Интерполяция функциональных пространств классов Бесова и Лизоркина-Трибеля тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Крепкогорский, Всеволод Львович

• Крепкогорский, Всеволод Львович
• доктор физико-математических наук
• 2009

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Крепкогорский, Всеволод Львович

Условные обозначения

Введение.

1 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ЛИНЕЙНЫХ ОПЕРАТОРОВ В ПРОСТРАНСТВАХ БЕСОВА И ЛИЗОРКИНА-ТРИБЕЛЯ.

1.1 Введение.

1.1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Интерполяция в классе банаховых пространств Бесова.

1.2.1 Известные случаи

1.2.2 Интерполяция пространств isp[Lp].

1.2.3 Интерполяция пространств Бесова. Общий случай

1.2.4 Интерполяция пространств класса BL

1.3 Квазинормированные пространства Бесова.

1.3.1 Проблема интерполяции квазинормированных пространств Бесова.

1.3.2 Интерполяционная теорема для квазинормированных пространств Бесова.

1.4 Пространства BL и их свойства.

1.4.1 Основные свойства пространств BL. Сопряженные пространства

1.4.2 Свойство лифтинга

1.5 Интерполяция в классе пространств Лизоркина-Трибеля

1.5.1 Вложения между пространствами классов BL и F

1.5.2 Интерполяция пространств F£q.

1.5.3 Интерполяция пространств Бесова Вс одинаковыми s.

1.5.4 Интерполяционная теорема со слабыми условиями для пространств Лизоркина-Трибеля

1.5.5 Интерполяция с участием пространств W*, Н*, Lp

1.6 Теоремы вложения для пространств типа BL.

1.6.1 Вложения пространств на Rn.

1.6.2 Пространства следов.

1.7 Контрпримеры к теории интерполяции функциональных пространств.

1.7.1 Сравнение результатов интерполяции в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля

1.7.2 Пространства Lb^kq при разных к не совпадают

1.8 Выводы.

2 ИНТЕРПОЛЯЦИЯ В КЛАССЕ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА Bsp,

КОГДА ОДИН ИЗ ПАРАМЕТРОВ р РАВЕН БЕСКОНЕЧНОСТИ

2.1 Введение.

2.1.1 Основные определения и обозначения.

2.2 Интерполяционные теоремы.

2.2.1 Интерполяция в классах пространств Лизоркина-Трибеля и Бесова в случае бесконечного значения

2.2.2 Интерполяционные теоремы для пространств Гельдера

Зигмунда, bmo, Лебега.

2.2.3 Интерполяция пространств. Бесова и Lqo.

2.3 Выводы.

3 МНОГОМЕРНАЯ ИНТЕРПОЛЯЦИЯ

3.1 Многомерная интерполяция. Метод

3.1.1 Введение.

3.1.2 Реализация метода Q в классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля

3.1.3 Билинейные операторы и тензорные произведения

3.1.4 Интегральные операторы в пространствах Бесова

3.2 Метод Спарра.

3.2.1 Основные определения.

3.2.2 Интерполяция пространств Лизоркина-Трибеля.

3.2.3 Пространства Бесова.

3.2.4 Связь между функторами Спарра и Петре.

3.3 Выводы.

4 ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫЕ НОРМЫ ОПРЕДЕЛЕННЫЕ С ПОМОЩЬЮ РАЗНОСТЕЙ. ПРОБЛЕМА ВНУТРЕННЕГО ОПИСАНИЯ НОРМЫ ДЛЯ ИНТЕРПОЛЯЦИОННЫХ ПРОСТРАНСТВ

НА ОБЛАСТИ

4.1 Пространства гладких функций на окружности.

4.1.1 Введение

4.1.2 Основные определения и обозначения.

4.1.3 Интерполяция пространств Lp с весом.

4.1.4 Интерполяционные пространства BL.

4.1.5 Эквивалентность интерполяционных норм.

4.2 Интерполяционные пространства на областях. Проблема внутреннего описания норм.

4.2.1 Интерполяционные пространства на областях.

4.2.2 Внутреннее описание нормы на области.

4.2.3 Случай к = 0.

4.2.4 Теорема вложения.

4.3 Интерполяционные пространства аналитических функций с дифференциально - разностной нормой.

4.3.1 Основные определения и обозначения.

4.3.2 Интерполяция пространств LP(U, ш, /х)

4.3.3 Сопряженные пространства

4.3.4 Интерполяция пространств (А.

4.4 Выводы.

ИНТЕРПОЛЯЦИЯ ПРОСТРАНСТВ БЕСОВА НА ОКРУЖНОСТИ И РАЦИОНАЛЬНАЯ АППРОКСИМАЦИЯ В НОРМАХ ВМО, Нр И Loo.

5.1 Пространства гладких функций на окружности.

5.1.1 Введение.

5.1.2 Основные определения и обозначения.

5.2 Интерполяция с помощью К-метода. Функторы (•,

5.2.1 Интерполяционные пространства

5.2.2 Нормы пространств (В, в терминах последовательности сверток.

5.2.3 Описание интерполяционных пространств в терминах потенциалов Грина

5.3 Интерполяционные методы.

5.3.1 К-метод с симметричным параметром.

5.3.2 К-метод с функциональным параметром.

5.4 Интерполяция банаховых структур с помощью К-метода с функциональным параметром

5.4.1 Интерполяционные пространства

5.4.2 Интерполяция пространств L3p.

5.4.3 Пространства последовательностей. Интерполяционные пространства (£, £)f,q,K

5.5 Интерполяция банаховых структур с помощью К-метода с симметричным параметром.

5.5.1 Интерполяционные пространства.

5.5.2 Интерполяция пространств Lp с весом

5.5.3 Интерполяция пространств Lsp с помощью метода Беннетта

5.5.4 Интерполяция пространств последовательностей £р с помощью метода Беннетта

5.6 Интерполяция пространств Бесова Вр(Т) и Ар(Т).

5.6.1 Ретракты пространств Lp.

5.6.2 Интерполяция К-методом с функциональным параметром

5.6.3 Интерполяция с помощью К-метода с симметричным параметром.

5.7 Пространства рациональной аппроксимации по норме В МО.

5.7.1 Основные определения

5.7.2 Пространства аналитических функций, которые являются пространствами рациональной аппроксимации

5.7.3 Ип - пространства.

5.8 Рациональная аппроксимация по норме Нр.

5.8.1 Пространства аналитических функций.

5.9 Рациональная аппроксимация по норме Loo

5.10 Аналитические пространства рациональной аппроксимации

5.10.1 Аппроксимация по нормам Нр и ВМОА

5.11 Выводы.

Условные обозначения

Будем использовать следующие обозначения: ~ - знак эквивалентности двух норм (квазинорм); □ - конец доказательства. cij • v - атомическая мера с плотностью (aj) (мера атома {j} равна a,j ); (Ао, А\)ел - интерполяционные пространства К-метода (п.1.1.1); (Ао, Ai)fiq-K ~ интерполяционные пространства К-метода с функциональным параметром (п.5.3.2);

1Н(4ь '•= {« е А0 +Ах : IHIf,q-,K = , а, Ао, А!)/(/й * tllq)\Lq\\ < 00} (п.5.1.2);

A)e,q,Sparr, {A)e,q,Ki (A)o,q,j ~ многомерные интерполяционные функторы метода Спарра (п.3.2.1);

Ар(Т) = Р(Вр(Т)) — пространства Бесова аналитических функций на окружности (п.4.3.2)

Ъто и ВМО - неоднородное и однородные пространства функций ограниченной средней осциляции (п.2.1.1); В— класс полумультипликативных функций (п.5.3.2); Bpq(Rn) - пространство Бесова на Rn (п.1.1.1); Вр(Т) - пространство Бесова на окружности (п.5.1.2);

