Исследование и проектирование многомерных систем управления и оценивания с заданными нулями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.01, кандидат технических наук Сорокин, Алексей Викторович

• Сорокин, Алексей Викторович
• кандидат технических наук
• 1998

Оглавление диссертации кандидат технических наук Сорокин, Алексей Викторович

Содержание

Введение

Список основных обозначений

Глава 1. Анализ влияния нулей на свойства оптимальных

систем

1.1 Введение

1.2 Задача АКОР

1.2.1 Постановка задачи

1.2.2 Анализ характеристик весовой матрицы состояния, влияющих на качество оптимальной системы

1.2.3 Исследование разложения весовой матрицы состояния

1.3 Фильтр Калмана

1.3.1 Постановка задачи

1.3.2 Анализ характеристик матрицы интенсивностей входных возмущений, влияющих на качество оптимальной системы

1.3.3 Исследование разложения матрицы интенсивностей входных возмущений

1.4 Основные выводы

Глава 2. Задание нулей системы посредством выбора одной

строки матрицы выхода

2.1 Введение

2.2 Мотивация подхода

2.2.1 Задача фильтрации

2.2.2 Задача управления при неполной информации

2.3 Постановка задачи

2.4 Метод решения

2.5 Условия разрешимости

2.5.1 Скалярный вход

2.5.2 Многомерный вход: число датчиков равно размеру вектора состояния

2.5.3 Многомерный вход: число датчиков меньше размера вектора состояния

2.6 Сравнительный анализ качества оценивания систем с правыми и левыми нулями

2.7 Основные выводы

Глава 3. Графо-аналитические методы сдвига нулей

3.1 Введение

3.2 Постановка задачи

3.3 Решение задачи

3.4 Условия разрешимости задачи

3.5 Метод корневого годографа

3.6 Метод И - разбиения в плоскости одного параметра

3.7 Метод Б - разбиения в плоскости двух параметров

3.8 Основные выводы

Глава 4. Задание нулей системы посредством выбора матрицы выхода, не имеющей структурных ограничений

4.1 Введение

4.2 Постановка задачи

4.3 Решение задачи

4.3.1 Допущения

4.3.2 Краткое изложение идеи алгоритма

4.3.3 Вывод основных уравнений 1-го этапа алгоритма и определение условий их разрешимости

4.3.4 Вывод основного уравнения 2-го этапа алгоритма и определение условий его разрешимости

4.3.5 Алгоритм вычисления матрицы выхода

4.4 Обобщение алгоритма на стабилизируемые системы

4.5 Основные выводы

Глава 5. Задание нулей при квадрировании системы

5.1 Введение

5.2 Аналитический метод

5.2.1 Постановка задачи

5.2.2 Решение задачи

5.2.3 Алгоритм задания нулей при квадрировании системы

5.3 Эвристический метод

5.3.1 Постановка задачи

5.3.2 Алгоритм случайного сдвига нулей при квадри-ровании системы

5.4 Основные выводы

Заключение

Литература

Приложение 1. Некоторые свойства и характеристики линейных динамических систем

П1.1 Определения управляемости и наблюдаемости

П1.2 Определения стабилизирумости и детектирумости

П1.3 Некоторые определения и свойства нулей системы

П1.4 Сведения из теории матриц

Приложение 2. Доказательства утверждений

П2.1 Доказательства утверждений главы 1

П2.2 Доказательства утверждений главы 2

П2.3 Доказательства утверждений главы 4

Приложение 3. Документы, подтверждающие использование

результатов диссертации

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование и проектирование многомерных систем управления и оценивания с заданными нулями»

Введение

Проблема достижения приемлемого качества систем управления и оценивания играет важную роль в современной теории управления, где под качеством системы подразумеваются такие ее свойства^как точность регулирования (оценивания), динамика переходных процессов, робастность (нечувствительность к возмущениям в параметрах и на входе/выходе системы). Для достижения требуемых свойств проектируемой системы может применяться широкий спектр подходов и методов, однако их использование и возможности зависят от свойств объекта управления (оценивания). В теории систем с обратной связью (ОС) эти свойства полностью определяются такими характеристиками передаточной функции системы^ как полюса и нули. Сдвиг полюсов осуществляется выбором ОС, и в настоящее время известно много методов, посвященных решению этой задачи [1,2,17]. Однако достижение желаемого качества невозможно без учета значений нулей. Поэтому в ряде случаев возникает проблема сдвига нулей в некоторые точки комплексной плоскости.

В рамках классической теории регулирования, использующей частотный подход для систем с одним входом/выходом, и в таких методах, как корневой годограф [54,72,73] и критерий Найквиста [6,21,22], проблема выбора взаимного расположения нулей и полюсов для достижения приемлемых свойств в замкнутой системе достаточно полно изучена. Например, хорошо известно [6,10, 21,22, 52,53, 75], что сдвигая нули передаточной функции системы,можно менять такие показатели качества3как время и динамика переходного процесса, а также чувствительность замкнутой системы к неопределенностям в ее параметрах и к возмущениям на ее входе [75], играющую ключевую роль при конструировании систем с ОС [10, 75]. Кроме того, как было отмечено в [77], система с правыми нулями (неминимально фазовая система) слабо реагирует на ОС, что ухудшает ее качество. В рамках данного подхода общие рекомендации по заданию нулей можно выразить следующим образом: для достижения приемлемого качества проектируемой системы необходимо, чтобы у ее передаточной функции не было правых нулей [56].

В рамках метода пространства состояний, появившегося из недр частотного подхода вследствие бурного развития теории управления в конце 50-х начале 60-х годов и, конечно, благодаря работам Калмана [9,78,79], проблема качества была оттеснена на второй план простотой и алгорит-

мической стройностью решения многих задач управления для многомерных систем. В целом, применение метода пространства состояний, хотя и давало легко алгоритмически реализуемые подходы решения [1,2,11,17], но не всегда гарантировало требуемого качества проектируемой системы, поскольку, как правило, определяло качество скалярным критерием [56]. Поэтому в основном решались проблемы устойчивости и задания полюсов системы. Проблема задания нулей, пока еще не обобщенных на многомерные системы, оставалась без внимания. Накопленный же опыт частотных методов по достижению приемлемого качества был малопригоден для многомерных систем и не был востребован. Лишь только в конце 60-х и начале 70-х годов появился всплеск работ, в котором наблюдается рост интереса к частотному подходу с точки зрения его распространения на многомерные системы. Обобщение классического частотного подхода на случай многомерных систем с многими входами/выходами позволило по новому взглянуть на проблему формирования качества системы. В первую очередь, это было связано с обобщением нулей скалярной передаточной функции на случай нулей матричной передаточной функции (МПФ) [96], описывающей многомерную систему. Данное обобщение проложило " мостик" между классическим частотным подходом и методом пространства состояний и, как следствие, дало толчок к решению многих задач теории многомерных систем. Впоследствии было введено новое понятие инвариантного нуля, обобщающее понятие нуля МПФ и позволяющее в ряде случаев исследовать такие свойства системы, как стабилизируемость и детектируемость [89], введенные в методе пространства состояний. Для более полного анализа всех типов нулей и их роли в некоторых задачах теории управления можно обратиться к зарубежным обзорам [89,99,101], а также отечественному обзору [27] и книге [30].

