Исследование плоских электромагнитных полей в слоистых диэлектрических системах для решения оптимизационных задач просветления оптики тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 05.13.18, кандидат наук Ахмедов Ильзар Альбертович

• Ахмедов Ильзар Альбертович
• кандидат наук
• 2019

Оглавление диссертации кандидат наук Ахмедов Ильзар Альбертович

ВВЕДЕНИЕ

ГЛАВА 1. Математические модели плоских электромагнитных волн в слоистых диэлектриках для случая распространения в направлении нормали

§1.1. Описание слоистой диэлектрической системы (СДС)

§1.2. Представления решений системы уравнений Максвелла для слоистой среды и условия сопряжения полей на границах

раздела сред

§1.3. Постановка и решение прямой задачи о распространении

плоской электромагнитной волны в СДС

§1.4. Основное тождество для матриц передачи слоев.

Энергетические коэффициенты отражения и пропускания

основные электродинамические характеристики СДС

§1.5. Точные оценки профилирующей функции, энергетических

коэффициентов отражения и пропускания СДС

§1.6. Математическая постановка исходных и эквивалентных им

задач просветления оптики

ГЛАВА 2. Исследование и решение задач просветления

§2.1. Однослойные системы диэлектрических слоев

§2.2. Решение задачи о наилучшем просветлении однослойной СДС

на заданной частоте

§2.3. Решение задачи о наилучшем просветлении в среднем для

интервала частот (0, + то)

§2.4. Решение задачи о наилучшем просветлении в смысле Чебышева

для заданного интервала частот

ГЛАВА 3. Исследование пространства параметров и нулей

профилирующей функции двухслойных СДС

§3.1. Профилирующие функции двухслойных СДС

§3.2. Структура пространства параметров двухслойных СДС

§3.3. Нули и экстремумы профилирующей функции двухслойной СДС 91 §3.4. Решение классической (для заданной частоты ^о) задачи о

наилучшем просветлении двумя слоями

§3.5. Решение задачи о наилучшем просветлении в среднем двумя

слоями почти для всех систем

ГЛАВА 4. Алгоритм решения задачи просветления в смысле

Чебышева двумя слоями

§4.1. Области просветления двухслойных СДС. Их локализация и

классификация

§4.2. Алгоритм отыскания наилучшего просветления для ослабленной

задачи в смысле Чебышева

ЗАКЛЮЧЕНИЕ

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

ПРИЛОЖЕНИЕ А. Свидетельство о регистрации

программного комплекса в фонде алгоритмов и программ

ПРИЛОЖЕНИЕ Б. Графические материалы

ПРИЛОЖЕНИЕ В. Программный код

ВВЕДЕНИЕ

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование плоских электромагнитных полей в слоистых диэлектрических системах для решения оптимизационных задач просветления оптики»

Актуальность темы.

Математическое моделирование постепенно завоевывает ведущие позиции во всех тех научных и прикладных исследованиях, где требуется получение надежных научных результатов за минимальное время с гарантирорванной точностью. Математические модели в прикладных исследованиях постоянно уточняются, становятся все более гибкими и способными более адекватно описывать всевозможные постановки и алгоритмы решения теоретических и прикладных задач.

Естественные науки, использующие в своих исследованиях математический аппарат, по сути, занимаются математическим моделированием Поскольку "реальный" объект исследования заменяется на его математическую модель с помощью некоторых упрощений, гипотез и идеализаций, то, чаще всего, описывается идеальный объект, построенный на этапе моделирования.

По Ляпунову, математическое моделирование это опосредованное практическое или теоретическое исследование объекта, при котором непосредственно изучается не сам интересующий нас объект, а некоторая вспомогательная искусственная или естественная система (модель), находящаяся в некотором объективном соответствии с познаваемым объектом, способная замещать его в определенных отношениях и дающая при её исследовании, в конечном счете, информацию о самом моделируемом объекте [4].

Мощное теоретическое развитие волновая теория получила благодаря уравнениям Максвелла. Эти уравнения позволяют математически описать неразрывную связь между электрическим и магнитным полями взаимное порождение и изменение ими друг друга, а также их взаимодействие с распределенными электрическими зарядами и токами. Подобная связь физических

характеристик в самом общем случае времени, составляет суть классической электродинамики.

