Исследование математических моделей нелинейных оптических систем с запаздыванием тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Романенко, Татьяна Евгеньевна

• Романенко, Татьяна Евгеньевна
• кандидат наук
• 2014

Оглавление диссертации кандидат наук Романенко, Татьяна Евгеньевна

Содержание

Введение

Глава 1. Математическое моделирование вращающихся волн в

кольце

1.1. Описание модели

1.2. Свойства линеаризованного оператора в кольце

1.3. Существование решения

1.4. Исследование коэффициентов разложения решения по малому параметру

1.5. Численное моделирование бегущих волн в кольце

Глава 2. Математическое моделирование вращающихся волн в

круге

2.1. Постановка задачи

2.2. Свойства линеаризованного оператора в круге

2.3. Существование решения

2.4. Анализ коэффициентов разложения

2.5. Численное моделирование вращающихся волн в круге

Глава 3. Нормальная форма бифуркации Андронова-Хопфа

3.1. Общая схема построения нормальной формы

3.2. Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в кольце

3.3. Нормальная форма Андронова-Хопфа задачи в круге

Глава 4. Исследование эффекта подавления искажений

4.1. Постановка задачи

4.2. Исследование эффекта подавления стационарных искажений

4.3. Исследование эффекта подавления искажений, задаваемых бегу-

щими волнами

Заключение

Приложение А. Программный комплекс

А.1. Модуль графического интерфейса

А.2. Модуль численного моделирования задачи в кольце

А.З. Модуль численного моделирования задачи в круге

А.4. Модуль расчета зон устойчивости

А.5. Модуль численного решения двухмодовой задачи

А.6. Модуль визуализации

Литература

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей нелинейных оптических систем с запаздыванием»

Введение

В последние несколько десятилетий большое внимание исследователей привлекают математические модели систем, демонстрирующих богатую пространственно-временную динамику — движущиеся фронты, вращающиеся волны, спирали, центры, спайки, хаос и др. Для приложений, возникающих в физике, химии, биологии и др. областях, важно, чтобы обладающая богатой динамикой самоорганизующаяся система содержала в своей конфигурации достаточно эффективные средства управления этой динамикой. В этой связи возможности моделей нелинейной оптики наиболее широко проявляют свои преимущества, позволяя варьировать управляющие параметры и наблюдать в эксперименте широкий спектр явлений самоорганизации светового поля, подчиняющихся общим качественным закономерностям. Классическим примером такого рода моделей является оптическая система, состоящая из тонкого слоя нелинейной среды кер-ровского типа и контура обратной связи. Приведем две наиболее характерных и простых в экспериментальной реализации схемы организации обратной связи в оптических системах.

На рисунке 1 изображен современный вариант оптической системы с телевизионной обратной связью, которая функционирует следующим образом [11]. Рассеянное некоторым объектом О световое поле A(r,t), проходя через полупрозрачное зеркало, поступает на вход оптической системы, примером которой может быть система пространственной фильтрации или оптический процессор. После этого часть выходного излучения покидает оптическую систему, а оставшаяся часть А{г, t) направляется в контур обратной связи, где оптическое изображение преобразуется в телевизионный сигнал с помощью телекамеры, связанной с компьютером. После обработки на компьютере поступивший сигнал через цифроаналоговый преобразователь (ЦАП) выводится на телемонитор, оптическое изображение с которого попадает на вход системы, где складывается с входным сигналом.

Рис. 1: Оптическая система с телевизионной обратной связью.

Устройство управляемого запаздывания

Рис. 2: Оптическая система с фоторефрактивными элементами.

Другой характерный способ реализации обратной связи в оптических системах, представленный на рисунке 2, основан на использовании жидкокристаллического пространственно временного модулятора света, сокращенного именуемого ЖК-ПВМС ( в англоязычной литературе LCLV — liquid-crystal light valve), и голографического устройства на фоторефрактивных элементах [59]. Плоская волна, поступающая на вход оптической системы, разделяется на две части: первая часть, так называемая опорная волна, отражается от зеркала и заводится в контур обратной связи, где подвергается управляемому преобразованию. Преобразование осуществляется с помощью перезаписываемого голографического устройства на основе фоторефрактивных элементов и предназначено для достижения временной задержки сигнала порядка нескольких миллисекунд или даже более для достаточно "медленных" ЖК-ПВМС систем. Пройдя через контур обратной связи, опорная волна поступает на фотопроводящий слой и взаимодействует со второй частью входной волны, которая прошла через жидкокристаллическую среду и отразилась от зеркала, получив дополнительный фазовый набег w(r,£).

В зависимости от конкретной схемы реализации обратной связи и учета тех или иных физических факторов математическая модель оптической системы может описываться обыкновенными дифференциальными уравнениями (ОДУ) (см. [68]), системами ОДУ (см. [53, 85, 98]), запаздывающими дифференциальными уравнениями (ЗДУ)(см. [56, 68, 75, 76, 82, 99]), параболическими функционально-дифференциальными уравнениям (ФДУ) с преобразованием пространственных аргументов искомой функции (см. [53, 102]) и, в наиболее общем случае, параболическими ФДУ с запаздыванием (см. [53, 59, 76, 88, 89, 99]).

Последняя из упомянутых моделей, демонстрирующая наиболее богатую пространственно-временную динамику, описывается с помощью функции u(r,t), имеющей смысл фазовой модуляции в тонком слое нелинейной среды керровского типа в пределах апертуры S С М2, и удовлетворяющей параболи-

ческому ФДУ

^^ + u{r,t)-dAu(r,t) = #(1 + 7 cos u(G(r),t-T)), r e S, t> 0, (1)

которое дополняется краевыми условиями на границе <95, а также начальными условиями при (г, t) G S х [—Т, 0]. Здесь Л - оператор Лапласа, d > 0 - коэффициент диффузии, константа К > 0 пропорциональна интенсивности входного светового поля, у € (0,1) - коэффициент обратной связи (более детальное описание модели см. в [53]). В (1) учитываются как локальные связи, обусловленные диффузией возбуждения молекул нелинейного слоя, так и нелокальные взаимодействия, связанные с запаздыванием Т > 0 сигнала в контуре обратной связи и преобразованием G(r) пространственных аргументов. Заметим, что модель (1) соответствует случаю невырожденных преобразований G(г) с единичным якобианом (например, поворот, отражение). Описанию моделей с более общими измеримыми по Лебегу не обязательно обратимыми преобразованиями пространственных аргументов, а также вопросам управления такими преобразованиями и методам проекционно-разностной аппроксимации посвящены работы [27, 29-31].

