Разработка и обоснование нового подхода к методу математического моделирования: проблема предметной множественности моделей и анализ адекватности их целям исследования тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, доктор физико-математических наук Плохотников, Константин Эдуардович

• Плохотников, Константин Эдуардович
• доктор физико-математических наук
• 2013

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Плохотников, Константин Эдуардович

ОГЛАВЛЕНИЕ

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1

МАТЕМАТИЧЕСКОЕ МОДЕЛИРОВАНИЕ ЭЛЕМЕНТОВ

МОРФОГЕНЕЗА

§ 1. Введение

§2. Рост отдельной ткани

§3. Баланс вещества в пределах растущей ткани

§4. Одномерное приближение

§5. Рост одномерной ткани. Вычислительный эксперимент

§6. Моделирование роста трех связанных одномерных тканей

§7. Заключение

ГЛАВА II

МАТЕМАТИЧЕСКАЯ МОДЕЛЬ КОЛЛЕКТОРА ЭЛЕКТРОМАГНИТНОЙ ЭНЕРГИИ

§1. Введение

§2. Постановка задачи

§3. Приемник шума

§4. Численное решение уравнений приемника шума

§5. Коллектор электромагнитной энергии

§6. Численное решение уравнений коллектора

§7. Источники энергии, отличающиеся от белого шума

§8. Заключение

ГЛАВА III

МОДЕЛИРОВАНИЕ ТЕРМОГЕОМЕТРИЧЕСКОЙ ДИНАМИКИ КОНЕЧНОГО КРИСТАЛЛИЧЕСКОГО ОБРАЗЦА

§1. Введение

§2. Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре?

§3. Двухвременной формализм

§4. Окрестность нулевой температуры

§5. Вычислительный эксперимент на примере моделирования

реконструкции поверхности (100)Р1

§6. Вычислительный эксперимент на примере моделирования

реконструкции поверхности (100)"№

§7. Заключение

ГЛАВА IV

МНОГОМАСШТАБНАЯ МОДЕЛЬ ТУРБУЛЕНТНОГО

ДВИЖЕНИЯ ЖИДКОСТИ

§1. Введение

§2. Исследование потенциала взаимодействия

§3. Вывод и решение основного кинетического уравнения

§4. Исследование вопроса об измеряемости

§5. Пример расчета турбулентного течения жидкости в трубе

§6. Заключение

ГЛАВА V

МЕТОД МАТЕМАТИЧЕСКОГО МОДЕЛИРОВАНИЯ И ПРОБЛЕМА МУЛЬТИМО ДЕЛЬНОСТИ

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ К.Э. ПЛОХОТНИКОВА ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ИЗДАНИЯХ

ЛИТЕРАТУРА

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Разработка и обоснование нового подхода к методу математического моделирования: проблема предметной множественности моделей и анализ адекватности их целям исследования»

ВВЕДЕНИЕ

Актуальность темы. Современная эпоха характеризуется феноменом глобализации. Важнейшим аспектом процесса глобализации является развитие информационной индустрии. Можно говорить об информационных технологиях получения новых знаний, их накопления и использования. К информационным технологиям относят методологии математического моделирования и вычислительного эксперимента.

Методы математического моделирования и вычислительного эксперимента как информационные технологии производства новых знаний получили в последнее время значительное развитие. Если следовать известной триаде A.A. Самарского "модель —» алгоритм -» программа" [1], то метод математического моделирования предполагает: изучение математических уравнений, описывающих объект исследования, постановку и проведение вычислительного эксперимента и программирование. Данные вычислительного эксперимента сравниваются с данными натурного эксперимента в том или ином смысле, при этом результаты моделирования прогнозируют результаты натурного эксперимента. Это можно отнести к прямому моделированию как к информационной технологии получения прогнозируемых, т.е. ожидаемых в результате измерений результатов. Однако можно говорить не только о прямом моделировании, в основе которого лежит идея прогноза в самом широком смысле слова, но и об обратном моделировании, как об исследовании объекта.

Обратное моделирование это исследовательский проект, в котором по результатам эксперимента, а не моделирования необходимо высказаться по поводу некоторого набора свойств объекта. В обратном моделировании исследователь ставит задачу наилучшего оценивания свойств объекта. Это исследовательская часть рассматриваемой информационной технологии получения новых знаний, а не практическая, сводимая к прогнозированию. В обратном моделировании результаты должны быть редуцированы к таким значениям характеристик объекта, которые свойственны невозмущенному экспериментом объекту исследования. Это условие положено в основу метода редукции, развиваемого в работах Ю.П. Пытьева [2]. При обратном моделировании по данным измерительного эксперимента требуется высказаться о том, что непосредственно измерить нельзя, т.е. о том, что не наблюдаемо и это также относится к информационным технологиям получения новых знаний.

Зачастую как прямое, так и обратное моделирование трудно отделить одно от другого. Традиционно прямому моделированию отводилась главенствующая роль, т.к. прогноз выступал и выступает в качестве важнейшего, если не решающего аргумента в вопросах выбора модели среди ряда конкурирующих моделей, претендующих на описание того или иного объекта исследования.

Обратное моделирование, которое нацелено на изучение внутренних характеристик объекта, имеет непосредственное отношение к проблеме множественности, мультимодельности математических моделей, используемых для описания объекта. И для прямого, и для обратного математического моделирования на этапе верификации модели готовится один или несколько тестовых вычислительных и измерительных экспериментов. Полученные результаты сравниваются в рамках выбранной или приемлемой точности, что дает возможность оценить или скорректировать структуру и параметры модели. Когда этап верификации модели завершен, определяются условия для проведения нового эксперимента и по результатам моделирования прогнозируется, какой должен быть результат. Для обратного моделирования на этапе отбора моделей из потенциального множества характерны процедуры структурной и параметрической идентификации*.

В части сравнения результатов вычислительного и измерительного экспериментов исследователь формулирует критерий "приемлемого качества" прогнозирования и оценивания, например, в терминах "удовлетворительно — неудовлетворительно". В этом случае модель в результате проведенных тестов вычисления и измерения: прогнозирует измеренное значение "удовлетворительно — неудовлетворительно", оценивает модель "удовлетворительно — неудовлетворительно". При прямом вычислительном эксперименте прогнозируется измеренное значение. При обратном вычислительном эксперименте оцениваются характеристики исследуемого объекта. В той мере, в какой согласуются результаты (выводы, следствия, прогнозы, оценки) модели и измерительного эксперимента, считается, что исходная математическая модель адекватна поставленной цели исследования. Именно в связке "модель адекватна цели исследования" кроется потенциал множественной генерации моделей объекта исследования.

В этой связи сформулируем одну из важнейших в настоящее время проблем метода, концепции моделирования — проблему мультимодельности, множественности моделей, используемых для описания объекта исследования. Эта проблема проявляется в том, что модели продолжают создаваться. Прямое и обратное моделирование в том виде, как оно сформулировано, слишком слабое ограничение, чтобы остановить производство все новых и новых моделей или, наоборот, объяснить, почему они не появляются более в тех или иных областях. Это означает, что ни прямое, ни обратное моделирование непосредственно не касаются вопросов производства новых моделей.

В диссертации возможности рассматриваемого подхода иллюстрируются на ряде примеров математического моделирования: элементов морфогенеза, электромагнитного коллектора, конечного кристалла и турбулентно-

* См., например: VIII Международная конференция «Идентификация систем и задачи управления» SICPRO '09. — http://www.econf.info/SlCPRQ-09

сти. Все четыре математические модели объединены с точки зрения нового подхода к методу математического моделирования, т.е. описывается специфическая для данной предметной области множественность моделей, формулируется перечень общих и частных целей моделирования, адекватность которым обеспечивает развиваемая модель. Предложенные модели исследованы так же, как математические объекты, в каждой из моделей использованы численные методы, для каждой из них разработаны соответствующие алгоритмы и комплексы программ.

Целью диссертации явилась разработка нового подхода к методу математического моделирования в части проблемы мультимодельности, которая истолковывается с точки зрения адекватности моделей целям исследования. Заявленная цель достигалась в виде следующих этапов:

• обосновать новый подход к методу математического моделирования в связи с проблемой мультимодельности, рассматривая эту множественность с точки зрения разнообразия общих и частных целей исследования;

• продемонстрировать применение нового подхода к методу математического моделирования на ряде актуальных примеров.

В рамках развиваемого подхода к методу математического моделирования одним из важнейших требований выступает адекватность построенной модели цели исследования, а точнее определенному перечню целей. К этому перечню целей могут быть отнесены такие традиционные цели, как прогнозирование и оценивание при прямом и обратном моделировании, а также цель построения комплекса моделей. Комплекс моделей, если его удается сформулировать для некоторой предметной области, позволяет решить проблему мультимодельности.

В каждой из четырех первых глав диссертации построена оригинальная математическая модель. Все модели относятся к различным предметным областям. Проблема мультимодельности особенно остро проявила себя при математическом моделировании элементов морфогенеза (формообразования) в главе I и турбулентности в главе IV. Моделирование пространственно-временной динамики элементов растущей формы, например, растения или животного вызывала и вызывает особый интерес в математической биологии. Для данной области характерен огромный модельный полиморфизм, который так и не удалось охватить с помощью подходящего комплекса моделей. При построении конкретной модели выбор был сделан в пользу подхода типа "растущий континуум", который, как представляется, наиболее адекватен описанию процессов формообразования в биологии.

Иная ситуация сложилась при математическом моделировании турбулентного движения жидкости. В данной области, несмотря на огромный уже имеющейся модельный арсенал, удалось сформулировать нечто общее, характерное для большинства моделей. Имеющиеся модели турбулентности были проанализированы с точки зрения представления сплошной турбулизо-

ванной среды в виде ансамбля дискретных жидких объектов. Уточнение конструкционных особенностей дискретного объекта турбулентности явилось тем общим, что связывает самые разнообразные модели турбулентности, т.е. данное конструкционное уточнение выступает в качестве комплекса моделей турбулентности. В этой связи сделан выбор в пользу построения многомасштабной математической модель турбулентного движения сплошной среды, которая, представляется, наиболее адекватной процессам описания турбулентной жидкости.

