«Свойства классических и квантовых интегрируемых систем» тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, доктор наук Шарыгин Георгий Игорьевич

• Шарыгин Георгий Игорьевич
• доктор наук
• 2026

Оглавление диссертации доктор наук Шарыгин Георгий Игорьевич

1.1 Постановка задач

1.1.1 Динамические системы и теорема Лиувилля

1.1.2 Полная симметрическая система Тоды

1.1.3 Задача квантования

1.1.4 Деформационное квантование

1.1.5 Универсальные обёртывающие алгебры

1.2 Содержание и основные результаты диссертации

1.2.1 Общие сведения

1.2.2 Результаты, выносимые на защиту

1.2.3 Публикации и выступления автора по темам диссертации

2 Симметрическая система Тоды

2.1 Пуассонова структура на р и система Тоды на вещественных алгебрах Ли

2.1.1 Разложения Картана вещественных полупростых алгебр Ли

2.1.2 Корневое разложение и система Тоды на р

2.1.3 Пуассонова структура на р и система Тоды

2.1.4 Поле Тоды на компактной группе К и его свойства

2.2 Фазовый портрет системы Тоды

2.2.1 Порядок Брюа и клетки Шуберта

2.2.2 Градиентность поля Тоды; функция Морса

2.2.3 Инвариантность клеток Шуберта относительно потока Тоды. Фазовый портрет потока Тоды

2.3 Полная симметрическая система Тоды на обобщённых симметрических матрицах р и геометрия пространства С/Б+

2.3.1 Определения и общие сведения о пространствах обобщённых флагов и клетках Брюа в них

2.3.2 Свойства полной симметрической системы Тоды на обобщённых симметричных матрицах

2.3.3 Фазовый портрет системы Тоды и пересечения клеток Брюа в обобщённых вещественных флагах

2.4 Инварианты и симметрии полной симметрической системы Тоды

2.4.1 Обобщённые поля Тоды на компактных группах

2.4.2 Представления алгебры д и инварианты потока Тоды на К

2.4.3 Векторные поля на компактной группе и симметрии потока Тоды

2.5 Дополнительные интегралы системы Тоды на пространстве вещественных симметрических матриц Бутш%Ж)

2.5.1 Пуассонов центр в алгебрах и инварианты коприсоединённого действия

2.5.2 Коммутативные подалгебры в алгебрах функций на 0У: два метода их построения

2.5.3 Интегралы отсечения и дифференцирования алгебры 5(я1^(М))

2.5.4 Траектории интегралов «отсечения» и метод QR-разложения

2.6 Некоммутативная система Тоды и квазидетерминанты Гельфанда-Ретаха

2.6.1 Билинейная форма цепочки Тоды

2.6.2 Детерминантные решения уравнения Тоды

2.6.3 Некоммутативные (квантовые) дифференциальные уравнения

2.6.4 Система Тоды для отношений т-функций

2.6.5 Квазидетерминанты матриц над некоммутативными кольцами с делением

2.6.6 Решение квантовой цепочки Тоды при помощи квазидетерминантов

3 Квантование интегрируемых систем

3.1 Основные конструкции в теории деформационного квантования

3.1.1 Алгебра гладких функций на многообразии и её хохшильдовы когомологии

3.1.2 Алгебраические структуры на поливекторных полях и на полидифференциальных операторах

3.1.3 Конструкции деформационного квантования: от Грёневальда и Мойяла до Федосова и Кон-цевича

3.2 Препятствия и построение коммутативных систем элементов в деформационном квантовании

3.2.1 «Относительная» теорема Хохшильда-Костанта-Розенберга

3.2.2 Теория препятствий в задаче поднятия коммутативной подалгебры в деформационном квантовании

3.2.3 Пуассоновы когомологии и препятствия в них

3.3 Задача эквивариантного квантования и задача квантования интегрируемой системы

3.3.1 Эквивариантное деформационное квантование

3.3.2 Гамильтоновы представления и квантовое отображение момента

3.3.3 Построение квантового отображения момента: теория препятствий

3.3.4 Построение представления р: теория препятствий

3.3.5 Представления алгебр Ли: -морфизмы

3.3.6 Инвариантные ^-произведения

3.4 Квантование метода сдвига аргумента

3.4.1 L^-дифференцирования и сдвиг аргумента

3.4.2 Метод сдвига аргумента в универсальных обёртывающих алгебрах Ugld

3.4.3 Некоторые приложения квантового метода сдвига аргумента

Заключение

Список литературы

Список работ автора по темам диссертации

Глава

Введение диссертации (часть автореферата) на тему ««Свойства классических и квантовых интегрируемых систем»»

Введение

1.1 Постановка задач

1.1.1 Динамические системы и теорема Лиувилля

Как известно, значительная часть важных задач классической механики может быть сформулирована в виде

уравнений Гамильтона: например, если механическая система на прямой состоит из п материальных точек с

12 п •• координатами д1, д2,... ,дп и импульсами Р1, Р2,... ,рп, то движение точек задаётся системой уравнений:

Здесь Н = Н(рх,... ,рп, д1,..., дп) — некоторая гладкая функция от координат и импульсов частиц, называемая функцией Гамильтона или гамильтонианом системы. Обычный физический смысл этой функции — полная энергия системы точек, так что из уравнений (1.1.1) следует закон сохранения энергии:

Для дальнейших рассмотрений удобно ввести операцию скобки Пуассона на алгебре гладких функций от координат и импульсов: положим

Как несложно понять, значение этой операции на гладких функциях однозначно восстанавливается по значениям этой скобки на координатах и импульсах; а именно

(1.1.1)

(1.1.2)

[р>г,9>} = 5{, [рг,рк} =0 = [д?,де].

(1.1.3)

Одно из важнейших свойств этой операции — тождество Якоби, то есть равенство

[I, [д, ь}} + [д, [К I}} + [К [I, д}} = 0.

(1.1.4)

В рассмотренном случае его легко проверить прямым вычислением.