ВЬр'д(Т)сг и АЬр'д(Т)сг - интерполяционные пространства с нормами в терминах квазианалитических продолжений (потенциалов Грина) (п.5.2.1); BLф ^ и АЬфЬд - интерполяционные пространства, полученные с помощью метода с функциональным параметром (п.5.4.1); Сm - пространства дифференцируемых функций (п.2.1.1); dn{f) = distBMo{f, Ип) (п.5.7.2); D = {z £ С : \z\ < 1} - единичный открытый круг; Т>' - пространство распределений; D'+ - пространство аналитических на Т функций:

D+ = {/ = : 1^1 = 0(т/), п оо,/3 = £(/) < оо} (п.4.3.1);

Ei = {£ Е С : 1/2 < |£| < 2}, Е2 = {£ G С : 1 < < 2}, Щ = {£ е С : 1/2<|£|<1}- множества на комплексной плоскости (п. 5.1.2); (Esf)(t) = f(st), 0 < t < оо — оператор растяжения; \\f\BL^(G)\\W и \\f\BLykq(G)\\№ - варианты «внутренней» нормы на области(п.4.2.2);

•// - мера с плотностью fix), определенная на множестве Е равенством д)(Я)= [ f(xW(x)-, J Е f(t) := supS>0f(ts)/f(s) <oo WG (0, oo) (n.5.3.2); (/)*(£) = inf{<7 : m(cr,/) < t} (или просто f*(t)) - невозрастающая равноизмеримая относительно меры /л перестановка функции /(ж), где m(aj) :=n({x:\f(x)\>a}) (п.1.1.1);

- обратное преобразование Фурье ; ||/|i?|| - квазинорма пространства Е от функции /(подробнее п.1.1.1);

Условные обозначения ^ f\ASp(T)\\os = \\Г\Щ\\ при 0 < 8 < 1, 1 < р < оо, f\Asp(T)\\os = ll/l^pll при —l<s<0, 1<р<оо- нормы Освальда на пространствах Бесова аналитических функций (п.4.3.2); е А№\т) & Г е 1 - kl)1-^,(i - H^-VonD^ при

О < s < 1, 1 < р < оо;

И/ИвдНЛИ = - И)14^1 - И)"*"1"»)!! при о < 5 <

1, 1 <р < оо (п.4.3.2);

Н/Им'СПН = ll/IW.(! - - lzl)"tlm2)|| при -1 < в <

0, 1 < р < оо; f\G[E]\\ = ||||/(ж,?/)|£(Х)|| |<х(У)|| - смешанная квазинорма (п.1.1.1);

F^q(Rn) - пространство Лизоркина-Трибеля (п.1.1.1);

Tf - преобразование Фурье функции / ;

Gs(Rn) - пространства Гельдера-Зигмунда (п.2.1.1); h(s) := ||#8|| = sups <j(Esf)/cr(f)- индикаторная функция нормы сг(п.5.3.1);

Hp - пространство бесселевых потенциалов (п.1.1.1);

Tip - пространство определенное равенствами: в случае а) при 0 < s <

1, 1 < р < оо

Щ = D'+ f| (1 - И)1—1/* та); в случае б) при — 1 < s < 0, 1 < р < оо (п.4.3.2)

Щ = D'+ (1 " ИГ'-^тг).

Hank - множество операторов Ганкеля (п.5.1.2). k-метод Беннетта(п.5.3.1);

K(t,f, Aq, Ai) - К-функционал Питре (п.1.1.1);

K(t:a:A) - К-функционал метода Спарра (п.3.2.1); lsq - пространство lq с весом 2is,j G Z+] L - банахова структура (п.1.1.1);

L1 - банахова структура ассоциированная с банаховой структурой L (п.1.4.1);

LP{T>, fi) - пространства Lp на множестве Т> с весом ш и мерой /j, или просто

Ьр{ш) - пространство Lp с весом fi) - пространство Лоренца с весом ш и мерой ц (п.1.1.1); Lp'^(Rn) и BLp^Rn) - интерполяционные пространства (п.1.1.1); Lp>*(Gx N) - пространство двойных последовательностей функций {(f ij с нормой х = £ (jf ■ f)h. где - лебегова мера на Rn: г\ - атомическая мера на Л/о с мерой атома равной 1, N = ЛГ или Л/о (п.4.2.2)

- пространство с нормой \\f\Lk^q(E)\\ := = \\f*\A%(E1 p~h+l,p~k~l -7712)11 (п.5.4.1); Le(X) - пространство с симметричной нормой (п.5.3.1); m - мера Лебега на Т или на [0, оо); тп - лебегова мера на Rn\ Af - множество натуральных чисел;

U{0};

Р - проектор Рисса, определенный на ТУ равенством Р/ = XlnLo f(n)zTl п.5.1.2)

Qo = (—1; l)n- единичный n-мерный куб; rn{f) = distBM0A(f, (п.5.7.1).

Rp q - аппроксимационное пространство функций / е Нр с квазинормой при a>0,0<p, д<оо (п.5.8.1);

7Zn - множество рациональных функций на С с полюсами вне окружности Т, сумма кратностей которых (с учетом точки оо) не превосходит п

S = S(Rn) - пространство Шварца комплекснозначных быстроубываю-щих функций на Rn\

S' = S'(Rn) - пространство всех умеренных распределений; Г = {г £ С : \z\ = 1} - единичная окружность на комплексной плоско

Z (Z+) - множество целых (и неотрицательных чисел); Ztv - множество целых чисел i £ [1, N]; Wp - пространство Соболева (п.1.1.1); a d= lims>0 (- log h(s)) / log s; /3 d= lim,,-*» (- log h(s)) / log s- индексы Бойда для симметричной нормы (п.5.3.1) aj d= lim^+oo log f{t) / log t, d= lim*»o log f(t) / log t, — индексы Бойда для функций из В(п.5.3.2) ;

Am(y, E)f(x) := если x,VZRn,ae Д», h G ll/l^ocll = ||/|Яр|| + sup(2*V2,(/>tfp)) п.5.9); сти С;

Условные обозначения

-—^— 1и

Ri,E С G С Rn, т G Л/о при [ж, ж + ту] С Е и Дт(у, E)f(x) := 0 при [ж, ж + rra/] £ Е (п.4.2.2);

Af(h,E)f(x) = Am(he\E)f(x), г = 1,2,3.,тг; где ег' - единичный вектор г-ая координата которого равна 1, а остальные 0 (п.4.2.2); 4т)(/, М) = №(tu, Gt)f(x)\du (п.4.2.2); Аф - пространство последовательностей (п.5.4.3); Лф- пространства Лоренца (п.4.3.2); Аф(Х,а;,//)- пространство Лоренца с весом (п.4.4.1); v - атомическая мера на Z+ (мера атома равна единице); (</?)*- оператор, определенный равенствами |£| — 1 , <£>*(£) := esssup|^(A)| при А| < р(£)/2 и £ е С (п 5.1.2);

3'e,Q((A',A;)fc=o,i)i=o,i многомерный интерполяционый функтор (п.3.1.1); 3?п - множество рациональных функций на С с полюсами вне круга clozD = {z G С : \z\ < 1}, сумма кратностей которых (с учетом точки сю) не превосходит п (п.5.7.2).

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Интерполяция функциональных пространств классов Бесова и Лизоркина-Трибеля»

Диссертация посвящена исследованию интерполяции в классах пространств Бесова Bpq и Лизоркина-Трибеля Fpq. Эти классы включают в себя многие из известных пространств, например, пространства Соболева, Никольского, Харди. Пространства Bpq и Fpq используются при исследовании краевых задач для эллиптических уравнений, возникают как пространства следов в теоремах вложения. Пространства Бесова известны также своими аппроксимационными свойствами.

Несмотря на то что в книгах Берга и Лсфстрёма ( Bergh J., Lofstrom J.) [12] или Трибеля (Triebcl Н.) [52, 53] можно найти значительное количество формул интерполяции в классах пространств Bsp q и Fpq, теория интерполяции для данных классов пространств далека от завершения.

