Математическое моделирование волновых структур в нелинейных оптических системах с запаздыванием и дифракцией тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Будзинский Станислав Сергеевич

• Будзинский Станислав Сергеевич
• кандидат наук
• 2020

Оглавление диссертации кандидат наук Будзинский Станислав Сергеевич

Введение

Глава 1. Структурообразование в модели на окружности

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Обозначения

1.1.2 Описание модели

1.2 Аналитическое исследование модели

1.2.1 Свойства задачи

1.2.2 Теорема о существовании вращающихся волн

1.2.3 Построение конечномерной модели на основе нормальной формы

1.3 Численное исследование модели

1.3.1 Выбор параметров модели

1.3.2 Описание численного метода

1.3.3 Результаты моделирования

Глава 2. Моделирование вращающихся и стоячих волн в

тонком кольце

2.1 Постановка задачи

2.1.1 Обозначения

2.1.2 Описание модели

2.2 Аналитическое исследование модели

2.2.1 Свойства задачи

2.2.2 Применение алгоритма построения нормальной формы

2.2.3 Связь с моделью на окружности

2.3 Численное исследование модели

2.3.1 Описание численного метода

2.3.2 Результаты моделирования

Глава 3. Моделирование спиральных волн в тонком кольце

3.1 Постановка задачи

3.1.1 Обозначения

3.1.2 Описание модели

3.2 Аналитическое исследование модели

3.2.1 Свойства оператора Лапласа

3.2.2 Связь с моделью на окружности

3.3 Численное исследование модели

3.3.1 Свойства оператора дифракции

3.3.2 Численный метод

3.3.3 Результаты моделирования

Заключение

Список литературы

Публикации автора по теме диссертации

Список рисунков

Список таблиц

Приложение А. Описание программной реализации

А.1 Модуль управления экспериментом

А.2 Вычислительный модуль

А.З Модуль визуализации результатов эксперимента

А.4 Организация работы

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Математическое моделирование волновых структур в нелинейных оптических системах с запаздыванием и дифракцией»

Введение

Актуальность темы исследования. Нелинейные оптические эффекты находятся в поле зрения исследователей с момента их предсказания и обнаружения в середине XX века [1]. Одним из важных направлений в данной области является изучение и применение различного рода резонаторов и систем с обратной связью [2]. Подобные оптические системы активно используются при конструировании лазеров [3; 4] и систем адаптивной оптики [5 7]. В задачи систем адаптивной оптики входит подавление искажений [8 11], что находит наиболее частые приложения в астрономии [12 14] и офтальмологии [15 17]. Оптические системы с обратной связью применяются также для задач обработки информации [18 20], устойчивой и защищенной высокоскоростной передачи данных [21 25], аналоговой реализации нейронных сетей [26], в том числе опто-электронных систем резервуарных вычислений [27 33].

С другой стороны такие системы обладают крайне богатой динамикой в поперечной к направлению распространения света плоскости [34 37]. В зависимости от конфигурации контура обратной связи можно наблюдать различные режимы самоорганизации светового поля как то: турбулентность и хаос [38], волны [39 43], фронты [44] и другие структуры [45 47]. Для многих подобных оптических систем сложная динамика проистекает из явления бистабильности [48; 49], характерного для самооргнаизующихся систем и из других областей [50 53].

Пример оптической системы с обратной связью представлен на Рисунке 1. Она состоит из 1) жидкокристаллического пространственно-временного модулятора света (ЖК-ПВМС, в общем случае тонкого слоя нелинейной керровской среды); 2) зеркала; 3) фотопроводящей пластинки, связанной с ЖК-ПВМС; 4) устройства пространственного преобразования световой волны в контуре обратной связи; 5) устройства, реализующего запаздывание в контуре обратной связи. Элемент 6) обозначает искаженный прохождением сквозь слой ЖК-ПВМС волновой фронт.

Конкретный вид моделей, описывающих динамику нелинейных оптических систем с обратной связью, определяется устройством контура обратной связи и набором учитываемых физических явлений. В простейшем случае, не

ш ■

ТГГТ оит

« 1 2 3

Р(А(г))= А(г-Т)

У

5

Рисунок 1 Схема нелинейной оптической системы.

учитывающем пространственную распределенность, модель может представлять собой обыкновенное дифференциально-разностное уравнение [54; 55]. Более сложные модели включают зависимость от поперечных координат и их преобразования в контуре обратной связи; в таком случае система описывается квазилинейным функционально-дифференциальным уравнением диффузии. Одномерные модели на окружности с интерференцией и преобразованием поворота изучались в [56 59] (в этом же контексте исследовалась оптическая буферность [60]); случай распределенного поворота был рассмотрен в [61], а модель на отрезке с преобразованием отражений изучалась в [62]. Явление дифракции в контуре обратной связи вместе с поворотом на окружности учитывалось в модели из [63]. Двумерные модели в круге с преобразованием поворота рассматривались в [40; 64]; комбинация поворота и радиального сжатия была темой [65]. Исследование бегущих волн в параболических уравнениях началось с [66], и ему посвящено множество работ (см. [67]).

Как дифференциально-разностные уравнения, так и уравнения диффузии с преобразованием пространственных аргументов являются частными случаями функционально-дифференциальных уравнений (ФДУ) [68 70], являющихся обобщениями обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных на случай нелокальных взаимосвязей в системе. Теоретические вопросы, связанные с ФДУ с преобразованиями пространственных аргументов, изучались в [71 83] и других работах.

Еще одним интересным классом преобразований в контуре обратной связи являются Фурье-фильтры: свет, прошедший через линзу, претерпевает аналоговое Фурье-преобразование [84], после чего он пропускается через специальный

4

фильтр и проходит через еще одну линзу, совершающую обратное преобразование Фурье. В данном случае управление светом в контуре обратной связи проходит не в пространственной, а в частотной области. Самоорганизация в таких системах изучалась в работах [46; 85 88].

Наиболее сложными для анализа являются пространственно-распределенные модели оптических систем с запаздыванием в контуре обратной связи, приводящим к нелокальным временным зависимостям. При этом технические трудности возникают и для пространственно однородных моделей с запаздыванием [54], поскольку даже в таком случае фазовое пространство состояний оптической системы бесконечномерно [68]. Для задач подавления искажений учет запаздывания позволяет получить более физически достоверные модели [6; 8 10], а для вопросов структурообразования обогатить динамику системы: в совокупности с поворотом пространственного аргумента оно может повлечь возникновение вращающихся одномерных [42] и двумерных [26; 43] волн. Запаздывание привносит в систему «память»; сходный эффект несет и другой механизм, гистерезис, который встречается во многих физических и биологических системах [89] и также может приводить к возникновению периодических решений [90 92].

Модели оптических систем с преобразованием поворота в контуре обратной связи будь то одномерная модель на окружности или двумерная в круге, с запаздыванием или без^обладают группой симметрий Б О (2) поворотов плоскости. В этом случае вращающиеся в направлении согласованном с направлением поворота волны являются естественными решениями, возникающими в результате бифуркации Андронова Хопфа [93]. В случае обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) бифуркации Андронова Хопфа исследуются стандартными методами, связанными с редукцией уравнения на его центральное многообразие и построением нормальной формы для редуцированного ОДУ [94; 95]. Данный подход обобщается для параболических уравнений в частных производных, которые можно рассматривать как абстрактные ОДУ в пространствах Соболева [96], что требует привлечения аппарата функционального анализа. Обобщение для ФДУ с запаздыванием основано на тонких математических построениях, связанных со специфической структурой фазового пространства уравнений с запаздыванием, что делает исследование бифуркаций для ФДУ технически сложным [97 101].

В отсутствие преобразования поворота система может обладать более богатой группой симметрий, например группой 0(2) ортогональных преобразований плоскости. Бифуркации в условиях групп симметрий зачастую являются вырожденными и имеют более сложные нормальные формы, что в свою очередь приводит к более разнообразным бифуркационным решениям [102 105]. Например, система уравнений реакции-диффузии на окружности может иметь как решения вида вращающихся (по и против часовой стрелки), так и стоячих волн [106]. Отметим также, что в отсутствие преобразования поворота бифуркационные периодические решения в уравнениях с запаздыванием могут оказаться и более простыми, чем вращающиеся волны: пространственно однородными колебаниями [107; 108].

Область, в которой изучается модель оптической системы, зависит от поперечной апертуры, в пределах которой распространяется свет. Часто встречается апертура тонкого кольца, и в таком случае принято использовать упрощенные одномерные модели на окружности [35; 42; 59]; при этом вопрос о том, насколько точно одномерная модель описывает процессы в двумерном тонком кольце, специально не исследовался. В то же время известно, что динамика уравнений типа реакции-диффузии в тонких областях тесно связана с динамикой их предельных уравнений в областях меньшей размерности: в основополагающей работе [109] была доказана полу непрерывность аттракторов при стремлении толщины области к нулю при краевых условиях Неймана в тонком направлении. Параллельно с продолжающимся развитием соответствующей теории [110 122] она успешно применялась для анализа классических задач математической физики в тонких областях: системы уравнений Навье Стокса в трехмерной области [123; 124], уравнения Курамото Сивашинского [125], уравнения Гинзбурга Ландау [126], моделей океана [127], уравнения диффузии для частиц со спином в неоднородных магнитных полях [128] и других. Уравнения с запаздыванием в тонких областях почти не исследовались: лишь в [129] изучается параболическое уравнение с запаздыванием в тонком прямом канале с краевыми условиями Неймана.

Отметим важность краевых условий, накладываемых в тонком направлении. В случае однородных условий Дирихле решение, равное нулю на границе в тонком направлении, должно было бы стать тождественно равным нулю в пределе при стремлении границ друг к другу. В случае же однородных условий Ней-

маыа решение становится «постоянным» в тонком направлении при стремлении границ друг к другу, что позволяет получить предельное уравнение в области меньшей размерности. С точки зрения спектральных свойств неограниченных операторов в тонких областях условия Дирихле и Неймана отличаются тем, что для первых все собственные значения становятся бесконечно большими в пределе при стремлении толщины области к нулю, а для вторых существует последовательность собственных значений, остающаяся в пределе конечной [130 133].