Исторически исследование функционально-дифференциальных уравнений с преобразованием аргументов было положено в конце 40-х годов А.Д. Мыш-кисом (в работах [23, 24] по обыкновенным дифференциальным уравнениям с запаздывающим аргументом ) и продолжено Р. Беллманом, К. Куком ( [5] ), теория функционально-дифференциальных уравнений была сформирована Дж. Хейлом в ставшей классической работе [72]. Параболические и эллиптические ФДУ с различными видами преобразований аргументов исследовались А. Л. Скубачевским ( начиная с [13, 47] и др. ) и рядом его учеников ( Е.М. Вар-фоломеевым [7-9], А. Б. Муравником [20-22], Л. Е. Россовским [6, 17, 41-43], A.M. Селицким [44-46], Р.В. Шаминым [49, 51, 52] и др. ).

Бегущие волны, движущиеся фронты, вращающиеся волны — решения, сохраняющие свой пространственный профиль в некоторой движущейся системе

координат — традиционно приковывают внимание исследователей нелинейной динамики параболических уравнений и систем со времен классической работы [16] (см., например, [19, 66, 97] и цитированную там литературу). Новые возможности конструирования нелинейной динамики системы появляются в рамках скалярного ФДУ (1) благодаря выбору управляющего преобразования С? (г) даже без учета запаздывания (Т = 0). Бифуркация Андронова-Хопфа, приводящая к рождению одномерных вращающихся волн на окружности в случае поворота пространственных аргументов изучалась в [14, 28, 33, 71], вопросы взаимодействия таких волн исследовались в [2, 3, 15] на основе методов сингулярного возмущения в сочетании с методами нормальных форм. Двумерные вращающиеся волны в круге с поворотом аргументов исследовались в [1, 32, 87], многомерный случай рассмотрен в [48, 95]. Вопросы построения фундаментальных бифуркационных решений для нелинейных параболических уравнений и уравнений реакции-диффузии рассматривались в [4, 55].

В [71] замечено, что случай Т > 0 значительно более труден для исследования. Даже при й = 0 фазовое пространство соответствующего ЗДУ бесконечномерно и переход к хаотическому режиму является достаточно естественным явлением (см., например, [56, 75, 85]). Построение регулярных решений вида бегущих волн для квазилинейных параболических уравнений с запаздыванием проводится в основном для одномерного случая на прямой, как, например, в [80, 92, 110], в которых развивался метод верхних и нижних решений, а также в [64, 107], где использовались методы теории дифференциальных уравнений в банаховом пространстве.

Как отмечено в выводах из [70], случай ограниченной области еще недостаточно изучен с точки зрения существования бегущих (вращающихся) волн, при этом выбор краевых условий должен коррелировать с механизмом нелокальных пространственных связей. В отсутствии таких связей бегущие волны не возникают. Косвенным подтверждением этого являются результаты из [93], посвященной исследованию бифуркационных вращающиеся волн для параболи-

ческого уравнения в круге с краевыми условиями Неймана и запаздыванием, где на основе численного эксперимента выдвинута гипотеза о неустойчивости таких волн. Также стоит упомянуть работы [108] (параболическое уравнение) и [63] (система реакции-диффузии), где в случае с запаздыванием и краевыми условиями Неймана бифуркация Андронова-Хопфа приводит лишь к пространственно-однородным колебаниям. В случае же однородных условий Дирихле бифуркация Андронова-Хопфа приводит к появлению стоячих периодических решений (см., например, [58, 109]). Учет пространственной нелокальности в биологических моделях дает возможность получить пространственно-неоднородные решения. Так, в нелокальной пространственно-временной модели хищник-жертва с краевыми условиями Неймана в [69] получены пространственно-неоднородные стоячие волны, а в [57] для случая периодических краевых условий — бегущие периодические волны, однако в обоих случаях вопрос устойчивости этих решений по существу не затрагивался.

Таким образом, задача математического моделирования таких типичных явлений структурообразования, как вращающиеся волны, описываемых нелокальными по времени и пространству параболическими ФДУ, еще далека от решения, причем важную роль в исследовании играет удачный выбор механизма пространственно-временной нелокальности. В рассматриваемой модели (1) в качестве такого механизма выступает поворот пространственных аргументов на угол 9 в сочетании с запаздыванием Т > 0.

С другой стороны, отмеченные динамические эффекты, как правило, негативно сказываются на такой важной прикладной задаче адаптивной оптики [11, 96], решаемой с помощью оптических систем с распределенной обратной связью, как адаптивное подавление фазовых искажений. В этой связи актуально теоретическое и численное исследование поведения системы, позволяющее не только наблюдать широкий спектр видов пространственно-временной динамики, возникающих в результате самоорганизации системы, но и направленное на достижение эффекта самокомпенсации искажений в моделях адаптивных

оптических систем с пространственно-временной нелокальностью в контуре обратной связи.