В настоящее время известно достаточно большое число задач, условия разрешимости которых тесно связаны с значениями нулей многомерной системы [27,30,99,101]. Среди них, например, можно выделить: задачи достижения максимальной точности оптимального регулирования и минимальной ошибки оценивания фильтра Калмана [10,84]; задачи статического развязывания [15,108]; задачи компенсации постоянных возмущений с помощью интегральной ОС [10,31,104]; задачу оптимальной фильтрации с цветными шумами [36]; задачи слежения за полиномиальным сигналом [40] при наличии возмущений на входе и выходе; задачи построения сервокомпенсаторов [1,41,64-67,69,74]; задачу функциональной воспроизводимости [56]; задачу ивариантности [18] и зануления регулируемого выхода [87]. Кроме этого, значение нулей оказывают значительное влияние на использование подхода Д:х,, применяемого для проектирования робастных

систем [23, 71,102], на конструирование регуляторов посредством построения обратных систем [57], на чувствительность системы к неопределенностям в ее параметрах и к возмущениям на ее входе [10, 75], на предельные возможности оптимальных законов управления [20,68,85,92] и на использование метода корневого годографа [90] и критерия Найквиста [83] для многомерных систем.

Вышеизложенное приводит к необходимости исследования и решения проблемы задания или формирования множества нулей многомерной системы в той мере, в какой это возможно. В отличие от полюсов, нули многомерной системы не сдигаются с помощью ОС [89,96], однако их число может быть или увеличишь или уменьшено. Так, например, динамическая ОС вводит в систему произвольно выбираемые дополнительные нули [30,93], оставляя без изменений исходные нули системы. Тем не менее в некоторых случаях [86] показывается, что использование вибрационной ОС, являющейся одной из разновидностей динамической ОС, позволяет преобразовать управляемую и наблюдаемую систему с одним входом/выходом к системе большего порядка с произвольно заданными нулями.

С помощью статической ОС как по выходу, так и по состоянию в ряде случаев можно уменьшать множество нулей исходной системы путем сокращения нуля соответствующим полюсом. Данный подход, называемый методом аннулирования [110], применим только для минимально фазовых систем (систем без правых нулей) и не может быть использован для неминимально фазовых систем. Это вызвано не всегда точным сокращением полюса и нуля, которое может быть обусловлено как возможными флуктуациями параметров системы, так и точностью вычислений ЦВМ. В результате возможно нарушение устойчивости проектируемой системы. Однако и для минимально фазовых систем применение метода аннулирования может вызвать нежелательный эффект, связанный с потерей управляемости и наблюдаемости системы [6,96,109], что также затрудняет его широкое применение на практике.

Другим способом формирования заданного множества нулей или их сдвига является построение выхода или входа системы. Такая возможность иногда имеется на ранней стадии проектирования, когда производится выбор измерительных датчиков и переменных, с помощью которых производится управление системой. Интуитивно понятно, что чем больше датчиков, тем должно быть лучше качество проектируемой системы. Однако если при построении выхода/входа не учитывать значения появляющихся при этом нулей, то можно получить систему, слабо реагирующую на ОС и, как следствие, имеющую плохие качественные характеристики. При

идеальном описании датчиков [19] задание нулей, по сути, сводится к выбору элементов матрицы выхода. При неидеальном описании датчиков [3] сначала требуется предварительное преобразование системы и датчиков к желаемой форме [16, с.201], которое, конечно, невозможно, если матрицы системы плохо обусловлены. Преобразования системы не требуется при построении управляемого (не измеряемого) выхода, обеспечивающего системе управления заданные нули. Построение такого выхода необходимо при конструировании весовой матрицы состояния в задаче АКОР [76,106], обеспечивающей хорошую реакцию оптимальной системы на ОС.

Впервые задача задания нулей посредством выбора элементов матрицы выхода была сформулирована и решена Розенброком в работах [96,97]. Для ее решения он использовал хорошо известные методы преобразования полиномиальных матриц применительно к МПФ, а в качестве условий разрешимости получил соотношения, накладываемые на инвариантные полиномы числителя и знаменателя желаемой МПФ в форме Смита-Макмиллана. В настоящее время известно несколько подходов к заданию нулей, которые имеют следующие особенности. В работе [82] Коуварита-кисом и Макфарлейном был предложен метод задания нулей, основанный на преобразовании этой проблемы к задаче задания обобщенных собственных чисел пары матриц, построенных из матрицы динамики системы и " анигиляторов" (ортогональных дополнений) матриц входа и выхода. В результате этого преобразования проблема задания нулей сводилась к исследованию и решению некоторого линейного матричного алгебраического уравнения. Однако при изложении этого метода не были учтены свойства матриц выхода и входа, влияющие на задание возможного числа нулей. В/последствии этот недостаток был успешно доработан в работе [60]. В работе Мисры и Пэйтела [91] проблема задания нулей для управляемой системы с неправильной МПФ была сведена к задаче управления полюсами по выходу некоторой специально сконструированной обратной системы, разрешимость которой при статической ОС не вседа имеет место. Для преодоления этой трудности в работе [91] была рассмотрена возможность применения динамической ОС и было показано, что использование данного подхода, по существу, эквивалентно построению компенсирующей МПФ ("feedthrough. compensator"), параллельно соединенной с исходной МПФ. В дальнейшем использование идеи этого подхода было успешно применено при проектировании робота-манипулятора [94]. Метод задания нулей для отдельно взятого элемента МПФ был предложен в работе [61]. И хотя использование этого метода сводит задачу задания нулей скалярной передаточной функции с помощью ортогональных преобразований к задаче задания полюсов некоторой системы с одним входом/выходом, его

распространение на случай задания нулей МПФ имеет большие трудности. Отличными от этих методов являются методы задания нулей, использующие преобразования системы в каноническую форму Йокояма [30], и ограниченные заданием в ней максимального числа нулей и ее управляемостью. Они содержат следующие подходы решения проблемы. В работах [26,28] проблема задания нулей, обеспечивающих наблюдаемость системе, была сведена к задаче минимизации специально сконструированной функции относительно элементов матрицы выхода, учитывающей и желаемое расположение нулей^ и ограничения на структуру матрицы выхода. Условия разрешимости, полученные в этой работе, ограничивались свойством управляемости системы и несовпадением ее полюсов с задаваемыми нулями. В работах [29,103] проблема задания нулей была решена как проблема задания собственных чисел специально сконструированной матрицы. Развитие этих идей, продолженное в работе [38], свело проблему задания нулей к задаче управления полюсами специально построенной системы, меньшего порядка, чем порядок исходной системы. В заключении этого абзаца можно выделить подход задания нулей МПФ Харви и Штейна [76], приспособленный для построения весовой матрицы состояния оптимального критерия качества и требующий, помимо знания желаемых нулей, задания соответствующих им нулевых направлений [89]. Его использование было ограничено управляемыми системами, но в /п о с лед с т в и и было распространено и на стабилизируемые системы [106].