В [134] было отмечено, что теория уравнений в тонких областях может быть применена и в случае краевых условий на наклонную производную, однако работ, изучающих данное направление, в литературе не наблюдается. В то же время условия на наклонную производную важны с точки зрения моделирования спиральных волн. В [135] они использовались для возбуждения в результате бифуркации Андронова Хопфа вращающихся спиралей в скалярном уравнении реакции-диффузии без запаздывания в круге; именно за счет несамосопряженных краевых условий удалось получить пару мнимых характеристических чисел. Эллиптические уравнения с краевыми условиями на наклонную производную изучались в [136 143] и других работах. Вообще же спиральные волны являются типичным примером явления самоорганизации и возникают в различных областях естествознания: каталитических реакциях Бело-усова Жаботинского [144], протекающих в сердце процессах [145], нелинейных оптических системах с контурами обратной связи [146; 147] и других. Описанию спиралей, исследованию механизмов их возникновения и методов управления ими посвящено множество работ [148 154] и другие.

Целью данной работы является аналитическое и численное исследование новых волновых и спиральных структур в иерархии математических моделей нелинейной оптической системы с дифракцией и контуром обратной связи с запаздыванием.

Для достижения поставленной цели необходимо было решить следующие задачи:

1. Для одномерной модели на окружности аналитически исследовать существование и устойчивость возникающих в результате 0(2)-эквивариантной бифуркации Андронова-Хопфа вращающихся и стоячих волн. Найти гарантирующие их орбитальную асимптотиче-

скую устойчивость параметры модели. Разработать численный метод для решения квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии с запаздыванием на окружности и провести вычислительные эксперименты по возбуждению бифуркационных волн.

2. Аналитически исследовать связь между двумерной моделью в тонком кольце с краевыми условиями Неймана и одномерной моделью на окружности. Разработать численный метод для решения квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии с запаздыванием в тонком кольце с краевыми условиями Неймана и провести вычислительные эксперименты по возбуждению бифуркационных волн.

3. Аналитически исследовать связь между двумерной моделью в тонком кольце с краевыми условиями на наклонную производную и одномерной моделью на окружности. Для этого изучить свойства оператора Лапласа в кольце с краевыми условиями на наклонную производную: установить свойства порождаемой им полугруппы операторов и изучить его спектральную сходимость при стремлении толщины кольца к нулю. Разработать численный метод для решения квазилинейного функционально-дифференциального уравнения диффузии с запаздыванием в тонком кольце с краевыми условиями на наклонную производную и провести вычислительные эксперименты по возбуждению бифуркационных спиральных волн.

Научная новизна:

1. Впервые предложена конечномерная модель для описания вращающихся и стоячих волн в квазилинейных функционально-дифференциальных уравнениях диффузии с запаздыванием на окружности, основанная на конструктивном вычислении нормальной формы 0(2)-эквивариантной бифуркации Андронова-Хопфа.

2. Впервые метод понижения размерности области применен для моделирования вращающихся и стоячих волн в квазилинейном уравнении диффузии с запаздыванием в тонкой области.

3. Впервые исследована спектральная сходимость оператора Лапласа в тонкой области с краевыми условиями на наклонную производную при стремлении толщины области к нулю.

4. Впервые метод понижения размерности области применен для изучения уравнения в тонкой области с краевыми условиями на наклонную производную.

5. Обнаружен новый режим самоорганизации вида пульсирующих спиральных волн.

Теоретическая и практическая значимость. Разработан метод понижения размерности области для моделирования вращающихся, стоячих и спиральных волн в квазилинейных функционально-дифференциальных уравнениях диффузии с запаздыванием в тонком кольце. Обнаружен новый режим самоорганизации вида пульсирующих спиральных волн.

Методология и методы исследования. В работе используются математические методы теории дифференциальных уравнений, теории бифуркаций и нормальных форм, методы вычислительной математики и численного моделирования.

Основные положения, выносимые на защиту:

1. Численно-аналитический метод для моделирования одномерных вращающихся и стоячих волн в квазилинейных функционально-дифференциальных уравнениях диффузии с запаздыванием на окружности на основе конструктивного вычисления нормальной формы 0(2)-эквивариантной бифуркации Андронова-Хопфа.

2. Численно-аналитический подход к моделированию двумерных вращающихся и стоячих волн в тонком кольце на основе понижения размерности области.

3. Свойства оператора Лапласа в кольце с краевыми условиями на наклонную производную: свойства порождаемой им полугруппы операторов и его спектральная сходимость к оператору второй производной на окружности при стремлении толщины кольца к нулю.

4. Численно-аналитический подход к моделированию двумерных спиральных волн в тонком кольце на основе понижения размерности области и применения комбинации трех механизмов: запаздывания, краевых условий на наклонную производную, малой толщины области.

Степень достоверности и апробация работы. Достоверность полученных результатов подкреплена согласованностью выводов аналитического исследования и численного моделирования. Основные результаты работы докла-

и

дывались на следующих научно-исследовательских школах, конференциях и семинарах.

1. Летняя школа «GSIS Homogenization and numerical analysis international summer school» (Сендай, Япония, 31 июля - 9 августа 2015).

2. Летняя школа «Римско-Московская школа по матричным методам и прикладной линейной алгебре» (Москва, Россия, 20 августа - 3 сентября 2016, Рим, Италия, 4-18 сентября 2016).

3. Международная научная конференция студентов, аспирантов и молодых ученых «Ломоносов-2016» (Москва, Россия, 11-15 апреля 2016).

4. Международная конференция «Динамические системы: обратные задачи, устойчивость и процессы управления», посвящённая восьмидесятилетию академика Ю.С. Осипова (Москва, Россия, 22-23 сентября 2016).

5. Международная конференция The 8-th International Conference on Differential and Functional Differential Equations (Москва, Россия, 14-19 августа 2017).

6. Научная конференция «Ломоносовские чтения 2018», секция «Вычислительная математика и кибернетика» (Москва, Россия, 16-27 апреля 2018).

7. Международная конференция «Современные методы теории краевых задач. Понтрягинские чтения - XXIX», посвященная 90-летию В.А.Ильина (Москва, Россия, 2-6 мая 2018).

8. Международная конференция 7th International Conference on Mathematical Modeling in Physical Sciences (Москва, Россия, 27-31 августа 2018).

9. Научная конференция «Тихоновские чтения 2018» (Москва, Россия, 29 октября - 1 ноября 2018).

10. Международная конференция 11th Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations (Сегед, Венгрия, 17-21 июня 2019)

11. Международная конференция «Современные проблемы вычислительной математики и математической физики», посвященная памяти академика А.А.Самарского в связи со 100-летием со дня его рождения (Москва, Россия, 18-20 июня 2019).

12. Научная конференция «Тихоновские чтения 2019» (Москва, Россия, 28 октября - 1 ноября 2019).

13. Научно-исследовательский семинар кафедры математической физики факультета ВМК МГУ им. М.В. Ломоносова.

14. Межвузовский научно-исследовательский семинар по математике «Анализ и его приложения» под руководством Г.Г. Брайчева, И.В. Тихонова и В.Б. Шерстюкова на базе Московского Педагогического Государственного Университета.

15. Научный семинар по дифференциальным и функционально-дифференциальным уравнениям под руководством А.Л. Скубачевского на кафедре прикладной математики факультета физико-математических и естественных наук Российского Университета Дружбы Народов.

Личный вклад. Все результаты работы получены автором лично под научным руководством д.ф.-м.н., доц. A.B. Разгулина. В работах, написанных в соавторстве, вклад автора диссертации в полученные результаты в части аналитического исследования, математического моделирования, численных методов и разработки комплекса программ является определяющим.

Публикации. Основные результаты по теме диссертации изложены в 11 печатных изданиях, 4 из которых изданы в журналах Scopus, WoS, RSCI, а также в изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности.

Объем и структура работы. Диссертация состоит из введения, трёх глав, заключения и одного приложения. Полный объём диссертации составляет 134 страницы с 20 рисунками и 4 таблицами. Список литературы содержит 182 наименования.

В первой главе исследуется самоорганизация одномерных периодических волн в модели на окружности с запаздыванием. Для доказательства существования вращающихся волн осуществляется переход в движущуюся систему координат и используется редукция Ляпунова-Шмидта. Для исследования устойчивости бифуркационных решений строится нормальная форма 0(2)-эквивариантной бифуркации Андрнонова-Хопфа для ФДУ диффузии с запаздыванием и явно вычисляются коэффициенты нормальной формы. Анализ коэффициентов позволяет получить критерии устойчивости стоячих и вращающихся в обе стороны волн в терминах физических параметров модели. На основе полученных критериев устойчивости и общих свойств характеристических квазимногочленов формулируется алгоритм выбора параметров, гаранта-

рующих существование и устойчивость стоячих/вращающихся волн. В конце главы приводится численный метод для решения начально-краевой задачи для квазилинейного ФДУ диффузии с запаздыванием на окружности, и представлены результаты численных экспериментов, согласующиеся с результатами аналитического исследования существования и устойчивость бифуркационных волн.

Вторая глава посвящена моделированию вращающихся и стоячих воле в двумерной модели в тонком кольце с краевыми условиями Неймана с запаздыванием. Для нее проводится построение нормальной формы 0(2)-эквивариантной бифуркации Лндрнонови Хопфи и показывается, что лишь один из трех коэффициентов можно вычислять явно в замкнутом виде. В этой ситуации для исследования устойчивости волн в тонком кольце приводятся сведения о спектральной сходимости оператора Лапласа в тонком кольце с краевыми условиями Неймана при стремлении толщины кольца к нулю и предлагается использовать подход, основанный на понижении размерности и изучении свойств предельной задачи на окружности. Затем приводится численный метод для решения начально-краевой задачи для квазилинейного ФДУ диффузии с запаздыванием в тонком кольце с краевыми условиями Неймана. Результаты численного моделирования показывают, что предлагаемый подход действительно позволяет конструктивно предсказывать и наблюдать двумерные стоячие и вращающиеся волны, обладающие свойствами устойчивости.

