Интегрируемые модели для уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.04.02, кандидат физико-математических наук Тюменцев, Владимир Александрович

• Тюменцев, Владимир Александрович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тюменцев, Владимир Александрович

Введение

1 Уравнение Дирака в римановом пространстве

1.1 Понятие риманова пространства.

1.2 Понятие оператора симметрии

1.3 Определение уравнения Дирака в римановом пространстве

1.4 Операторы симметрии уравнения Дирака

1.5 Векторное поле Киллинга.

1.6 Векторное поле Яно.

1.7 Тензорное поле Яно-Киллинга.

1.8 Тетрадный формализм.

1.9 Плоское пространство.

1.10 Пространство де Ситтера.

1.11 Резюме.

2 Методы интегрирования уравнения Дирака

2.1 Метод полного разделения переменных.

2.2 Метод некоммутативного интегрирования

2.3 Резюме.

3 Алгебра операторов симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры

3.1 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в плоском пространстве.

3.2 Векторное поле Яно и тензорное поле Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера.

3.3 Оператор Дирака и его операторы симметрии в плоском пространстве и в пространстве де Сит-тера.

3.4 Структура алгебры симметрии уравнения Дирака

3.5 О некоммутативном интегрировании с помощью подалгебр.

3.6 Резюме.

4 Точно интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де

Ситтера

4.1 Постановка задачи. Алгоритм некоммутативного интегрирования.

4.2 Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве.

4.2.1 Выбор подалгебры и построение Л- представления

4.2.2 Точное решение уравнения Дирака в модели с киллинговыми симметриями (массивный случай).

4.2.3 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией (безмассовый случай).

4.3 Интегрирование уравнения Дирака в пространстве де Ситтера.

4.3.1 Выбор подалгебры и построение А- представления

4.3.2 Точное решение уравнения Дирака в модели со спинорной симметрией.

4.4 Анализ решений и спектр.

4.5 Одна модель асимптотически плоского пространства

4.5.1 К вопросу о склейке.

4.6 Резюме.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые модели для уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера»

В современных исследованиях по математической и теоретической физике выделяют следующие две основные задачи из многих других не менее важных: получение точных решений уравнений математической физики и разработка и применение наиболее общих или эффективных методов для их точного решения. К настоящему времени уже есть множество точных результатов по многим уравнениям квантовой физики, таких, как уравнение Шредингера, Рариты-Швингера, Дирака и др., и еще больше задач до сих пор не решены даже приближенно. Это связано с тем, в частности, что уравнения со временем распространяются на более широкие классы задач и становятся тем самым сложнее. Так открытие уравнения Дирака для релятивистской частицы спина 1/2 в плоском пространстве позволило открыть новые частицы и их античастицы, предсказать новые эффекты, такие, как рождение частиц из вакуума в сильных электромагнитных полях и т.д. Теория уравнения Дирака для плоского пространства хорошо изучена: указаны пределы применимости этого уравнения, построены модели взаимодействия частиц спина 1/2 с электромагнитным полем, развит формализм уравнения Дирака с точки зрения теории групп и т.д., этим вопросам посвящено множество книг и монографий, некоторые из них [38,41,42,43,57,63]. Затем уравнение Дирака и другие волновые уравнения были естественно обобщены на случай искривленных пространств. Прекрасное изложение теории и данных экспериментальных наблюдений можно найти, например, в [35, 56, 66]

