Исследование математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат физико-математических наук Олемская, Маргарита Владимировна

• Олемская, Маргарита Владимировна
• кандидат физико-математических наук
• 2006

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Олемская, Маргарита Владимировна

Введение.

Глава 1 ПОСТАНОВКА ЗАДАЧИ И МЕТОДЫ РЕШЕНИЯ.

1.1 Основные определения и обозначения.

1.2 Математическая модель взаимодействия нейтронного газа со средой состоящей из изомеров.

1.3 Постановка задачи.

1.4 Метод представления решений в пространствах последовательностей

Глава 2 СИСТЕМА ЛИНЕЙНЫХ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫХ УРАВНЕНИЙ С ОТКЛОНЯЮЩИМСЯ АРГУМЕНТОМ.

2.1 Представление решений в пространстве последовательностей векторов.

2.2 Пример применения метода представления решений в пространстве последовательностей векторов.

2.3 Достаточные условия разрешимости краевой задачи.

2.4 Использование подстановки.

2.5 Сглаживание решений с ростом аргумента.

2.6 Конечномерные приближения решений систем уравнений.

2.7 Непрерывная зависимость решений от начальных данных.

Глава 3 ЛИНЕЙНОЕ ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ, СОДЕРЖАЩЕЕ ОТКЛОНЕНИЯ АРГУМЕНТА В ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОМ ЧЛЕНЕ.

3.1 Конечномерные приближения для уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене.

3.2 Положительные решения уравнения с отклонениями аргумента в дифференциальном члене.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом»

Актуальность темы

Процесс построения математических моделей при решении научных и инженерных задач часто приводит к необходимости использования обыкновенных дифференциальных уравнений. Тщательное изучение содержательных моделей заставляет учитывать, например, предшествующие состояния системы, уточнять математические модели и переходить к исследованию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом.

Систематическая разработка теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом ведется с середины прошлого века. Исследованием таких уравнений занимались В.И. Зубов, А.Д. Мышкис, Л.Э. Эльсгольц, Р. Беллман. Математический аппарат дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом на сегодняшний день достаточно развит, хотя и сложен для широкого применения. Теория дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, к сожалению, развита недостаточно, и область применения известных методов решений ограничена. Это становится препятствием для построения эффективных математических моделей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки методов решения и изучения свойств решений таких уравнений.

В работе рассматриваются явления связанные с процессами, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. В качестве важного практического примера можно привести задачу создания изомерного нейтронного ускорителя. В основе физической модели лежит представление о взаимодействии нейтронного газа со средой, состоящей из вещества, ядра которого находятся как в основном, так и в изомерном состоянии. Состояние квазистационарного равновесия такого взаимодействия может быть описано дифференциальным уравнением с отклоняющимся аргументом, содержащим отклонения обоих знаков: ~ Ъ —-,-1,Ь](е + х])Ч{е + х]) + *(е) = Ч{е), ие 7=д//> ае }=м> где аргумент е — энергия (е > 0), функция д(е) имеет физический смысл плотности столкновений на интервал энергии, коэффициенты уравнения 6у(е), с1 (е) — неотрицательные функции, пропорциональные сечениям неупругих процессов перехода из энергетического состояния е + Х] в состояние е (при у < 0, гу < 0, при ; > 0, ту > 0) с носителями, расположенными на энергетическом интервале [0,оо), коэффициенты с] (е) пропорциональны первому моменту неупругого рассеяния. Неотрицательная функция ул0(е) с носителем на интервале [0,а>) — первый момент упругого рассеяния. Неотрицательная функция ^(е) задает на интервале [0,а>) распределение по энергии постоянно функционирующего источника нейтронов.

