Исследование эффективности правки длинномерных цилиндрических деталей способом приложения подвижного локального изгиба тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.02.08, кандидат наук Савран Сергей Александрович

• Савран Сергей Александрович
• кандидат наук
• 2017

Оглавление диссертации кандидат наук Савран Сергей Александрович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ МЕТОДОВ ПРАВКИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДЛИННОМЕРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ

1.1. Исследования методов правки и вибромеханической стабилизации длинномерных цилиндрических деталей

1.2. Конструктивные и технологические решения реализации способа правки и механической стабилизации длинномерных цилиндрических деталей

1.3. Постановка основных задач исследования

ГЛАВА 2. МЕХАНИЗМ ПРОЦЕССА ПРАВКИ ДЛИННОМЕРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ СПОСОБОМ ПРИЛОЖЕНИЯ ПОДВИЖНОГО ЛОКАЛЬНОГО ИЗГИБА

2.1. Способ правки длинномерных цилиндрических заготовок

2.2. Математическая модель процесса правки

2.3. Компьютерное моделирование процесса правки

2.4 Анализ результатов моделирования

Выводы

ГЛАВА 3. МЕТОДИКА ПРОВЕДЕНИЯ ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫХ ИССЛЕДОВАНИЙ

3.1 Технологическое обеспечения экспериментальных исследований

3.2 План проведения эксперимента и обработка экспериментальных данных .... 61 Выводы

ГЛАВА 4. ЭКСПЕРИМЕНТАЛЬНЫЕ ИССЛЕДОВАНИЯ ВЛИЯНИЯ ПРАВКИ НА ОСТАТОЧНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ И ГЕОМЕТРИЧЕСКИЕ ПАРАМЕТРЫ ДЛИННОМЕРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ

4.1 Влияние основных технологических факторов обработки на геометрические параметры обрабатываемых деталей

4.2 Оптимизация режима правки длинномерных цилиндрических деталей

Выводы

2

ГЛАВА 5. ОЦЕНКА ЭФФЕКТИВНОСТИ ПРИМЕНЕНИЯ ПОЛУЧЕННЫХ

РЕЗУЛЬТАТОВ

5.1 Область практического применения разработанной технологии

5.2 Экономическая эффективность практического использования результатов исследований

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Приложение А. Таблица результатов экспериментов

Приложение Б. Акт внедрения

Приложение В. Расчет схемы закрепления детали

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование эффективности правки длинномерных цилиндрических деталей способом приложения подвижного локального изгиба»

ВВЕДЕНИЕ

Изделия класса длинномерных маложестких деталей вращения имеют широкое применение в машиностроении. К ним относятся торсионные валы, распредвалы, карданные валы, коленчатые валы, оси, тяги, штоки, удлиненные втулки и другие. Они во многом определяют ресурс многих машин и механизмов.

Обычно маложесткие детали сложны в изготовлении, так как не выдерживают больших силовых и термических нагрузок. Но самое главное, после изготовления таких деталей они теряют свою первоначальную форму под действием даже незначительных остаточных напряжений, которые неизбежно возникают в процессе их механической и термической обработки. Поэтому на заключительной стадии изготовления такие детали подвергаются термическому отпуску, правки и дополнительной механообработки.

Однако существующие технические средства и способы правки длинномерных цилиндрических деталей, применяемые на ведущих промышленных предприятиях машиностроения, отличаются сложностью, трудоемкостью, высокими энергозатратами и высокой технологической себестоимостью. Кроме того, они не позволяют получить требуемую точность правки, так как после такой правки в детали создаются новые напряжения, которые после термообработки вновь приводят к отклонению от прямолинейности оси. Поэтому цикл правки многократно повторяется, а это резко снижает производительность производства изделий и снижению их качества. Даже применение современных правильных агрегатов с ЧПУ не исправляет ситуацию, так как в управляющие программы этого оборудования заложены недостаточные эффективные режимы правки, полученные на основе опытных данных.

В основном правка осуществляется по схеме свободного изгиба сосредоточенной нагрузкой на двух опорах. При этом методе правки зона пластической деформации охватывает только центральный участок детали, а на большей длине заготовки действуют упругие деформации, не приводящие к

исправлению погрешности. Поэтому заготовка после правки содержит участки с погрешностью, оставшейся от предыдущей обработки, и средний участок с вновь образованными погрешностями. Это вызывает сложно-напряженное состояние заготовки. В зоне действия рабочей нагрузки при правке возникает пластическая деформации поверхностного слоя детали, что нарушает однородность структуры материала заготовки. Эффективность правки во многом зависит от опыта и добросовестности оператора процесса правки и не может поддаваться эффективному управлению.

Поэтому тема диссертации, направленная на исследование новой эффективной технологии правки длинномерных цилиндрических деталей, позволяющей повышать эффективность их изготовления, является актуальной. Актуальность темы и выбранного научно-практического направления исследований подтверждается также тем, что она выполнена при финансовой поддержке Минобрнауки России - Задание № 9.896.2014/К на выполнение НИР в рамках проектной части государственного задания в сфере научной деятельности и при финансовой поддержке Федеральной целевой программы Минобрнауки России Соглашение № 14.574.21.0015 от 17.06.2014 УИС КЕЫБЕ157414Х0015.

Разработкой и исследованием способов правки, стабилизации геометрических параметров и снятия остаточных напряжений с длинномерных цилиндрических деталей занимались зарубежные и российские ученые: А. Из-раэли, Дж. Бенедек, В.Н. Перетятько, С.Н. Григорьев, О.И. Драчёв, Р.Р. Мав-лютов, Р.Ш. Блурцян, Ю.И. Кувалдин, Е.Ю. Кропоткина и многие другие.

Целью диссертационного исследования является исследование эффективности правки длинномерных цилиндрических деталей способом приложения подвижного локального изгиба.

В связи с вышеизложенным были сформулированы задачи работы:

Поиск и изучение существующих способов правки, стабилизации геометрических параметров и снятия остаточных напряжений длинномерных цилиндрических деталей.

Разработать способ правки длинномерных цилиндрических деталей подвижным локальным изгибом.

Исследовать механизм процесса правки и стабилизации длинномерных цилиндрических деталей подвижным изгибом, разработать математическую модель правки, отражающую влияние на эффективность процесса правки основных технологических факторов.

Выполнить экспериментальные исследование предложенного способа и формализовать зависимости основных показателей процесса от основных технологических факторов.