К другому классу задач задания нулей, относятся задачи "квадрирова-ния" ("squaring problem")[30,82], в которых сдвиг нулей осуществляется не выбором соответствующих элементов матриц входа/выхода, а путем линейных преобразований последних или выбора специально сконструированных компенсаторов на входе и выходе системы. Эти задачи, как правило, возникают при конструировании многосвязных систем, в которых контуры ОС вводятся между равным числом входов и выходов. Поэтому систему с неравным числом входов и выходов (неквадратную систему) предварительно преобразовывают в систему с равным числом входов и выходов (квадратную систему). Это можно сделать путем комбинирования всех имеющихся входов/выходов в новое множество входов/выходов. Иногда потребность в решении задачи квадрирования обусловлена обеспечением квадрированной системе свойства обратимости (невырожденности), требующегося при построении обратных систем. Известно [30,82], что решение задачи квадрирования влияет на множество нулей квадрированной системы, поскольку., в отличие от неквадрированной системы, первая всегда имеет непустое множество нулей. Поэтому, для того чтобы сохранить квадрированную систему минимально фазовой, крайне важно,

чтобы вводимые при квадрировании нули находились в левой части комплексной плоскости.

В настоящее время известно несколько работ, посвященных заданию нулей при решении задачи квадрирования [25, 59,62,80,82,100,107]. В работе Коуваритакиса и Макфарлейна [82] эта задача решалась с использованием " анигиляторов" матриц входа и выхода, и сводилась к решению линейного матричного уравнения. Распространение этого подхода на квадрирование системы путем преобразования ее матриц входа и выхода было рассмотрено в работе Кэмерона [62]. Однако, как было показано в [62], предложенная методика квадрирования дает возможность произвольно задавать только часть нулей. Решение задачи квадрирования с использованием матричного полиномиального аппарата было изложено в работе Аплевича [59]. Описанный там алгоритм квадрирования позволяет для задания нулей применять известные модальные методы управления полюсами по выходу. Вардулакисом в [107] было показано, что проблема квадрирования для левообратимых систем при произвольно задаваемых нулях в общем случае не имеет решения, поскольку она эквиалентна задаче управления полюсами по выходу специально построенной системы. Каркани-асом и Гианакопулусом [80] проблема квадрирования (среди других взаимосвязанных проблем) была сформулирована как задача детерминантного задания для системы того же порядка, что и исходная система. Подход решения задачи квадрирования, основанный на специальном координатном базисе, был рассмотрен в работе Саннути и Сабери [100]. Он также сводит задачу задания нулей к задаче управления полюсами по выходу некоторой подсистемы. В качестве достоинств этого метода можно выделить сохранение при квадрировании таких фундаментальных свойств системы, как стабилизируемость, детектируемость, обратимость. Итерационный алгоритм решения задачи квадрирования, использующий преобразование системы в каноническую форму Иокояма, был предложен в работе [25]. Его идея была основана на решении задачи минимизации специально сконструированной функции относительно всех элементов квадрирующей матрицы выхода, учитывающей желаемое расположение нулей. Однако этот метод скорее можно считать эвристическим, чем аналитическим, поскольку в нем отсутствуют условия сходимости. Для некоторых систем, как было показано Дэвисоном [70], задача квадрирования не имеет решения, поскольку конструирует неминимально фазовую систему при любом выборе квадрирующей матрицы. Из работ [59,62,80,100,107] следует, что задача квадрирования почти всегда может быть сведена к задаче модального управления при неполной информации. Решение последней, как известно [2,24], не всегда дает возможность произвольно задавать полюса, если

ОС статическая. Использование динамической ОС практически во всех случаях преодолевает эту трудность [2,17]. Используя указанную эквивалентность задач и тот факт, что квадрирование системы, по существу, состоит в нахождении статических компенсаторов (квадрирующих матриц) на входе и выходе квадрируемой системы [98], впоследствии были предложены методы квадрирования посредством динамического компенсатора. Его использование было затронуто еще в упомянутой ранее работе Аплевича [59], где задача задания нулей при квадрировании системы была сведена к эквивалентной задаче управления полюсами системы того же порядка. Однако изложенная в этой работе процедура квадрирования итеративна и требует вычисления обратной системы на каждом шаге итерации, что сложно с вычислительной точки зрения. В [98] было продолжено дальнейшее развитие идеи работы [100], основанной на специальном координатном базисе, и для задания нулей были применены динамические компенсаторы.

Исследования, связанные с нулями многомерных (многосвязных) систем, продолжаются и в настоящее время, что подтверждают краткие обзоры иностранной периодики в реферативных журналах и информативные сообщения в сети Интернет о проводимых конференциях, симпозиумах и конгрессах по управлению. Несмотря на огромное число работ по этой тематике, остается много нерешенных проблем, требующих своего исследования.

Во-первых, существует проблема исследования взаимосвязи качества решений таких задач как, задача аналитического конструирования оптимального регулятора и задача фильтрации Калмана с параметрами системы, формирующими ее множество нулей. Одними из таких параметров являются весовая матрица состояния и матрица интенсивностей входных возмущений.

Во-вторых, в силу тесной взаимосвязи качества системы со значениями нулей представляется актуальным получить легко алгоритмически реализуемые подходы для задания нулей, имеющие конечной целью конструирование высококачественной системы управления или оценивания.

И наконец, интересным является решение упомянутой ранее задачи квадрирования, позволяющее без каких-либо предварительных преобразований исходной системы задавать нули квадрированной системы путем выбора соответствующей квадрирующей матрицы.

Решение данных задач является целью исследования диссертации.

Отметим, что изучение и решение вышеупомянутых проблем является определенным продвижением в развитии теории линейных многомерных

динамических систем, поскольку открывает новые возможности в поиске эффективных вычислительных методов для анализа и задания нулей, реализуемых на ЭВМ. Кроме того, применение качественно новых методов исследования и конструирования многомерных динамических систем повышает эффективность соответствующих этапов автоматизации исследования и проектирования динамических объектов различной природы.

Диссертация выполнялась в соответствии с планами научно-исследовательских работ Сибирского физико-технического института при Томском гос. университете в рамках важнейших госбюджетных НИР на 1991-95 г.г. по теме "Развитие системных средств автоматизации и разработка математического и программно-технического обеспечения исследований и оптимизации управляемых систем, информационных процессов" (шифр "Информатизация", № гос.регистрации 01.9.50001753), на 1996-97 г.г. по теме "Математическое моделирование систем управления, обработки и передачи информации" (шифр "Система", регистрационный номер НИР: 4.4.96, код темы по ГРНТИ: 24.47.15.28.23.15). Часть проведенных исследований была подержана грантами Министерства общего и профессионального образования Российской Федерации (грант 1996-97 г.г. в области "Автоматика и Телемеханика. Вычислительная техника", №95-6-1.1-2) и международным фондом Сороса (грант за 1997 г. № а97-810).

