Интегрируемые системы кирального типа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Кащеева, Ольга Николаевна

• Кащеева, Ольга Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2007

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Кащеева, Ольга Николаевна

Введение

1 Необходимые условия существования представления

Лакса со значениями в компактных алгебрах Ли

1.1 Системы уравнений кирального типа.

1.2 Представление Лакса систем кирального типа.

1.3 Необходимые условия существования представления Лакса.

2 Представление Лакса уравнений киральных полей

2.1 Киральные поля со значениями в пространствах аффинной связности.

2.2 Модифицированные уравнения главных киральных полей.

2.3 Преобразования Бэклунда.

2.4 Законы сохранения модифицированных уравнений главных киральных полей.

3 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/(Hi х . х Hp)

3.1 Модификация конструкции Лезнова-Савельева

3.2 Лагранжевы системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида G/(H\ х . х Нр)

3.3 Примеры систем, ассоциированных с симметрическими пространствами 50(6)/(50(3) х 50(3)) и G2/(50(3) х 50(3)).

4 Системы с приводимыми метриками

4.1 Интегрируемое расширение уравнения sin-Gordon

4.2 Системы, ассоциированные с симметрическими пространствами вида 50 (р + 3)/(50 (р) х 50(3)) и

S0(p + 2)/(S0(p) х 50(2)).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интегрируемые системы кирального типа»

Одним из наиболее эффективных методов интегрирования нелинейных дифференциальных уравнений в частных производных в настоящее время является метод обратной задачи рассеяния. Поэтому актуальной остается задача описания систем нелинейных дифференциальных уравнений, к которым применим данный метод. Как известно, необходимым условием применения метода обратной задачи является наличие представления Лакса, т.е. представления изучаемой нелинейной системы в виде условий совместности некоторой вспомогательной линейной системы дифференциальных уравнений. Кроме того, представление Лакса часто оказывается полезным для построения преобразований Бэклунда и бесконечных наборов законов сохранения (см., например, [9],[13],[66]).

В диссертации изучаются системы кирального типа, т.е. специальный класс систем дифференциальных уравнений в частных производных с двумя независимыми переменными. Системы такого вида находят применение при описании ряда моделей теории поля, в математической физике, а также в теории гармонических отображений (см., например, [53]).

Интегрируемая система (см., например, [28],[31]) в диссертации понимается как система, допускающая представление Лакса.

Исторически одним из первых интегрируемых примеров рассматриваемого класса, для которого был применен метод обратной задачи, является уравнение sin-Gordon. Представление Лакса для этого уравнения построено в работах Л.А. Тахтаджяна [30] и M.J. Ablowitz'a, D.J. Kaup'a, А.С. Newel'a, Н. Segur'a [62]. В качестве других известных примеров интегрируемых систем кирального типа можно указать уравнения п-поля [65], уравнения главных ки-ральных полей на группах Ли [14], которые дали название всему классу систем, и модифицированных киральных полей [31], а также нелинейные сигма-модели на двумерном пространстве Минковско-го.

Отметим важные для теории поля системы WZNW (Wess-Zumino-Novikov-Witten), которые являются частным случаем уравнений модифицированных киральных полей, и их различные обобщения (см., например., [67]).

Интегрируемые редукции систем WZNW изучались в работах J.L. Miramontes'a, О.А. Castro Alvaredo, C.R. Fernandez-Pousa, T.J. Hollowood'a, M.V. Gallas'a ([43],[50],[51],[52],[57]).

Среди систем киралыюго типа значительный интерес также представляет система Лунда-Редже, которая является дву-компонентным интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon ([45],[59],[60],[64]).

В 1983 году А.Н. Лезнов и М.В. Савельев предложили конструкцию для построения достаточно большого класса интегрируемых систем, с помощью которой можно каждому локально симметрическому пространству G/H сопоставить представление Лакса некоторой системы кирального типа [58]. В частности, с помощью конструкции Лезнова-Савельева можно получить хорошо известные двумерные цепочки Тода и двумерные неабелевы аффинные модели Тода (см., например, [20],[69]). Особенно важно для физических приложений, что эти системы в случае полупростой группы Я оказываются вариационными, т.е. являются уравнениями Эйлера-Лагранжа для некоторого функционала. Такие системы и их вариационные редукции активно изучались в последнее время в работах следующих авторов: I. Bakas, J.L. Miramontes, Q.H. Park, H.J. Shin, A. Bilal ([38],[41],[42],[44], [55],[63],[68]).