Разработать практические рекомендации по промышленному применению результатов исследований.

Научная новизна:

1. Выявлен механизм процесса правки длинномерных маложестких цилиндрических деталей подвижным локальным изгибом. Разработана математическая модель процесса, определяющая распределение напряжений в заготовке и изгибающего момента в поперечных сечениях и вдоль ее оси, возникающих в процессе обработки и по ее окончанию. Показаны зависимости остаточного изгибающего момента пластической деформации в различных сечениях заготовки от подачи инструмента и угла изгиба заготовки. Получена зависимость, определяющая форму и параметры упругой линии заготовки, получаемую после ее обработки.

2. На основе выполненного математического моделирования разработана программа, позволяющая осуществлять компьютерное моделирование исследуемого процесса. Произведено численное моделирование влияния различных факторов на величину остаточных напряжений и погрешность формы заготовки, в том числе влияние таких технологических факторов, как угол изгиба заготовки, подача инструмента, механические свойства заготовки и других факторов. Выполненный анализ обеспечил выбор варьируемых факторов при проведении экспериментальных исследований

3. Выполнены экспериментальные исследования, в результате которых формализована зависимость остаточного биения заготовки после различных значений технологических факторов: угла разворота инструмента, его подачи и частоты вращения заготовки. Полученная зависимость позволила предложить методику выбора оптимальных условий осуществления процесса обработки.

Практическая ценность и реализация:

1. Разработана инновационная технология процесса правки длинномерных цилиндрических деталей типа ось способом приложения к детали подвижного изгиба, позволяющая существенно снизить трудоемкость изготовления деталей и сократить энергозатраты.

2. Разработаны практические рекомендации по осуществлению способа правки и стабилизации длинномерных цилиндрических деталей типа «ось» предложенным способом.

3. Разработана специальная установка для правки и стабилизации геометрических параметров длинномерных цилиндрических деталей.

Результаты работы приняты к внедрению на предприятии ОАО «КБПА» (г. Саратов) при производстве длинномерных цилиндрических деталей типа «вал». Получен акт внедрения технологии правки.

На защиту выносятся следующие основные результаты работы:

1. Способ правки длинномерных маложестких цилиндрических деталей путем наложения на заготовку подвижного локального изгиба.

2. Математическая модель исследуемого процесса правки, определяющая распределение напряжений в заготовке и изгибающего момента в поперечных сечениях и вдоль ее оси, возникающих в процессе обработки и по ее окончанию и математическая модель формирования упругой линии заготовки после различных условий обработки.

3. Результаты численного эксперимента, показывающего влияние различных факторов на величину остаточных напряжений и погрешность формы заготовки.

4. Регрессионные зависимости остаточного биения заготовки после различных значений технологических факторов: угла разворота инструмента, его подачи и частоты вращения заготовки.

5. Конструкция экспериментальной установки для динамической правки и обработки, позволяющая практически реализовать схему стабилизации геометрических параметров и снятия остаточных напряжений предложенным способом.

7. Методика определения рациональных режимов правки и стабилизации геометрических параметров длинномерных цилиндрических деталей предложенным способом.

ГЛАВА 1. АНАЛИЗ СОСТОЯНИЯ МЕТОДОВ ПРАВКИ И СТАБИЛИЗАЦИИ ГЕОМЕТРИЧЕСКИХ ПАРАМЕТРОВ ДЛИННОМЕРНЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ДЕТАЛЕЙ

1.1. Исследования методов правки и вибромеханической стабилизации длинномерных цилиндрических деталей

В середине 20-го века хорошо изученным технологическим процессам искусственного старения, таким, как отпуск и отжиг, появилась альтернатива в виде технологии вибромеханической обработки. В первую очередь она стала применяться к напряженным сварным строительным и машиностроительным [23, 24, 25] конструкциям. Затем [20, 24, 26, 27, 28, 29] вибромеханическая обработка была внедрена в технологические процессы изготовления крупногабаритных литых валов и втулок, чугунных корпусных деталей.

Авторы [23] в 1985 году внедрили в технологические процессы изготовления базовых корпусных деталей прецизионных токарных станков вибромеханическую обработку взамен низкотемпературного отжига с целью стабилизации геометрической формы. Полученные по результатам этих исследований результаты говорят о целесообразности применения вибромеханической обработки как энергосберегающего метода, однако авторам не удалось получить геометрической стабильности такого же уровня, как и после хорошо отработанных термических операций. Представленное устройство для реализации способа вибромеханической обработки характеризуется низкой надежностью и малым диапазоном частот и усилий. Контроль уровня остаточных напряжений производился косвенным методом, т.е. по степени эксплуатационного коробления готовых изделий. На некоторых образцах было получено механическое разрушение ввиду невозможности с помощью расчетов рассчитать требуемые усилия, частоту и количество циклов нагру-жения.

На Краматорском заводе тяжелого машиностроения в середине 70-х

годов 20-го века была внедрена технология вибромеханической обработки в

9

техпроцессах изготовления крупногабаритных литых валов и втулок [11]. Согласно данных авторов, схема установки заготовки предусматривает его подвес на цепях, жесткое механическое крепление вибратора к детали и виброобработку на первой и второй резонансных частотах в течение 40-120 минут. Максимальное усилие составляло 3,5 кН, а частота - 75Гц. Недостатком такого способа являлось применение дорогостоящего привода для двигателя постоянного тока, малый ресурс двигателя и отсутствие объективной информации о напряженном состоянии материала детали до, после и в процессе виброобработки.

Авторами [30] был предложен способ вибромеханической обработки детали, включающий наложение вибраций при постоянном ускорении подъема частоты вращения вибровозбудителя, регистрацию экстремума мощности вибровозбудителя как функции частоты, отличающийся тем, что с целью повышения эффективности процесса вибромеханической обработки в каждой точке экстремума определяют его изменения вдоль частотного диапазона и последующую виброобработку ведут с наложением на деталь вибрации на частоте, соответствующей наибольшей мощности. Прекращают виброобработку на данной частоте при снижении скорости движения пика на 45-90% от первоначальной. Однако при использовании этого способа наблюдается лишь косвенное подтверждение минимизации остаточных напряжений в материале.

В работах [16, 17, 19, 13, 18, 22] изложены основные учения о пластической и микропластической деформациях при циклическом нагружении, рассмотрен закон наличия упругой деформации на примере чистого упруго-пластического изгиба.