В третьей главе проводится моделирование спиральных волн в двумерной модели в тонком кольце с краевыми условиями на наклонную производную и запаздыванием. Формулируется подход к моделированию спиральных волн в тонком кольце, основанный на понижении размерности и изучении свойств предельной задачи на окружности, обладающей более богатой группой симмет-рий. Для получения предельной задачи проводится аналитическое исследование свойств оператора Лапласа в кольце с краевыми условиями на наклонную производную: доказывается теорема о свойствах порождаемой им полугруппы операторов и устанавливается его спектральная сходимость при стремлении толщины кольца к нулю. Численно-аналитическими методами изучаются свойства начально-краевой задачи для линейного уравнений Шредингера в тонком кольце с условиями на наклонную производную. Для проведения численных экспериментов разрабатывается численный метод для решения начально-краевой задачи для квазилинейного ФДУ диффузии с запаздыванием в тонком коль-

це с краевыми условиями на наклонную производную. Результаты численного моделирования показывают, что предлагаемый подход позволяет конструктивно предсказывать и наблюдать двумерные вращающиеся спиральные волны и ранее не описанный в литературе режим пульсирующих спиральных волн, обладающих свойствами устойчивости.

В приложении описывается реализация программного комплекса и схема взаимодействия входящих в него модулей.

Глава 1. Структурообразование в модели на окружности

1.1 Постановка задачи

1.1.1 Обозначения

С помощью Н(С) будем обозначать гильбертово пространство ^(0, 2п) квадратично интегрируемых по Лебегу комплекснозначных функций на интервале (0, 2^). Скалярное произведение и норму в Н(С) введем стандартным образом:

п 2 т _

(и,ю) = и(6)у(6)<16, ||и|| = (и, и).

л

По аналогии введем обозначение Н2 (С) для пространства Соболева

Н2(С) = {и е Н(С) : и" е Н(С)}

со следующими скалярным произведением и нормой:

(и,У )Я2(С) = (и,у) + (и",у"), |м|Я2(С) = ^ (и,и)н 2 (С).

Через Н^ (С) С Н2 (С) обозначим подпространство периодических функций

Н1 (С) = {и е Н2(С) : и(0) = и(2ж), и'(0) = и'(2ж)} .

Рассмотрим полную ортонормированную в Н(С) систему собственных функций оператора второй производной с периодическими краевыми условиями:

еп = ехр(тО), —е'' = п2еп, \\еп\\ = 1, п Е Ж. у/2-п

Если наделить Н^ (С) скалярным произведением и нормой согласно

(и,ъ)н1 (с) = + п4)(и,еп)(еп ,v), ы^ (с) = ^ (ц,и)н22^ (с):

пе ж

то оно само станет гильбертовым пространством, причем будет выполняться равенство норм ЦиЦ^ (с) = \\и\\н2(с) для всех и е (С), а также

Н1 (С) = {и е Н(С) : \1иЦн1 (с) < ж} .

Для банахова пространства X с норм ой \\ • \\х будем обозначать пространство к раз непрерывно дифференцируемых на отрезке [а,Ь] Х-значных функций через Ск([а,Ь]; X); норму в нем зададим как

к

Ы\с([а,Ъ]; X) = ^ «Ир ^ ^Цх.

Для пространства комплекснозначных функций X (С) будем обозначать его вещественнозначный аналог с помощью X. Например Н2(С) и

Н2. А для

линейного оператора Ь : V ^ Ж на паре линейных пространств над полем вещественных чисел введем его комплексификацию

Ьс : (V + [V) ^ (№ + iW), ЬС(и + IV) = Ьи + Ну, и,у е V.

1.1.2 Описание модели

В настоящей диссертации рассматривается математическая модель нелинейной оптической системы с контуром обратной связи. На вход системе подается плоская электромагнитная волна, которая проходит через тонкий слой полупрозрачной нелинейной среды керровского типа и попадает в контур обратной связи. При взаимодействии с нелинейной средой у плоской электромагнитной волны изменяется фаза на величину, которую будем называть фазовой модуляцией. Фазовая модуляция пропорциональна толщине слоя нелинейной среды и возмущению его коэффициента преломления в данной точке в данный момент времени. Попадая в контур обратной связи, промодулированная волна претерпевает запаздывание, которое может быть реализовано в эксперименте с помощью фоторефрактивных кристаллов [155; 156] (запаздывание также реализуют с приминением телевизионной обратной связи [35]). После прохождения

через устройство запаздывания промодудировання волна свободно распространяется в контуре обратной связи, в конце которого она изменяет поляризацию слоя нелинейной среды (либо непосредственно взаимодействуя с ним, либо посредством фотопроводящей пластинки). Динамика такой оптической системы описывается уравнением относительно фазовой модуляции, которое выводится из законов, связывающих коэффициент преломления среды и её поляризацию, вызванную внешним электрическим полем (вывод уравнения и физические детали см. в [35; 156]). Заметим, что в отличие от процитированных работ в нашей работе нет интерференции, чего можно добиться изменением расположения зеркал в системе.

Итак, рассматривается периодическая краевая задача для квазилинейного уравнения диффузии с запаздыванием на окружности. Отметим, что мы не указываем начальное условие, поскольку нас интересуют периодические решения. Искомая фазовая модуляция зависит от двух переменных и(9, ¿) и удовлетворяет краевой задаче

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Будзинский Станислав Сергеевич, 2020 год

Список литературы

1. Boyd R. W. Nonlinear Optics. — 3rd ed. — Amsterdam ; Boston : Academic Press, 2008. — ISBN 978-0-12-369470-6.

2. Hodgson N., Weber H. Optical Resonators: Fundamentals, Advanced Concepts and Applications. — London : Springer-Verlag, 1997. — ISBN 9781-4471-3595-1. — DOI: 10.1007/978-1-4471-3595-1.

3. Laser phase and frequency stabilization using an optical resonator / R. W. P. Drever [et al.] // Applied Physics B. — 1983. — Vol. 31, no. 2. — P. 97-105. — DOI: 10.1007/BF00702605.

4. Grigorieva E. V., Kaschenko S. A. Stability of equilibrium state in a laser with rapidly oscillating delay feedback // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2015. — Vol. 291, Supplement C. — P. 1-7. — DOI: 10.1016/j. physd.2014.10.002.

Hardy J. W. Active optics: a new technology for the control of light // Proceedings of the IEEE. — 1978. — Vol. 66, no. 6. — P. 651-697. — DOI: 10.1109/PROC.1978.10992.

6. Barnes T. H., Eiju T, Matsuda K. High resolution adaptive optics using an interference phase loop // Optics Communications. — 1996. — Vol. 132, no. 5. — P. 494-502. — DOI: 10.1016/0030-4018(96)00336-7.

7. Tyson R. K. Principles of Adaptive Optics. — 2011. — ISBN 978-1-43980859-7. — OCLC: 975898404.

8. Vorontsov M. A., Katulin V. A., Naumov A. F. Wavefront control by an optical-feedback interferometer // Optics Communications. — 1989. — Vol. 71, no. 1. — P. 35-38. — DOI: 10.1016/0030-4018(89)90299-X.

Iterative technique for high-resolution phase distortion compensation in adaptive interferometers / R. Dou [et al.] // Optical Engineering. — 1997. — Vol. 36, no. 12. — P. 3327-3336. — DOI: 10.1117/1.601591.

10. Романенко Т. Е., Разгулин А. В. О моделировании подавления искажений в нелинейной оптической системе с запаздыванием в контуре обратной связи // Математическое моделирование. 2014. т. 26, № 11.

с. 123 136. DOI: 10.1134/S2070048215030096.

11. Phase distortion suppression in a nonlinear optical system with integral feedback / A. Larichev [et al.] // Laser Physics. — 2015. — Vol. 25, no. 11. — P. 115401. — DOI: 10.1088/1054-660X/25/11/115401.

12. Beckers J. M. Adaptive optics for astronomy: principles, performance, and applications // Annual Review of Astronomy and Astrophysics. — 1993. — Vol. 31, no. 1. — P. 13-62. — DOI: 10.1146/annurev.aa.31.090193.000305.

13. Hardy J. W. Adaptive Optics for Astronomical Telescopes. — Oxford University Press, 1998. — ISBN 978-0-19-509019-2.

14. Roddier F. Adaptive Optics in Astronomy. — Cambridge University Press, 1999. — ISBN 978-0-521-55375-9.

15. Liang J., Williams D. R., Miller D. T. Supernormal vision and highresolution retinal imaging through adaptive optics // JOSA A. — 1997. — Vol. 14, no. 11. — P. 2884-2892. — DOI: 10.1364/JOSAA.14.002884.

16. Adaptive optics scanning laser ophthalmoscopy / A. Roorda [et al.] // Optics Express. — 2002. — Vol. 10, no. 9. — P. 405-412. — DOI: 10.1364/OE.10.000405.

Adaptive-optics optical coherence tomography for high-resolution and highspeed 3D retinal in vivo imaging / R. J. Zawadzki [et al.] // Optics Express. — 2005. — Vol. 13, no. 21. — P. 8532-8546. — DOI: 10.1364/ OPEX.13.008532.

Self-Organization in Optical Systems and Applications in Information Technology. Vol. 66 / ed. by M. A. Vorontsov, W. B. Miller, H. Haken. — Berlin, Heidelberg : Springer Berlin Heidelberg, 1998. — (Springer Series in Synergetics). — ISBN 978-3-540-64125-4.

19. Neubecker R., Zimmermann A., Jakoby O. Utilizing nonlinear optical pattern formation for a simple image-processing task // Applied Physics B. — 2003. — Vol. 76, no. 4. — P. 383-392. — DOI: 10.1007/s00340-003-1138-2.

20. Optical image processing using an optoelectronic feedback system with electronic distortion correction / Y. Hayasaki [et al.] // Optics Express. — 2005. — Vol. 13, no. 12. — P. 4657-4665. — DOI: 10.1364/OPEX.13. 004657.

21. Chaos-based communications at high bit rates using commercial fibre-optic links / A. Argyris [et al.] // Nature. — 2005. — Vol. 438, no. 7066. — P. 343-346. — DOI: 10.1038/nature04275.

