Интерполяционный процесс по операторным значениям тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, кандидат физико-математических наук Цвырко, Олег Леонидович

• Цвырко, Олег Леонидович
• кандидат физико-математических наук
• 1999

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интерполяционный процесс по операторным значениям»

Пусть И ж П некоторые классы аналитических функций в области G комплексной плоскости С, {zn} - последовательность из G, а } ■ = последовательность комплексных чисел из некоторого пространства последовательностей 8. Требуется найти условия, налагаемые на классы Д, П, S и последовательность {zn} , при которых для любой функции f(z) из класса Н найдётся функция Pn (z) из класса Ш такая, что f(z) = Pn(z) + rn(z), (0.1) где выполняется lim rn{z) = 0о (0=2)

Предполагается, что интерполирующая функция Pn(z) однозначно определяется заданием функции f{z) и последовательностей {zn} и {w„}, т = 1,2,.

Задачей получения формулы (0.1) и выяснением условий, обеспечивающих выполнение (0.2), занималось много математиков. Основополагающие моменты этих исследований изложены, например, в монографиях [1], [2], [5], [7]. Укажем также работы [8], [9], [10]. При этом необходимо заметить, что, как правило, в качестве класса интерполирующих функций выбирается класс многочленов

7Г(-/)

Свойства интегрального оператора ^аъ 5 введённого И.И.Бавриным в [16], [17], исследованы в [11], [12].

В предлагаемой работе рассмотрены различные случаи принадлежности функции классам: целых функций, функций аналитических во всей комплексной плоскости за исключением конечного числа точек (класс и периодических функций. При этом соответственно предполагается, что интерполирующая функция Рп{%) из класса П ищется в классе алгебраических многочленов, рациональных функций и экспоненциальных многочленов.

В диссертации используется методология теории интегрирования и теории операторов.

Все основные результаты работы являются новыми и опубликованы. Получены формулы представления (0.1). для всех перечисленных выше случаев принадлежности функции /(г) классам И3 при этом выведены новые интегральные формулы. В каждом случае указаны условия, налагаемые на класс Н и последовательность обеспечивающие гп(г) к нулю (0.2). неулучшаемость, в смысле выбора констант в теоремах, указанных услови Перейдём к более подробному изложению содержания диссертавд Она состоит из вводной части и трёх глав.

Первая глава посвящена интерполированию целых функций л значениям оператора ^аъ (по операторным значениям) и исследован! вопроса об условиях осуществления этого. значениям в узлах интерполяции и получением условий, обеспечивающих его сходимость, занимались В.Л. Гончаров [1], [13], [14], А.О. Гельфонд [2], [15], Б.Я. Левин [4], М.А. Евграфов [9]. Наиболее общая теорема доказана в работе И.И.Ибрагимова и М.В.Келдыша [18]. Можно также отметить

В первом параграфе главы рассматривается ряд вспомогательных предложений и понятий. Доказано одно алгебраическое свойство оператора

АЪ на основании которого получается формула, дающая значение голоморфной в некоторой выпуклой области О функции /{¿) через значения интегрального оператора от неё в этой области.

Теорема 1.1. Если функция /(г) голоморфна в выпуклой области О

Е & С и 2 е С/ и: параметровАшЬ оператора

Следующий параграф посвящен выводу основного соотношения (0.1) в

АЪ I т(-1) оператора ^аь к=1

9 9 с

Теорема 2.1. Если функция /(г) голоморфна в С?, то для г еО\

1,2,.,71+ 1, и для {га)}5 у = 1,2,. г, / ) + г,

1 ^

Г=1 многочлен степени п и и V ?

И + 1 V 9 у (г)

1+1 г(-0 АЪ

- и+1 г) г"|.+1 п+1

1,^2 5 °"2П+1 9 г е точку 2 и лежит внутри Ги+! (г) т(~ О оператора Ьль

9 =

1,2,.,« +1, С

Далее перечисляется ряд формул, получающихся при различных

К) ы<

А+1 и к—* да = 00 равномерно сходиться к функции /{¿) на любом компакте.

При этом отмечается, что величину в{г) нельзя выбрать другой.

Следующие параграфы главы содержат материал по интерполированию целых функций в узлах с бесконечной нижней плотностью

1п п(г) у = Нт—--= оо г-^оо шг

Получены достаточные условия, обеспечивающие сходимость указанного интерполяционного процесса, причем отмечается, что полученные условия определяют, в случае оператора нулевого порядка, более широкий класс функций, чем указанный в [23], [24], [25].

Далее по аналогии с известными рассуждениями [20], [21], [22] вводятся ступень, порядок и тип функции бесконечного порядка. Для последовательностей с бесконечной нижней плотностью предлагается шкала в терминах ступени, порядка и типа роста последовательности. Доказываются достаточные условия в терминах перечисленных характеристик.

В заключении главы показывается на основе примера, что полученные достаточные условия сходимости интерполяционного процесса улучшить нельзя.

Во второй главе исследуется вопрос о возможности построения

7т(~1) интерполяционного процесса по значениям оператора ^аь и условиях его есть рациональная функция и

Что касается последовательности узлов интерполяции, то для её характеристики около предельных точек вводится порядок и тип сходимости соответственно равенствами 1т® -а п 8

I И—»СО

5 а. использованием этих характеристик доказано ряд утверждении.

Следствие 9.1. Последовательность интерполяционных рациональных

1ь \'"2 э ° °°9 ыр / 9 , Ьудет равномерно сходиться к этой функции во

Интерпол! меньше, 1)<

Последняя глава диссертации содержит решение задачи построения

АЬ годом Ш функции вопросов отражён в [30], [31], [32]. экспоненциального типа

Пусть область О выпуклая, ограниченная кусочно гладкой кривой dG такая, что если точка то все точки г+ 2 жк ^ к = ± 1?±2?.00 не принадлежат G.

Для класса таких областей верна

Теорема ЮЛ. Если голоморфная в области О функция /{¿) и все её производные до порядка /л = 0Д,2,. включительно непрерывны в замкнутой области С, то для I = ОД ,2це(? верна формула

Теорема 12.1. Интерполяционная последовательность экспоненциальных многочленов, построенная для функции /(г) из класса р) по операторным значениям в узлах интерполяции , у= 0,±1,±2,.,±1:5 удовлетворяющих условиям

V V V V ? г V У г V л г(-0

Э^АЬ для нижнем полуплоскостей, в которых положено < тг <

Чтобы доказать условия сходимости в терминах порядка и типа роста последовательности узлов интерполяции. В параграфе 13 приводятся постоянное внимание и помощь в исследовании и за ценные указания по жене и дочке за терпение и доброту, которым они окружили его во врем! У 1 9