Исследование математических моделей аутостабилизации температуры в биологических объектах тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Альбицкая, Елена Николаевна

• Альбицкая, Елена Николаевна
• кандидат физико-математических наук
• 2011

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Альбицкая, Елена Николаевна

Введение.

ГЛАВА 1. Состояние вопроса математического моделирования явления аутостабилизации различных факторов в биологических системах.

1.1. Модели биологических объектов.

1.2. Модели биохимических реакторов.

1.3. Моделирование явления аутостабилизации.

Выводы по главе 1 и постановка основных задач диссертации.

ГЛАВА 2. Математическое моделирование аутостабилизации температуры биореактора с одним биологическим объектом.

2.1. Объект моделирования.

2.2. Основные допущения математической модели.

2.3. Математическая модель.

2.4. Идентификация математической модели и проверка ее адекватности экспериментальным данным.

2.5. Интерпретация данных натурного эксперимента. Объяснение явления саморегулирования температуры.

2.6. Результаты вычислительных экспериментов.

Выводы по главе 2.

ГЛАВА 3. Математическое моделирование аутостабилизации температуры биореактора с двумя биологическими объектами.

3.1. Объект моделирования.

3.2. Математическая модель.

3.3. Параметры математической модели.

3.4. Результаты вычислительных экспериментов.

Выводы по главе 3.

ГЛАВА 4. Математическое моделирование аутостабилизации температуры в клеточной ткани.

4.1. Объект моделирования.

4.2. Основные допущения, принятые при разработке математической модели.

4.3. Математическая модель.

4.4. Разностные схемы.

4.5. Параметры математической модели.

4.6. Результаты вычислительных экспериментов.

Выводы по главе 4.

ГЛАВА 5. Комплекс специализированных программ.

5.1. Программа для моделирования аутостабилизации температуры биореактора с одним биологическим объектом.

5.2. Программа для моделирования аутостабилизации температуры биореактора с двумя биологическими объектами.

5.3. Программа для моделирования аутостабилизации температуры в клеточной ткани.

Выводы по главе 5.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей аутостабилизации температуры в биологических объектах»

Актуальность темы. Исследование различных сторон функционирования биологических объектов представляет собой важную научную задачу, так как полученные результаты могут быть использованы в таких относительно новых областях, как кибернетика, робототехника, широкий спектр естественных, технических наук и их приложений. Одним из наиболее важных свойств биологических объектов является гомеостаз, под которым обычно понимают способность, открытых систем сохранять постоянные значения-внутренних факторов при значительных изменениях этих же факторов во внешней среде.

Частные случаи гомеостаза — явления- саморегулирования (аутостаби-лизации) температуры и других параметров в популяциях микроорганизмов исследовались экспериментально и с помощью» математических моделей Рылкиным С.С., Печуркиным Н.С., Шкидченко А.Н., Дегерменджи А.Г. Эти математические модели были дополнены уравнениями, учитывающими дыхательные процессы и процессы растворения кислорода, в.работах Арзамасцева1 A.A., при этом решалась задача параметрической* идентификации модели. Однако многие стороны аутостабилизации температуры- для. более сложных биологических объектов, таких как смешанная популяция нескольких микроорганизмов или пространственно-распределенная биологическая ткань, имеющих наибольшее практическое значение, не изучались.

Исследование аутостабилизации температуры в- этих объектах представляет значительный интерес ввиду того, что в данных условиях один биологический объект может тормозить рост другого или оказывать на него иное влияние, используя для этого температурный канал. Это свойство в принципе может быть использовано в промышленных биотехнологиях для управления биореакторами или в .медицинской практике для подавления роста опухолей.

Данная задача не может быть решена без исследования соответствующих математических моделей, так как в подобном объекте имеет место взаимовлияние значительного количества различных факторов — основных физико-химических и биологических особенностей процесса, таких как метаболизм, потребление кислорода и субстратов, массо- и теплообмен с соседними^ областями и т.д.

Цель и задачи исследования. Целью диссертации является разработка математических методов исследования моделей аутостабилизации температуры в биологических объектах различного типа, алгоритмов для их численного анализа и проведение вычислительных экспериментов, позволяющих выявить особенности-данного явления.

