действительно, если (^)(к) ф Бк^)*

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Кондратьева Алиса Витальевна, 2026 год

Литература

[1] Albert, A. A. Symmetric and alternate matrices in an arbitrary field. I // Trans. Amer. Math. Soc. - 1938. - V. 43. ..V" 3. P. 386-436.

[2] Benkart, G. M., Gregory, T. B., Osborn, J. M., Wilson, R. L. Isomorphism classes of Hamiltonian Lie algebras j j Lecture Notes in Math. - 1989. - V. 1373. - P. 42-57.

[3] Blattner, R. J. Induced and produced representations of Lie algebras // Trans. Amer. Math. Soc. - 1969. - V. 144. - P. 421-449.

[4] Block, R. E. New simple Lie algebras of prime characteristic j j Trans. Amer. Math. Soc. - 1958. - V. 89. - P. 457-474.

[5] Block, R. E., Wilson, R. L. Classification of restricted simple Lie algebras j j J. Algebra. - 1988. - V. 114. - P. 115-259.

[6] Bouarrouj, S., Grozman, P., Lebedev, A., Leites, D. Divided power (co)homology. Presentation of simple finite dimensional modular superalgebras with Cartan matrix j j Homology, Homotopy Appl. - 2010. - V. 12. 1. P. 237-248.

[7] Brown, G. Families of simple Lie algebras of characteristic two // Commun. Algebra. - 1995. - V. 23. - P. 941-954.

[8] Cushing, D., Stagg, G. W., Stewart, D. I. A Prolog assisted search for new simple Lie algebras // Math. Comp. - 2024. - V. 93. - P. 1473-1495.

[9] Iyer U. N., Lebedev, A., Leites, D. Prolongs of (Ortho-)Orthogonal Lie (Super) Algebras in Characteristic 2 j j Journal of Nonlinear Mathematical Physics. - 2010. - V. 17. ..V" 1. P. 253-309.

[10] Grishkov, A. N., Guerreiro, M. New simple Lie algebras over fields of characteristic 2 // Resenhas IMS-USP. - 2004. V. 6. № 2/3. - P. 215-231.

[11] Grishkov, A. N., Guzzo, Jr. H., Rasskazova, M., Zusmanovich, P. On simple 15-dimensional Lie algebras of characteristic 2 // J. Algebra. - 2022. - V. 593.

- P. 295-318.

[12] Kaplansky, I. Some simple Lie algebras of characteristic 2 // Lecture Notes in Math. - 1982. - V. 933. - P. 127-129.

[13] Kostrikin, A. I., DzhumadiPdaev, A. S. Modular Lie Algebras: New Trends // Algebra, ed. Bahturin Y., Walter de Gruyter and Co. - 2000. - P. 181-203.

[14] Kuznetsov, M. I. On Lie algebras of contact type j j Commun. Algebra. - 1990.

- V. 18. P. 2943-3013.

[15] Lebedev, A. Analogs of the orthogonal, Hamiltonian, Poisson, and contact Lie superalgebras in characteristic 2 // J. Nonlinear Math. Phys. - 2010. - V. 17.

- P. 217-251.

[16] Lin Lei Non-alternating hamiltonian algebra P (n}m) of characteristic two j j Communications in Algebra. - 1993. - V. 21. - № 2. - P. 399-411.

[17] Skryabin, S. M. Modular Lie algebras over algebraically nonclosed fields. I // Commun. Algebra. - 1991. - V. 19. - P. 1629-1741.

[18] Skryabin, S. M. An algebraic approach to the Lie algebras of Cartan type j j Commun. Algebra. - 1993. - V. 21. - P. 1229-1336.

[19] Skryabin, S. M. Toral rank one simple Lie algebras of low characteristics // J. Algebra. - 2001. - V. 243. - P. 650-700.

[20] Strade, H., Farnsteiner, R. Modular Lie Algebras and Their Representations. -New York and Basel: Marcel Dekker, 1988. - 312 p.

[21] Strade, H. Simple Lie algebras over fields of positive characteristic. I: Structure theory. - Berlin: de Gruyter Expositions in Math., 2004. - V. 38. - 540 p.