Исторически развитие адаптивной оптики в 50-х годах прошлого века было связано с необходимостью решения задач компенсации размытия астрономических изображений под воздействием атмосферной турбулентности. На данный момент управляемые оптические системы с обратной связью являются одним из перспективных классов адаптивных оптических систем, начало активного исследования которых пришлось на вторую половину 80-х годов ( [10, 11, 25, 54, 67, 100, 104]). Следует отметить, что при их исследовании возникают новые проблемы, связанные с пространственно-временной устойчивостью процессов формирования световых полей, а различные преобразования поля в контуре обратной связи могут приводить к возникновению сложных пространственных структур. Использование в качестве управляющего элемента среды керровского типа, обладающей нелинейно оптическими эффектами, выражающимися в зависимости фазы выходной волны от интенсивности управляющего поля, позволяет в ряде случаев добиться эффекта подавления искажений ([25, 61, 104]). Тем не менее аберрации оптических элементов, особенности юстировки системы и ряд других факторов приводят к тому, что проблема исследования того или иного строго заданного типа нелокальных взаимодействий в реальном эксперименте оказывается достаточно сложной. Это приводит к необходимости выявления закономерностей наблюдаемых эффектов, исходя из результатов численного моделирования, позволяющих проследить зависимость качества компенсации искажений от параметров оптической системы и вида искажений.

Имеющиеся в литературе исследования эффекта компенсации искажений в нелинейных оптических системах различной конфигурации, в том числе с учетом интерференции, дифракции и/или Фурье-фильтрации, как правило, основаны на моделях ОДУ или ФДУ без запаздывания. Этому имеется простое объяснение. Дело в том, что в первых нелинейных оптических системах, наце-

ленных на подавление искажений, использовались электронно-оптические контуры обратной связи в сочетании с небыстрыми нелинейными элементами ЖК-ПВМС. При этом время прохода светового пучка в контуре обратной связи было существенно меньше характерного времени релаксации нелинейного элемента, что дает возможность не учитывать эффекты запаздывания.

Однако в последнее десятилетие в связи с развитием технологии производства фазовых модуляторов с одной стороны, и все большего использования оптической обратной связи характерные времена процессов существенно уменьшились. В этой ситуации игнорировать запаздывание управляющего сигнала в контуре обратной связи уже нельзя, и адекватная математическая модель должна описываться ФДУ с запаздыванием. Отметим, что в ряде случаев задержку сигнала можно вносить специально с целью достижения того или иного эффекта самоорганизации или стабилизации оптической системы ([82]). В этой связи отметим, что физические принципы конструирования управляемого запаздывания рассматривались в работах [59, 60] на примере вращающихся фоторефрактивных элементов.

Таким образом, всестороннее исследование моделей нелинейных оптических систем с учетом запаздывания является актуальной проблемой, важной как с точки зрения теории дифференциальных уравнений, так и в связи с приложениями для современной нелинейной оптики.

Цели диссертационной работы:

• разработка единообразного подхода к математическому моделированию и приближенному описанию вращающихся волн в моделях нелинейной оптической системы с запаздыванием и пространственным поворотом в случаях тонкой кольцевой и круговой апертур, разработка программного комплекса для их численного моделирования;

• проведение аналитического и численного исследования устойчивости вращающихся волн в кольце и круге на основе нормальной формы бифурка-

ции Андронова-Хопфа;

• исследование двухмодового приближения для модели подавления гармонических искажений в нелинейной оптической системе в приближении тонкого кольцевого слоя.

Диссертация состоит из введения, 4 глав, заключения, приложения и библиографии.

В главе 1 разрабатывается подход к моделированию вращающихся волн, описываемых нелокальными параболическими ФДУ с запаздыванием, основанный на переходе в движущуюся систему координат и сведении задачи к построению нетривиального решения периодической краевой задачи для стационарного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом. Показано, что при соответствующем выборе параметров К, 9, Т в модели нелинейной оптической системы в приближении тонкого кольцевого слоя, возникают одномерные по угловой переменной бегущие волны. Приводятся результаты численного моделирования на специально разработанном программном комплексе, которые показали возникновение бегущих волн в численном эксперименте.

В главе 2 описанный выше подход применяется к пространственно двумерной модели оптической системы с круговой апертурой, что позволяет показать существование и единственность решений в виде вращающихся волн в круге и получиться коэффициенты разложения полученного решения по малому параметру. Приведены полученные с помощью программного комплекса результаты численного моделирования, демонстрирующие возникновение вращающихся волн.

В главе 3 способ построения нормальной формы для бифуркации Андронова-Хопфа, описанный в [62], адаптируется к пространственно-одномерной задаче с запаздыванием и пространственным поворотом в кольце и впервые применяется к пространственно-двумерной задаче с запаздыванием и поворотом углового аргумента в круге.

В главе 4 разрабатывается двухмодовая модель для аналитического и численного исследования эффекта компенсации искажений в модели оптической системы, описываемой параболическим ФДУ с запаздыванием. Для выяснения границ ее применимости проводится сравнение полученных результатов с прямым численным моделированием средствами разработанного программного комплекса для задачи в полной постановке и исследуется влияние запаздывания и поворота пространственных аргументов на качество подавления стационарных гармонических искажений и гармонических искажений, задаваемых бегущими волнами.

В заключении сформулированы основные результаты, полученные в диссертационной работе.

В приложении А приводится описание общей схемы работы разработанного программного комплекса и функциональности составляющих его программных модулей, нацеленных на численное моделирование задач для моделей в тонком кольцевом слое и круге и визуализацию полученных данных.

В работе получены следующие основные результаты, выносимые на защиту:

1. Разработан новый подход к математическому моделированию вращающихся волн в нелинейных оптических системах с запаздыванием и пространственным поворотом, основанный на редукции к краевой задаче для дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом в движущейся системе координат. Доказано существование бифуркационных вращающихся волн в кольце и круге, получено разложение волн по малому параметру, разработан программный комплекс для их численного моделирования и визуализации.

2. Построены нормальная форма бифуркации Андронова-Хопфа для рассматриваемых параболических функционально-дифференциальных уравнений с запаздыванием и соответствующая программная среда, позволя-

ющие аналитически и численно исследовать устойчивость вращающихся волн в кольце и круге.

3. На основе разработанного двухмодового приближения проведены аналитическое исследование и вычислительный эксперимент по математическому моделированию эффекта подавления стационарных и динамических гармонических искажений для случая тонкого кольцевого слоя.

Основные результаты диссертации докладывались на следующих конференциях и семинарах.

• Научная конференция "Тихоновские чтения" (Москва, 25-29 октября 2010).