Достижение поставленной цели требует решения следующих задач:

- формирование математического описания и методов* исследования биообъектов нескольких типов: биореакторы с одним и несколькими биологическими объектами, математическая модель пространственно-распределенной клеточной ткани;

- разработка разностных схем для численного решения уравнений, соответствующих математическим моделям для биообъектов с сосредоточенными и распределенными параметрами;

- выявление особенностей влияния различных факторов^ на уровень аутостабилизации температуры в биообъектах различного типа;

- проведение серии вычислительных экспериментов по моделям различного типа, получение условий существования явления аутостабилизации температуры;

- разработка комплекса проблемно-ориентированных программ.

Объекты исследования — пространственно-распределенная биологическая (клеточная) ткань, биореакторы с одним и несколькими биологическими объектами; предметы исследования - математические модели, методы, алгоритмы для их численного анализа и результаты вычислительных экспериментов.

Методы исследования базируются на теориях: обыкновенных дифференциальных уравнений, дифференциальных уравнений в частных производных и разностных схем.

Научная новизна работы. В-диссертации получены следующие новые научные и практические результаты:

- предложено^ математическое описание и методы исследования процесса аутостабилизации температуры в пространственно-распределенной клеточной ткани, учитывающие кинетику потребления субстратов и внутреннего тепловыделения^ на основе уравнения Микаэлиса-Ментен, эндогенное и экзогенное дыхание, диффузионные и массообменные процессы; осуществлен выбор граничных условий, определяющих процессы, тепло- и мас-сообмена с внешней областью; разработаны разностные схемы для> численного анализа модели и соответствующие компьютерные программы;

- предложено математическое описание процессов, возникающих в биореакторе с сосредоточенными параметрами, позволившее исследовать взаимовлияние нескольких биологических объектов и способность одного из них контролировать .рост другого, используя при этом температурный канал;

- разработаны и обоснованы численные методы, эффективные алгоритмы с применением ЭВМ; разработан комплекс проблемно-ориентированных программ;

- выявлена по результатам, вычислительных экспериментов возможность изменения уровня аутостабилизации температуры в биореакторе с одним биологическим объектом; с помощью математической модели и соответствующих ей алгоритмов проведена интерпретация данных натурного эксперимента по аутостабилизации температуры в биореакторе;

- установлена в ходе численного анализа математической модели способность к аутостабилизации пространственно-распределенного биологического объекта, изучена динамика основных характеристик такого объекта: температуры, концентраций субстрата и кислорода; установлены диапазоны внешних условий, при которых аутостабилизация возможна; определено, что параметром, определяющим скорость биохимической реакции, является коэффициент теплопередачи через границу.

Практическая значимость. Предложенное математическое описание процессов аутостабилизации температуры позволяет эффективно исследовать это явление в биологических и биотехнологических объектах различного типа (клеточной ткани, биореакторах и их системах), проводить исследование. границ, существования* явления, динамики его развития и оценивать влияние различных параметров на ход процесса. Разработанные программы имеют дружественный интерфейс, что позволяет их использовать-специалистам в области биофизики, биологии, биотехнологии и медицины.

Область.исследования;. Содержание диссертации соответствует паспорту специальности 05.13.18 - «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ» (физико-математические- науки). Области исследований, соответствуют п. 4. «Реализация, эффективных численных методов^ и алгоритмов^ в виде комплексов проблемно-ориентированных программ для проведения вычислительного^ эксперимента», п. 5. «Комплексные исследования научных и технических проблем- с применением, современной технологии математического моделирования и вычислительного эксперимента», п. 7. «Разработка» новых математических методов- и алгоритмов, интерпретации натурного эксперимента на основе* его математической модели».

Реализация, результатов* исследования: В основу диссертации положены результаты, полученные автором в ходе исследований, проводимых по планам работ: кафедры компьютерного и математического моделирования -«Компьютерное и математическое моделирование в- естественных науках и социальной сфере», г. Тамбов, ТГУ им. Г.Р. Державина, 2007-2010-гг.; программы «Региональная поддержка научных исследований, проводимых ведущими научными школами Тамбовской области» по проекту «Использование методов компьютерного и математического моделирования для экономической оптимизации управленческих решений на предприятиях биотехнологического профиля и в социальной сфере», г. Тамбов, ТГУ им. Г.Р. Державина, 2008 г.; Федеральной целевой программы «Научные и научно-педагогические кадры инновационной России» на 2009-2013 гг. по проекту «Влияние кинетических параметров на баромембранное разделение промышленных растворов содержащих поверхностно-активные вещества», г. Тамбов, ТГТУ; тематического плана «Разработка параллельных алгоритмов математического моделированияша основе нейросетевых методов.и символьных вычислений», регистрационный' номер НИР" № 01200902782 от 01.12.09-г., г. Тамбов, ТГУ им. Г.Р: Державина, 2009-2010 гг.