[22] Strade, H. Simple Lie algebras over fields of positive characteristic. II: Classifying the absolute toral rank two case. - Berlin: de Gruyter Expositions in Math., 2009. - V. 42. - 385 p.

[23] Strade, H. Simple Lie algebras over fields of positive characteristic. Ill: Completion of the classification. - Berlin: de Gruyter Expositions in Math., 2013. - V. 57. - 239 p.

[24] Strade, H., Wilson, R. L. Classification of simple Lie algebras over algebraically closed fields of prime characteristic // Bull. Amer. Math. Soc. - 1991. - V. 24.

- P. 357-362.

[25] Wilson, R. L. Classification of generalized Witt algebras over algebraically closed fields // Trans. Amer. Math. Soc. - 1971. - V. 153. - P. 191-210.

[26] Wilson, R. L. A structural characterization of the simple Lie algebras of generalized Cartan type over fields of prime characteristic / / J. Algebra. - 1976.

- V. 40. P. 418-465.

[27] Гишарде, А. Когомологии топологических групп и алгебр Ли. - М.: Мир, 1984. - 258 с.

[28] Джекобсон, Н. Алгебры Ли. - М.: Мир, 1964. - 355 с.

[29] Джумадильдаев, А. С. К деформациям классических алгебр Ли // УМН -1976. - Т. 31. Л" 3. С. 211-212.

[30] Джумадильдаев, А. С. Деформации алгебр Ли Wn(т) // Матем. сб. - 1989.

- Т. 180. - № 2. - С. 168-186.

[31] Кац, В. Г. Описание фильтрованных алгебр Ли, с которыми ассоциированы градуированные алгебры Ли картановского типа // Изв. АН СССР. Сер.матем. - 1974. - Т. 38. - № 4. - С. 800-834.

Ли // Докл. АН СССР. - 1966. - Т. 168. - С. 740-742.

[33] Кострикин, А. И., Шафаревич, И. Р. Градуированные алгебры Ли конечной характеристики j / Изв. АН СССР. Сер.матем. - 1969. - Т. 33. - № 2. - С. 251-322.

[34] Кузнецов, М. И., Кириллов, С. А. Гамилътоновы дифференциальные формы над алгеброй срезанных многочленов j j УМН. - 1986. - Т. 41. - С. 197-198.

[35] Кузнецов, М. И., Чебочко, Н. Г. Деформации классических алгебр Ли j j Матем. сб. - 2000. - Т. 191. - № 8. - С. 69-88.

[36] Кузнецов, М. И. Модулярные простые алгебры Ли с разрешимой максимальной подалгеброй j / Матем. сб. - 1976. - Т. 143. - № 1. - С. 77-86.

[37] Кузнецов, М. И. Распределения над алгеброй срезанных многочленов // Матем. сб. - 1988. - Т. 136:2. Л" 6. С. 187-205.

[38] Кузнецов, М. И. Усеченные индуцированные модули над транзитивными алгебрами Ли характеристики р / / Изв. АН СССР. Сер.матем. - 1989. -Т. 53. Л" 3. С. 557-589.

[39] Кузнецов, М. И. Теорем,а вложения для транзитивных фильтрованных алгебр Ли характеристики р // Изв. вузов. Матем. - 1991. - Т. 10. - С. 43-45.

[40] Крылюк, Я. С. О неприводимых модулях алгебр Ли картановского типа в конечной характеристике. I, II, III. - деп. ВИНИТИ, 1978. - 3863-78, 386478, 3865-78.

[41] Меликян, Г. М. Простые алгебры Ли в характеристике 5 // УМН. - 1980. - Т. 35. - С. 203-204.

[42] Рудаков, А. Н. Деформации простых алгебр Ли // Известия Академии наук СССР. Сер. Матем. - 1971. - Т. 35. - С. 1113-1119.

[43] Скрябин, С. М. Канонический вид гамильтоновых и контактных форм над алгебрами разделенных степеней. - деп. ВИНИТИ, 1986. - 8594-В86.

[44] Скрябин, С. М. Классификация гамильтоновых форм, над алгебрами разделенных степеней, j j Матем.сб. - 1990. - Т. 181. Л'° 1. С. 114-133.