Необходимо отметить, что модели подобных физических явлений исследованы недостаточно. Построение математических моделей таких процессов является важной самостоятельной задачей. Актуальность темы диссертации связана с необходимостью разработки эффективных математических моделей подобных процессов. В работе исследуется математическая модель указанных явлений, в основе которой лежит дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Путь, который необходимо пройти от реального объекта или системы (ситуации, явления, процесса и т.д.) до предсказания его будущего состояния и прогноза поведения, сам является предметом для изучения. Основные этапы, вопросы и проблемы, роль математики и математического моделирования на этом пути рассмотрены многими авторами [1, 10, 11, 28, 35, 39, 52, 60, 62, 69]. Достаточно полное представление о математических моделях в различных областях естествознания можно получить из работ [13, 33, 61, 68]. Во многих приложениях предполагается, что будущее состояние системы не зависит от прошлых состояний и определяется только настоящим, а система подчиняется уравнению, содержащему переменные состояния и скорости их изменения. Таким образом, математическая модель принимает форму обыкновенных дифференциальных уравнений. Основные вопросы, которые здесь возникают, — это существование и единственность решений, свойства и поведение решений, устойчивость решений. Получить ответы на эти вопросы помогают работы [2, 30, 56, 58, 74]. Следующий шаг заключается в нахождении решения, численным методам, которые при этом используются, посвящены книги [3, 9, 24, 52].

Однако часто это лишь первое приближение к истинной ситуации. Более реалистичная модель вынуждает обратиться к исследованию более сложных уравнений — дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. История развития, вопросы и проблемы теории таких уравнений описаны в работах [36, 38, 40, 68]. Особенно интенсивно в последние десятилетия разрабатывалась теория дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом, которые нашли многочисленные приложения в механике, физике, технике, экономике, биологии и особенно в теории автоматического регулирования. Вот лишь небольшая часть работ, в которых представлены результаты, связанные с этим классом уравнений [4, 5, 6, 8, 15, 17, 18, 20, 21, 22, 23, 29, 32, 57, 59, 61, 64, 66, 68, 70, 71, 73, 75, 76, 77, 78].

Вопросы, связанные с дифференциальными уравнениями с опережающим аргументом затрагивались в работах [20, 37, 47, 48, 49, 50, 51, 75]. Отставание в изучении уравнений этого класса можно объяснить, в том числе и небольшим количеством физических задач, математической моделью которых являются дифференциальные уравнения с опережающим аргументом. В диссертации рассматривается модель процессов, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия. Для описания этого явления и моделей процессов использовались материалы [16, 27, 31, 53, 54, 55, 63, 65]. В основе одной из возможных математических моделей этого процесса лежит дифференциальное уравнение с запаздывающим и опережающим аргументом, которым является энергия.

Для поиска решения в диссертации используется метод представления решений систем дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом в пространствах последовательностей векторов [45, 46, 48]. Метод позволяет построить эффективный вычислительный алгоритм поиска решения, описать процедуру получения конечномерных приближений решений. Доказательство возможности представления решений в пространствах последовательностей и построения решений осуществляется с использованием математического аппарата теории функционального анализа и теории матриц [7, 14,19, 25, 26, 67, 72].

Цели и содержание поставленных задач

Целью работы является исследование математических моделей, базирующихся на дифференциальных уравнениях с отклоняющимся аргументом, в частности, описывающих распределение нейтронов по энергии при взаимодействии нейтронного газа с веществом в состоянии квазистационарного равновесия.

Задачи, которые необходимо решить для достижения поставленной цели:

1. получить представление решений для линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2. исследовать методы нахождения решений и представить условия существования положительных решений;

3. получить представление решений для системы линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака, изучить свойства и методы нахождения решений.

Методы исследования. В работе используются методы математического моделирования, теории дифференциальных уравнений и функционального анализа, методы численного анализа.

Объект и предмет исследования. Основными объектами исследования, выполненного в диссертации, являются дифференциальные уравнения, лежащие в основе математических моделей изучаемых процессов:

• линейное дифференциальное уравнение с постоянными коэффициентами, содержащее соизмеримые отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене,

• система линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Предметом исследований являются методы решения указанных классов дифференциальных уравнений с начальной задачей, формулируемой специальным образом, и свойства получаемых решений.

Результаты, выносимые на защиту

Для математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, получены следующие результаты:

1) достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей и доказательство сходимости конечномерных приближений получаемого решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2) достаточные условия существования положительного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и представление положительного решения в пространстве последовательностей;

3) необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей векторов и достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака;

4) доказательство сходимости конечномерных приближений решения, представленного в пространстве последовательностей векторов, для определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Научная новизна. Все результаты, выносимые на защиту, получены впервые и являются новыми.