Вопросы получения точного решения физического уравнения напрямую связаны с понятием его интегрируемости. Настоящая работа посвящена вопросам интегрирования уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситте-ра. Традиционно точные решения дифференциальных уравнений математической физики получали методом разделения переменных. В основе метода разделения переменных лежит теория В.Н. Шаповалова [71], С. Бененти, М. Франкавиглия [3],[4] согласно которой провести процедуру разделения можно только при наличии у дифференциального уравнения коммутативной алгебры симметрии. По-видимому, провести корректно процедуру разделения переменных в уравнении Дирака возможно только в так называемых Штеккелевых пространствах. В этом направлении большая работа проделана группой В.Г. Багрова [б],[7]. Отметим, что для разделения переменных в уравнении Дирака нет общепринятого определения. Существуют разные подходы, которые в Штеккелевых пространствах дают, по-видимому, одинаковый результат. Ситуация с процедурой разделения в матричных уравнениях осложняется тем, что существуют примеры гравитационных полей Штеккелева типа, в которых нельзя последова-* тельно провести процедуру разделения переменных в уравнении Дирака, в то время как для уравнения Клейна-Гордона такая процедура возможна [22]. В.Н. Шаповаловым доказаны теоремы о необходимых и достаточных условиях разделения переменных в скалярном уравнении второго порядка [72]. Для уравнения Дирака в настоящее время известны только необходимые условия о разделении переменных. Решением уравнения Дирака в рамках метода разделения переменных занимались многие исследователи. Достаточно полно изучен класс пространств, где уравнение Дирака допускает разделение переменных, и получены соответствующие точные решения в работах В.Г. Багрова, В.В. Обухова, В.Н. Шаповалова, А.В. Шаповалова и др. [37],[34]. Отметим также значительный вклад математиков Е. Калнинса, В. Миллера [21] и Р. Рудигера [27]. На основе полученных результатов была проведена систематизация практически всех известных решений уравнения Дирака с внешними полями и найдены обширные классы новых точных решений и новых полей. Таким образом, нахождение новых внешних полей, или римановых пространств, на фоне выполненных исследований представляется в значительной мере исчерпанным. Поэтому приобретает интерес получение точных решений в данном уравнении методами, отличными от метода разделения переменных. Это особенно важно в таких разделах теоретической физики, как квантовая электродинамика и квантовая теория поля, при учете поправок ряда теории возмущений, где значение точных решений физических уравнений трудно переоценить.

В данной работе мы строим новый класс точных решений уравнения Дирака в 4-мерном пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. В случае произвольного риманова пространства общая теория уравнения Дирака сформулирована в работах X. Тетрода [31], В.А. Фока [13] и X. Вейля [32], дальнейшее развитие теория получила в работах В.Н. Шаповалова [70], Б. Картера, Р.Ж. МакЛенагана и П.Х. Спин-дела [8],[25]. Определение уравнения Дирака в пространстве де Ситтера в рамках теории групп было дано К.Ц. Ханнабу-сом [17]. Нахождению решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера посвящено множество работ и монографий. В основном все они базируются на методе разделения переменных. В работе Г.В. Шишкина [29] методом разделения переменных построен класс точных решений уравнения Дирака в пространстве де Ситтера. В основе этой статьи лежит критерий разделяемости переменных в уравнении Дирака для диагональных метрик, доказанный в работе [1]. Одно точное решение уравнения Дирака в связи с задачей о термоэмиссии спиновых частиц в пространстве де Ситтера построено в [26].

Наш подход принципиально отличается от метода разделения переменных. Мы используем теорию некоммутативного интегрирования, развитую в работе А.В. Шаповалова и И.В. Широкова [67]. В этом методе за основу берется некоммутативная алгебра симметрии. При некоторых дополнительных условиях на алгебру дифференциальное уравнение (систему) в частных производных можно свести к обыкновенному дифференциальному уравнению, которое, как правило, интегрируется в квадратурах. Интересно, что для уравнения Дирака в пространстве де Ситтера такие некоммутативные алгебры существуют и их довольно много, в то время как коммутативных алгебр, необходимых для разделения переменных, нет (а в плоском пространстве такие коммутативные алгебры существуют). Отсутствие коммутативных алгебр служит причиной того, что во многих работах по точным решениям уравнения Дирака в пространстве де Ситтера приводят только узкие классы решений. Без наличия полного коммутативного набора операторов симметрии невозможно построить полный базис решений с помощью метода разделения переменных. Это, конечно, не снижает роли частных решений, которые могут иметь важный физический смысл.