Результаты диссертации внедрены- в> учебный процесс ТГУ им. Г.Р. Державина, а также используются при разработке новых технологий в ООО «Научно-производственная, компания ЭКСПЕРТНЫЕ СИСТЕМЫ», г. Тамбов.

Научные результаты, выносимые назащиту.

1. Анализ- распределеннош математической, модели аутостабилизации температуры в клеточной ткани, показывающий, что параметром, определяющим скорость биохимической реакции, является* коэффициент теплопередачи через границу. Разработка и обоснование разностных схем для численного решения уравнений.

2. Анализ зависимостей динамических, характеристик объекта (температуры,, концентраций'субстрата и растворенного кислорода) от температуры, направлениям скоростей конвективных потоков-во внешней области рас-пределенногобиологическогообъекта:

3. Результаты анализа математической модели биореактора с двумя биологическими^ объектами, показывающие влияние одной популяции на рост другой посредством, температурного режима.

4. Анализ вычислительных экспериментов по^исследованию математической модели биореактора, с одним биологическим объектом, в результате которого удалось обнаружить, что температуры, наблюдаемые в процессе саморегулирования, могут соответствовать температурам, определяющим максимальную удельную скорость роста используемых биообъектов; интерпретация данных натурного эксперимента по аутостабилизации температуры в биореакторе.

Апробация,работы. Основные результаты,диссертации докладывались и обсуждались на: XVI Международной конференции «Математика. Компьютер. Образование», МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Пущино, 2009 г.; XXI Международной научной конференции^ «Математические методы в технике и технологиях», г. Тамбов; ТГТУ, 2008-г.; III Всероссийской-школе молодых ученых «Математические- методы В' экологии», Петрозаводск, Карельский научный-центр-РАН, 2008 г.; XIII, XIV, XV научных конференциях преподавателей и аспирантов «Державинские чтения» 2008, 2009, 2010 гг.

Публикация,результатов; По;результатам диссертации опубликовано-14'печатных работ, в том« числе 8 статей в изданиях из Перечня ВАК [1-8]'и два свидетельства-офегистрации программ-ЭВМ [13-14]. Из совместных работ в диссертацию вошли< только результаты, принадлежащие-лично, соискателю.

Личный вклад автора. Основные результаты и выводы по. теме диссертации получены автором лично. Постановки задач предложены научным-руководителем. Разработка математических' методов^ исследования, алгоритмов для численного анализа математических моделей, комплекса проблемно-ориентированных программ, проведение и анализ вычислительных экспериментов,- выводы, и интерпретация полученных результатов и*данных натурного эксперимента выполнены* автором:

Объем работы: Диссертация состоит из введения, пяти глав, заключения, библиографии из 111 наименований'и 9 приложений. Основное содержание диссертации изложено на 102' страницах, включает 32 рисунка и 3 таблицы.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Альбицкая, Елена Николаевна

ОСНОВНЫЕ РЕЗУЛЬТАТЫ И ВЫВОДЫ ПО РАБОТЕ

1. Предложено математическое описание биообъектов нескольких типов: биореакторы с одним и несколькими биологическими объектами, различающихся следующими характеристиками: удельные скорости роста, энергии активации, их зависимость от температуры и т.д., пространственно-распределенная математическая модель клеточной ткани, учитывающая* транспорт субстрата, растворенного кислорода, теплопродукцию в ходе биохимических превращений, потребление субстрата биообъектом.

2. Разработаны разностные схемы, соответствующие математическим моделям для биообъектов с сосредоточенными и распределенными параметрами. Предложены эффективные алгоритмы численного решения задач ауто-стабилизации температуры биологических объектов.