В терминах скобок Пуассона уравнения Гамильтона принимают форму

р = {Я,р*}, ? = {Я,^}.

(1.1.5)

Для любой функции / от координат и импульсов частиц, её эволюция с течением времени задаётся уравнением

Рассмотренный выше подход очевидным образом может быть перенесён на систему материальных точек в евклидовом пространстве произвольной размерности. Более общим образом, можно рассматривать подобные системы уравнений на произвольных гладких многообразиях; при этом моменты материальных точек естественным образом соответствуют линейным функциям на кокасательном расслоении многообразия М. Для того, чтобы описать такую систему, удобно рассмотреть скобку Пуассона на кокасательном расслоении. А именно, к локальным координатам (д1,..., дп) на М мы добавляем связанные с ними координаты (р 1,... ,рп) на кока-сательных пространствах в точках многообразия. Тогда та же формула (1.1.2) задаёт корректно определённую билинейную операцию на функциях на Т*М. Уравнения (1.1.5), (1.1.6) можно рассматривать как определение векторного поля на Т*М; интегрирование такой системы уравнений эквивалентно описанию траекторий этого векторного поля. Предыдущая конструкция получается, если взять М = Мп, тогда Т*М = М2п. Размерность многообразия М (количество координат и импульсов в системе уравнений) называют числом степеней свободы системы; в более узком смысле эта терминология применяется к случаю М = Мп. При этом естественным образом Т*М = М2п.

В большинстве случаев вопрос об интегрировании гамильтоновой системы уравнений решается при помощи известной теоремы Лиувилля: напомним, что функции / и д на М2п называются находящимися в инволюции, если {/, д} = 0. Также напомним, что функция Г от импульсов и координат называется первым интегралом динамической системы, если её производная по времени равна нулю; в случае системы Гамильтона, это условие эквивалентно равенству {Я, Г} = 0, см. уравнение (1.1.6). Тогда справедлива следующая теорема Лиувилля

Теорема 1.1.1. Допустим, гамильтонова система на Т*Мп = М2п обладает п функционально-независимыми первыми интегралами Я1 = Я,..., Яп. Тогда эта система будет интегрируемой в квадратурах.

Иными словами, функции, выражающие изменение координат и импульсов с течением времени, могут быть записаны в виде некоторого набора итерированных интегралов и элементарных функций, зависящих от параметров системы.

Аналогичные утверждения существуют и в случае динамических систем на многообразиях. Для того, чтобы о них говорить, нам будет удобно слегка обобщить имеющиеся конструкции. Напомним, что в абстрактном смысле можно определить симплектическую структуру на чётномерном (2п-мерном) многообразии X как невырожденную замкнутую кососимметрическую форму ш на касательном расслоении ТХ; в этом случае поле кососим-метрических тензоров п валентности (2,0), задающееся формулой п = ш-1, то есть как поточечное обращение матрицы коэффициентов ш, можно использовать, чтобы определить скобку Пуассона на пространстве гладких функций на X: достаточно положить

В этой ситуации можно определить гамильтонову систему (или гамильтоново векторное поле на X) теми же формулами (1.1.6), что и ранее. Теорема Лиувилля в этой общности будет описывать траектории гамильтонова поля, допускающего п функционально независимых первых интегралов в инволюции (то есть, в точности половина размерности симплектического многообразия), в терминах некоторого слоения многообразия X с торическими слоями. Мы не будем подробно останавливаться здесь на точной формулировке этого результата, так как он не является предметом наших дальнейших исследований.

Обобщением понятия симплектической структуры на многообразии X является структура Пуассона, то есть кососимметричная билинейная операция

(1.1.6)

{/,д} = п(/^д).

{, } : О™^)02 ^ О™^)

на алгебре гладких функций этого многообразия, удовлетворяющая правилу Лейбница и тождеству Якоби. Такая операция называется скобкой Пуассона на X .В случае, когда на X задана пуассонова структура, мы можем для

любой функции Н на X определить гамильтоново векторное поле ум при помощи равенства

уМ (I ) = [Н,1}.

Эта конструкция позволяет задавать динамические системы на пуассоновых многообразиях. В этом случае говорить про половину размерности многообразия не всегда имеет смысл (пуассоновы структуры могут существовать на многообразиях нечетной размерности), и понятие интегрируемости динамических систем связывают просто с наличием достаточно большого числа функционально-независимых первых интегралов в инволюции (то есть, коммутирующих относительно скобки Пуассона): можно считать, что в общей точке многообразие X расслаивается на четномерные листы, на которых пуассонова структура задаётся ограничением некоторой симплек-тической структуры. Поэтому наличие достаточного числа первых интегралов в инволюции позволяет описать траектории гамильтонова векторного поля в окрестности точки общего положения.

1.1.2 Полная симметрическая система Тоды

Задача поиска первых интегралов в инволюции для различных динамических систем на пуассоновых многообразиях — весьма сложная и не имеет общего решения. Вместо этого существует большое количество конструкций, которые позволяют находить решение в тех или иных важных частных случаях. Среди таких конструкций можно выделить метод сдвига инвариантов Манакова, Мищенко и Фоменко, бигамильтонову индукцию Ленарта и Магри и, например, метод проектирования Адлера, Костанта и Симса. Каждый из них по отдельности и они вместе в комбинации друг с другом позволяют найти первые интегралы в инволюции для большого набора систем. Например, метод сдвига инвариантов позволяет найти первые интегралы в обобщенной системе Эйлера движения твердого тела (см. [1]). Индукция Ленарта-Магри может быть применена даже в бесконечномерном случае; мы опустим подробности этой конструкции, так как она не является предметом нашей диссертации.

В настоящей диссертации мы рассматриваем в качестве основного примера интегрируемой динамической системы полную симметрическую систему Тоды. Эта система является достаточно прямолинейным обобщением знаменитой «открытой цепочки Тоды», впервые появившейся в знаменитом численном эксперименте Ферми, Паста и Улама в 1955 году, направленном на поиск экзотических интегрируемых систем. Однако первое подробное исследование этой системы было осуществлено японским физиком Морикадзу Тодой в 1967 году, см. [2],[3]б откуда идет традиция называть её и её обощения «системами Тоды».