В каждой из четырех моделей диссертации был осуществлен вывод конструктивных систем уравнений, т.е. таких систем, которые допускают проведение подходящего вычислительного эксперимента. В главах I, IV получены одномерные системы уравнений в частных производных, которые описывают динамику отдельной регенерирующей растущей ткани и движение турбулентной жидкости в трубе. В главах II, III приготовлены конструктивные системы обыкновенных дифференциальных уравнений для описания электромагнитного коллектора, состоящего из множества ректенн (комбинация диода и приемной антенны) и термогеометрической динамики конечного кристаллического образца.

Подтверждение конструктивности построенных систем уравнений потребовало во всех четырех главах разработать подходящие численные методы и комплексы программ. Все эти мероприятия позволили, в конечном счете, осуществить, как прямое, так и в некоторых случаях обратное моделирование.

Методы исследования. Декларируется общая для всех предложенных моделей цель: уравнения математической модели должны допускать преобразование в конструктивную форму, допускающую вычислительный эксперимент. В модели морфогенеза (глава I) уравнения становятся вполне конструктивными после перехода к одномерному случаю. В модели электромагнитного коллектора (глава II) уравнения допускают вычислительный эксперимент после специального включения диода в электрическую цепь. В модели термогеометрической динамики конечного кристаллического образца (глава III) пройден длинный путь теоретических выкладок прежде, чем удалось преобразовать уравнения к форме, допускающей численное описание обратимых и необратимых фазовых переходов. Наконец, в многомасштабной модели турбулентности (глава IV) от статистического описания ансамбля дискретных жидких объектов к уравнениям в частных производных гидродинамического типа и далее уже к конструктивным уравнениям, описывающим движение турбулентной жидкости в трубе.

Согласно развиваемым представлениям о методе математического моделирования, результаты вычислительного эксперимента рассматриваются в качестве прогноза при прямом математическом моделировании, сравниваясь в том или ином смысле с данными натурного эксперимента. При обратном математическом моделировании производится оценивание характеристик

объекта по известным экспериментальным данным. Прямое и отчасти обратное моделирование наиболее отчетливо проявились на примере построения моделей термогеометрической динамики кристалла (глава III) и турбулентности (глава IV), где, в частности, удалось добиться неплохого согласия с экспериментальными данными. На этапе как прямого, так и обратного математического моделирования разработаны различного рода численные методы, алгоритмы и программы.

Выведены и численно изучены системы уравнений в частных производных для описания элементов морфогенеза (глава I). Для численных расчетов использовались полностью неявные конечноразностные схемы в совокупности с методом простой итерации. Была обеспечена аппроксимация исходных нелинейных уравнений в частных производных и устойчивость соответствующих разностных схем. Наличие свойства регенерации в одномерной задаче было обосновано полуаналитическим способом (методом усреднения) и путем прямых численных расчетов.

На базе законов Кирхгофа выведена система нелинейных обыкновенных дифференциальных уравнений для описания динамики токов в коллекторе (глава II). Специальное включение диода в электротехническую схему коллектора позволило осуществить численное решение искомой системы обыкновенных дифференциальных уравнений.

В модели термогеометрической динамики конечного кристаллического образца (глава III) вычислительная задача свелась к поиску локального минимума функции потенциальной энергии с некоторыми добавками в зависимости от параметра температуры. Был разработан специальный алгоритм поиска локальных минимумов, основанный на полностью неявных схемах расчетов с итерациями, автоматической регулировкой шага интегрирования на каждом временном слое, последующей проверкой малости нормы градиента и положительности всех собственных значений якобиана правой части системы дифференциальных уравнений.

В модели турбулентного движения (глава IV) жидкость представлялась в виде ансамбля разномасштабных дискретных жидких объектов. Для описания ансамбля выведено кинетическое уравнение, подобное уравнению Боль-цмана. Кинетическое уравнение решено с помощью методов Чепмена-Энскога и Грэда. Получена замкнутая система уравнений в частных производных для описания как ламинарных, так и турбулентных течений. В части решения системы уравнений, описывающей движение турбулентной жидкости в трубе, уравнение масштабов турбулентности оказалось некорректным. Математической формой некорректности оказался член антидиффузионного типа. Некорректность была преодолена путем разделения переменных в функции масштабов с последующим интегрированием по пространству. Для численного поиска стационарных решений полученной интегро-дифференциальной системы уравнений в частных производных был разработан вычислительный алгоритм, основанный на использовании полностью не-

явных схем расчета с итерациями и автоматической регулировкой шага интегрирования на каждом временном слое.

Алгоритмы и комплексы программ применительно к каждой из четырех первых глав диссертации получили следующие наименования: MORPHOGENESIS*, COLLECTOR, CRYSTAL и TURBULENCE [241].

Научная новизна. При разработке и обосновании нового подхода к методу математического моделирования становится актуальной априорная формулировка следующего перечня общих целей моделирования. При построении модели должны быть обеспечены такие позиции, как конструктивность модели, прогнозирование в рамках прямого и оценивание в рамках обратного моделирования. Кроме того необходимо иметь в виду проблему предметной мультимодельности, которая может быть решена в рамках разработки некоторого комплекса моделей или иначе некоторой метамодели. Комплекс моделей позволил бы взглянуть на имеющуюся предметную множественность моделей с единой позиции. Любая вновь производимая модель, или набор уже имеющихся моделей должны быть переосмыслены с точки зрения комплекса моделей, если таковой имеется. Если же комплекс моделей отсутствует, что, как правило, и имеет место, то его необходимо в том или ином смысле построить, сформулировать. Именно под этим углом зрения должны строиться отдельные математические модели в конкретных предметных областях.

В четырех первых главах диссертации построены математические модели из разных предметных областей. Все четыре модели выступают в качестве иллюстрации развиваемого подхода к методу математического моделирования. Это выражается в том, что каждая из моделей должна быть адекватна перечисленному выше перечню общих целей, а также ряду специфических целей, характерных для конкретной предметной области.

В главе I рассматриваемый подход к методу математического моделирования был применен к задаче описания динамики биологической формы или к проблеме морфогенеза. В данной предметной области, несмотря на огромный модельный полиморфизм, комплекс моделей обнаружить и построить не удалось. Были сформулированы следующие цели моделирования: описать динамику отдельной ткани в рамках подхода "растущий континуум" и смоделировать регенерацию ткани. Для реализации данного перечня целей была предложена и изучена новая математическая модель формообразования (морфогенеза). Уравнения модели радикально отличается от дискретных моделей на основе конечных автоматов [20 — 22] или порождающих грамматик [25, 26]. В отличие от моделей, использующих уравнения в частных производных [32, 33, 36, 37, 39], данная модель учитывает наличие границы растущей ткани и ставит задачу обеспечения свойства регенерации. Впервые ис-

* Программный комплекс MORPHOGENESIS, а также три других программных комплекса COLLECTOR, CRYSTAL и TURBULENCE зарегистрированы в Хрониках Объединенного Фонда Электронных Ресурсов "Наука и Образование" (http://ofernio.ru), №02(33) февраль 2012, с. 10 — 11.

следовано уравнение в частных производных в тензорной форме, описывающее рост трехмерной ткани с границей. Граница при этом может быть как угодно сложно устроенной и меняться со временем. Впервые изучены уравнения, описывающие баланс некоторого вещества в пределах растущей ткани. Разработан новый алгоритм численного решения данных уравнений в одномерном случае. Построен комплекс программ MORPHOGENESIS, описывающий рост одномерной, регенерирующей ткани.

В главе II построена математическая модель коллектора электромагнитной энергии, который представляется в виде композиции множества рек-тенн и предназначен для преобразования различного рода шумов и электромагнитного "смога" в электрическую энергию. Данная предметная область имеет немалый модельный полиморфизм. Попытки описания ректенны, т.е. диода в совокупности с антенной, как приемника электромагнитного поля предпринимались еще с середины прошлого века [59 — 61]. Только в последнее время в связи с успехами микроэлектроники и нанотехнологий цели данного проекта приобрели отчетливое содержание [65]. В итоге была построена и изучена новая математическая модель коллектора. Вычислительная сложность данной задачи связана со специальным включением в цепь колебательного контура ректенны нелинейного устройства — диода и последующей композиции ректенн в решетку. Для решения уравнений модели был разработан новый алгоритм и комплекс программ COLLECTOR, который позволил провести вычислительный эксперимент и дать оценку КПД проектируемого устройства.

В главе III построена и изучена математическая модель термогеометрической динамики конечного кристаллического образца. Данная предметная область обладает заметным модельным многообразием. Среди явных конкурентов выступают модели, основанные на идеях симметрии расположения атомов в кристалле [111 — 113]. После анализа имеющихся моделей была поставлена следующая цель: построить математическую модель термической реконструкции конечного кристалла без использования свойств симметрии, но с учетом геометрии дальнего порядка и, кроме того, смоделировать отношение термостата с конечным кристаллом. В результате уравнения молекулярной динамики впервые преобразованы к форме описания ансамбля атомов образца в конфигурационном пространстве в зависимости от параметра температуры. Сформулирован алгоритм построения всей цепочки многочастичных вкладов в потенциал, представленный в виде разложения Борна-Оппенгеймера, по априорно заданной геометрии кристаллической решетки. Разработаны новые численные алгоритмы и программный комплекс CRYSTAL для расчета термической реконструкции поверхности ряда металлов. Сравнение выводов вычислительного и натурного экспериментов по термической реконструкции поверхности платины и вольфрама оказалось удовлетворительным.