22. Colet P., Roy R. Digital communication with synchronized chaotic lasers // Optics Letters. — 1994. — Vol. 19, no. 24. — P. 2056-2058. — DOI: 10.1364/OL.19.002056.

23. VanWiggeren G. D., Roy R. Communication with chaotic lasers // Science. — 1998. — Vol. 279, no. 5354. — P. 1198-1200. — DOI: 10.1126/ science.279.5354.1198.

24. Goedgebuer J.-P., Larger L., Porte H. Optical cryptosystem based on synchronization of hyperchaos generated by a delayed feedback tunable laser diode // Physical Review Letters. — 1998. — Vol. 80, no. 10. — P. 22492252. — DOI: 10.1103/PhysRevLett.80.2249.

Cryptology transmitted message protection: from deterministic chaos up to optical vortices / I. Izmailov [et al.]. — 2016. — ISBN 978-3-319-301259. — OCLC: 953094056.

26. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G. Nonlinear dynamics of neuromorphic optical system with spatio-temporal interactions // Optical Memory and Neural Networks / ed. by A. L. Mikaelian. — International Society for Optics and Photonics, 1991. — P. 292-298. — DOI: 10.1117/12.50436.

27. Lukosevicius M., Jaeger H. Reservoir computing approaches to recurrent neural network training // Computer Science Review. — 2009. — Vol. 3, no. 3. — P. 127-149. — DOI: 10.1016/j.cosrev.2009.03.005.

28. Toward optical signal processing using photonic reservoir computing / K. Vandoorne [et al.] // Optics Express. — 2008. — Vol. 16, no. 15. — P. 11182-11192. — DOI: 10.1364/OE.16.011182.

29. All-optical reservoir computing / F. Duport [et al.] // Optics Express. — 2012. — Vol. 20, no. 20. — P. 22783-22795. — DOI: 10.1364/OE.20. 022783.

30. Photonic information processing beyond Turing: an optoelectronic implementation of reservoir computing / L. Larger [et al.] // Optics Express. —

2012. — Vol. 20, no. 3. — P. 3241-3249. — DOI: 10.1364/OE.20.003241.

31. Optoelectronic reservoir computing / Y. Paquot [et al.] // Scientific Reports. — 2012. — Vol. 2. — P. 287. — DOI: 10.1038/srep00287.

Parallel photonic information processing at gigabyte per second data rates using transient states / D. Brunner [et al.] // Nature Communications. —

2013. — Vol. 4. — P. 1364. — DOI: 10.1038/ncomms2368.

33. Romeira B., Figueiredo J. M. L., Javaloyes J. Delay dynamics of neuromor-phic optoelectronic nanoscale resonators: perspectives and applications // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2017. — Vol. 27, no. 11. — P. 114323. — DOI: 10.1063/1.5008888.

34. Abraham N. B., Firth W. J. Overview of transverse effects in nonlinear-optical systems // Journal of the Optical Society of America B. — 1990. — Vol. 7, no. 6. — P. 951. — DOI: 10.1364/JOSAB.7.000951.

Controlling transverse-wave interactions in nonlinear optics: generation and interaction of spatiotemporal structures / S. A. Akhmanov [et al.] // Journal of the Optical Society of America B. — 1992. — Vol. 9, no. 1. — P. 78. — DOI: 10.1364/JOSAB.9.000078.

36. Lugiato L. A. Transverse nonlinear optics: introduction and review // Chaos, Solitons & Fractals. — 1994. — Vol. 4, no. 8. — P. 1251-1258. — (Special Issue: Nonlinear Optical Structures, Patterns, Chaos). — DOI: 10.1016/0960-0779(94)90080-9.

37. Pattern formation in a passive Kerr cavity / A. Scroggie [et al.] // Chaos, Solitons & Fractals. — 1994. — Vol. 4, no. 8/9. — P. 1323-1354. — DOI: 10.1016/0960-0779(94)90084-1.

38. Chesnokov S. S., Rybak A. A. Spatiotemporal chaotic behavior of time-delayed nonlinear optical systems // Laser physics. — 2000. — Vol. 10, no. 5. — P. 1061-1068.

39. Vorontsov M. A., Larichev A. V., Shmal'gauzen V. I. Experimental study rotation instability of light fields in system with optical feedback // Radio-physics and Quantum Electronics. — 1992. — Vol. 35, no. 5. — P. 304309. — DOI: 10.1007/BF01038316.

40. Разгулин А. В. Ротационные волны в оптической системе с двумерной обратной связью // Математическое моделирование. 1993. т. 5, № 4. с. 105 119.

41. Travelling wave dynamics in a nonlinear interferometer with spatial field transformer in feedback / E. Grigorieva [et al.] // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1999. — Vol. 125, no. 1/2. — P. 123-141. — DOI: 10.1016/S0167-2789(98)00196-1.

42. Разгулин А. В., Романенко Т. E. Вращающиеся волны в параболическом функционально-дифференциальном уравнении с поворотом пространственного аргумента и запаздыванием // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2013. т. 53, № 11. с. 1804 1821. DOI: 10.7868/S0044466913110136.

43. Романенко Т. Е. Двумерные вращающиеся волны в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с поворотом пространственных аргументов и запаздыванием // Дифференциальные уравнения. 2014.

т. 50, № 02. с. 260 263. DOI: 10.1134/S0374064114020149.

44. Residori S. Patterns, fronts and structures in a liquid-crystal-light-valve with optical feedback // Physics Reports. — 2005. — Vol. 416, no. 5/6. — P. 201-272. — DOI: 10.1016/j.physrep.2005.06.004.

45. Vorontsov M. A., Firth W. J. Pattern formation and competition in nonlinear optical systems with two-dimensional feedback // Physical Review A. — 1994. — Vol. 49, no. 4. — P. 2891-2906. — DOI: 10.1103/ PhysRevA.49.2891.

46. Larichev A. V., Nikolaev I. P., Shmalgauzen V. I. Optical dissipative structures with a controlled spatial period in a nonlinear system and with a Fourier filter in a feedback loop // Quantum Electronics. — 1996. — Vol. 26, no. 10. — P. 871-875. — DOI: 10.1070/QE1996v026n10ABEH000831.

47. Optical pattern formation in a Kerr-like medium with feedback / P. L. Ramazza [et al.] // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1996. — Vol. 96, no. 1. — P. 259-271. — DOI: 10.1016/0167-2789(96)00026-7.

48. Розанов H. H. Оптическая бистабильность и гистерезис ь распределенных нелинейных системах. М. : Наука. Физматлит, 1997. 336 с. ISBN 978-5-02-014616-7.

49. Gibbs H. M. Optical Bistability: Controlling Light with Light. — Academic Press, 1997. — 471 p. — ISBN 978-0-12-281940-7.

50. Rinzel J., Terman D. Propagation phenomena in a bistable reaction-diffusion system // SIAM Journal on Applied Mathematics. — 1982. — Vol. 42, no. 5. — P. 1111-1137. — DOI: 10.1137/0142077.

51. Ferrell J. E., Xiong W. Bistability in cell signaling: how to make continuous processes discontinuous, and reversible processes irreversible // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 2001. — Vol. 11, no. 1. — P. 227-236. — DOI: 10.1063/1.1349894.

52. Еленин Г. Г. Точные стационарные и аьтоьолноьые решения ь минимальных моделях бистабильной среды // Дифференциальные уравнения. 2001. т. 37, № 7. с. 933 940.

53. Wilhelm T. The smallest chemical reaction system with bistability // BMC Systems Biology. — 2009. — Vol. 3, no. 90. — P. 1-9. — DOI: 10.1186/ 1752-0509-3-90.

54. Ikeda K., Daido H., Akimoto O. Optical turbulence: chaotic behavior of transmitted light from a ring cavity // Physical Review Letters. — 1980. — Vol. 45, no. 9. — P. 709-712. — DOI: 10.1103/PhysRevLett.45.709.

55. High-dimensional chaos in delayed dynamical systems / S. Lepri [et al.] // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1994. — Vol. 70, no. 3. — P. 235249. — DOI: 10.1016/0167-2789(94)90016-7.

56. Белан E. П. О взаимодействии бегущих волн в параболическом функ-ционалыю-дифференциалыюм уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. т. 40, № 5. с. 645 654. DOI: 10.1023 / В : DIEQ. 0000043527.22864.ас.

57. Белан E. П. О динамике бегущих волн в параболическом уравнении с преобразованием сдвига пространственной переменной // Журнал математической физики, анализа, геометрии. 2005. т. 1, № 1. с. 3 34.

58. Кащенко С. А. Асимптотика пространственно-неоднородных структур в когерентных нелинейно-оптических системах // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1991. т. 31, № 3. с. 467 473.

59. Разгулин А. В. Об автоколебаниях в нелинейной параболической задаче с преобразованным аргументов // Журнал вычислительной математики и математической физики. 1993. т. 33, № 1. с. 69 80.

60. Kolesov A. Y, Rozov N. K. Optical buffering and mechanisms for its occurrence // Theoretical and Mathematical Physics. — 2004. — Vol. 140, no. 1. — P. 905-917. — DOI: 10.1023/B:TAMP.0000033028.08598.67.

61. Razgulin A. V., Chechkina K. A. Bifurcation modes in a nonlinear optical system with distributed field rotation // Computational Mathematics and Modeling. — 1997. — Vol. 8, no. 3. — P. 262-269. — DOI: 10.1007/ BF02403449.

62. Разгулин А. В. Стационарные структуры в функционально-дифференциальном уравнении диффузии с отражением пространственного аргумента // Вестник Московского университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2003. т. 2. с. 13 20.

63. Akimova I. G., Razgulin А. V. Rotational waves in an optical system with diffraction and rotation of spatial arguments // Moscow University Computational Mathematics and Cybernetics. 1999. 2. c. 16 23.

64. Vorontsov M. A., Iroshnikov N. G., Abernathy R. L. Diffractive patterns in a nonlinear optical two-dimensional feedback system with field rotation // Chaos, Solitons & Fractals. — 1994. — Vol. 4, no. 8. — P. 1701-1716. — DOI: 10.1016/0960-0779(94)90105-8.