В работах [11, 29] рассмотрен выбор оптимального числа циклов на-гружения при вибромеханической обработке для разных групп материалов.

Автором [10] даны выражения для изгибающего момента в зависимости от модуля упрочнения, момента сопротивления поперечного сечения и предела текучести стали.

В работах [12, 14, 15] приведено дифференциальное уравнение изгиба для упругопластического участка балки.

Технологические остаточные напряжения, возникающие в поверхностных слоях при обработке, являются одним из факторов, влияющих на усталостную прочность торсионных валов и, как следствие, на геометрические параметры детали [10].

В соответствии с технологией обработки торсионных валов основные рабочие поверхности (стержень и галтели) после токарной и термической обработки подвергаются операциям предварительного и окончательного шлифования, а затем производится обкатывание.

Под воздействием высоких температур в зоне шлифования в поверхностных слоях формируются, преимущественно, растягивающие остаточные напряжения.

При исследовании тангенциальных технологических остаточных напряжений в поверхностных слоях полное напряжение первого рода по методике академика Н.Н. Давиденкова определяется как сумма трех составляющих:

а = а1 + а2 + а3,

где а1 - напряжение, удаляемое при резке кольца; а2 - напряжение, удаляемое одновременно со снимаемым слоем металла; а3 - учитывает напряжения, действующие в ранее удаленных слоях.

В работе Блурцян Р.Ш. [10] установлено, что в поверхностных слоях торсионных валов после закалки и отпуска формируются сжимающие остаточные напряжения. Величина этих напряжений на глубине 0,1 мм колеблется в пределах -230...-360 МПа и более. После выполнения операций предварительного шлифования картина напряженного состояния, имеющая место после операций термообработки меняется, возникают растягивающие напряжения, достигающие 100.400 МПа. После окончательного шлифования и последующего обкатывания создаются в поверхностном слое сжимающие

напряжения. Однако технологический процесс не всегда обеспечивает на

и

всех участках поверхностей стержня и галтелей заготовки отсутствие растягивающих напряжений, наличие которых отрицательно сказывается на усталостной прочности валов.

Для исследования осевых остаточных напряжений авторы [10] использовали образцы-пластинки размерами 40х6х2, вырезанные из закаленных торсионных валов. Обработка валов осуществлялась на дробеструйной установке базового завода. Закономерности формирования осевых напряжений в зависимости от времени дробеструйного упрочнения, представлены на рис. 1.1.

0,05 0,1 0,15 Ь,мм

Рисунок 1.1. - Распределение осевых технологических остаточных напряжений а по глубине залегания поверхностных слоев И от времени дробеструйного упрочнения т при перпендикулярном направлении дроби: 1 - т = 1 мин; 2 - т = 4 мин; 3 - т = 8 мин.

Как видно, при дробеструйном упрочнении в поверхностном слое глубиной до 0,15 мм формируются сжимающие напряжения величиной -175...-260 МПа. С увеличением продолжительности упрочнения сжимающие напряжения растут.

В зависимости от технологического маршрута обработки поверхностей стержня и галтелей в сочетании с обработкой дробью картина распределения остаточных напряжений в поверхностных слоях меняется. На рис. 1.2 показано распределение тангенциальных остаточных напряжений по глубине залегания исследуемого слоя от поверхности для различных методов обработки поверхности стержня.

О 0.025 0.050 0.075 Ь.мм

Рисунок 1.2. - Распределение тангенциальных технологических остаточных напряжений по глубине залегания поверхностных слоев при различных методах обработки стержня и галтелей торсионного заготовки: 1 - чистовое шлифование; 2 - базовая технология (чистовое шлифование, обкатывание); 3, 4, 5 - чистовое шлифование, дробеструйное упрочнение, обкатывание.

Как видно, при чистовом шлифовании в поверхностном слое металла глубиной до h = 0,02 мм действуют большие растягивающие напряжения (при h = 0,0035 мм, s = 340 МПа). Последующее обкатывание стержня обеспечивает формирование в поверхностном слое глубиной более h = 0,003 мм сжимающих напряжений. Дробеструйное упрочнение поверхностного слоя валов значительно повышает уровень сжимающих остаточных напряжений. Так, на глубине h = 0,02 мм s = -550... -600 МПа.

Исследование технологических остаточных напряжений различных участков стержня торсионной заготовки, подвергнутого дробеструйной обработке, показало, что как осевые, так и тангенциальные остаточные напряжения являются напряжениями сжатия и достигают -200...-300 МПа и более.

Результаты исследований технологических остаточных напряжений в поверхностном слое при различном времени дробеметной обработки стержня торсионной заготовки представлены на рис. 1.3. Как видно при всех режимах дробеметного упрочнения в поверхностном слое формируются сжимающие

напряжения. При этом напряжения на глубине h = 0,05 мм при времени дро-беметного упрочнения t =5 мин составляют -420 МПа и увеличиваются до -485 МПа при t = 20 мин.

На рис. 1.4 даны результаты исследования технологических остаточных напряжений торсионной заготовки, подвергнутой дробеметному упрочнению, обкатыванию и прошедшую стендовые испытания (520000 циклов-закруток без разрушения). Как видно из рисунка, в поверхностном слое заготовки сформированы сжимающие тангенциальные остаточные напряжения, величина которых колеблется в пределах -100...-300 МПа.

Исследованием картин распределения тангенциальных остаточных напряжений рабочих поверхностей торсионных валов после стендовых испытаний установлено, что с увеличением величины остаточных сжимающих напряжений в поверхностных слоях растет усталостная прочность заготовки. Так, для заготовки, обработанной по новой технологии (операция шлифования заменена на операцию дробеметного упрочнения) и выдержавшую без разрушения 970000 циклов-закруток, величина сжимающих тангенциальных технологических остаточных напряжений в поверхностных слоях на глубине 0,1 мм колеблется в пределах -270...-420 МПа.

-¿00

о ^иг / /»>-

Рисунок 1.3. - Изменения тангенциальных технологических остаточных напряжений s в зависимости от глубины залегания слоя и времени дробеметной обработки X стержня торсионного заготовки: 1 - X = 5 мин; 2 - X = 10 мин; 3 - X = 15 мин; 4 - X = 20 мин.