В главе IV построена математическая модель турбулентности. Для описания феномена турбулентности характерен огромный модельный полиморфизм [140— 145,147 — 172]. Множественность моделей турбулентности истолкована с точки зрения множественного толкования дискретного жидкого объекта турбулентной жидкости. Данное толкование выступает в качестве комплекса моделей. Разработана новая многомасштабная математическая модель турбулентного движения сплошной среды, т.е. модель в которой описываются дискретные жидкие объекты различных масштабов. Этапы построения многомасштабной модели включали следующие шаги. Был выведен из уравнений невязкой несжимаемой жидкости и впервые изучен бинарный потенциал, описывающий взаимодействие пары помеченных точек турбулизо-ванной жидкости. Для данного потенциала в рамках решения задачи двух тел обнаружена особенность ветвящегося типа. На базе данного потенциала построен ансамбль разномасштабных дискретных частиц сплошной турбулентной среды. Для описания ансамбля дискретных частиц выведено кинетическое уравнение по типу уравнения Больцмана. Получена новая система многомасштабных уравнений гидродинамического типа, пригодная, как для описания ламинарных, так и турбулентных течений. В части масштабов полученная система уравнений оказалась некорректной, что потребовало использование соответствующего подхода по решению некорректно поставленных задач. Из исходной системы уравнений получена новая нелинейная многомасштабная система уравнений для описания движения турбулизованной жидкости в трубе. Разработан новый численный алгоритм решения данной системы интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, построен комплекс программ TURBULENCE. Сравнение результатов численных расчетов движения турбулентной жидкости в трубе с экспериментальными данными оказалось удовлетворительным.

Комплексы программ MORPHOGENESIS, COLLECTOR, CRYSTAL и TURBULENCE, построенные применительно к каждой из первых четырех глав диссертации, находятся в приложенном к диссертации CD-диске в папке "Программное приложение". Все коды программ написаны в среде MATLAB.

Разработка и обоснование нового подхода к методу математического моделирования в части проблемы мультимодельности нашло свое выражение в формулировке оригинальных определений математического моделирования и математической модели фрагмента предметной области, а также адекватности модели цели исследования в части прямого и обратного моделирования, которые вынесены в главу V диссертации.

Практическая ценность развиваемого подхода к методу математического моделирования выражается в его универсальности, применимости к самым разнообразным предметным областям. Примеры использования предложенного подхода к методу математического моделирования апробированы

на ряде предметных областей из математической биологии, энергетики, кристаллографии и турбулентности.

Результаты построения математической модели морфогенеза в главе I представляют интерес для биологии развития в части задачи пространственно-временного описания индивидуального развития или онтогенеза. Для описания элемента формы выведены уравнения в частных производных с подвижной границей. Практическую ценность представляют собой разностные схемы и комплекс программ MORPHOGENESIS по решению одномерных уравнений в частных производных. Результаты решения одномерных уравнений модели доказали наличие свойства регенерации отдельного элемента формы.

Результаты математического моделирования электромагнитного коллектора в главе II имеют непосредственную практическую ценность для энергетики, поскольку направлены на разработку устройства, которое, согласно замыслу, позволит преобразовать энергию, которую можно отнести к категории шума или электромагнитного "смога", в электрическую энергию. Предложенная математическая модель коллектора, а также программный комплекс COLLECTOR позволили сформулировать и подсчитать КПД устройства. Возможность априорного подсчета КПД устройства позволяет оптимизировать конструкцию коллектора в части подбора наиболее подходящей топологии ансамбля ректенн в коллекторе.

Результаты математического моделирования термогеометрической динамики конечного кристаллического образца в главе III имеют практическую ценность в задачах химического катализа при изучении термической реконструкции поверхности металлов, термических конформационных и фазовых переходов. Практическую ценность представляет также комплекс программ CRYSTAL, позволивший получить результаты моделирования реконструкции поверхности платины и вольфрама, при этом сравнение вычислительного и натурного экспериментов оказалось удовлетворительным.

Результаты построения многомасштабной математической модели турбулентного движения жидкости в главе IV представляют практическую ценность в двух аспектах. Во-первых, удалось осмыслить множественность уже имеющихся моделей турбулентности с помощью комплекса моделей, который связывается с многообразием интерпретаций дискретного жидкого объекта турбулентной жидкости. Во-вторых, выведены уравнения в частных производных для описания как турбулентных, так и ламинарных течений. Практическую ценность представляет собой комплекс программ TURBULENCE для численного решения нелинейных интегро-дифференциальных уравнений в частных производных, описывающих движение жидкости в трубе. Сравнение результатов вычислительного и натурного экспериментов по движению жидкости в трубе оказалось удовлетворительным.

Апробация работы. Результаты диссертации опубликованы в 27 печатных работах [3 — 5, 54, 55, 69, 70, 106 — 110, 178 — 185, 191 —

195,240,241], включая один обзор [108], две монографии [3, 110] и курс лекций для студентов старших курсов [240].

По теме диссертации были сделаны доклады: в МГУ им. М.В. Ломоносова (семинар Ю.М. Романовского, 1978); на годовой конференции ВЦ АН СССР в г. Пущино, 1978; в Институте биологии развития им. Н.К. Кольцова (семинар А.И. Зотина, 1980); на VII Всесоюзной школе по математическому моделированию сложных биологических систем, 1980; на ряде семинаров в Гидрометцентре СССР в течение 1980 — 1989 гг.; на Всесоюзной школе по теоретической физике (Калининград, 1989); на кафедре "Вычислительных методов" и в лаборатории математического моделирования в физике ф-та ВМ и К МГУ, 1989 — 2001 гг.; в Институте прикладной математики им. М.В. Келдыша РАН (семинар Г.Г. Малинецкого, 1996, 1997); на семинаре "Синергетика" (под руководством О.П.Иванова, МГУ, 2001, 2003); на семинаре "Синергетика" (под руководством Ю.Л. Климонтовича, физ. ф-т МГУ, 2001); на семинарах кафедры "Компьютерных методов физики" физического факультета МГУ, 2002; на научной конференции "Ломоносовские чтения" (сер. физики, МГУ, апрель 2003). На международной конференции "Mathematical Modeling and Computational Physics 2011", Stara Lesna, High Tatra Mountains, Slovakia (July 4-8, 2011). С 2002 г. и по 2012 г. на физфаке МГУ читается спецкурс "Метод и искусство математического моделирования".

Прежде чем перейти к изложению содержания диссертации, кратко изложим основные положения нового подхода к методу математического моделирования.

Пусть моделированию подвергается некоторая предметная область. Продвинутая стадия моделирования данной предметной области, как правило, характеризуется множеством частных моделей фрагментов, частей предметной области. Под фрагментом в общем случае можно понимать предметную область в целом. В этом случае можно говорить об альтернативных способах описания предметной области. Модели фрагментов предметной области, несмотря на известную автономию друг от друга, связаны совместным контекстом данной предметной области. Связь моделей фрагментов предметной области вызывает особый интерес и характеризуется специальным термином комплекс моделей. Комплекс моделей, если его удается обнаружить и сформулировать, позволяет построить естественную для данной предметной области классификацию моделей частей предметной области или, иначе, взглянуть на эту множественность с единой позиции.

В этой связи можно сформулировать следующую целевую установку моделирования. Любая вновь производимая модель, или набор уже имеющихся моделей должны быть переосмыслены с точки зрения комплекса моделей, если таковой имеется. Если же комплекс моделей отсутствует, то его необходимо в том или ином смысле построить, сформулировать.

Перечислим базовые цели метода математического моделирования в части отдельных математических моделей. К ним можно отнести следующие:

1) уравнения модели должны быть конструктивными, т.е. допускать вычислительный эксперимент, что, в свою очередь, обеспечивает проведение процедур прямого и обратного моделирования;

2) математическая модель в целом должна быть вложена в некоторый комплекс моделей, если таковой имеется, либо способствовать созданию такого комплекса моделей.

Имея в виду базовые цели метода математического моделирования, представленные в нумерованном списке, можно говорить об адекватности математических моделей данным целям.

В первых четырех главах диссертации приводятся оригинальные математические модели из разных предметных областей. Данные модели выступают не только в качестве иллюстрации к основным положениям нового подхода к методу математического моделирования, но и представляют самостоятельный интерес.

В главе V диссертации формулируется определение математического моделирования и математической модели с точки зрения второй базовой цели, а критерий адекватности — с точки зрения первой базовой цели нумерованного списка.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Плохотников, Константин Эдуардович

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

Разработан и обоснован новый подход к методу математического моделирования, в рамках которого согласованы традиционные цели математического моделирования в части конструктивности уравнений модели, прогнозирования и оценивания объекта исследования с проблемой предметной множественности моделей и анализом адекватности моделей целям исследования. Возможности нового подхода к методу математического моделирования проиллюстрированы на примере построения четырех моделей в четырех разных предметных областях.

После анализа имеющегося модельного полиморфизма в морфогенезе (глава I) выработан перечень целей моделирования: описать отдельную элементарную ткань в рамках подхода типа "растущий континуум" так, чтобы моделируемая ткань обладала свойством регенерации. В итоге была предложена и изучена математическая модель морфогенеза, описывающая рост регенерирующей ткани. Разработаны численные алгоритмы и комплекс программ MORPHOGENESIS по решению уравнений описывающих рост одномерной регенерирующей ткани.

В предметной области, посвященной разработке электромагнитного коллектора (глава II), цели моделирования определились в последнее время. Для реализации поставленных целей предложена и изучена математическая модель коллектора некогерентной распределенной в пространстве электромагнитной энергии, состоящего из множества ректенн. Получены и исследованы уравнения, сформулирован и изучен численный алгоритм решения этих уравнений, разработан комплекс программ COLLECTOR по численному решению множества взаимосвязанных ректенн. Искомое свойство выпрямления тока ректенной решеткой доказано, модель в части множества возможных способов композиции ректенн и ряда параметров верифицирована. Приведены результаты вычислительного эксперимента и оценки КПД проектируемого коллектора.

