Нелинейная динамика структурных элементов стратифицированных течений тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 25.00.29, доктор физико-математических наук Кистович, Анатолий Васильевич

• Кистович, Анатолий Васильевич
• доктор физико-математических наук
• 2002

Оглавление диссертации доктор физико-математических наук Кистович, Анатолий Васильевич

ГОСУДАРСТВЕННАЯ БИБЛИОТСКА

Введение

1 Уравнения движения стратифицированных сред и современные методы анализа их свойств

1.1 Модели движения неоднородных жидкостей

1.2 Применение методов теории непрерывных групп к задачам механики жидкости

1.2.1 Классические и специальные группы Ли

1.2.2 Введение в теорию дифференциальных форм и их приложений

1.2.3 Определение непрерывных симметрии методом дифференциальных форм.

1.3 Развитие техники дискретных групп преобразований в задачах механики жидкости

1.3.1 Современное состояние методов поиска дискретных симметрий

1.3.2 Регулярный метод поиска дискретных симметрий дифференциальных уравнений

1.3.3 Дискретные симметрии классических моделей механики жидкости

1.4 Методы дифференциальной геометрии и механике жидкости.

1.4.1 Дифференциальные операторы в сопутствующей системе координат.

1.4.2 Переход в ортогональную систему координат.

2 Течения, индуцированные диффузией на непроницаемых поверхностях

2.1 Проблема возникновения диффузионных и конвективных течений.'.

2.1.1 Стационарные течения.

2.1.2 Нестационарные течения

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Нелинейная динамика структурных элементов стратифицированных течений»

В природных условиях и многих технологических процессах жидкости обычно являются стратифицированными вследствие неоднородного распределения температуры или концентрации примесей. Результаты многочисленных экспериментальных и натурных наблюдений [1-48] позволяют выделить набор фундаментальных структур, возникающих в жидкой среде под воздействием сил различной физической природы. Изучение нелинейной динамики выделенных структурных элементов стратифицированных течений необходимо для оценки их свойств, прогнозе эволюции и возможном управлении в природных и лабораторных условиях, а также в технологических процессах.

Периодические пространственно-временные воздействия малой интенсивности порождают линейные волны, которые, в зависимости от степени локализации их источника, могут заполнять все пространство (плоские волны) или только его небольшую часть (волновые пучки). Более интенсивное воздествие на жидкую среду, при котором возрастает роль адвективного механизма переноса скорости, приводит к генерации нелинейных волн конечной амлитуды, характеристики которых существенно отличаются от линейных волн [2-5]. Этот же адвективный механизм является причиной нелинейного взаимодействия волн [6-8], что приводит к генерации колебаний на комбинационных частотах и возникновению пространственно ограниченных зон нелинейного взаимодействия (для волновых пучков [9-13]).

Внутренние волны вносят существенный вклад в динамику океана и атмосферы. Вопросам их возникновения, распространения, неустрйчивости и взаимодействия посвящено большое количество работ. При этом подавляющее число исследований выполнено в рамках модели плоских волн бесконечно малой интенсивности [1.49-51]. Реальные волновые процессы в океане и атмосфере обусловлены локализованными по пространству колебаниями конечной амплитуды, что позволяет регистрировать их даже сейсмографами с ограниченной чувствительностью [52]. Нелинейность математической модели, адекватной наблюдаемым явлениям, существенно усложняет анализ проблемы, а результаты немногочисленных теоретических работ [53, 54], посвященных исследованию распространения внутренних гравитационных волн конечной амлитуды, не согласуются с экспериментальными данными [2, 3]. Вопрос нелинейного взаимодействия локализованных пучков внутренних волн практически не изучен и проблема исследования нелинейной динамики внутренних гравитационных волн, в постановке близкой к реальной, остается открытой.

Специфические касательные напряжения в толще жидкости, обусловленные как геометрией ограничивающих поверхностей, так и характерными особенностями источников этих напряжений, приводят к возникновению вихревых [14-16,18,19] и спиральных структур [17, 20], время устойчивого существования которых в неограниченной среде определяется лишь механизмами нелинейного взаимодействия с подобными или иными структурными элементами течения и диссипативными процессами.

Силы трения в толще жидкости и вблизи ограничивающих поверхностей, являющиеся причиной диссипации кинетической энергии, приводят к формированию пограничных стационарных [22," 55] и динамических слоев [14, 55].

Процессы диффузии примесей и температуры в неоднородных средах формируют фронты [40, 45, 46] соответствующих термодинамических характеристик среды.

Совокупное действие процессов диффузии вблизи ограничивающих поверхностей и сил плавучести, вызванных различиями в плотности жидкости, находящейся в поле массовых сил, порождают плотностные пограничные слои [23-26].

Плотностные пограничные слои являются важным элементом таких процессов как апвелинг и вертикальное перемешивание в океане, формирование склочного ветра в атмосфере, тепломассоперенос в резервуарах, взаимодействие стратифицированных течений с границами. Структура пограничного течения изучалась как в стационарной [55-57], так и в нестационарной [58, 59] постановке, в которой получены асимптотические решения для малых и больших времен. Решения стационарных задач характеризуются единым комбинационным масштабом распределения скорости и стратифицирующей добавки, в то время как асимптотика малых времен позволяет выделить несколько динамических пограничных слоев с собственными масштабами для возмущений скорости, температуры и примеси.

Результаты проведенных исследований не дают удовлетворительного описания пограничных слоев. Так стационарные решения неравномерны относительно угла наклона ограничивающей поверхности и в предельных случаях вертикальной и горизонтальной границ приводят к неверным результатам. С другой стороны, асимптотические разложения нестационарных решений не сшиваются друг с другом. В случае одной стратифицирующей компоненты нестационарные решения также становятся неравномерными по углу наклона и дают неверные решения в предельных случаях. Картины вторичных течений, рассчитанные в [59] не согласуются с данными экспериментов [23, 26]. Это говорит о необходимости тщательного исследования нестационарной задачи, с тем чтобы разрешить вопрос о противоречии между стационарными (полученными точно) и нестационарными (полученными приближенно) решениями и устранить неравномерность по углу наклона непроницаемой пластины.

В'процессах свободной термоконцентрационной конвекции от локализованных источников тепла проявляются как все вышеперечисленные структурные элементы, так и всплывающие термики [27-30], порождаемые архимедовой силой, а также специфические стационарные диссипативно-гравитационные волны [33, 37, 39], природа которых определяется совместным действием сил плавучести, вязкого трения и явления переноса примесей. В случае протяженных тепловых источников формируются пространственно-периодические когерентные структуры, состоящие из всплывающих термиков [27, 32, 34] или конвективных ячеек различной формы [27, 38, 42, 43].

Термоконцентрационная конвекция (термохалинная, многокомпонентная, двойная диффузия, как также именуется этот процесс) вызывает образование пространствен но-регулярной по глубине тонкой структуры океана [31], атмосфер планет и звезд, мантии Земли и других геофизических систем [35]. Конвективные течения часто пространственно упорядочены и в горизонтальном направлении. Масштабы структур меняются в чрезвычайно широких пределах [27] от нескольких миллиметров в лаборатории до десятков тысяч километров в атмосфере Солнца. Именно свободная конвекция определяет глобальное антропогенное воздействие на природу (конвективные столбы сильных взрывов, факелы над энергетически насыщенными регионами).

В конвективной структуре принято различать термики [28, 41] (конвективные клубы или вихри над короткодействующим источником), растущие факелы (над постоянно действующим источником). Картина течения зависит от геометрии и размерности источника [27, 28], геометрии стратификации среды [60, 38]. В однородной среде ламинарная струя над точечным источником тепла на некоторой высоте теряет устойчивость и турбулизи-руется [42]. В температурно-стратифицированной среде нагретые частицы проходят горизонт нейтральной плавучести, а затем тормозятся и опускаются на него, формируя характерную грибовидную струю [30]. В среде с устойчивой стратификацией примеси наблюдаются два основных типа структур — вытянутые по горизонтали ячейки, разделенные высоко градиентными прослойками ("термохалинная лестница" [37, 30]) и тонкие ячейки, вытянутые по вертикали ("солевые пальцы"[30]). Горизонтальные ячейки образуются при подогреве снизу устойчиво стратифицированной жидкости. солевые пальцы — при остывании слоя осолоненной жидкости, находящейся над более пресной и холодной. Описание типов конвективных структур в атмосфере дано в [61], в море — в [37, 30], а теоретические исследования в области тепло- и массопереноса при конвекции проанализированы в [62].