_/г,

I <9 б\±3 г гггт——, /Г 1 ^/Г7Г/г~1

1 к!_1

тО

Хч Л г

Рисунок 1.4. - Изменение тангенциальных технологических остаточных напряжений s по глубине поверхностных слоев И стержня торсионного заготовки, подвергнутого дробеметному упрочнению и обкатыванию: 1 - образец 3; 2 - образец 6; 3 - образец 2; 4 -

образец 4; 5 - образец 8.

Детальному изучению вопроса обеспечения правки и стабильности геометрической точности длинномерных маложестких деталей упрочняющими методами посвящена работа [11, 12]. Предложенный подход заключается в том, что стабильность геометрических параметров изделия достигается созданием обратной деформации вследствие правки остаточных напряжений. Таким образом, в течение некоторого времени в процессе правки остаточных напряжений происходит деформирование детали, компенсированное по завершении релаксационного процесса предварительно созданной деформацией. Очевидным недостатком такого подхода является длительный период естественного процесса правки, составляющий 22 месяца [11, 12], в течение которого величина деформации постепенно достигает своего максимума и только после этого уменьшается до приемлемой величины (рис. 1.5).

В работе [13] для решения задачи правки и стабилизации остаточных напряжений и, как следствие геометрической точности, предложен метод автоматического управления процессом обработки. При этом процесс вибромеханической обработки представлен моделью автоматической системы управления.

ММ

ф7 градус

0,16

0,08 0

& у.

) V Ч

/

г

I II III IV V

50 30 10

■--чй

V-

7

I II III IV V

Рисунок 1.5. - а - график эксцентриситетов; б - график фаз: 1- сразу после обкатывания, 2- через 9 мес. после обработки, 3 - через 22 мес. после обработки.

1.2. Конструктивные и технологические решения реализации способа правки и механической стабилизации длинномерных цилиндрических

деталей

Постоянно возрастающие требования к качеству, стоимости и производительности изготовления длинномерных деталей стимулируют создание более совершенных способов и технических средств. Поэтому поиск новых, более совершенных, технических решений, обеспечивающих стабилизацию геометрических параметров длинномерных маложестких деталей типа валов и стержней, представляет собой актуальную задачу. Решению данной задачи было посвящено большое количество разработок.

В частности, в работе [1] авторами Е.Ю. Кропоткиной и С.Н. Григорьевым предложен способ правки нежестких длинномерных деталей, в котором для стабилизации геометрических параметров предлагается путем двукратного приложения статической нагрузки минимизировать величину прогиба заготовки.

Заявленный способ осуществляют следующим образом: измеряют жесткость, по жесткости, считают нагрузку, необходимую для правки детали, которую установили с помощью эксперимента - один раз по прогибу в области упругопластических деформаций, пропорционально силе; прикладывают нагрузку правки и за один раз находят форму оси.

Изначально находят положение и измеряют величину исходного максимального прогиба длинномерной детали произвольной формы (рис. 1.6), который необходимо править любыми известными и подходящими для исправляемой детали средств и методов. Затем обрабатываемую деталь устанавливают на концевые опоры плоскостью максимального изгиба в направлении вектора силы и воздействуют индентором на зону максимального прогиба детали в направлении, обратном направлению прогиба, первоначальной нагрузкой Р1 до достижения границы упругопластической деформации (рис. 1.7). Максимальная нагрузка, приложение которой обеспечивает упру-гопластический изгиб, определяется формулой:

(1.1)

Рисунок 1.6. - Схема определения вектора силы

Рисунок 1.7. - Схема правки нежестких длинномерных деталей

Недостаток данного метода состоит в точечном статическом воздействии на один участок заготовки, при этом не учитывается увеличение или возникновение деформации в других участках заготовки при указанном воздей-

ствии. В выражении (1.1) рабочая нагрузка рассчитывается исходя из предела текучести, т.е. процесс исправления может осуществляться только при условии упругопластического деформирования, а это значит, что в других менее жестких участках может возникнуть не только пластическая деформация, но разрушение изделия.

Другой способ [2] О.И. Драчева заключается в обработке заготовки, которая устанавливается в стапель и нагружается изгибающими и крутящими моментами, прикладываемыми эксцентрично её оси.

Отличительная особенность данного способа в том, что вал размещают вертикально, создавая предварительное статическое нагружение заготовки, фиксируемого в опорах (рис.1.8). К валу прикладывают изгибные и крутильные колебания на резонансных частотах к тем поперечным сечениям заготовки, в которых расположены зоны пучностей определенных частот колебаний, при этом к одному из торцов заготовки дополнительно прикладывают крутильно-продольные колебания.

Данный способ обработки производят следующим образом. Вал 1 (рис.1.8, а) перед обработкой предварительно нагружают продольной силой для создания определенной жесткости системы и, соответственно, собственной частоты. В сечениях заготовки 1, соответствующих зонам пучностей определенных частот колебаний, генерируют крутильные и изгибные колебания с определенной частотой и амплитудой (рис. 1.8, б). В торец заготовки 1 передаются крутильно-продольные вибрации. За счет различных частот виброобработки, форм колебаний, максимальных амплитуд колебаний на различных резонансных частотах процесс правки интенсифицируется. За счет изменения жесткости системы путем регулирования осевого поджатия обработка может проводиться на различных резонансных частотах со смещением соответственно зон пучностей по длине заготовки 1. Циклические напряжения складываются с внутренними остаточными напряжениями, что приводит к превышению предела пластичности материала заготовки. За счет этого происходит как микропластическая деформация (перемещения дислокации,

сдвиг атомов в узлах кристаллической решетки), так и макропластическая деформация (движение отдельных блоков материала). При этом структура металла переходит в равновесное состояние.

а) б)

Рисунок 1.8. - Схема действия сил при правки вала

Устройство для вибрационной обработки (рис.1.9) содержит жесткие опоры 2 и упругие опоры 3, зафиксированные на направляющих 4. Жесткие опоры 2 неподвижно закреплены, а упругие опоры 3 через карданную передачу 5 упруго связаны с направляющими 4. На валу 1 крепятся призмы 6, в которые вставлены стержни 7, через шатуны 8 соединенные с кривошипным механизмом 9, установленные на приводном валу 10. Стержни 7 в разных призмах 6 направлены в перпендикулярных направлениях. На нижнем конце заготовки 1 зафиксирован упругий преобразователь 11, который опирается на пластину 12. Упругий преобразователь 11 поджимается бойком 13, который пружиной 14 постоянно отжимается к профильному диску 15. Сверху вал 1 нагружается гидравлическим поджимом 16.

