Исследование начально-краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в области с изменяемой границей тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.01.02, кандидат физико-математических наук Тирских, Владимир Викторович

• Тирских, Владимир Викторович
• кандидат физико-математических наук
• 2000

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Тирских, Владимир Викторович

Введение

1 Задача о погружении через поверхность тяжелой жидкости контуров

1.1 Постановка задачи. Асимптотический алгоритм. Характерная линейная задача.

1.2 Метод Фурье решения задачи

1.3 Модельные расчеты

1.4 Влияние сил поверхностного натяжения на волны при погружении контуров через поверхность тяжелой жидкости

2 Линейная задача о нестационарном движении симметричных контуров, пересекающих свободную поверхность тяжелой жидкости

2.1 Нестационарное движение источника под свободной поверхностью тяжелой жидкости.

2.2 Редукция задачи о погружении контуров к интегральному уравнению

2.3 Задача о погружении контуров с малой килеватостыо

2.4 Задача о погружении контуров с большой килеватостыо

3 Удар и несимметричное погружение плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой жидкости

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование начально-краевых задач для эллиптических дифференциальных уравнений в области с изменяемой границей»

Первые теоретические работы об ударе и проникании тел в жидкость относятся к 30-м годам. Фундаментальные результаты в данной области, ставшие классическими, получены Н.Е.Кочиным [1]-[4], М.В.Келдышем , М.А.Лаврентьевым [5], Ю.С.Чаплыгиным [б, 7], А.А.Костюковым [8], А.Н.Сретенским [9]-[11], М.Д.Хаскиндом [12], Л.И.Седовым [13]-[14], Г.В.Логвиновичем [15] и др. Наиболее интенсивное развитие теория получила в последние два десятилетия. Известны две задачи Вагнера: задача о погружении с постоянной скоростью через свободную поверхность идеальной (невязкой, невесомой, несжимаемой) жидкости клина [15, 16] и задача "о порыве" в теории нестационарного движения крыла ("порыв" - это скачкообразное изменение скорости движения или угла атаки крыла). В диссертации рассматриваются задачи близкие к первому типу задачи Вагнера.

В механике жидкости и газа существует обширный класс задач, в которых рассматриваются различные случаи проникания тел через границу сплошной среды [17].

Методы решения отмеченных выше задач можно разделить на три группы:

1) методы теории функции комплексного переменного [20] - [23],[12, 26];

2) методы Фурье и связанные с ними методы граничных интегральных уравнений [18, 19]; [46] - [50]

3) численные методы.

В настоящей работе исследования ведутся с использованием методов второй группы.

Исходная нелинейная задача в пространстве вызванных скоростей

Ф имеет вид

Ь<р = 0 д Е О,

0.1)

В(р = Р дедп, где Ь - линейный эллиптический дифференциальный оператор второго порядка, В - в общем случае нелинейный дифференциальный оператор граничных условий, ^ - возмущающая функция. Предполагается, что функции, заданные на свободной поверхности и контуре, достаточно гладкие. Если поверхность 5 гладкая в смысле Ляпунова, то решение задачи (0.1) существует и единственно в классе аналитических функций (классическое решение) и любое обобщенное решение также будет классическим [27] - [31], [32, 35].

В неклассических случаях, когда граница (<90) не гладкая, существует обобщенное решение краевой задачи (0.1), (0.2) отличное от классического [33, 34, 36].

Пусть О - область в п - мерном евклидовом пространстве В,п. <90 -граница и 17 - замыкание области О. Допустим, что на (п — 1) - мерном многообразии дО, выделено замкнутое (п — 2) - мерное подмножество такое что в окрестности каждой точки из С область диффеоморф-на п - мерному двугранному углу. Граница 50 и ее .подмножество С в общем случае состоит из частей <90 = Ц;<т 50^-, С = Ц/</ £]■ Теперь рассмотрим область £1р,р > 0 - объединение шаров с центрами в до 6 С. таких что для любого до € (ЛР \ д — д$ \< р ж = Ор и д\1р - замыкание области О.р. Пересечение дО,Г\дПр выделяет на поверхности <90 части образующие ребро С, Пересечение 50 П д0,р порождает два многообразия СгИо1"71 = диртп Г\дО,р. В соответствии с этим можно разделить общую задачу (0.1) на две части. Одну для области с гладкой границей (0'), и другую - для области, имеющей три непересекающихся ребра (Ор5): кромка С поверхности Бр с углом а = 2тг и два ребра Цт с углами арт = тг/2. 0 д е о',

0.2)

В0<р° = / деЯ,

L(p = и g £ Q

0.3)