Экспериментальные исследования конвекции над локализованным (точечным) источником [33, 36, 37, 44, 39] и протяженным линейным источником [32, 34], в том числе при наличии фазовых переходов [40], показали, что внутри ячеек также присутствуют солевые пальцы. Это чрезвычайно затрудняет создание адекватных теоретических моделей, в которых нужно учитывать нелинейность уравнения состояния среды, эффекты Соре и Дюфо, перенос примесей и тепла, зависимости кинетических коэффициентов среды и коэффициентов теплового расширения и вклада примесей в плотность от параметров состояния.

Для изучения основных закономерностей конвекции уравнения движения обычно записываются в приближении Буссинеска и упрощаются, исходя из выбранной модели процесса. При этом часто предполагают постоянство коэффициента вовлечения [63, 64] и используют линеаризованные системы [65-67]. Трудности экспериментального и теоретического исследования термоконцентрационной конвекции, отмеченные в [47], были подробно проанализированы в [48], где особое внимание было обращено на неполноту теоретического описания процесса.

Актуальность темы исследования определяется теоретической неполнотой и практической важностью сформулированных проблемам нелинейной динамики стратифицированных течений. Хотя перечисленные структурные элементы не исчерпывают весь спектр наблюдающихся в гидродинамических течениях, но занимают в нем достаточно широкую область. Именно они обеспечивают замыкание энергетически выделенных движений в Мировом океане и земной атмосфере. Регулярные элементы движений жидкости играют важную роль во многих природных явлениях.

Целью настоящей работы является:

• создание новых универсальных методов анализа симметрии дифференциальных уравнений произвольного вида

• исследование течений, индуцированных диффузией на непроницаемых поверхностях; разработка методов интегрирования уравнений двойной диффузии в задачах с граничными условиями общего вида

• исследование распространения нелинейных внутренних гравитационных волн конечной амплитуды и разработка методов анализа процессов нелинейного взаимодействия пучков внутренних гравитационных волн

• аналитическое исследование нелинейных нестационарных задач свободной конвекции в стратифицированных и однородных средах

• разработка дифференциально-геометрического формализма при описании течений в однородных средах

Содержание работы.

В главе 1 проводится анализ моделей движения стратифицированных сред и выбираются система уравнений механики жидкости и граничные условия, адекватно описывающие гидродинамические течения. При изучении структурных элементов течений жидкости необходимо учитывать нелинейный и нестационарный характер процесса, а в некоторых случаях и зависимости кинетических коэффициентов среды от ее термодинамических характеристик.

Сложность исследуемых фундаментальных уравнений вынуждает использовать мощные математические методы для получения конструктивных результатов. Далее в главе кратко излагается классическая теория ин-финитез]шальных групп Ли, после чего приводится предложенный метод использования групп Ли специального вида при анализе систем с внешними параметрами. Суть метода сводится к применению к нелинейным системам генераторов, включающих в себя дополнительные параметрические переменные, которые являются, в частности, характерными масштабами исходных распределений температуры и примесей.

Затем дается введение в метод определения непрерывных симметрии с помощью дифференциальных форм, элементы которого используются при построении теории дискретных групп преобразований.

Современное состояние техники поиска дискретных симметрий иллюстрируется на примере наиболее развитых в настоящее время методов квантизации и автоморфных преобразований, после чего подробно излагается новый регулярный метод их поиска.

Основная идея предложенного метода состоит в переходе в расширенное кокасательное пространство, определяемое сразу двумя базисами, как для исходной, так и для преобразованной систем уравнений, без предварительного определения непрерывных симметрий.

Аналитическое представление метода определяет проявление дискретных симметрий как замкнутость базовых аннулируемых 1-форм на расширенной системе уравнений.

Конструктивность и универсальность разработанной техники поиска дискретных симметрий проверяется на классических примерах одномерного уравнения теплопроводности, уравнениях Лиувилля и sin-Гордона, модельном уравнении, описывающее структуру вихрей Тейлора в вертикальном цилиндре, системе уравнений модели Тьюринга, описывающей процессы двойной диффузии, а также и на обыкновенных линейных дифференциальных уравнениях общего вида.

В завершении главы приводятся необходимые при исследовании вихревых и спиральных течений жидкости выражения для различных дифференциальных операторов в сопутствующей криволинейной системе координат и уравнения связи между коэффициентами первой и второй квадратичных форм интегральных поверхностей в различных параметризациях.

В главе 2 рассматриваются задачи формирования течений, индуцированных диффузией на непроницаемых поверхностях, исследование которых является важным элементом анализа таких процессов как апвелинг и вертикальное перемешивание в океане, тепломассоперенос в резервуарах, свободная термоконцентрационная конвекция в многокомпонентных жидкостях, взаимодействие стратифицированных течений с границами.

В стратифицированной среде, плотность которой задается соответствующим устойчивым распределением солености (или температуры), устанавливается молекулярный поток стратифицирующей добавки. Если он неоднороден по горизонтали, то необходимое условие устойчивости покоящейся среды нарушается даже в отсутствие дестабилизирующих внешних факторов. Такая ситуация реализуется вблизи непроницаемой наклонной границы, на которой обращается нуль нормальная компонента градиента стратифицирующей добавки, а следовательно, изохалины, которые в невозмущенной среде расположены горизонтально, искривляются. Возникающий градиент давления в однородном поле тяжести ускоряет слой жидкости вдоль границы и формирует конвективный поток, компенсирующий ослабление молекулярного переноса. Сам факт возникновения течения не зависит от формы наклонной границы.

Сначала анализируется проблема возникновения диффузионных и конвективных течений вблизи ограничивающих поверхностей и излагаются результаты предшествующих работ. С целью устранения противоречия между стационарными (полученными точно) и нестационарными (полученными приближенно) решениями формулируется проблема установления течения, определяется система уравнений движения и граничных условий.

Вид главного члена полученного точного решения позволяет выделить вблизи наклонной плоскости два монотонно растущих динамических пограничных слоя — плотностной и скоростной —, толщины которых определяются величинами коэффициентов диффузии примеси к и кинематической вязкости ъ> и растут со временем по законам и y/ut соответственно. Эффект декомпозиции полей и расщепления характерных пространственных масш табов проявляется в течение всего времени существования процесса, что указывает на неприменимость традиционного одномасштабного приближения. Данное течение не имеет стационарного предела.

Далее в линейной постановке исследуется влияние граничных условий на поверхностях на процессы формирования течений в задачах многокомпонентной диффузии и термоконцентрационной конвекции. В случае диффузии в качестве граничных условий выбираются условия прилипания для скорости и непроницаемости для примесей, в то время как в случае многокомпонентной конвекции используются условия соле- или температуро-отдачи ограничивающей поверхности (описываемые коэффициентами 75 и

7т )•

Точные решения этих нестационарных задач показывают, что при многокомпонентной диффузии основной чертой течений являются несколько пограничных слоев — плотностные и скоростной —, что проявляется в декомпозиции физических полей и расщеплении характерных пространственных масштабов. При термоконцентрационной конвекции формируется более сложная динамическая структура, которая характеризуется помимо пограничных слоев еще и фронтами инжекции. Наибольшее влияние фронтов на характеристики течения проявляется на расстояниях больших, чем толщины пограничных слоев. Стационарный предел скорости их распространения определяется величинами д/2ти V^ItX Для примеси и температуры соответственно.

В заключительной части главы рассматривается практически важная задача формирования течения от источника примеси на дне глубокой впадине, образованной двумя наклонными плоскостями.

Решения для полей примеси и скорости получены в виде квадратур. Анализ этих решений показывает, что в отличие от случая одной бесконечной наклонной плоскости в возникающих течениях отсутствует идеальное расщепление масштабов, появляется дополнительный динамический комбинационный масштаб у кvt2, характерные размеры которого зависят от кинетических коэффициентов среды, а также фронты инжекции, положение и скорость распространения которых зависит от коэффициента солеотдачи источника.

Полученные решения рассмотренных в данной главе задач аиалитичны по всем физическим переменным и в предельных случаях гладко переходят в решения известных краевых задач.

В главе 3 рассматривается задача о распространении двумерных внутренних волн конечной амплитуды, генерируемых периодически действующим источником в экспоненциально-стратифицированной жидкости при отказе от приближения Буссинеска. Получено устойчивое решение в виде нелинейной внутренней гравитационной волны, поле скоростей и возмущение плотности которой является суперпозицией колебаний на частоте источника из и последовательных гармоник 2а;, ., па/, . Все волны разных частот распространяются под одним углом к вертикали, определяемым дисперсионным уравнением внутренних волн для основной частоты в приближении Буссинеска. Таким образом, при нарушении приближения Буссинеска условие излучения инфинитезимально малых гравитационных волн теряет силу и в среде могут распространяться волны, частота которых превышает частоту плавучести невозмущенной стратифицированной жидкости.

