Сетевые пространства и их приложения к задачам гармонического анализа тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.01, доктор физико-математических наук Нурсултанов, Ерлан Даутбекович

• Нурсултанов, Ерлан Даутбекович
• доктор физико-математических наук
• 1999

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Нурсултанов, Ерлан Даутбекович

Введение.

Г л а в а I. Многопараметрический интерполяционный метод.

§1.1. Функционал Ф^.

§1.2. Многопараметрическая интерполяция

§1.3. Пространство Лоренца LPq, q = (gi,., qn) и теоремы о реитерации

§1.4. Интерполяция билинейных отображений.

§1.5. Теорема Овчинникова для билинейных отображений

Г л а в а II. Сетевые пространства.

§2.1. Сетевые пространства. Определение, свойства

§2.2. Интерполяционные свойства сетевых пространств

NPq(M)

§2.3. Некоторые аналоги и обобщения сетевых пространств

§2.4. Анизотропные сетевые пространства NP4(M) и пространства Lpq, р = (рь . ,рп), q = (qh ., qn)

§2.5. Интерполяционные теоремы для анизотропных пространств

§2.6. Интерполяционный метод для анизотропных пространств

Глава III. Неравенства типа Харди - Литтлвуда

Пэли.

§3.1. Об интегральных свойствах тригонометрических рядов с коэффициентами из пространства Лоренца lpq при р > 2.

§3.2. Свойства суммируемости коэффициентов Фурье функции из пространства Лоренца Lpq(ТГП), при р >

§3.3. Об интегральных свойствах тригонометрических рядов с коэффициентами из анизотропного пространства /pq при р > 2.

§3.4. Необходимые условия принадлежности функции / пространству Lpq(Tm) при р>2.

§3.5. Достаточные условия принадлежности функции / пространству Lpq(Tm) при 1 < р < 2 и при 2 < р<оо.

§3.6. Теорема Харди-Литтлвуда для ортогональных рядов

§3.7. Теорема Харди-Литтлвуда для кратных ортогональных рядов.

Глава IV. Операторы свертки и мультипликаторы

Фурье

§4.1. О нижней оценке нормы интегрального оператора свертки.

§4.2. Об оценках нормы интеграла типа потенциала в весовых пространствах Лебега.

§4.3. О нижней оценке мультипликаторов преобразования Фурье из M(LP —>■ Lq)

§4.4. О сходимости частичных сумм по гармоническим отрезкам.

§4.5. Об ограниченности частичных сумм тригонометрических рядов Фурье.

§4.6. Мультипликаторы рядов Фурье.

§4.7. Интегральные операторы в сетевых пространствах.

Неравенство типа Юнга-О'Нейла.

Используемая литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Сетевые пространства и их приложения к задачам гармонического анализа»

Теория функциональных пространств и неразрывно связанная с ней теория интерполяции операторов являются мощными методами в исследовании уравнений в частных производных, теории рядов Фурье, теории приближений, теории операторов и других разделов математики. Современное состояние этих направлений и их применение отражены в г-вестных монографиях [23], [41], [9], [6], [72], [36], [30], [79], [80], [82], [40], [110], [12] и других.

Диссертационная работа посвящена развитию интерполяционных методов функциональных пространств и их приложениям к задачам гармонического анализа . Основная идея этой работы связана с введением новых пространств Мрд(М), названных сетевыми. Данные пространства, в отличии от пространств Лебега, весьма чувствительны к распределению особенностей функции, имеют хорошие интерполяционные свойства. Эти свойства сетевых пространств используются при исследовании коэффициентов Фурье, мультипликаторов Фурье, интегральных операторов.

Первая половина работы (главы 1-Н) посвящена построению метода исследования. Здесь отметим следующие результаты:

1. Введен метод многопараметрический интерполяции, который является обобщением вещественного метода Лионса и Петре. Данный метод порождает пространство Лебега зависящее от векторного параметра д = (дь.д«) и р. Эти пространства обобщают пространство Лоренца Ьрд и замкнуты относительно вещественного интерполяционного метода (все известные шкалы пространств не обладают этим свойством).

Полностью решена задача реитерации для вещественного интерполяционного метода, а именно, описаны пространства (Ьрдо, ЬРЯ1)аг и {АвЧо,АвЧ1)аг в недиагональном случае 1 ¡г ф (1 — ог)/до + сг/д1.

Уточнена теорема Лионса и Петре [102] об интерполяции билинейных отображений.