Bo<p — fP g e düps, где 990 - решение задачи (0.1) для области О! и Тр - решение в области 0,рз. Здесь ии /р- некоторые функции с носителем в Пра и д0,р8 соответственно, выбираемые по условиям согласования решений задач (0.2) и (0.3) на общей границе и из физических соображений. Собственно разделение задачи (0.1) на внешнюю (0.2) и внутреннюю (0.3) необходимо для получения единственного решения при возникновении локальной некорректности. Важное место в постановке таких задач имеет удачный выбор подходящих функциональных пространств, в которых рассматриваются решения задачи, правые части уравнений и граничные условия. В [36] отмечается, что в большинстве задач удобно использовать функциональные пространства с весовой нормой, у которой вес представляет собой функцию, пропорциональную некоторой степени расстояния точки пространства до множества нерегулярных точек границы С.

В работе предполагается, что в выбранном классе функций, для которого конечна норма [28, 47] решение существует и единственно.

Сложным вопросом остается проблема описания закона движения точек контакта между границей свободной поверхности,постоянно меняющейся со временем и твердой стенки. Специфика проблемы заключается в том, что необходимо одновременно определять в каждый момент времени как движение жидкости, так и положение линии контакта. Новый подход к решению этой проблемы предложен Коробки-ным A.A. [41] - [44], который основан на введении потенциала перемещений.

Результатом решения задач, приведенных ниже, является информация о форме свободной поверхности тяжелой жидкости в зависимости от координаты и времени вне окрестности этих точек. Вопросы силового взаимодействия погружающихся контуров с жидкостью в работе

0.4) не рассматриваются, хотя и могут быть без труда получены из най-деных решений (правда, с точностью до составляющих, связанных с брызговыми струями и допущениями линейных задач).

Работа состоит из трех глав и заключения.

В первой главе диссертации, используя метод Фурье, исследуются, в основном, симметричные задачи (погружающийся или деформирующийся контур имеет вертикальную ось симметрии). Исключение составляет задача о "волнопродукторе", в которой компактная область давления может двигаться произвольно и задаваться произвольным изменением своей величины по координате и времени (лишь бы только допускало Фурье преобразование по координате х).

В параграфе 1.1 дается полная постановка задачи с нелинейными граничными условиями о погружении непроницаемых контуров через свободную поверхность тяжелой, невязкой, несжимаемой жидкости. Вводя безразмерные величины, находим малый параметр задачи е (е — Цтах/Ь, где Ь - размер носителя). Далее, используя регулярный асимптотический алгоритм, мы переходим от нелинейной задачи к последовательности линейных краевых задач.

В параграфе 1.2, используя Фурье преобразование, краевая задача сводится к интегральному уравнению Вольтерра первого рода типа свертки с "периодическим ядром. При этом основным является допущение о том, что и свободная поверхность и контур "мало отклоняются" от невозмущенной свободной поверхности. Только тогда норма (0.4) имеет малый порядок который принят за параметр возмущений. Термин "мало отклоняется" взят в кавычки потому, что физическое наполнение понятия элемента шкалы сравнения (коим является малый параметр задачи е) осуществляется только в конкретных задачах ( в работе это третий параграф - модельные расчеты), когда определяются функции правых частей граничных условий на контуре в задачах типа (0.1).

А также представлены два способа решения интегрального уравнения Вольтерра. Выбор способа решения зависит от тех трудностей, которые возникают на пути получения конечных формул. Первый способ решения наиболее прост, но иногда в этих конечных формулах остаются невычисленными двойные интегралы, и в этом случае, удобнее использовать второй способ, так как двойные интегралы сводятся к простым табличным интегралам, широко используемым в теории крыла [57].

В параграфе 1.3 выполнены расчеты форм свободной поверхности в двух задачах о погружении контуров:

- безударное погружение через поверхность тяжелой жидкости с постоянной скоростью симметричного клина;

- удар о поверхность тяжелой жидкости и погружение плоской пластинки;

В параграфе 1.4 рассматривается плоская линейная задача о волнах на свободной поверхности тяжелой невязкой жидкости с учетом сил поверхностного натяжения от нестационарного движения по ней произвольно изменяющихся сосредоточенных давлений. Рассмотрены две конкретные задачи, в которых получены расчеты форм свободной поверхности:

- безударное погружение через поверхность тяжелой жидкости с постоянной скоростью симметричного клина с учетом сил поверхностного натяжения;

- задача о нестационарном движении по свободной поверхности сосредоточенного давления, меняющегося по периодическому закону.