Амплитуда и число гармоник внутренней волны конечной амплитуды растут с увеличением амплитуды колебаний излучателя, одновременно с этим происходит обострение гребней и выполаживание впадин волны. Проведенные расчеты показывают, что нелинейные волны являются основной формой распространения волновых возмущений в стратифицированной среде. Результаты проведенных расчетов и известных экспериментов качественно и количественно совпадают.

Далее в главе исследуется задача нелинейного взаимодействия пучков двумерных монохроматических внутренних волн в глубокой экспоненциально-стратифицированной невязкой жидкости, дополняющая существующую теорию взаимодействия неограниченных плоских волн. Исследуемая модель адекватно описывает реальные процессы в лабораторных и природных условиях с учетом локализации волновых движений. Каждый из пучков представляется в виде суперпозиции одночастотных колебаний с характерным пространственным распределением амплитуды скорости.

Такие пучки, как и плоские волны, при распространении в стратифицированной жидкости не испытывают влияния эффектов самовоздействия. Для них определены условия слабого и сильного нелинейного взаимодействия. В случае слабого взаимодействия рассчитаны поправки к распределению плотности и полю скоростей, обусловленные нелинейным взаимодействием как в резонансном, так и в нерезонансном случаях.

Резонансное взаимодействие приводит к появлению крупномасштабных модуляций поля скоростей, пространственный масштаб которых обратно пропорционален малому параметру задачи.

Относительный вклад нелинейных эффектов в картину взаимодействия сохраняется вплоть до нулевых мощностей источников внутренних волн, что связано с зависимостью интенсивности нелинейных эффектов не только от функций распределения скоростей в пучках, но и от их первых и вторых производных. Этот факт подтверждается экспериментально.

Построено условие генерации пучка разностной частоты, колебания плотности в котором должны однозначно соответствовать распространению подобного пучка в линейной постановке. В предельном случае плоских волн полученное условие генерации сводится к стандартным условиям синхронизма, а из построенного эволюционного уравнения следуют известные уравнения взаимодействия амплитуд.

В главе 4 исследуются конвективные течения от источников тепла в многокомпонентных жидкостях. Предварительно обосновывается выбор системы уравнений, адекватно описывающей течения в случае конвективного режима общего вида и определяются основные группы изучаемых задач. Затем исследуется проблема допустимости линеаризации уравнений конвекции, для решения которой рассматривается конвекция от точечного теплового источника. В приближении постоянства кинетических коэффициентов определяются характерные масштабы течения и величина критической мощности источника, при превышении которой начинается конвективное движение в устойчивой по плотности среде.

При помощи полученных масштабов система уравнений конвекции приводится к безразмерному виду, и определяется безразмерный параметр, характеризующий степень нелинейности процесса. Это позволяет количественно описать справедливость использования линеаризованных моделей. Для реальных сред и мощностей тепловых источников доказана неприменимость линейного описания, что обосновывает применение к уравнения конвекции методов группового анализа.

Результаты стандартного группового анализа в ситуации, когда кинема

20 введение t t тическая вязкость считается функцией температуры и солености жидкости, позволяет выделить геометрические инварианты конвективных течений от сосредоточенных тепловых источников различной размерности, а также их скейлинг-инвариантные свойства, в частности явный вид зависимости высоты конвективной структуры от мощности и размерности источника.

Затем представлены результаты исследований частично симметризован-ной формы уравнений конвекции при применении к ней группы Ли специального вида, когда в качестве параметрических групповых переменных выступают масштабы стратификации температуры и компонент примеси. Результаты специального группового анализа позволяют определить набор функций физических полей задачи, которые зависят от масштабов стратификации по заранее заданному степенному закону. Показывается устойчивость экспериментальных результатов по отношению к диффузионным поправкам к распределениям исходных стратификаций примесей в лабораторных условиях. На базе генераторов специального вида строятся системы оптимальных подалгебр, необходимые для классификации инвариантных свойств течений при изменении параметров задачи.

В заключительной части главы методами дискретного группового анализа рассматривается задача стационарной конвекции в однородной полубесконечной жидкости, подогреваемой снизу горизонтальным плоским источником тепла. Кинетические коэффициенты (кинематическая вязкость и коэффициент температуропроводности) считаются постоянными или функциями температуры.

В случае постоянных кинетических коэффициентов в жидкости могут возникать лишь одноэлементные структуры конвективных ячеек. Они состоят либо из системы горизонтальных цилиндров с единым направлением поля завихренности (из результатов дискретного группового анализа следует запрет на чередование знака завихренности течения в ячейках), либо из геометрических картин, целиком составленных с помощью одного правильного многоугольника. Возможно существование лишь квадратных, треугольных и шестиугольных ячеек.

Если кинетические коэффициенты зависят от температуры, в жидкости, наряду с одноэлементными, могут возникать и многоэлементные ячеистые структуры. Они формируются из двух или более многоугольников, которые необязательно должны быть правильными, но обязаны проявлять симметрии подгрупп единой группы вращений. Такие структуры могут состоять либо из правильных и неправильных шестиугольников, либо из квадратов и восьмиугольников (восьмиугольники могут быть как правильными, так и неправильными). В среде с сильной зависимостью кинетических коэффициентов от температуры снимается запрет на чередование знака завихренности в горизонтальных цилиндрических ячейках в режиме валиковой конвекции.

При смене знака производной кинематической вязкости по температуре при фиксированном значении коэффициента температуропроводности (или при обмене этими свойствами между кинетическими коэффициентами) в среде происходит обращение направления течения в ячейках.

Все описанные возможные структуры конвективных ячеек и свойства течения по отношению к поведению кинетических коэффициентов, величина критической мощности точечного теплового источника подтверждаются экспериментально.

В главе 5 для описания стационарных вихревых и спиральных течений в идеальной однородной жидкости применяется дифференциально-геометрический формализм. Линии тока реального физического потока рассматриваются как геодезические на интегральных поверхностях, поле касательных к которым сонаправлено полю скоростей. Тогда исходные гидродинамические уравнения сводятся к системе уравнений параметров, описывающих внутреннюю геометрию интегральных поверхностей. Граничные условия переходят в условия, налагаемые на внешнюю геометрию поверхностей.

Система'стационарных уравнений гидродинамики идеальной жидкости сводится к уравнениям Гаусса-Кодацци плюс уравнение, описывающее изменение кручения геодезической линии при движении вдоль нее самой. Рассмотрен предельный случай течения, кручение линий тока которого равна нулю. Для вихревого течения в жидкости со свободной поверхностью получено решение в виде системы обобщенных вихрей Рэнкина, которые в отличие от классического, обладают ограниченными интегральными инвариантами. Найдена форма свободной поверхности жидкости и предложен способ экспериментального определения типа обобщенного вихря по измерениям заглублений поверхности в центре и на границе ядра вихря.

Для получения решений в случае течений с ненулевой спиральностыо используются такие топологические свойства геометрии течения, как плотности спиральности и четности, которые выполняют роль классифицирующих характеристик.

В заключении изложены основные выводы из полученных результатов и их сравнения с известными экспериментальными работами.

Научная новизна:

• разработан новый конструктивный метод поиска дискретных симметрии дифференциальных уравнений общего вида, который, в отличие от существующих, не нуждается в предварительном определении ин-финитезимальных симметрий

• впервые в приближении Буссинеска получено точное решение задачи о формировании и развитии течения около твердой непроницаемой наклонной плоскости в непрерывно-стратифицированной вязкой жидкости при наличии диффузии стратифицирующей добавки и решена задача формирования течения в глубокой впадине, образованной двумя наклонными плоскостями, при включении на ее дне источника примеси

• при отказе от приближения Буссинеска решена задача о распространении нелинейных двумерных внутренних волн конечной амплитуды в экспоненциально-стратифицированной среде и рассчитано нелинейное взаимодействие двух монохроматических пучков внутренних волн в невязкой стратифицированной жидкости

• решен ряд задач о свободной конвекции от тепловых источников в однородной и стратифицированной жидкости; определена величина критической мощности источника, с которой начинается струйное движение жидкости и впервые показано, что высота возникающей конвективной структуры пропорциональна квадратному корню из мощности источника; выявлены возможные типы ячеистых конвективных структур, формирующихся в конвекции Бекара, и теоретическое обосновано влияние знака производной кинетических коэффициентов по температуре на направление скорости в конвективных ячейках

• показана возможность применения дифференциально-геометрического формализма при описании стационарных течений в невязкой однородной жидкости, в рамках которого гидродинамические уравнения сводятся к системе уравнений для параметров, описывающих внутреннюю геометрию интегральных поверхностей систем линий тока: на основе этого подхода впервые найдено решение задачи о вихревом течении в жидкости со свободной поверхностью в виде системы обобщенных вихрей Рэнкина, которые обладают ограниченными интегральными инвариантами

Научная и практическая значимость состоят в создании регулярного метода поиска дискретных симметрий дифференциальных уравнений, основанного на инфинитезимальной технике дифференциальных форм, приложения которого к исследованиям конвективных динамических структур позволили получить фундаментальные результаты в области ячеистой конвекции Бенара.