На первом этапе развития интерполяции линейных операторов в 20-х и 30-х годах XX века были получены первые интерполяционные теоремы Рисса-Торина (Riesz М., Thorin G.O.) [ 123 ] , [ 126 ] и Марцинкевича (Marcinkiewicz J.) [ 107 ] для пространств Lp.

Следующий этап в развитии общей теории интерполяции линейных операторов приходится на 50-60 годы XX века. В этот период были разработаны разными авторами несколько общих методов интерполяции.

---15

Например, Петре (Peetre J.) [114] были предложены К и J- методы интерполяции; Лионсом (Lions J.) и Петре - метод средних; Лионсом - метод следов; С.Г.Крейном - метод шкал [ 26 ], [ 27 ]; Кальдероном (Calderon А.Р.) - «комплексные» методы. В дальнейшем оказалось, что многие из этих методов эквивалентны между собой. В настоящий момент, из перечисленных, чаще всего используются К и J- методы Петре и комплексные методы Кальдерона. Применение методов Кальдерона и Петре в конкретных классах пространств чаще всего приводит к различным результатам.

Появление общих интерполяционных методов не означает, что получение интерполяционных теорем для данного класса пространств стало тривиальной задачей. Например, для классов Бесова и Лизоркина-Трибеля первые результаты были получены в начале 60-х годов, но и сейчас теория интерполяции для этих пространств не может считаться законченной. Общая схема для интерполяции таких пространств была разработана Лионсом и Петре [100], Петре [118] и другими авторами. Основную часть полученных ими результатов можно найти в книгах [12, 52, 53].

Применим интерполяционный функтор Петре (•, к паре пространств Бесова В^, г = 0, 1. Что получится в результате? «Классическая» теория интерполяции в классе Бесова, изложенная в книгах [12, 52, 53] не может дать ответ на этот вопрос в общем случае. Дело в том что класс пространств Бесова незамкнут относительно функторов Петре. Теория же описывает все известные частные случаи, когда пространства (Вр°, Вр1^ в принадлежат классам Вр или Fpq или их расширенным вариантам Bsp q ^ или Bpjp. Будем называть частный случай пар пространств Бесова, когда это выполняется, «диагональным». Однако, вообще говоря, пространства (Вр°, могут не принадлежать к этим классам. В диссертации дано описание интерполяционных пространств BL^ :— (Вр°, Вр^д , где к - угловой коэффициент прямой, проходящей через точки Как следует из общей теории интерполяции, пространства класса BL «наследуют» полезные свойства пространств Бесова Bp. Например, они образуют систему, замкнутую относительно теорем вложения. Кроме того, они наследуют аппроксимационные свойства пространств Бесова. Поэтому среди пространств типа BL мы находим пространства рациональной аппроксимации по нормам ВМО, пространств Харди Нр я Loo.

В принципе, необходимый аппарат для описания пространств BLp^ был разработай еще в 60-е годы. Однако, в те времена появление нового класса пространств выглядело не целесообразным, так как не было известно задач, которые оправдывали бы введение этого нового понятия. Вероятно поэтому, первые описания пространств типа BL, не включающихся в классы Бесова и Лизоркина-Трибеля, были получены не специалистами по интерполяции, а математиками, занимающимися другими вопросами. Для пространств BLp^iT) = Bp(Pl)e,q на окружности такие описания были получены В.В.Пеллером [46,47] и В.В.Пеллером, С.В.Хрущевым [48] в терминах квазианалитических продолжений. Эти описания были получены в связи с задачей описания как

Введение ^ можно более широкого класса пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО. Аналогичная задача решалась А.А.Пекарским [41] для пространств рациональной аппроксимации про норме Нр. В этом случае необходимо получить описание интерполяционного пространства типа

Частные случаи интерполяции пространств Лизоркина-Трибеля - пары рассматривались Н.Я.Кругляком [32], Ю.А.Брудпым и Н. Я. Кругля ком [64].

Заметим, что в связи с задачами аппроксимации, в первую очередь представляет интерес интерполяция не пар пространств Бесова (вЦРо, BplPl)eа интерполяция с участием пространств ВМО, Нр. Например, для получения аппроксимационых пространств по норме ВМО надо описать интерполяционые пространства fВМО, ВР{Р1\ . Для че

У 6,q бышевской аппроксимации надо описать интерполяционное пространство (L0о, Вр\)в . Для решения первой задачи базовым можно считать результат Петре (Peetre J.) и Свенсона (Svensson Е.) [119], которыми была доказана формула

ВМО, B'A)e v = щ в случае s = #si, 1/р = 9/pi. Хотя в этом случае ответ получен только при значении параметра р = 9/pi, однако, применяя теорему о реите-рации, можно перейти к общему случаю. Описание интерполяционного пространства (Lоо, Вр\)в получено Ю.В.Нетрусовым [36].

В диссертации получены интерполяционные теоремы с участием про

1. странств Бесова или Лизоркина-Трибеля с одной стороны, а с другой —

Гельдера-Зигмунда, В МО, Лебега, Ь^.

Наряду с одномерными интерполяционными функторами Петре рядом авторов изучались многомерные интерполяционные функторы. Известны методы Спарра (Sparr G.) [124], Фернандеса (Fernandez D.L.) [83,84,85]. Можно упомянуть также работы И.А.Асекритовой [56], Н.Я.Кругляка, Малигранды ( Maligranda L.) [2], Кобоша (Cobos F.) [75, 74, 73, 72], Цвикля (Cwikel М.) [77], Нурсултанова Е.Д. [39] и других [60, 66, 67, 69, 81, 82, 110, 111]

Заметим, что многомерные функторы в классах Бесова обладают более мягким действием в том смысле, что классы В* q ^ замкнуты относительно многомерных функторов , но не замкнуты относительно обычных функторов Петре. Это позволяет получить в классах пространств Бесова интерполяционные теоремы, использующие слабые условия вида: Т : Bs\ m —В~ , v Реализация многомерных интерполяционных методов в конкретных классах пространств вызывает большие трудности, чем реализация метода Петре. Известно, что единственный пример реализации метода Фернандеса в классе пространств со смешанной нормой оказался неточен. Соответствующие контрпримеры были приведены рядом авторов [111, 56, 77, 141], в том числе и автором диссертации.

При реализации метода Петре очень полезна теорема о реитерации. Аналогичные теоремы известны и для метода Спарра (теоремы о стабильности по терминологии Спарра). При доказательстве теоремы о реитерации для метода Петре используется эквивалентность норм (•, ')e,q,K ~ q,j• Совершенно аналогична ситуация в случае метода Спарра, за исключением того обстоятельства, что интерполяционные нормы полученные с помощью АТ-метода и J-метода не обязательно эквивалентны. Поэтому все теоремы о стабильности для метода Спарра доказаны им при дополнительном условии, что в данном классе пространств обе нормы эквивалентны. Несмотря на приведенный Спарром критерий эквивалентности, доказательство этого утверждения в конкретном классе пространств обычно является нетривиальной задачей. Серьезное продвижение в этом направлении было достигнуто И.А.Асекритовой и Н.Я.Кругляком [58]. Им удалось доказать эквивалентность интерполяционных норм полученных К и J методами для банаховых структур и их ретрактов. Так как пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля являются ретрактами банаховых структур, то это позволило реализовать метод Спарра в данных классах пространств. В статье [57] И.Асекритовой, Н.Кругляка, Малигранды, Николовой (Nikolova L.Y.) и Перссона (Persson J.) получена интерполяционная теорема для метода Спарра, использующая слабые условия типа Т : Щцу —> Щ оо(оо)- Одновременно мною был получен близкий результат [140] - интерполяционная теорема для пространств Бесова, использующая слабые условия вида Т : ^ —> irs р, 00,(оо)

В первых главах диссертации разработана теория интерполяции для пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля на i?n. Однако, основные приложения пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля связаны с теоремами вложения, с теорией дифференциальных операторов на области. В прин

---2 ципе несложно перенести основные результаты с пространств на Rn на пространства на области. Однако при этом получаются нормы, в которых используются инфимумы норм от всевозможных продолжений данной функции через границу области. Интересно было бы получить внутреннее описание интерполяционной нормы, в котором не рассматриваются никакие продолжения функции через границу области. Для норм пространств на области естественно использовать дифференциально-разностные конструкции. Конкретный вид интерполяционной нормы зависит от вида нормы в исходном пространстве Бесова. В диссертации получены описания интерполяционных норм на базе конструкций Х.Трибеля [ 53, стр.132], О.В.Бесова [ 14 ] и Освальда (Oswald Р.) [ 112 ]. Получены описания «внутренних» интерполяционных норм для областей, удовлетворяющих условию конуса. Доказана теорема вложения.