Открытая цепочка Тоды — это динамическая система, состоящая из п материальных точек на прямой с

1 2 n

координатами q 1, q2,... ,qn и импульсами pi, p2,... ,pn, соответствующая гамильтониану

n 2 n — 1

н = - E f + E exp(qJ - qi+1).

i=i i=i

Иными словами взаимодействующие частицы имеют соседние номера и сила взаимодействия пропорциональна экспоненте расстояния между ними. Уравнения Гамильтона (1.1.1) принимают вид

=Р^ (1.1.7)

| dpi = eqi-i— qi _ eqi — qi+1 V '

\ dt

Отметим, что первое из этих уравнений справедливо при i = 1,...,п, а второе — теряет одно из слагаемых справа при i = 1, i = п. Сделаем замену координат

ai = lexp(l (qi - qi+1)), bj = -1 Pj,

(1.1.8)

где г

, п — 1, ] = 1,

, п. В этих координатах гамильтониан Н записывается в виде

Н = 4 Е «2 — 2 Е

а уравнения (1.1.7) принимают вид

Рассмотрим матрицы

« = « (64+1 — Ъг).

bi = 1 («2 — '

(1.1.9)

4-1)

Ь

Ъ1 а1 0 0 0

а1 Ъ2 а2 0 0

= 0 а2 Ъз а3 0

0 ап-2 Ъп-1 ап-1

0 0 ап-1 Ъп

/ 0 а1 0 0 0

а1 0 а2 0 0

0 —а2 0 а3 0

0 ап- 20 ап-

V 0 0 —ап- 10

м =

Тогда уравнения (1.1.9) эквивалентны следующему матричному равенству:

Ь = [м,ь].

(1.1.10)

Отсюда несложно вывести интегрируемость полученной системы: из того, что правая часть уравнения (1.1.10) имеет вид коммутатора матриц, легко доказать, что любая функция Г от коэффициентов матрицы Ь, инвариантная относительно сопряжения невырожденными матрицами, будет первым интегралом системы. Обычно в качестве таких функций выбирают Н = ^Ьт(Ьк), к = 1,... ,п, так что Н2 = 1Н. То, что функции Н находятся в инволюции, несложно доказать, переписав, например, скобку Пуассона в координатах ai,Ъj. Мы позднее приведём другую формулу для скобки, с помощью которой этот факт будет легко вывести; функциональная независимость выражений — стандартный факт из теории матриц. Обратим внимание, что число первых интегралов равно п, в точности половине размерности исходного пространства, однако координат аг, Ъj всего 2п — 1 штук!, а следовательно пространство симметричных трехдиагональных матриц — 2п — 1-мерное. Это противоречие легко разрешается, если заметить, что первая из рассмотренных функций Н1 = ^(Ь) порождает нулевое поле Гамильтона, как говорят, является «функцией Казимира». В литературе поэтому часто полагают, что Н1 = 0, то есть сужают систему на подпространство симметричных трехдиагональных матриц с нулевым следом, размерность которого в точности 2п — 2, вдвое больше, чем число оставшихся интегралов.

Вскоре после обнаружения замечательных свойств системы Тоды, на волне возникшего интереса, эту систему начали подробно исследовать и обобщать. Таким образом были найдены другие системы дифференциальных уравнений с замеячательными свойствами, которые традиционно называют «обобщёнными системами Тоды»; обычно такие системы находят, модифицируя уравнения (1.1.9) на функции аг, Ъг (см. замену (1.1.8)) или меняя вид матрицы Лакса Ь системы. В числе таких обобщений можно упомянуть неограниченную открытую цепочку Тоды (то есть систему уравнений (1.1.9), связывающую бесконечную последовательность функций аг, Ъг); периодическую цепочку Тоды (получающуюся, если наложить условие дп+1 = д1, рп+1 = Р1 в уравнениях (1.1.7), так что теперь они могут быть единым образом записаны при всех г = 1,..., п); двумеризованные и дискре-тизованные варианты систем Тоды, а также два варианта «полных» систем Тоды (то есть систем, матрицы Лакса которых содержат отличные от нуля коэффициенты в большинстве внедиагональных позиций), полную систему Костанта-Тоды и полную симметрическую систему Тоды. Все эти системы обладают замечательными свойствами, аналогичными свойствам системы Тоды, все они были и остаются предметом многочисленных работ.

1

2

и

Главным предметом нашего интереса будет являться полная симмтрическая система Тоды. Эту систему проще всего определить при помощи матричного уравнения (1.1.10): для этого обратим внимание, что матрица М является наивной антисимметризацией матрицы Ь, то есть

М = М(Ь) = Ь+ — Ь_,

(1.1.11)

где Ь+ (соотв. Ь_) — над- (соотв. под-) диагональная часть матрицы Ь. Если теперь взять в качестве матрицы Ь произвольную симметрическую матрицу размера п х п,

( «11 «12 «13 . . . «1п\

«12 «22 «23 . . . «2п

Ь= «13 «23 «33 . . . «3п

\«1п «2п «3п . . . «пп

то мы можем положить

М = М(Ь) = Ь+ — Ь_

I 0 «12 — «12 0 — «13 — «23

\-ain

«13 «23 0

«2п

«3п

«1п «2п «3п

0 )

Тогда полной симметрической системой Тоды называется система уравнений на коэффициенты симметричной матрицы Ь, задающаяся в матричном виде равенством (1.1.10): Ь = [М, Ь], где матрица М равна антисимметризации Ь.