Использование метода частичной симметризации уравнений термоконцентрационной конвекции в сочетании с предложенным специальным групповым анализом позволяет выявлять наиболее адекватные способы описания конвективных процессов в многокомпонентных средах и выявлять их скрытые симметрии.

Развитая техника расчета нелинейного взаимодействия волновых пучков, в отличие от стандартного подхода теории плоских волн, позволяет описывать локализованные процессы в естественных условиях.

В физически обоснованной постановке проведены исследования волн конечной амплитуды, результаты которых адекватно описывают волновые поля при отказе от приближения инфинитезимально малых возмущений.

Развитый дифференциально-геометрический подход к проблеме вихревых и спиральных структур позволяет продвинуться в исследовании гидродинамических течений в том случае, когда не работают методы теории возмущений.

Предложенные методы и полученные результаты позволяют давать надежные качественные и количественные-оценки основных характеристик реальных явлений, протекающих в лабораторных и природных условиях, а также в технологических процессах.

Основные положения, выносимые на защиту.

1. Разработан новый конструктивный метод регулярного поиска дискретных симметрий дифференциальных уравнений, который, в отличие от существующих, не нуждается в предварительном определении инфи-нитезимальных симметрий исследуемых уравнений и позволяет непосредственно вычислять дискретные симметрии.

2. Предложен метод поиска инфинитезимальных симметрий систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих модели динамики многокомпонентных жидкостей с внешними параметрами, с помощью группы Ли специального вида.

3. В приближении Буссинеска получено точное решение задачи о формировании и развитии течения около твердой непроницаемой наклонной плоскости в непрерывно-стратифицированной вязкой жидкости при наличии диффузии стратифицирующей добавки. В явном виде показан эффект декомпозиции физических полей и расщепления характерных пространственных масштабов. Решение задачи установления не имеет стационарного предела.

4. Исследовано влияние граничных условий на процессы формирования течений в задачах многокомпонентной диффузии и термоконцентрационной конвекции. Показано, что в задачах термоконцентрационной конвекции помимо расщепленных пограничных слоев различной природы формируются фронты ипжекции, влияние которых проявляется на расстояниях, существенно превышающих толщины пограничных слоев. На основании проведенных исследований предложен улучшенный метод интегральных преобразований в задачах двойной диффузии, основанный на предварительном групповом анализе дифференциальных уравнений с учетом граничных условий.

5. Решена слабонелинейная задача формирования течения в глубокой впадине, образованной двумя наклонными плоскостями, при включении на ее дне источника примеси. Показано существование комбинационных пространственных масштабов, характерные размеры которых зависят от кинетических коэффициентов среды. Положение и скорость распространения фронтов инжекции зависят от коэффициента приме-сеотдачи источника.

6. Решена задача о распространении нелинейных двумерных внутренних волн конечной амплитуды. Показано, что для таких волн ограничение, вытекающее из теории инфинитезимально малых волн, теряет силу и в среде могут распространяться внутренние волны, частота которых превышает частоту плавучести невозмущенной стратифицированной среды, причем как основная волна, так и ее гармоники распространяются в общем волновом клине.

7. Решена задача о нелинейном взаимодействии двух монохроматических пучков внутренних волн в невязкой стратифицированной жидкости и показано, что интенсивность взаимодействия зависит не только от мощности источников, но и от вида функций распределения скоростей в пучках и их пространственных производных. В случае резонансного взаимодействия определено условие генерации пучка разностной частоты, которое в предельном случае плоских волн редуцируется к стандартным условиям синхронизма и уравнениям для взаимодействия амплитуд.

8. Исследована нестационарная задача о свободной конвекции от точечного источника тепла в стратифицированной жидкости и найдены зависимости пространственного и временного масштабов явления от параметров среды и мощности теплового источника. Определена величина критической мощности источника, с которой начинается струйное движение жидкости.

9. Определены пространственно- и скейлинг-инвариантные свойства свободных конвективных течений в средах с различными природами стра-тификаций для тепловых сосредоточенных источников различной геометрии. Определены зависимости масштабов конвективных структур от мощности и размерности теплового источника.

10. В приближении Буссинеска предложена частично симметризованная форма уравнений термоконцентрационной конвекции на основе обобщенных физических полей, описывающих возмущения температурных и примесных добавок,на основе которой выявлены пространственно-и скейлинг-инвариантные свойства конвективных течений, в том числе в зависимости от масштабов стратификаций. Показано расщепление инвариантных свойств конвективных течений относительно кинетических коэффициентов среды. Доказана устойчивость результатов экспериментов по термоконцентрационной конвекции по отношению к диффузионным возмущениям масштабов стратификаций.

11. Исследованы дискретные структуры бенаровского типа при конвекции в подогреваемом снизу-слое жидкости в общем случае, когда кинетические коэффициенты среды являются функциями температуры. Выявлены возможные типы ячеистых конвективных структур. Показано, что при смене знака производной кинетических коэффициентов по температуре направление поля скоростей в конвективных ячейках меняется на противоположное.

12. Исследована возможность применения дифференциально-геометрического формализма при описании стационарных невязких течений в однородных жидкостях. Линии тока реального физического потока рассматриваются как геодезические на интегральных поверхностях, поле касательных к которым сонаправлено полю скоростей. Показано, что система уравнений гидродинамики идеальной жидкости сводится к системе уравнений для параметров, описывающих внутреннюю геометрию интегральных поверхностей, а граничные условия преобразуются в условия, налагаемые на их внешнюю геометрию. Для вихревого течения в жидкости со свободной поверхностью и с нулевыми топологическими характеристиками построено решение в виде обобщенных вихрей Рэнкина, все интегральные инварианты которых ограничены. Показано, что для спиральных течений в исследования необходимо привлекать соотношения, описывающие топологические свойства геометриче-{ ской структуры поля скоростей.

Апробация работы. Результаты исследований докладывались на семинарах в Институте проблем механики РАН, на Всесоюзной конференции "Проблемы стратифицированных течений"(1988, г. Юрмала), на 3-ей Всесоюзной школе-семинаре "Методы гидрофизических исследований"(1989, 1996 г. Светлогорск), на конференциях "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане"(1990, 1991, г. Новосибирск), на международной конференции "Волны и вихри в океане и их лабораторные аналоги "(1991. г. Владивосток), на Всесоюзной конференции "Проблемы стратифицированных течений"(1991, г. Канев), на международной конференции "Процессы переноса в океане и их лабораторные модели"(1993, г. Москва), на 19-той Генеральной ассамблее EGS (1994), на конференции ERCOFTAC (1994, г. Барселона), на 19-той Генеральной ассамблее IAPSO (1995, г. Гонолулу), на международной конференции "Пограничные эффекты в стратифицированной и/или вращающейся жидкости"(1995, г. Санкт-Петербург), на объединенной ассамблее IAMAS и IAPSO (1997, г. Мельбурн), на международной конференции "Устойчивость и неустойчивости стратифицированных и/или вращающихся потоков"(1997, г. Москва), на международных конференциях "Потоки и структуры в жидкостях"(1999, г. Санкт-Петербург; 2001, г. Москва), на 22 Генеральной ассамблее IUGG (1999, г. Бирмингем), на восьмом Всероссийском съезде по теоретической и прикладной механике (2001, г. Пермь), на 426-ом EUROMECH к ERCOFTAC коллоквиуме "Спиральные течения"(2001, г. Берген-Тромсе).

По материалам диссертации опубликовано 27 работ.

Диссертационная работа выполнялась в Институте проблем механики РАН в рамках работ "Физическое и теоретическое моделирование естественных гидрофизических процессов и их взаимодействия с полями различной природы"^ 01.9.60001546, "Потоки и порождаемые структуры в геофизической и астрофизической гидродинамике01.20.0013056, по проектам РФФИ 93-05-8291 "Астрофизическая и геофизическая гидродинамика", 96-05-64004, 99-05-64980 "Потоки и структуры в астрофизической и геофизической гидродинамике", ФЦП "Интеграция"проект 2.1-304, по контрактам Министерства промышленности, науки и технологий РФ, по ФЦНТП "Комплексные исследования океанов и морей Арктики и Антарктики'^ ФЦП "Мировой океан", подпрограмма "Исследование природы Мирового океана".