Теоретическая и практическая значимость

Полученные в диссертации результаты позволяют исследовать математические модели, возникающие в практических задачах, в частности, описывающие процессы, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров. Необходимо особо отметить возможность представления решений для определенного класса дифференциальных уравнений с опережающим аргументом, которые на сегодняшний день недостаточно изучены.

Практическая значимость работы определяется также тем, что основные результаты носят конструктивный характер, описывают процедуру получения конечномерных приближений решений, позволяют оценить погрешность метода при построении вычислительного алгоритма нахождения решений, построить эффективные методы численного поиска решений. Полученные результаты позволяют сформировать рекомендации по практической реализации комплекса программ для расчета основных характеристик нейтронных ускорителей.

Апробация результатов. Результаты диссертации докладывались и обсуждались на XXXVI межвузовской научной конференции аспирантов и студентов «Процессы управления и устойчивость», СПбГУ (С-Петербург, 2005); на Международной конференции «Устойчивость и процессы управления», посвященной 75-летию со дня рождения В.И. Зубова, СПбГУ (С-Петербург, 2005); на XXXVII международной научной конференции «Процессы управления и устойчивость» СПбГУ (С-Петербург, 2006).

Публикации. По теме диссертации опубликовано 4 работы (в том числе одна статья в журнале, входящем в список ВАК), список которых приведен в конце автореферата.

Структура и объем диссертации. Диссертация, объемом 89 страниц, состоит из введения, трех глав, заключения, библиографического списка литературы, включающего 78 наименований.

Заключение диссертации по теме «Математическое моделирование, численные методы и комплексы программ», Олемская, Маргарита Владимировна

Заключение

В ходе исследования математических моделей процессов, описываемых дифференциальными уравнениями с отклоняющимся аргументом, выполненного в диссертации, получены следующие результаты:

1) достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей и доказательство сходимости конечномерных приближений получаемого решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене;

2) достаточные условия существования положительного решения линейного дифференциального уравнения с постоянными коэффициентами, содержащего отклонения аргумента, в том числе и в дифференциальном члене, и представление положительного решения в пространстве последовательностей;

3) необходимые и достаточные условия представления решений в пространстве последовательностей векторов и достаточные условия разрешимости краевой задачи в пространстве последовательностей векторов для систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака;

4) доказательство сходимости конечномерных приближений решения, представленного в пространстве последовательностей векторов, для определенного класса систем линейных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами и соизмеримыми отклонениями аргумента обоего знака.

Все перечисленные результаты получены впервые и являются новыми.

По результатам работы можно сделать следующие выводы:

1) полученные в диссертации результаты позволяют исследовать математические модели, возникающие в практических задачах, в частности, описывающие процессы, как замедления, так и ускорения нейтронов при взаимодействии нейтронного газа со средой состоящей из изомеров;

2) практическая значимость работы определяется тем, что основные результаты носят конструктивный характер, описывают процедуру получения конечномерных приближений решений, позволяют оценить погрешность метода при построении вычислительного алгоритма нахождения решений, построить эффективные методы численного поиска решений;

3) полученные результаты позволяют сформировать рекомендации по практической реализации комплекса программ для расчета основных характеристик нейтронных ускорителей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Олемская, Маргарита Владимировна, 2006 год

1. Андрианов С.Н., Едаменко Н.С. Моделирование динамических систем (на примере задач физики пучков). СПб.: Изд-во С.-Петерб. ун-та, 2006. 169 с.

2. Барбашин Е.А. Введение в теорию устойчивости. М.: Наука, 1967. 224 с.

3. Бахвалов Н.С. Численные методы. М.: Наука, 1973. 632 с.

4. Бекларян Л.А. Дифференциальное уравнение с отклоняющимся аргументом как бесконечномерная динамическая система // Сб. научн. тр. МАИ «Качественные методы теории дифференциальных уравнений и их приложения». М.: МАИ, 1991. С. 5-22.