В.В.Пеллер [46, 47, 42, 48] получил описания пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО. Аналогичные результаты были получены А.А.Пекарским [ 41 ], [ 43 ], [ 44 ], [ 45 ] для пространств рациональной аппроксимации по нормам пространств Нр и Ь^. При этом В.В.Пеллер получил описание пространств (Вр[Ро(Т), вЦР1(Т))вд на окружности в терминах квазианалитических продолжений. Так как аппроксимационные свойства сохраняются при интерполяции, то этот результат позволил расширить класс пространств рациональной аппроксимации. В диссертации эти результаты усилены по следующим направлениям: 1) применяя интерполяционные функторы более общего вида, чем (•, получен более широкий класс пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО; 2) интерполируя соответствующие пространства, расширен класс пространств рациональной аппроксимации по нормам Нр и Loo; 3) получены более простые описания норм рациональной аппроксимации, чем нормы в терминах квазианалитических продолжений.

Основным недостатком результатов В.В.Пеллера [46, 47, 42, 48j по опикая сложность полученных конструкций норм в терминах квазианалитических продолжений. Обычное для интерполяции описание норм с помощью последовательности сверток также далеко от совершенства, так как не позволяет получить «внутреннее» описание интерполяционной нормы на области. Оптимальным было бы описание интерполяционной нормы с помощью дифференциально-разностной конструкции. В этом случае была бы достигнута наглядная связь между аппроксимационными свойствами и «степенью» непрерывности функции.

Для диагонального случая первые результаты такого типа для пространств Соболева были получены Лионсом ( Lions Л.)и Мадженесом ( Magenes Е.) [ 99 ] и Мадженесом [ 103 ]. Для многомерного анизотропного случая известны результаты О.В.Бесова [ 14 ], [ 15 ]. В диссертации приведены различные варианты интерполяционных норм этого типа на области с условием конуса в «недиагоиальном» случае. Получено внутреннее описание интерполяционной нормы.

Переходя к характеристике диссертационной работы, отметим некоторые ее особенности. санию интерполяционных пространств является высо

Актуальность темы. При изучении пространств Бесова Bpq и Ли-зоркина - Трибеля F*q широко применяется интерполяция линейных операторов. Так, например, в книге Трибеля (Triebel Н.) [52] дано си-стематческое изложение теории пространств Bpq и F£q, опирающееся на теорию интерполяции. В этой и других книгах можно найти соответствующие формулы для интерполяции в классах В^ и полученные в работах Лионса и Петре [100,118]. Однако проблема описания всех интерполяционных пространств (•, даже для самой простой пары (Bp°(Rn), Bp^Rn)) была решена только в так называемом «диагональном» случае (см. п.1.2.1). Необходимость изучения общего «недиагонального» случая была продемонстрирована в работах В.В.Пеллера и С.В.Хрущева [46-48]. Им удалось получить описание пространств рациональной аппроксимации по норме ВМО на единичной окружности комплексной плоскости. Оказалось, что аппроксимационные пространства совпадают с пространствами Бесова В^Р(Т). Так как аппроксимационные свойства, как правило, сохраняются при интерполяции, то было бы естественным, проинтерполировав пару пространств этого типа, получить с помощью вещественного К-метода более широкий класс пространств рациональной аппроксимации. Однако, использование только формул интерполяции для диагонального случая привело бы нас снова к пространствам вида ВрР(Т), т.е. никакого расширения класса аппрокси-мационных пространств не произошло бы. Поэтому В.В.Пеллером было проведено соответствующее исследование и получено описание интерполяционных пространств {BplPa, Bp[Pl)e,q в «недиагональном» случае. Получились пространства уже не принадлежащие к классам пространств Бесова или Лизоркина-Трибеля, но зато обладающими аппроксимаци-онными свойствами. Аналогичные результаты были получены А.А.Пекарским [41-45] для пространств рациональной аппроксимации по нормам пространств Нр и L^ . Однако в этом случае задача получения интерполяционных пространств для «недиагонального» случая не была решена. В связи с этими исследованиями возникают следующие задачи: 1) решить проблему интерполяции пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля в общем, «недиагоналыюм» случае; 2) применяя интерполяцию, расширить класс аппроксимационных пространств, изучавшимися

A.А.Пекарским; 3) расширить класс аппроксимационных пространств

B.В.Пеллера за счет использования интерполяционных методов более общих по сравнению с традиционной версией К-метода. Решению этих задач посвящены главы 1 и 5.

В последнее десятилетие появился ряд статей, в которых пространства Бесова и Лизоркина-Трибеля интерполируются с помощью многомерных методов (см. [57,58,60,142]). Как выяснилось, данные классы пространств замкнуты относительно функторов многомерных методов в отличие от функторов К-метода. Это позволяет, например, получать интерполяционные теоремы со слабыми условиями. В то же время реализация многомерных методов в конкретных классах пространств обычно является очень сложной задачей. Для обычного К-метода очень полезна теорема о реитерации. Для ее доказательства используется эквивалентность К и J методов Петре. Спарр [124] предложил многомерный метод с анало

Введение ^ гами К и J методов. Однако К и J методы Спарра, вообще говоря не эквивалентны. Серьезный успех был достигнут в статье И.Асекритовой и Н.Кругляка [58], в которой было показано, что К и J методы Спарра эквивалентны в классах банаховых структур и их ретрактов, к которым относятся пространства Bpq и После этого И.Асекритова, Н.Кругляк и другие [57] и я [142] опубликовали одновременно статьи, в которых метод Спарра был реализован в классах пространств Bsp q и F* . В диссертации этому вопросу посвящена глава 3.

Наконец отметим, что все «классические» формулы интерполяции, которые описаны в книгах Берга Й, Лёфстрема Й. [12] и Трибеля X. [52,53], относятся к случаю пространств на Rn. В то же время пространства Бесова широко используются в теоремах вложения, в теории дифференциальных операторов. И здесь нас интересует в первую очередь случай пространств на области. В диссертации рассматривается интерполяция в «недиагональном» случае для пространств на области.

Цель работы заключается в исследовании интерполяции в классах функциональных пространств, в общем, в том числе «недиагональном» случае, изучении свойств интерполяционных пространств, описании широкого класса пространств рациональной аппроксимации по нормам ВМО, Hp-, Loo

Новизна полученных результатов. Основные результаты диссертации являются новыми. Впервые были получены интерполяционные теоремы, описывающие пространства {B£,B£)gtq и (Fp°Mi F^qi)e,q в «недиагональном» случае. Для частного случая интерполяции пространств

Введение r —--- £ -SpgPo, Bp[Pl j аналогичный результат был получен В.В.Пеллером. Со d,q ссылкой на автора Бокинг (Bocking J.) [ 62 ] приводит это же описание интерполяционных пространств (В^, В^)д}Я и исследует более общий вопрос, рассмотрев пространства (B^ qo, В^ )giq . Впервые получены интерполяционные теоремы для общего случая с участием пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля с одной стороны и пространств В МО, Нр, L^ с другой стороны.