3. Показано, что в реакторах с одним биообъектом можно изменять уровень аутостабилизации температуры. Выявлена закономерность (особенность) для реакторов с несколькими биообъектами, заключающаяся в существовании биообъекта, контролирующего общую скорость процесса. Показано существование явления аутостабилизации температуры в распределенной клеточной ткани и возможность управления интегральной скоростью биохимической реакции. Проведена интерпретация данных натурного эксперимента по аутостабилизации температуры в биореакторе.

4. Проведена серия вычислительных экспериментов по моделям различного типа, получены условия существования явления аутостабилизации температуры.

5. Разработан комплекс проблемно-ориентированных программ в среде Borland Delphi 7, представлены результаты вычислительных экспериментов.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Альбицкая, Елена Николаевна, 2011 год

1. Arzamastsev A.A. The concept: of microbioreactor is a good model for biological tissue phenomena simulation // 1.: 7th European Congress on Biotechnology, Nice, France, 19-23 February 1995.- v.3.- p.62.

2. Arzamastsev A.A. Self-regulation of temperature by microorganisms: Explanation of the phenomenon and possible application // Sixth European Congress on Biotechnology, Firenze, 13-17 June 1993. Italy. TU010.

3. Arzamastsev A.A., Albitskaya E.N. Simulation of Temperature Self-Regulation in a Bioreactor. // Mathematical Models and» Computer Simulations, 2011-.- Vol. 3. No. 3. - pp. 299-310.

4. Arzamastsev A.A., Kristapson M.G. Computer simulation of temperature autostabilization: an analysis of phenomenon // Appl. Microbiol. Biotecbnol. 1993. V. 40. P. 77 81.

5. Gause G.F. Experimental demonstration of Volterra's periodic oscilation in the numbers of animals // «Ji Exp. Biol.», 1934.

6. Gyllenberg A., Hamalainen P:, Halme A. Modelling of microbiological systems for process optimization.and control // Helsinki: University of technology, 1975. 37 p.

7. Kono T., Asai T. Kinetics of fermentation processes // Biotechnol. Bioeng. 1969. Vol. 11. № 3. P. 293-321.

8. Lotka A.J. Elements of physical biology // Baltimore, 1925.

9. Lotka A.J. Fluctuations in the abundance of species considered malhermati-cally (with comment by V. Volterra) // «Nature», 1927.

10. Malthus T.R. An Essay on the Principle of Population // Johnson, London, 1798

11. Matsche N.F., Andrews J.F. Adv. Microbiol. Eng. Part 1 // N.Y.-L.: John Wiley & Sonsj Inc., 1973.- P.77.

12. Monod J. La technique de culture continue. Theorie et applications // "Ann. Inst. Pasteur", 1950, v.19, p.390-410

13. Monod J: Recherches , sur la Groissance des Cultures Bactériennes // Hermann et Cie, Paris, 1942

14. Monod J. The growth of bacterial cultures // Annual Review of Microbiol. 1949. V. 111. P. 371-394

15. Moser H. The dynamics of bacterial populations maintained in the chemostat//Washington, 1958

16. Murray J. D. Mathematical Biology // Springer-Verlag, 1993.

17. Ingraham J.L. // J. Bacteriol.- 1958.- V. 78.- N 3.- P.75.

18. Pearl R. The biology of population growth // New York : A.A. Knopf, 1930. p.260

19. Pearl R. The growth of populations // Quart. Rev. Biol. 1927. - V.2 -P. 523

20. Pyu D.Y., Mateles R.J. Biotech and Bioengineering // X, 3, 1967

21. Verhulst P.P. Notice sur la loi que la population suit dans son accroissement // Corresp. Math, et Phys. V.10, 1838. P.l 13-121

22. Volterra V. Leconssurla theorie mathmatique de la lutte pour la vie // Paris: Gauthiers-Villars, 1931

23. Volterra V. Variazioni e fluttuazioni del numcro d'individui in specie animali conviventi // «Mem. Acad. Lincei», 1926.

24. Watson T. G J. Gen Microbiol. // 1969, 59, 83-89

25. Аиба Ш., Хемфри А., Миллис Н. Биохимическая технология и аппаратура //М.: Пищевая пром-сть, 1975. 288 с.

26. Алиханян С.И. Селекция промышленных микроорганизмов.// М.: Наука, 1968. 392 с.

27. Амбросов В.А., Васильев H.H., Складнев A.A. Математическая модель процесса размножения микроорганизмов в условиях периодического способа их культивирования // Прикладная биохимия и микробиология. 1970. Т. 6. Вып. 4. С. 363-373.