Широкое внедрение математических методов в электродинамику, начавшееся почти два века назад работами Фарадея, Френеля и Максвелла, не закончилось и в наши дни. Постоянно возникают новые технологии, которые требуют своего адекватного математического описания, постановок соответствующих задач и разработки алгоритмов для их эффективного решения.

Многие новейшие достижения в оптике связаны с совершенствованием технологических процессов для создания все более качественных слоистых диэлектрических систем (СДС), широко используемых при просветлении оптики, создании интерференционных светофильтров, селективных зеркал, светоделителей и почти всех приемников излучения, где физические свойства СДС играют, порой, решающую роль в качественном улучшении интегральных характеристик технических устройств.

Совершенствование современных технологий в области СДС идет параллельно с развитием соответствующей теоретической базы, основанной на теории распространения электромагнитных волн в СДС и изучением спектральных характеристик подобных систем.

Здесь, несмотря на наличие относительно большого количества великолепных руководств1, и неослабевающий поток более поздних исследований2, тем не менее, существует значительный запрос на существенное развитие теории и алгоритмического багажа математического моделирования в области СДС.

1См., например,: М. Борн, Э. Вольф Основы онтики, М. Наука, 1970г., Г.В. Розенберг Оптика тонкослойных покрытий М. ГИФМЛ, 1958г., П.Г. Кард Анализ и синтез тонкослойных интерференционных покрытий, Таллин, Ва.;пус, 1971г., Т.Н. Крылова Интерференционные покрытия Л., Наука, 1973г.

2См., например,: Gang Bao, Lawrence Cowsar, Wen Masters, Mathematical Modeling in Optical Science, Siam, Philadelphia, 2001., H. A. Macleod, Thin-Film Optical Filters, 3rd edition, Institute of Physics Publishing Bristol and Philadelphia, Bristol, 2001., Norbert Kaiser, Hans K. Pulker, Optical Interference Coatings, Springer, New York, 2003., Путилин Э.С., Оптические покрытия. Учебное пособие. СПб: СПбГУ ИТМО, 2010

Важно, что, по неведомым причинам, до самого последнего времени, не была разработана сколько-нибудь полная теория СДС с малым количеством произвольных слоёв (даже, например, при N = 2).

Настоящая работа, как раз, и посвящена исследованию ряда аспектов общей теории СДС и ее практических применений.

Целью работы является развитие математически обоснованных новых подходов к общей теории СДС, теории классификации всевозможных двухслойных систем и последовательному построению теории просветления оптики, основанных на этой теории алгоритмов и численных методов, базирующихся на математической постановке и решении соответствующих оптимизационных задач.

Для достижения поставленной цели решаются следующие задачи:

1. Построение наиболее простой математической модели электромагнитных волн в диэлектрической системе слоёв и формулировка новых математических постановок оптимизационных задач просветления оптики для их практического применения;

2. Развитие теории анализа слоистых сред и аналитическое решение поставленных задач просветления при малом числе слоев, обычно, используемых при производстве массовых серий недорогих изделий оптического оборудования.

3. Разработка алгоритмов исследования полученной математической модели и вычисления оптимальных характеристик слоёв на фиксированном множестве параметров материалов и условий производства для задач просветления оптики.

4. Проектирование, реализация, отладка и тестирование программно-вычислительного комплекса, разработанного на языке GNU Octave для решения задач просветления оптики.

5. Получение и анализ численных результатов решения оптимизационных задач просветления оптики с заданной точностью на основе разработанного программного комплекса.

Методика исследования. В работе использовались разнообразные методы математического моделирования.

В ходе теоретического исследования применялись разделы: классическая электродинамика, линейная алгебра, математический анализ, дифференциальные уравнения.

В ходе разработки алгоритмов применялись численные методы, принципы проектирования вычислительных систем.

На основе аналитических рассуждений и построенной теории слоисто диэлектрических систем, были получены численные решения с заданной точностью оптимизационных задач просветления с использованием вновь созданного вычислительного комплекса, разработанного на базе среды и языка программирования GNU Octave.

Научная новизна исследования определяется тем, что введенные в диссертации понятия и подходы позволяют развить многие принципиально новые аспекты теории слоистых сред, впервые сформулировать математические задачи просветления в разных практически полезных постановках, решить их аналитически для случая небольшого числа слоев и разработать эффективные методы численного решения задачи просветления для двух произвольных слоев покрытия.