В третьей главе диссертации интерполяционный метод Спарра был реализован в классе пространств Лизоркина-Трибеля. При этом была доказана интерполяционная теорема, использующая слабые условия вида Т : Fptl —> Fpl\- Близкий результат был получен в статье И.Асекритовой, Н.Кругляка и др. [ 57 ], опубликованной одновременно с соответствующей статьей автора.

В четвертой главе диссертации впервые были получены «внутренние» описания интерполяционных норм на области для «недиагонального» случая. При этом были использованы конструкции норм, предложенные О.В.Бесовым [ 16 ] и Освальдом (Oswald Р.) [ 112 ] для исходных пространств Bp(G) или для пространств, полученных с помощью интерполяции в «диагональном» случае.

В пятой главе основываясь на результатах В.В.Пеллера [ 47 ], В.В.Пел-лера, С.В.Хрущева [ 48 ], А.А.Пекарского [ 41 ], [ 41 ] и Ю.В.Нетрусова [ 38 ], с помощью интерполяции в «недиагональном» случае получены более широкие классы пространств рациональной аппроксимации, чем в перечисленных работах.

Введение 2g

Основные результаты, выносимые на защиту.

1) Решена задача интерполяции пространств Бесова Bp(Rn) и Лизоркина-Трибеля Fp q(Rn) в общем «недиагональном» случае (теоремы 1.2.3, 1.3.2 и 1.5.2).

2) Получены интерполяционные утверждения для пространств Босова с участием пространств ВМО, Гельдера-Зигмунда, L^ (теорема 2.2.1 и ее следствия - теоремы 2.2.2/1, 2.2.2/2, 2.2.2/3).

3) В классах пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля реализованы многомерные интерполяционные методы Спарра и «покоординатной» интерполяции. Получены интерполяционные теоремы, использующих слабые условия вида Т : F^^, г = 0,1,2. иТ : в*рМ1) £1,00,(00), i = М- (Теоремы 3.1.3/3; 3.1.3/4; 3.2.3/1; 3.2.3/2).

5) Решение проблемы внутреннего описания интерполяционной нормы на области с условием конуса (теорема 4.2.2/2).

6) Получены новые классы пространств рациональной аппроксима-ции(по норме ВМО теоремы 5.7.2/1; 5.7.2/2; 5.7.3/1; по норме Нр теор. 5.7.4 и по норме L^ теор. 5.7.5).

Практическая ценность полученных результатов определяется широкой областью использования пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля.

Аппробация работы. Основные результаты диссертации изложены на различных конференциях и семинарах. На семинаре члена-корреспондента РАН П.Л.Ульянова (МГУ) сделано три доклада, доклад на семинаре акад. С.М.Никольского (НИИ РАН им.Стеклова), доклад на семинаре доктора ф.м.наук В.В.Пеллера (ЛОМИ). Сделаны доклады на шести

-.-—z. конференциях, в том числе на международной конференции «функциональные пространства, теория приближений, нелинейный анализ» посвященной столетию Сергея Михайловича Никольского (Москва 23 мая - 28 мая 2005 г.)

Публикации автора про теме диссертации составляют 20 наименований из которых в библиограф, список включено 20.

Структура и объем диссертация. Работа состоит из Введения, пяти глав, разбитых на параграфы, которые в свою очередь объединяют несколько пунктов и списка литературы. Библиография включает 146 наименований цитированной литературы и 20 работ автора. Общий объем диссертации — 263 страниц, из которых список литературы содержит 20 страниц.

Заключение диссертации по теме «Математический анализ», Крепкогорский, Всеволод Львович

5.11 Выводы

В главе 5 изучены интерполяционные пространства на окружности. При этом используется как обычная версия К-метода (-, •)<?так и более общие версии: К-метод с функциональным параметром и К-метод с симметричным параметром.

С помощью этой интерполяционной теории получены описания пространств рациональной аппроксимации по нормам ВМО, Нр и L^. При этом использовались результаты В.В. Пеллера и А.А.Пекарского. С помощью интерполяции рассмотренные ими классы пространств рациональной аппроксимации удалось существенно расширить.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Крепкогорский, Всеволод Львович, 2009 год

1. Асекритова И.А. Вещественный метод интерполяции для конечных наборов банаховых пространств / И. А.Асекритова // Исслед. по теор. функций многих вещественных переменных: Сб.ст. — Ярославль, 1981.- С. 9 17.

2. Асекритова И.А. Об эквивалентности К и J методов для (п -f- 1) -наборов в банаховых пространствах / И.А.Асекритова, Н.Я.Кругляк // Stud, math.- 1997.- V.122.- No.2.- Р.99 - 116.

3. Асекритова И.А. Об интерполяции пространств Бесова в недиагональном случае / И.А.Асекритова, Н.Я.Кругляк // Алгебра и анализ- 2006.- Т.18.— С.1 9.

4. Асташкин С.В. Об одном свойстве функторов вещественного метода интерполяции / С.В.Асташкин // Матем. заметки — 1985.— Т. 38,— вып. 3,- С.393-406.

5. Асташкип С.В. Об интерполяции билинейных операторов вещественным методом / С.В.Асташкин // Матем. заметки. — 1992.— Т. 52. — вып. 1,— С.15-24.

6. Асташкин С.В. О дизъюнктной строгой сингулярности вложений симметричных пространств/ С.В.Асташкин // Матем. заметки,— 1992.- Т. 65.- вып. 1.— С. 3-14.

7. Асташкин С.В. Об экстраполяционных свойства шкалы Lp-пространств / С.В.Асташкин // Матем. сб-к.- 2003.- Т.194.- №6,- С.23-42.1. Литература245

8. Асташкин С.В. Об интерполяции пересечений вещественным методом / С.В.Асташкин // Алгебра и анализ.— 2005.— Т.17 — №2.— С.33-69.

9. Асташкин С.В. Интерполяция билинейных операторов в пространствах Марцинкевича / С.В.Асташкин, С.В.Ким // Матем. заметки.— 1999.—Т. 60.- вып. 4.- С. 483 494.

10. Асташкин С.В. Об интерполяции в Lp-пространствах / С.В.Асташкин, Л.Малигранда // Матем. заметки,- 2003.-Т.74.- №5.-С.782-786.

11. Асташкин С.В. Функториальный подход к интерполяции операторов слабого типа / С.В.Асташкин, В.И.Овчинников // Сиб. мат.ж.— 1991,- Т.32,— №.3.- С.12-23.

12. Берг Й., Лефстрем Й. Интерполяционные пространства . Введение / Й.Берг, Й.Лефстрем.—М.:Мир,1980.— 264 с.

13. Бесов О.В. О некотором семействе функциональных пространств. Теоремы вложения и продолжения //Докл.АН СССР. — 1959.— Т.126.— С.1163 1165.

14. Бесов О.В. О пространствах Соболева-Луивилля и Лизоркина-Трибеля на области/ О.В.Бесов // Тр. Матем. ин-та РАН имени Стеклова.— 1990,- Т.192.— С.20 34.

15. Бесов О.В. Интерполяция пространств дифференцируемых функций на области / О. В. Бесов //Тр. Матем. ин-та РАН имени Стеклова.— 1997.- Т.214.— С.59 82.1. Литература ^

16. Бесов О.В. Интерполяция и вложения функциональных пространств Bp,qi Fp,q на области / О.В.Бесов // Докл. РАН. — 1997. Т. 357.-№. 6. - С.727-730.

17. Бесов О.В. Об интерполяции, вложениии и продолжении пространств функций переменной гладкости / О.В.Бесов // Докл. РАН. — 2005.— Т.401.— т.- С.7-11.

18. Бухвалов А.В. О пространствах со смешанной нормой /А.В.Бухвалов // Всстн. Ленингр. ун-та 1973,- Т.19- С. 5-12.

19. Брудный Ю.А. Вещественная интерполяция одного семейства пространств гладких функций / Ю.А.Брудный, Н.Я.Кругляк // Докл. РАН,- 1996.- Т.349 — Ж 6,- С.729 731.