Анализ имеющихся моделей динамики и термодинамики конечного кристаллического образца (глава III) позволил разработать перечень целей моделирования, которые были достигнуты в предложенной и изученной математической модели термогеометрической динамики конечного кристаллического образца. Сформулирован алгоритм построения многочастичных вкладов в потенциал в форме разложения Борна-Оппенгеймера по известной геометрии кристаллической решетки. Получены уравнения, разработаны численные алгоритмы и построен комплекс программ CRYSTAL для их решения, что позволило объяснить эффект термической реконструкции поверхности платины и вольфрама.

В предметной области, посвященной турбулентности (глава IV), определен комплекс моделей, сформулированный с точки зрения множественной интерпретации дискретного жидкого объекта турбулентной жидкости. На ба— 151 — зе комплекса моделей турбулентности предложена и изучена многомасштабная модель турбулентности, в которой выведен и впервые изучен бинарный потенциал, описывающий взаимодействие пары фиксированных точек тур-булизованной сплошной среды. Обнаружена особенность ветвящегося типа данного потенциала. Ансамбль дискретных объектов описан с помощью уравнения Больцмана, из которого получены уравнения гидродинамического типа, описывающие многомасштабное движение турбулентной жидкости. Выведены нелинейные многомасштабные уравнения для описания движения турбулентной жидкости в трубе. Для решения уравнений, описывающих движение турбулентной жидкости в трубе, разработан вычислительный алгоритм и комплекс программ TURBULENCE, позволивший осуществить сравнение данных вычислительного и натурного экспериментов. Сравнение данных модели вычислительного эксперимента на примере движения жидкости в трубе с экспериментальными данными оказалось удовлетворительным. Параметры модели турбулентного движения жидкости удовлетворительно верифицированы на примере построения и численного решения уравнений, описывающих движение турбулизованной жидкости в трубе.

В главе V диссертации, после проведенной исторической ретроспективы, сформулированы новые определения: математического моделирования, математической модели, а также критерия адекватности математической модели цели исследования. Данные определения приведены в рамках решения проблемы мультимодельности, характерной для современного этапа развития метода математического моделирования.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ

1. Разработан и обоснован новый подход к методу математического моделирования, в рамках которого согласованы традиционные цели математического моделирования в части конструктивности уравнений модели, прогнозирования и оценивания объекта исследования с проблемой предметной множественности моделей и анализом адекватности моделей целям исследования. Возможности нового подхода к методу математического моделирования проиллюстрированы на примере построения четырех моделей в четырех разных предметных областях.

2. После анализа имеющегося модельного полиморфизма в морфогенезе выработан перечень целей моделирования: описать отдельную элементарную ткань в рамках подхода типа "растущий континуум" так, чтобы моделируемая ткань обладала свойством регенерации. В итоге была предложена и изучена математическая модель морфогенеза, описывающая рост регенерирующей ткани. Разработаны численные алгоритмы и комплекс программ MORPHOGENESIS по решению уравнений, описывающих рост одномерной регенерирующей ткани.

3. В предметной области, посвященной разработке электромагнитного коллектора, цели моделирования определились в последнее время. Для реализации поставленных целей предложена и изучена математическая модель коллектора некогерентной распределенной в пространстве электромагнитной энергии, состоящего из множества ректенн. Получены и исследованы уравнения, сформулирован и изучен численный алгоритм решения этих уравнений, разработан комплекс программ COLLECTOR по численному решению множества взаимосвязанных ректенн. Искомое свойство выпрямления тока ректенной решеткой доказано, модель в части множества возможных способов композиции ректенн и ряда параметров верифицирована. Приведены результаты вычислительного эксперимента и оценки КПД проектируемого коллектора.

4. Анализ имеющихся моделей динамики и термодинамики конечного кристаллического образца позволил разработать перечень целей моделирования, которые были достигнуты в предложенной и изученной математической модели термогеометрической динамики конечного кристаллического образца. Сформулирован алгоритм построения многочастичных вкладов в потенциал в форме разложения Борна-Оппенгеймера по известной геометрии кристаллической решетки. Получены уравнения, разработаны численные алгоритмы и построен комплекс программ CRYSTAL для их решения, что позволило объяснить эффект термической реконструкции поверхности платины и вольфрама.

5. В предметной области, посвященной турбулентности, определен комплекс моделей, сформулированный с точки зрения множественной интерпретации дискретного жидкого объекта турбулентной жидкости. На базе комплекса моделей турбулентности предложена и изучена многомасштабная модель турбулентности, в которой выведен и впервые изучен бинарный потенциал, описывающий взаимодействие пары фиксированных точек турбули-зованной сплошной среды. Обнаружена особенность ветвящегося типа данного потенциала. Ансамбль дискретных объектов описан с помощью уравнения Больцмана, из которого получены уравнения гидродинамического типа, описывающие многомасштабное движение турбулентной жидкости. Выведены нелинейные многомасштабные уравнения для описания движения турбулентной жидкости в трубе. Для решения уравнений, описывающих движение турбулентной жидкости в трубе, разработан вычислительный алгоритм и комплекс программ TURBULENCE, позволивший осуществить сравнение данных вычислительного и натурного экспериментов. Сравнение данных модели вычислительного эксперимента на примере движения жидкости в трубе с экспериментальными данными оказалось удовлетворительным. Параметры модели турбулентного движения жидкости удовлетворительно верифицированы на примере построения и численного решения уравнений, описывающих движение турбулизованной жидкости в трубе.

РЕЗУЛЬТАТЫ ДИССЕРТАЦИИ К.Э. ПЛОХОТНИКОВА ОПУБЛИКОВАНЫ В СЛЕДУЮЩИХ ИЗДАНИЯХ*

1. ПлохотниковК.Э. (монография) Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. — М.: Эдиториал УРСС, 2003. 282с.

2. Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования: курс лекций. — М.: Флинта, 2012. — ISBN 978-5-9765-1541-3.

3. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция физики. 18-25 апреля 2003 г. Сборник расширенных тезисов докладов. — М.: Физический факультет МГУ, 2003. С.27 — 29.

4. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: методология и практика// Интеллектуальные системы. 2009. Т.13. Вып.1-4. С.5-32.

5. Плохотников К.Э. Модель роста одномерной ткани// Биофизика. 1982. Т.27. Вып.4. С.689 — 693.

6. Плохотников К.Э. Морфогенез клеточных пластов/ Математическая биология развития. — М.: Наука, 1982. С. 155 — 159.

7. Плохотников К.Э. Коллектор некогерентной распределенной в пространстве электромагнитной энергии// Математическое моделирование. 2009. Т.21, №12. С.35-46.

8. Plokhotnikov К.Е. Collector of Noncoherent Electromagnetic Energy Distributed in Space// Mathematical Models and Computer Simulations. 2010. Vol.2, No.4. P.504-513.

9. Плохотников К.Э. Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре (энергетико-геометрический аспект)?// ДАН СССР. 1991. Т.320, №4. С.877 — 881.

10. Плохотников К.Э. Термогеометрическая динамика конечного кристаллического образца// ДАН. 1992. Т.326, №6. С.994 — 998.

11. Плохотников К.Э. (обзор) Термогеометрическая динамика конечного кристаллического образца// Математическое моделирование. 1993. Т.5, №3. С.З — 31.

12. Plokhotnikov К.Е. Mathematical Modeling of Thermal Restructuring of the Platinum Surface// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011, №3, с.69-75.

13. Плохотников К.Э. (монография) Математическое моделирование. Экзистенциальный аспект. — М.: Изд-во МГУ, 1993. 224с.

14. Плохотников К.Э. К вопросу о моделировании турбулентного движения. — Препринт ИПМ АН СССР, №7. — М., 1980. 26с.

15. Плохотников К.Э. Модель турбулентности, изотропной и однородной по моменту импульса квазипары. — Препринт ИПМ АН СССР, №8. — М., 1980. 29с. Полужирным шрифтом выделены публикации автора диссертации в рецензируемых изданиях из списка ВАК

16. ПлохотниковК.Э. Многомасштабная модель турбулентности. — Препринт ИПМ АН СССР, №64. — М., 1980. 27с.

17. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.248. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982. С.52 —66.

18. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.273. — JI.: Гидрометеоиздат, 1986. С.15—48.

19. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. С.270 — 284.

20. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// ДАН СССР. 1988. Т.301, №4. С.805 — 809.

21. Plokhotnikov К.Е. Numerical Description of the Fluid Pipe Motion with Mul-tiscale Turbulence Model// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011. №4. С.107-112.

22. Плохотников К.Э. Общая циркуляция атмосферы: синтез дискретного подхода и лагранжевого способа описания сплошной среды// Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. 1985. Т.21, №10. С.1110 — 1111.

23. Плохотников К.Э. Математическая модель, объединяющая дискретные представления и лагранжев способ в описании сплошной среды// ДАН СССР. 1987. Т.294, №1. С.75 — 79.

24. Плохотников К.Э. Общая циркуляция атмосферы: синтез дискретного подхода и лагранжевого способа описания сплошной среды. Деп. в ВИНИТИ 3.06.1985, №3827-85. 31с.

25. Плохотников К.Э. Исследование движения атмосферы в терминах ансамбля воздушных масс// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.273. — JL: Гидрометеоиздат, 1986. С.49 —79.

26. Плохотников К.Э. Общая циркуляция атмосферы: синтез дискретного подхода и лагранжевого способа описания сплошной среды// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.286. — Л.: Гидрометеоиздат, 1987. С.64 — 84.