28. Аминов Р.И., Ананьин В.М., Головлев E.J1. Динамика роста-Arthrobacter globiformis в переодической и непрерывной культуре // Микробиология. 1986. Т. 55. Вып. 3. С. 395-400.

29. Антомонов Ю.Г. Моделирование биологических систем // Киев: Наук, думка, 1977. 260 с.

30. Антонов И.И. Температурный гомеостаз и гипероксия // М.: Медицина, 1989.

31. Апонин Ю.М., Ванякин E.H., Осипов В.В. Математическое моделирование процессов периодического культивирования микроорганизмов сучетом, динамики растворенных газов // Математика, и моделирование: Сб. научн. тр. Пущино, 1990. С. 222—232.

32. Арзамасцев A.A. Аутостабилизация температуры в процессах; биосинтеза:: биоинженерные аспекты // Ж, Всесоюзного хим. об-ва им. Д.И. Менделеева. 1988; Т. 33; С. 117-119.

33. Арзамасцев A.A. Влияние температуры ш кислотности* среды; на? рост некоторых смешанных культур микроорганизмов //В<сб;: Научные достижения производству,- Тез:, докл. обл. науч; конф;- Mi: 19871- С. 19.

34. Арзамасцев А.А. Компьютерное моделирование.саморегулирования; температуры в популяциях микроорганизмов. Сообщение 1: периодический режим. // Ж. Вестник ТГУ. Т. 1. Вып. 1. 1996. С. 71 77.

35. Арзамасцев A.A. Работа биохимического реактора в условиях ау-тостабилизации; температуры // Гидродинамика и процессы переноса в биореакторах. Новосибирск::Сибирское отд-ниеАНСССР^ 1989; С. '49-59;

36. Арзамасцев A.A. Разработка научно-обоснованной ресурсосберегающей технологии № аппаратов утилизации отходов производства этанола // Дисс. д:тль Тамбов — 1998. *

37. Арзамасцев^А.А., Альбицкая-E.Hi Вычислительные эксперименты по моделированию саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2008; - Т. 13; выш К - С. 80-83.

38. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H. Исследование аутостабилиза-ции температуры в распределенной клеточной ткани // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естественные штехнические науки; — 2011. Т. 16, вып. 3 . С. 776-783.

39. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H. Математическое; моделирование и исследование саморегулирования'температуры в популяциях микроорганизмов: два биообъекта//Вестн. Тамбов; ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2009. - Т. 14, вып.2. - С. 370-374.

40. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H. Математическое моделирование саморегулирования температуры в популяциях микроорганизмов: непрерывный процесс // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естественные и технические науки. 2007. - Т. 12, вып. 6. - С. 709-714.

41. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H. Математическое моделирование явления саморегулирования температуры в биореакторе // Математическое моделирование. 2010. - Т. 22, №10. - С. 93-108.

42. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H. Моделирование аутостабили-зации температуры в биореакторе с двумя биологическими объектами // Математические методы в технике и технологиях (ММТТ-21). — Тамбов, ТГТУ, 2008. Т. 11.-С. 15-18.

43. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H. Моделирование аутостабили-зации температуры в биореакторе с двумя биологическими объектами // Математика. Компьютер. Образование. МГУ им. М.В. Ломоносова, Пущино, 19-24 января, 2009 г. - вып. 16, ч. 1. - С. 16.

44. Арзамасцев A.A., Альбицкая E.H., Черемисина Е.В. Математическая моделирование аутостабилизации температуры в клеточной ткани // Вестн. Тамбов, ун-та. Сер. Естественные и технические науки. — 2010. Т. 15, вып. 6.-С. 1843-1848.

45. Арзамасцев A.A., Бодров В.И., Попов Н:С. Кинетика роста микроорганизмов рода Pseudomonas на мелассной послеспиртовой барде // Микробиология.- 1983.- Т. 52.- Вып. 6.- С. 929-934.

46. Арзамасцев A.A., Зюрюкина E.JI. Особенности аутостабилизации температуры популяциями- микроорганизмов: результаты математического моделирования // Тез. докл. III обл. науч. техн. конф. Тамбов. 1987. С. 33-34.

47. Артюхов В.Г., Ковалева Т.А., Шмелев В.П. Биофизика // Воронеж: Изд-во ВГУ, 1994. 336 с.