65. Белан Е. П., Лыкова О. Б. Вращающиеся структуры в параболическом функционально-дифференциальном уравнении // Дифференциальные уравнения. 2004. т. 40, № 10. с. 1348 1357. DOI: 10.1007/ 810625-005-0070-0.

66. Колмогоров А. II.. Петровский II. Г., Пискунов Н. С. Исследование уравнения диффузии, соединенной с возрастанием количества вещества, и его применение к одной биологической проблеме // Бюллетень МГУ. Секция А. 1937. т. 1, № 6. с. 1 26.

67. Volpert A. I., Volpert V. A., Volpert V. A. Travelling wave solutions of parabolic systems. — Providence; Rhode Island : American Mathematical Society, 1994. — ISBN 978-0-82-189757-7.

68. Jack K. Hale. Theory of Functional Differential Equations. 2d ed. New York : Springer-Verlag, 1977. (Applied Mathematical Sciences ; v. 3). ISBN 978-0-387-90203-6.

69. Jack K. Hale. Introduction to Functional Differential Equations. — New York, NY : Springer New York, 1993. — ISBN 978-1-4612-4342-7.

70. Jianhong Wu. Theory and Applications of Partial Functional Differential Equations. New York : Springer, 1996. (Applied Mathematical Sciences ; 119). ISBN 978-0-387-94771-6.

71. Скубачевский А. Л. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных уравнений // Успехи математических наук. 1996. т. 51, № 1. с. 169 170.

72. Скубачевский А. Л. О нормальности некоторых эллиптических функционально-дифференциальных операторов // Функциональный анализ и его приложения. 1997. т. 31, № 4. с. 60 65.

73. Скубачевский А. Л. О бифуркации Хопфа для квазилинейного параболического функционально-дифференциального уравнения // Дифференциальные уравнения. 1998. т. 34, № 10. с. 1394 1401.

Skubachevskii A. Bifurcation of periodic solutions for nonlinear parabolic functional differential equations arising in optoelectronics // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1998. — Vol. 32, no. 2. — P. 261-278. — DOI: 10.1016/S0362-546X(97)00476-8.

75. Варфоломеев Е. М. О некоторых свойствах эллиптических и параболических функционально-дифференциальных операторов, возникающих в нелинейной оптике // Современная математика. Фундаментальные направления. 2007. т. 21. с. 5 36.

76. Варфоломеев Е. М. О бифуркации Андронова Хопфа для квазилинейных параболических функционально-дифференциальных уравнений с преобразованиями пространственных переменных // Успехи математических наук. 2007. т. 62, № 2. с. 173 174.

77. Росеовский Л. Е., Скубачевский А. Л. Разрешимость и регулярность решений некоторых классов эллиптических функционально-дифференциальных уравнений // Итоги науки и техники. Современная математики и ее приложения. 1999. т. 66. с. 114 192.

78. Росеовский Л. Е. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений с растяжением и сжатием аргументов // Труды Московского математического общества. 2001. т. 62. с. 199 228.

79. Селицкий А. М., Скубачевский А. Л. Вторая краевая задача для параболического дифференциально-разностного уравнения // Труды семинара им. 14.Г. Петровского. 2007. т. 26. с. 324 347.

80. Селицкий А. М. Моделирование некоторых оптических систем на основе параболического дифференциально-разностного уравнения // Математическое моделирование. 2012. т. 24, № 12. с. 38 42.

81. Шамин Р. В. Пространства начальных данных для параболических функционально-дифференциальных уравнений // Математические заметки. 2002. т. 71, № 4. с. 636 640.

82. Муравник А. Б. О стабилизации решений некоторых сингулярных квазилинейных параболических задач // Математические заметки. 2003.

т. 74, № 6. с. 858 865.

83. Скубачевский А. Л. Краевые задачи для эллиптических функционально-дифференциальных уравнений и их приложения // Успехи математических наук. 2016. т. 71, 5(431). с. 3 112. DOI: 10.4213/rm9739.

84. Goodman ,J. W. Introduction to Fourier Optics. 2nd ed. New York : McGraw-Hill, 1996. (McGraw-Hill Series in Electrical and Computer Engineering). ISBN 978-0-07-024254-8.

85. Larichev A. V., Nikolaev I. P., Violino P. LCLV-based system for high resolution wavefront correction: phase knife as a feedback intensity producer // Optics Communications. — 1997. — Vol. 138, no. 1. — P. 127135. — DOI: 10.1016/S0030-4018(97)00031-X.

86. Разгулин А. В., Чушкип В. А. О задаче оптимальной Фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2004. т. 44, № 9. с. 1608 1618.

87. Разгулин А. В., Сазонова С. В. О задаче матричной Фурье-фильтрации для одного класса моделей нелинейных оптических систем с обратной связью // Журнал вычислительной математики и математической физики. 2017. т. 57, № 9. с. 1403 1420.

88. Razgulin A. V., Sazonova S. V. Hopf bifurcation in diffusive model of nonlinear optical system with matrix Fourier filtering // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2019. — Vol. 77. — P. 288-304. — DOI: 10.1016/j.cnsns.2019.04.028.

89. Macki J. W, Nistri P., Zecca P. Mathematical models for hysteresis // SIAM Review. — 1993. — Vol. 35, no. 1. — P. 94-123. — DOI: 10.1137/ 1035005.

90. Friedman A., Jiang L. Periodic solutions for a thermostat control problem // Communications in Partial Differential Equations. — 1988. — Vol. 13, no. 5. — P. 515-550. — DOI: 10.1080/03605308808820551.

91. Gurevich P., Jager W, Skubachevskii A. On periodicity of solutions for thermocontrol problems with hysteresis-type switches // SIAM Journal of Mathematical Analysis. — 2009. — Vol. 41, no. 2. — P. 733-752. — DOI: 10.1137/080718905.

92. О существовании колебательных режимов в одной нелинейной системе с гистерезисами / А. С. Фурсов [и др.] // Дифференциальные уравнения. 2020. т. 56, № 8. с. 1103 1121.

93. Golubitsky M., Stewart I. The Symmetry Perspective: From Equilibrium to Chaos in Phase Space and Physical Space. — Basel : Birkhäuser, 2002. — (Progress in Mathematics ; 200). — ISBN 978-3-7643-6609-4. — OCLC: 248014825.

94. Guckenheimer J., Holmes P. Nonlinear Oscillations, Dynamical Systems, and Bifurcations of Vector Fields. New York : Springer-Verlag, 1983. (Applied Mathematical Sciences ; v. 42). ISBN 978-0-387-90819-9.

95. Chow S.-N., Li C., Wang D. Normal Forms and Bifurcation of Planar Vector Fields. Cambridge ; New York : Cambridge University Press, 1994. ISBN 978-0-521-37226-8.

96. Kielhofer H. Bifurcation Theory: An Introduction with Applications to Partial Differential Equations. — 2nd ed. — New York : Springer-Verlag, 2012. — (Applied Mathematical Sciences). — ISBN 978-1-4614-0501-6. — DOI: 10.1007/978-1-4614-0502-3.

97. Faria T., Magalhaes L. T. Normal forms for retarded functional differential equations and applications to Bogdanov-Takens singularity // Journal of Differential Equations. — 1995. — Vol. 122, no. 2. — P. 201-224. — DOI: 10.1006/jdeq.1995.1145.

98. Faria T., Magalhaes L. Normal forms for retarded functional differential equations with parameters and applications to Hopf bifurcation // Journal of Differential Equations. — 1995. — Vol. 122, no. 2. — P. 181-200. — DOI: 10.1006/jdeq.1995.1144.

99. Faria T, MagalhAes L. T. Restrictions on the possible flows of scalar retarded functional differential equations in neighborhoods of singularities // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 1996. — Vol. 8, no. 1. — P. 35-70. — DOI: 10.1007/BF02218614.

100. Faria T. Normal forms for semilinear functional differential equations in Banach spaces and applications. Part II // Discrete and Continuous Dynamical Systems. — 2000. — Vol. 7, no. 1. — P. 155-176. — DOI: 10.3934/dcds.2001.7.155.

101. Guo S., Wu J. Bifurcation Theory of Functional Differential Equations. New York : Springer, 2013. (Applied Mathematical Sciences ; volume 184). ISBN 978-1-4614-6991-9.

102. Golubitsky M., Stewart I. Hopf Bifurcation in the Presence of Symmetry // Archive for Rational Mechanics and Analysis. — 1985. — Vol. 87, no. 2. — P. 107-165. — DOI: 10.1007/BF00280698.

103. Golubitsky M., Schaeffer D. G. Singularities and Groups in Bifurcation Theory I. Vol. 51 / ed. by J. E. Marsden, L. Sirovich, F. John. — New York, NY : Springer New York, 1985. — (Applied Mathematical Sciences). — ISBN 978-1-4612-9533-4.

104. Fiedler B. Global Bifurcation of Periodic Solutions with Symmetry. — Berlin Heidelberg New York London Paris Tokyo : Springer, 1988. — (Lecture Notes in Mathematics ; 1309). — ISBN 978-3-540-19234-3. — OCLC: 230925611.

105. Chossat P., Lauterbach R. Methods in Equivariant Bifurcations and Dynamical Systems. Singapore ; River Edge, NJ : World Scientific, 2000. (Advanced Series in Nonlinear Dynamics ; v. 15). ISBN 978-981-02-3828-5. OCLC: ocm44160310.

106. van Gils S. A., Mallet-Paret J. Hopf bifurcation and symmetry: travelling and standing Waves on the circle // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh: Section A Mathematics. — 1986. — Vol. 104, no. 3/4. — P. 279-307. — DOI: 10.1017/S0308210500019223.

107. Yoshida K. The Hopf bifurcation and its stability for semilinear diffusion equations with time delay arising in ecology // Hiroshima Mathematical Journal. — 1982. — Vol. 12, no. 2. — P. 321-348.

108. Faria T. Stability and bifurcation for a delayed predator-prey model and the effect of diffusion // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 2001. — Vol. 254, no. 2. — P. 433-463. — DOI: 10.1006/jmaa. 2000.7182.