В процессе работы по нахождению решений уравнения Дирака мы установили, что в алгебре операторов симметрии первого порядка для уравнения Дирака существует одна специальная алгебраическая структура. Эта структура представляет собой ассоциативную алгебру, которая не является алгеброй Ли. В нашем случае коммутаторы операторов симметрии выражаются через себя полиномиально, более точно

В литературе такие объекты называются W-алгебрами [16, 11]. Некоторая классификация 1У-алгебр дана в работе [2], полной классификации, по-видимому, не существует. Поскольку в правой части (1) стоит полином второго порядка, мы называем такую алгебру квадратичной. Рассмотренная нами Ж-алгебра содержит линейные подалгебры Ли. Расширение нашей линейной алгебры до квадратичной в некотором смысле единственно. С помощью линейных подалгебр Ли нам удалось провести процедуру интегрирования уравнения Дирака в полном объеме и даже найти спектр массивной частицы. Для проведения процедуры интегрирования уравнения Дирака мы используем только один оператор из расширения. Остальные операторы из расширения непригодны, из-за наличия функциональных соотношений между ними. Интересно, что рассмотренная нами квадратичная алгебра является общей для уравнения Дирака как в плоском пространстве, так и в пространстве де Ситтера. Это приводит к тому, что можно построить решения уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера с общей переменной. В нашем случае эта переменная представляет собой обобщенный интервал в плоском пространстве. По-видимому, на это впервые обратил внимание Котаеску в работах [9], [10] в случае пространственного интервала. Мы используем этот факт для построения решений уравнения Дирака в плоском пространстве по известному решению в пространстве де Ситтера.

Краткое содержание работы. п п

В первой главе даны общие определения теории уравнения Дирака в римановом пространстве и его операторов симметрии, которые условно делятся на киллинговые (лоренцевы) и спинорные. Киллинговые (лоренцевы) симметрии строятся по векторному полю Киллинга, спинорные симметрии строятся по спинорным полям, к которым относятся поля Яно и Яно-Киллинга.

Во второй главе изложены основные положения метода разделения переменных и метода некоммутативного интегрирования. Проведено сравнение этих двух методов.

В третьей главе найдены поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры. По этим полям, а также по полям Киллинга построены операторы симметрии и показано, что эти операторы в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера совпадают (эквивалентны). Соответственно алгебры симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера эквивалентны. Построенная алгебра является квадратичной, но содержит линейные подалгебры, которые удовлетворяют условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости.

В четвертой главе построены интегрируемые модели уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера, найдены точные решения - волновые функции, проведен анализ спектра де Ситтеровской частицы и приведена одна точно решаемая модель с граничным условием склейки плоского пространства и пространства де Ситтера.

В заключении подведены итоги и сформулированы выводы диссертации.

Основные положения диссертации, выносимые на защиту, следующие:

1. Нахождение полного числа решений уравнений на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера.

2. Изучение алгебры операторов симметрии уравнения Дирака в этих пространствах. Исследование вопроса построения интегрируемых моделей уравнения Дирака в этих пространствах в рамках метода некоммутативного интегрирования; выделение подалгебр Ли, удовлетворяющих условиям теоремы о некоммутативной интегрируемости, из общей 11-мерной квадратичной алгебры симметрии.

3. Интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера методом некоммутативного интегрирования, нахождение нового класса точных решений.

4. Подход к построению точных решений уравнения Дирака в одной модели асимптотически плоского пространства, которое склеено из пространства де Ситтера и плоского пространства.

Заключение диссертации по теме «Теоретическая физика», Тюменцев, Владимир Александрович

Заключение

Вопрос построения точно интегрируемых моделей движения-один из самых важных в квантовой физике. Несмотря на то что многие физические модели не поддаются аналитическому решению, исследуют ассимптотику, применяют теорию возмущений и другие приближенные методы, все же нахождение точных решений всегда будет актуально. В данной работе исследовались способы построния точных решений для плоского пространства и пространства де Ситтера.

Сформулируем основные результаты, полученные в диссертации:

1. Построены все решения на поля Яно и Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры; показано, что число решений одинаково и равно 25.

2. По найденным полям Яно и Яно-Киллинга построены алгебры операторов симметрии первого порядка уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры; показано, что число операторов симметрии в обоих пространствах совпадает и равно 25. Среди этих 25 операторов 11 операторов симметрии совпадают для обоих пространств и не зависят от кривизны, другие 14 в пространстве де Ситтера зависят от кривизны явно. В общем случае, вся алгебра операторов симметрии уравнения Дирака является квадратичной. В данной алгебре выделены подалгебры Ли.