20. Гулисашвили А.Б. О мультипликаторах в пространствах Бесова / А.Б.Гулисашвили // Записки научи, сем. ЛОМИ.— 1984.— Т.135.— С. 36-50.

21. Гулисашвили А.Б. Мультипликаторы в пространствах Бесова и следы функций на подмножествах евклидова пространства / А.Б.Гулисашвили // Докл.АН СССР. —Т.281. —№4 .- С.777-781.

22. Дынькин Е.М. Конструктивная характеристика классов С.Л.Соболева и О.В.Бесова / Е.М.Дынькин // Труды МИАН,- 1981,— Т.156.— С.41-76.

23. Калугина Т.Ф. Интерполяция банаховых пространств с функциональным параметром. Теорема реитерации / Т.Ф.Калугина // Вестн.1. Литература 24

24. Моск. ун-та. Сер. матем., механ.— 1975 — №. 6.— С.68 77.

25. Кисляков С.В. Вещественная интерполяция и сингулярные интегралы / С.В.Кисляков, Шу Куанхуа // Алгебра и анализ.— 1996.— Т.8.— Ж 4.- С.75 109.

26. Крейн С.Г. Об одной интерполяционной теореме в теории операторов / С.Г.Крейн // ДАН СССР I960.- т. 130.- С. 491 - 494.

27. Крейн С.Г. О понятии нормальной шкалы пространств / С.Г.Крейн // ДАН СССР 1960 - т. 132. - С.510 - 513.

28. Крейн С.Г. Шкалы банаховых пространств / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин // УМН.- 1966.- Т.21.— №.2,- С.89 168.

29. Крейн С.Г. Гипершкалы банаховых структур / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов // ДАН СССР.- 1966.- Т.170.- С.265 267.

30. Крейн С.Г. Шкалы банаховых структур измеримых функций / С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов // Труды Моск. матем. общества.- 1967-Т.17.— С.293 322.

31. Крейн С.Г. Интерполяция линейных операторов./ С.Г.Крейн, Ю.И.Петунин, Е.М.Семенов — М.: Наука, 1978.— 400с.1. Литература24g

32. Кругляк Н.Я. Гладкие аналоги разложения Кальдерона Зигмунда, количественные теоремы о покрытиях и К-функционал для пары (Lg, Wk) / Н.Я.Кругляк // Алгебра и анализ - 1996.- Т.8.- Ж 4.-С. 110 - 160.

33. Лизоркин П.И. Интерполяция пространств Ьр с весом / П.И.Лизоркин ■ // Док л. АН СССР.- 1975.- Т.222,- №.1,- С.32 35.

34. Мадженес Е. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных / Е.Мадженес // УМН.- 1966.— Т. 21.— Ж 2,— С. 169 218.

35. Мазья В.Г. Пространства Соболева. В.Г.Мазья — Л.:ЛГУ,1985,— 415 с.

36. Нетрусов Ю.В. Интерполяция (вещественный метод) пространств гладких функций с пространством ограниченных функций / Ю.В.Нетрусов // Докл. РАН.- 1992.- Т.325.— Ж 6.- С.1120-1123.

37. Нетрусов Ю.В. Множества особенностей функций из пространств типа Бесова и Лизоркина-Трибеля / Ю.В.Нетрусов // Тр. Матем. ин-та АН СССР.- 1989.- Т.187.- С.162 187.

38. Нетрусов Ю.В. Нелинейная аппроксимация функций из пространств Бесова-Лоренца в равномерной метрике / Ю.В.Нетрусов // Записки научного семинара ЛОМИ 1993.- Т. 204 - С.61-81.

39. Нурсултанов Е.Д. Многопараметрический интерполяционный функтор и пространства Лоренца Lp^ q — (qi,q2r,Qn) / Е.Д.Нурсултанов--- i

40. Функц. анализ и его прил — 1997. Т.31.— №. 2 — С.79 82.

41. Овчинников В.И. Точная интерполяционная теорема в пространствах LP / В.И.Овчинников // Докл.АН СССР.- 1983.- Т.272 №.2,- С. 300 - 303.

42. Пекарский А.А. Классы аналитических функций, определеные наилучшими приближениями в Нр / А.А.Пекарский // Матем. сб.— 1985.- Т. 127.- №- С.3-39. 510.

43. Пеллер В.В. Операторы Ганкеля и свойства непрерывности операторов наилучшего приближения / В.В.Пеллер // Алгебра и анализ — 1990.- Т.2.- вып.1.— С.165 189.

44. Пекарский А.А. Чебышевские рациональные приближения в круге, на окружности и на отрезке / А.А.Пекарский // Матем. сб.— 1987.— Т.133.-Ж1.- С. 86 102.

45. Пекарский А.А. Прямые и обратные теоремы рациональной аппроксимации в пространствах Lp— 1; 1. и С[— 1; 1] / А.А. Пекарский // Докл.АН СССР.- 1987.- Т.293.- №. 6. С.1307 - 1310.

46. Пекарский А.А. О скорости наилучших приближений в пространствах С, ВМО и Lp / А.А.Пекарский // Доклады Расширенного Заседания Семинара ин-та приклад.математ. им.Векуа 23-27 апр. 1985г.— Т.1.- №2.—Тбилиси.— 1985,- С.108-109.

47. Пеллер В.В. Операторы Ганкеля класса ар и их приложения (рациональная аппроксимация, гауссовские процессы, проблема мажора1. Литература--Z Oljции операторов ) / В.В.Пеллер // Матем. сб.— 1980.— Т. 113.— №4,— С.538-581.

48. Седаев А.А. О возможностях описания интерполяционных пространств в терминах К-метода Петре / А.А.Седаев, Е.М.Семенов // Оптимизация: Сб.ст.— 1971.- Т.21.— №. 4,- С. 98 114.

49. Трибель X. Теория интерполяции, функциональные пространства,1. Литература------Zqдифференциальные операторы. / Х.Трибель — М.: Мир, 1980.— 664с.

50. Трибель X. Теория функциональных пространств. / Х.Трибель — М.: Мир, 1986.- 447с.

51. Шефер X. Топологические векторные пространства./ X. Шефер — М.:Мир, 1971.- 359с.

52. Asekritova I. Theorem of reiteration and K-divisionable (n+l)-tuples of Banach spaces /I. Asekritova // Funct. Approx. Comment. Math. — 1992,- V. 20.- P.171 175.

53. Asekritova I. Lions-Peetre reiteration formulas for triples and their applications. / I.Asekritova, N.Krugljak, L.Maligranda, L.Nikolova, L-E.Persson // Studia Math.- 2001,- V.145.- P.219 254.

54. Asekritova I. On equivalence of K- and J-methods for (n+l)-tuples of Banach spaces / I.Asekritova, N.Krugljak // Studia Math.— 1997.— V.122.— P.99-116.

55. Bacuta C.Regularity estimates for elliptic boundary value problems in Besov spaces /С.Bacuta, H.Bramble, J.Xu // Math. Comput.— 2003.— V.72.—№244 — P.1577-1595.

56. Bekmaganbetov, К.А. The method of multi-parameter interpolation and imbedding theorems of Besov spaces 0,27t). /K.A.Bekmaganbetov, E.D.Nursultanov // Anal. Math 1998,- V.24—№4 — P.241-263.

57. Bennet C. Banach Function Spaces and Interpolation Methods. l.The Abstract Theory. / C.Bennet // Journal of functional analysis.— 1974.— V.17.— P.409 440.

58. Bocking J. Nicht-diagonale Interpolation von klassischen Funktionenraumen./ J.Bocking // Dissertaion, Rheinische Friedrich-Wilhelms-Universitat Bonn, 1994. 269p.

59. Boyd D.W. Indices of function spaces and their relationship to inerpolation. / D.W.Boyd // Canad. J. Math.- 1967.- V.21- P.1245 1254.