Необходимо отметить, что для изучения интегрируемых систем используется также симметрийный подход. В работах А.Г. Мешкова и Д.К. Демского этот подход был использован для изучения трехкомпонентных систем кирального типа ([13],[19],[48],[49],[61]). С использованием компьютерных вычислений ими найдены все системы с лагранжианами специального вида, допускающие полиномиальные симметрии не выше 5-го порядка. Для большинства таких систем ими также построены представления Лакса.

Целью работы является решение следующих задач:

1. Изучение представлений Лакса систем кирального типа;

2. Исследование дополнительных возможностей конструкции Лезнова-Савельева, позволяющей ассоциировать с симметрическими пространствами интегрируемые системы кирального типа;

3. Построение новых интегрируемых систем киральпого типа другими способами.

Методы исследования. Использованы методы теории дифференциальных уравнений и теории алгебр Ли, а также методы дифференциальной геометрии.

Научная новизна и основные результаты. Основные результаты, которые выносятся на защиту, являются новыми и состоят в следующем:

1. Получены условия, необходимые для того, чтобы система дифференциальных уравнений кирального типа допускала представление Лакса со значениями в компактной алгебре Ли;

2. Найдена модификация конструкции Лезнова-Савельева, позволяющая ассоциировать с симметрическими пространствами G/(H\ х #2 х . х Hk) новые интегрируемые лагранжевы системы;

3. Построена четырехкомпопентная система, которая является новым интегрируемым обобщением уравнения sin-Gordon.

Теоретическая и практическая ценность. Диссертационная работа носит теоретический характер. Ее результаты могут быть использованы в дальнейших исследованиях, связанных с интегрируемыми системами дифференциальных уравнений, а также в учебном процессе при чтении спецкурсов.

Апробация. Результаты диссертационной работы были представлены на Всероссийской молодежной научной школе-конференции "Лобачевские чтения "(Казань, 2003, 2005); на Международной конференции БГЛ-4(Бояи-Гаусс-Лобачевский) (Нижний Новгород, 2004); на X междисциплинарной научной конференции "Нелинейный мир"(Нижний Новгород, 2005); на Международной конференции по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 2006); на Международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук "(Орел, 2006).

По теме диссертации были сделаны доклады на семинаре по геометрии и топологии кафедры геометрии и высшей алгебры Нижегородского государственного университета им. Н.И. Лобачевского (ННГУ) (рук. проф. Е.И. Яковлев и доц. Н.И. Жукова), на семинаре кафедры математики Волжской государственной академии водного транспорта (рук. проф. В.Н. Белых), на объединенном семинаре кафедры математической физики и кафедры дифференциальных уравнений и математического анализа ННГУ (рук. проф. В.И. Сумин и проф. М.В. Долов), на семинаре кафедры математики радиофизического ф-та ННГУ (рук. проф. Г.А. Уткин), на семинаре по дифференциальным уравнениям математической физики в Институте математики с ВЦ УНЦ РАН (рук. проф. Л.А. Калякин и проф. В.Ю. Новокшенов).

Публикации и вклад автора. Основные результаты диссертации опубликованы в работах [6]-[8],[16],[22]-f25], [39],[40].

В совместной статье [39] теоремы 1 и 2 доказаны А.В. Баландиным, теорема 3 доказана Г.В. Потеминым. Автору диссертации принадлежат вычисления законов сохранения, которые включены в параграф 3.1 диссертации.

В совместных статьях [6],[7],[8],[40] научному руководителю А.В. Баландину принадлежит постановка задач и общее руководство работой. Все теоремы и их доказательства получены автором диссертации.

Работы [7],[25],[40] опубликованы в изданиях, рекомендованных ВАК для публикации материалов диссертаций до 1 января 2007 г.

Структура работы. Работа состоит из введения, четырех глав и списка литературы, содержащего 73 наименования. Общий объем диссертации составляет 120 страниц.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Кащеева, Ольга Николаевна, 2007 год

1. Абловиц, М. Солитоны и метод обратной задачи / М. Абловиц, X. Сигур. - М.: Мир, 1987. - 480 с.2J Базылев, В.Т. Геометрия дифференцируемых многообразий / В.Т. Базылев. М.: Мир, 1989.

2. Баландин, А.В. Система дифференциальных уравнений, допускающая представление нулевой кривизны /А.В. Баландин // Успехи Мат. Наук. 1990. - Т. 45, № 6(270). - С. 125-126.

3. Баландин, А.В. Представление Лакса уравнений киральных полей / А.В. Баландин // Вестник ННГУ, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1998. - Т. 19, вып. 2. - С. 118-120.