• Международная конференция "Differential Equations and Related Topics", посвященная И. Г. Петровскому (Moscow, May 30 - June 4, 2011).

• VI международная конфереция "The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations" (Moscow, Russia, August 14-21, 2011).

• Научная конференция "Ломоносовские чтения" (Москва, 15-24 апреля 2013).

• Научная конференция "Тихоновские чтения" (Москва, 28 октября - 1 ноября 2013).

• VII международная конференция "The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations'^ Moscow, Russia, August 22-29, 2014)

• Научно-исследовательский семинар "Спектральная теория дифференциальных операторов и актуальные вопросы математической физики" под руководством академика РАН, д.ф.-м.н., профессора Е. И. Моисеева на

кафедре функционального анализа и его применений факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Научно-исследовательский семинар кафедры математической физики факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова.

• Научный семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством профессора А. Л. Скубачевского на кафедре прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов.

• Научно-исследовательский семинар по дифференциальным уравнениям и математическому моделированию под руководством профессора Ю. А. Ду-бинского и профессора А. А. Амосова на кафедра математического моделирования национального исследовательского университета "МЭИ".

Материалы диссертационной работы опубликованы в 9 печатных работах, из которых 3 статьи в журналах из списка ВАК: [34, 36, 39] и 6 тезисов докладов конференций [35, 37, 38, 40, 90, 91].

Автор выражает благодарность своему научному руководителю Разгулину Александру Витальевичу за постановку содержательной задачи и постоянное внимание к работе.

Глава 1

Математическое моделирование вращающихся

волн в кольце

1.1. Описание модели

Рассматривается периодическая краевая задача для функционально-дифференциального уравнения диффузии относительно функции и — u(x,t):

du д^и

Tt{x,t) = D—2{x,t)-u(x,t)+ (ii)

+ K(1 + 7COS-R0 u(x, t — T)), (x,t) € [0,2тг] xR,

rjll r)ll

u(0, t) = u(2тг, t), ^(0, t) = ^(2тг, t). (1.2)

Такие задачи возникают при моделировании нелинейной оптической системы с нелокальной по времени и пространству обратной связью в пространственно-одномерном приближении к задаче (1), когда область имеет вид тонкого кольцевого слоя радиуса Го, D = drq2, х — полярный угол.

Уравнение (1.1) является функционально-дифференциальным, в котором учитывается пространственно-временная нелокальность модели: нелокальность по времени связана с запаздыванием сигнала в контуре обратной связи на величину Т > 0, нелокальность по пространству связана с преобразованием поворота пространственного аргумента в контуре обратной связи на угол в € [0, 27т). Это преобразование описывается с помощью оператора

Röf(x) = f{(x + d) mod 2"7г), /€L2(0,2тг). (1.3)

Отметим, что параметрическое семейство операторов Rß задает полугруппу ограниченных операторов в Н:

RßlRe2 = Rßl+e2, R0 = I, Re e C{H Я), V0,9Ъ в2 е R, (1.4)

где I — тождественный оператор в Я.

Здесь и ниже используются следующие обозначения функциональных пространств: Я = 1^2(0, 27г), Я2 — Соболевское пространство комплекснозначных функций вещественной переменной со скалярным произведением и соответству-

ющей евклидовои нормой

2тг

(u,v)H2 =

о

u(x)v(x) + и"(x)v"(х)^ dx, |Н|я2 = V(и>и)н2-,

Щтт — {v ^ Н2 : v(0) = v(2ir),v'(0) = v'(2n)} — замкнутое подпространство в Я2, состоящее из 2тт-периодических функций.

Задача (1.1)-(1.3) имеет стационарные пространственно-однородные решения, задаваемые трансцендентным уравнением

w = К(1 -f 7COSii>). (1.5)

Лемма 1. Пусть некоторая пара {W, К) удовлетворяет уравнению (1.5) и выполнено условие невырожденности

1 + KysinW ф 0. (1.6)

Тогда найдется окрестность (—/ло, /ло), в которой определена аналитическая по ¡л ветвь [К (¡л) ,W (¡л)) решений уравнения (1.5) вида

К (¡л) = К + W(fi) = ]¥ + \Уцл + W2¡л2 + .... (1.7)

Доказательство вытекает из теоремы о неявной функции.

Далее будем рассматривать исходное уравнение (1.1), приведенное к локальному виду в окрестности W(fi) с помощью замены и(х, t) = W(fi) + v(x, t): dv, N , . . .

+ K(fi)7 [cos + Rev(x, t - 71)} - cos Wfa)].

Для поиска специальных решений уравнения (1.8), моделирующих бегущие по окружности со скоростью Q волны, эффективен переход во вращающуюся систему координат и рассмотрение соответствующей стационарной задачи,

описывающей пространственный профиль волны. Для этого будем искать решение уравнения (1.8) в виде

= (1.9)

где у{х) — новая искомая функция одной переменной х Е [0,27т]. Отметим, что соотношение (1.9) уточняет для случая окружности формулу у(х — Ш), традиционно используемую для перехода в движущуюся систему координат в случае бесконечной прямой.

После подстановки (1.9) в (1.8) и использования (1.4) приходим к краевой задаче для обыкновенного дифференциального уравнения с отклоняющимся аргументом:

cPv dv

ddx2 - v + ndx + КCOS + r8+v.tv} - cos W(t¿)

= o,

(1.10)

x € (0,2тг),

г>(0) = г»(27г), ¿(0) = ^(2тт). (1.11)

Отделяя линейные по v слагаемые в уравнении (1.10) приходим к уравнению

г} D И qj

D~ + + L{¡jl)v + F(v, ц) = 0, (1.12)

где

L{¡jl)v = -K(fi)j s'm W(fi)Re+nTV, (1-13)

F(v, p) = K(fi)7 [eos {W(n) + Re+nrv} -

- eos W(f¿) 4- sin W(¡j,)Re+nT u]. Лемма 2. Пусть выполнены условия леммы 1. Тогда операторы L(n)v и F(v,/j,) аналитичны в окрестности (0,0) из Н2 х R в Н и справедливы разложения

L{fi)v = mwRe+nr v + /л mnRe+пт v + р2 L2(p)Re+nT v,

oo oo

F(v, = rfijitfRe+nTVj,

¿=2 t=0

где \\L2(»)v\\h < C\\v\\h2,

л

~ 7 / Л ^ Л

mío = —KysinW, тп2о = —— cosW, тпц = (WiKcosW + sinWJ ,

л

KysmW 7 ( ь у . ь ~ л m30 =---, га21 = -- [WiKsmw - cosWj ,

m12 = 1 (w?K sin W - 2W2K cos 1У - 2Щ cos W^j .