60. Bruddnyi Yu.A. Interpolation functors and interpolation spaces .1. / Yu.A.Bruddnyi, N.Ya.Krugliak — Amsterdam: North-Holland.— 1991 — 717p.

61. Calderon A.P. Intermediate spaces and interpolation, the complex method / A.P.Calderon // Studia Math.- 1964.- V.24.- P.113 190.

62. Carro M.J. Real interpolation for families of Banach spaces. / M.J.Carro // Studia Math.- 1994.- V.109.-№1.- P. 1-21.

63. Carro M. Some real interpolation methods for families of Banach spaces a comparison / M.Carro, L.I.Nikolova, J.Peetre, L.E.Persson // J. Approx. Theory - 1997.- V. 89,- P.26 - 57.1. Литература

64. Ceausu Т. On interpolation of linear operators on Lorentz spaces. / T.Ceausu, D.Gaspar // An. Univ. Timis., Ser. Mat.-Inform. — 1993.— V.31- №1-P.15-30.

65. Ceausu T. On the real interpolation methods of Banach (n + l)-tuples. / T.Ceausu, I.Stan // Bui. Stiint. Teh. Univ. Teh. Timis., Ser. Mat.-Fiz. 1991.- P.22-30.

66. Cobos F. On the Lorentz Marcikiewicz operator ideal / F.Cobos // Math. Nachr.- 1986,- Bd.126 — P.281 - 300.

67. Cobos F. On interpolation of bilinear operators by methods associated to polygons / F.Cobos, M. Josiu,, A. Martanez // Boll. Unione Mat. Ital., Sez. B, Artie. Ric. Mat. 1999.- V.8 (2).- №- 2.- P.319-330.

68. Cobos F. On duality between К and J spaces / F.Cobos, P.Fernandez-Martinez, Raynaud // Proc. Edinburgh Math. Soc — 1999 — V.42.— Ж1- P.43 63.

69. Cobos F. Reiteration and a Wolff theorem for interpolation methods by means of poligons / F.Cobos, P.Fernandez-Martinez // Studia Math.— 1992.- V.102.— P. 239 256.

70. Cobos F. Interpolation of compact operators: the multidimensional case / F.Cobos, J.Peetre // Proc. of the Lond. Math. Soc.- 1991,- V.63.-m.- P.371-400.

71. Cobos F. On interpolation of bilinear operators by methods associated polygons / F.Cobos, J.M.Cordeiro, A.Martanez A. // J. Boll. Unione1. Литература 254

72. Mat. Ital., Sez. В, Artie. Ric. Mat. 1999.- (8)2 —№2 — P.319-330. case / F.Cobos, J.Peetre // Proc. of the Lond. Math. Soc.— 1991.— V.63.- №2.- P.371-400.

73. Cwikel M. Real and complex and extrapolation of compact operators/ M.Cwikel // Duke Math. Journal.- 1992,- V. 65.- P. 333 343.

74. Cwikel M. Real and complex nterpolation for finite and infinte families of B-spaces / M.Cwikel, S.Janson // Advances in Matem.— 1987.— V.66.— P.234 290.

75. DeVore R. The K-functional for (#ь В MO). / R.DeVore // Lect.Notes Math.- 1984.- V. 1070.- P.66 79.

76. DeVore R. if-functionals for Besov spaces. / R.DeVore, Yu X.M. // J. Approximation Theory — 1991 — V. 67—JYU P.38-50.

77. Echandsa V. Interpolation between H1 and BMO using a parameter function. / V. Echandsa // J. Acta Cient. Venez. — 1999.— V. 50 — № 3 P. 146-150.

78. Ericsson S. Certain reiteration and equivalence results for the Cobos-Peetre polygon interpolation method / S.Ericsson // Math. Scand.— 1999,- V. 85.- P. 301 319.

79. Ericsson S. Description of some К functionals for three spaces and reiteration / S.Ericsson // Math. Nachr.- 1999.- V.202 P.29-41.

80. Fernandez D.L. A theory of interpolation for 4-tuples of Banach spaces / D.L.Fernandez // Anais Academia Brasileirade Ciencias.— 1974.—1. Литература1. V.46.-P.690 692.

81. Fernandez D.L. Interpolation of 2n Banach spaces / D.L.Fernandez // Stud, math.- 1979.- V.65. P.175 - 201.

82. Fernandez D.L. Lorentz spaces with mixed norms / D.L.Fernandez // J.Funct.Anal—1977.— v. 25. Ш. - C.128 - 146.

83. Freitag D. Realinterpolation of weighted Lp-spaces / D.Freitag // Math. Nachr. 1978.- V.86.- P.15 - 18.

84. Gustavson J. A function parametr in connection with interpolation of Banach spaces / J.Gustavson // Math. Scand.— 1978.- V.42 — P.289 -305.

85. Gheorghe L.G. Interpolation of Besov spaces and applications / L.G. Gheorghe // Matematiche— 2000,- V.55.-№1.- P.29-42.

86. Hanks R. Interpolation by the Real Method Between BMO,1.{0 < a < oo), Ha(0 < a < oo)/ R.Hanks // Indiana Univ. Math. J.- 1977,- V.26.— № 4.- P.679 689.

87. Han Y. Inhomogeneous Besov and Triebel-Lizorkin spaces on spaces of homgeneous type / Y. Han, S.Lu, D.Yang // Approximation Theory Appl.— 1999,- V.15.-№3.- P.37-65.

88. Hanks R. Interpolation by the Real Method Between BMO,LQ(0 < a < oo), Ha(0 < a < oo)/ R.Hanks // Indiana Univ. Math. J.- 1977 — V.26.- № 4,- P.679 689.

89. Holmstedt Т. Interpolation of Quasinormed Spaces / T.Holmstedt // Math. Scand. 1970,- V.26.- №1.- P.177-199.

90. Janson S. Notes on Wolff's note on interpolation spaces / S.Janson, P.Nilsson, J.Peetre, M.Zafran // Proc. London Math. Soc.— 1984.— V. 48,- P.283 299.

91. Kisliakov S.V. Interpolation of Hp -spaces: Some recent developments / S.V.Kisliakov // Proc. of the workshop, Haifa, Israel, June 7-13, 1995. Ramat Gan: Bar-Ilan University. Isr. Math. Conf. Proc. 13, 102-140 (1999)

92. Kutzarova D.N. Notes on Wolff's note on interpolation spaces / D.N. Kutzarova; L.Y.Nikolova; T.Zachariades // Math. Nachr.— 1995 — V. 171.- P.259-268.

93. Li.H. Notes on Wolff's note on interpolation spaces / H.Li, B.Sheng, Z.Sheng // J. Baoji Coll. Arts Sci., Nat. Sci.- 1999.- V. 19 —№2.— P.l-6.

94. Lions J. Une construction d'espaces d'interpolation / J.Lions // C.R. Acad. Sci. Paris I960'.- V. 251.- P.1853 - 1856.

95. Lions J. Sur les d'espaces d'interpolation / J.Lions // Math. Scand. — 1962. V.9 - P. 147-177.

96. Lions J.L., Magenes E. Problemes and limites non homogenes /J.L.i1.ons, E.Magenes // Ann. Scuola Norm. Sup. Pisa, 1961.- V. 15 — P.391. Литература-lb

97. Lions J. Sur une classe d'espaces d'interpolation / J.Lions, J.Peetre //1.st. Hautes Etudes Sci. Publ. Math. 1964.- V. 19 — P. 5 - 68.

98. Liu L. Interpolation between Sobolov spaces. / L.Liu // J. Math. Res. Expo. 1995.- V.15 - P. 153-154.

99. Luxemburg W.A. J. Appendum to «on the measurability of a function which occurs in a paper by A.C.Zaanen» / W.A.J.Luxemburg // Proc. konikl. Nederl. acad. wetensch.- 1963.— V.A66 — № 4.- P.587-590.

100. Magenes E. Интерполяционные пространства и уравнения в частных производных / Е.Magenes // УМЫ. 1966 - № 2,— С. 169-218.