[45] Скрябин, С. М. Формы алгебр Ли картановского типа. - Lambert Academic Publishing, 2015. - ISBN-13: 978-3-659-76486-8, ISBN-10: 3659764868.

[46] Ходж, В., Пидо, Д. Методы алгебраической геометрии. - М.: Изд. иностранной литературы, 1954. Т. 1. 461 с.

[47] Чебочко, Н. Г. Деформации классических алгебр Ли с однородной системой корней в характеристике 2. I // Матем. сб. - 2005. - Т. 196. - С. 125-156.

Работы автора по теме диссертации

[48] Kondrateva, А. V. Non-alternating Hamiltonian Lie algebras in three variables / A. V. Kondrateva // Lobachevskii Journal of Mathematics. - 2021. - V. 42.

- № 12. - P. 2841-2853.

Журнал индексируется РИНЦ, Scopus, Wos. IF SJE: 0.378, IF WoS: 0.700.

[49] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы формы над алгеброй разделенных степеней в характеристике 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Изв. вузов. Матем. - 2023. - Т. 6. - С. 95-100.; English translation: Russian Mathematics (Iz. VUZ) - 2023. - V. 67. ..V" 6. P. 82-87.

Журнал индексируется РИНЦ, Scopus, Wos. IF SJE: 0.457, IF WoS: 0.500.

[50] Кондратьева, А. В. Фильтрованные деформации градуированных неаль-тернирующих гамильтоновых алгебр Ли / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Изв. вузов. Матем. - 2024. - Т. 9. - С. 100-105; English translation: Russian Mathematics (Iz. VUZ) - 2024. - V. 68. ..V" 9. P. 86-90.

Журнал индексируется РИНЦ, Scopus, Wos. IF SJE: 0.512, IF WoS: 0.600.

[51] Кондратьева, А. В. К теореме вложения фильтрованных деформаций градуированных неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Журнал Средневолжского мат. общества. -2024. - Т. 26. - № 4. - С. 392-403.

Журнал индексируется РИНЦ, Scopus. IF SJE: 0.212.

Прочие публикации автора

[52] Кондратьева, А. В. О гамильтоновых алгебрах Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов, И. Г. Чебочко // Матем. журнал. - 2016.

- Т. 16. - № 2. - С. 54-65.

[53] Kondrateva, A. V. Simple 14-dimensional Lie algebras in characteristic two / A. V. Kondrateva, M. I. Kuznetsov, N. G. Chebochko // J. Math. Sciences. -2019. - V. 240. - P. 474-480.

[54] Kondrateva, A. V. New simple Lie algebras found by computer and non-alternating Hamiltonian algebras / A. V. Kondrateva, M. I. Kuznetsov // Communications in Computer and Information Science. - 2025. - V. 2363. - P. 185-197.

[55] Кондратьева, А. В. Фундаментальные представления ортогональной алгебры Ли и новые простые подалгебры неальтернируюгцих гамильтоновых алгебр Ли / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Журнал Средневолж-ского мат. общества. - 2025. - Т. 27. Л'° 1. С. 25-33.

Тезисы докладов на конференциях

[56] Кондратьева, А. В. Неальтернируюгцие гамильтоновы алгебры Ли характеристики 2 с невырожденным дифференцированием / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов, Н. Г. Чебочко // Материалы международной конференции по алгебре, анализу и геометрии. Казань: Казанский университет, 2016. -С. 212-213.

[57] Кондратьева, А. В. Hamiltonian Lie (super)algebras in characteristic two and related topics (deformations of Lie algebras, non-degenerate derivations and p-groups) / А. В. Кондратьева, M. И. Кузнецов, H. Г. Чебочко // Материалы международной конференции «Contemporary mathematics», приуроченной к 80-летию В. И. Арнольда. Москва: Математический институт им. В. А. Стеклова, 2017. - С. 23-24.

[58] Кондратьева, А. В. Generalized Hamiltonian Lie algebras in characteristic two / А. В. Кондратьева, M. И. Кузнецов, H. Г. Чебочко // Материалы международной алгебраической конференции посвященной 110-летию со дня рождения профессора А. Г. Куроша. Москва: МГУ, 2018. - С. 229-230.