4. Баландин, А.В. Представление Лакса обобщенной цепочки То-да / А.В. Баландин // Вестник ННГУ, сер. Математическое моделирование и оптимальное управление. 1999. - Т. 20, вып. 1. - С. 83-90.

5. Баландин, А.В. Необходимые условия интегрируемости систем кирального типа / А.В. Баландин, О.Н. Кащеева // Труды Международной научной конференции "Современные методы физико-математических наук"(Орел, 9-14 октября 2006 г.). -Орел. 2006 г. - С. 12-16.

6. Баландин, А.В. Интегрируемые системы кирального типа с приводимыми метриками / А.В. Баландин, О.Н. Пахаре-ва(Кащеева) // Вестник ННГУ, сер. Математика. 2004. -Вып. 1(2). - С. 5-17.

7. Буллаф, Р.К. Солитоны /Р.К. Буллаф, П.Дж. Кодри. -М.; Мир, 1983.

8. Винберг, Э.Б., Семинар по группам Ли и алгебраическим группам /Э.Б. Винберг, А.Л. Онищик. М.: Наука, 1988. - 344 с.

9. Гетманов, Б.С. Интегрируемая модель нелинейного комплексного скалярного поля с нетривиальной асимптотикой солитон-ных решений / Б.С. Гетманов // ТМФ. 1979. - Т. 38, № 1. -С. 13-23.

10. Гетманов, Б.С. Интегрируемая двумерная лоренц-инвариантная нелинейная модель комплексного скалярного поля (комплексный синус-Гордон-Н) / Б.С. Гетманов // ТМФ -1981. Т. 48, № 2. - С. 186-195.

11. Демской, Д.К. Представление Лакса для триплета скалярных полей / Д.К. Демской, А.Г. Мешков // ТМФ 2003.- Т. 134, № 3. - С. 400-415.

12. Захаров, В.Е. Релятивистски инвариантные двумерные модели теории поля, интегрируемые методом обратной задачи /B.Е. Захаров, А.В. Михайлов // ЖЭТФ. 1978. - Т. 74, № 6. C. 1953-1973.

13. Картан, Э. Геометрия групп Ли и симметрические пространства / Э. Картан. М., 1949. - 384 с.

14. Кащеева, О.Н. Интегрируемые системы типа WZNW /О.Н. Ка-щеева //Международная конференция по дифференциальным уравнениям и динамическим системам (Суздаль, 10 15 июля 2006 г.). Тезисы докладов - Владимир. - 2006 г. - С. 117-119.

15. Кобаяси, Ш. Основы дифференциальной геометрии, т. II / Ш. Кобаяси, К. Номидзу- М: Наука, 1981 416 с.

16. Лезнов, А.Н. Групповые методы интегрирования нелинейных динамических систем /А.Н. Лезнов, М.В. Савельев. М: Наука, 1985. - 280 с.

17. Мешков, А.Г. К симметрии двумерных скалярных полей ки-рального типа /А.Г. Мешков// Препр. № 28. Томск: Изд-во Томского научного центра СО АН СССР., 1991. - 22с.

18. Михайлов, А.В. Об интегрируемости двумерного обобщения цепочки Тода / А.В. Михайлов// Письма в ЖЭТФ. -1979. Т. 30, № 7. - С. 443-448.

19. Новиков, С.П. Гамильтонов формализм и многозначный аналог теории Морса / С.П. Новиков // Успехи Мат. Наук. 1982. -Т. 37, № 5(227) - С. 3-49.

20. Пахарева(Кащеева), О.Н. Представление Лакса систем кирального типа с приводимыми метриками / О.Н. Пахарева //Вестник ННГУ, сер. Математика. -2005. Вып. 1(3). - С. 114-122.

21. Попов, А.Г. Псевдосферические поверхности и некоторые задачи математической физики /А.Г. Попов// ФПМ. 2005. - Т. 11. № 1. - С. 227-239.

22. Попов, А.Г. Аналитические подходы к исследованию уравнения sin-Гордон и псевдосферических поверхностей/ А.Г. Попов, Е.В. Маевский // Современная математика и ее приложения. -2003. Т. 31. - С. 13-52.

23. Рейман, А.Г. Интегрируемые системы. Теоретико-групповой подход / А.Г. Рейман, М.А. Семенов-тян-Шанский. Москва-Ижевск: ИКИ, 2003. - 352 с.