Можно показать (см. раздел 2.1), что эта система является системой Гамильтона относительно некоторой пуассоновой структуры на пространстве симметрических матриц, причем гамильтониан задан такой же функцией Н = Н2 = 2Ьг(Ь2). Конечно, как и раньше функции Нк = 1Ьг(Ьк) являются первыми интегралами в инволюции данной системы (то, что они функционально независимы следует из свойств инвариантных функций). Однако, размерность пространства симметричных п х п матриц, на котором определена полная симметрическая система Тоды, равна . При больших п это намного больше, чем число первых интегралов Нк 1. Существо-

вание большого семейства первых интегралов в инволюции для этой динамической системы является несколько неожиданным результатом, см. [4]. В целом свойства этой динамической системы и ее обобщений тесно связаны с геометрией полупростых групп Ли, их разбиением на клетки Брюа и с порядком примыкания этих клеток друг к другу. Описание и доказательство этих свойств являются предметом изучения, изложенным во второй главе настоящей диссертации.

1.1.3 Задача квантования

Рассмотрим снова систему состоящую из материальных частиц на прямой с координатами д1,... ,дп и импульсами р1,...,рп и гамильтонианом Н = Н(р,д). Как известно, квантово-механическим аналогом этой системы принято называть дифференциальный (или псевдодифференциальный) оператор Н на подходящем функциональном пространстве на Кп с координатами х1,...,хп (обычно выбирают правильным образом пополненное пространство Шварца &(Кп), пространство комплексно-значных быстроубывающих гладких функций), такой, что его символ, как функция от координат и импульсов равен Н(р,д). В этом случае поведение квантовой системы может быть описано при помощи волновой функции ф(Ь,х), удовлетворяющей условию

|ф(t,x)|2dx = 1 для любого t.

хКак и ранее, функция Н = ^(Ь) в этом случае является функцией Казимира, так что можно положить ^(Ь) = 0, тем самым снизив размерность пространства на единицу. Это, однако не спасает положения при больших п.

Эволюция системы при этом задаётся уравнением Шрёдингера

(1.1.12)

Здесь г = V —1 и Н — (приведённая) постоянная Планка. В общепринятой вероятностной интерпретации квантовой механики полагают, что интеграл квадрата модуля функции ф по некоторой области в Мп равен вероятности того, что система находится в этой области в конфигурационном пространстве.

Неформально принято полагать, что оператор Н можно записать в виде алгебраического выражения от операторов Рг и С, квантовых аналогов импульсов и координат частиц. При этом данные операторы должны удовлетворять следующим каноническим коммутационным соотношениям, аналогичным уравнению (1.1.3):

] = —гН^'. (1.1.13)

Тут выражение [А, В] обозначает коммутатор операторов А и В, то есть

[А, В] = АВ — В А.

Стандартным примером операторов на & (Кп), удовлетворяющих каноническим коммутационным соотношениям, является

С (ф) = xjф, Рк (ф) = —гНдф. (1.1.14)

В этом случае можно говорить про среднее значение координат или импульсов квантовой системы, задающейся волновой функцией ф:

(РгЬ = / ФЪ(ф)<Х, (С= / 'фС (ф)<х.

Тут ф обозначает комплексное сопряжение функции ф. Более общо, в квантовой механике принято рассматривать квантовые аналоги наблюдаемых функций Г(р, д) данной системы, представленные дифференциальными (или псевдодифференциальными) операторами Г на том же функциональном пространстве, удовлетворяющими условию, что их символ равен Г. Тогда среднее значение наблюдаемой Г на системе с волновой функцией ф задаётся такой же формулой, что и ранее:

(Г% = / фГ(ф)<1х.

Таким образом, с самого момента создания квантовой механики как отдельной научной дисциплины (прежде всего, с работ Шредингера, Гейзенберга и Дирака), возник вопрос о том, каким образом надо строить квантовые наблюдаемые функции Г по классическим аналогам так, чтобы основные свойства классической системы хотя бы в некоторой степени можно было перенести на квантовую? Одним из основных свойств классических систем является их интегрируемость по Лиувиллю, то есть, наличие большого числа функций Н1,..., НN (первых интегралов), скобки Пуассона которых с гамильтонианом системы и между собой равны нулю. В квантовой механике естественно положить, что соответствующие квантовые наблюдаемые, то есть операторы Н1,..., HN, соответствующие первым интегралам, будут коммутировать между собой и с квантовым гамильтонианом Н. Наличие такого семейства позволяет описывать собственные функции и собственные значения оператора Н, которые имеют важный физический смысл.

— = — гННф. ¿г

1.1.4 Деформационное квантование

В общем случае решение задачи построения «квантовых первых интегралов» не имеет полного и универсального решения; для разных частных случаев разными методами удаётся получить набор коммутирующих операторов Н1,..., Ны с нужными символами. Эти построения во многом зависят от того, какой метод перехода от классических наблюдаемых функций к квантовым, который часто называют «методом квантования», используют в данном случае.

За почти сто лет развития квантовой механики и других разделов квантовой физики было предложено много разных методов квантования. В первоначальном подходе, использовавшемся в работах начала прошлого века, оператор, соответствующий классической наблюдаемой функции Г, получали при помощи преобразования Фурье I : & (Мп) ^ & (Мп) по формуле

Ор(Г)(р)(х) = I-1 (П(р)), р е &(Мп). (1.1.15)

Этот метод удобен тем, что он сразу выдаёт нужный нам (псевдо)дифференциальный оператор, при этом операторы, соответствующие импульсам и координатам частиц, удовлетворяют каноническим коммутационным соотношениям (1.1.13). На самом деле в силу свойств преобразования Фурье они имеют вид (1.1.14). С другой стороны, этот подход имеет массу недостатков; например, операторы Ор(Г), соответствующие вещественно-значным наблюдаемым функциям Г, не обязаны быть самосопряженными, что противоречит физическим гипотезам, применяемым к квантовым системам, которые зависят от собственных значений квантовых наблюдаемых. Кроме того, преобразование Фурье и вообще теория псевдодифференциальных операторов довольно сложны с точки зрения анализа, и требуются большие усилия, чтобы перенестии эти конструкции на произвольные гладкие многообразия.