Методы исследования. Теоретической основой диссертации служили: методы линеинои алгебры, включая вычислительные методы линеинои алгебры, методы теории полиномов; теория матриц, включая теорию А -матриц; некоторые методы асимптотической теории управления. При реализации алгоритмов использовались методы математического моделирования на ЭВМ с применением средств программирования пакета-Матлаб.

Научная новизна работы состоит в следующем:

а) Впервые решены: задача анализа влияния нулей системы на асимптотические свойства оптимальной системы управления с весовой матрицей состояния общего вида; задача анализа влияния нулей системы на асимптотические свойства оптимальной системы оценивания с матрицей интенсивностей входных возмущений общего вида.

б) Для линейной многомерной системы предложен новый метод задания нулей посредством выбора части элементов матрицы выхода, учитывающий ее структурные ограничения. Предлагаемый метод, в отличие от известных методов [26, 28,29, 38,61, 76,91,94,103], имеет ряд следующих достоинств. Во-первых, при его использовании не

требуется канонических или других преобразований системы. Во-вторых, он базируется только на использовании матрицы Розенбро-ка и, в отличие от указанных подходов, преобразующих задачу к модальному управлению или решению спектральной проблемы с последующим решением матричных уравнений, сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. В-третьих, он позволяет задавать не только передаточные нули, но и инвариантные нули (см. Приложение 1) и, следовательно, не ограничивается только управляемыми и наблюдаемыми системами. И наконец, его можно использовать при ограниченном числе датчиков.

в) Для линейной многомерной системы с набором датчиков, имеющих не идеальное описание, впервые предложен сдвиг передаточных нулей в приемлемые множества комплексной плоскости, использующий известные из классической теории регулирования графоаналитические методы исследования устойчивости. Данный подход базируется на методе^указанном в пункте (б).

г) Для линейной многомерной системы предложен новый метод построения матрицы выхода, не имеющей структурных ограничений и обеспечивающей системе заданные передаточные нули, число которых может быть произвольным. В отличие от методов [76,106], он не требует дополнительного задания (кроме передаточных нулей) нулевых направлений [89]. Кроме того, он легко распростаняется на стабилизируемые системы.

д) Для линейной многомерной системы предложены два новых метода квадрирования, обеспечивающие квадрированной системе желаемые нули. Первый метод базируется на методе пункта (б) и является аналитическим. Он сводится к решению системы линейных алгебраических уравнений. Таким образом, в отличие от описанных ранее методов квадрирования, предлагаемый метод не сводит проблему задания нулей к проблеме модального управления и не требует преобразований системы. Второй метод является эвристическим. Для квадрирования в нем используется последовательность случайных вариаций элементов квадрирующей матрицы, последовательно сдвигающих нули системы в заданную часть комплексной плоскости. Для использования метода также не требуется каких-либо преобразований системы.

Практическая ценность. Представленные в диссертации методы исследования и задания нулей линейной многомерной системы являются тео-

ретической основой для разработки эффективных алгоритмов, программного обеспечения и интегрированных пакетов программ для расчета параметров линейной динамической системы, обеспечивающих ей приемлемое качество.

Предлагаемые методы задания нулей использовались автором при разработке комплекса программ, предназначенного для анализа и автоматизированного проектирования многомерных объектов, описываемых линейными динамическими системами с постоянными параметрами. В^по-следствии эти программы прошли аппробацию и были включены в состав программного комплекса "МАССАУ", разрабатываемого на кафедре "Робототехнических систем" Томского политехнического университета и предназначенного для моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (см. Приложение 3).

Таким образом, к защите представляются следующие основные положения:

- новый метод анализа задач оптимального управления и оценивания, выявляющий взаимосвязь качества решений указанных задач с расположением соответствующих им нулей системы на комплексной плоскости,

- новый аналитический метод задания нулей в системе путем соответствующего выбора части элементов матрицы выхода, имеющей структурные ограничения,

- новый графо-аналитический метод сдвига нулей в системе путем соответствующего определения матрицы выхода, имеющей структурные ограничения,

- новый аналитический метод задания нулей в системе путем определения матрицы выхода, не имеющей структурных ограничений,

- новый аналитический метод задания нулей при квадрировашш системы путем соотвествующего выбора квадрирующей матрицы,

- новый эвристический подход к сдвигу нулей при квадрировании системы, использующий метод случайного поиска для вычисления элементов квадрирующей матрицы.

Апробация работы. Основные результаты диссертации докладывались на следующих отечественных совещаниях и конференциях:

- Всероссийская научно-техническая конференция с международным участием "Иформационно-управляющие и вычислительные комплексы на основе новый технологий. Наука и маркетинг" (С.Петербург, 1992),

- Всесоюзная научная конференция с международным участием "Проблемы электротехники", секция Автоматики (Новосибирск, 1993),

- Научная конференция с международным участием "Проблемы техники и технологий XXI века" (Красноярск, 1994),

- Международная научно-техническая конференция "СИБКОНВЕРС'95" (Томск, 1995),

- II Сибирский конгресс по прикладной и индустриальной математике "ИНПРИМ-96" (Новосибирск, 1996),

- III Международная научно-техническая конференция " Микропроцессорные системы автоматики" (Новосибирск, 1996),

- II Областная научно-практическая конференция молодежи и студентов "Современные техника и технологии" (Томск, 1996),

- III Международная научно-техническая конференция "Актуальные проблемы электронного приборостроения" (Новосибирск, 1996).

Основное содержание диссертации опубликовано в статьях [32-35,37, 39,42-51,105] и отчетах по НИР [111,112].

Содержание диссертации можно разделить на две основные части.

В первой части (гл.1) рассмотрено влияние на асимптотическое поведение оптимальной системы регулирования и фильтрации таких параметров, как весовая матрица состояния и матрица интенсивностей входных возмущений.

Вторая часть диссертации (гл.2-5) посвящена проблемам задания нулей в линейной многомерной системе.

В главе 2 эта проблема решается посредством выбора элементов только одной строки матрицы выхода и рассматривается как для систем с одним входом/выходом, так и для систем несколькими входами/выходами.

В главе 3 проблема сдвига нулей решается как задача выбора части элементов только одной строки матрицы выхода, для определения которых используются известные графо-аналитические методы классической теории регулирования, применяемые при построении областей устойчивости.

В главе 4 предлагается метод выбора всех элементов структурно неограниченной матрицы выхода, обеспечивающего системе заданное множество нулей.

Глава 5 посвящена решению задачи квадрирования системы со сдвигом всех нулей в приемлемые точки левой части комплексной плоскости. Для решения этой задачи используется как аналитический, так и эвристический подход выбора квадрирующей матрицы.