Заключение диссертации по теме «Физика атмосферы и гидросферы», Кистович, Анатолий Васильевич

Основные результаты проведенных исследований:

1. Разработан новый конструктивный метод регулярного поиска дискретных симметрий дифференциальных уравнений, который, в отличие от существующих, не нуждается в предварительном определении инфи-нитезимальных симметрий исследуемых уравнений и позволяет непосредственно вычислять дискретные симметрии.

2. Предложен метод поиска инфинитезимальных симметрий систем нелинейных дифференциальных уравнений, описывающих модели динамики многокомпонентных жидкостей с внешними параметрами, с помощью группы Ли специального вида.

3. В приближении Буссинеска получено точное решение задачи о формировании и развитии течения около твердой непроницаемой наклонной плоскости в непрерывно-стратифицированной вязкой жидкости при наличии диффузии стратифицирующей добавки. В явном виде показан эффект декомпозиции физических полей и расщепления характерных пространственных масштабов. Решение задачи установления не имеет стационарного предела.

4. Исследовано влияние граничных условий на процессы формирования течений в задачах многокомпонентной диффузии и термоконцентрационной конвекции. Показано, что в задачах термоконцентрационной конвекции помимо расщепленных пограничных слоев различной природы формируются фронты инжекции, влияние которых проявляется на расстояниях, существенно превышающих толщины пограничных слоев. На основании проведенных исследований предложен улучшенный метод интегральных преобразований в задачах двойной диффузии, основанный на предварительном групповом анализе дифференциальных уравнений с учетом граничных условий.

5. Решена слабонелинейная задача формирования течения в глубокой впадине, образованной двумя наклонными плоскостями, при включении на ее дне источника примеси. Показано существование комбинационных пространственных масштабов, характерные размеры которых зависят от кинетических коэффициентов среды. Положение и скорость распространения фронтов инжекции зависят от коэффициента приме-сеотдачи источника.

6. Решена задача о распространении нелинейных двумерных внутренних волн конечной амплитуды. Показано, что для таких волн ограничение, вытекающее из теории инфинитезимально малых волн, теряет силу и в среде могут распространяться внутренние волны, частота которых превышает частоту плавучести невозмущенной стратифицированной среды, причем как основная волна, так и ее гармоники распространяются в общем волновом клине.

7. Решена задача о нелинейном взаимодействии двух монохроматических пучков внутренних волн в невязкой стратифицированной жидкости и показано, что интенсивность взаимодействия зависит не только от мощности источников, но и от вида функций распределения скоростей в пучках и их пространственных производных. В случае резонансного взаимодействия определено условие генерации пучка разностной частоты, которое в предельном случае плоских волн редуцируется к стандартным условиям синхронизма и уравнениям для взаимодействия амплитуд.

8. Исследована нестационарная задача о свободной конвекции от точечного источника тепла в стратифицированной жидкости и найдены зависимости пространственного и временного масштабов явления от параметров среды и мощности теплового источника. Определена величина критической мощности источника, с которой начинается струйное движение жидкости.

9. Определены пространственно- и скейлинг-инвариантные свойства свободных конвективных течений в средах с различными природами стра-тификаций для тепловых сосредоточенных источников различной геометрии. Определены зависимости масштабов конвективных структур от мощности и размерности теплового источника.

10. В приближении Буссинеска предложена частично симметризованная форма уравнений термоконцентрационной конвекции на основе обобщенных физических полей, описывающих возмущения температурных и примесных добавок,на основе которой выявлены пространственно-и скейлинг-инвариантные свойства конвективных течений, в том числе в зависимости от масштабов стратификаций. Показано расщепление инвариантных свойств конвективных течений относительно кинетических коэффициентов среды. Доказана устойчивость результатов экспериментов по термоконцентрационной конвекции по отношению к диффузионным возмущениям масштабов стратификаций.

11. Исследованы дискретные структуры бенаровского типа при конвекции в среде, подогреваемой снизу в общем случае, когда кинетические коэффициенты среды являются функциями температуры. Выявлены возможные типы ячеистых конвективных структур, формирующихся в конвекции Бенара. Показано, что при смене знака производной кинетических коэффициентов по температуре направление поля скоростей в конвективных ячейках меняется на противоположное.

12. Исследована возможность применения дифференциально-геометрического формализма при описании стационарных невязких течений в однородных жидкостях. Линии тока реального физического потока рассматриваются как геодезические на интегральных поверхностях, поле касательных к которым сонаправлено полю скоростей. Показано, что система уравнений гидродинамики идеальной жидкости сводится к системе уравнений для параметров, описывающих внутреннюю геометрию интегральных поверхностей, а граничные условия преобразуются в условия, налагаемые на их внешнюю геометрию. Для вихревого течения в жидкости со свободной поверхностью и с нулевыми топологическими характеристиками построено решение в виде обобщенных вихрей Рэнкина, все интегральные инварианты которых ограничены. Показано, что для спиральных течений в исследования необходимо привлекать соотношения, описывающие топологические свойства геометрической структуры поля скоростей.

Заключение

В представленной диссертации обобщены результаты теоретических работ, посвященных исследованию линейных и нелинейных волновых, вихревых, диффузионных и конвективных течений однородных и многокомпонентных жидкостей, кинетические коэффициенты, которых в общем случае являются функциями термодинамических параметров среды.

Список литературы диссертационного исследования доктор физико-математических наук Кистович, Анатолий Васильевич, 2002 год

1. Лайтхилл Дж. Волны в жидкостях. - М.: Мир, 1981, 598 с.

2. Неклюдов В.И., Чашечкин Ю.Д. Экспериментальное исследование структуры пучков монохроматических внутренних волн. Тез. докл. Всесоюзн. конф. "Проблемы стратифицированных течений". Ч. 2. Са-ласпилс. - 1988. - С. 162-165.

3. Martin S., Simmons W., Wunch С. The exitation of resonant triads by single internal wave. J. Fluid Mech., 1972, V. 53. Pt. 1. P. 17-44.

4. Davis R.E., Acrivos A.W. The stability of oscillatory internal waves. -J. Fluid Mech., 1967, V. 30, Pt 4, P. 723-736.

5. McEwan A.D. Degeneration of resonantly-excited standing internal gravity waves. J. Fluid Mech., 1971, V. 50. P. 431-448.

6. Неклюдов В.И., Чашечкин Ю.Д. Экспериментальное исследование генерации и взаимодействия двумерных монохроматических внутренних волн// Препринт № 356 ИПМ АН СССР. Москва. 1988. 52 с.

7. Чашечкин Ю.Д., Неклюдов В.И. Нелинейное взаимодействие пучков коротких двумерных монохроматических внутренних волн в экспоненциально-стратифицированной жидкости. ДАН СССР, 1990, Т. 311, № 4, С. 970-974.

8. Кистович А.В., Неклюдов В.И. Исследование нелинейного взаимодействия пучков коротких монохроматических внутренних волн. Тез. докл. Всесоюзн. конф. "Проблемы стратифицированных течений". Канев. - 1991. - ч. 1- С. 57-58.

9. Прандтль Л., Титьенс О. Гидро- и аэромеханика. М.-Л.: ГТТИ, 1933, Т. 1; ОНТИ, 1935, Т. 2.

10. Taneda S. J. Phus. Soc. Japan, 1956. V. 11. P. 302.

11. Taneda S. Rep. Res. Inst. Appl. Mech., Kyushu Univ., 1956. V. 4. P. 99,

12. Pierce D. J. Fluid Mech., 1961. V. 11. P.460.

13. Okabe J., Inoue S. Rep. Res. Inst. Appl. Mech., Kyushu Univ., 1960. V. 8. P. 91.

14. Okabe J., Inoue S. Rep. Res. Inst. Appl. Mech., Kyushu Univ., 1961. V. 9. P. 147.

15. Kiehn R.M. The Falaco effect. Report presented at the Austin Meeting of Dynamics Days, 1987.

16. Лойцянский Л.Г. Механика жидкости и газа. М.: Наука, 1987, 840 с.

17. Clutter D.W., Smith A.M.О., Brazier J.G. Douglas Aircraft Company Report No.ES29075, 1959.

18. Чашечкин Ю.Д., Попов В.А. Методы лабораторного моделирования процессов в неоднородных системах в условиях нормальной и пониженной гравитации. В сб.: Гидромеханика и тепломассообмен в невесомости. М.: Наука, 1982, С. 119-146.

19. Сысоева Е.Я., Чашечкин Ю.Д. Пространственная структура следа за сферой в стратифицированной жидкости. Прикладная математика и техническая физика, 1988, № 5, С. 59-65.