Доказательство вытекает из разложения косинуса в ряд Тейлора и использования ограниченного вложения Н2 С[0, 2тт] для оценки степенных слагаемых.

Заметим, что по построению, F(0, 0) = 0 и в точке (0, 0) равны нулю любые производные Фреше оператора F, если их порядок по аргументу v меньше двух. Тогда

F{v, /л) = ÍFW(0, 0>2 + /х), (1.15)

где

fi) = 0)Ü3 + ÍFw„(0, 0)V2/Í + F4(V, //), (1.16)

и F4(v,ju) аналитичен в окрестности (0,0) .

1.2. Свойства линеаризованного оператора в кольце

Важную роль в исследовании краевой задачи (1.10), (1.11) играет оператор

cPv dv

Bnv = D— - v + + mioRe+cirv. (1.17)

dx¿ dx

Оператор рассматривается как замкнутый неограниченный оператор в Н с плотной в Н областью определения D(Bq) = Н^. Сопряженным к Bq в Н оператором будет оператор

flit /7? /

В^и = D— -u-íl—-K7 sin WR-e-пт Щ D(B*a) = H¡v.

Непосредственной проверкой устанавливаются следующие свойства введенных операторов.

Лемма 3. Операторы Bq и В^ имеют полную ортогональную в Н систему собственных функций ехр{гш:}, п £ Ъ. Соответствующие собственные значения имеют вид

Ап(Вп) = -Dn2 - 1 + iün - KjsmWexp{in{6 + ПТ)}, Хп(В*п) = -Dn2 - 1 - iün - К^smWexp{~in(6 + ПГ)}.

Условие 1. Пусть при Q = fl* система уравнений

K-f sin W cos(n# + ПпТ) = -Dn2 - 1, К y sin W sin (n6 + ÜnT) = ttn

имеет ровно два решения п = ±п*, п* 6 N.

Замечание 1. Отметим, что условие бифуркационности 1 в плоскости параметров Т, 6 задается прямыми линиями, причем коэффициент наклона прямых положителен при выборе ÍJ* < 0 и отрицателен при Г2* > 0, а их количество равно п*.

На рисунках 1.1 и 1.2 для параметров W = 6.75, К — 3.94, 7 = 0.8, D = 0.05 приведены прямые, на которых условие (1) выполняется для случаев Í2* > 0 и Г2* < 0 соответственно.

Лемма 4. Пусть выполнены условия леммы 1 и условие 1. Тогда при f2 = для ядер N(Bn) и N(Bq) справедливы соотношения:

N(BqJ = Lin{vi{x),(p2{x)},

М(В^)^Ып{ф1(х),ф2(х)},

y>i(x) ~ фг{х) = —i=exp{m*a;},

V 2тг 1

ip2(x) = ф2(х) = —= ехр{—т*ж},

\j2tx

dimN(BüJ=dimN(B^) = 2.

Доказательство. В силу полноты системы функций {exp{¿m;}}n(EZ в Н оператор В^ имеет ненулевое ядро тогда и только тогда, когда существует це-

6 5 4

Ф з 2 1 О

0 1 2 3 4 5

Т

Рис. 1.1: Диаграмма выполнения условия бифуркационности (1) в плоскости параметров Т, в для случая > 0.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Романенко, Татьяна Евгеньевна, 2014 год

Литература

1. Белан Е.П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференц. ур. 2004. Т. 40. № 10. С. 1348-1357.

2. Белан Е.П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференц. ур. 2004. Т. 40. № 5. С. 645-654.

3. Белан Е.П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной// Журн. математической физики, анализа, геометрии. 2005. Т. 1. № 1. С. 3-34.

4. Белолипецкий A.A. , Тер-Крикоров A.M. Построение фундаментальных решений абстрактного нелинейного параболического уравнения в окрестности точки бифуркации // Матем. сб. 1985. Т. 128. № 3. С. 306-320.

5. Беллман Р., Кук К. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир. 1967. 548 С.

6. Бородулина Л.В., Россовский Л. Е. Разрешимость эллиптических функционально-дифференциальных уравнений со сжатием аргументов в весовых пространствах // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 2007. Т. 26. С. 39-57.

7. Варфоломеев Е.М. О бифуркации Андронова-Хопфа для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных // Успехи мат. наук. 2007. Т. 62. № 2. С. 173-174.

8. Варфоломеев Е.М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелиней-

ной оптике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. февраль. Т. 21. С. 5-36.

9. Варфоломеев Е.М. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов второго порядка / / Успехи мат. наук. 2006. Т. 61. № 1. С. 173-174.

10. Воронцов М.А., Киракосян М.Э., Ларичев A.B. Коррекция фазовых искажений в нелинейном интерферометре с оптической обратной связью // Квантовая электроника. 1991. Т. 18. С. 117-120

11. Воронцов М.А., Корябин A.B., Шмальгаузен В.И. Управляемые оптические системы. М.: Наука, 1988.

12. Гукенхеймер Дж., Холмс Ф. Нелинейные колебания, динамические системы и бифуркации векторных полей. Москва-Ижевск: ИКИ, 2002.

13. Каменский Г. А. , Мышкис А. Д., Скубачевский А. Л. О минимуме квадратичного функционала и о линейных краевых задачах эллиптического типа с отклоняющимися аргументами // УМН. 1979. Т. 34. № 3. С. 197—198.

14. Кащенко С.А. Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных нелинейно-оптических системах // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1991. Т. 31. № 3. С. 467-473.

15. Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Оптическая буферность и механизмы её возникновения// Теоретическая и матем. физ. 2004. Т. 140. № 1. С. 14-28.

16. Колмогоров А.Н., Петровский И.Г., Пискунов П.С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, его применение к одной биологической проблеме // Бюлл. МГУ (А). 1937. Т. 1. № 6. С. 1-26.

17. Кук К., Россовский Л. Е., Скубачевский А. Л. Краевая задача для функционально-дифференциального уравнения с линейно преобразованным аргументом // Дифференц. уравнения. 1995. Т. 31, № 3. С. 1366-1370.

18. Ларичев A.B. Диссертация на соискание ученой степени кандидата физико-математических наук по специальности 01.04.21.-лазерная физика на тему "Динамические процессы в нелинейных оптических системах с двумерной обратной связью"// Москва, МГУ имени М.В.Ломоносова. 1995. 108 С.

19. Мищенко Е.Ф., Садовничий В.А., Колесов А.Ю., Розов Н.Х. Автоволновые процессы в нелинейных средах с диффузией. М.: Физматлит, 2005.

20. Муравник А. Б. О задаче Коши для некоторых неоднородных дифференциально-разностных параболических уравнений // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 4. С. 538-548.

21. Муравник А. Б. О стабилизации решений некоторых сингулярных квазилинейных параболических задач // Матем. заметки. 2003. Т. 74. № 6. С. 858-865.

22. Муравник А. Б. Об асимптотике решений некоторых параболических уравнений с нелокальными старшими членами // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 2006. Т. 25. С. 143-183.

23. Мышкис А. Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.:Гостехиздат. 1951. 255 С.

24. Мышкис А. Д. Общая теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом// УМН. 1949. Т. 4. № 5. С. 99-141.

25. И. П. Николаев, А. В. Ларичев, В. И. Шмальгаузен Управляемые оптические структуры в нелинейное системе с подавлением низких пространствен-

ных частот в контуре обратной связи // Журн. "Квантовая электроника". 2000. Т. 30. № 7. С. 617-622

26. Понтрягин Л. С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // Известия академии наук СССР. 1942. № 6. С. 115-134.

27. Разгулин A.B. Задача управления двумерным преобразованием пространственных аргументов в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифф. ур-ния. 2006. Т. 42. № 8. С. 1078-1091.

28. Разгулин A.B. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом // Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 1. С. 69-80.

29. Разгулин A.B. Об одном классе функционально-дифференциальных параболических уравнений нелинейной оптики // Дифференц. ур-ния. 2000. Т. 36. № 3. С. 400-407.

30. Разгулин A.B. О параболических функционально-дифференциальных уравнениях с управляемым преобразованием пространственных аргументов // Докл. РАН. 2005. Т. 403. № 4. С. 448-451.

31. Разгулин A.B. Проекционно-разностная схема для параболического функционально-дифференциального уравнения с двумерным преобразованием аргументов// Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 2005. Т. 45. X2 10. С. 1848-1859.

32. Разгулин A.B. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Матем. моделирование. 1993. Т. 5. № 4. С. 105-119.

33. Разгулин A.B. Устойчивость бифуркационных автоколебаний в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументом //Ж. вычисл. матем. и матем. физ. 1993. Т. 33. № 10. С. 1499-1510.

34. Разгулин A.B., Романенко Т.Е. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журн. вычислит, математики и мат. физики. 2013. Т. 53. № И. С. 42-60.

35. Разгулин А. В., Романенко Т. Е. Нормальные формы бифуркации Андро-нова-Хопфа в одной модели оптической системы с запаздыванием, научная конференция «Ломоносовские чтения» // Москва, 15-24 апреля 2013, тезисы, с. 31-32.

36. Романенко Т.Е. Двумерные вращающиеся волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом пространственных аргументов и запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2014. Т. 50. № 2. С. 260-263.

37. Романенко Т. Е. Исследование периодических решений функционально-дифференциального уравнения диффузии с поворотом аргумента и запаздыванием, International conference «Differential equations and Related Topics» dedicated to Ivan G. Petrovskii // Москва, 30 мая — 4 июня 2011, тезисы, с. 322-323.

38. Романенко Т. Е. О компенсации искажений в нелинейной оптической системе с запаздыванием, научная конференция «Тихоновские чтения» // Москва, 28 октября - 1 ноября 2013, тезисы, с. 49-50.

39. Романенко Т. Е., Разгулин А. В. О моделировании подавления искажений в нелинейной оптической системе с запаздыванием в контуре обратной связи // Мат. моделирование. 2014. Т. 26. № 11. С. 123-136.

40. Романенко Т. В., Разгулин А. В. Одномерные ротационные волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом ар-

гумента и запаздыванием, научная конференция «Тихоновские чтения» // Москва, 25 - 29 октября 2010, тезисы, с. 77-78.

41. Россовский Л. Е. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов // Тр. Моск. мат. о-ва. 2001. Т. 62. С. 199-228.

42. Россовский Л. Е. О спектральной устойчивости функционально-дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 2011. Т. 90. № 6. С. 885-901.

43. Россовский Л.Е., Скубачевский А.Л. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современная математика и её приложения. 1999. Т. 66. С. 114-192.

44. Селицкий A.M. Моделирование некоторых оптических систем на основе параболического дифференциально-разностного уравнения // Матем. моделирование. 2012. Т. 24. № 12. С. 38-42.

45. Селицкий A.M. Пространство начальных данных 2-й краевой задачи для параболического дифференциально-разностного уравнения в липшицевых областях // Матем. заметки. 2013. Т. 94. № 3. С. 477-480.

46. Селицкий A.M., Скубачевский А. Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Тр. сем. им. И. Г. Петровского. 2007. Т. 26. С. 324-347.

47. Скубачевский А. Л. Нелокальные эллиптические задачи с параметром // Матем. сб. 1983. Т. 121. №2. С. 201-210.

48. Скубачевский А.Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференц. ур. 1998. Т. 34. № 10. С. 1394-1401.