Поэтому в современных физических теориях, фазовые пространства которых являются гладкими многообразиями (снабжёнными симплектической или пуассоновой структурой, как объяснено в параграфе 1.1.1) квантовые системы строят другими методами; вместо построения непосредственно операторов, соответствующих классическим наблюдаемым, часто ограничиваются построением некоммутативной алгебры квантовых наблюдаемых, оставляя вопрос о представлении этой алгебры на отдельное рассмотрение. Такой подход часто называют «деформационным квантованием».

Сформулируем точнее основные принципы деформационного квантования, не вдаваясь, однако в технические подробности. Пусть X — гладкое пуассоново или симплектическое многообразие, СX) — алгебра гладких (комплексно-значных) функций на X. Пусть Н — формальная переменная, играющая роль параметра деформации.

Определение 1.1.2. Деформационным квантованием многообразия X называют алгебру А(Х) над кольцом формальных степенных рядов С[[Н]], которая (как С[[Н]]-модуль) изоморфна пространству С)[[Н]]. При этом С[[Н]]-линейное умножение * на А(X) удовлетворяет условию

¡*9 = ¡9 + Н {1,9} + о(Н).

Тут {¡,9} — скобка Пуассона на функциях ¡, 9, а выражение о(Н) обозначает слагаемые, в которые Н входит в степени 2 или выше. Обычно предполагают, что эти слагаемые имеют вид значений некоторых бидиффе-ренциальных операторов Бк на функциях ¡, 9, то есть

то

о(Н) = ]Т НкБк (¡,9).

к=2

Уточним, что бидифференциальный оператор — это билинейное (над числами) выражение, зависящее от функций ¡, 9, которое имеет вид дифференциального оператора по каждому из аргументов. При этих предположениях выражение

¡*9 = ¡9 + ^{¡, 9} + Е НкБк(¡, 9) (1.1.16)

к=2

называется *-умножением, или деформационным рядом. Таким образом, задание деформационного квантования многообразия X можно рассматривать как формальную деформацию умножения в алгебре гладких функций на X. Итак, обозначим через А(X) такую некоммутативную алгебру; напомним, что как модуль над С[[Н]], алгебра А(X) = С ~ (X).

Чтобы получить настоящее квантование (в виде дифференциальных операторов на некотором пространстве, или в виде абстрактных операторов на некотором гильбертовом пространстве), осталось найти то или иное пред-

ставление алгебры A(X). Эту задачу мы здесь обсуждать не будем. Вместо этого предположим, на многообразии X (симплектическом или пуассоновом), на котором нам дано деформационное квантование, определена некоторая интегрируемая система с гамильтонианом H. Пусть H = И\,..., Hn — коммутативная система первых интегралов некоторой этой системы. Тогда естественным вопросом будет следующий: существует ли способ дополнить функции H\,... ,HN (рассматриваемые как элементы алгебры A(X)) до коммутирующих между собой (в смысле к-умножения) элементов H\,..., HN? То так, что выполняются равенства

Hk = Hk + hHk,i + h2Hk, 2 +... (1.1.17)

и

Iii к Hj = Hj к Hi для всех i,j = 1,..., N. (1.1.18)

Эту проблему можно назвать вопросом о деформационном квантовании динамической системы. Обсуждению решений этой задачи в разных ситуациях посвящена третья глава диссертации.

1.1.5 Универсальные обёртывающие алгебры

Существуют несколько разных способов строить деформационное квантование пуассоновых и симплектических многообразий. Наиболее общая конструкция — это квантование Концевича; она позволяет выразить коэффициенты Вк деформационного ряда в виде суммы бидифференциальных операторов, которые зависят от коэффициентов пуассоновой структуры. Мы не будем описывать здесь эту конструкцию, так как она не потребуется нам в полной общности. Вместо этого мы опишем важный частный классический случай конструкции деформационного квантования.

Пусть 0 — алгебра Ли, Х1,... ,ХN — её базис. Рассмотрим структурные константы Ск алгебры 0:

N

[Хг ,Хз ] = £ Ск Хк .

к=1

Как известно, базис векторного пространства однозначно задаёт на этом пространстве систему координат. Рассмотрим двойственное пространство 0* с двойственным базисом Х**,..., XN, пусть XI,... ,XN — координаты на 0*, соответствующие этому базису. Тогда для любых функций I, д на 0* положим

{¡,д} = Е х<1дд. (1.1.19)

Тождество Якоби для алгебры Ли 0 гарантирует, что выполняется аналогичное равенство (1.1.4) для скобки {,}. Альтернативная и несколько более инвариантная точка зрения состоит в том, что скобка Пуассона на 0* задаётся формулой

{I, д№ = т(£), ¿д(£)]), е е 0* (1.1.20)

где мы отождествляем кокасательное пространство Т*0* с (0*)* = 0, так что ¿I, ¿д е 0 и £(Х), Х е 0 обозначает каноническое спаривание двойственных пространств.

В случае, когда пуассоново многообразие Х является векторным пространством, а значит — снабжено глобальными аффинными координатами, вместо алгебры гладких функций на Х можно использовать алгебру полиномов от этих координат. Если при этом коэффициенты пуассоновой структуры тоже полиномы, то скобка Пуассона любых двух полиномов I и д — тоже полином. Эти условия очевидно выполняются для случая Х = 0*. Можно проверить, что в этом случае деформационный ряд (1.1.16) от полиномов I, д содержит только конечное число ненулевых слагаемых: это следует из того, что степени бидифференциальных операторов Вк неограниченно растут с ростом к. В этом случае можно положить Н = 1 и рассматривать операцию ^-произведения, как новое ассоциативное умножение на алгебре полиномиальных функций на 0* ; эта алгебра изоморфна симметрической алгебре £(0).

Как доказано Концевичем в [5], пространство 5(д), снабженное умножением * (построенным «квантованием Концевича»), изоморфно универсальной обёртывающей алгебре ид (некотрые подробности о конструкции универсальной обёртывающей алгебры и её свойствах мы приводим в параграфе 3.4.2); напомним, что универсальная обёртывающая алгебра это фактор-алгебра тензорной алгебры Тпо идеалу, порожденному коммутаторами в 0:

и0 = Т®д/(Х ® У — У ® X — [Х,У]).