24. Рождественский, B.JI. Системы квазилинейных уравнений и их приложения к газовой динамике /Б.Л. Рождественский, Н.Н. Янепко. -М.: Наука, 1978. 667 с.

25. Тахтаджян, Л.А. Точная теория распространения ультракоротких оптических импульсов в двухуровневых средах / Л.А. Тахтаджян // ЖЭТФ. 1974. - Т. 66, № 2. - С. 476-489.

26. Тахтаджян, Л.А. Гамильтонов подход в теории солитонов / Л.А. Тахтаджян, Л.Д. Фаддеев.-М.: Наука. Главная редакция физ.-мат. лит, 1986 528 с.

27. Теория солитонов: Метод обратной задачи / В.Е. Захаров и др.]. -М.:Наука. Главная редакция физ.-мат. лит, 1980 320 с.

28. Точные решения уравнений Эйнштейна /Д. Крамер и др.]. -М: Энергоиздат, 1982. 416 с.

29. Трофимов, В.В. Введение в геометрию многообразий с симмет-риями / В.В. Трофимов. М.: Изд-во МГУ, 1989. - 359 с.

30. Хелгасон, С. Дифференциальная геометрия и симметрические пространства / С. Хелгасон. М.: Мир, 1964.

31. Acosta, J. Generalized sine-Gordon massive Thirring models and soliton particle correspondences / J. Acosta, A. Bilal// J.Math.Phys. 2002. - V. 43. - P. 1916-1937. (hep-th/0107248)

32. Amery, G. Higher order symmetries and the Koutras algorithm / G. Amery, S.D. Maharaj // International Journal of Modern Physics D. 2002. - V. 11, № 3. - P. 337-351.

33. Bakas, I. Lagrangian formulation of symmetric space sine-Gordon models / I. Bakas, Q.-H. Park, H.J. Shin // Phys. Lett. B. 1996.- V. 372. P. 45-52. (hep-th 19512030)

34. Balandin, A. V. Lax representation of the chiral-type field equations / A.V. Balandin, O. N. Pakhareva, G. V. Potemin // Phys. Lett. A. 2001. - V. 283, № 3-4. - P. 168-176.

35. Balandin, A.V. Lax representation of WZNW-like systems /A.V. Balandin, O.N. Kashcheeva //Regular and chaotic dynamics.- 2006. V. 11, № 4. - P. 435-453.

36. Bilal, A. Non-abelian Toda theory: a completely integrable model for strings on a black hole background / A. Bilal // Nuclear Physics.B. 1994. - V. 422, № 1-2 - P. 258-288.

37. Bilal, A. Consistent string backgrounds and completely integrable 2D field theories / A. Bilal // Nucl.Phys.Proc.Suppl. A. 1996. -V. 45. - P. 105-111 (hep-th/9508062)

38. Castro Alvaredo, O.A. Massive Symmetric Space sine-Gordon Soliton Theories and Perturbed Conformal Field Theory / O.A. Castro Alvaredo, J.L. Miramontes. (hep-th/0002219)

39. Chao, L. Integrable Systems And Two-Dimensional Gravity Prom Conformally Reduced Wznw Model / L. Chao // Commun. Theor. Phys. 1993. - V. 20. - P. 221.

40. Chen, Ch. The Lund-Regge surface and its motion's evolution equation /Ch. Chen, Li Yi. //J. Math. Phys. 2002. - V. 43, № 4. - P. 1938-1955.

41. Collinson, C.D. Generalized Killing tensors. / C.D. Collinson, L. Howarth // Relativity and Gravitation. 2000. - V. 32, № 9. -P. 1767-1776.

42. Dijkgraaf, R. String propagation in a black hole geometry / R. Dijkgraaf, H. L. Verlinde, E. P. Verlinde // Nuclear Physics B. 1992. - V. 371. - P. 269-314.

43. Demskoi D. K. Zero-curvature representation for a chiral-type three-field system / D.K. Demskoi, A.G. Meshkov // Inverse Problems. 2003. - V. 19, № 3. - P. 563-571.