В дальнейшем будет идти речь о нулях системы, называемых инвариантными и передаточными. При необходимости в каждой главе в ведении и постановке задачи будет делаться акцент на использование того или иного типа нулей.

В Приложение включены:

- вспомогательные теоретические материалы, касающиеся определения основных свойств систем, описанных в пространстве состояний, и определения различных типов нулей многомерной системы, используемых в диссертации,

- доказательства основных утверждений и теорем, сформулированных в диссертации,

- документы, подтверждающие использование результатов диссертации.

Список основных обозначений

А, А, А, А,... а, а, а, аг-,...

1п

Ог, сИт(а) гапк Л

а(А)

с1е1 А или |А| А >0

л>0

,•■•!гт

Т'чЗп

[-'*]./:......У,.-:

31 т' ••,3т

Н0Д{^1(5-),... ,фт(з)} -

мт)

ИН ПН РН

матрицы

вектор-строки или вектор-столбцы

единичная матрица порядка п

г х ] нулевая матрица

размерность вектора а

ранг матрицы А

след матрицы А

определитель матрицы А

эвклидова норма матрицы А

транспонирование матрицы А

матрица А положительно определена

матрица А неотрицательно определена

матрица, состоящая из строк ¿1,... ,гт : 1 <

¿1 < ... < %т матрицы А

матрица, состоящая из столбцов л,..., ]т :

1 < Л < ... < ]то матрицы А

матрица, состоящая из строк ¿1,..., %т : 1 <

%\ < ... < %т блочной матрицы [А]

матрица, состоящая из столбцов л,...,:

1 < л < ... < блочной матрицы [А]

минор т—го порядка матрицы А, состоящий

из элементов, стоящих на пересечении строк

гь...,гт и столбцов л,..., ]т ■ 1 < Л <

• • • ^ ]т

наибольший общий делитель полиномов

математическое среднее (ожидание) случайного процесса £(£)

матрица или минор матрицы, зависящий от параметра в

полином относительно параметра 5 степень полинома Р(з) инвариантный нуль (нули) передаточный нуль (нули) развязанный нуль (нули)

{г} — множество ИН

{р} — множество ПН

{г.с?} — множество РН по входу

{оЯ} — множество РН по выходу

Заключение диссертации по теме «Системный анализ, управление и обработка информации (по отраслям)», Сорокин, Алексей Викторович

Основные результаты данной главы заключаются в следующем.

1. Предложен новый аналитический метод задания ИН при квадриро-вании системы путем преобразования ее выхода, основанный на методе задания ИН, изложенном в главе 2. Его использование позволяет проверить разрешимость задачи и определить решение путем полученных расчетных формул.

2. Предложен новый эвристический метод решения задачи квадрирования, основанный на случайных сдвигах ИН в область, расположенную в левой части комплексной плоскости и ограниченную справа прямой, параллельной мнимой оси. Его использование, при удачном выборе границ изменения квадрирующей матрицы и степени устойчивости заданного нулевого полинома квадрированной системы, позволяет успешно решить задачу квадрирования.

Заключение

Основными теоретическими результатами диссертации являются следующие:

1. Исследована взаимосвязь структурных свойств весовой матрицы состояния в задаче АКОР с предельными свойствами оптимальной системы. а) Показано, что предельные свойства зависят, во-первых, от соотношения числа входов системы управления и ранга весовой матрицы состояния, во-вторых, от значений ИН некоторой специально сконструированной системы управления, матрица выхода которой находится из разложения весовой матрицы состояния. б) Доказано, что неединственность разложения весовой матрицы состояния не влияет на множество ИН соответствующей системы управления. Данный факт дает возможность для анализа предельных свойств оптимальной системы использовать любое из указанных разложений и, следовательно, любую из соответствующих ему систем.

2. Исследовано влияние структурных свойств матрицы интенсивностей входных возмущений общего вида в задаче фильтрации Калмана на предельные свойства оцениваемой системы. а) Показано, что предельные свойства зависят, во-первых, от соотношения числа выходов системы оценивания и ранга матрицы интенсивностей входных возмущений, во-вторых, от значений ИН некоторой специально сконструированной системы оценивания, матрица входа которой находится из специального разложения . б) Доказано, что неединственность разложения матрицы интесив-ностей входных возмущений не влияет на множество ИН системы оценивания. Данный факт дает возможность использовать для анализа предельных свойств оптимальной системы любое из указанных разложений и, следовательно, любую из соответствующих ему систем оценивания.

3. Обоснована необходимость и возможность решения проблемы задания инвариантных (передаточных) нулей посредством конструирования измеряемого выхода. Исследована проблема задания произвольных инвариантных нулей в системе путем выбора элементов только одной строки матрицы выхода и получены следующие результаты: а) Для системы с одним входом получены необходимые и достаточные условия разрешимости задачи задания произвольных инвариантных нулей. б) Для системы с несколькими входами и выходами получены необходимые условия разрешимости задачи задания произвольных инвариантных нулей. в) Описаны алгоритмы решения задачи задания произвольных инвариантных нулей для систем с числом датчиков, меньшем и равным порядку системы. г) На численном примере произведен сравнительный анализ качества систем оценивания с правыми и левыми инвариантными нулями.

4. Предложен новый подход сдвига ПН путем определения неизвестных элементов матрицы выхода ограниченой структуры, использущий такие известные графо-аналитические методы проверки устойчивости, как метод корневого годографа, метод И - разбиения в плоскости одного параметра, метод Б - разбиения в плоскости двух параметров. В ситуациях, когда датчики измерений имеют сложное описание, данный подход позволяет анализировать возможность сдвига ПН и, если это возможно, сдвигать ПН в приемлемые множества комплексной плоскости.

5. Предложен новый аналитический метод построения матрицы выхода неограниченной структуры, обеспечивающей заданные передаточные нули в линейной многомерной системе. Идея метода основана на рекуррентном разложении определителя матрицы Розенброка конструируемой системы. Использование рекуррентного разложения позволяет последовательно вычислять строки матрицы выхода из условий, накладываемых на миноры матрицы Розенброка и строки матрицы конструируемого выхода. При этом метод дает возможность определения всей матрицы выхода лишь по заданному множеству передаточных нулей, число которых может быть произвольным, и позволяет конструировать выход стабилизируемой системы. Метод может использоваться как для построения измеряемого выхода, так и для построения весовой матрицы состояния в задаче АКОР.

6. Предложен новый аналитический метод задания ИН при квадриро-вании выхода системы. Использование метода позволяет проверить разрешимость задачи задания произвольных ИН при квадрировании системы и найти решение на основе полученных расчетных формул.

7. Предложен новый эвристический метод решения задачи квадрирова-ния, основанный на случайных сдвигах ИН в область, расположенную в левой части комплексной плоскости и ограниченную справа прямой, параллельной мнимой оси. Его использование при удачном выборе границ изменения квадрирующей матрицы и степени устойчивости нулевого полинома квадрированной системы позволяет решить задачу квадрирования.