27. Плохотников К.Э. Программный комплекс MORPHOGENESIS для моделирования элементов морфогенеза; Программный комплекс COLLECTOR для математического моделирования коллектора электромагнитной энергии; Программный комплекс CRYSTAL, позволяющий моделировать термическую реконструкцию поверхности ряда металлов; Программный комплекс TURBULENCE для моделирования движения турбулентной жидкости в трубе с помощью многомасштабной модели турбулентности// Хроники Объединенного Фонда Электронных Ресурсов "Наука и Образование", №02(33) февраль 2012, с.Ю— 11.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Плохотников, Константин Эдуардович, 2013 год

ЛИТЕРАТУРА

1. Самарский A.A. Проблемы использования вычислительной техники и развитие информатики// Вестн. АН СССР. 1985. №3. С.57 — 69.

2. Пытьев Ю.П. Методы математического моделирования измерительно-вычислительных систем. —М.: ФИЗМАТ ЛИТ, 2004. 400с.

3. Плохотников К.Э. (монография) Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. — М.: Эдиториал УРСС, 2003. 282с.

4. Плохотников К. Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент. Методология и практика. Научная конференция "Ломоносовские чтения". Секция физики. 18-25 апреля 2003 г. Сборник расширенных тезисов докладов. — М.: Физический факультет МГУ, 2003. С.27 — 29.

5. Плохотников К.Э. Математическое моделирование и вычислительный эксперимент: методология и практика// Интеллектуальные системы. 2009. Т.13. Вып.1-4. С.5-32.

6. Гурвич А.Г. Понятие "целого" в свете теории клеточного поля/ Сб. работ по митоге-незу и теории биологического поля. — М.: Изд-во Акад. мед. наук СССР, 1947. С.141 — 147.

7. Гурвич А.Г. Избр. труды. — М.: Медицина, 1977. 351с.

8. Петухов C.B. Биомеханика, бионика и симметрия. — М.: Наука, 1981. 239с.

9. Синнот Э. Морфогенез растений. — М.: ИЛ., 1963. 603с.

10. Теоретические и математические аспекты морфогенеза/ Под ред. Е.В.Преснова и др. — М.: Наука, 1987. 296с.

11. Уоддингтон К. Морфогенез и генетика. — М.: Мир, 1964. 260с.

12. Чайлд Ч.М. Роль организаторов в процессах развития. — М.: ИЛ, 1948. 146с.

13. Thompson D'Arcy W. On growth and form. — Cambridge Univ. Press., 1961. 345p.

14. Anmep M. Кибернетика и развитие. — M.: Мир, 1970. 216c.

15. Белинцев Б.H. Диссипативные структуры и проблемы биологического формообразования// УФН. 1983. Т. 141. Вып. 1. С.55 — 101.

16. Вольперт Л. Проблема трехцветного флага — к вопросу о развитии и регуляции пространственной структуры// На пути к теоретической биологии. — М.: Мир, 1970. С.120 — 128.

17. Вольперт Л. Морфогенез в процессе развития// Молекулы и клетки. Вып.7. — М.: Мир, 1982. С.115 —133.

18. Мартынов Л.А. О числе мутовок и лучей зонтика ацетобулярий// Онтогенез. 1976. Т.7, №2. С. 178 — 188.

19. Мелихов A.B., Регирер С.А., Штейн А.Д. Механические напряжения как фактор морфогенеза//ДАН СССР. 1983. Т.271, №6. С.1341 — 1344.

20. Нейман фонДж. Теория самовоспроизводящихся автоматов. — М.: Мир, 1971. 382с.

21. Сендов Б.Х. Математические модели процессов деления и дифференцировки клеток. — М.: Изд-во МГУ, 1976. 58с.

22. Цетлин М.Л. Исследования по теории автоматов и моделированию биологических систем. — М.: Наука, 1969. 316с.

23. Чернавский Д. С. Математические модели морфогенеза// Рост растений и дифферен-цировка, —М.: Наука, 1981. С. 163 — 176.

24. Gierer А., Meinhardt H. A theory of biological pattern formation// Kybernetic. 1972. Bd.12, Н.1. S.30 —39.

25. Lindenmayer A. Mathematical models for cellular interactions in development. I. Filaments with one-sided inputs// J. Theor. Biol. 1968. Vol.18, №3. P.280 — 299.

26.

27.

28.

29.

30.

31.

32.

33.

34.

35.

36,

37.

38

39

40

41

42

43

44

45

46

47

48

Lindenmayer A. Mathematical models for cellular interactions in development. II. Simple and branching filaments with two-sided inputs// J. Theor. Biol. 1968. V.18, №3. P.300 — 315.

Mar tines H.M. Morphogenesis and chemical dissipative structures: A computer simulated case study// J. Theor. Biol. 1972. Vol.36, №3. P.479 — 501.

Meinhardt H., Gierer A. Applications of a theory of biological pattern formation based on lateral inhibition// J. Cell. Sci. 1974. Vol.15, №2. P.321 — 346.

Rashevsky N. Some remarks on topological biology// Bull. Math. Biophys. 1955. Vol.17, №3. P.207 —218.

Thorn R. Topological models in biology// Topology. 1969. Vol.8, №3. P.313 — 335. Thorn R. Topological models in biology// Towards the theoretical biology. Ed. by C.H.Waddington. Edinburgh Univ. Press, 1970. Vol.3. P.89 — 116. Turing A. The chemical basis of morphogenesis// Phyl. Trans. Roy. Soc. London. 1952. Vol.237, ser.B. P.37 — 72.

Wolpert L. Positional information and the special pattern of cellular differentiation// J. Theor. Biol. 1969. Vol.25, №1. P.l — 47.

Wolpert L., HicklinJ., HornbruchA. Positional information and pattern regulation in regeneration of hydra// Control mechanisms of growth and differentiation. Symp. Soc. Exp. Biol. Cambridge Univ. Press, 1971. №25. P.391 — 414.

Wolpert L. The concept of positional information and pattern formation/ Towards a theoretical biology. Ed. by C.H.Waddington. — Edinburgh Univ. Press, 1972. Vol.4. P.83 — 94.

Романовский Ю.М., Степанова H.В., Чернавский Д.С. Математическая биофизика. — М.: Наука, 1984. 304с.

Регирер С.А., Штейн А.А. Механические аспекты процессов роста, развития и перестройки биологических тканей// Итоги науки и техники. Сер. Комплексные и специальные разделы механики. Т.1. — М.: ВИНИТИ, 1985. С.З — 142. Смолянинов В.В. Математические модели биологических тканей. — М.: Наука, 1980. 367с.

Васильев В.А., Романовский Ю.М., Яхно В.Г. Автоволновые процессы. -—М.: Наука, 1987. 300с.

Канаев И.И. Гидра. — М. — Л.: Изд-во АН СССР, 1952. 372с.

Mintz В. Clonal basis of mammalian differentiation/ Control mechanisms of growth and differentiation. Symp. Soc. Exp. Biol. Cambridge Univ. Press, 1971. №25. P.345 — 370. Лиознер Л.Д. Регенерация и развитие. — М.: Наука, 1982. 167с.

Саламатина М.В. Межклеточные взаимодействия о регуляции размножения клеток и ядерно-цитоплазматическое отношение как место приложения этих взаимодействий// Межклеточные взаимодействия в дифференцировке и росте. — М.: Наука, 1970. С.202 —211.

Туманишвили Г.Д. Некоторые вопросы регуляции роста живых тканей. — Тбилиси: Мецниереба, 1965. 194с.

Туманишвили Г Д. Перспективы исследования роли межклеточных взаимодействий в дифференцировке и росте// Межклеточные взаимодействия в дифференцировке и росте. — М.: Наука, 1970. С.7 — 23.

Bullough W.S., Rytomaa Т. Mitotic homeostasis//Nature. 1965. Vol.205, №4971. P.573 — 578.

Bullogh W.S., Laurence E.B. Epigenetic mitotic control// Control of cellular growth in adult organisms. Eds. by H.Tier, T.Rytomaa. L.: Acad. Press. 1967. P.28 — 40. Chopra D.P., Simnett J. D. Demonstration of an organ specific mitotic inhibitor in amphibian kidney// Exptl. Cell. Res. 1969. Vol.58, №2-3. P.319 — 322.

49.

50.

51.

52.

53.

54.

55.

56.

57.

58.

59.

60

61

62

63

64

65

66

67

68

69

70

71

Moorhead J.F., Paraskova - Tehernozenska E., Pirrie A.J. , et al. Limphoid inhibitor of human lymphocyte DNA synthesis and mitosis in vitro// Nature. 1969. Vol.224, №5225. P.1207 — 1208.

TierH., LahtiharjuA. Effect of necrotic liver tissue on regeneration in hepatectomized rats// Exptl. Cell. Res. 1961. Vol.24, №3. P.424 — 428.

Kavanau J.L. A model of growth and growth control in mathematical terms. II. Compensatory organ growth in the adult// Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 1960. Vol.46, №12. P. 1658 — 1673.

Kavanau J.L. Predictions of the growth model for normal chicken growth// Science. 1961. Vol.134, №3490. P.1627 — 1628.

Weiss P., Kavanau J.L. A model of growth and growth control in mathematical terms// J. Gen. Physiol. 1957. Vol.41, №1. P.l — 47.

Плохотникое К.Э. Модель роста одномерной тканн// Биофизика. 1982. Т.27. Вып.4. С.689 — 693.

Плохотникое К.Э. Морфогенез клеточных пластов/ Математическая биология развития. — М.: Наука, 1982. С. 155 — 159.

Калиткин Н.Н. Численные методы. — М.: Гл. ред. физ.-мат лит., 1978. 512с. Самарский А.А., ГулинА.В. Численные методы: Учеб. Пособие для вузов. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат лит., 1989. 432с.

Плохотникое К.Э. Вычислительные методы. Теория и практика в среде MATLAB. Учебное пособие для вузов. — М.: Горячая линия — Телеком, 2009. 496с. Callen Н.В., Welton Т.A. Irreversibility and Generalized Noise// Phys. Rev. .1951. Vol.83, No.l.P.34 —40.

Callen H.B., Barasch M.I., Jackson J.I. Statistical Mechanism of Irreversibility// Phys. Rev. 1952. Vol.88, No.6. P.1382 — 1386.