101. Maligranda L. The K-functional for symmetric spaces / Lecture Notes in Math.- 1984,- V.1070 — P.169-182.

102. Maligranda L. A bibliography on «Interpolation of Operators and Applications» 1926-1990 / L.Maligranda // Dept. of Math., LuleaUniversity.— 1990.

103. Machihara S. Interpolation inequalities in Besov spaces/ S.Machihara, T.Ozawa // Proc. Am. Math. Soc 2003.- V.131- №5.-P.1553-1556.

104. Marcinkiewicz J. Sur Interpolation d'operteus / Marcinkiewicz J. // C.R.Acad.Sci. Paris.- 1939.- V.208 P.1272 - 1273.

105. Matsuoka Katsuo Interpolation theorem between Bq and BMO / Matsuoka Katsuo 11 Sci. Math. Jap. 2001. - V.53.- № 3.- P. 547 - 554.

106. Merucci C. Applications of interpolation with a function parameter to Lorentz, Sobolev and Besov spaces / C.Merucci // Lect. Notes Math.—1. Литература--2581984.- №1070.- Р.183 201.

107. Mihailov D. On Sparr and Fernandez's interpolation methods on Banach spaces / D.Mihailov, I.Stan // Novi Sad J. Math. — 2002 — V.32 — № 2.- C. 37 45.

108. Milman M. On Interpolation of 2n Banach Spaces and Lorentz Spaces with Mixed Norms / M.Milman // J. of functional analysis.— 1981.— № 41.- C.l 7.

109. Oswald P. On Besov-Hardy-Sobolev spaces of analytic function in the unit disc / P.Oswald // Czechoslovak. Mathem. J — 1983,-V.33 (108).— m.- P. 408 426.

110. Ovchinnikov V.I. The Method of Orbits in interpolation Theory / V.I.Ov-chinnikov // Math. Reports.— 1984,— Ж1 — P.349 515.

111. Peetre J. Sur le nombre de parametres dans la definition de certain espaces d'interpolation / J.Peetre // Ricerche Mat.— 1963.— V.12.— P.248 261.

112. Peetre J. A theory of interpolation of nurmed spaces / Peetre J. // Notes Universidade de Brasilia.— 1963.

113. Peetre J. Interpolation i abstracta rum / J.Peetre // Lecture Notes. Lund.- 1966.

114. Peetre J. Hankel operators, rational approximation and allied questions of analysis / J.Peetre // Canadian Mathematical Society Conference Proc.- 1983.- V.3.- P. 287 332.

115. Peetre J. Sur les espaces de Besov / J.Peetre // C.R. Acad. Sci. Paris.— 1967.- V.264 P.281 - 283.

116. Peetre J., Svensson E. On the generalized Hardy's inequality of McGehee, Pigno and Smith and the problem of interpolation between BMO and a Besov space / J.Peetre, E.Svensson // Math. Scand.— 1984.— V.54.— P.221 241.

117. Persson J. Descriptions of some interpolatin spaces in off-diagonal cases / J.Persson // in: Lecture Notes in Math.— 1984 — V.1070 — Springer — P.213 231.

118. Pietch A. Interpolationsfunktoren, Folgenideale and Operatorenideale / A.Pietch // Czechoslovak Math. J.- 1971.- V.21 P. 644 - 652.

119. Pyatkov S.G. Interpolation of weighted Sobolev spaces. / S.G.Pyatkov // Sib. Adv. Math.- 2000,- V.10 — P. 83-132.

120. Riesz M. Sur les maxima des formes bilineaires et sur les fonetionelles lineaires / M.Riesz // Acta Math.- 1926.- V.49 — P. 465 497.

121. Sparr G. Interpolation of several Banach spaces / G.Sparr // Ann. Mat. Рига Appl.— 1976.- V.99.— P.247 316.

122. Sparr G. Interpolation of weighted Lp spaces / G.Sparr I j Studia Math.- 1978,- V.62 — P.229 - 271.

123. Thorin G.O. An extension of convexity theorem due to M.Riesz / G.O.Tho-rin // Comm. Sem. Math. Univ. Lund.- 1939.- № 4,- P.l 5.1. Литература с------------ ^

124. Wolff Т. A note of interpolation spaces / T.Wolff // Harmonic Analisis. Lecture Notas in Math.— 1982.— Springer ver. Berlin New York.— № 908.- P. 199 - 204.

125. Крепкогорский В.JI. Пространства функций, допускающие описание в терминах рациональной аппроксимации в норме ВМО / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.— 1988.— №.10 — С.23 30.

126. Крепкогорский В.Л. Пространства, интеполяционные относительно пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика. 1989.- Ж11,- С.85 87.

127. Крепкогорский В.Л. Пространства рациональной аппроксимации по норме Нр / В.Л.Крепкогорский // Деп. в ВИНИТИ 03.11.89 Ред. ж. Изв.вузов. Матем—1989 — №. 6701-В89.— 10 с.

128. Крепкогорский В.Л. Квазинормировапные пространства функций, рациональной аппроксимации в норме ВМО / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.— 1990 — №3 — С.38 44.

129. Крепкогорский В.Л. Интерполяция в пространствах Лизоркина-Трибеля и Бесова / В.Л.Крепкогорский // Матем. сб.— 1994.—Т.185.— №7.- С.63 76.

130. Крепкогорский В.Л. Интерполяция с функциональным параметром в классе пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.- 1996 — №.6 С.54 - 62.

131. Крепкогорский В.Л. Интерполяция и теоремы вложения для ква1. Литературазинормированных пространств Бесова / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.- 1999.- №.7.— С.23 29.

132. Крепкогорский В.Л. О многомерных методах интерполяции / В.Л.Крепкогорский // Изв. вузов. Математика.— 1999.— №.11.— С.41 49.

133. Крепкогорский В.Л. Пространства рациональной аппроксимации по чебышевской норме / В.Л.Крепкогорский // Тезисы конферен. "Теория функций, ее приложения и смежные вопросы."Казань.— 1999.— С.130 131.

134. Крепкогорский В.Л. Интерполяция в классе пространств гладких функций. Чебышевская рациональная аппроксимация па окружности. / В.Л.Крепкогорский // Алгебра и анализ.— 2000.— Т.12— вып.5 С. 128 - 141.

135. Крепкогорский В.Л. Интерполяция в классе пространств Бесова и Лизоркина-Трибеля. Предельный случай ро = оо. / В.Л.Крепкогорский // Известия вузов. Математика.— 2000.— № 5.— С.72-74.

136. Крепкогорский В.Л. Реализация интерполяционного метода Спарра в классах пространств гладких функций. /В.Л.Крепкогорский //1. Литература-----262

137. Математические заметки. — 2001.— Т.70— вып.4.— С. 581-590.

138. Крепкогорский В.Л. Метод Спарра в пространствах Бесова. / В.Л.Крепкогорский // Материалы конференци по функциональному анализу.— Казанский гос. ун-т, Казань,— 2001— С.130-131.

139. Крепкогорский В.Л. Интерполяция пространств Бесова. Нормы, заданные с помощью модуля непрерывности. /В.Л.Крепкогорский // Известия вузов. Математика,— 2002. № 1 — С. 76 78.

140. Крепкогорский B.J1. Интерполяция пространств рациональной аппроксимации, принадлежащих к классу Бесова. /В.J1.Крепкогорский // Математические заметки. — 2005.— Т.77— вып.6.— С. 877-885.

141. Крепкогорский B.J1. Интерполяция пространств Бесова на области /В.JI.Крепкогорский //"Современные методы теории функции и смежные проблемы": Материалы Воронежской зимней математической школы (Воронеж, 2007 г. // ВГУ,- 2007г. С.114-115).

142. Крепкогорский B.JI. Интерполяционные семейства пространств со смешанной нормой: Дис. канд. физ-мат. наук / В.J1.Крепкогорский; Казанск.гос.ун-т.— Казань, 1982.—142 с.