109. Hale J., Raugel G. Reaction-diffusion equation on thin domains // Journal de mathematiques pures et appliquees. — 1992. — Vol. 71, no. 1. — P. 33-95.

110. Hale J. K., Raugel G. Partial differential equations on thin domains // Mathematics in Science and Engineering. — 1992. — Vol. 186. — P. 6397. — (Differential Equations and Mathematical Physics). — DOI: 10. 1016/S0076-5392(08)63376-7.

111. Hale J. K., Raugel G. A damped hyperbolic equation on thin domains // Transactions of the American Mathematical Society. — 1992. — Vol. 329, no. 1. — P. 185-219. — DOI: 10.1090/S0002-9947-1992-1040261-1.

112. Hale J. K., Raugel G. Convergence in gradient-like systems with applications to PDE // Zeitschrift fiir angewandte Mathematik und Physik ZAMP. — 1992. — Vol. 43, no. 1. — P. 63-124. — DOI: 10.1007/ BF00944741.

113. Hale J. K., Raugel G. A reaction-diffusion equation on a thin L-shaped domain // Proceedings of the Royal Society of Edinburgh Section A: Mathematics. — 1995. — Vol. 125, no. 2. — P. 283-327. — DOI: 10.1017/ S0308210500028043.

114. Ciuperca I. S. Reaction-diffusion equations on thin domains with varying order of thinness // Journal of Differential Equations. — 1996. — Vol. 126, no. 2. — P. 244-291. — DOI: 10.1006/jdeq.1996.0051.

115. Prizzi M., Rybakowski K. P. Some recent results on thin domain problems // Topological Methods in Nonlinear Analysis. — 1999. — Vol. 14, no. 2. — P. 239-255.

116. Antoci F., Prizzi M. Reaction-diffusion equations on unbounded thin domains // Topological Methods in Nonlinear Analysis. — 2001. — Vol. 18, no. 2. — P. 283-302. — DOI: 10.12775/TMNA.2001.035.

117. Prizzi M., Rybakowski K. P. The effect of domain squeezing upon the dynamics of reaction-diffusion equations // Journal of Differential Equations. — 2001. — Vol. 173, no. 2. — P. 271-320. — DOI: 10.1006/jdeq. 2000.3917.

118. Prizzi M., Rinaldi M., Rybakowski K. P. Curved thin domains and parabolic equations // Studia Mathematica. — 2002. — Vol. 151. — P. 109-140. — DOI: 10.4064/sm151-2-2.

119. Prizzi M., Rybakowski K. P. Inertial manifolds on squeezed domains // Journal of Dynamics and Differential Equations. — 2003. — Vol. 15, no. 1. — P. 1-48. — DOI: 10.1023/A:1026151910637.

120. Semilinear parabolic problems in thin domains with a highly oscillatory boundary / J. M. Arrieta [et al.] // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 2011. — Vol. 74, no. 15. — P. 5111-5132. — DOI: 10.1016/j.na.2011.05.006.

121. Arrieta J. M., Pereira M. C. Homogenization in a thin domain with an oscillatory boundary // Journal de Mathematiques Pures et Appliquees. — 2011. — Vol. 96, no. 1. — P. 29-57. — DOI: 10.1016/j.matpur.2011.02. 003.

122. Arrieta J. M., Santamaría E. Distance of attractors of reaction-diffusion equations in thin domains // Journal of Differential Equations. — 2017. — Vol. 263, no. 9. — P. 5459-5506. — DOI: 10.1016/j.jde.2017.06.023.

123. Raugel G., Sell G. R. Navier-Stokes equations in thin 3D domains III: existence of a global attractor // Turbulence in Fluid Flows. — Springer, New York, NY, 1993. — P. 137-163. — DOI: 10.1007/978-1-4612-4346-5_9.

124. Iftimie D., Raugel G. Some results on the Navier-Stokes equations in thin 3D domains // Journal of Differential Equations. — 2001. — Vol. 169, no. 2. — P. 281-331. — DOI: 10.1006/jdeq.2000.3900.

125. Sell G. R., Taboada M. Local dissipativity and attractors for the Kuramoto-Sivashinsky equation in thin 2D domains // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1992. — Vol. 18, no. 7. — P. 671-687. — DOI: 10.1016/0362-546X(92)90006-Z.

126. Jimbo S., Morita Y. Ginzburg-Landau equation with magnetic effect in a thin domain // Calculus of Variations and Partial Differential Equations. — 2002. — Vol. 15, no. 3. — P. 325-352. — DOI: 10.1007/s005260100130.

127. Ziane M., Temam R., Hu C. The primitive equations on the large scale ocean under the small depth hypothesis // Discrete and Continuous Dynamical Systems. — 2002. — Vol. 9, no. 1. — P. 97-131. — DOI: 10.3934/dcds.2003.9.97.

128. Grebenkov D. S. Analytical solution for restricted diffusion in circular and spherical layers under inhomogeneous magnetic fields // The Journal of Chemical Physics. — 2008. — Vol. 128, no. 13. — P. 134702. — DOI: 10.1063/1.2841367.

129. Carvalho A. N., Oliveira L. A. F. Delay-partial differential equations with some large diffusion // Nonlinear Analysis: Theory, Methods & Applications. — 1994. — Vol. 22, no. 9. — P. 1057-1095. — DOI: 10.1016/0362-546X(94)90228-3.

130. Ramm A. G. Limit of the spectra of the interior Neumann problems when a solid domain shrinks to a plane one // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1985. — Vol. 108, no. 1. — P. 107-112. — DOI: 10.1016/0022-247X(85)90012-5.

131. Arrieta J., Hale J. K., Han Q. Eigenvalue problems for nonsmoothly perturbed domains // Journal of Differential Equations. — 1991. — Vol. 91, no. 1. — P. 24-52. — DOI: 10.1016/0022-0396(91)90130-2.

132. Arrieta J. M., Carvalho A. N. Spectral convergence and nonlinear dynamics of reaction-diffusion equations under perturbations of the domain // Journal of Differential Equations. — 2004. — Vol. 199, no. 1. — P. 143178. — DOI: 10.1016/j.jde.2003.09.004.

133. Friedlander L., Solomyak M. On the spectrum of the Dirichlet Laplacian in a narrow strip // Israel Journal of Mathematics. — 2009. — Vol. 170, no. 1. — P. 337-354. — DOI: 10.1007/s11856-009-0032-y.

134. Raugel G. Dynamics of partial differential equations on thin domains // Dynamical Systems / ed. by R. Johnson. — Springer Berlin Heidelberg, 1995. — P. 208-315. — (Lecture Notes in Mathematics ; 1609). — ISBN 978-3-540-60047-3. — DOI: 10.1007/BFb0095241.

135. Spirals in scalar reaction-diffusion equations / M. Dellnitz [et al.] // International Journal of Bifurcation and Chaos. — 1995. — Vol. 05, no. 06. — P. 1487-1501. — DOI: 10.1142/S0218127495001149.

136. Егоров Ю. В., Кондратьев В. А. О задаче с косой производной // Математической сборник. 1969. т. 78, № 1. с. 148 176.

137. Popivanov P. R., Kutev N. D. The tangential oblique derivative problem for nonlinear elliptic equations // Communications in Partial Differential Equations. — 1989. — Vol. 14, no. 3. — P. 413-428. — DOI: 10.1080/ 03605308908820602.

138. Ильин В. А., Моисеев E. И. Об отсутствии свойства базисиости у системы корневых функций задачи с наклонной производной // Дифференциальные уравнения. 1994. т. 30, № 1. с. 128 143.

139. Kostin A. B., Sherstyukov V. B. On complex roots of an equation arising in the oblique derivative problem // Journal of Physics: Conference Series. — 2017. — Vol. 788. — P. 012052. — DOI: 10.1088/1742-6596/788/1/ 012052.

140. Костин А. В., Шерстюков В. Б. Базисность системы корневых функций задачи с наклонной производной // Доклады Академии Наук. 2018.

т. 482, № 1. с. 12 15. DOI: 10.31857/S086956520003123-8.

141. Полосин А. А. О расположении спектра и отсутствии свойства базисиости у системы корневых функций задачи с наклонной производной с переменным углом наклона // Дифференциальные уравнения. 2011. т. 47, № 10. с. 1466 1473.

142. Полосин А. А. О задаче с наклонной производной для уравнения Гельм-гольца в круге // Дифференциальные уравнения. 2018. т. 54, № 4.

с. 492. DOI: 10.1134/S0374064118040064.

143. Problem with oblique derivative and mixed boundary conditions on the diameter for the Helmholtz equation in a semidisk / N. Kapustin [et al.] // AIP Conference Proceedings. — 2018. — Vol. 2048, no. 1. — P. 040021. — DOI: 10.1063/1.5082093.

144. Winfree A. T. Spiral waves of chemical activity // Science. — 1972. — Vol. 175, no. 4022. — P. 634-636. — DOI: 10.1126/science.175.4022.634.

Stationary and drifting spiral waves of excitation in isolated cardiac muscle / J. M. Davidenko [et al.] // Nature. — 1992. — Vol. 355, no. 6358. — P. 349-351. — DOI: 10.1038/355349a0.

146. Adachihara H., Faid H. Two-dimensional nonlinear-interferometer pattern analysis and decay of spirals // JOSA B. — 1993. — Vol. 10, no. 7. — P. 1242-1253. — DOI: 10.1364/JOSAB.10.001242.

147. Rotating spiral waves in a nonlinear optical system with spatial interactions / N. I. Zheleznykh [et al.] // Chaos, Solitons & Fractals. — 1994. — Vol. 4, no. 8. — P. 1717-1728. — (Special Issue: Nonlinear Optical Structures, Patterns, Chaos). — DOI: 10.1016/0960-0779(94)90106-6.

148. Tyson J. J., Keener J. P. Singular perturbation theory of traveling waves in excitable media (a review) // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 1988. — Vol. 32, no. 3. — P. 327-361. — DOI: 10.1016/0167-2789(88) 90062-0.