20. Чашечкин Ю.Д. Гидродинамика сферы в стратифицированной жидкости. Известия АН СССР, Механика жидкости и газа, 1989, № 1, С. 3-9.

21. Phillips О.М., Shyu J.-H., Salmun H. An experiment on boundary mixing: mean circulation and transport rates. J. Fluid Mech., 1986, V. 173. P. 473-499.

22. Benard Н. Les tourbillons cellulaires dans une nappe liquid transportant de la chaleur par convection en regime permanent. Ann. Chem. Phys., 1901, V. 23, P. 62-144.

23. Morton B.R. Weak thermal vortex rings. J. Fluid Mech., 1960, V. 9, Pt 1, P. 107-118.

24. Palm E., Ellingsen Т., Gjevik B. On the occurrence of cellular motion in Benard convection. J. Fluid Mech. 1967. V. 30. P. 651-661.

25. Федоров K.H. Тонкая термохалинная структура вод океана. Л.: Гид-рометеоиздат, 1976, 184 с.

26. Чашечкин Ю.Д., Попов В.А. Структура свободного конвективного течения над нагретым цилиндром в стратифицированной жидкости. ДАН СССР, 1979, Т. 248, № 5, С. 822-825.

27. Чашечкин Ю.Д., Тупицын B.C. Структура свободного конвективного течения над точечным источником тепла в стратифицированной жидкости. ДАН СССР, 1979, Т. 248, № 5, С. 1101-1104.

28. Попов В.А., Чашечкин Ю.Д. Свободная конвекция около горизонтального цилиндра в стратифицированной жидкости. ЖТФ, 1980, Т. 50, № 10, С. 2189-2200.

29. Лазарев А.И., Коваленок В.В., Иванченков А.С., Авакян С.В. Атмосфера Земли с "Салюта-6". Л.: Гидрометеоиздат, 1981, 208 с.

30. Тупицын B.C., Чашечкин Ю.Д. Свободная конвекция над точечным источником тепла в стратифицированной жидкости. Известия АН СССР. Механика Жидкости и Газа, 1981, К0- 2, С. 27-36.294 литератураi I

31. Чашечкин Ю.Д., Беляев B.C. Режимы свободной термоконцентрационной конвекции над точечным источником тепла. ДАН СССР, 1982, Т. 267, № 3, С. 574-577.

32. Whitehead J.A. Dislocations in convection and onset of chaos. The Phys. Fluids, 1983, V. 26, N. 10, P. 2899-2904.

33. Tsinober А.В., Yahalom Y., Shlien D.J. A point source of heat in a stable salinity gradient. J. Fluid Mech., 1983, V. 135, P. 199-217.

34. Гудзенко О.И., Чашечкин Ю.Д. Влияние термоконцентрационной конвекции на форму фронта кристаллизации. ЖТФ, 1983, Т. 53, № 5, С. 917-919.

35. Заславский Б.И., Юрьев Б.В. Экспериментальное исследование конвективного потока от внезапно возникшего плоского горизонтального источника тепла. ПМТФ, 1985, № 5, С. 69-76.

36. Le Gal P., Croquette V. Appearance of a square pattern in a Rayleigh-Benard experiment. The Phys. Fluids, 1988, V. 31, N. 11, P. 3440-3442.

37. White D.B. The planforms and onset of convection with a temperature-dependent viscosity. J. Fluid Mech. 1988. V. 191. P. 247-286.

38. Беляев B.C., Чашечкин Ю.Д. Режимы свободной термоконцентрационной конвекции над локализованным источником тепла. Известия АН СССР. Механика жидкости и Газа, 1989, № 2, С. 27-34.

39. Левицкий В.В., Чашечкин Ю.Д. Термоконцентрационная конвекция при однородном боковом нагреве. Механика Жидкости и Газа, 1995, № 5, С. 112-124.

40. Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D., Levitski V.V. Sidewall double diffusion convection in a weak gradient. IUGG XXII general assembly. '99 Birmingham. Abstracts. Paper JSP39/W/22-B3. P.B.110. - 1999.47. double

41. Diffusion in Oceanography: Proceeding of a Meeting, Septembe 26-29, 1989, compiled by R.W. Schitt Woods Hole Oceanographic Inst. Tech. Rept. WHOI-91-20.

42. Chapman Conference on Double-Diffusive Convection. Conviners H.J.S. Fernando, A. Brandt, AGU, Arisona, 1993.

43. Уизем Дж. Линейные и нелинейные волны. М.: Мир, 1977, 622 с.

44. Миропольский Ю.З. Динамика внутренних гравитационных волн в океане. Л.: Гидрометеоиздат, 1981, 302 с.

45. Степанянц Ю.А., Стурова И.В., Теодорович Э.В. Линейная теория генерации поверхностных и внутренних волн. Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика жидкости и газа, 1981, вып. 21, С. 93-179.

46. Смирнов В.Н. Колебания ледяного покрова, обусловленные внутренними волнами Ледовитого океана. Доклады АН СССР, 1972, Т. 206, № 5, С. 1106-1108.

47. Самодуров А.С. Плоские нелинейные гравитационные волны в стратифицированной жидкости. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1974. Т. 10, № 8. С. 904-906.

48. Одуло Ал.В., Одуло Ан.Б., Чусов М.А. Об одном классе нелинейных стационарных волн в океане. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. 1977. Т. 13. ДО 8. С. 850-855.

49. Прандтль Л. Гидроаэромеханика. М.: ИИЛ, 1949, С. 507-511.

50. Phillips О.М. On flows induced by diffusion in a stably stratified fluid. -Deep Sea Res., 1970, V. 17, N 2, P. 435-443.

51. Wunsch C. On oceanic boundary mixing. Deep Sea Res., 1970, V. 17, N 2, P. 293-301.

52. Linden P.F., Weber J.E. The formation of layers in a double-diffusive, system with slopping boundary. J. Fluid Mech., 1977, V. 81, Pt*. 4, P. 757-773.

53. Kerr O.S. Double-diffusive instabilities at a slopping boundary. J. Fluid Mech., 1991, V. 225, P. 333-354.

54. Тернер Дж. Эффекты плавучести в жидкостях. М.: Мир, 1977, 432 с.

55. Скорер Р. Аэрогидродинамика окружающей среды. М.: Мир, 1980, 550 с.

56. Джалурия Й. Естественная конвекция. Тепло- и массообмен. М.: Мир, 1983, 400 с.

57. Morton B.R., Taylor G.I., Turner J.S. Turbulent gravitational convection from maintained and instantaneous sources. Proc. Roy. Soc. Ser. A,1956, V. 234, N. 1196, P. 1-23.

58. Morton B.R. Buoyant plumes in a moist atmosphere. J. Fluid Mech.,1957, V. 2, Pt 2, P. 127-144.

59. Кабанов А.С., Нетреба C.H. Свободная конвекция от точечного источника тепла в устойчиво стратифицированной среде. ПММ, 1982, Т. 46, вып. 1, С. 60-65.

60. Нетреба С.Н. Реакция стратифицированных вращающихся сред на локальные тепловые воздействия. ПММ, 1986, Т. 50, вып. 5, С. 734740.

61. Getling A.V. Evolution of two-dimentional disturbances in the Rayleigh-Benard problem and their preferred wavenumbers. J. Fluid Mech., 1983, V. 130, P. 165-186.

62. Ландау Л.Д., Лившиц E.M. Теоретическая физика. Т. VI. Гидродинамика. М.: Наука, 1986. 736 с.

63. Океанология. Физика океана. Т. 1. Гидрофизика океана. Отв. ред. В.М. Каменкович, А.С. Монин. М.: Наука, 1978, 455 с.

64. Гленсдорф П., Пригожин И. Термодинамическая теория структуры, устойчивости и флуктуаций. М.: Мир, 1973, 280 с.

65. Климонтович Ю.Л. Статистическая физика. М.: Наука, 1982, 608 с.

66. Климонтович Ю.Л. Статистическая теория открытых систем. Т. I. -М.: ТОО "Янус", 1995, 624 с.

67. Седов Л.И. Механика сплошной среды. Т. II. М.: Наука, 1984, 560 с.

68. Джозеф Д. Устойчивость движений жидкости. М.: Мир, 1981, 640 с.

69. Овсянников Л.В. Групповой анализ дифференциальных уравнений. -М.: Наука, 1978, 400 с.

70. Овсянников Л.В. Лекции по основам газовой динамики. М.: Наука, 1981, 368 с.

71. Ибрагимов Н.Х. Группы преобразований в математической физике. -М.: Наука, 1983, 280 с.

72. Владимиров С.А. Группы симметрий дифференциальных уравнений и релятивистские поля. М.: Атомиздат, 1979.