Согласно теореме Пуанкаре-Биркхоффа-Витта, универсальная обёртывающая алгебра, как векторное пространство, изоморфно алгебре 5(д). Более того, изоморфизм 5(д) = ид может быть записан в виде отображения симметризации:

а : 5(д) ^ ид, а(Хь.. .,Хк) = -у Е Х8(1) . ..Хь(к).

Это отображение не сохраняет умножение, но перестановочно с действием группы Ли О, соответствующей алгебре 0. В частности, оно переводит пространство полиномиальных функций Казимира в 5(д) в центр алгебры и д; при этом, правда, произведение полиномов Казимира не совпадает с умножением в центре и д. Утверждение об изоморфизме (5(д),*) = ид можно переформулировать следующим образом:

/*д = а-1(а(/) • а(д)), У/,д е 5(д).

Тут • обозначает умножение в и д. Более того, скобка Пуассона (1.1.19) в 5 (д) может быть восстановлена из этого изоморфизма: если степени однородных полиномов /, д равны р и д соответственно, то несложно доказать равенство

И,д} = (/ * д — д* / )p+q-l,

где для а е 5(д), мы обозначили через ак однородную компоненту степени к.

Пусть теперь А С 5(д) — подалгебра в 5(д), коммутативная в смысле скобки Пуассона, то есть

{/,д} = 0, У/,д е А.

Задача деформационного квантования динамической системы, описанная в предыдущем параграфе, в этой ситуации состоит в поиске по А С 5(д) коммутативной подалгебры А в ид = (5(д),*), такой, чтобы для любого полинома р е А его однородная часть максимальной степени / = (р лежала в А.

Список литературы диссертационного исследования доктор наук Шарыгин Георгий Игорьевич, 2026 год

Список литературы

[1] Манаков С. В., Замечание об интегрировании уравнений Эйлера динамики п-мерного твердого тела, Функц. анализ и его прил. 10 4 (1976), 93-94

M. Toda, Vibration of a chain with nonlinear interaction, J. Phys. Soc. Japan 22 2 (1967) 431-436

M. Toda, Wave propagation in anharmonic lattices, J. Phys. Soc. Japan 23 3 (1967) 501-506

P. Deift, L. C. Li, T. Nanada, C. Tomei, The Toda flow on a generic orbit is integrable, Commun. on Pure and Applied Math., Vol. XXXIX (1986) 183-232

M. Kontsevich, Deformation Quantization of Poisson Manifolds Lett. Math. Phys. 66 (2003) 157-216

А. В. Бочаров, А. М. Вербовецкий, А. М. Виноградов и др. Симметрии и законы сохранения уравнений математической физики (под ред. А. М. Виноградова и И. С. Красильщика), М., Изд-во «Факториал», 1997

А. С. Мищенко, А. Т. Фоменко, Уравнения Эйлера на конечномерных группах Ли, Изв. АН СССР. Сер. матем. 42 2 (1978), 396-415

D. Gurevich, P. Pyatov, P. Saponov, Braided Weyl algebras and differential calculus on U(u(2)), J. Geom. Phys. 62 5 (2012), 1175-1188, arXiv:1112.6258

Э. Б. Винберг, А. Л. Онищик, Основы теории групп Ли Группы Ли и алгебры Ли - 1, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления 20 ВИНИТИ, М., 1988, 5-101

Ж.-П. Серр, Алгебры Ли и группы Ли М.: Мир, 1969

С. Хелгасон, Дифференциальная геометрия, группы Ли и симметрические пространства Изд-во: Факториал, 2005

H. Flaschka, The Toda lattice. I. Existence of integrals Phys. Rev. B 9 (1974) 1924-1925

H. Flaschka, On the Toda lattice. II. Iverse-Scattering Solution Progr. of Theor. Phys. 51 3 (1974) 703-716

A. M. Bloch, R. W. Brockett, T. S. Ratiu A new formulation of the generalized Toda lattice equations and their fixed point analysis via the momentum map Bull. Amer. Math. Soc. (N.S.) 23 2 (1990) 477-485.

A. M. Bloch, R. W. Brockett, T. S. Ratiu, Completely Integrable Gradient Flows Comm. Math. Phys 147 (1992) 57-74

У. Фултон, Таблицы Юнга и их приложения к теории представлений М.: МЦНМО, 2006

S. Billey, V. Lakshmibai, Singular loci of Schubert varieties Progr. Math. 182 (2000), Birkhauser, Boston.

A. M. Bloch, M. Gekhtman, Hamiltonian and gradient structures in the Toda flows J. Geom. Phys. 27 (1998) 230-248

F. De Mari, M. Pedroni, Toda flows and real Hessenberg manifolds J. Geom. Anal., 9 4 (1999) 607-625 L. Faybusovich, Toda flows and isospectral manifolds Proc. Amer. Math. Soc. 115 (1992) 837-847

[21] Yu. Chernyakov, A. Sorin, Explicit Semi-invariants and Integrals of the Full Symmetric sln Toda Lattice Lett. Math. Phys. 104 (2014) 1045-1052

[22] M. Brion, V. Lakshmibai, A geometric approach to standard monomial theory Represent. Theory 7 (2003) 651-680

[23] M. Brion, Lectures on the geometry of flag varieties Lecture notes, Varsovie, 2003

[24] И. Р. Шафаревич, Основы алгебраической геометрии УМН 24:6 (150) (1969) 3-184; Russian Math. Surveys 24:6 (1969) 1-178

[25] Y. Kosmann-Schwarzbach, F. Magri, Poisson-Nijenhuis structures Annales de l'l.H.P. Physique theorique 53 1 (1990) 35-81

[26] А. И. Мальцев, Коммутативные подалгебры полупростых алгебр Ли Изв. АН СССР. Сер. матем. 9:4 (1945) 291-300

[27] А. Г. Рейман, Интегрируемые гамильтоновы системы, связанные с градуированными алгебрами Ли Дифференциальная геометрия, группы Ли и механика. III, Зап. научн. сем. ЛОМИ, 95, Изд-во «Наука», Ленинград. отд., Л., 1980, 3-54; J. Soviet Math., 19:5 (1982) 1507-1545

[28] M. Adler, On a Trace functional for formal pseudo differential operators and the symplectic structure of the Korteweg-de Vries equation Invent. Math. 50 (1979) 219-248

[29] B. Kostant, The Solution to a generalized Toda lattice and representation theory Adv. in Math. 34 (1979) 195-338

[30] W. W. Symes, Systems of Toda type, inverse spectral problems, and representation theory Invent. Math. 59 1 (1980) 13-51

[31] Д. В. Талалаев, Квантовая обобщенная система Тоды Теор. и Мат. Физика 171 2 (2012) 312-320

[32] M. Jimbo, T. Miwa, Solitons and Infinite Dimensional Lie Algebras Publ. RIMS, Kyoto Univ. 19 (1983) 943-1001.