2. Введены сетевые пространства ]Ур?(М), анизотропные сетевые пространства АГРЧ(М) и анизотропные пространства Ьрч(Кт). На основе идей работ Фернандеса [93], [94] (см. также [113], [89]), развиваются интерполяционные методы для анизотропных пространств. Изучены интерполяционные свойства введенных пространств.

Вторая половина работы (главы III-V) посвящена решению некоторых задач гармонического анализа . Приведем постановки этих задач.

Задача А. Зависимость интегральных свойств функции / от свойств суммируемости ее коэффициентов Фурье по тригонометрической системе хорошо известна. Наиболее ярким подтверждением этого факта является равенство Парсеваля: для функции / Е ¿2 имеет место равенство 0 где а^-ее коэффициенты Фурье по полной ортонормированной системе. Если же р ф 2, то такого абсолютного результата нет. Так, при р > 2 верны неравенства или, < ^ fe(l*l + ^M«^) > где p' < 9 < я k=l носящие названия Харди-Литтлвуда, Хаусдорфа-Юнга, Питта, Пэли. Имеются и другие подобные неравенства [105], [13], [100],[76], [77], [29], [85], [22], [70], [71].

Известно также, что ни одно из упомянутых неравенств не обращается ([82]), и более того, согласно теореме Карлемана, существует непрерывная функция /, что для любого е > 0 ряд из ее коэффициентов Фурье по тригонометрической системе ^^ \f(k)\2~£ = оо.

Нижние оценки для функции / из Lp при р > 2 доказаны лишь при дополнительных условиях монотонности.

Здесь известна теорема Харди и Литтлвуда Теорема Пусть 1 < р < оо, р' = р/(р - 1). Если а = -монотонно невозрастающая, стремящаяся к нулю последователь

СО ностъ, fix) = ak cos якх , то для того чтобы / Е Lp[ 0,1], необхо-k=l димо и достаточно, чтобы последовательность а = {dk\kL\ принадлежала пространству Лоренца 1Р>Р.

Этот результат на пространство Лоренца и более общие симметричные пространства обобщены в работах Б.М.Семенова [69], А.Б.Гули-сашвили [16], У.Загбера [115], В.А.Родина [67],[66].

Теорему Харди - Литтлвуда для системы Уолша доказал Ф.Мориц [106] и для мультипликативной системы М.Ф.Тиман и К.Тухлиев [77].

В.А.Кокилашвили [26] для тригонометрических рядов ослабил условие монотонности, заменив его на условие квазимонотонности. Для рядов по мультипликативной системе с квазимонотонными коэффициентами теорему Харди - Литтлвуда доказал Г.А.Акишев [1].

Для кратных тригонометрических рядов проводили исследования

Ф.Мориц [106], М.И.Дьяченко [18],[19]. Ф.Мориц показал, что если коэффициенты а = Удовлетворяют условиям акгк2 > 0, Аюа*1*а > 0, А01 акгк2 > 0, Ацак1к2 > 0, то условие / £ Ьр, 1 < р < оо эквивалентно сходимости ряда

00 оо

Е Е *Г2*Г2кАГ (0-1) к1=1 к2=1

Если же коэффициенты а = {ак^}^^^ монотонны по каждому переменному индексу то, как показал М.И.Дьяченко [18], сходимость числового ряда (0.1) эквивалентна / £ ЬР(Т2) лишь при 4/3 < р < оо (в случае 2 ^ п, при < р < оо ).

Возникают следующие вопросы:

1) При п ^ 1, 2 < р < оо какие условия (существенно зависящие от параметров р и д) для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе являются необходимыми для принадлежности функции / пространству Лоренца Ьря ?

2) При п ^ 1, 1 < р < 2 какие условия (существенно зависящие от параметров р и д) для коэффициентов Фурье по тригонометрической системе являются достаточными для принадлежности функции / пространству Лоренца Ьрч ?

3) Можно ли расширить класс рядов с монотонными коэффициентами с тем , чтобы сохранялось утверждение теоремы Харди-Литтлвуда?

4) Неравенства Харди-Литтлвуда для кратных тригонометрических рядов в анизотропных пространствах Лоренца?

5) Каким условиям должна удовлетворять ортогональная система, чтобы для нее имела место теорема Харди-Литтлвуда ? Вопросы 1)-4) для общих ортогональных рядов ?