Устройство работает следующим образом. Гидравлическим поджимом 16 создается предварительное нагружение Р в заготовке с целью создания определенной жесткости системы. Вал 1 жестко крепится скользящими опо-

рами 2 (в случае отношения длины к диаметру Ш>12 таких опор необходимо несколько) в узлах смещений. Для устойчивости заготовки 1 при обработке она дополнительно крепится упругими опорами 3, которые могут смещаться в продольном направлении и поворачиваться относительно оси заготовки 1. На закрепленные в определенных поперечных сечениях заготовки 1 призмы 6 посредством шатуна 8 от кривошипного механизма 9 передаются изгибающий и крутящий моменты МИЗП и МКрь которые приводят к изгибным смещениям заготовки и её закручиванию на угол 2ф с частотой, равной частоте вращения привода 10п;. Амплитуда колебаний задается: изгибных - за счет регулирования эксцентриситета кривошипа относительно оси вращения, крутильных - за счет изменения L плеча смещением шатуна по стержню 7.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Савран Сергей Александрович, 2017 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

1. Пат. 2525023 РФ, В24В39/04, B21D3/16. Способ правки нежестких длинномерных деталей / Кропоткина Е.Ю., Григорьев С.Н, Волосова М.А.; ФГБОУ ВПО "Московский государственный технологический университет "СТАНКИН" (ФГБОУ ВПО МГТУ "СТАНКИН"). - 201215686/02; за-явл. 26.12.2012; опубл. 10.08.2014;

2. Пат. 2254192 РФ, B21D3/16. Способ вибрационной обработки осесимметричных длинномерных деталей и устройство для его осуществления / Расторгуев Д.А., Драчев О.И., Солдатов А.А.; ГОУ ВПО "Тольяттин-ский государственный университет" - 2003136836/02; заявл. 19.12.2003; опубл. 20.06.2005;

3. Пат. 2020012 РФ, B21D3/16. Устройство для правки и упрочнения заготовки / Буравцев С.К.; Буравцев Сергей Константинович. -5051932/27; заявл. 13.07.1992; опубл. 30.09.1994;

4. Пат. 2021098 РФ, B24B39/04, B21D3/16. Способ обработки нежестких валов / Мазур В.К., Мураткин Г.В.; Производственно-коммерческое предприятие "Теко Лтд." - 5024781/27; заявл. 01.07.1991; опубл. 15.10.1994;

5. Пат. 2380212 РФ, B24B39/04, B21D3/16. Способ обработки нежестких валов / Мураткин Г.В., Котов И.В., Синцов А.С.; Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Толь-яттинский государственный университет" - 2008122826/02; заявл. 05.06.2008; опубл. 27.01.2010.

6. Пат. 2416475 РФ, B21D3/16. Установка для виброобработки маложестких деталей / Бойченко О.В., Драчев О.И., Гранченко Д.В.; Государственное образовательное учреждение высшего профессионального образования "Тольяттинский государственный университет" - 2008139175/02; заявл. 01.10.2008; опубл. 20.04.2011.

7. Аркулис Т.Э., Дорогобец В.Г. Теория пластичности, - М.: Металлургия. 1987. - 352 с.

8. Бережницкая М.Ф., Тихонов А.К., Богданова И.В. Влияние режимов комплексной химико-термической обработки па распределение остаточных напряжений. // Физ.-хим. мех. матер. 1992-28, № 1.- С. 116-118.

9. Биргер И.А. Остаточные напряжения. - М.: Машгиз, 1963.-232с.

10. Блурцян Р.Ш. Закономерности образования технологических остаточных напряжений в поверхностных слоях торсионных валов при дробе-метной и дробеструйной обработке / Р.Ш. Блурцян, Д.Р. Блурцян, И.Р. Блурцян // Машиностроение и безопасность жизнедеятельности: Машиностроение. - 2011. - No1. - С.21-24.

11. Бокий Г. Б., Порай-Кошич М. А. Практический курс рентгеност-руктурного анализа. Т. 1. Изд. МГУ, 1951. 327 с; Т. 2, 1960,282 с.

12. Большанина М.А., Панин В.Е. Скрытая энергия деформации. // Исследования по физике твердого тела: Изд-во АН СССР,- 1965

13. Виноградов В. М. В кн. Методы испытания, контроля и исследования машиностроительных материалов. Т. 3. М., "Машиностроение", 1973, с. 127-138.

14. Вишняков Я.Д., Пискарев В.Д. Управление остаточными напряжениями в металлах и сплавах.- М.: Наука,- 1989.,- 254 с.

15. Владимиров В.И. Физическая природа разрушения металлов. -М.: Металлургия, 1984. - 280с.

16. Вольмир А.С., Гринченко Г.И. Упрочнение деталей из жаропрочных и титановых сплавов. М. Машиностроение, 1971 - 120 стр.

17. Гаджиев А.М Изучение остаточных макронанряжений, формируемых в поверхностном слое при обработке. / Гаджиев A.M. // Технология металлов. 2000., №2. С. 15-16.

18. Гинкул СП., Гамарник А.П., Нестерова И.В. Методика определения деформации валов при их обработке // Вестник машиностроения, 1990, № 6. С. 40-41.

19. Годерзан К.К. Внутренние напряжения в металлах и сплавах, методы их измерения и устранения. - М.: Оборонгиз, 1952. - 150с.

96

20. Гринченко Г.И. Упрочнение деталей из жаропрочных и титановых сплавов. М. Машиностроение, 1971 - 120 стр.

21. Гришин В.К. Статистические методы анализа и планирования экспериментов. - М.: МГУ, 1975.-128 с.

22. Давиденков H.H., Шевандин Е.М. Исследование остаточных напряжений, создаваемых изгибом // ЖТФ,- 1939.- T. IX. вып. 12.

23. Дальский A.M. Технологическое обеспечение надежности высокоточных деталей машин. - М.: Машиностроение, 1975. - 223 с.

24. Долецкий В.А., Бунтов В.Н. Увеличение ресурса машин технологическими методами. -М. : Машиностроение. 1978.-214с.

25. Иванова B.C. Усталостное разрушение металлов. - М.: Металлург, 1963.-178 с.

26. Ильин JT.H. Основы учения о пластической деформации. М.: Машиностроение, 1980. - 150с.