5. Бекларян Л.А. К теории линейных дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. 1994. Т. 49, Вып. 6, С. 193-194.

6. Бекларян Л.А. Групповые особенности дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. Введение в линейную теорию // Матем. Заметки. 1998. Т. 63, Вып. 4, С. 483^93.

7. Беллман Р. Введение в теорию матриц. М: Наука, 1969. 368 с.

8. Беллман Р., КукК.Л. Дифференциально-разностные уравнения. М.: Мир, 1967. 548 с.

9. БерезинИ.С., Жидков Н.П. Методы вычислений: в 2 т. М.: Физматгиз, 1959. Т.1 -464 е.; Т.2-620 с.

10. Ю.Блехман И.И., МышкисА.Д., ПановкоЯ.Г. Механика и прикладная математика: Логика и особенности приложений математики. М.: Наука, 1969. 328 с.

11. П.Вентцель Е.С. Исследование операций. М.: Сов. радио, 1972. 552 с.

12. Воеводин В.В., Кузнецов Ю.А. Матрицы и вычисления. М.: Наука, 1984. 320 с.

13. Вольтерра Вито. Математическая теория борьбы за существование. М.: Наука, 1976. 288 с.

14. Гантмахер Ф.Р. Теория матриц. М.: Наука, 1967. 475 с.

15. Гребенщиков Б.Г., ЛожниковА.Б. Стабилизация системы содержащей постоянное и линейное запаздывание // ДУ. 2004. № 8. С. 1126-1128.

16. Ермаков С.М., Михайлов Г.А. Курс статистического моделирования. М.: Наука, 1976. 320 с.

17. Жабко А.П., Зубов Н.В., Прасолов A.B. Методы исследования систем с последействием. Л.: 1984. Деп. ВИНИТИ, №2103-84. 239 с.

18. Жабко А.П., Харитонов В.Л. Методы линейной алгебры в задачах управления. СПб.: Изд-во СПбГУ, 1993. 320 с.

19. Зубов В.И. К теории линейных стационарных систем с запаздывающим аргументом // Изв. вузов, сер. мат. 1958. №6. С. 86-95.

20. Зубов В.И. Колебание в нелинейных и управляемых системах. Л.: Судпромгиз, 1962. 631 с.

21. Зубов В.И. Математические методы исследования систем автоматического регулирования. Л.: Машиностроение, 1974. 336 с.

22. Калиткин H.H. Численные методы. М.: Наука, 1978. 512 с.

23. Канторович Л.В., АкиловГ.П. Функциональный анализ. М.: Наука, 1977. 744 с.

24. Колмогоров А.Н., Фомин C.B. Элементы теории функций и функционального анализа. М.: Наука, 1981. 544 с.

25. Красносельский М.А. Положительные решения операторных уравнений. М.: Физматгиз, 1962. 396 с.

26. Краснощеков П.С., Петров A.A. Принципы построения моделей. М.: Изд-воМГУ, 1984.264 с.

27. Красовский H.H. Некоторые задачи теории устойчивости движения. М.: ГТТИ, 1959.212 с.

28. Крейн С.Г. Линейные дифференциальные уравнения в банаховом пространстве. М.: Наука, 1967. 464 с.

29. Леонтович М.А. Введение в термодинамику. Статистическая физика. М.: Наука, 1983.416 с.

30. Любич Ю.И., Ткаченко В.А. К теории Флоке для уравнений с запаздывающим аргументом // ДУ. 1969. Т.5, № 4. С. 648-656.

31. МарриДж. Нелинейные дифференциальные уравнения в биологии. Лекции о моделях. М.: Мир, 1983. 397 с.

32. Математическая энциклопедия / Под ред. И.М. Виноградова. М.: Советская энциклопедия, 1985. Т.5 1248 с.

33. Математическое моделирование / Под ред. Дж. Эндрюс, Р. Мак-Лоун. М.: Мир, 1979. 279 с.

34. Мышкис А.Д. Общая теория линейных уравнений с запаздывающим аргументом//УМН. 1949. Т. 4, Вып 5. С. 99-141.