Задача В. Пусть Л = {Лк]к&п ~ последовательность комплексных чисел. Будем говорить, что Л £ шр, т.е. является мультипликатором

Фурье в если для функции / Е Ьр(Тп) с рядом Фурье ^Г^ ¡{к)егкх к£Ъп найдется функция /д из Ьр(Тп), ряд Фурье которой совпадает с рядом

У^ Хк/(к)е{кхи оператор ТА/ = /л ограничен в Ьр{Тп). тр - линейное к&п пространство с нормой

Теория мультипликаторов рядов Фурье имеет своим истоком теорему М. Рисса [23], где показано, что характеристическая функция ха, когда А - отрезок из Ж, является мультипликатором в £р[0,2я"), т.е. где С не зависит от выбора отрезка А из Ъп и функции / из Ьр{Т").

В общем же случае, когда А -произвольное конечное подмножество в Zn, константа С в (0.2) будет зависеть существенно от геометрических свойств множества А.

Когда А - есть шар, константа С в (0.2) исследована Бабенко К.И. [3], Алимовым Ш.А., Никишиным Е.М., Ильиным В.А.[2], Митягиным Б.С. [39], [38], Кордобой А. [90]. Наиболее полное исследование проведено Юдиным В.А.[83], где показаны оценки с точностью до логарифмического сомножителя.

В 1939 г. Марцинкевич в работе [104] получил следующую теорему о мультипликаторах рядов Фурье:

Теорема. Пусть 1 < р < сю, Л = {Лга}ше^ -последовательность вещественных чисел, удовлетворяющих условию

А||тр = ||Га||^

0.2) тогда А - мультипликатор в Ьр[0,2тт) и оо,

А||тр^о(А).

В теореме Марцинкевича условия на последовательность А одинаковы для всех 1 < р < оо, т.е. не зависят от параметра р.

В диссертационной работе рассматриваются следующие вопросы:

1) Для каких еще множеств А кроме отрезков из Z" имеет место утверждение теоремы об ограниченности частичной суммы, т.е. верно соотношение (0.2)?

2) Как константа С из (0.2) зависит от параметра р и конструктивных свойств множества А, а именно, изучается зависимость от N из представления А = Uk=ihi где Ik Е М - некоторый класс конечных подмножеств Zn для которых имеет место (0.2)?

3) Получение достаточных условий для принадлежности Л пространству шр, которые бы существенно зависели от параметра р7 Эта проблема для преобразования Фурье обсуждалась в книге И.Стейна [74].

Задача С. Пусть М.п - n-мерное евклидово пространство. Рассмотрим интегральный оператор свертки

А/)(®) = J К(х — y)f{y)dy = К * f

Ж" действующий из Lp в Lq, где Lp = Ьр(Шп) - пространства Лебега.

При 1 ^ р ^ q ^ +оо, согласно неравенству Юнга имеем, что \\A\\Lp^Lq ^ \\K\\Lr, где i = 1 - i + i. Но данное достаточное условие невозможно применить для операторов со степенным ядром К(х) = |ж|-7, 0 < 7 < п.

Согласно неравенству Харди - Литтлвуда оператор

Af(x) = У

Ж" является ограниченным тогда и только тогда, когда ^ = 1 — ^ +

В последствии О'Нейлом [108] было доказано неравенство IHUp>Lg < С • \\K\\roo (1 < V < Ч < +со, J = 1 - i + i, Lroo - пространство Марцинкевича), которое дает более тонкое, чем неравенство Юнга, достаточное условие ограниченности интегральных операторов свертки и охватывает неравенство Харди-Литтлвуда ([8]). Одной из трактовок неравенства О'Нейла является следующая оценка:

A\\Lp^Lq < C(p,q) sup . |1/р1/в е где Е-множество всевозможных ограниченных измеримых по Лебегу подмножеств К", |е|-мера Лебега множества е.

Аналогично для мультипликаторов преобразования Фурье из Ьр(Жп) в Ьр(Мп), Хермандером [81] была получена верхняя оценка: 1 < р ^ 2 ^ д < со

1)Возникает вопрос о нижних оценках нормы операторов из (0.3) и (0.4). (Как показано в данной диссертационной работе, если вместо множества Е взять некоторое более узкое множество , то неравенства (0.3),(0.4) обращаются.)

2) Обобщение неравенства О'Нейла для интегральных операторов общего вида.