Горелик P. С. Некоторые применения второго закона термодинамики к электрическим флуктуациям// Успехи физических наук. 1952. Т.44. Вып.1. С.33 — 45. Капица П.Л. Электроника больших мощностей// Успехи физических наук. 1962. Т. LXXVIII. Вып.2. С.181 — 265.

Банке В.А., Лопухин В.М., Саввин В.Л. Проблемы солнечных космических электростанций// Успехи физических наук. 1977. Т.123. Вып. 4. С.633 — 655. Левич В.Р. Курс теоретической физики. — М.: Наука, 1969. Т. 1. 910с. Yamagishi Hideaki, Нага Hitoshi, Kanbara Nobuhiko, et al. Antenna-coupled rectifying diode for IR detection// Proc. SPIE. 1996. Vol.2882. P. 102 — 110; (Abstract: http://adsabs.harvard.edu/abs/! 996SPIE.2882..102Y).

Berland B. Photovoltaic technologies beyond the horizon: Optical rectenna solar cell/ National Renewable Energy Laboratory. Final Report 1 August 2001 — 30 September 2002 (http://www.nrel.gov/docs/fy03osti/33263.pdf).

http://wood-pellet-ireland.blogspot.com/2008/09/solar-cell-breakthrough.html Бессонов Л.А. Теоретические основы электротехники. Электрические цепи: учебник. — М.: Гардарики, 2007. 701с.

Плохотникое К.Э. Коллектор некогерентной распределенной в пространстве электромагнитной энергии// Математическое моделирование. 2009. Т.21, №12. С.35 — 46.

Plokhotnikov К.Е. Collector of Noncoherent Electromagnetic Energy Distributed in Space// Mathematical Models and Computer Simulations. 2010. Vol.2, No.4. P.504 — 513.

Van Hove M.A., Koestner R.J., Stair P. C., et al. The surface reconstruction of the (100) crystal faces of Iridium, Platinum, and Gold// Surf. Sci. 1981. Vol.103, №1. P.218 — 238.

72.

73.

74.

75.

76.

77.

78.

79.

80.

81.

82.

83.

84,

85

86

87

88

89

90

91

92

93

Heinz К, Lang E., Strauss К, et al. Observation of the structural transition Pt(100) lxl

hex by LEED intensities// Appl. Surf. Sci. 1982. Vol.11/12. P.611 — 624.

Debe M.K., King D.A. Space-group determination of the low-temperature W(100)

(л/2 хл/2) R45° surface structure by low-energy-electron diffraction// Phys. Rev. Lett. 1977. Vol.39, №11. P.708 —711.

Campuzano J.C., InglesfieldJ.E., KingD.A., et al. Surface states on W(001)(lxl) and (л/2 x л/2) R45° phases: angle-resolved photoemission// J. Phys. C. 1981. Vol.14, №21. P.3099 —3113.

Moller K., Lang E., Hammer L., et al. Several examples for improvements in LEED intensity data collection/ Determination of surface structure by LEED (Eds. P.M.Marcus, F.Jona) — N.Y.: Plenum Press, 1984. P.483 — 491.

Tromp R.M., Hamers R.J., Demuth J.E. Si(001) dimmer structure observed with scanning tunneling microscopy// Phys. Rev. Lett. 1985. Vol.55, №12. P.1303 — 1306. Базаров И.П., Геворкян Э.В., Котенок В.В. Статистическая теория полиморфных превращений. — М.: Изд-во МГУ, 1978. 118с.

Брус А., Каули Р. Структурные фазовые переходы. — М.: Мир, 1984. 407с. ErpenbeckJ.J., Wood W.W. Molecular dynamics techniques for hard-core systems// Modern theoretical chemistry. —N.Y.: Plenum Press, 1977. Vol.6, pt.B. P.l —40. Hoover W.G., LaddA.J.C., Hoover V.N. Historical development and recent applications of molecular dynamics simulation/ Molecular-based study of fluids. — Washington, D.C. 1983. P.29 —46.

Hirschfelder J.O., MeathW.J. The nature of intermolecular forces// Adv. Chem. Phys. 1967. Vol.12. P.3 —106.

Lau K.H., YingS.C. Effect of H adsorption on the displacive transition of W(001) surface// Phys. Rev. Lett. 1980. Vol.44, №18. P.1222 — 1225.

Inaoka Т., Yoshimory A. Theory of the transition to the incommensurate reconstructed surface of W(001) induced by H-adsorption// Surf. Sci. 1982. Vol.115, №2. P.301 — 308. Зубкус B.E., Власова A.A., Торнау Э.Э. Теория перестройки поверхностей при хемо-сорбции// Литов. физ. сб. 1988. Т.28, №6. С.702 — 710.

Ercolessi F., Tosatti Е., Parrinelo М. Au(100) surface reconstruction// Phys. Rev. Lett. 1986. Vol.57, №6. P.719 — 722.

Ercolessi F., Parinello M., Tosatti E. Au(100) reconstruction in the glue model// Surf. Sci. 1986. Vol.177, №2. P.314 — 328.

Tossati E., Ercolessi F. Surface reconstruction on noble metals: models and consequences// Mod. Phys. Lett. B. 1991. Vol.5, №6. P.413 — 425.

Така і Т., Halicioglu Т., Tiller W.A. Prediction for the pressure and temperature phase transitions of silicon using a semiempirical potential// Scripta Metall. 1985. Vol.19, №6. P.709 —713.

Stilliger F., Weber T. Computer simulation of local order in condenced phases of silicon// Phys. Rev. B. 1985. Vol.31, №8. P.5262 — 5271.

Abraham F.F., Batral.P. A model potential study of the Si(001) 2x1 surface// Surf. Sci. 1985. Vol.163, №2/3. P.L752 — L758.

LampinenJ., Nieminen R.M., Kaski K. Molecular dynamics of the structure and melting transition of the Si(100) surface// Surf. Sci. 1988. Vol.200, №1. P.101 — 112. Roelofs L.D., Wendelken J.F. Nature of the surface-reconstruction phase transition and the high-temperature phase of clean W(001)// Phys. Rev. B. 1986. Vol.34, №5. P.3319 — 3336.

Fasolino A., Tosatti E. Reconstructed W(001) surface: distortion and phonons at T=0// Phys. Rev. B. 1987. Vol.35, №9. P.4264 — 4283.

94. Schneider Т., Stoll E. Molecular-dynamics investigation of structural phase transitions// Phys. Rev. Lett. 1973. Vol.31, №20. P.1254 — 1258.

95. Schneider Т., Stol E. Molecular-dynamics study of structural-phase transition. I. One-component displacement models// Phys. Rev. B. Vol.13, №3. P.1216 — 1237.

96. Parrinello M., Rahman A. Polimorphic transitions in single crystals: A new molecular dynamics method// J. Appl. Phys. 1981. Vol.52, №12. P.7182 — 7190.

97. Parrinello M., Rahman A., Vashishta P. Structural transitions in superionic conductors// Phys. Rev. Lett. 1983. Vol.50, №14. P. 1073 — 1076.

98. LutskoJ.F., WolfD., YipS., et al. Molecular-dynamics method for the simulation of bulk-solid interfaces at high temperature// Phys. Rev. B. 1988. Vol.38, №16-B. P.11572 — 11581.

99. Barker J.A. Many-body interactions in rare gases// Molec. Phys. 1986. Vol.57, №4. P.755 —760.

100. Axilrod B.M., Teller E. Interaction of the van der Waals type between three atoms// J. Chem. Phys. 1943. Vol.11, №6. P.299 — 300.

101. Bade W.L. Drude-model calculation of dispersion forces. I. General theory// J. Chem. Phys. 1957. Vol.27, №6. P. 1280 — 1284.

102. Bade W.L., Kirkwood J.G. Drude-model calculation of dispersion forces. II. The linear lattice// J. Chem. Phys. 1957. Vol.27, №6. P.1284 — 1288.

103. Kihara T. Intermolecular forces and equation of state of gases/ Advances in chemical physics. Vol.1. N.Y.: Interscience Publ., Inc., 1958. P.267 — 307.

104. Margenau H., Kestner N.R. Theory of intermollecular forces. — N.Y.: Pergamon Press, Inc., 1969. 400p.

105. HaileJ.M. Molecular dynamics simulations of simple fluids with three-body interactions included// Computer modeling of matter (Ed. by P.Lykos. Amer. Chem. Soc. Symp., Ser.86) — Washington, D.C. 1978. P.172 — 190.

106. Плохотников К.Э. Как возможен конечный кристалл при нулевой температуре (энергетико-геометрический аспект)?// ДАН СССР. 1991. Т.320, №4. С.877 — 881.

107. Плохотников К.Э. Термогеометрическая динамика конечного кристаллического образца// ДАН. 1992. Т.326, №6. С.994 — 998.

108. Плохотников К.Э. (обзор) Термогеометрическая динамика конечного кристаллического образца// Математическое моделирование. 1993. Т.5, №3. С.З — 31.

109. Plokhotnikov К.Е. Mathematical Modeling of Thermal Restructuring of the Platinum Surface// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011. №3. С.69 — 75.

110. Плохотников К.Э. (монография) Математическое моделирование. Экзистенциальный аспект. — М.: Изд-во МГУ, 1993. 224с.

111. Вайнштейн Б.К. Современная кристаллография. Т. 1. — М.: Наука, 1979. 384с.

112. Китайгородский А.И. Молекулярные кристаллы. —М.: Наука, 1971. 424с.

113. Зоркий П.М. Симметрия молекул и кристаллических структур. — М.: Изд-во МГУ, 1986.232с.

114. PertsinA.J., Kitaigorodsky A.I. The atom-atom potential method. Vol.43. — Springer, L., 1987. 397p.

115. Галиулин P.B. Об устойчивости минералов с голоэдрическими федоровскими группами//ДАН СССР. 1987. Т.293, №1. С.99 — 100.