Научно-практическая значимость результатов, полученных в диссертации заключается в их научной новизне и возможности использования при дальнейшем развитии теории и практическом решении задач просветления в различных постановках для произвольных СДС.

На защиту выносятся следующие положения:

1°. Математическая постановка, решение и исследование прямой задачи о существовании плоских электромагнитных полей в М-слойных СДС, являющаяся базовой для большинства задач оптики.

Новые представления элементов матриц передали показывают, что они являются почти-периодическими функциями частоты, что является ключом к анализу многих проблем оптики.

Впервые введены понятия порождающих и профилирующих функций, а также вычислительных параметров СДС, полезные при решении оптимизационных задач просветления оптики.

Впервые полученные, неулучшаемые оценки профилирующих функций и энергетических коэффициентов отражения и пропускания СДС являются фундаментальными достижениями оптики.

2°. Получено принципиальное неравенство, определяющее просветление заданного полупространства на заданной частоте или для интервала частот.

Даны существенно важные математические постановки оптимизационных задач просветления оптики: а) Классической и б) Просветления в смысле Че-бышева.

Получены упрощенные варианты основного неравенства теории просветления и математических постановок оптимизационных задач просветления оптикиэквивалентны,е исходным формулировкам.

3°. Во вновь исследованном пространстве импедансов 2-слойных СДС ^Р2 == {р = (р1,р2)} введены "показательные" координаты, которые выявили в Т2 структуру плоского графа с 20 вершинами, 66 ребрами и 48 гранями так, что каждому элементу графа отвечает свой класс 2-слойных СДС.

Классы, отвечающие граням и ребра,м графа, обладают свойством устойчивости характеристик СДС по отношению к малым возмущениям их импедансов, не выводящим из соответствующих) класса СДС.

Показано, что вычислительные параметры СДС удобны при описании структуры и свойств классов СДС при их использовании в теории и практике просветления оптики.

4°. При помощи вычислительных параметров СДС решен вопрос о существовании и расположении нулей у энергетических коэффициентов отражения произвольных двухслойных СДС, что является важной дополнительной информацией при разработке оптических систем.

Введено принципиально новое понятие области просветления для заданной профилирующей функции, что открывает новый подход к исследованию и созданию просветляющих покрытий.

Показано, что границы областей просветления 2-слойных СДС являются образами гипербол (в подходящих для этого координатах) и проведена новая классификация всех возможных областей просветления 2-слойных СДС, чрезвычайно облегчающая решение задач просветления оптики, выделены четыре типа классов возможных областей просветления.

5°. В интересах оптики проведено исчерпывающее исследование и решение ослабленной и полной классической задачи просветления для 2-слойных СДС.

Предложены обобщенный метод «Подвижного отрезка» и метод «Углового сканирования» для эффективного численного решения ослабленной задачи просветления в смысле Чебышева.

Разработан, отлажен, апробирован и зарегистрирован в фонде алгоритмов и программ комплекс программ, решающих ослабленную задачу просветления в смысле Чебышева.

Важное практическое значение имеют вновь разработанные оптимизированные алгоритмы, позволяющие существенно сократить время поиска оптимальных решений и вычислять необходимые физические параметры слоев без необходимости привлечения мощных вычислительных систем.

Программный комплекс учитывает ряд ограничений при решении задач просветления оптики: минимальный уровень просветления для исследуемого интервала частот; физические ограничения на возможные параметры материалов слоев (область возможных значений) и точности нанесения слоев -допустимых толщин слоев.

Достоверность результатов и выводов диссертационной работы обеспечивается корректностью математических доказательств всех теоретических выводов, полученных в диссертационном исследовании, полным обоснованием всех разработанных алгоритмов и методов решения рассмотренных задач, качественной отладкой и массированным тестированием программного комплекса, показавшего убедительное совпадение результатов численного эксперимента с имеющимися аналитическими результатами.

На разработанный программный комплекс получено свидетельство о регистрации в фонде алгоритмов и программ (ФАП) (Приложение А).