27. Кайбышев О. А. Пластичность и сверхпластичность металлов. -М. : Металлургия, 1975. - 280 с.

28. Касаткин Б.С. Экспериментальные методы исследования деформаций и напряжений: [справ. пособие]. / Б.С. Касаткин, А.Б. Кудрин, Л.М. Лобанов. - К.: Наук. думка, 1981.- 583 с.

29. Колмогоров В.Л. Пластичность и разрушение. -/ М.: Металлургия 1977. -217с.

30. Колбасенков П.Г. Теория обработки металлов давлением. Сопротивление деформации и пластичность. СПб.: Изд-во СПбГТУ, 2000. - 314 с.

31. Королев А.В. Вероятностные основы разрушения материалов. Доклады Российской Академии Естественных Наук № 1 1999 г. С. 194-201

32. Коршунов В.Я. Расчет глубины упрочнения и остаточных напряжений при поверхностном пластическом деформировании / Коршунов В.Я. // СТиН.-1998.-№12.-С. 24-27

33. Коцубинский О.Ю. Стабилизация размеров чугунных отливок. -Москва, Машиностроение. 1974.-213 с

97

34. Кропоткина Е.Ю. Разработка методологии и технологий упруго-пластического деформирования длинномерных деталей различной геометрической формы: диссертация ... доктора технических наук : 05.02.09 - Москва, 2012. - 328 с.

35. Кропоткина Е.Ю. Релаксация остаточных напряжений по времени после поверхностного пластического деформирования / Е.Ю. Кропоткина // Упрочняющие технологии и покрытия. - 2009. №2. - С. 27-31.

36. Кувалдин Ю.И. Технологические методы уменьшения остаточных деформаций изгиба на этапе предварительной обработки нежестких валов. // Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. канд. наук. М. - 1988.

37. Куркин С. А., Смирнов А. И., Певзнер Л. М. Влияние деформационного старения на поведение высокопрочных сталей при двухосном растяжении// Известия вузов. Машиностроение. 1969. - №2. - с. 51-57.

38. Лащенко Г.К., Демченко Ю.В. Энергосберегающие технологии послесварочной обработки металлоконструкций. - Киев: Экотехнология, 2008. - 168 с.

39. Ломоносов А.В. Выбор экономической эффективности процесса механической обработки в условиях автоматизированного проектирования. -ТОМСК: ТПИ, 1984.-95 с.

40. Макаревич С.С. Остаточные напряжения. УП Технопринт, 2003г.

41. Маликин Н.Н. Прикладная теория пластичности и ползучести. М. : Машиностроение, 1975.-400с.

42. Мамин П.Д. Остаточные напряжения после отделочно-упрочняющей обработке деталей машин ПД. / Мамин П.Д., Мавлютов P.P., Куликов B.C., Мардисова Т.Н.// Институт механики (УИЦ РАН). Вестн. УГАТУ. 2001 № 2 С. 111-117.

43. Маталин А.А. Качество поверхности и эксплуатационные свойства деталей машин. - М.-Л.: Машгиз, 1956. - 130 с.

44. Маталин А.А. Технология механической обработки. -Л.: Машиностроение, 1977. - 464с.

45. Михайлов О.Н. Остаточные напряжения в заготовках и деталях крупных машин. // Свердловск: НИИТЯЖМАШ Уралмаш-завод,- 1971г.

46. Мошин Е.Н. исследование пластического изгиба // Труды ЦНИИТМАШ, -М.: Машгиз, 1954. Кн.62-65с.

47. Мураткин Г.В. Образование остаточных деформаций и напряжений в маложестких валках при правке ППД. / Мураткин Г.В. // Тольят. гос. ун-т. Тольятти, 2002, 10 с.

48. Напряжения и деформации в узлах машин. Под ред. Н. И. Приго-ровского. М,, Машгиз, 1961. 396 с.

49. Нестерова Н.В. Автоматизированное управление точностью обработки нежестких деталей. - М.: Машиностроение, 1994.-48с. 34. Нестерова Н.В., Митрофанов В.Г. Методы расчета остаточных напряжений и деформаций. М.: МГЦНТИ, 1993, Вын. 2. - С. 93-126.

50. Непомилуев В.В. Оптимизация технологических условий механической обработки деталей авиационных двигателей / В.Ф.Безъязычный, Т.Д. Кожина, А.В. Константинов, В.В. Непомилуев, А.Н. Саменов, Т.В. Шарова, Ю.П.Чистяков. - М.: Изд-во МАП, 1993, 184 с.

51. Никифоров А.Д., Бойцов В.В. Инженерные методы обеспечения качества в машиностроении: Учебное пособие. - М . : Издательство стандартов, 1987.-387 с.

52. Новикова Т.В. Повышение качества и эксплуатационных свойств цилиндрических поверхностей деталей совмещением операций хромирования и вибронакатывания. // Автореф. дисс. на соиск. учен. степ, канд. тех. наук. - Нижний Новгород. - 1998.

53. Пастернак Н.А. Исследование холодной и горячей правки металла. М.:Машгиз, 1953 - 98 стр.

54. Перетятько В.Н., Ковтун А.А., Рогов Ю.Н. Исследование остаточных напряжений при изгибе: /гибка металлов/ // изв. ВУЗов. Черная металлургия. -1987. №2 61 -63с.

55. Писаренко Г.С., Яковлев А.Г., Матвеев В.В. Справочник по сопротивлению материалов. Киев: Наукова думка, 1975 - 7 03 стр.

56. Писаренко B.C., Вержбинская П.И. Снижение остаточных напряжений вибрационной обработкой, -Технология, организация и механизация сварочного производства НИИ-ФОРМТЯЖМАШ, 1972. -379с.

57. Поздеев A.A. Няшин Ю.И., Трусов П.В. Остаточные напряжения: теория и приложение.- М.: Наука,- 1982.

58. Промтов А.И. Остаточные напряжения и деформации при обработке маложестких деталей резанием. // Автореф. дисс. на соиск. учен. степ. докт. техн. наук. Куйбышев. - 1975.

59. Прочность, устойчивость, колебания. Справочник в трех томах. Том 2 / под ред. И.А. Биргера и Я.Г. Пановко. -М.: Машиностроение 1968. -4 64с.

60. Римм Э.Р. Определение остаточных напряжений при пластическом деформировании // Учебное пособие. - Пермь: Изд-во ПГТУ,- 1993г.