149. Barkley D., Kevrekidis I. G. A dynamical systems approach to spiral wave dynamics // Chaos: An Interdisciplinary Journal of Nonlinear Science. — 1994. — Vol. 4, no. 3. — P. 453-460. — DOI: 10.1063/1.166023.

150. Scheel A. Bifurcation to spiral waves in reaction-diffusion systems // SIAM Journal on Mathematical Analysis. — 1998. — Vol. 29, no. 6. — P. 13991418. — DOI: 10.1137/S0036141097318948.

151. Sandstede B., Scheel A., Wulff C. Bifurcations and dynamics of spiral waves // Journal of Nonlinear Science. — 1999. — Vol. 9, no. 4. — P. 439-478. — DOI: 10.1007/s003329900076.

Elimination of spiral waves in cardiac tissue by multiple electrical shocks / A. V. Panfilov [et al.] // Physical Review E. — 2000. — Vol. 61, no. 4. — P. 4644-4647. — DOI: 10.1103/PhysRevE.61.4644.

153. Steinbock O., Zykov V., Miiller S. C. Control of spiral-wave dynamics in active media by periodic modulation of excitability // Nature. — 1993. — Vol. 366, no. 6453. — P. 322. — DOI: 10.1038/366322a0.

154. Zykov V. S., Engel H. Feedback-mediated control of spiral waves // Physica D: Nonlinear Phenomena. — 2004. — Vol. 199, no. 1. — P. 243-263. — (Trends in Pattern Formation: Stability , Control and Fluctuations). — DOI: 10.1016/j.physd.2004.10.001.

155. Zhou G., Anderson D. Z. Photorefractive delay line for the visualization and processing of time-dependent signals // Optics Letters. — 1993. — Vol. 18, no. 2. — P. 167-169. — DOI: 10.1364/OL.18.000167.

156. Chesnokov S. S., Rybak A. A., Stadnich.uk V. I. Time-delayed nonlinear optical systems: temporal instability and cooperative chaotic dynamics // Proc. SPIE 4751. ICONO 2001: Nonlinear Optical Phenomena and Nonlinear Dynamics of Optical Systems / под ред. К. N. Drabovich [и др.]. 2002.

с. 493 498. DOI: 10.1117/12.475952.

157. Adams R. A., Fournier J. J. F. Sobolev Spaces. — Academic Press, 2003. — ISBN 978-0-08-054129-7.

158. Budzinskiy S. S., Razgulin A. V. Rotating and standing waves in a diffrac-tive nonlinear optical system with delayed feedback under O(2) Hopf bifurcation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2017. — Vol. 49. — P. 17-29. — DOI: 10.1016/j.cnsns.2017.01. 031.

159. Zeidler E. Applied Functional Analysis: Applications to Mathematical Physics. New York : Springer-Verlag, 1995. (Applied Mathematical Sciences ; 108). ISBN 978-0-387-94442-5.

160. Van Minh N., Wu J. Invariant manifolds of partial functional differential equations // Journal of Differential Equations. — 2004. — Vol. 198, no. 2. — P. 381-421. — DOI: 10.1016/j.jde.2003.10.006.

161. Budzinskiy S., Razgulin A. Normal form of O(2) Hopf bifurcation in a model of a nonlinear optical system with diffraction and delay // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. — 2017. — No. 50. — P. 1-12. — DOI: 10.14232/ejqtde.2017.1.50.

162. Cooke K. L., Grossman Z. Discrete delay, distributed delay and stability switches // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1982. — Vol. 86, no. 2. — P. 592-627. — DOI: 10.1016/0022-247X(82) 90243-8.

163. Gray R. M. Toeplitz and circulant matrices: a review // Foundations and Trends@ in Communications and Information Theory. — 2005. — Vol. 2, no. 3. — P. 155-239. — DOI: 10.1561/0100000006.

164. Pao C. Numerical methods for systems of nonlinear parabolic equations with time delays // Journal of Mathematical Analysis and Applications. — 1999. — Vol. 240, no. 1. — P. 249-279. — DOI: https://doi.org/10.1006/ jmaa.1999.6619.

165. Czernous W, Kamont Z. Implicit difference methods for parabolic functional differential equations // ZAMM - Journal of Applied Mathematics and Mechanics / Zeitschrift für Angewandte Mathematik und Mechanik. — 2005. — Vol. 85, no. 5. — P. 326-338. — DOI: 10.1002/zamm.200410186.

166. Budzinskiy S. S., Larichev A. V., Razgulin A. V. Reducing dimensionality to model 2D rotating and standing waves in a delayed nonlinear optical system with thin annulus aperture // Nonlinear Analysis: Real World Applications. — 2018. — Vol. 44. — P. 559-572. — DOI: 10.1016/j.nonrwa. 2018.06.003.

167. Golubitsky M., Stewart I., Schaeffer D. G. Singularities and Groups in Bifurcation Theory II. Vol. 69 / ed. by J. E. Marsden, L. Sirovich. — New York, NY : Springer New York, 1988. — (Applied Mathematical Sciences). — ISBN 978-1-4612-8929-6.

168. Cochran J. A. Remarks on the zeros of cross-product Bessel functions // Journal of the Society for Industrial and Applied Mathematics. — 1964. — Vol. 12, no. 3. — P. 580-587. — DOI: 10.1137/0112049.

169. Cochran J. A. The analyticity of cross-product Bessel function zeros // Mathematical Proceedings of the Cambridge Philosophical Society. — 1966. — Vol. 62, no. 2. — P. 215-226. — DOI: 10 . 1017 / S0305004100039785.

170. Gottlieb H. P. W. Eigenvalues of the Laplacian with Neumann boundary conditions // The ANZIAM Journal. — 1985. — Vol. 26, no. 3. — P. 293309. — DOI: 10.1017/S0334270000004525.

Townsend A. A fast analysis-based discrete Hankel transform using asymptotic expansions // SIAM Journal on Numerical Analysis. — 2015. — Vol. 53, no. 4. — P. 1897-1917. — DOI: 10.1137/151003106.

172. Siegman A. E. Quasi fast Hankel transform // Optics Letters. — 1977. — Vol. 1, no. 1. — P. 13. — DOI: 10.1364/OL.1.000013.

173. Knockaert L. Fast Hankel transform by fast sine and cosine transforms: the Mellin connection // IEEE Transactions on Signal Processing. — 2000. — Vol. 48, no. 6. — P. 1695-1701. — DOI: 10.1109/78.845927.

174. Bisseling R., Kosloff R. The fast Hankel transform as a tool in the solution of the time dependent Schrödinger equation // Journal of Computational Physics. — 1985. — Vol. 59, no. 1. — P. 136-151. — DOI: 10.1016/0021-9991(85)90112-3.

175. Watson G. N. A Treatise on the Theory of Bessel Functions. 2nd ed., Cambridge Mathematical Library ed. Cambridge [England] ; New York : Cambridge University Press, 1995. (Cambridge Mathematical Library). ISBN 978-0-521-48391-9.

176. Agmon S. On the eigenfunctions and on the eigenvalues of general elliptic boundary value problems // Communications on Pure and Applied Mathematics. — 1962. — Vol. 15, no. 2. — P. 119-147. — DOI: 10.1002/cpa. 3160150203.

177. Engel K.-J., Nagel R. A Short Course on Operator Semigroups. — New York : Springer, 2006. — ISBN 978-0-387-31341-2. — OCLC: 915956888.

178. Будзинский С. С. О пулях перекрестных произведений функций Бесселя из краевых задач с наклонной производной // Вестник Московского Университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика. 2020. 2. с. 3 10.

179. Gottlieb H. P. W. On the exceptional zeros of cross-products of derivatives of spherical Bessel functions // Zeitschrift för angewandte Mathematik und Physik ZAMP. — 1985. — Vol. 36, no. 3. — P. 491-494. — DOI: 10.1007/BF00944640.

180. Handbook of Mathematical Functions: With Formulas, Graphs, and Mathematical Tables / ed. by M. Abramowitz, I. A. Stegun. — 9. Dover print. — New York, NY : Dover Publ, 2013. — (Dover Books on Mathematics). — ISBN 978-0-486-61272-0. — OCLC: 935935300.

181. McMahon J. On the roots of the Bessel and certain related functions // Annals of Mathematics. — 1894. — Vol. 9, no. 1/6. — P. 23-30. — DOI: 10.2307/1967501.

182. Landsberg A., Knobloch E. New types of waves in systems with O(2) symmetry // Physics Letters A. — 1993. — Vol. 179, no. 4/5. — P. 316324. — DOI: 10.1016/0375-9601(93)90685-S.

Публикации автора по теме диссертации

Научные статьи, опубликованные в журналах Scopus, WoS, RSCI, а также в изданиях, рекомендованных для защиты в диссертационном совете МГУ по специальности

1. Budzinskiy S.S., Razgulin A. V. Rotating and standing waves in a diffractive nonlinear optical system with delayed feedback under 0(2) Hopf bifurcation // Communications in Nonlinear Science and Numerical Simulation. — 2017. - Vol. 49. - Pp. 17-29. [WoS, Ql, impact factor 4.115]

2. Budzinskiy S., Razgulin A. Normal form of О(2) Hopf bifurcation in a model of a nonlinear optical system with diffraction and delay // Electronic Journal of Qualitative Theory of Differential Equations. — 2017. — No. 50.

- Pp. 1-12. [WoS, Q2, impact factor 1.827]

3. Budzinskiy S.S., Larichev A.V., Razgulin A. V. Reducing dimensionality to model 2D rotating and standing waves in a delayed nonlinear optical system with thin annulus aperture // Nonlinear Analysis: Real World Applications. _ 2018. - Vol. 44. - Pp. 559-572. [WoS, Ql, impact factor 2.072]

4. Вудзииский С. С. О нулях перекрестных произведений функций Бесселя из краевых задач с наклонной производной // Вестник Московского Университета. Серия 15. Вычислительная математика и кибернетика.

- 2020. - С. 3-10. [RSCI, impact factor 0.326]

Иные публикации

1. Budzinskiy S. Rotating and standing waves in a retarded functional differential equation of nonlinear optics // Международная конференция «Динамические системы: обратные задачи, устойчивость и процессы управления», посвягцённая восьмидесятилетию академика Ю.С.Осипова. — Математический институт им. В.А. Стеклова РАН, г. Москва, 2016. - С. 11-13.