3. Найдено 8 алгебр Ли в общей алгебре операторов симметрии уравнения Дирака, которые удовлетворяют теореме о некоммутативном интегрировании. Обнаружено внутреннее свойство некоторых подалгебр, что в них содержатся функциональные соотношения отличные от коммутаторов. Так в 4-х из 8 упомянутых подалгебрах есть функционые соотношения, и из-за их наличия становится невозможным проведение процедуры некоммутативного интегрирования уравнения Дирака с помощью этих подалгебр. Утверждение об отсутствии функциональных соотношений определено как критерий проведения процедуры некоммутативного интегрирования. Перечислены все такие подалгебры

4. Приведен класс моделей движения частицы со спином 1/2 в гравитационных полях Минковского и де Ситтера произвольной сигнатуры. Построен 1-й класс интегрируемых моделей включающих только Киллинговы операторы. В пространстве Минковского найдены для таких систем точные решения, которые согласуются с известными результатами в литературе. Построен 2-й класс интегрируемых моделей, включающий Киллинговы симметрии и негеометрическую симметрию Яно, называемую спинор-ной. Симетрии Киллинга и Яно найдены общими и для плоского пространства, и для пространства де Ситтера, поэтому интегрирование проводится одинаково. Получены точные решения. Особенностью 2-го класса движений является то, что инвариантной переменной является интервал и как следствие, данная система имеет 4-сферическую симметрию. Показано, что энергетический спектр электрона не зависит от сигнатуры. Найдены характерные оценки для кривизны пространства, в котором возможно взаимодействие с гравитационным полем. Построена модель сшивки плоского пространства и пространства де Ситтера с граничными условиями в виде светового конуса. t f

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тюменцев, Владимир Александрович, 2006 год

1. Andrushkevich I.E., Shishkin G.V. Criteria Of separability Of the variables in the Dirac-equation in gravitational fields// Theor. Math. Phys. 1987. - 70 (2): 204-214

2. Bajnok Z., Nogradi D. Geometry of W-algebras from the affine Lie algebra point of view // J. Phys. A: Math. Gen. 2001. - 34 (23): 48114829

3. Benenti S. Lecture Notes in Mathematics // Berlin: Springer. -1980

4. Benenti S., Francaviglia M. General Relativity and Gravitation // Plenum Press. 1979. - vol 1. p. 393

5. Bagrov V.G., Obuchov V.V. New method of integration for the Dirac equation on curved spaceHtime //J. Math. Phys. 1992. - vol 33. №6. p2279-2289

6. Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces // Class. Quantum Grav. 1990. - №7. p517-531

7. Bagrov V.G., Shapovalov A.V., Yevseyevich A.A. Separation of variables in the Dirac equation in Stackel spaces: II External gauge fields // Class. Quantum Grav. -1991. N8. pl63-173

8. Carter В., McLenaghan R.G. Generalized total angular momentum operator for the Dirac equation in curved space-time // Phys. Rev. -1979. vol. 19. p. 1093-1097

9. Cotaescu 1.1. The Dirac particle on central backgrounds and the anti-de Sitter oscillator// Mod. Phys. Lett. A. 1998. - vol 13. p. 2923

10. Dirac P.A.M. Proc. Roy. Soc. London A. 1928. - 117 610 and 118 351 Fock V.A. Z. Phys. - 1929. - 57 261

11. Fock V., Iwanenko D. Uber eine mogliche geometrische Deuturig der relativistischen Quantentheorie // Zeitschrift fur Physik. 1929. - Band 54. Heft 11/12. S. 798-802

12. Fock V., Iwanenko D. Geornetrie quantique lineaire et deplacement parallele // Comptes Rendus des Seances de L'Academie des Sciences. -1929. vol 188. №23. pl470-1472

13. Gelfand I. M., Dikii L.A. Fractional powers of operators and Hamiltonian systems // Funkt. Anal. Pril. 1976. - vol. 10. №4. p. 13-29 (in Russian; English translation: Funct. Anal. Appl. 10. 259-273)

14. Kalnins E., Miller W., Williams G. Matrix operator symmetries of the Dirac equation and separation of variables //J. Math. Phys. 1986. -vol 27. m. pl893-1899