Во второй главе диссертации рассмотрен второй подход решения плоской линейной задачи о волнах на свободной поверхности тяжелой жидкости при погружении через нее симметричных контуров, который основан на методе граничных интегральных уравнений.

В параграфе 2.1 найдена фундаментальная структура (функция Грина) - решение задачи о нестационарном движении под свободной поверхностью тяжелой жидкости источника, интенсивность которого меняется во времени. До сих пор были известны, лишь решения для источников, интенсивность которых менялась по периодическому закону. Получена форма свободной поверхности при нестационарном движении под ней источника.

В параграфе 2.2 записывается формула Грина для потенциала скорости Ф(х,у,{). Контур интегрирования деформируется в окружность 7, содержащую внутри себя точку {х,у}, контур, охватывающий тело

Я и контур из свободной поверхности и полукруга бесконечного радиуса. В результате этих действий, решение задачи ищется в форме суммы интегральных операторов типа потенциалов простого (источника и стока) и двойного (диполи) слоя. В случае симметричного движения, двойного слоя на контуре нет и, в этом случае, задача существенно упрощается.

В параграфе 2.3 рассмотрена задача о погружении контуров с малой килеватостью, в которой граничное условие неперетекания переносится на проекции контура на горизонтальную координатную ось ох. Задача редуцируется к интегральному уравнению Вольтерра типа свертки с периодическим ядром, для которого найден обратный оператор.

В параграфе 2.4 рассмотрена задача о погружении контуров с большой килеватостью, в которой граничное условие неперетекания переносится на проекции контура на вертикальную координатную ось оу. Поэтому, решение задачи определяется сразу по скачку нормальной производной от потенциала скоростей.

В главе 3 решается линейная задача о волнах на свободной поверхности тяжелой жидкости после несимметричного удара и погружения плоской пластинки. Исследуется начальная стадия этой формы движения или кратковременный контакт пластинки с жидкостью. Решение ищется в форме интегрального оператора типа потенциала простого слоя, распределенного по проекции пластинки на невозмущенную свободную поверхность. Интегральное уравнение задачи после ряда преобразований сводится к интегральному уравнению Вольтерра 1-го рода типа свертки с периодическим ядром для которого найден обратный оператор. Построена простая линейная математическая модель волнообразования после удара и несимметричного погружения плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой идеальной жидкости. Получено аналитическое и численное решение задачи.

Заключение диссертации по теме «Дифференциальные уравнения», Тирских, Владимир Викторович

Заключение

В работе исследованы начально - краевые задачи о вертикальном погружении через свободную поверхность тяжелой, невязкой, несжимаемой жидкости непроницаемых контуров и получены следующие основные результаты :

1. Найдены решения интегрального уравнения Вольтерра типа свертки с периодическим ядром для различных начальных условий.

2. Построена функция Грина - решение задачи о нестационарном движении под свободной поверхностью тяжелой жидкости источника, интенсивность которого меняется во времени. До сих пор были известны, лишь решения для источников, интенсивность которых менялась по периодическому закону.

3. Разработан метод и алгоритм решения задач о погружении контуров через поверхность тяжелой жидкости, что позволило решить ряд конкретных задач:

- удар и погружение плоской пластинки;

- апериодическое движение по свободной поверхности компактной области повышенного давления, которое меняется по произвольному закону;

- погружения клина с малыми и большими углами килеватости;

- нестационарное апериодическое движение под свободной поверхностью источника переменной интенсивности.

4. Построена математическая модель волнообразования после удара и несимметричного погружения плоской пластинки через свободную поверхность тяжелой идеальной жидкости. Получено аналитическое и численное решение задачи. Решение может быть полезным при использовании в нестационарной аналогии установившегося глиссирования несущих поверхностей, так как просто может быть обобщено на задачу об ударе слабоискривленных контуров.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Тирских, Владимир Викторович, 2000 год

1. Кочин Н.Е. Точное определение установившихся волн конечной амплитуды на поверхности раздела двух жидкостей конечной глубины. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 43-75.

2. Кочин Н.Е. К теории волн Коши-Пуассона. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 86-104.

3. Кочин Н.Е. Плоская задача об установившихся колебаниях тел под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 244-276.

4. Кочин Н.Е. Теория волн, вынуждаемых колебаниями тела под свободной поверхностью тяжелой несжимаемой жидкости. — Собр.соч.,т II, Гостехиздат, 1949. с. 277-304.

5. Келдыш М.В., Лаврентьев М.А. О движении крыла под поверхностью тяжелой жидкости. — Труды конференции по теории волнового сопротивления. Изд-во ЦАГИ. 1937.