49. Скубачевский А.Л., Шамин Р. В. Первая смешанная задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Матем. заметки. 1999. Т. 66. № 1. С. 145-153.

50. Чесноков С., Рыбак А., Стадничук В. Режимы оптической турбулентности в нелинейно-оптической системе с задержкой в цепи распределенной обратной связи // Оптика атмосферы и океана. 2002. Т. 15, № 7. С. 572-578.

51. Шамин Р. В. О пространствах начальных данных для дифференциальных уравнений в гильбертовом пространстве // Математический сборник. 2003. Т. 194. № 9. С. 141-156.

52. Шамин Р. В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциальных уравнений // Матем. заметки. 2002. Т. 71 № 4. С. 636-640.

53. Akhmanov S.A., Vorontsov М.А., Ivanov V.Yu., Larichev A.V., Zheleznykh N.I. Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures //J. Optical Soc. Amer. Ser. B. 1992. V. 9. № 1. P. 78-90.

54. Barnes Т., Eiju Т., and Matsuda K. High resolution adaptive optics using an interference phase loop // Optics Communications. 1996. Vol. 132. P. 494-502.

55. Belolipetskii A. A. , Ter-Krikorov A. M. Bifurcations in reaction-diffusion equations and associated dissipative structures// Сотр. Mathematics and Modeling. 1999. Vol. 10. № 4. PP. 339-352.

56. Le Berre M., Ressayre E., Tallet A. Lyapunov analysis of the Ruell-Takens route to chaos in an optical retarded differential system // Optics Communications. 1989. V. 72. № 1. P. 123-128.

57. Britton N.F. Spatial Structures and Periodic Travelling Waves in an Integro-Differential Reaction-DiffusionPopulation Model // SIAM J. Appl. Math. 1990. V. 50. № 6. P. 1663-1688.

58. Busenberg S., Huang W. Stability and Hopf bifurcation for a population delay model with diffusion effects //J. Different. Equat. 1996. V. 124. P. 80-107.

59. S. S. Chesnokov and A. A. Rybak Spatiotemporal chaotic behavior of time-Delayed nonlinear optical systems // Laser Physics. 2000. Vol. 10. No. 5. P. 1061-1068.

60. S.S.Chesnokov, A.A. Rybak, V.I. Stadnichuk Time-delayed nonlinear optical systems: temporal instability and cooperative chaotic dynamics // SPIE Proc. 2002. Vol. 4751. P. 492-498.

61. R. Bou, M. A. Vorontsov, Viktor P. Sivokon, Michael K. Giles Iterative technique for high-resolution phase distortion compensation in adaptive interferometers // J. of Optical Engineering. 1997. Vol. 36. № 12. P. 3327-3335

62. Faria T. Normal forms for semilinear functional differential equations in Banach spaces and applications // Discrete and Continuous Dynamical Systems. 2001. V. 7. № 1. P. 155-176.

63. Faria T. Stability and bifurcation for a delayed predator-prey model and the effect of diffusion // J. Math. Analys. Appl. 2001. V. 254. P. 433-463.

64. Faria T., Huang W., Wu J. Travelling waves for delayed reaction-diffusion equations with global response // Proc. of Royal Soc. A. 2006. V. 462. P. 229-261.

65. Faria T., Magalhaes L.T. Normal forms for retarded functional differntial equations with parameters and applications to Hopf singularity //J. Different. Equat. 1995. V. 122. P. 181-200.

66. Fiedler B., Scheel A. Spatio-temporal dynamics of reaction-diffusion patterns. In: Trends in Nonlinear Analysis, M. Kirkilionis, S. Kromker, R. Rannacher, F. Tomi (Eds.), Berlin.-Springer, 2003.

67. Fisher A.D., Warde C. Technique for real-time high-resolution adaptive phase compensation // Optics Letters. 1983. Vol. 8. № 7. P.353-355.

68. Gibbs H. Optical bistability: controlling light with light. Orlando: Academic Press, 1985.

69. Gourley S. A., Britton N.F. A predator-prey reaction-diffusion system with nonlocal effects //J. Math. Biol. 1996. V. 34. P. 297-333.

70. Gourley S.A., So J.W.-H., Wu J.H. Nonlocality of reaction-diffusion equations induced by delay: biological modeling and nonlinear dynamics //J. Math. Sci. N.Y:Springer, 2004. V. 124. № 4. P. 5119-5153.

71. Grigorieva E.V., Haken H., Kashchenko S.A., Pelster A. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback // Physica D. 1999. V. 125. P. 123-141.

72. Hale J., Theory of functional differential equations. New York: Springer, 1977.

73. He Q., Kanga L., Evans B.J. Convergence and stability of the finite difference scheme for nonlinear parabolic systems with time delay // Numerical Algorithms. 1997. Vol. 16. P. 129-153.

74. Hunter, J. B. Matplotlib: A 2D graphics environment // Computing In Science k Engineering. 2007. Vol. 9. No 3. P. 90-95.

75. K. Ikeda, H. Daido, and O. Okimoto. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Phys. Rev. Lett. 1980. V. 45. P. 709-712.

76. Iroshnikov N.G., Vorontsov M.A., Transverse rotating waves in the nonlinear optical system with spatial and temporal delay //In "Frontiers in nonlinear

optics: in memoriam of Serge Akhmanov"(Ed. by H. Walter, N. Koroteev). London: M. Scully. - IOP. 1992. P. 261-278.

77. Kamont Z., Kropielnicka K. Implicit difference methods for evolution functional differential equations // Numerical Analysis and Applications. 2011. Vol. 4. No. 4. P. 294-308.

78. Lai M.-C., Wang W.-C. Fast Direct Solvers for Poisson Equation on 2D Polar and Spherical Geometries // Numerical Methods for Partial Differential Equations. 2001. Vol. 18, No. 12. P. 56-68.

79. Lekomtsev A.V., Pimenov V.G. Convergence of the alternating direction method for the numerical solution of a heat conduction equation with delay // Proceedings of the Steklov Institute of Mathematics. 2011. Vol. 272, Suppl. 1. P. S101-S118.