15. Klishevich V V. Exact solution of Dirac and Klein-Gordon-Fock equations in a curved space admitting a second Dirac operator. // Class. Quantum Grav. 2001. - vol. 18. №17. p3735-3752

16. Klishevich V.V., Tyumentsev A.V. On the solution of the Dirac equation in the de Sitter space // Class. Quantum Grav. 2005. - 22. №17. p4263-4277

17. McLenaghan R.G., Spindel P.H. Bull. Soc. Math. Belgique. XXXI. -1979.- 65

18. McLenaghan R. G., Spindel P. H. Phys. Rev. 1979. - vol. 20. p. 409

19. Otchik V.S. On the Hawking radiation of spin-1/2 particles in the de Sitter spacetime // Class. Quantum Grav. 1985. - vol. 2. p. 539-543

20. Rudiger R. Separable systems for the Dirac equation in curved space-time // J. Math. Phys. 1984. - №25. p649

21. Shishkin G. V., Villalba V. M. Dirac equation in external vector field: New exact solutions // J. Math. Phys. 1989. - 30. 2373-2381.

22. Shishkin G.V. Some exact solutions of the Dirac equation in gravitational fields // Class. Quantum Grav. 1991. - 8. 175-185

23. Stepanov S. E. The Killing-Yano tensor // Theor. Math. Phys. 2003.- vol 134. №. p333-338

24. Tetrode H. Z. Phys. 1928. - 50 336

25. Weyl H. . Z. Phys. 1929. - 56 330

26. Аминова A.B. Конциркулярные векторные поля и групповые симметрии в мирах постоянной кривизны // Гравитация и теория относительности 1978. - № 14-15. - С.4-16

27. Багров В.Г., Гитман Д.М., Задорожный В. Н., Сухомлин Н. В., Шаповалов В. Н. Новые точные решения уравнения Дирака // Физика.- 1978. №2. с. 250-269

28. Багров В.Г., Гитман Д.М., Тернов И. М., Халилов В. Р., Шаповалов В. Н. Точные решения релятивистских волновых уравнений // Новосибирск:Наука. -1982

29. Багров В.Г., Мешков А.Г., Шаповалов В. Н., Шаповалов А. В. Полное разделение переменных в свободном уравнении Гамильтона-Якоби // ТМФ. 1993. - т 97. М. с250-269

30. Багров В.Г., Обухов В.В. Проблема полного разделения переменных в квадрированном уравнении Дирака // Извесгия вузов. Мааемаги-ка. 1994. - №2. cll-14

31. Берестецкий В.Б., Лифшиц Е.М., Питаевский J1. П. Квантовая электродинамика // МгНаука. 1989. - т. IV

32. Биррел Н., Девис П. Квантованные поля в искривленном пространстве-времени // М:Мир. -1984

33. Бьеркен Дж.Д., Дрелл С.Д. Релятивистская квантовая механика // М:Наука. -1978

34. Гальцов Д.В. Частицы и поля в окрестности черных дыр // М:МГУ. -1986

35. Гриб А.А., Мамаев С.Г. Мосхепаненко В. М. Вакуумные кванювые эффекты в сильных полях // М:Энергоатомиздат. 1988

36. Дирак П. Принципы квантовой механики // М:Наука. 1979

37. Желнорович В.А. Теория спиноров и ее применение в физике и механике // М:Наука. 1982

38. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике // М:Наука. 1983

39. Ициксон К., Зюбер Ж.-Б. Квантовая теория ноля // М:Мир. 1984. - т 1,2

40. Клишевич В.В. К вопросу о выборе спиновой связности при изучении уравнения Дирака в римановом пространстве // Вестник Омского университета. Физика. 1998. - №4. с19-21

41. Клишевич В.В. К вопросу о существовании сиинорных операторов симметрии для уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. 2000. 43. - №10. с87-91

42. Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Векторное ноле Яно и тензорное иоле Яно-Киллинга в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Вестник Омского университета. 2000. - №3. с20-21

43. Клишевич В.В, Тюменцев В.А. Об алгебре симметрии уравнения Дирака в плоском пространстве и пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2001. - №8. с52-58

44. Клишевич В.В., Тюменцев В.А. Некоммутативное интегрирование уравнения Дирака в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера // Известия вузов. Физика. 2003. - №9. с49-53