116. Урусов B.C., Дубровинский JI.C. ЭВМ — моделирование структуры и свойств минералов. — М.: Изд-во МГУ, 1989. 200с.

117. Car R., Parrinello М. Unified approach for molecular dynamics and density-functional theory// Phys. Rev. Lett. 1985. Vol.55, №22. P.2471 — 2474.

118. Car R., Parrinello M. Unified approach for molecular dynamics and density-functional theory// Simple molecular systems at very high density. Eds. A.Polian, P.Lonbeyre, N.Boccara. —N.Y.: Plenum Press, 1989. P.455 — 476.

119. Rembler D.K., MadenP.A. Molecular dynamics without effective potentials via the Car-Parrinello approach// Molec. Phys. 1990. Vol.70, №6. P.921 — 966.

120. Weber T.A., Stillinger F.H. Inherent structures and distribution functions for liquids that freeze into bcc crystals// J. Chem. Phys. 1984. Vol.81, №11. P.5089 — 5094.

121. Stillinger F.H., La Violette A. Local order in quenched states of simple atomic substances// Phys. Rev. B. 1986. Vol.34, №8. Pt.l. P.5136 — 5144.

122. Andersen H.C. Molecular dynamics simulations at constant pressure and/or temperature// J. Chem. Phys. 1980. Vol.72, №4. P.2384 — 2393.

123. Nose'S. A molecular dynamics method for simulations in the canonical ensemble// Molec. Phys. 1984. Vol.52, №2. P.255 — 268.

124. Nose'S. Constant-temperature molecular dynamics// J. Phys.: Condens. Matter. 1990. Vol.2, suppl.A. P.SA115 — SA119.

125. Hoover W.G., LaddA.J.C., Moran B. High-strainrate plastic flow studied via nonequilibri-um molecular dynamics// Phys. Rev. Lett. 1982. Vol.48, №26. P.1818 — 1820.

126. Evans D.J., Morriss G.P. The isothermal/isobaric molecular dynamics ensemble// Phys. Lett. A. 1983. Vol.98, №8,9. P.433 — 436.

127. Evans D.J., Hoover W.G., Failor B.H., et al. Nonequilibrium molecular dynamics via Gauss's principle of least constraint// Phys. Rev. A. 1983. Vol.28, №2. P.1016 — 1021.

128. HaileJ.M., GuptaS. Extensions of the molecular dynamics simulation method. II. Isothermal system// J. Chem. Phys. 1983. Vol.79, №6. P.3067 — 3076.

129. Ertl G., Kuppers J. Low energy electrons and surface chemistry. — VCH, 1985. 374p.

130. Girifalco L.A., Weizer KG. Application of the Morse potential function to cubic metals// Phys. Rev. 1959. Vol.114, №3. P.687 — 690.

131. Jonson R.A. Relationship between two-body interatomic potentials in a lattice model and elastic constants// Phys. Rev. B. 1972. Vol.6, №6. P.2094 — 2100.

132. Gshneider K.A. (Jr.) Physical properties and interrelationships of metallic and semimetallic elements// Solid. Stat. Phys. 1964.Vol.16. P.275 — 426.

133. Handbook of chemistry and physics 1987 — 1988/ Ed. by R.C.Weast. 68th ed. — CRC Press, Inc.

134. Соколова И.А. Модели потенциалов межмолекулярного взаимодействия// Обзоры по теплофизическим свойствам вещества. №6(86). — М., 1990. 138с.

135. Альберг Дж., Нилъсон Э., УолшДж. Теория сплайнов и ее приложения. — М.: Мир, 1972. 316с.

136. Barker J.A., Henderson D., Smith W.R. Pair and triplet interactions in argonII Molec. Phys. 1969. Vol.17, №6. P.579 — 592.

137. Yonehar K., Schmidt L.D. A LEED study of structures produced by H on (100)W// Surf. Sci. 1971. Vol.25, №2. P.238 —260.

138. Felter Т.Е., Barker R.A., EstrupP.J. Phase transition on Mo(100) and W(100) surface// Phys. Rev. Lett. 1977. Vol.38, №20. P.l 138 — 1141.

139. Debe M.K., King D.A. The clean thermally induced W{001} (lxl) (42 x 42)R45° surface structure transition and its crystallography// Surf. Sci. 1979. Vol.81, №1. P.193 — 237.

140. Колмогоров A.H Локальная структура турбулентности в несжимаемой жидкости при очень больших числах Рейнольдса// ДАН СССР. 1941. Т.30, №4. С.299 — 303.

141. Колмогоров А. Н. Рассеяние энергии при локально-изотропной турбулентности// ДАН СССР. 1941. Т.32, №1. С. 19 — 21.

142. Моисеев Н.Н. Алгоритмы развития. — М.: Наука, 1987. 304с.

143. Монин А.С., ЯгломА.М. Статистическая гидромеханика. 4.1. — М.: Наука, 1965. 639с.

144. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. — М.: Наука, 1982. 608с.

145. Климонтович Ю.Л. Турбулентное движение и структура хаоса: Новый подход к статистической теории открытых систем. М.: Наука, 1990. 320с.

146. Меркулова Н.М. История механики газа. — М.: Наука, 1978. 231с.

147. Хинце И.О. Турбулентность: ее механизм и теория. — М.: Физматгиз, 1963. 680с.

148. Tatsumi Т. The theory of decay process of incompressible isotropic turbulence// Roy. Soc. 1957. Vol.239, ser.A, №1216. P.16 — 45.

149. Edwards S.F. The statistical dynamics of homogeneous turbulence// J. Fluid Mech. 1964. Vol.18, pt.2. P.239 —273.

150. Edwards S.F., McComb W.D. Statistical mechanics far from equilibrium// J. Phys. (Gen. Phys.) 1969. Vol.2, ser.2. P.157 — 171.

151. Edwards S.F., McComb W.D. A local energy transport equation for isotropic turbulence// Proc. Roy. Soc. Lond. 1971. Vol.325, ser.A, №1562. P.313 — 321.

152. Yoshizawa A. A statistical approach to steady homogeneous isotropic turbulence, based on Edwards' Fokker-Plank method// J. Phys. Soc. Japan. 1975. Vol.39, №4. P.l 100 — 1105.

153. Кузнецов В.P., Фрост В.А. Распределение вероятностей концентрации и перемежаемости в турбулентных струях// Изв. АН СССР. Сер. МЖГ. 1973. №2. С.58 — 64.

154. Новиков Е.А. Метод случайных сил в теории турбулентности// ЖЭТФ. 1963. Т.44. Вып.6. С.2159 —2168.

155. Chung P.M. A simplified statistical model of turbulent, chemically reacting shear flows// AIAA Journal. 1969. Vol.7, №10. P.1982 — 1991.

156. Leonard A. Vortex methods for flow simulation// J. Сотр. Phys. 1980. Vol.37, №3. P.289 —335.

157. Lungren T.S., PointinY.B. Statistical mechanics of two-dimensional vortices// J. Stat. Phys. 1977. Vol.17, №5. P.323 — 355.

158. Булеев H.И. Теоретическая модель механизма турбулентного обмена в потоках жидкости// Теплопередача. — М.: Изд-во АН СССР, 1962. С.64 — 98.

159. Глушко Г. С. Модель турбулентного смешения в потоках со сдвигом// Турбулентные течения. — М.: Наука, 1974. С.56 — 61.

160. ОнуфриевА.Т. Об уравнениях полуэмпирической теории турбулентного переноса// ПМТФ. 1970. №2. С.62 — 71.

161. Струминский В. В. О возможности применения динамических методов для описания турбулентных течений/ Турбулентные течения. — М.: Наука, 1974. С. 19 — 33.

162. Липман Г.У. Взлет и падение идей в турбулентности// УФН. 1984. Т. 143. Вып.4. С.641 — 656.

163. Гончаров Э.Г., Коваленко Л.Г., Красовский Э.И. Об исследовании микроструктуры турбулентного течения оптическим методом// ПМТФ. 1978. №6. С.78 — 83.

164. Кляин С., Рейнольде У., Шрауб Ф. и др. Структура турбулентных пограничных слоев// Механика. — М.: Мир, 1969. С.41 — 78.

165. Корино Е.Р., Бродки P.C. Визуальное исследование пристеночной области в турбулентном течении// Механика. — М.: Мир, 1971. №1. С.56 — 82.

166. Никурадзе И. Закономерности турбулентного движения жидкостей в гладких трубах// Проблемы турбулентности. — М. — Л.: ОНТИ, 1936. С.75 — 150.

167. Хабахпашева Е.М., Михайлова Е. С., Перепилща Б.В. и др. Экспериментальное исследование турбулентности// Пристеночные турбулентные течения. 4.2. — Новосибирск, 1975. С.138 — 161.

168. У лам С. Устойчивость при расчетах по методу многих тел// Гидродинамическая неустойчивость. — М.: Мир, 1964. С.289 — 303.

169. Pasta J. R., Ulam S. Heuristic numerical work in some problems of hydrodynamics// Math. Tables Aids Comput. 1959. Vol.13, №65. P.l — 12.

170. Харлоу Ф. Численный метод частиц в ячейках для задач гидродинамики// Вычислительные методы в гидродинамике. — М.: Мир, 1967. С.316 — 342.

171. Белоцерковский О.М., Давыдов Ю.М. Метод крупных частиц в газовой динамике: Вычислительный эксперимент. — М.: Наука, 1982. 391с.

172. Белоцерковский О.М., Опарин A.M., Чечеткин В.М. Турбулентность: новые подходы. — М.: Наука, 2002. 286с.

173. Херт С. Произвольный лагранжево-эйлеров численный метод/ Численные методы в механике жидкостей. — М.: Мир, 1973. С. 156 — 164.