73. Журавлев В.Ф., Климов Д.М. Прикладные методы в теории колебаний. М.: Наука, 1988, 328 с.

74. Миллер У. Симметрия и разделение переменных. М.: Мир, 1981, 344 с.

75. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ частично симмет-ризованной формы системы уравнений свободной термоонцентраци-онной конвекции//Препринт № 539 ИПМ РАН, 1994, 40 с.t

76. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Групповой анализ частично симмет-ризованной формы системы уравнений свободной термоконцентрационной конвекции. Журнал прикладной механики и технической физики. СО РАН. 1996. Т. 37. С. 14-26.

77. Олвер П. Приложения групп Ли к дифференциальным уравнениям. М.: Мир, 1989, 638 с.

78. Harrison В.К., Estabrook F.B. Geometric approach to invariance groups and solution of partial differential systems. J. Math. Phys., V. 12, 1971, P. 653-666.

79. Gaeta G., Rodriguez M.A. On discrete symmetries of differential equations// Nuovo Cimento. V. 111B. 1996. P. 879-891.

80. Hydon P.E. How to use Lie symmetries to find discrete symmetries. Modern Group Analysis VII. Developments in Theory, Computation and Application// MARS Publishers, 1997. P. 141-147.

81. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Дискретные симметрии дифференциальных уравнений// Препринт № 667 ИПМ РАН. Москва. 2000. 40 с.

82. Kistovich A.V. Discrete symmetries of fluid mechanic equations and its solution's properties. "Fluxes and structures in fluids". International conference. Abstracts. Moscow. - 2001. P. 92-95.

83. Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. Regular method for searching of differential equations discrete symmetries. Regular and Chaotic Dynamics, International Scientific Journal, Page Bros., Norwich, UK, 2001, V. 6, N 3, P. 327-336.

84. Кистович А.В. Регулярный метод поиска дискретных симметрий дифференциальных уравнений. Восьмой Всероссийский съезд по теоретической и прикладной механике. Пермь. 2001. Аннотации докладов. Екатеринбург: УрО РАН. - 2001. С. 325-326.

85. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Регулярный метод поиска дискретных симметрий моделей физических процессов, ДАН, 2001, Т. 380, № 6, С. 757-760.

86. Goursat Е. Lecons sur l'integration des equations aux derivees partielles du second order. 1896.

87. Солитоны в действии//Под ред. К. Лонгрена, Э. Скотта. М.: Мир, 1981, 312 с.

88. Aubry S. Phys. Rev. Physica D. 1983. V. 7. N 1/3. P. 240-258.

89. Coulett P., Elphick C., Repaux D. Phys. Rev. Lett. 1987. V. 58. N 5. P. 431-434.

90. Э. Камке. Справочник по обыкновенным дифференциальным уравнениям. М.: ГИФМЛ, 1961, 704 с.

91. Новиков С.П., Фоменко А.Т. Элементы дифференциальной геометрии и топологии. М.: Наука, 1987, 432 с.

92. Kiehn R.M. Topological torsion, Pfaff dimension and coherent structures. in: H.K. Moffat and T.S. Tsinober ads., Topological Fluid Mechanics, Cambridge Univercity Press, 1990. P. 449-458.

93. Kiehn R.M. Instability patterns, wakes and topological limit sets. in: Bonnet J.P. and Glauser M.N. eds., Eddy Structure Identification in Free Turbulent Shear Flows, Kluwer Academic Publishers, 1993. P. 363-378.

94. Konopelchenko B.G. Gauss-Codazzi equations for generic surfaces: equivalence to the DS linear problem with constraint, linearizability and reductions. Jornal of Physics A: Mathematic General, 1997, V. 30, P. 437-441.

95. Munk W.H. Abyssal recipes. Deep-sea Res., 1966, V. 13, P. 707-730.

96. Garrett C., MacCready P., Rhines P. Boundary mixing and arrested Ekman layers: rotating stratified flow near a slopping boundary. Annu. Rev. Fluid Mech., 1993, V. 25, P. 291-323.

97. Garrett C. Deep-sea physical oceanography and contaminant dispersal. -"Use and Misuse of the Seafloor", ED. by K.J. Hsu and J. Thiede, 1992, John Wiley and Sons Ltd., P. 269-384.

98. Thomson L., Johnson G.C. Abyssal currents generated by diffusion and geothermal heating over rises. Deep-Sea Res., 1996, V. 40, N 2, P. 193211.

99. Попов Н.И., Федоров K.H., Орлов B.M. Морская вода. М.: Наука, 1979, С.327.

100. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно-стратифицированной среде. ДАН, 1992, Т. 325, ДО 4, С. 833-837.

101. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно-стратифицированной жидкости. Препринт ДО 523 ИПМ РАН, Москва, 1993, 36 с.

102. Харди Г. Расходящиеся ряды. М.: ИИЛ, 1951, 504 с.

103. Попов В.А., Чашечкин Ю.Д. О структуре термоконцентрационной конвекции в стратифицированной жидкости. Известия АН СССР. ФАО, 1976, Т. 12, № 11, С. 1191-1200.

104. Кошляков Н.С., Глиннер Э.Б., Смирнов М.М. Уравнения в частных производных математической физики. М.: Высшая школа, 1970, 712 с.

105. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Структура нестационарного пограничного течения на наклонной плоскости в непрерывно-стратифицированной среде. ПММ, 1993, Т. 57, вып. 4, С. 50-56.

106. Байдулов В.Г., Чашечкин Ю.Д. Влияние диффузионных эффектов на пограничные течения в непрерывно стратифицированной жидкости. Известия РАН, ФАО, 1993, Т. 23, № 5, С. 666-672.

107. Garrett C.J.R., Munk W.H. Space-time scale of internal wave. Geophys. Fluid Dyn., 1972, N 2, P. 225-264.

108. Thomas N.H., Stevenson T.N. A similarity solution for viscous internal waves. J. Fluid Mech., 1972, V. 54, N 3, P. 495-506

109. Peters F. Schlieren interferometry applied to gravity waves in a density-stratified fluid. Experiments Fluid, 1985, N 3, P. 261-269.

110. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация, распространение и нелинейное взаимодействие внутренних волн. "Итоги науки и техники. ВИНИТИ. Механика жидкости и газа". 1990. Т. 24. С. 77-144.

111. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Нелинейное взаимодействие пакетов двумерных монохроматических внутренних волн в глубокой экспоненциально-стратифицированной жидкости// Препринт ИПМ № 354 АН СССР. Москва. 1988. 44 с.

112. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Нелинейное взаимодействие двумерных пакетов монохроматических внутренних волн. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана. - 1991. Т. 27. № 12. С. 1292-1301.

113. Applbey J.С., Crighton D.G. Non-Boussinesq effects in the diffraction of internal waves from an oscillating cylinder. J. Fluid Mech., 1986, V. 39, Pt. 2, P. 209-231.

114. Applbey J.C., Crighton D.G. Internal gravity waves generated by oscillating of a sphere. J. Fluid Mech., 1987, V. 183, P. 439-450.

115. Ляпунов A.M. Общая задача об устойчивости движения. М.:, Л.: Госиздат техн.-теор. лит-ры. 1950. 472 с.

116. Меркин Д.Р. Введение в теорию устойчивости движения. М.: Наука, 1987, 304 с.

117. Карпман В.И. Нелинейные волны в диспергирующих средах. М.: Наука, 1973, 176 с.

118. Phillips О.М. On the dynamic of unsteady waves of finite amplitude. Part 1. J. Fluid Mech, 1960, V. 9, P. 193-217.

119. Phillips O.M. On the dynamic of unsteady waves of finite amplitude. Part 2. J. Fluid Mech, 1961, V. 11, P. 143-155.

120. Longuet-Higgins M.S. Resonant interaction between two trains of gravity waves. J. Fluid Mech, 1962, V. 12, P. 321-332.

121. Longuet-Higgins M.S., Phillips O.M. Phase velocity effects in tertiary wave interactions. J. Fluid Mech, 1962, V. 12, P. 333-336.

122. Phillips O.M. Theoretical and experimental studies of gravity wave interactions. Proc. Roy. Soc. A, 1967, V. 299, P. 104-119.

123. Hasselman K. On the non-linear energy transfer in a gravity wave spectrum. Part 1. J. Fluid Mech, 1962, V. 12, P. 481-500.

124. McGoldrick L.F. Resonant interactions among capillary-gravity waves. -J. Fluid Mech., 1965, V. 21, P. 305-332.

125. Energy transfer between external and internal gravity waves. -. J. Fluid Mech., 1964, V. 19, P. 465-478.

126. Бреховских JI.M., Гончаров В.В., Куртепов В.М., Наугольных К.А. О резонансном возбуждении внутренней волны при нелинейном взаимодействии поверхностных волн. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1972, Т. 8, С. 192-203.