45. Ландау Л.Д., Лифшиц Е.М. Теория поля // МгНаука. 1988. - т 2

46. Лаппо-Данилевский И.А. Применение функций от матриц к теории линейных сжпем обыкновенных дифференциальных уравнений // М:изд. техн. -ieop. лит. -1957

47. Мизнер Ч., Торн К., Уиллер Дж. Гравитация // М:Мир. 1977. - т. 1,2,3

48. Мицкевич Н.В. Физические поля в общей теории относи:ельности // М: Наука. 1969

49. Новиков И.Д. Фролов В.П. Физика черных дыр // М:Наука. 1986

50. Райдер J1. Квантовая теория поля // М: Мир. 1987

51. Склянин Е.К. Об одной алгебре порождаемой квадратичными соог-ношенями // УМН. 1985. т 40 - №. с214-220

52. Тюменцев В.А. Некоммутативное интегрирование в плоском пространстве и в пространстве де Ситтера уравнения Дирака // Материалы Всероссийской научной молодежной конференции «Под знакома». Омск. 2003. - с17

53. Тюменцев В.А. О решениях уравнений Яно и Яно-Киллинга в пространстве де Ситтера произвольной сигнатуры// Вестник Омского университета. 2003. - №3. с24-26

54. Тюменцев В.А. Полнога алгебры операторов симмегрии уравнения Дирака в пространстве де Ситтера и функциональные соотношения между операторами // Математические структуры и моделирование. 2004. - М. cl-7

55. Федосеев В.Г., Шаповалов А.В., Широков И.В. О некоммутативном интегрировании уравнения Дирака в римановом пространстве с группой движений // Известия вузов. Физика. 1991. - №9. с43-46

56. Фущич В.И., Никитин А.Г. Симметрия уравнений квантовой механики // М:Наука. -1990

57. Хелгасон С. Дифференциальная геометрия и симплектические пространства // М:Мир. -1964

58. Хокинг С., Эллис Дж. Крупномасштабная структура пространства-времени// М:Мир. 1977

59. Чандрасекар С. Математическая теория черных дыр // М:Мир. -1986.- т 1,2.

60. Шаповалов А.В., Широков И. В. Некоммутативное интегрирование линейных дифференциальных уравнений // ТМФ. 1995. - т 104. М. С195-213

61. Шаповалов А.В., Широков И. В. Некоммутативное ишегрирование уравнений Клейна-Гордона и Дирака в римановых пространствах с группой движений // Извесгия вузов. Физика. 1991. - №5. с33-38

62. Шаповалов В.Н. Вычисление алгебры симметрии уравнения Дирака // Известия вузов. Физика. 1968. - №4. с146-148

63. Шаповалов В.Н. Симметрия уравнения Дирака-Фока // Известия вузов. Физика. 1975. - N6. с57-63

64. Шаповалов В.Н. Пространства Штеккеля // Сибирский математический журнал. 1979. - т 20. - №5. с1117-1130

65. Шаповалов В.Н. Разделение переменных в линейном дифференциальном уравнении второго порядка // Дифференциальные уравнения. 1980. - т 16. №10. С1864-1874

66. Шаповалов В.Н. ЭЧАЯ. 1976. - т 7. №3. с687-72574| Шаповалов В.Н., Экле Г. Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака // Элиста:Калмыцкий университет. -1972

67. Шаповалов В.Н., Багров В.Г., Экле Г.Г. Полные наборы и разделение переменных в уравнении Дирака// Депонировано ВИНИТИ 20.02.1975, №405 75 Деп. с17. {Рефераты: Известия вузов. Физика. 1975. т 18. №4. с158. } РЖ Физика 12Б189,75.

68. Широков И.В. Координаты Дарбу на К-орбитах и спектры операторов Казимира на группах Ли // ТМФ. 2000. - т. 123. 3. 407

69. Эйзенхарт Л.П. Непрерывные группы преобразований // М:ИЛ. -1947

70. Экле Г.Г. Алгебраические свойства уравнения Дирака// Известия вузов. Физика. 1972. - №2. с84-89

71. Яно К., Бохнер С. Кривизна и числа Ветти. // М.: ИЛ. 1957.