48. Бабаева И.П., Чернов И.Ю. Биология дрожжей // М.: Изд-во МГУ, 1992. 96 с.

49. Баснакьян И.А., Бирюков В.В., Крылов Ю.М. Математическое описание основных кинетических закономерностей процесса культивирования микроорганизмов // Итоги науки и техники. Микробиология. М.: ВИНИТИ, 1976. Т. 5. С. 5-75.

50. Бахвалов Н.С., Жидков Н.П., Кобельков Г.М. Численные методы. // М.: БИНОМ, 2006. 636 с.

51. Бейли Дж., Оллис Д. Основы биохимической^ инженерии. В 2-х частях//М.: Мир, 1989. Ч. 1. 692 с.

52. Белова И.М. Компьютерное моделирование // М.: МГИУ, 2007.81 с.

53. Берри Д. Биология дрожжей // М.: Мир, 1985. 96 с.

54. Вавилин В.А. Обобщенная модель и механизм аэробной биологической очистки// Доклады АН СССР. 1981". Т. 258. № 5. С. 1269-1273.

55. Вавилин В.А. Нелинейные модели биологической очистки и процессов самоочищения в реках // М.: Наука, 1983. 153 с.

56. Вавилин В.А., Васильев В.Б. Математическое моделирование процессов биологической очистки сточных вод активным илом // М.: Наука, 1979. 118 с.

57. Вавилин В.А., Васильев В.Б. Сравнительная оценка математических моделей, применяемых для расчета аэротенков // Водные ресурсы. 1981. №4. С. 132-145;

58. Вавилин В.А., Кузьмин С.С. Сравнительная оценка математических моделей, применяемых для расчета биофильтров // Водные ресурсы. 1982. №2. С. 109-115.

59. Варфоломеев С.Д., Калюжный C.B. Биотехнология. Кинетические основы микробиологических процессов // М.: Высш. шк., 1990. 296 с.

60. Васильев H.H., Амбросов В.А., Складнев A.A. Моделирование процессов микробиологического синтеза // М.: Лесная пром-сть, 1975. 338 с.

61. Вердиев С.Г., Гордеев Л.С., Полянский М.А. Кинетика роста микроорганизмов рода Saccharomyces Vini (раса Кахури 42) в сусле // Микробиология. 1987. Т. 56. Вып. 3. С. 415-421.

62. Волькенштейн М.В. Биофизика // М.: Наука, 1988. 590 с.

63. Вольтерра В. Математическая теория борьбы за существование // М.: Наука, 1976. 286 с.

64. Гаузе Г.Ф. Математический подход к проблемам борьбы за существование // Зоол. журн. 1933. - Т. 12, №3. - С. 170-177.

65. Гачок В.П. Кинетика биохимических процессов // Киев: Накова думка, 1988. 220 с.

66. Гилл Ф., Мюререй У., Райт М. Практическая оптимизация // М.: Мир, 1985t 509 с.

67. Дантеманн Д., Мишел Д., Тейлор Д. Программирование в среде Delphi: Пер. с англ. // Киев: DiaSoft Ltd, 1995. 608 с.

68. Дегерменджи А.Г. Динамика гетерогенной популяции в постоянных и периодически меняющихся условиях среды // Динамика микробных популяций в открытых системах. Красноярск: Институт физики им. Кирен-ского СО АН СССР, 1975. С. 55-78.

69. Дегерменджи А.Г., Псчуркин Н.С., Шкидченко А.Н. Аутостаби-лизация контролирующих рост факторов в биологических системах // Новосибирск: Наука, 1979.

70. Диксон М., Уэбб Э. Ферменты. В 2-х томах // М.: Мир, 1982.

71. Железцов H.A., Железцова E.H. Математическая модель динамики роста биомассы бактерий (с учетом отмирания "живой" биомассы) // Физиология и биохимия микроорганизмов. Горький: Изд-во Горьк. ун-та, 1974. С. 65-74.

72. Иерусалимский Н.Д. Основы физиологии микробов // М.: Изд-во АН СССР, 1963.244 с.

73. Измаилов А.Ф., Солодов М.В. Численные методы оптимизации // М.: Физматлит, 2003. 424 с.

74. Калашников В. В., Рачев Т. Математические методы построения стохастических моделей обслуживания // М.: Наука, 1988. 311 с.