174. Шулъц УД. Двумерные конечно-разностные гидродинамические уравнения в переменных Лагранжа// Вычислительные методы в гидродинамике. — М.: Мир, 1967. С.9 — 54.

175. Lungren T.S. Distribution functions in the statistical theory of turbulence// Phys. Fluids. 1967. Vol.10, №5. P.969 — 975.

176. Яницкий B.E. Уравнение переноса тензора скоростей деформации и описания идеальной несжимаемой жидкости системой уравнений динамического типа// ДАН СССР. 1982. Т.266, №2. С.305 — 308.

177. Странные аттракторы/ Под ред. Я.Г. Синая, Л.П. Шильникова. — М.: Мир, 1981. 253с.

178. Плохотников К.Э. К вопросу о моделировании турбулентного движения. — Препринт ИПМ АН СССР, №7. — М., 1980. 26с.

179. Плохотников К.Э. Модель турбулентности, изотропной и однородной по моменту импульса квазипары. — Препринт ИПМ АН СССР, №8. — М., 1980. 29с.

180. Плохотников К.Э. Многомасштабная модель турбулентности. — Препринт ИПМ АН СССР, №64. — М„ 1980. 27с.

181. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.248. — Л.: Гидрометеоиздат, 1982. С.52 — 66.

182. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.273. — Л.: Гидрометеоиздат, 1986. С. 15 — 48.

183. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// Математическое моделирование. Современные проблемы математической физики и вычислительной математики. — М.: Наука, 1989. С.270 — 284.

184. Плохотников К.Э. Об одной математической модели турбулентного движения жидкости// ДАН СССР. 1988. Т.301, №4. С.805 — 809.

185. PlokhotnikovК.Е. Numerical Description of the Fluid Pipe Motion with Multiscale Turbulence Model// Вестник Российского университета дружбы народов. Серия: Математика, информатика, физика. 2011. №4. С.107 — 112.

186. Grad H. Note on N-dimensional Hermit polynomials; On the kinetic theory of rarefied gases// Comm. Pure Appl. Math. 1949. Vol.2, №4. P.331 — 362.

187. Тихонов A.H., Арсенин В.Я. Методы решения некорректных задач. — M.: Наука, 1974. 220с.

188. Старр В.П. Физика явлений с отрицательной вязкостью. — М.: Мир, 1971. 260с.

189. Самарский A.A. Теория разностных схем. — М.: Наука, 1977. 656с.

190. Булеев Н.И. Пространственная модель турбулентного обмена. — М.: Наука, 1989. 344с.

191. Плохотников К.Э. Общая циркуляция атмосферы: синтез дискретного подхода и лагранжевого способа описания сплошной среды// Изв. АН СССР. Сер. Физика атмосферы и океана. 1985. Т.21, №10. С.1110 — 1111.

192. Плохотников К.Э. Математическая модель, объединяющая дискретные представления и лагранжев способ в описании сплошной среды// ДАН СССР. 1987. Т.294, №1. С.75 — 79.

193. Плохотников К.Э. Общая циркуляция атмосферы: синтез дискретного подхода и лагранжевого способа описания сплошной среды. Деп. в ВИНИТИ 3.06.1985, №382785. 31с.

194. Плохотников К.Э. Исследование движения атмосферы в терминах ансамбля воздушных масс// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.273. — JL: Гидрометеоиздат, 1986. С.49 —79.

195. Плохотников К.Э. Общая циркуляция атмосферы: синтез дискретного подхода и лагранжевого способа описания сплошной среды// Тр. Гидрометцентра СССР. Вып.286. — Л.: Гидрометеоиздат, 1987. С.64 — 84.

196. Кацура А.И., Келле В.В., Новик КБ. Философско-гносеологические аспекты системного моделирования. — Препринт ВНИИСИ. — М.,1982. 57с.

197. Моисеев H.H. Математика ставит эксперимент. — М.: Наука, 1975. 224с.

198. Краснощекое П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. Математическое моделирование. Вып.1. — М.: ФАЗИС: ВЦ РАН, 2000. ХП+412с.

199. Плотинский Ю.М. Теоретические и эмпирические модели социальных процессов. Учебное пособие для высших учебных заведений. — М.: Издательская корпорация "Логос", 1998.280с.

200. Гор Эл. Земля на чаше весов. — М.: ППП, 1993. 429с.

201. Горшков В.Г. Физические и биологические основы устойчивости. — М., 1995. 470с.

202. Данилов-Данильян В.И., Лосев КС. Экологический вызов и устойчивое развитие. — Учебное пособие. — М.: Прогресс — Традиция, 2000. 416с.

203. Лейбин В.М. "Модели мира" и образ человека. — М.: Политиздат. 1982. 255с.

204. ГвишианиД.М. Наука и глобальные проблемы современности// Вопр. философии. 1981. №З.С.97— 108.

205. Геловани В.А. Человеко-машинная система моделирования процессов глобального развития// Системные исследования. Методологические проблемы. — М.: Наука, 1981. С.155 — 173.

206. Дубовский С.Б. Система моделей глобального развития/ Методология системного анализа. — М.: ВНИИСИ, 1978. 4.1. Вып.6. С.82 —94.

207. Загладин В.В., Фролов И. Т. Глобальные проблемы современности: Научный и социальный аспект. — М.: Междунар. отношения. 1981. 240с.

208. Моисеев H.H. Человек, среда, общество. — М.: Наука, 1982. 240с.

209. Новик КБ. Новый тип модельного познания// Вопр. философии. 1980. №7. С. 130 — 142.

210. .Берталанфи Л. Общая теория систем: критический обзор// Исследования по общей теории систем. — М.: ИЛ, 1969. С.23 — 82.

211. Берталанфи Л. Общая теория систем — обзор проблемы и результатов// Системные исследования. — М.: Наука, 1969. С.30 — 54.

212. Берталанфи Л. История и статус общей теории систем// Системные исследования. — М.: Наука, 1973. С.20 — 37.

213. Раппопорт А. Различные подходы к общей теории систем// Системные исследования. — М.: Наука, 1969. С.55 — 79.

214. Блауберг К.В., Юдин Б.Г. Становление и сущность системного подхода. — М.: Наука, 1973. 270с.

215. Сагатовский В.Н. Системная деятельность и ее философское осмысление// Системные исследования. Методологические проблемы. — М.: Наука, 1981. С.52 — 68.

216. Садовский В.Н. Проблемы общей теории систем как метатеории// Системные исследования. — М.: Наука, 1973. С.127 — 146.

217. Садовский В.Н. Основания общей теории систем. — М.: Наука, 1974. 279с.

218. Тюхтин B.C. Отражение, системы, кибернетика. — М.: Наука, 1972. 256с.

219. Уемов А.И. Системный подход и общая теория систем. — М.: Наука, 1978. 272с.

220. Юдин Э.Г. Системный подход и принцип деятельности: Методологические проблемы современной науки. — М.: Наука, 1978. 391с.

221. LaszloE. Introduction to system philosophy: Toward a new paradigm of contemporary thought. — N.Y. Gordon and Breach, 1972. 328p.

222. Урманцев Ю.А. Симметрия природы и природа симметрии. — М.: Мысль, 1974.

223. Диалектика познания сложных систем/ Под ред. В.С.Тюхтина. — М.: Мысль, 1988.

224. Система. Симметрия. Гармония/ Под ред. В.С.Тюхтина, Ю.А.Урманцева. — М.: Мысль, 1988. 318с.

225. Урманцев Ю.А. Эволюционика. — Пущино, 1988. 78с.

226. Советов Б.Я., Яковлев С.А. Моделирование систем. — М.: ВШ, 1998. 319с.

227. Лекторский В.А. Субъект. Объект. Познание. — М.: Наука, 1980. 358с.

228. Швырев B.C. Научное познание как деятельность. — М.: Политиздат, 1984. 232с.

229. Алексеев И. С. Деятельностная концепция познания и реальность. Избранные труды по методологии физики. — М.: РУССО, 1995. 528с.

230. Веников В.А. Некоторые методологические вопросы моделирования// Вопр. философии. 1964. №11.С.73 —84.

231. Морозов К. Е. Математическое моделирование в научном познании. — М.: Мысль, 1969.212с.

232. Новик И.Б. О моделировании сложных систем. — М.: Мысль, 1965. 335с.

233. Уемов А.И. Логические основы метода моделирования. — М.: Мысль, 1971.311с.

234. Штофф В.А. Роль моделей в познании. — Л.: Изд-во ЛГУ, 1963. 128с.

235. Штофф В.А. Моделирование и философия. — М. — Л.: Наука, 1966. 301с.

236. Анохин В.Б. Гносеологические проблемы математического моделирования: Дис. ... канд. филос. наук. — Л., 1983. 193с.

237. Рузавин Г.И. Математизация научного знания. — М.: Мысль, 1984. 207с.

238. КацураA.B. Диалектика и некоторые вопросы математического моделирования// Неформализованные элементы глобального моделирования. Вып.2. — М.: ВНИИСИ, 1981. С.16 —22.

239. Новик И.Б., Мамедов Н.М., Давтян H.A. Логика научного познания и метод моделирования/ Философско-методологические основания системных исследований. — М.: Наука, 1983. С. 156 — 179.

240. Плохотников К.Э. Метод и искусство математического моделирования: курс лекций. — М.: Флинта, 2012. 518с. — ISBN 978-5-9765-1541-3.

241. Плохотников К. Э. Программный комплекс MORPHOGENESIS для моделирования элементов морфогенеза; Программный комплекс COLLECTOR для математического моделирования коллектора электромагнитной энергии; Программный комплекс CRYSTAL, позволяющий моделировать термическую реконструкцию поверхности ряда металлов; Программный комплекс TURBULENCE для моделирования движения турбулентной жидкости в трубе с помощью многомасштабной модели турбулентности// Хроники Объединенного Фонда Электронных Ресурсов "Наука и Образование", №02(33) февраль 2012, с

229с.

317с.