Диссертация состоит из введения , четырех глав и списка литературы. Нумерация теорем трехзначная : первое число означает номер главы , второе - номер параграфа, третье - собственный номер теоремы. Нумерация формул внутри каждого параграфа своя. Объем работы 206 страницы. Библиография состоит из 115 наименований.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Нурсултанов, Ерлан Даутбекович, 1999 год

1. Акишев Г.А. Об условиях сходимости рядов из коэффициентов Фурье по мультипликативным системам.// Деп КазНИИНТИ, 1991, №3343, 19 С.

2. Алимов Ш.А., Ильин В.А., Никишин Е.М. Вопросы сходимости кратных тригонометрических рядов и спектральных разложений. 1Ц УМН. 1976. Т.31, №6. С.28-83.

3. Бабенко К.И. О сходимости в среднем кратных рядов Фурье и асимптотике ядра Дирихле сферических средних//Препринт №52. ИПМ АН СССР. М., 1971.

4. Бари Н.К. Тригонометрические ряды. М.: Физматгиз, 1961.

5. Бекмаганбетов К.А. О связи методов комплексной и многопараметрической интерполяции //в сборнике "Современные вопросы теории функции и функционального анализа", Караганда 1996. С. 32-39.о о

6. Берг И., Лефстрем И. Интерполяционные пространства. Введение. М., Мир, 1980, С.264.

7. Берниязов Е.Е. Мультипликаторы Фурье в пространствах Лоренца и Бесова. // Алматы, дисс. к.ф.м.н., 1996, 97 С.

8. Бесов О.В., Ильин В.П., Никольский С.М. Интегралъые представления функций и теоремы вложения. М.:Наука, 1975, 480 С.

9. Бесов О.В. К теореме Хермандера о мультипликаторах преобразования Фурье. // Труды МИАН СССР, 1986,т. 173.

10. Бесов О.В. Применение интегральных представлении функции к интерполяции пространств дифференцируемых функции и мультипликаторов Фурье. // Труды МИАН СССР, 1989,т.187.

11. Брудный Ю.А., Кругляк Н.Я. Функторы вещественной интерполяции. Докл. АН СССР,1981, 256, №1, С.14-17.

12. Брудный Ю.Я., Крейн С.Г., Семенов Е.М. Интерполяция линейных операторов. Итоги науки и техники. Математический анализ. М., ВИНИТИ, 1986, т. 24, С. 3-163.

13. Бугров Я.С. Суммируемость преобразовании Фурье и абсолютная сходимость кратных рядов Фурье. // Труды МИАН СССР, т.187, 1989, С.22-30.

14. Вуколова Т.М., Дьяченко М.И. О свойствах сумм тригонометрических рядов с монотоными коэффициентами.// Вестник МГУ, серия 1 1995, №3, С.22-32.

15. Голубов Б.И., Ефимов А.В., Скворцов В.А. Ряды и преобразования Уолша. Теория и применения. М.: Наука, 1987 С.327.

16. Гулисашвили А.Б. Тригонометрические ряды с монотонно убывающими кодфициентами и функциями распределения, // Матем. заметки т.Ю, №1,1971 С.3-10

17. Дмитриев В.И., Овчинников В.И. Об интерполяции в пространствах вещественного метода. // Доклады АН СССР 2^6, 19?2, Ш, С.794-29?.

18. Дьяченко М.И. О сходимости двойных тригонометрических рядов и рядов Фурье с монотонными коэффициентами.// Математический сборник. 1986, 129(171), №1, С. 55-72.

19. Дьяченко М.И. Кусочно-монотонные функции многих переменных и теорема Харди-Литллвуда. // Изв. АН СССР, сер. матем., 1991, 55№6, С. 1156-1170.

20. Дьяченко М.И. Нормы ядер Дирихле и некоторых других тригонометрических полиномов в пространствах Ьр.// Матем. сборник, 1993. Т.184, N 3, С.3-20.

21. Дьяченко ММ.Некоторые проблемы теории кратных тригонометрических рядов // Успехи Матем. Наук т. 47, вып. 5(287) С.97-162.

22. Жантлесов Ж.Х., Смаилов Е.С. Двумерный аналог теоремы Харди Литллвуда по мультипликативной системе. // АН Каз-ССР, Сер: физ.-мат., №3, Деп в ВИНИТИ, №3494.

23. Зигмунд А. Тригонометрические ряды. М., Мир, 1965, т.И, С.1-537.

24. Канторович JI.В., Акилов Г.П. Функциональный анализМ.: Наука, 1984,751 С.

25. Кашин B.C., Саакян A.A. Ортогональные ряды. // М.: Наука,1984.26