[33] Y. Ohta, J. Satsuma, D. Takahashi, T. Tokihiro, An Elementary Introduction to Sato Theory Prog. Theor. Phys. Suppl. 94 (1988) 210-241

[34] K. Kajiwara, T. Masuda, M. Noumi, Y. Ohta, Y. Yamada, Determinant Formulas for the Toda and Discrete Toda Equations Funkcialaj Ekvacioj, 44 (2001) 291-307

[35] I. Bobrova, V. Sokolov, Classification of Hamiltonian non-abelian Painleve type systems Journ. of Nonlinear Math. Physics (2022) 1-17

[36] I. A. Bobrova, V. V. Sokolov, On matrix Painleve-4 equations Nonlinearity, 35 12:6528 (2022)

[37] V. S. Retakh, V. N. Rubtsov, Noncommutative Toda Chains, Hankel Quasideterminants and Painleve II Equation Journal of Physics. A, Mathematical and Theoretical 43 50:505204 (2010)

[38] I. Gelfand, S. Gelfand, V. Retakh, R. Wilson, Quasideterminants Advances in Math. 193 1 (2005) 56-141

[39] F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Deformation theory and quantization I. Deformations of symplectic structures Ann. Physics 111 (1978) 61-110

[40] F. Bayen, M. Flato, C. Fronsdal, A. Lichnerowicz, D. Sternheimer, Deformation theory and quantization II. Physical applications Ann. Physics 111 (1978) 111-151

[41] M. Flato, Deformation view of physical theories Czechoslovak J. Phys. B32 4 (1982) 472-475

[42] M. Cahen, M. De Wilde, S. Gutt, Local cohomology of the algebra of Cfunctions on a connected manifold Lett. Math. Phys. 4 (1980) 157-167

[43] H. J. Groenewold, On the principles of elementary Quantum Mechanics, thesis, Univ. of Utrecht, Springer (Netherlands) 1946

[44] J. E. Moyal, Quantum mechanics as a statistical theory Math. Proc. of the Cambridge Phil. Soc., 45 1 (1949) 99-124

[45] M. De Wilde, P. B. A. Lecomte, Existence of Star-Products and of Formal Deformations of the Poisson Lie Algebra of Arbitrary Symplectic Manifolds Lett. Math. Phys. 7 (1983) 487-496

[46] M. De Wilde, P. B. A. Lecomte, Existence of star-products on exact symplectic manifolds Annales de l'institut Fourier 35 2 (1985) 117-143

[47] Б. В. Федосов, Теоремы об индексе, Дифференциальные уравнения с частными производными - 8, Итоги науки и техн. Сер. Соврем. пробл. мат. Фундам. направления, 65 ВИНИТИ, М., 1991, 165-268

[48] B. V. Fedosov, A simple geometrical construction of deformation quantization J. Differential Geom. 40 2 (1994) 213-238

[49] A. Weinstein, The local structure of Poisson manifolds J. Differential Geom. 18, 3 (1983) 523-557

[50] O. Neroslavski, A. Vlassov, Sur les déformations de l'algèbre des fonctions d'une variété symplectique C. R. Acad. Sc. Paris, Ser. I 292 (1981) 71-73

[51] M. Kontsevich, Formality Conjecture в сборнике Deformation Theory and Symplectic Geometry. D. Sternheimer et al. (eds.)., 1997; 139-156

[52] V. Dolgushev, Covariant and equivariant formality theorems Adv. Math. 191 1 (2005) 147-177

[53] A. S. Cattaneo, G. Felder, A path integral approach to the Kontsevich quantization formula Comm. Math. Phys. 212 (2000) 591-611

[54] L. Baulieu, A. Losev, N. Nekrasov, Target space symmetries in topological theories I JHEP 0202 (2002) 021

[55] A. S. Cattaneo, G. Felder, L. Tomassini, From local to global deformation quantization of Poisson manifolds Duke Math. Journ. 115 2 (2002) 329-352

[56] D. Calaque, Formality for Lie algebroids Comm. Math. Phys. 257 3 (2005), 563-578

[57] D. Calaque, V. Dolgushev, G. Halbout, Formality theorems for Hochschild chains in the Lie algebroid setting J. Reine Angew. Math. 612 (2007) 81-127

[58] J.-L. Brylinski, A differential complex for Poisson manifolds J. Differential Geom. 28 1 (1988) 93-114

[59] N. Ciccoli, From Poisson to Quantum Geometry in Lecture notes on Noncommutative Geometry and Quantum Groups, P. M. Hajac ed., notes taken by Pawel Witkowski 2006; available online: https://www.mimuw.edu.pl/ pwit/toknotes/toknotes.pdf

[60] J.-L. Loday, Cyclic homology (2nd ed.) in Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften 301, Springer-Verlag, Berlin-Heidelberg-New York 1998

[61] M. D. Garay, D. van Straten, Classical and quantum integrability Mosc. Math. J. 10 3 (2010) 519-545

[62] D. Manchon, Ch. Torossian, Cohomologie tangente et cup-produit pour la quantification de Kontsevich Annales mathem. Blaise Pascal 10 1 (2003) 75-106