Апробация работы. Основные положения диссертационной работы докладывались на различных научно-технических конференциях, в их числе доклады и статьи для научных конференций МИРЭА 2009-2014гг; участие с докладом в "Российской школе-конференции с международным участием для молодых ученых" (ТГУ, Тверь, 2010, 2013); доклад на Международной конференции "International Sosiety for Analysis, its Applications, and Computation" ISAAC (РУДН, Москва, 2011); на Международной научно-технической конференции "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации" (Алушта, 2015); на Международной научно-практической конференции "Актуальные проблемы и перспективы развития радиотехнических и инфокоммуникационных систем" РАДИОИНФОКОМ (МИРЭА, Москва, 2015); на научном семинаре "Обратные задачи математической физики" (Научно-исследовательский вычислительный центр МГУ, Москва, 2018); на Международной научно-технической конференции "Современные технологии в зада-

и

чах управления, автоматики и обработки информации" (Алушта, 2018); на Международной конференции «Фундаментальные проблемы оптики» (ИТМО, Санкт-Петербург, 2018); на Международной конференция «Функциональные пространства. Дифференциальные операторы. Проблемы математического образования» (РУДН, Москва, 2018).

Публикации по теме диссертации. Материалы диссертации опубликованы в 17 печатных работах, из них 3 статьи в рецензируемых журналах из перечня ВАК РФ, в 10 трудах российских и международных научных конференций. Список публикаций приведен в конце диссертации.

На разработанный программный комплекс имеется свидетельство о регистрации в фонде алгоритмов и программ (ФАП).

Личный вклад автора. Все изложенные в диссертации результаты получены автором лично. Автор принимал активное участие в обсуждении, интерпретации полученных результатов и написании статей. Вклад соискателя в опубликованные работы, вошедшие в диссертацию, является решающим.

Структура и объем диссертации. Работа содержит 182 страницы и состоит из введения, четырёх глав, заключения, списка литературы и приложений.

Содержание работы

Во введении обоснована актуальность и научная новизна выбранной темы диссертационной работы, сформулированы цели и определены задачи, представлены основные защищаемые положения и практическая ценность диссертационной работы, кратко изложено содержание работы по главам.

В первой главе рассматривается построение и изучение математической модели прохождения плоскополяризованной монохроматической гармонической электромагнитной волны через изотропную диэлектрическую многослойную среду.

Плоское электромагнитное поле с волновым вектором, направленным по нормали к слоям системы, в j-oм слое СДС описываются системой двух обыкновенных дифференциальных уравнений первого порядка:

Е'а = гкал Нл Щ = гкел Ел,

в которую превращается в рассматриваемом случае классическая система уравнений Максвелла.

Общее решение данной системы в ^'-ом слое имеет вид (и = Е,У = Н):

и(х) | = с(л) ( 1 | ё^+ с[л) ( 1 ) е-гкп*(2)

у(х) V -Рл

где параметры рл = Л — импеданс мате риала 7-ого слоя, — величина, об-

V

ратная волновому сопротивлению материала слоя, пл = .ЩЩ, — коэффициент, преломления материала слоя, к = ^ _ волновое ни ело, х0) - произвольные вещественные постоянные, которые будут определены позже из соображений удобства последующих выкладок.

С физической точки зрения, в решении (2), первое слагаемое есть "пришедшая" слева в ]-ът слой волна, а второе слагаемое - "отражённая" волна от границы со следующим слоем (] + 1).

Условием сопряжения электромагнитных волн на границе раздела сред выступает следующая система равенств:

Е(хл — 0) = Е(хл + 0) Н(х3 - 0) = Н(х3 + 0)

где (хл — 0) и (хл + 0) пределы слева и справа в точке х3, определяющей положение границы раздела ^'-ой и (] + 1)-ой сред.

Подстановка решений уравнений Максвелла (2) в граничные условия приводят к основной системе уравнений, описывающей связь между плоским

электромагнитным полем в СДС и физическими характеристиками среды в соответствующих слоях:

/

М+Со = М-Сг

< М+_1С)_ = М-С)

М+СN = М_+1СN +1

(4)

м+ =

1 1

Рз _Рз

М- =

^ 'Д о Ь о к

Рз е

^' о Ь о к

-Рз е

где Из - физическая толщина j-oгo слоя.

Полученная система (4) описывает суть процесса распространения плоских электромагнитных волн в СДС и поэтому названа основной.

В §1.3 изучено решение прямой задачи для СДС при помощи матриц передачи.