6. Чаплыгин Ю. С. Глиссирование плоской пластинки бесконечного размаха по поверхности тяжелой жидкости. — Тр. ЦАГИ, 1940, вып. 508, с. 3-45.

7. Чаплыгин Ю. С. Глиссирование по поверхности жидкости конечной глубины. — ПММ, 1941, т.5, вып. 2, с. 223-252.

8. Костюков А. А. Теория корабельных волн и волнового сопротивления — Судпромгиз. 1959.

9. Сретенский JI.H. К теории глиссера. — М., Изв. АН СССР, отделение технических наук, 1940, т.7, с. 3-26.

10. Сретенский Л.H. Теория ньютоновского потенциала. — М., Го-стехиздат, 1946.

11. Сретенский JI.H. Теория волновых движений жидкости. — М., "Наука", 1977. 815 с.

12. Хаскинд М.Д. Колебания плавающего контура на поверхности тяжелой жидкости. — ПММ., t.XVII. вып.2. 1953.

13. Седов Л.И. Плоские задачи гидродинамики и аэродинамики. — М., "Наука", 1966.

14. Седов Л.И. Плоская задача о глиссирование по поверхности тяжелой жидкости. — Труды конференции по теории волнового сопротивления. Изд-во ЦАГИ. 1937.

15. Логвинович Г. В. Гидродинамика течений со свободными границами. — Киев, "Наукова думка", 1969. 208 с.

16. Wagner H. Uber Stoss und Gleitvorgange der Oberflache von Flüssigkeiten. —ZAMM. 4. 1932. s.199-215.

17. Сагомонян А.Я. Проникание — M. "МГУ". 1974.

18. Перфиръев H.П. Вертикальное движение тонкого плоского тела к свободной поверхности весомой жидкости. — В кн. Струйные и ка-витационные течения и современные вопросы теории управления. /Чуваш, ун-т., Чебоксары, 1978.

19. Перфиръев Н.П.,Романов A.B. Вертикальное движение тонкого плоского тела к свободной поверхности весомой жидкости. — В кн. Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./Чуваш. ун-т., Чебоксары, 1980.

20. Никитин В.В.,Терентъев А.Г. Нестационарное движение тонких тел в жидкости с границами раздела. — В кн. Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./ Чуваш, ун-т., Чебоксары, 1980.

21. Терентъев А.Г. Наклонный вход тонкого тела в несжимаемую жидкость.—Изв.АН СССР., МЖГ, 1977. N5

22. Кузнецов A.B. Вход тонкого тела в воду. Плоские задачи. — Труды семинара по краевым задачам. Казань, Изд-во Казанского ун-та, 1977. вып.14

23. Михайлов В.М.,Никитина Г.В. О наклонном проникании в идеальную весомую жидкость тонкого тела с вентилируемой каверной. — Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./ Чуваш, ун-т., Чебоксары, 1980.

24. Галанин А.В.,Гусев В.А.,Сайкин С.С. Вход осесиметричной оболочки в сжимаемую жидкость.—Динамика сплошной среды со свободными поверхностями./ Чуваш, ун-т.,Чебоксары, 1980.

25. Попов В. В. К задаче об ударе плавающего конуса. — Гидромеханика, 1979, вып. 40. с.28-37.

26. Салъкаев А.З. Гидродинамические силы, действующие на контур произвольной формы, плавающий на поверхности тяжелой жидкости. — Труды ЦНИИ им.Крылова, вып. 235.

27. Кузнецов Н.Г., Орлов Ю.Ф., Черепенников В.Б.,Шлаустас Р.Ю. Регулярные асимптотические алгоритмы в механике. — Новосибирск, "Наука", Сиб. от.-ние, 1989. 272 с.

28. Кузнецов Н.Г.,Мазъя В. Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, вызванных кратковременными возмущениями. — В кн. Асимптотические методы. Прикладные задачи механики. Новосибирск, "Наука", Сиб. от-ние, 1986. с.103-138.

29. Кузнецов Н.Г.,Мазъя В. Г. Об однозначной разрешимости плоской задачи Неймана-Кельвина. — Математический сборник. 1988. 135(177). N4. с.440-462.

30. Кузнецов Н.Г. Плоская задача об установившихся колебаниях жидкости в присутствии двух полупогруженных цилиндров. — Математические заметки, т.44. вып.З. 1988. с. 369-377.

31. Кузнецов Н.Г. Асимптотические разложения для поверхностных волн, возникающих при движении тела с быстроосциллирующей скоростью. — Изв. АН СССР. МЖГ, N3, 1989. с.138-145.

32. Garipov R.M. On the linear theory of gravity waves: the theorem of existence and uniqueness. — Arch.Rat.Mech., 1967. v.24. N5. p.352-362.

33. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.А. О краевых задачах для эллиптического уравнения второго порядка в областях с ребрами. — Вести ЛГУ, сер.матем., 1975, N 1, с. 102-108.

34. Мазъя В.Г., Пламеневский Б.A. Lp оценки в асимптотике решений эллиптических краевых задач в областях с ребрами. — Труды ММО, 1973, т.37, с. 49-93.

35. Кондратьев В.А. Краевые задачи для эллиптических уравнений в областях с коническими или угловыми точками. — Труды ММО, 1967. т.16. с. 209-292.

36. Кондратьев В.А., Олейник O.A. Краевые уравнения с частными производными в негладких областях. — УМН, 1983. т.38, N 2, с.3.76.

37. Андрее В.К. Устойчивость неустановившихся движений жидкости со свободной границей. — Новосибирск, "Наука". Сиб.от-ние, 1992. 136 с.

38. Налимов В.И., Пухначев В.В. Неустановившееся движение жидкости со свободной границей. — Новосибирск, НГУ, 1975. 136 с.

39. Пухначев В.В.,Солонинков В.А. К вопросу о динамическом краевом угле. — Новосибирск, ПММ, 1982. т.46. вып.6. с.961-971.

40. Пухначев В. В. Движение вязкой жидкости со свободными границами. — Новосибирск, НГУ, 1989. 96 с.

41. Korobkin A.A. and Pukhnachov V. V. Initial stage of water impact.

42. Annual. Rev. Fluid Mech., 1988. V. 20. P. 159-185.

43. Korobkin A.A. Acoustic effect on water impact. — Proc. 10th Int. Workshop on Water Waves and Floating Bodies, Oxford, 1995. P. 25.125.4.

44. Коробкин A.A. Акустическое приближение в задаче погружения затупленного контура в идеальную жидкость. — ПМТФ. 1992. N 2. с. 48-54.

45. Korobkin A.A. Jetting under body impact on a liquid free surface.— Proc. 4th Int. Symp. on Nonlinear and Free-Surface Flows, Hiroshima Univ., 1995. P. 5-8.

46. Черкесов Л. В. Гидродинамика поверхностных и внутренних волн. — Киев, "Наукова думка", 1976. 364 с. Сиб. от.-ние. 1983.

47. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Линейная задача о погружении контура через поверхность тяжелой жидкости. — /Асимптотические методы в теории ситем. Иркутск, ИНЦ СО АН СССР, 1991. с. 38-47.

48. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Задача о погружении контура через поверхность тяжелой жидкости. — /Современные проблемы механики жидкости и газа. Иркутск, ИНЦ СО АН СССР, ИМ МГУ, 1990.с. 247-248.

49. Орлов Ю.Ф.,Тирских В.В. Обобщенная задача Вагнера — Препринт N2. Иркутск: ИДСТУ СО РАН, 1998, с.47

50. Орлов Ю. Ф., Тирских В.В. Волны на поверхности тяжелой жидкости, генерируемые несимметричным ударом по плоской пластинке на ее поверхности — Известия РАН, МЖГ, 1999, N 4, с.177-181.

51. Шварц Л. Математические методы для физических наук. — М., "Наука", 1966. 412 с.

52. Соболев С.Л. Уравнения математической физики.—М., ГИТТЛ, 1954. 444 с.

53. Гюнтер Н.М. Теория потенциала и ее применение к основным задачам математической физики. — М., Гостехиздат, 1953. 415 с.

54. Орлов Ю. Ф. Потенциал ускорений в гидродинамике корабельных волн.— Новосибирск, "Наука", Сиб. от.-ние. 1979. 216 с.

55. Брычков Ю.А., Прудников А.П. Интегральные преобразования обобщенных функций. — М., "Наука", 1977. 283 с.

56. Гахов Ф.Д. Краевые задачи. — М., "Наука", 1977. 640 с.

57. Орлов Ю.Ф. Теория потенциала ускорений и асимптотические методы. — В кн. Асимптотические методы. Задачи и модели механики. Новосибирск, "Наука", Сиб. от. -ние, 1987. с. 6-38.

58. Рид.М., Саймон Б. Методы современной математической физики, т.2. Гармонический анализ. Самосопряженность. — М., "Мир", 1978, 396 с.

59. Морс Ф., Фешбах Т. Методы теоретической физики, т.1. — М., "Изд-во иностр. литер.", 1960, 930 с; т.2. 886 с.

60. Маклаков Д. В. Нелинейные задачи гидродинамики потенциальных течений с неизвестными границами. — М., "Изд-во "Янус-К", 1997, 280 с.