44. Ferreira, L.A. Tau-functions and Dressing Transformations for Zero-Curvature Affine Integrable Equations / L.A. Ferreira, J.L. Miramontes, J. Sanchez Guillen // J.Math.Phys. 1997. -V. 38. - P. 882-901. (hep-th/9606066)

45. Fernandez-Pousa, C.R. The Symmetric Space and Homogeneous sine-Gordon Theories / C.R. Fernandez-Pousa, M.V. Gallas, T.J. Hollowood, J. L. Miramontes // Nucl.Phys. B. 1997. -V. 484. - P. 609-630. (hep-th/9606032)

46. Fernandez-Pousa, C.R. Solitonic Integrable Perturbations of Paraferrnionic Theories / C.R. Fernandez-Pousa, M.V. Gallas, T.J. Hollowood, J.L. Miramontes // Nucl.Phys. B. -1997. -V. 499. P. 673-689. ( hep-th/9701109)

47. Fordy A.P. Harmonic maps and integrable systems / A.P. Fordy, J.C. Wood // Aspects of Mathematics, vol. E23, by Vieweg, Braunschweig Wiesbaden, 1994. - 323 p.

48. Gawedzki, K. G/H conformal field theory from gauged WZW model / K. Gawedzki, A. Kupiainen // Phys. Lett. B. 1988. - V. 215. -P. 119-123.

49. Gomes, J.F. Classical Integrability of Non Abelian Affine Toda Models / J.F. Gomes, E.P. Gueuvoghlanian, G.M. Sotkov, A.H. Zimerman // XXIII International Colloquium on Group Theoretical Methods in Physics, Dubna, August 2000.

50. Hollowood, T.J. Massive Integrable Soliton Theories / T.J. Hollowood, J.L. Miramontes, Q. Han Park // Nucl. Phys. B.- 1995. V. 445. - P. 451-468.

51. Miramontes, J. L. Tau-Functions generating the Conservation Laws for Generalized Integrable Hierarchies of KdV and Affine-Toda type /J.L Miramontes / (hep-th/9809052)

52. Lund, F. Unified approach to strings and vortices with soliton solutions / F. Lund, T. Regge// Phys.Rew. D. 1976. - V. 14, № 6. - P. 1524-1535.

53. Lund, F. Example of a Relativistic, Complete Integrable, Hamiltonian System / F. Lund // Phys. Rew.Lett. 1977. - V. 38, № 21. - P. 1175-1179.

54. Meshkov, A.G. Tools for Symmetry Analysis of PDEs / A.G. Meshkov // Differential equations and control processes. Electronic Journal, 2002. V. 1. http://www.neva.ru/journal (см. также http://www.orel.ru/meshkov).

55. Method for solving the Sine-Gordon equation /M.J. Ablowitz, D.J. Каир, A.C. Newel, H. Segur// Phys. Rev. Lett. 1973.- V.30, № 25. - P. 1262-1264.

56. Park, Q.H. Nonabelian sine-Gordon theory and its application to nonlinear optics / Q.H. Park, H.J. Shin // Proceedings of the 2nd Sakharov Conference on Physics, Moscow, May, 1996. (hep-th/9606094)

57. Park, Q.H. Vortex Strings and Nonabelian sine-Gordon Theories / Q.H. Park, H.J. Shin // Phys.Lett. B. 1999. - V. 454. - P. 259. (hep-th/9907069)

58. Pohlmeyer, K. Integrable Hamiltonian systems and interaction through quadratic constraints / K. Pohlmeyer // Comm. Math. Phys. 1976. - V.46, № 3. - P. 207-221.

59. Sasaki, R. Soliton equations and pseudospherical surfaces / R. Sasaki // Nucl. Phys. B. 1979. - V. 154. - P. 343-357.

60. Sfetsos, K. Antisymmetric tensor coupling and conformal invariance in sigma models corresponding to gauged WZNW theories / K. Sfetsos, A.A. Tseytlin // Phys.Rev. D. 1994. -V. 49. - P. 2933-2956. (hep-th/9310159)

61. Tsutsui, I. Global Aspects of the WZNW Reduction to Toda Theories / I. Tsutsui, L. Feher // Prog.Theor.Phys.Suppl. 1995. - V. 118. - P. 173-190. (hep-th/9408065)

62. Underwood, J. Aspects of Non-Abelian Toda Theories Imperial/TP/92-93/30. (hep-th/9304156)

63. Wahlquist, H.D. Prolongation structures of nonlinear evolution equations / H.D. Wahlquist, F.V. Estabrook //J. Math. Phys. -1975. V.16, № 1. - P. 1-7.

64. Wess, J. Consequences of anomalos Ward identities / J. Wess, B. Zumino // Phys. Lett. B. 1971. - V. 37. - P. 95-97.

65. Witten, E. Nonabelian bosonization in two-dirnenisions / E. Witten //Commun. Math. Phys. 1984. - V. 92. - P. 455 472.

66. Witten, E. On string theory and black holes / E. Witten // Phys. Rev. D. 1991. - V. 44. - P. 314-324.