[63] A. Cannas da Silva, Lectures on Symplectic Geometry in series Lecture notes in Mathematics 1764, Springer, New York, 2008

[64] B. V. Fedosov, Deformation Quantization and Index Theory Mathematical Topics 9, Akademie Verlag, Berlin, 1996

[65] А. А. Тарасов, О некоторых коммутативных подалгебрах в универсальной обертывающей алгебре алгебры Ли gl(n, C) Матем. сб., 191 9 (2000) 115-122

[66] Я. Икеда, Квазидифференциальный оператор и квантовый метод сдвига инвариантов ТМФ 212 1 (2022) 33-39

[67] Л. Г. Рыбников, Метод сдвига инвариантов и модель Годена Функц. анализ и его прил. 40 3 (2006) 30-43

[68] Л. Г. Рыбников, Централизаторы некоторых квадратичных элементов в алгебрах Пуассона-Ли и метод сдвига инвариантов УМН 60 2 (362) (2005) 173-174

[69] А. А. Тарасов, О единственности поднятия максимальных коммутативных подалгебр из алгебры Пуас-сона-Ли в обертывающую алгебру Матем. сб. 194 7 (2003) 155-160

[70] А. А. Кириллов, Элементы теории представлений 2-е изд., М.: «Наука», 1978, 343 с.

Список работ автора по темам

диссертации

[1'] Yu. Chernyakov, G. Sharygin, A. Sorin, Bruhat order in general Toda system Commun. Math. Phys. 330 1 (2014) 367-399

[2'] Yu. Chernyakov, G. Sharygin, A. Sorin, Bruhat Order in the Full Symmetric sln Toda Lattice on partial flag spaces SIGMA 12 (2016) 084, 25 pages (см. http://www.emis.de/journals/SIGMA/2016/084/sigma16-084.pdf)

[3'] Yu. Chernyakov, G. Sharygin, A. Sorin, D. Talalaev Toda flow and intersections of Bruhat cells SIGMA 16 (2020) 115, 8 pages (см. https://www.emis. de/journals/SIGMA/2020/115/sigma20-115.pdf)

[4'] А. С. Сорин, Ю. Б. Черняков, Г. И. Шарыгин, Векторные поля и инварианты полной симметрической системы Тоды Теор. и мат. физика, 216 2 (2023) 271-290

[5'] Д. В. Талалаев, Ю. Б. Черняков, Г. И. Шарыгин, Полная симметрическая система Тоды: решение системы с помощью метода QR-разложения Функц. анализ и прил., 57 4 (2023) 100-122

[6'] Yu. Chernyakov, G. Sharygin, A. Sorin, Phase portraits of the generalized full symmetric Toda systems on rank 2 groups Теоретическая и математическая Физика 193 2 (2017) 193-213

[7'] Yu. Chernyakov, G. Sharygin, A. Sorin, Bruhat order in the Toda system on so(2,4): an example of non-split real form Journ. of Geom. and Phys. 136 (2019) 45-51

[8'] G. Sharygin, D. Talalaev, Deformation quantisation of integrable systems Journ. of Noncommutative Geometry 11 2 (2017) 741-756

[9'] G. Sharygin, Deformation quantization and the action of Poisson vector fields Lobachevskii Journ. of Mathematics 38 6 (2017) 1093-1107

[10'] A. Konyaev, G. Sharygin, Survey of the Deformation Quantization of Commutative Families; в книге Recent developments in Integrable Systems and related topics of Mathematical Physics, Kezenoi-Am, Russia 2016 (Editors: Buchstaber, Victor M., Konstantinou-Rizos, Sotiris, Mikhailov, Alexander V.) серия Springer Proceedings in Mathematics & Statistics, Springer 2018

[11'] G. Sharygin, Deformation Quantization of Commutative Families and Vector Fields; в книге XXXVII Workshop on Geometric Methods in Physics, Bialoweza 2018, серия Trends in Mathematics, Springer Nature, 2019; 100-120

[12'] G. Sharygin, L^-derivations and the argument shift for deformation quantization algebras Acta Mathem. Spalatensia, 1 (2020) 53-78

[13'] G. Sharygin, Quasi-derivations on Ugln and the argument shift method Contemp. Math., (conference dedicated to the 80th anniversary of prof. Vinogradov) 723 (2023) 197-208

[14'] Г. И. Шарыгин Квазидифференцирования алгебры Ugln и квантовые алгебры Мищенко-Фоменко, Функциональный анализ и его приложения, 58 3, (2024) 121-139

[15'] Y. Ikeda, G. Sharygin, The argument shift method in universal enveloping algebra Ugld, Journ. of Geom. and Pysics, 195, (2024) 105030

[16'] G. Sharygin, D. Talalaev, On the Lie-formality of Poisson manifolds Journ. of K-theory 2 Special Issue 02 (2008) 361-384

[17'] V. Retakh, V. Rubtsov, G. Sharygin, Noncommutative Cross-Ratio and Schwarz Derivative, в сборнике Integrable systems and algebraic geometry (dedicated to Emma Previato), vol 2. LNS 459 487-516 (2020)

[18'] I. Bobrova, V. Retakh, V. Rubtsov, G. Sharygin, A fully noncommutative analog of the Painleve IV equation and a structure of its solutions Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical 55 (2022) 1-30

[19'] I. Bobrova, V. Retakh, V. Rubtsov, G. Sharygin, Non-Abelian discrete Toda chains and related lattices, Physica D: Nonlinear Phenomena, 464 (2024) 134200

[20'] Y. Ikeda, A. Molev, G. Sharygin, On the quantum argument shift method, принято к публикации в журнале Commun. in Algebra; см. также arXiv:2309.15684

[21'] G. Sharygin, Lectures on deformation quantization: from Moyal product to Kontsevich's formality theorem, World Scientific, Singapore, 2025; ISBN: 978-981-12-9780-9

[22'] Yu. Chernyakov, G. Sharygin, Full symmetric Toda system and vector fields on the group БОп(Ш), принято к печати в Journal of Geom. and Physics