Теорема. В Ж-слойной СДС при заданных её (3Ж + 4)-х физических параметрах: £3,^3, ] = 0,... + 1, где £3, ^3 - диэлектрическая и магнитная проницаемости, а ] = 1,..., Ж, - толщина ]-то слоя СДС, существует двупараметрическое семейство электромагнитных полей, решений системы уравнений Максвелла внутри каждого из слоев СДС.

Комплексные амплитуды , в = 0,1, "прямой" и "обратной" волн в ]-ом слое СДС {2(Ы + 2) неизвестных), образуют решение "основной" системы 2(Ы + 1) линейных алгебраических уравнений, возникающей из электродинамических "граничных" условий (3) на каждой из границ слоев СДС.

При дополнительных условиях:

а) отсутствия отражения на С

(М +1)

=0

б) нормировки по прохождению: +1) = 1,

где С<(М+1\ в = 0,1, — амплитуды "прямой" и "обратной" волн в правом полупространстве, решение прямой задачи единственно.

Здесь впервые, в явном виде, введены электродинамические параметры СДС: в = (01,..., 0м+1), 03 = -¡--^ = 1,...,М + 1, и V = (щ,..., им), ь>3 = (£3^3)1/2И3-, ] = 1,... определяющие все возможные плоские электромагнитные поля в заданной СДС и, в свою очередь, однозначно определяемые единственным образом, например, по амплитудному коэффициенту отражения от СДС.

Определены порождающие функции т8 = ,в = 0,1, Ж-слойной

СДС и их экспоненциальные представления:

С(0)(е,Г) = (СС)0, где 3 = О'о,Л,...,,.]м+1 ), Л = 0,1 (5)

N +1

QJ(С = П 1/2 [1 + (_1)3к-1Ф3к0к], (6)

к=1

коэффициенты Фурье в формуле (5).

N

о) = £(_1)л *к, (7)

=1

показатели Фурье в формуле (5).

А также их алгебраические представления:

с<0) (в,Г) = и _щ и = ^ (_1)паь • Фь(в), у= ^ (_1)паь • Фь(в),

Ь-.\\Ц\=2п Ь-.\\Ц\=2п+1

/£.\ 1/2 М

Р3 = - , Ь =( к,..., 1м ), к = 0,1,к = 1,...,^, \\Ц\ = ^ Ь,

к=1

N

= Ук , Хк = СОв(£к), Ук = вт(£к),

к=1

которые преобразование:

С = V •и, (9)

делает 2и периодическими по каждой из п еремеииых Ь к = ь'к •и функциями.

Введено понятие о вычислительных параметрах СДС <5 = (а0,..., —) < = С} = ((^0,..., —) ОДе ^ _ матрица Адама-

Важным результатом исследования основной системы уравнений является установленная в §1.4 связь между модулями амплитуд прямой и обратной волн, вытекающая из закона сохранения энергии для диэлектрической системы:

Со

(о)

С!

(0)

= ©, где в = (10)

о

из которой, для анализа энергетических коэффициентов отражения Щи) =

|с(0)|2

1 |2 и пропускания Т(и) = ® 2, вытекает возможность исследования бо-

\г (о)|2 ^ ^ V ) \г (0)

|°0 | |°0

лее "простых", отличающихся между собой на постоянную величину, функций

Г (0)

2

и

с<0)

2

В §1.5 введены профилирующие функции СДС и получена точная их оценка:

2

^(I Г) = с<°>(в, Г) ; ^(в, Г) ^тж-1 {«2},

откуда вытекает точная оценка энергетического коэффициента отражения СДС.

Установлено, что классом функций, естественным образом связанным с оптическими задачами СДС, является класс почти-периодических функций частоты и и его подкласс в виде тригонометрических полиномов.

И, наконец, в §1.6 впервые аккуратно введено определение просветления на заданной частоте и0 границы двух полупространств с импедансами веществ р— слева и р+ справа от их границы, — плоскости когда энергетический коэффициент отражения Френеля на^± — Ир = (!+§) = сопя!, где © =

После нанесения на границу полупространств нескольких слоев вещества, "новая" СДС дает просветление на частоте и0 (по сравнению с "исходной"

2

2

0-слойной СДС), если выполнено основное неравенство:

К(^о) < Кг, (Н)

где И(^0) — значение энергетического коэффициента отражения И(^) новой СДС на частоте ш0.