75. Калиткин H.H. Численные методы. // М.: Наука, 1978. 512 с.

76. Кафаров В.В., Винаров А.Ю., Гордеев JI.C. Моделирование биохимических реакторов // М.: Лесная промышленность, 1979. 342 с.

77. Киселев Е.В. Моделирование распределенной по размерам культуры микроорганизмов в процессе периодического культивирования // Динамика биологических популяций. Горький: Изд-во ГГУ. 1982. С. 110—119.

78. Костомаров Д.П., Фаворский-А.П. Вводные лекции по численным методам // Учеб. пособие. М.: Логос, 2004. 184 с.

79. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей // М.: Изд-во-МГУ, 1983. 264 с.

80. Кребс Г., Конберг Г. Превращение энергии в живых системах // М.: 1959.

81. Малашенко Ю.Р., Мучник Ф.В., Романовская В.А., Чернышен-ко Д.В. Математическая модель нестационарного процесса потребления микроорганизмами субстратов в экологической нише // Микробиологический журнал. 1986. Т. 48. № 1. С. 59-62.

82. Мальтус Т.Р. Опыт о законе народонаселении // СПб., 1895.

83. Маршелл Э. Биофизическая химия. В 2-х томах // М.: Мир, 1981. Т. 1.358 с.

84. Моисеев H.H. Математические задачи-системного анализа // М.: Наука, 1981.487с.

85. Музыченко Л.А., Гуркин В.А., Кантере В.М., Минкевич И.Г. О температурной зависимости кинетики микробиологического синтеза // Микробиологическая пром-сть.- 1971.- Вып. 5.- С. 10-14.

86. Мышкис А. Д. Элементы теории математических моделей // 3-е изд., испр. М.: КомКнига, 2007. 192 с.

87. Перт С.Дж. Основы культивирования микроорганизмов и клеток //М.: Мир, 1978.

88. Печуркин Н.С. Некоторые вопросы динамики микробных популяций на протоке // Дис. . канд. тех. наук. Красноярск, 1969. 130 с.

89. Печуркин Н.С. Популяционная микробиология // Новосибирск: Наука, 1978. 277 с.

90. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Автоселекционные процессы в непрерывной культуре микроорганизмов // Новосибирск: Наука, 1973. 64 с.

91. Печуркин Н.С., Терсков И.А. Анализ кинетики роста и эволюции микробных популяций //Новосибирск: Наука, 1975. 216 с.

92. Печуркин Н.С., Шкидченко А.Н. Явление аутостабилизации факторов, ограничивающих рост микробных популяций в открытых системах // Доклады АН СССР.- 1976.- Т.227, №3.- С.719-722.

93. Рубин А.Б. Биофизика. Кн. 1, 2. // М.: Высшая школа, 1987.

94. Рубин А.Б. Кинетика биологических процессов // Соросовский образовательный журнал. 1998. № 10. С. 84-91.

95. Рылкин С.С., Шкидченко А.Н., Стеркин В.Э., Боев A.B. Эффект аутотермостатирования микробных популяций и его влияние на рост и газообмен микроорганизмов // Микробиология.-1973.- Т.42.- С. 445-451.

96. Самарский A.A. Введение в численные методы. // СПБ.- Издательство «Лань», 2005. 288 с.

97. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование // М.: Физматлит, 2002.

98. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование: Идеи. Методы. Примеры. //М.: Наука, Физматлит, 1997. 320 с.

99. Фарлоу С. Уравнения с частными производными для научных работников и инженеров // М.: Мир, 1985. 383 с.

100. Фершт Э. Структура и механизм действия ферментов // М.:Мир, 1980.- 432 с.

101. Филиппов А.Ф. Об устойчивости разностных схем // ДАН СССР 1955. - Т. 100, №6. - С. 1045-1048

102. Чемерис H.A., Барышникова JI.M., Акименко JI.B., Ермакова И.Т., Головлев E.J1. О фазах экспоненциального роста культуры Rhodococcus minimus //Микробиология. 1989. Т. 58. Вып. 4. С. 579-583

103. Шкидченко А.Н. и др. Физиолого-биохимические изменения дрожжей Candida tropicalis при культивировании в режиме аутотермостата // Микробиология.- 1974.- Т. 43.- С. 276-281.