[59] Кондратьева, А. В. Nonalternating Hamiltonian Lie (super)Algebras in Characteristic Two and Related Topics (Deformations of Lie algebras, Non-degenerate Derivations and p-Groups) / А. В. Кондратьева, M. И. Кузнецов,

Н. Г. Чебочко // Материалы международной конференции «Topological methods in dynamics and related topics». Нижний Новгород: НИУ ВШЭ, 2019. - С. 37-38.

[60] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли характеристики 2 от 3-х переменных / А. В. Кондратьева // Материалы международной алгебраической конференции посвященной 90-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. Москва: МГУ, 2019. - С. 42-43.

[61] Кондратьева, А. В. Non-alternating Hamiltonian Lie algebras in characteristic two / А. В. Кондратьева, M. II. Кузнецов // Материалы международной алгебраической конференции посвященной 90-летию кафедры высшей алгебры механико-математического факультета МГУ. Москва: МГУ, 2019. -С. 82.

[62] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы дифференциальные формы характеристики 2 / А. В. Кондратьева // Материалы международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения». Казань: КФУ, 2019. - С. 127-128.

[63] Кондратьева, А. В. Классификация неальтернируюгцих гамильтоновых алгебр Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения». Казань: КФУ, 2019. - С. 128-129.

[64] Кондратьева, А. В. Простые подалгебры неальтернируюгцих гамильтоновых алгебр Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов, М. М. Рабиа // Материалы международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения». Казань: КФУ, 2019. - С. 129.

[65] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева // Материалы международной восьмой школы-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов». Москва: МГУ, 2020. - С. 38-39.

[66] Кондратьева, А. В. Простые подалгебры неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов, М. М. Рабиа // Материалы международной восьмой школы-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов». Москва: МГУ, 2020. - С. 60-61.

[67] Кондратьева, А. В. Классификация неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной девятой школы-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов». Самара: Самарский университет,

2021. - С. 28-29.

[68] Кондратьева, А. В. Инварианты неальтернирующих билинейных форм над полем характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной XXI конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии». Нижний Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2021. - С. 169-170.

[69] Кондратьева, А. В. Классификация неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли характеристики 2 / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной конференции «Лобачевские чтения». Казань: КФУ,

2022. - Т. 62. - С. 65-67.

[70] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы формы с коэффициентами в алгебре разделенных степеней / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной XXII конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии». Нижний Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2022. - С. 37-39.

[71] Кондратьева, А. В. Классы изоморфизма простых неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной XXIII конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии». Нижний Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2023. - С. 79-81.

[72] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы формы с коэффици-

ентами в алгебре разделенных степеней / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы десятой школы-конференции «Алгебры Ли, алгебраические группы и теория инвариантов». Москва: МГУ, 2023. - С. 31-34.

[73] Кондратьева, А. В. Инвариантность стандартной фильтрации неальтерни-рующей гамильтоновой алгебры Ли / А. В. Кондратьева // Материалы VI международной конференции «Topological methods in dynamics and related topics». Нижний Новгород: НИУ ВШЭ, 2023. - С. 52.

[74] Кондратьева, А. В. Теорема вложения для фильтрованных деформаций градуированных неальтернирующих гамильтоновых алгебр Ли / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной научной конференции «Алгебра и математическая логика: теория и приложения». Казань: КФУ, 2024. - С. 114-115.

[75] Кондратьева, А. В. Новые простые алгебры Ли, найденные с помощью компьютера, и неальтернируюгцие гамильтоновы алгебры / А. В. Кондратьева, М. И. Кузнецов // Материалы международной XXIV конференции «Математическое моделирование и суперкомпьютерные технологии». Нижний Новгород: ННГУ им. Н. И. Лобачевского, 2024. - С. 79-80.

[76] Кондратьева, А. В. Неальтернирующие гамильтоновы алгебры Ли / А. В. Кондратьева //V конференция математических центров России: Материалы докладов. Красноярск: СФУ, 2025. - С. 26-28