80. Mei M., Lin C.-K., Lin C.-T., So J. W.-H. Traveling wavefronts for time-delayed reaction.diffusion equation: (I) Local nonlinearity //J. Different. Equat. 2009. V. 247. P. 495-510.

81. Minh N. V.; Wu J. Invariant manifolds of partial functional differential equations // J. Different. Equat. 2004. V. 198. P. 381-421.

82. Montemezzani G., Zhou G., Anderson D.Z. Self-organized learning of purely temporal information in a photorefractive optical resonator// Optics Letters. 1994. Vol. 19, № 23. P. 2012-2014.

83. Nirenberg L. Topics in nonlinear functional analysis. Providence: American Mathematical Society, 2001.

84. Noonburg V. W. Roots of a transcendental equation associated with a system of differential-difference equations // SIAM J. Appl. Math. 1969. Vol. 17. № 1. P. 198-205.

85. Otsuka К., Ikeda К. Cooperative dynamics and functions in a collective nonlinear optical element system // Phys. Rev. A. 1989. V. 39. № 10. P. 5209-5228.

86. Pao С. V. Numerical methods for systems of nonlinear parabolic equations with time delays // Journal of Mathematical Analysis and Applications. 1999. Vol. 240, Issue 1. P. 249-279.

87. Razgulin A.V. Bifurcational light structures in nonlinear optical system with nonlocal interactions // Visual Information Processing II. Proceedings SPIE. 1993. V. 1961. P. 241-250.

88. Razgulin A.V. Finite-dimensional dynamics of distributed optical system with delayed feedback // Comput. Math. Appl. 2000. V. 40. № 12. P. 1405-1418.

89. Razgulin A. V. The attractor of the delayed functional-differential diffusion equation // Comput. Math, and Model. New York: Springer. 1997. V. 8. № 2. P. 181-186.

90. Razgulin A. V., Romanenko Т. E. An approach to the description of rotating waves in parabolic functional-differential equations with rotation of spatial arguments and time delay. The Sixth International Conference on Differential and Functional Differential Equations // Abstracts. M.: Изд-во РУДН, 2014. С. 56-57. // Moscow, August 14-21, 2011, тезисы, с. 56-57.

91. Razgulin A. V., Romanenko Т. E., Pavlov S.D. On suppression of distortions in nonlocal models of adaptive optics. The Seventh International Conference on Differential and Functional Differential Equations // Abstracts. M.: Изд-во РУДН, 2014. С. 97-98.

92. Schaaf К. Asymptotic behavior and traveling wave solutions for parabolic functional differential equations // Trans. Amer. Math. Soc. 1987. V. 302. P. 587-615.

93. Schley D. Rotating Waves in Scalar Equations with Neumann Boundary Conditions // Math. Comput. Modell. 2003. V. 37. R 767-778.

94. Shen J. Efficient Spectral-Galerkin Methods III: Polar and Cylindrical Geometries // SIAM J. Sci. Comput. 1997. V. 18. No 6. P. 1583-1604.

95. Skubachevskii A.L. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Analysis: TMA. 1998. V. 32. № 2. P. 261-278.

96. Tyson R. K. Principles of adaptive optics. 3rd ed. CRC Press, 2010.

97. Volpert A. I., Volpert Vit. A., Volpert Vlad. A. Traveling wave solutions of parabolic systems // Translations of mathematical monographs. AMS Providence. Rhode Island. 2000. V. 140.

98. Vorontsov M.A. Problems of large neurodynamics system modelling: Optical synergetics and neural networks // SPIE. 1990. Vol. 1402. P. 116-144.

99. Vorontsov M.A., Iroshnikov N.G. Nonlinear dynamics of neuromorphic optical system with spatio-temporal interactions // Optical Memory and Neural Networks. SPIE. 1991. V. 1621. P. 292-298.

100. Vorontsov M.A., Katulin V.A., and Naumov A.F. Wavefront control by an optical-feedback interferometer // Optics Communications. 1989. Vol. 71. № 1-2. P. 35-38.

101. Vorontsov M.A. and Larichev A.V Intelligent laser systems: adaptive compensation of phase distortions in nonlinear system with two-dimensional feedback // In: Nonlinear Optics, SPIE Vol. 1409. 1991. P. 260-266.

102. Vorontsov M.A., Razgulin A. V Properties of global attractor in nonlinear optical system having nonlocal interactions // Photonics and Optoelectronics. Allerton Press, N.Y., USA. 1993. V. 1. №. 2. P. 103-111.

N

103. Dou R., Vorontsov M.A., Sivokon V.P., and Giles M.K. Iterative technique for high-resolution phase distortion compensation in adaptive interferometers // Optical Engineering. 1997. Vol. 36. № 12. P. 3327-3335.

104. Vorontsov M.A. and Shishakov K. V Phase-distortion suppression in nonlinear cavities with gain // J. of the Optical Society of America. 1992. Vol. 9. P. 71-77.

105. Vorontsov M.A., Zheleznykh N.I., and Ivanov V.Yu. Transverse interactions in the 2-D feedback non-linear optical systems // Optical and Quantum Electronics. 1990. Vol. 22. P. 501-515.

106. Wu J. Theory and applications of partial functional differential equations. Springer-Verlag New York, 1996.

107. Wu J., Xia H. Rotating waves in neutral partial functional differential equations // J. Dynamics and Different. Equat. 1999. V. 11. № 2. P. 209-238.

108. Yoshida K. The Hopf bifurcation and its stability for semilinear diffusion equations with time delay arising in ecology // Hiroshima Math. J. 1982. V. 12. P. 321-348.

109. Zhou L., Tang Y., Hussein S. Stability and Hopf bifurcation for a delay competition diffusion system // Chaos, Solitons and Fractals. 2002. V. 14. P.

1201-1225.

110. Zou X., Wu J. Existence of travelling wave fronts in delayed reaction-diffusion systems via the monotone iteration method // Proc. of the Amer. Math. Society. 1997. V. 125. №. 9. P. 2589-2598.