2. Romanenko Т.Е., Budzinskiy S.S. Hopf bifurcation of rotating waves in delayed parabolic functional-differential equations of nonlinear optics in the presence of symmetry groups // Abstracts of the 8-th International Conference on Differential and Functional Diferential Equations. — Peoples' Friendship University of Russia, Moscow, 2017. — Pp. 148-149.

3. Разгулин А.В., Будзинский С.С. Об одном методе понижения размерности для описания двумерных волн в тонком кольце // Ломоносовские Чтения 2018. Секция Вычислительной Математики и Кибернетики. — МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 2018. — С. 102-102.

4. Романенко Т.Е., Будзинский С. С. Спиральные волны в запаздывающем уравнении диффузии в тонком кольце с граничными условиями на наклонную производную // Ломоносовские Чтения 2019. — МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 2019. — С. 63-63.

5. Разгулин А.В., Романенко Т.Е., Будзинский С.С. Параболические функционально-дифференциальные уравнения с преобразованием пространственных аргументов и запаздыванием // Современные проблемы вычислительной математики и математической физики. Международная конференция памяти академика А.А. Самарского. К 100-летию со дня рождения. Тезисы докладов. — МГУ им. М.В. Ломоносова, г. Москва, 2019. - С. 54-55.

6. Budzinskiy S. Spirals in a delayed reaction-diffusion equation:from a thin annulus to a circle and back again // 11th Colloquium on the Qualitative Theory of Differential Equations. — Bolyai Institute, Szeged, 2019. — Pp. 24-25.

7. Budzinskiy S., Razgulin A. Pulsating and rotating spirals in a delayed feedback diffractive nonlinear optical system // arXiv: 1909.02796 [math-ph, physics:nlin], — 2019.

Список рисунков

1 Схема нелинейной оптической системы................ 5

1.1 Фазовые портреты в плоскости (рх, р3)................

1.2 Проверка существования вращающихся и стоячих волн. Численное решение задачи Коши (1.3) с начальным состоянием у0(0, £), заданным на [—Т,0].......................

1.3 Проверка устойчивости вращающихся волн. Численное решение задачи Коши ( ) с начальным состоянием г>о(0,£), заданным на [—Т,0]...................................

1.4 Проверка устойчивости стоячих волн. Численное решение задачи Коши (1.3) с начальным состоянием г>о(0,£), заданным на [—Т,0]. . 53

2.1 Собственные функции оператора Лапласа Неймана в кольце р € (1,1.05) для п = 3. В эстетических целях радиальное направление было растянуто согласно р' = ехр20(р — 1)...... 65

2.2 График показывает сходимость ^2,0(р)/^2,0(0.5(г + К)) ^ 1 при стремлении к ^ 1............................

2.3 Сравнение погрешности решения модельной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона с правой частью

(р) сов(п^) для метода конечных разностей (синий) и преобразования Ханкеля (оранжевый) при Мр = 64, Мо = 16, п = 3...................................

2.4 Сравнение погрешности решения модельной краевой задачи Неймана для уравнения Пуассона с правой частью

(р) сов(п^) для метода конечных разностей (синий) и преобразования Ханкеля (оранжевый) при к = 1.001 Мо = 16, п = 3...................................

2.5 Двумерные стоячие и вращающиеся волны существуют для параметров из Таблицы , к = 1.05 и д = 0.1. Начальное состояние у0(р,0^) задано та отрезке £ € [—Т,0]. Показаны срезы по углу при фиксированном радиусе р = 0.5(г + К).........

2.6 Двумерные вращающиеся волны устойчивы при параметрах из Таблицы , к = 1.05 и р = 0.1. Начальное состояние задано на £ Е [—Т,0] в виде

и0(р,в,Ь) = 0.2(0.3 вт(п*0 + + 0.7вт(п*0 — Показаны срезы по углу при фиксированном радиусе р = 0.5(г + Я).....

2.7 Двумерные стоячие волны устойчивы при параметрах из Таблицы , к = 1.05 и р = 0.1. Начальное состояние задано на £ Е [—Т,0] в виде

г>0(р,6$) = 0.2(0.3вт(п*0 + + 0.7 Бт(п*в — и*Ъ)). Показаны срезы по углу при фиксированном радиусе р = 0.5(г + Я).....

3.1 Численное решение для параметров вращающихся волн (Таблица ), угла наклона а = 0 и начального состояния в виде вращающейся спирали (Таблица 4). Показаны снэпшоты для

[—Т,7Т] и [242Т, 250Т].........................

3.2 Численное решение для параметров вращающихся волн (Таблица ), угла наклона а = агс1ап(3/4) и начального состояния в виде вращающейся спирали (Таблица 4). Показаны снэпшоты для [—Т,7Т] и [242Т, 250Т]................. 98

3.3 Численное решение для параметров вращающихся волн (Таблица ), угла наклона а = 0 и начального состояния в виде комбинации спиралей (Таблица 4). Показаны снэпшоты для

[—Т,7Т] и [242Т, 250Т].........................

3.4 Численное решение для параметров вращающихся волн (Таблица ), угла наклона а = агС;ап(3/4) и начального состояния в виде комбинации спиралей (Таблица 4). Показаны снэпшоты для [—Т,7Т] и [242Т, 250Т].................100

3.5 Численное решение для параметров стоячей волны (Таблица 1), угла наклона а = 0 и начального состояния в виде комбинации спиралей (Таблица 4). Показаны снэпшоты для [—ТД0Т] и [289Т, 300Т]................................

3.6 Численное решение для параметров стоячей волны (Таблица 1), угла наклона а = агС;ап(3/4) и начального состояния в виде комбинации спиралей (Таблица 4). Показаны снэпшоты для

[—ТД0Т] и [289Т, 300Т].........................

3.7 Численное решение для параметров стоячей волны (Таблица 1), угла наклона а = аге1ап(3/4) и начального состояния в виде комбинации спиралей (Таблица 4). Показаны изменение амплитуды на [0, 3000Т] и снэпшот для [2989Т, 3000Т].......

А.1 Схема организации работы при проведении вычислительных

экспериментов..............................134

Список таблиц

1 Параметры, удовлетворяющие Условию (1.31)............ 45

2 Свойства 6п,8............................... 92

3 Рост или убывание нормы решения уравнения Шредингера при

2 ^ то..................................

4 Различные начальные состояния, задаваемые на [—Т,0], для численного моделирования. Базовая волна V(а,п,и) удовлетворяет краевым условиям на наклонную производную с углом а. Считаем, что а > 0 п* > 0 > 0.............

Приложение А Описание программной реализации

Для проведения численных экспериментов для каждой из трех рассматриваемых в диссертации моделей были разработаны программы, следующие общей структуре.

А.1 Модуль управления экспериментом

На языке Python с использованием библиотеки h5py реализован класс experiment .manager. Он основан на работе с файловым форматом HDF5 и предоставляет возможность инициализировать новый вычислительный эксперимент (создать файл HDF5, чьи поля содержат сведения о параметрах модели, размерах сетки и начальном условии).

Также на языке С++ был написан абстрактный класс Experiment, использующий С++ API библиотеки HDF5 языка С. Он предоставляет интерфейс для того, чтобы

— Load: загрузить HDF5 файл эксперимента;

— Run: начать (если эксперимент был лишь инициализирован) или продолжить (если хранит уже посчитанные ранее промежуточные данные) расчет с заданными параметрами;

— Save: добавить новые результаты вычислений в HDF5 файл эксперимента и сохранить его.

А.2 Вычислительный модуль

На языке С++ были реализованы классы Helmholtz. NonlinearOpticalSystemModel и NonlinearOpticalSystemExperiment, использующие

стандартные процедуры библиотек вычислительной линейной алгебры BLAS и LAPACK. Класс Helmholtz предназначен для численного решения краевой задачи для уравнения Гельмгольца. Класс NonlinearOpticalSystemModel предназначен для решения начально-краевой задачи для ФДУ диффузии с запаздыванием на очередном интервале запаздывания. Класс NonlinearOpticalSystemExperiment реализует абстрактный класс Experiment и позволяет вычислить решение на заданном числе интервалов запаздывания с заданным числом промежуточных сохранений данных. Численные методы, применяемые в Helmholtz и NonlinearOpticalSystemModel, описаны в Главах 1-3.

А.З Модуль визуализации результатов эксперимента

На языке Python реализован класс experiment_plot, основанный на библиотеке matplotlib и предназначенный для визуализации и анализа результатов проведенных численных экспериментов. Открывая HDF5 файл проведенного эксперимента с помощью объекта класса experiment_manager, он предоставляет возможность

— отобразить решение в плоскости (t,6) с помощью тепловой карты (для одномерной модели — решение целиком, для двумерных моделей — срез решения при фиксированном полярном радиусе);

— отобразить срез решения в плоскости (р, в) в фиксированный момент времени с помощью тепловой карты (только для двумерных моделей);

— отобразить график зависимости амплитуды решения от времени.

А.4 Организация работы

В интерактивной среде Jupyter Lab на языке Python с помощью класса experiment_manager создаются HDF5 файлы новых вычислительных экспериментов. При помощи скрипта на языке Bash для каждого нового эксперимента вызывается исполняемый файл, который загружает экс-

перимент (MonlinearOpticalSystemExperiment: :Load), вызывает для него про-ДеДУРУ NonlinearOpticalSystemExperiment: :Run с заданным числом интервалов запаздывания, на которых нужно получить решение начально-краевых задач, и в конце осуществляет запись результатов в HDF5 файлы (MonlinearOpticalSystemExperiment: :Save). Затем они открываются в среде Jupyter Lab с помощью класса experiment_plot для анализа и построения графиков. Если требуется, можно продолжить проведение экспериментов (всех или части) с того момента, где они были закончены в последний раз. Схема организации работы при проведении вычислительных экспериментов представлена также на Рисунке А.1.

Рисунок А.1 Схема организации работы при проведении вычислительных

экспериментов.