Кроме того, разработан комплекс программ, позволяющий анализировать разрешимость задачи задания произвольных нулей путем вычисления нулей системы с неравным числом входов и выходов и задавать нули в линейной многомерной системе путем выбора одной строки матрицы выхода. Данный комплекс включен в состав программного комплекса "МАССАУ", разрабатываемого на кафедре "Робототехнических систем" Томского политехнического университета и предназначенного для моделирования, анализа и синтеза систем автоматического управления (см. Приложение 3).

Список литературы диссертационного исследования кандидат технических наук Сорокин, Алексей Викторович, 1998 год

Литература

1. Андреев Ю.Н. Управление конечномерными линейными объектами. М.:Наука, 1976. - 424с.

2. Андреев Ю.Н. Алгебраические методы пространства состояний в теории управления линейными объектами. //Автоматика и Телемеханика, 1977, №3, с.5-50.

3. Бабич O.A., Доброленский Ю.П., Козлов М.С. и др. Авиационные приборы и навигационные системы. М.:ВВИА им.Н.Е.Жуковского, 1981. - 647с.

4. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М.:Наука, 1969. - 368с.

5. Брайсон А. Хо Ю-Ши. Прикладная теория оптимального управления. М.:Мир, 1972. - 544с.

6. Воронов A.A. Основы теории автоматического управления: Автоматическое регулирование непрерывных линейных систем. М.-.Энергия, 1980. - 305с.

7. Икрамов Х.Д. Численное решение матричных уравнений. М.:Наука, 1984. - 192с.

8. Ильин В.А., Позняк Э.Г. Линейная алгебра. М.:Наука, 1984. - 294с.

9. Калман Р., Фалб П., Арбиб М. Очерки по математической теории систем. М.:Мир, 1971. - 400с.

10. Квакернаак X., Сиван Р. Линейные оптимальные системы управления. М.:Мир, 1977. - 650с.

11. Справочник по теории автоматического управления. /Под ред. А.А.Красовского. М.:Наука, 1987. - 712с.

12. Крылов В.И., Бобков В.В., Монастырский П.И. Вычислительные методы. Том. I. М.:Наука, 1976. - 304с.

13. Курош А.Г. Курс высшей алгебры. М.:Наука, 1975. - 431с.

14. Ланкастер П. Теория матриц. М.:Наука, 1978. - 280с.

15. Малышенко A.M. Модальный синтез развязывающего сепаратные каналы регулятора по выходу для линейного объекта с избыточной размерностью вектора управления.//А втоматическое управление объектами с переменными характеристиками /Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск:НЭТИ, 1991, с.11-18.

16. Новак JI. Дискретные оптимальные стохастические наблюдатели. // В кн." Фильтрация и стохастическое управление в динамических системах". / Под ред. К.Т.Леондеса. М.:Мир, 1980. - 408с.

17. Параев Ю.И. Алгебраические методы в теории систем управления. Томск:Изд-во Томск, ун-та, 1980. - 140с.

18. Параев Ю.И., Перепелкин Е.А. Понятие обобщенной передаточной матрицы и условия инвариантности линейной многосвязной системы. I¡Изв. РАН. Теория и системы управления, 1995, №6, с.66-70.

19. Первозванский A.A. Курс теории автоматического управления. М.:Наука, 1986. - 616с.

20. Петров Ю.П. Синтез устойчивых систем управления, оптимальных по среднеквадратичным критериям качества. // Автоматика и телемеханика., 1983, №7, с.5-21.

21. Попов Е.П. Теория линейных систем автоматического регулирования и управления. М.:Наука, 1987. - 304с.

22. Ройтенберг Я.Н. Автоматическое управление. М.:Наука, 1978. - 395с.

23. Позняк A.C., Семенов A.B., Себряков Г.Г., Федосов Е.А. Новые результаты в Ноо - теории управления. /¡Изв. АН СССР. Техническая кибернетика, 1991, №6, с.10-39.

24. Смагина Е.М. О синтезе многомерных систем управления с заданным спектром при неполной информации о состоянии объекта. //Автоматика и телемеханика, 1976, №5, с.95-99.

25. Смагина Е.М. К проблеме квадрирования выходов в линейной системе. // Редкол. журнала "Известия АН СССР. Техн. Кибернетика". -М., 1983. Юс. - Деп. в ВИНИТИ 2.09.83, №5007-83.

26. Смагина Е.М. Синтез многомерной системы управления с заданными нулями. // Редкол. журнала "Известия АН СССР. Техн. Кибернетика". - М., 1984. 15с. - Деп. в ВИНИТИ 25.12.84, №8309-84.

27. Смагина Е.М. Нули линейных многомерных систем. Определения, классификация, применение. //Автоматика и телемеханика, 1985, №12, с.5-33.

28. Смагина Е.М. Обеспечение заданных нулей линейной многомерной системы. ¡1 Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками /Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск:НЭТИ, 1986, с.145-151.

29. Смагина Е.М. Вычисление и задание нулей линейной многомерной системы. ¡1 Автоматика и телемеханика, 1987, №12, с.165-173.

30. Смагина Е.М. Вопросы анализа линейных многомерных объектов с использованием понятия нуля системы. Томск:Изд-во Том. ун-та, 1990. -160с.

31. Смагина Е.М. Условия существования ПИ-регулятора в многомерной системе с неполной информацией. /¡Изв. АН СССР. Техническая кибернетика., 1991, №6, с.40-45.

32. Смагина Е.М. Сорокин A.B. Связь нулей системы с асимптотическими свойствами оптимального фильтра.//Иформационно-управляющие и вычислительные комплексы на основе новый технологий. Наука и маркетинг /Тез. докл. Всеросс. науч.-техн. конф. с междун. участием. - С.-Петербург:СПбИАП, 1992, с.23.

33. Смагина Е.М.Сорокин A.B. Использование понятия нуля системы при выборе весовых матриц в задаче АКОР. //Известия РАН. Техническая кибернетика, 1993, №3, с.47-52.

34. Смагина Е.М.Сорокин A.B. Связь нулей системы с предельными свойствами оптимального фильтра. //Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками /Межвуз. сб. науч. тр. - Новосибирск:НГТУ, 1993, Вып.2, с.46-51.

35. Смагина Е.М., Сорокин A.B. Удаление неминимально-фазовых нулей в задаче фильтрации Калмана //Проблемы электротехники /Труды Всесоюз. науч. конф. с междун. участием. - Новосибирск:НГТУ, 1993, Ч.З, с.30-34.

36. Смагина Е.М. Влияние нулей системы на разрешимость оптимальной фильтрации с цветным шумом. /¡Изв. РАН. Техническая кибернетика, 1993, №4, с.81-86.

37. Смагина Е.М.Сорокин A.B. Анализ и улучшение асимптотических свойств оптимальной системы. //Проблемы техники и технологий XXI века /Тез. докл. науч. конф. с междун. участием. - Красно-ярск:КРТУ, 1994, с.12.