Показано, что дробно-рациональное неравенство (11) эквивалентно любому из квадратичных неравенств:

2 < (a0s))2 , s = 0,1.

с(0)(в,Г)

Предложены два принципиально важных варианта математических постановок оптимизационной задачи просветления: найти электродинамические параметры р = (р\,... ), и = (р\,..., ) просветляющей СДС для границы -к± двух полупространств, заполненных средами ср- слева и р+ справа от границы.

Ниже приведены исходные математические постановки двух задач просветления, где функционал качества системы дробно-рациональная функция, а также справа от исходных полностью эквивалентные им упрощенные варианты тех же задач просветления.

К о. Классическая (на фиксированной частоте и0):

R( р; и; ^о) —> min ^^ F( р; и; ш0) —> min

р, V Р, V

С[п1;п2]. В смысле Чебышева (для заданного интервала частот

[fix, ОД:

max R(w; р, D) min ^^ max F(w; p, D) min

P, V P, V

Для каждой математической постановки задачи просветления, указанной выше, будем говорить про ослабленную задачу, если минимизация в соответствующей задаче ведется только по вектору v = (v\,..., ^n) ПРИ фиксированном векторе р = (px,... )•

Рассмотрена также математическая постановка задачи просветления в среднем для всех частот: Путем выбора электродинамических параметров слоев [р\, ••• ,рн} , {v\, ••• ,vn } минимизировать значение ф ункции R(w) на

интервале частот (0, в смысле ее среднего значения:

R(ш, р, D) —> min

Во второй главе проводится исследование и аналитическое решение оптимизационных задач просветления для простейшего случая однослойной

сдс.

При N = 1 профилирующая функция Fp;i (t) = а0 cos2t + а\ sin2¿

Рисунок 1 . К задаче просветления Чебышева при N =1. Нижние профилирующие функции (при разных р) относятся к случаю просветления, а верхняя относится к случаю антипросветления.

Сначала исследуется ослабленная классическая задача просветления.

Для нее установлены необходимые и достаточные условия просветления:

1°. 1 = ктг. 2°. а? < а%.

Доказано, что задача просветления для заданной частоты и0 однослойной системы имеет счетное число решений3, совершенно равносильных относительно функционала качества:

,__я-(2£ + 1)

Р1 = л/Р0Р2, Щ = -^-,

__2ио

3Эти решения давно известны. В .литературе они, обычно, называются четвертьволновыми согласующими слоями.

где к <Е N0 - произвольное целое неотрицательное число.

Наилучшее просветление однослойной системой в среднем по всем часто-

1

достигается при значении импеданса материала слояр1 = л/р0р2.

В §2.4 доказано существование единственного глобального минимума в смысле минимизации максимального значения энергетического коэффициента отражения на заданном интервале [П^ П2].

Решение полной задачи просветления в смысле Чебышева уже в случае N =1 является нетривиальной задачей, имеющей существенный методический интерес для последующего. Поэтому она разобрана относительно подробно в два этапа. Сначала решена ослабленная задача, минимизацией только по одно-

Записывая основное неравенство (11) для произвольного ш € [П^ П2] можно получить необходимые и достаточные условия существования окон просветления, подходящих для просветления сразу всего интервала частот [П1, П2]:

1°. 1 = кп. 2°. а\ < а2.

3°. Условие погружения интервала [П1, П2] в окно просветления:

кп < Ш1 < Ш2 < (к + 1)п ^^

< 1 + I

< 1 + к

кп (к + 1)п

4°. Конечность множества "подходящих" окон просветления: к = 0,... ,К) где 0 ^ К < — наибольшее к, для которого выполнено условие погружения.

Для решения ослабленной задачи просветления в смысле Чебышева используется метод подвижного отрезкаА.

4См.: Ю.И.Худак О наилучшем однослойном просветляющем покрытии для интервала частот.// Журнал вычислит, матем. и матем. физики АН СССР, 1990. т.30, N 2. С. 12 15

Если указанные выше необходимые и достаточные условия выполнены, то в соответствии с неравенствами п. 3°. для V в последней форме, "подвижный" отрезок [Т\, Т2] : Т\ = VО1, V02 = Т2 попадет в одно из к = 0,..., К подходящих окон просветления.