61. Румшинский Л.3. Математическая обработка результатов эксперимента.: Наука, 1976.- 192 с.

62. Савран С.А. Способ вибромеханической стабилизации геометрических параметров длинномерных деталей / А.В. Королев, А.Ф. Балаев, С.А. Савран // Успехи современной науки. - 2016. - №7, Т.2. - С. 49-51.

63. Савран С.А. Математическая модель вибромеханической стабилизации длинномерных деталей / А.В. Королев, А.Ф. Балаев, С.А. Савран // Успехи современной науки. -2016. - №7, Т.2. - С. 73-76.

64. Савран С.А. Математическая модель правки длинномерных деталей продольным перемещением регулируемого изгиба / А.В. Королев, А.Ф. Балаев, С.А. Савран // Успехи современной науки. - 2016. - №8, Т.3. - С. 72-74.

65. Савран С.А. Ультразвуковая релаксация остаточных напряжений в кольцах подшипника / С.А. Савран, А.В. Королев, О.О. Смирнов, П.Н. Верещагин // Евразийский союз ученых. - Москва, 2015. - №4. - С. 22-24.

66. Савран С.А. Экспериментальные исследования правки длинномерных деталей продольным перемещением подвижного изгиба / С.А. Савран // Научные преобразования в эпоху глобализации: сб. статей междунар. науч.-прак. конф. - Екатеринбург: НИЦ АЭТЕРНА, 2016. - С. 64-67.

67. Савран С.А. Релаксация остаточных напряжений под действием ультразвуковых колебаний / С.А. Савран, А.В. Королев, А.М. Сарсенгалиев и др. // Проблемы и инновации в области механизации и технологий в строительных и дорожных отраслях: сб. науч. трудов и материалов междунар. науч. конф. - Иваново: «Научный мир», 2015. - №1. - С. 89-95.

68. Савран С.А. Сравнительный анализ ультразвукового и термического методов релаксации остаточных напряжений / С.А. Савран, А.В. Королев, Балаев А.Ф. и др. // Наука, технологии и инновации в современном мире: материалы II Междунар. науч.-практ. конф. - Уфа, 2015. - С. 47-50.

69. Савран С.А. Технология удаления остаточных напряжений / С.А. Савран, А.В. Королев, А.Ф. Балаев // Проблемы и перспективы технических наук: сб. статей Междунар. науч.-практ. конф. - Уфа, 2015. - С. 32-35.

70. Савран С.А. Современные тенденции в развитии оборудования и приборов для снятия и контроля остаточных напряжений / С.А. Савран, А.В. Королев, Т.А. Балтаев и др. // Машиностроение: сетевой электронный научный журнал. - 2015. Т.3., №3 - С. 42-46.

71. Скороходов А.Н., Зудов Е.Г., Киричков А.А., Петчеренко Ю.П. Остаточные напряжения в профилях и способы их снижения. // Под ред. Полухина П.И. -М.: Металлургия, 1985. -185с.

72. Соколов И.А., Уральский В.И. Остаточные напряжения и качество металлопродукции. М.: Металлургия,- 1981. - 96 с

73. Сорокин В.М., Тарасова Е.А. и др. К вопросу определения остаточных напряжений в деталях при комбинированной обработке: Тез. докл. междун. науч. - техн. конф. - Иваново, ИГЭУД997.- С. 314.

74. Справочник металлиста. Т.1. / Под ред. С.А. Чернавского, В.Ф. Рещетникова. М.: Машиностроение, 1976.-768 с.

101

75. Суслов A.B. Технологическое обеспечение параметров состояния поверхностного слоя деталей. - М.: Машиностроение, 1987.- 208с.

76. Сухов И. П., Ушаков Б. Н. Исследование деформаций и напряжений методом муаровых полос. М., "Машиностроение", 1969. 275с.

77. Тимошенко С. П. Колебания в инженерном деле. -М.: Наука, 1967. 444 с.

78. Троицкий В. А. Оптимальные процессы колебаний механических систем. JI. : Машиностроение, 1976. - 248 с.

79. Фадеев Л.Л., Албагачиев А.Ю. Повышение надежности деталей машин. М.: Машиностроение, 1993, 96 с.

80. Федюкин В.К., Смагорипский М.Г. Термоциклическая обработка металлов и деталей машин. - Л.: Машиностроение, 1989. - 255 с.

81. Феррест П. Усталость металлов. - М. Машиностроение, 1968.352 с.

82. Фридман Я.Б. Механические свойства металлов. Изд. 3-е перераб. И доп. В двух частях. Часть первая. Деформация и разрушение. М.: Машиностроение, 1974, - 472 с.

83. Чернышев Г.Н., Попов А.Л., Козинцев В.М., Пономарев И.И. Остаточные напряжения в деформируемых твердых телах. -М.: Наука. Физмат-лит,- 1996.- 240с.

84. Шадский А.А., Владимиров С.А. Регламентированная правка с целью снижения остаточных напряжений. // Кузнечно-штамповочное производство, 1983, №8.-С. 13-15.

85. Якобсон М.О. Шероховатость, наклеп и остаточные напряжения при механической обработке. М.: Машгиз, 1956.

86. Ящерицын П.И, Основы технологии механической обработки и сборки в машиностроении. Минск.: Высшая школа, 1974.- 607с.

87. Ящерицын П.И., Рыжов Э.В., Аверченков В.И. Технологическая наследственность в машиностроении. Минск.: Наука и техника, 1977.- 256 с.

88. Israel A., Benedek J. Instability parameter for machined parts // Frans ASME. Journal of Engineering for Industry, 1983, № 3. p. 133 - 136.

89. Roven H. J., Nes E. Cyclic deformation of ferritic steel. Stress-strain response and structure evolution // Acta Metallurgica et Materialia, 1991, №8.p. 1719 1733.

90. Hsieh C. C., Lai C. H., Wu W. Effect of vibration on microstructures and mechanical properties of 304 stainless steel GTA welds. Metals and Materials International, Vol. 19, Issue 4, 2013, p. 835-844.

91. Wang J. S., Hsieh C. C., Lin C. M., Kuo C. W., Wu W. Texture evolution and residual stress relaxation in a cold-rolled Al-Mg-Si-Cu alloy using vibratory stress relief technique. Metallurgical and Materials Transactions A, Vol. 44, Issue 2, 2013, p. 806-818.