38. Смагина Е.М. Взаимосвязь проблемы задания передаточных нулей и метода модального управления. //Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, №2, с.39-43.

39. Смагина Е.М., Сорокин A.B. Способы изменения выхода линейной динамической системы, повышающие ее точностные характеристики. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1996. - 30с. -Деп. в ВИНИТИ 26.03.96, №936-В96.

40. Смагина Е.М. Слежение за полиномиальным сигналом в системе с неполной информацией. /¡Изв. РАН. Теория и системы управления, 1996, №1, с.53-57.

41. Смагина Е.М. Условия разрешимости сервомеханической проблемы с регулятором, использующим оценку состояния. //Электрон, моделирование, 1997, т.19, №2, с.27-37.

42. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Синтез выхода линейной стационарной системы, обеспечивающего заданные передаточные нули. // СИБ-КОНВЕРС'95 /Труды междун. науч.-техн. конфер. - Томск:ТАСУР, 1996, Т.1, с.67-69.

43. Сорокин A.B. К проблеме задания передаточных нулей в линейной многомерной стационарной системе, имеющей ограничения на структуру выхода. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1996. - 20с. - Деп. в ВИНИТИ 14.05.96, №1532-В96

44. Сорокин A.B. Влияние передаточных нулей на точность оценивания фильтра Калмана. //ИНПРИМ-96 / Тез. докл. 11-го Сибирского Конгресса по прикладной и индустриальной математике. - Новосибирском СО РАН, 1996, Ч.Ш, с.235.

45. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Использование методов корневого годографа и D - разбиения для сдвига нулей в многосвязной системе. //Микропроцессорные системы автоматики /Материалы III Междунар. научно-техн. конфер. - Новосибирск:НГТУ, 1996, с.А35-А37.

46. Сорокин A.B. Вычисление нулей линейной динамической системы с неравным числом входов и выходов. //Современные техника и технологии /Тез. докл. П-ой Обл. науч.-прак. конфер. молодежи и студентов. - Томск:Изд-во ТПУ, 1996, с.62.

47. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Использование метода случайного поиска для решения задачи квадрирования системы управления. //Сб.^Теория и техника автоматического управления Томск:Кибернетический центр при ТПУ, 1995, с.47-52. - Деп. в ВИНИТИ от 12.03.96 №785-В96.

48. Сорокин A.B. Рекуррентный алгоритм синтеза линейной многомерной системы управления с заданными нулями. //Актуальные проблемы электронного приборостроения /Труды III-й Международной конференции АПЭП'96. - Новосибирск:НГТУ, 1996, Том.Ю, с.41-42.

49. Сорокин A.B., Смагина Е.М. Рекуррентный метод построения матрицы выхода, обеспечивающего заданные передаточные нули линей-

ной многомерной системы управления. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1997. - 26с. - Деп. в ВИНИТИ 11.02.97, №418-В97

50. Сорокин А.В., Смагина Е.М. Исследование и проектирование структурно-ограниченного выхода системы управления и оценивания, задающего нули системы. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. -Томск, 1997. - 32с. - Деп. в ВИНИТИ 14.11.97, №3333-В97

51. Сорокин А.В. К проблеме задания нулей при квадрировании системы. // Сибирский физ.-техн. ин-т при ТГУ. - Томск, 1998. - 13с. -Деп. в ВИНИТИ 30.03.98, №950-В98

52. Стрелков С.П. К общей теории усилителей. 4.1. //Автоматика и Телемеханика, 1948, №3, с.233-244.

53. Стрелков С.П. К общей теории усилителей. 4.II. //Автоматика и Телемеханика, 1949, №4, с.274-289.

54. Бендриков Г.А., Теодорчик К.Ф. Траектории корней линейных автоматических систем. М.:Наука, 1964. - 160с.

55. Уонем М. Линейные многомерные системы управления. М.:Наука, 1980. - 375с.

56. Филимонов Н.Б. Проблема динамического качества многомерных систем управления. // Системы автоматического управления /Труды МВТУ, М:МВТУ, 1981, №360, с.39-51.

57. Французова Г.А. О "вырожденных" движениях в задаче стабилизации многосвязных систем. //Автоматическое управление объектами с переменными характеристиками /Межвуз. сб. науч. тр. - Но-восибирск:НЭТИ, 1986, с.68-71.

58. Хорн Р., Джонсон Ч. Матричный анализ. М.:Мир, 1989. - 655с.

59. Aplevich J.D. On the squaring problem in feedback design, //in Proc. JACC, Charlottesville, 1981, pp.WP-4P.

60. Araki M. A note on the calculation and placing of finite zeros, j j Int. I. Control, 1983, vol.37, No.4, pp.873-878.

61. Berger W.A., Perry R.J., Sun H.H. An algorithm for the assignment of system zeros. //Automatica, 1991, vol.27, No.3, pp.541-544.

62. Cameron R.G. The finite zeros of diminished systems. //Int. I. Systems Science, 1982, vol.13, No.7 pp.809^817.

63. Davison E.J. The output control of linear time-invariant multivariable system with unmeasurable arbitrary disturbances. //IEEE Trans. Autom. Control, 1972, vol.AC-17, No.5, pp.621-630.

64. Davison E.J., Wang S.H. Properties and calculation of transmission zeros of multivariable systems. //Automatica, 1974, vol.10, No.6, pp.643-658.

65. Davison E.J., Goldenberg A. Robust control of a general servomechanism problem: the servo compensator. //Automatica, 1975, No.l, pp.461-471.

66. Davison E.J. A generalization of the output control of linear multivariable system with unmeasurable arbitrary disturbances. /¡IEEE Trans. Autom. Control, 1975, vol.AC-20, No.6, pp.788-791.

67. Davison E.J. The robust control of a servomechanism problem for linear time-invariant multivariable system. //IEEE Trans. Autom. Control, 1976, vol.AC-21, No.l, pp.25-34.

68. Davison E.J., Chow S.G. Perfect control in linear time-invariant multivariable systems: The control inequality principle, in book "Control Systems Design by Pole-Zero AssignmentF.Fallside, Ed., Academic Press, London, 1977, pp.1-15.

69. Davison E.J. Design of controllers for multivariable robust servomechanism problem using parameter optimization methods. //IEEE Trans. Autom. Control, 1981, vol.AC-26, No.l, pp.93-110.

70. Davison E.J. Some properties of minimum phase systems and "squared-down" systems. //IEEE Trans. Autom. Control, 1983, vol.AC-28, No.2, pp.221-222.

71. Doyle J.C., Stein G. Multivariable feedback design: Concepts for a classical/modern synthesis. //IEEE Trans. Autom. Control., 1981, vol.AC-26, Feb.

72. Evans W.R. Graphical analisys of control system. // Trans. AIEE, 1948, vol.67, pt 1 pp.547-551.

73. Evans W.R. Control system by root-locus method. // Trans. AIEE, 1950, vol.69, No.5, pp.66-69.

74. Ferreira P.G. The servomechanism problem and the method of the statespace in frequency domain. //Int. J. Control, 1976, vol.23, No.2, pp.245255.

