Исследование качественными методами динамики дискретных систем с неоднозначными нелинейностями тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.09, кандидат физико-математических наук Степанов, Александр Владимирович

• Степанов, Александр Владимирович
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Степанов, Александр Владимирович

Введение

1 Собственные колебания цифровой системы

1.1 Грубые: решения цифровой системы управления.С

1.2 Стационарная система.

1.3 Микроструктура пространства состояний грубой стационарной цифровой систем ы.

2 Вынужденные колебания цифровой системы

2.1 Асимптотические свойства вынужденных колебаний цифровой системы с устойчивым объектом

2.2 Система с нестационарным объектом

2.3 Билинейная система.

2.4 Случай нейтрально-устойчивого объекта.

3 Дискретное управление непрерывными системами

3.1 Задача релейной стабилизации.

3.2 Релейная стабилизация непрерывных систем.

3.3 Дискретная стабилизация непрерывных систем.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование качественными методами динамики дискретных систем с неоднозначными нелинейностями»

Теория импульсных систем достигла к настоящему времени высокого уровня развития. Импульсные системы широко применяются в современной технике благодаря простоте их реализации, высокой точности и надежности, а также малой энергоемкости.

Повышение требований к быстродействию и точности импульсных систем, увеличение их эффективности неизбежно приводит к необходимости учета нелинейности реальных элементов, которые входят в состав систем 1)1, либо г,ведения в нее дополнительных нелинейных элементов,. Наличие нелинейных элементов в импульсной технике придает ей качественно новые свойства, исследование которых на основе теории линейных систем непосредственно невозможно. В связи с этим возникает необходимость в разработке и развитии теории нелинейных импульсных систем. К настоящему моменту доступно большое количество специальной литературы, посвященной исследованию нелинейных импульсных систем (см., например, библиографию |1, 5|).

Наиболее хорошо изучены импульсные системы, описываемые разностными уравнениями (дискретные системы). Одной из первых монографий по динамике дискретных систем является книга Бромберга |2|, в которой исследование устойчивости и автоколебательное/™ импульсных систем проводилось при помощи методов матричного исчисления.

Динамика нелинейных дискретных систем рассматривалась в монографиях П. Видал я |4|, Я.З. Цыпкипа и 10.С. Попкова |5|, а также В.М. Купцевича и Ю.Н. Чехового |б|.

В работах |7, 12, 14, 15, 16, 17\ изучалась устойчивость импульсных систем, состояние которых изменяется лишь и дискретные моменты времени и остается постоянным между ними. Таковыми являются цифровые системы.

В диссертации рассматриваются цифровые (дискретные) системы, содержащие существенные неоднозначные нелинейности. Существенные нелинейности такого типа возникают, например, при математическом моделировании различных нелинейных физических эффектов (гистерезис электро- и радиотехнике, трение и люфт в механике, и т.д.)- Кроме того, используемые мо/щли позволяют учитывать влияние; внешних возмущающих воздействий, действующих на рассматриваемые системы.

Вопросы существования устойчивых колебательных режимов (собственных или вынужденных) в нелинейных системах, а также; проблемы точного построения этих режимов, т.е. нахождения их параметров и конфигурации в фазовом пространстве, являются одними из наиболее актуальных в теории нелинейных колебаний. В диссертационной работе; данные вопросы рассматриваются применительно к дискретным системам, содержащим нелинейности указанного типа. Получены новые; результаты, касающиеся асимптотических свойств собственных и вынужденных колебаний дискретных систем управления.

Другой, несомненно, актуальной проблемой является проблема стабилизации программных режимов автоматических систем управления. В работе изучен вопрос о дискретной стабилизации непрерывных е:и-ет<;м управления (стационарных или подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию), содержащих неоднозначные существенные нелинейности, которые описываются куеочпо-липейпыми нечетными функциями своего аргумента.

Диссертация состой'!' из трех глав. Первые две развивают асимптотические методы, предложенные авторами \12. 14, 15, 16|. Опира.яеь па понятие; грубости дискретных систем, получены новые достаточные условия существования устойчивых периодических (почти периодических) решений этих систем. Первая плава посвящена собственным колебаниям дискретных систем, вторая вынужденным.

В последней рассматривается вопрос о релейной стабилизации (в том число и дискретной) систем, содержащей неоднозначные еущсс/гненпыо нелинейности. При этом развивается под,ход, предложенный В.И. Зубовым \21\. Получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений, в том число и дискретных, для стационарных систем, атак же систем, содержащих внешнее возмущающее; воздействие.

Во всех главах используется понятие пространства состояния.

Заключение диссертации по теме «Дискретная математика и математическая кибернетика», Степанов, Александр Владимирович

Основные результаты, полученные в диссертации:

Для дискретных систем с неоднозначными нелинейностями обобщено понятие грубости решений. На основе этого понятия проведено качественное исследование микроструктуры пространства соето-я11ий рассматривакм1щхся стационарных сис:тем.

Для системы с устойчивым объектом обобщен ряд результатов, касающихся предельных свойств решений этой системы и числа уета-н о в и в и I ихся усто й ч и в ых реж и м о г.

При рассмотрении дискретных систем с асимптотически устойчивым объектом и почти периодическим (в частности, периодическим) аддитивным возмущающим воздействием получены новые результаты, касающиеся асимптотических свойств, решений дискретных систем. В частности, показано, что грубые решения таких системы сходится с течением времени к асимптотически устойчивым почти периодическим режимам. Показано также, что число различных установившихся устойчивых движений конечно.

Аналогичные результаты доказаны для билинейных дискретных систем с почти периодическим аддитивным возмущающим воздействием, для систем с: возмущающим воздействием и нелинейной аддитивной добавкой, для систем с нестационарным объектом. В отдельных частных случаях для систем с периодическим возмущающим воздействием приведены критерии существования вынужденных устойчивых режимов с наперед заданным периодом и числом точек переключения управления.

Для непрерывных автоматических систем, содержащих неоднозначные нелинейности, отличные от рассматривавшихся В.И. Зубовым и его последователями, получены достаточные условия существования релейных стабилизирующих управлений как для стационарных систем, так и для систем, подвергающихся непрерывному ограниченному внешнему воздействию. Отдельно рассмотрены случаи непрерывной и дискретной релейной стабилизации.

Для непрерывной системы с внешним периодическим воздействием и законом управления, описываемым кусочно-постоянной двузначной релейной характеристикой, приведены критерии существования семейств (континуумов) устойчивых периодических вынуждеп11ых решений.

Заключение