92. Djuric D., Vallant R., Kerschbaumer K., Enzinger N. Vibration stress relief treatment of welded high-strength martensitic steel. Welding in the World, Vol. 55, Issue 1, 2011, p. 86-93.

93. Chuvas T. C., Castello D. A., Cindra Fonseca M. P. Residual stress relief of welded joints by mechanical vibrations. Journal of the Brazilian Society of Mechanical Sciences and Engineering, 2016, p. 1-9.

94. Savran S.A., Korolev A.V., Korolev A.A. and etc. Vibromechanic way to remove residual stresses. / Advanced Materials Research Vol. 1064 (2015) pp 103-107.

95. Savran S.A., Korolev A.V., Korolev A.A. and etc. Technology of residual stresses relaxation by the ultrasonic vibrations. / Applied Mechanics and Materials Vol 770 (2015) pp 66-69.

96. Savran S., Korolev A.., Balaev A. and etc. Modelling of the process of vibro-mechanical correction in long-length parts. / Vibroengineering procedia. VOL. 8 (2016) pp 130-134.

97. Vardanjani M. J., Ghayour M., Homami R. M. Analysis of the vibrational stress relief for reducing the residual stresses caused by machining. Experimental Techniques, Vol. 40, Issue 2, 2016, p. 705-713.

103

Таблица результатов экспериментов

а э п

5 0,4 40

10 1 100

15 1,6 160

Приложение А

Некомпозиционный план второго порядка для трех факторов

Номер опыта Хо Х1 Х2 Хз Х1Х2 Х1ХЗ Х2Хз Х12 х2 х32 У

1 1 1 1 0 1 0 0 1 1 0 У1

2 1 1 -1 0 -1 0 0 1 1 0 У2

3 1 -1 1 0 -1 0 0 1 1 0 Уз

4 1 -1 -1 0 1 0 0 1 1 0 У4

5 1 0 0 0 0 0 0 0 0 У5

6 1 1 0 1 0 1 0 1 0 1 У6

7 1 1 0 -1 0 -1 0 1 0 1 У7

8 1 -1 0 1 0 -1 0 1 0 1 У8

9 1 -1 0 -1 0 1 0 1 0 1 У9

10 1 0 0 0 0 0 0 0 У10

11 1 0 1 1 0 0 1 0 1 1 У11

12 1 0 1 -1 0 0 -1 0 1 1 У12

13 1 0 -1 1 0 0 -1 0 1 1 У13

14 1 0 -1 -1 0 0 1 0 1 1 У14

15 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 У15

э

8,11 0,75

4,3 3,73

-9,50 0,28

2,36 1,25

2,50 0,28

2,36 1,25

1,67 0,28

2,36 1,25

-2,00 0,56

3,18 2,39

2,67 0,56

3,18 2,39

0,83 0,56

3,18 2,39

15,03 0,61

3,18 2,49

2,03 0,61

3,18 2,49

0,53 0,61

3,18 2,49

-33,8063

У1 У2 УЗ

20 14 19

18 19 12

35 34 42

35 26 28

8 6 11

20 14 19

16 4 7

36 37 26

40 30 35

8 6 15

14 15 19

9 16 8

6 15 6

5 9 8

4 6 10

1

Ь

Приложение Б. Акт внедрения.

Приложение В. Расчет схемы закрепления детали.

Пример 1.

Раскрыть статическую неопределимость балки методом сил и определить точки С приложения силы Р (рис. а).

Рисунок 1. - Расчетная схема и эпюры поперечных сил и изгибающих моментов.

Решение.

Балка один раз статически неопределима, ибо в задаче возникает три неизвестные опорные реакции ЯА , ЯБ , тА, а уравнений равновесия можно составить только два. В качестве лишней связи выбираем опору В. На рис. 1 б, в изображены основная и эквивалентная системы. Каноническое уравнение метода сил имеет вид

Для определения коэффициентов для основной системы строим

эпюры отдельно от действия внешней нагрузки (рис. 1 г) и от единичной силы ^ = 1 (рис. 1 д).

На основании формулы Мора и способа Верещагина находим

Подстановка полученных выражений в каноническое уравнение (1) приводит к выражению:

А'

3 3

откуда находим:

темы

Теперь, используя (2), из уравнений равновесия для эквивалентной сис-

находим опорные реакции:

На рис. 1 е,ж изображены окончательные эпюры перерезывающих сил и изгибающих моментов.

Для определения прогиба в точке С прикладываем в этой точке основной системы единичную силу Р = 1 (рис. 1 з). Перемножая эпюру от этой силы на результирующую (рис. ж), находим:

/

ЕЖС = -

\

— Ра2а \2 /

5а

/

\

1 Ра Г) --¿а

\2 2 /

7 а

{

- +

\

—Ра ■ а

\2 /

5 р2

—а =-

3 6

Деформационная проверка правильности построенных эпюр состоит в определении перемещения точки В, которое заведомо равно нулю. Используя формулу Мора и способ Верещагина, перемножаем эпюру моментов на эпю-

ру от единичной силы

результате находим:

Следовательно, эпюра моментов в данной задаче построена правильно.

Пример 2.

Решим предыдущий пример (рис. 2 а) несколько проще. Выберем основную систему так, как показано на рис. 2 б, т.е. разрежем балку в защемлении и вставим шарнир.

Рисунок 2. - Расчетная схема и эпюры изгибающих моментов. Этим самым мы освободим одну простую лишнюю связь. Эквивалентная система приведена на рис. 2 в, а эпюры от единичного момента и внешней нагрузки - на рис. 2 г, д. Коэффициенты канонического уравнения:

Подставляя полученные значения коэффициентов в каноническое

уравнение, найдём 2 ; т е. то же значение опорного момента что и в предыдущей задаче.

Далее для эквивалентной системы строим эпюры Q, М. Эпюра моментов может быть получена весьма просто сложением эпюр моментов, изображённых на рис. 2 г, д, при условии, что ординаты единичной эпюры увеличены ^ = '' ^ раза. После определения опорных реакций Яв из уравнений равновесия

обычным способом строится эпюра Q. Перемножая эпюры на рис. 2 е, ж, находим:

/

ЕЗ.Ас =

1

\

Ра2а 42 /

/

-а -

1 Ра

\

2 а

\2 2 /

/

■ +

1

\

Ра ■ а \2 у

2д_ 5Ра3

Деформационная проверка даёт

К

— 2и|—= 0,

2 2 Ь

что подтверждает правильность решения.