75. Freudenberg J.S., Looze D.P. Right half plane poles and zeros and design trade offs in feedback systems. //IEEE Trans. Autom. Control, 1985, vol.AC-33, No.6, pp.555-565.

76. Harvey C.A., Stein G. Quadratic weights for asymptotic regulator properties. //IEEE Trans. Autom. Control, 1978, vol.AC-23, No.3, pp.378387.

77. Horowitz I.M. Synthesis of feedback systems. New York: Academic, 1963.

78. Kalman R.E, Bucy R.S. New results in linear prediction and filtering theory. //J. Basic. Eng. Trans. AS ME, 1961, Ser.D, vol.83, pp.95-108.

79. Kalman R.E. Mathematical description of linear dynamical systems. // J. SIAM Control, 1963, Ser. A, vol.1, No.l, pp.152-192.

80. Karcanias N., Giannakopoulus C. Grassman ivariants, almost zeros and the determinantal zero, pole assignment problems of linear multivariable systems. //Int. J. Control, 1984, vol.40, pp.673-698.

81. Kouvaritakis B., MacFarlane A.G.J. Geometric approach to analisys and synthesis of system zeros. Part 1. Square systems. //Int. J. Control, 1976, vol.23, No.2, pp.149-166.

82. Kouvaritakis B., MacFarlane A.G.J. Geometric approach to analisys and synthesis of system zeros. Part 2. Non-square systems. //Int. J. Control, 1976, vol.23, No.2, pp.167-181.

83. Kouvaritakis B., Shaked U. Asymptotic behaviour of root-loci of linear multivariable systems. //Int. J. Control, 1976, vol.23, No.3, pp.297-340.

84. Kwakernaak H., Sivan R. The maximally achievable accuracy of linear optimal regulators and linear optimal filters. //IEEE Trans. Autom. Control, 1972, vol.AC-17, No.l, pp.79-85.

85. Kwakernaak H. Asymptotic root loci of multivariable linear optimal regulators. //IEEE Trans. Autom. Control, 1976, vol.AC-21, pp.378382.

86. Lee S., Meerkov S.M., Runolfsson T. Vibrational feedback control: Zeros placement capabilities. //IEEE Trans. Autom. Control1987, vol.AC-32, pp.604-611.

87. Levy S., Sivan R. On the stability of a zero-output system. //IEEE Trans. Autom. Control., 1966, vol.AC-11, No.2, pp.315-316.

88. Luus R., Matharasan R. Stabilization of linear system behaviour by pole shifting. Hint. J. Control, 1974, vol.20, No.3, pp.395-405.

89. MacFarlane A.G.J., Karcanias N. Poles and zeros of linear multivariable systems: a survey of algebraic, geometric and complex variable theory. I/Int. J. Control, 1976, vol.24, No.l, pp.33-74.

90. MacFarlane A.G.J., Postlethwaite I. The generalized Nyquist stability criterion and multivariable root-loci. //Int. J. Control, 1977, vol.25, No.l, pp.81-127.

91. Misra P., Patel R.V. Transmission zero assignment in linear multivariable systems. Part I: Square systems. //IEEE Conf. on Decision and Control, Austin, TX, 1988, pp.1310-1311.

92. Mita T. On zeros and responses of linear regulator and linear observers. //IEEE Trans. Autom. Control., 1977, vol.AC-22, No.3, pp.423-428.

93. Patel P.V. On transmission zeros and dynamic output feedback, / / IEEE Trans. Autom. Control, 1978, vol.AC-23, No.4, pp.741-742.

94. Patel R.V., Geniele H., Khorasani K. Control system design using transmission zero assignment. //IFAC Preprints, 1993, vol.3, pp.77-80.

95. Porter B. System zeros and invariant zeros. //Int. J. Control, 1978, vol.28, No.l, pp.157-159.

96. Rosenbrock H.H. State-space and multivariate theory. London: Nelson, 1970. - 257p.

97. Rosenbrock H.H., Rowe A. Allocation of poles and zeros. //Proc. IEE, 1970, vol.117, No.9, pp.1879-1886.

98. Saberi A., Sannuti P. Squaring down by static and dynamic compensators. //IEEE Trans. Autom. Control, 1988, vol.33, No.4, pp.358-365.

99. Sain M.K., Schrader C.B. The Role of Zeros in the Performance of Multiinput, Multioutput Feedback Systems. //IEEE Trans, on Education, 1990, vol.33, No.3., pp.244-257.

100. Sannuti P., Saberi A. Special coordinate basis for multivariable linear systems-finite and infinite zero structure, squaring down and decoupling. //Int. J. Control, 1987, vol.45, No.5, pp.1655-1704.

101. Schrader C.B., Sain M.K. Research on system zeros: A survey. //Int. J. Control, 1989, vol.50, No.4, pp.1407-1433.

102. Scherer C. H^ - Control by state-feedback and fast algorithms for the computation of optimal H,^ - norms. //IEEE Trans. Autom. Control., 1990, vol.AC-35, No.10, pp.1090-1099.

103. Smagina Ye.M. A method of designing of observable output ensuring given zero location. //Problems of control and Inform, theory, 1991, vol.20, No.5, pp.299-307.

104. Smith H.W., Davison E.J. The design of industrial regulators: Integral feedback and feedforward control. //Proc. IEE, 1972, vol.119, No.8, pp.1210-1216.

105. Sorokin A.V., Smagina Ye.M. A design of linear time-invariant system output ensuring given transmission zeros. //SIBCONVERS'95/Abstract of International Scientific Conference. - Tomsk:TACSR, 1995, p.50.

106. Stein G. Generalized quadratic weights for asymptotic regulator properties. //IEEE Trans. Autom. Control, vol.AC-24, No.4, pp.559-566.

107. Vardulakis A.I.G. Zero placement and "squaring down" problem: A polynomial matrix approach. //Int. J. Control; 1980, vol.31, No.5, pp.821— 832.

108. Wolovich W.A. Static decoupling. //IEEE Trans. Autom. Control, 1973, vol.AC-18, No.5, pp.536-537.

109. Wolovich W.A. On determining the zeros of state-space systems. //IEEE Trans. Autom. Control, 1973, vol.AC-18, No.5, pp.542-544.

110. Wolovich W.A. On the cancellation of multivariable system zeros by state feedback. //IEEE Trans. Autom. Control, 1974, vol.AC-19, No.3, pp.267-277.

111. Отчеты по НИР "Развитие системных средств автоматизации и разработка математического и программно-технического обеспечения исследований и оптимизации управляемых систем, информационных процессов" (шифр "Информатизация", № Гос. регистрации 01.9.50001753), СФТИ, Томск, 1991-1995.

112. Отчеты по НИР "Математическое моделирование систем управления, обработки и передачи информации" (шифр "Система", регистрационный номер НИР: 4.4.96, код темы по ГРНТИ: 24.47.15.28.23.15), 1996-1997.