35. Мышкис А.Д. Линейные дифференциальные уравнения с запаздывающим аргументом. М.: Наука, 1972. 352 с.

36. Мышкис А.Д. О некоторых проблемах теории дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом // УМН. Т. 32, Вып. 2. 1977. С. 173-202.

37. Мышкис А.Д. Элементы теории математических моделей. М.: Наука, 1994. 192 с.

38. Петров Ю.В. Многократное ускорение нейтронов в инверсно заселенной среде //ЖЭТФ. 1972. Т. 63, Вып. 3(9). С. 753-760.

39. Петров Ю.В. Изомерный нейтронный ускоритель // Материалы IX зимней школы. Л.: ЛИЯФ, 1975. С. 619-635.

40. Петров Ю.В. Физика исследовательских реакторов (ВВР-М и ПЖ) и ускорение нейтронов: Автореф. дис. на соиск. учен. степ, д-ра физ.-мат. наук Л., 1884.40 с.

41. ПинниЭ. Обыкновенные дифференциально-разностные уравнения. М.: ИЛ, 1961.248 с.

42. Понтрягин Л.С. О нулях некоторых элементарных трансцендентных функций // ИАН СССР (матем.). 1942. Т. 6, № 3. С. 115-134.

43. Понтрягин JI.C. Обыкновенные дифференциальные уравнения. М.: Наука, 1982. 332 с.

44. Прасолов A.B. Аналитические и численные исследования динамических процессов. СПб.: Изд-во СпбГУ, 1995. 148 с.

45. Прасолов A.B. Математические модели динамики в экономике. СПб.: Изд-во СПб. Госуниверситета экономики и финансов, 2000. 247 с.

46. РубаникВ.П. Колебания квазилинейных систем с запаздыванием. М.: Наука, 1969. 287 с.

47. Самарский A.A., Михайлов А.П. Математическое моделирование. М.: Физматлит, 2005. 320 с.

48. Смелов В.В. Лекции по теории переноса нейтронов. М.: Атомиздат, 1978. 216 с.

49. Смолин Ю.Н. Экспоненциальная устойчивость периодических дифференциальных уравнений с запаздываниями // ДУ. 2004. № 10. С. 1333-1341.

50. Уваров В.Б. Асимптотические свойства распределения нейтронов по энергиям при замедлении их в бесконечной среде // ЖВММФ. 1967. Т. 7, №4. С. 836-851.

51. Уваров В.Б. Асимптотические свойства решений линейных дифференциальных уравнений с запаздывающим аргументом // ДУ. 1968. Т. 4, №4. С. 659-663.

52. Функциональный анализ / М.Ш. Бирман, Н.Я. Виленкин и др.; под ред. С.Г. КрейнаМ.: Наука, 1972. 544 с.

53. ХейлДж. Теория функционально-дифференциальных уравнений. М.: Наука, 1984. 421 с.

54. Чернецкий В.И. Математическое моделирование динамических систем. Петрозаводск: Петрозаводский гос.университет, 1996. 432 с.

55. Шилов Г.Е. Математический анализ. М.: Физматгиз, 1959. 388 с.

56. Шиманов С.Н. К теории линейных дифференциальных уравнений с последействием // ДУ. 1965. Т. 1, № 1. С. 102-116.

57. Эльсгольц Л.Э. Дифференциальные уравнения и вариационное исчисление. М.: Наука, 1969. 424 с.

58. Эльсгольц Л.Э., НоркинС.Б. Введение в теорию дифференциальных уравнений с отклоняющимся аргументом. М: Наука, 1971. 296 с.

59. Kharitonov V.L., Zhabko А.Р. Luapynov-Krasovskii approach to the robust stability analysis of time-delay systems //Automatic. 2003. No 39. P. 15-20.

60. Wang Genqiang. Existence theorem of periodic solutions for a delay nonlinear differential equation with piecewise constant arguments // J.Math.Anal.and.Appl. 2004. Vol. 298, Nol. P. 298-307.

61. Wei Jiang. Eigenvalue and stability of singular differential delay systems // J.Math.Anal.and.Appl. 2004. Vol. 297, Nol. P. 305-316.