127. Нестеров С.В. Резонансное взаимодействие поверхностных и внутренних волн. -Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1972, Т. 8, С. 447-452.

128. Басович А.Я. Трансформация спектра поверхностного волнения под действием внутренней волны. Известия АН СССР. Физика атмосферы и океана, 1979, Т. 15, № 6, С. 655-661.

129. Gargett А.Е., Hughes В.A. On the interaction of surface and internal waves. J. Fluid Mech., 1972, Pt. 1, P. 179-191.

130. Thorpe S.A. On wave interaction in a stratified fluid. J. Fluid Mech., 1966, V. 24, Pt. 4, P. 737-751.

131. Benney D. Non-linear gravity wave interactions. J. Fluid Mech., 1962, V. 14, P. 577-584.

132. Hurley D.G. The emission of internal waves by vibrating cylinders. -J. Fluid Mech., 1969, V. 36, Pt. 4, P. 657-672.

133. Найфэ А. Введение в методы возмущений. М.: Мир, 1984, 536 с.

134. Ломов С.А. Введение в общую теорию сингулярных возмущений. -М.: Наука, 1981, 398 с.

135. Гильберт Д., Кон-Фоссен С. Наглядная геометрия. М.: Наука, 1981, 344 с.

136. Thorpe S.A., Hutt Р.К., Soulsby R. The effect of horizontal gradients on thermohaline convection. J. Fluid Mech., 1969, V. 38, P. 2, P. 375-400.

137. Эберт Г. Краткий справочник по физике. М.: ГИФМЛ, 1963.

138. Таблицы физических величин. Справочник. Под редакцией академика Кикоина И.К. М.: Атомиздат, 1976, 1008 с.

139. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Генерация диссипативно-гравитационных волн при тепловой конвекции в стратифицированной среде. ЖПМТФ, 1991, № 3, С. 49-55.

140. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Образование внутренних волн нулевой частоты при свободной конвекции в температурно-стратифицированной жидкости. ПММ, 1990, Т. 54, вып. 4, С. 683-687.

141. Koschmieder E.I. On convection under an air surface. J. Fluid Mech., 1967, V. 34, P. 9-15.

142. Некрасов B.H., Попов B.A., Чашечкин Ю.Д. Формирование периодической структуры конвективного течения при боковом нагреве стратифицированной жидкости. Изв. АН СССР. ФАО, 1976, Т. 12, ДО 11, С. 1191-1200.

143. Wirtz R.A., Chiu С.М. Laminar thermal plume rise in a thermally statified environment. Int. J. Heat Mass transfer, 1974, V. 17, N 2, P. 323-329.

144. Brand R.S., Lahey F.J. The heated laminar vertical jet. J. Fliud Mech., 1967, V. 29, Pt. 2, P. 305-315.

145. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Свободная конвекция от точечного источника тепла в стратифицированной жидкости. ПММ, 1987, Т. 51, вып. 6, С. 962-967.

146. Chandrasekhar S. Hydrodynamic and hydromagnetic stability. Oxford University Press, 1961.

147. Tritton D.J. Physical Fluid Dynamics//Oxford. Oxford press. 1988. 520 c.

148. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Общие свойства свободных термо-онцентрационных течений. Тез. докл. Третьей Всесоюзн. Школы-семинара "Методы гидрофизических исследований". Светлогорск. 1989. С. 93-94.

149. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Анализ групповых свойств уравнений свободной термоконцентрационной конвекции. Сб. науч. тр. "Лабораторное моделирование динамических процессов в океане". СО АН СССР. Новосибирск. 1990. С. 143-146.

150. Кистович А.В. Общие свойства термоконцентрационной конвекции. -Сб. науч. тр. "Гидромеханика". АН УССР. 1991. вып. 64. С. 78-82.

151. Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. Lie gorup analysis of the partially symmetrized form of double diffusive convection equation. "Boundary effects in stratified and/or rotating fluid". International session abstracts. St. Petersburg. 1995. P. 51-54.

152. Kistovich A.V. The formation of flow and stratification distributons in a deep cavity with the admixture source on the bottom. "Boundary effects in stratified and/or rotating fluid". International session abstracts. St. Petersburg. 1995. P. 91-94.

153. Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. The transient boundary flow of statified fluid along an impemeable inclined plane. "Boundary effects in stratified and/or rotating fluid". International session abstracts. St. Petersburg. 1995. P. 95-98.

154. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Установление диффузионных и конвективных течений в неоднородных многокомпонентных средах в присутствии ограничивающих поверхностей.//Препринт № 569 ИПМ РАН. Москва. 1996. 44 с.

155. Кистович А.В, Чашечкин Ю.Д. Линейный анализ задач формирования конвективных и диффузионных течений в неоднородных многокомпонентных средах в присутствии ограничивающих поверхностей. //Препринт № 671 ИПМ РАН. Москва. 1997. 36 с.

156. Kistovich A.V. Fine structure of a growing boundary currents. -International conference "Stability and instabilities of statified and/or rotating flows". Abstracts. Moscow. 1997. P. 61.

157. Kistovich A.V. The formation of stratification in a wedge cavity with source on its bottom. International conference "Stability and instabilities of statified and/or rotating flows". Abstracts. Moscow. 1997. P. 61.

158. Кистович A.B, Чашечкин Ю.Д. Формирование пограничиЪго слоя в неоднородных средах во впадине. Прикладная математика и механика. 1998. Т. 62. вып. 5. С. 803-809.

159. Кистович А.В, Чашечкин Ю.Д. Тонкая структура пограничных течений в средах с диффузией и теплопроводностью. Журнал прикладной механики и технической физики. 1998. Т. 39. N® 4. С. 54-63.

160. Kistovich A.V. Effect of Diffusion Induced Boundary Current on the Transport of Contamination from the Bottom of Deep Sea Cavity. "Physical processes on the ocean shelf". Abstracts. International conference. Svetlogorsk. 1996.

161. Кистович A.B, Чашечкин Ю.Д. Диссипативно-гравитационные волны в докритических режимах многокомпонентной конвекции. Известия АН. Физика атмосферы и океана. 2001. Т. 37. № 4. С. 513-519.

162. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Типы дискретных симметрий картины конвективных течений в плоском слое жидкости. — Доклады АН. Техническая физика. 2002, Т. 384, № 5, С. 630-633.

163. McKenzie D.P. The symmetry of convective transition in space and time. J. Fluid Mech., 1988, V. 191, P. 287-339.

164. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Общие свойства свободных термоконцентрационных течений. Известия СО АН СССР, Серия техн. наук. 1990, вып. 3, С. 69-75.

165. Kistovich A.V., Chashechkin Yu.D. Characteristic features of dissipative-gravity waves in continuously stratified media. "Fluxes and structures in fluids". International conference. Abstracts. St. Petersburg. - 1999. -P. 62-64.

166. Кистович А.В. Теоретическое исследование эволюции свободных конвективных течений в средах с устойчивой стратификацией// Диссертация на соискание ученой степени к.ф.-м.н., на правах рукописи. ИПМ АН РАН. 1992. - 125 с.

167. Ламб Г. Гидродинамика. ОГИЗ-Гостехиздат, 1947, 928 с.

168. Saffman P.G., Meiron D.I. Difficulties with three-dimentional weak solutions for inviscid incompressible flow. Physics of Fluids, 1986, V. 29, P. 2373-2375.

169. Moffat H.K. The degree of knottedeness of tangled vortex lines. J. Fluid Mech., 1969, V. 35, Pt. 1, P. 117-129.

170. Торп Дж. Начальные главы дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1982, 360 с.

171. Стенберг С. Лекции по дифференциальной геометрии. М.: Мир, 1970, 412 с.

172. Александров А.Д., Нецветаев Н.Ю. Геометрия. М.: Наука, 1990, 672 с.

173. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Вихревые и спиральные структуры в однородной идеальной жидкости.//Препринт № 627 ИПМ РАН. Москва. 1998. 54 с.

174. Kistovich A.V. Vortex and helical structures in homogeneous inviscid liquid. "Fluxes and structures in fluids". International conference. Abstracts. St. Petersburg. 1999. P. 61-62.

175. Кистович А.В., Чашечкин Ю.Д. Вихревые и спиральные структуры в однородной идеальной жидкости. ДАН. 2000. Т. 372. ДО 1. С. 46-49.

176. Kistovich A.V. Geometric-topologic description of vortex fluid motion. "Fluxes and structures in fluids". International conference. Abstracts. Moscow. 2000. P. 95-97.