Так на Рис. 1 изображен случай, когда значение V выбрано так, что "подвижный" отрезок [Тх,Т2] : Т\ = V0.1, и02 = Т2 "попал" в нулевое окно (к = 0) просветления: (0, к) и точка минимума Г(£) в рассматриваемом окне — ^/2, -оказаласв внутри подвижного отрезка [Т1, Т2].

При этом, в каждом из допустимвгх: окон просветления к = 0,..., К будет найден свой оптимум для задачи просветления.

Важно, что все локальные оптимумы, упорядочены по величине: величина минимумов возрастают с увеличением номера к допустимого окна просветления.

Таким образом, глобальный минимум в ослабленной задаче просветления в смысле Чебышева, всегда существует и достигается в нулевом окне просветления.

Для завершения решения общей задачи просветления в смысле Чебышева заметим, что профилирующая функция Г(¿) ведет себя монотонно по параметру р в каждом из окон просветления, подходящем для просветления интервала частот [01, 02].

При < р < ртах (ртт = шт[р0,р2], Ртах = тах{р0,Ы) ^(*) Рав" номерно монотонно убывает при увеличении р от рт[п до р* = (рттртах)1/2 и равномерно монотонно возрастает при далвнейшем увеличении р от р* =

(_Ртш_Ртах) / ДО Ртах •

В резулвтате общая задача просветления в смвгсле Чебвпиева имеет К

¿е! (2&+1Ь / п 1 г^

локалвнвк точек минимума и* = ^ , к = 0,1,..., К, в каждой из которвк минимальные значения по параметру р достигаются при р = р* = (рттртах)1/2

5Рассматривать значения р вне интервала ртт < р < ртах ненужно, т.к. соответствующие значения р дают профилирующие функции не пригодные для просветления.

и при этом абсолютно лучший минимум будет при к = 0 — в "нулевом" окне просветления: 0 < Ь < п.

Третья глава диссертации посвящена подробному аналитическому исследованию двухслойной диэлектрической системы.

При N = 2 исследуемая профилирующая функция имеет следующий вид:

2

^(£ 1, ¿2) = |С°(ш) | = (ао^1^2 -азшЫ2 + (а^ш + а2Ш^)2,

ао=1(1 -е), а1=2(1-, а2=2г-1), аз=\[в2-I)•

х1 =совш щ, х2 = совш и2, у1 =в1пш и1, у2 = вШШ и2,

вг = Ж, е = ?3.

Рг-1 Р0

Показаны различные формы представления профилирующей функции, использование которых в дальнейшем позволяет лучше понять и описать поведение областей просветления, структуру их границ, положение нулей функции.

Приводится анализ структуры пространства параметров Р2, в результате

1, 2

При переходе из одной такой области в другую такую область происходят качественные изменения поведения профилирующей функции. Упомянутые выше области образуются при пересечении характерных линий, таких как: линий вырождения системы в однослойную, линий, на которых обращаются в нуль вычислительные параметры = 0, или линий на которых попарно совпадают между собой величины модулей вычислительных параметров |а^| = |а^

Характерные линии в системе координат р1Ор2 не всегда оказываются прямыми и поэтому некоторые области в "Р2 оказываются ограничены кривыми второго порядка. Анализ подобных криволинейных областей представляется не столь удобным, поэтому для "спрямления" и упрощения описания этих областей были введены "показательные" параметры й 2 при помощи следующей

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Ахмедов Ильзар Альбертович, 2019 год

СПИСОК ЛИТЕРАТУРЫ

[1] Бори М., Вольф Э., Основы оптики, Наука, Москва, 1973.

[2] Л.М. Бреховских, Волны в слоистых средах, Наука, Москва, 1973.

[3] Худак, К).И. Исследование электромагнитных полей в неоднородных средах методами математического моделирования - решение задач идентификации, синтеза и оптимизации слоистых диэлектрических структур и некоторых проблем медицинского приборостроения: дис. ... д-ра техн. наук: 01.04.03 / Худак Юрий Иосифович. М.,1997. 281с.

[4] Новик 14. Б., О философских вопросах кибернетического моделирования. М., Знание, 1964

[5] К. Schuster Ann. d. Physik [6],4, 352 (1949).

[6] Г. П. Болте, Дж. Гейст, А. Зардецкий, А. Уолтер, X. А. Ферверда, Б. Дж. Хендерс, X. Г. Шмидт-Вайнмар, Обратные задачи в оптике, Машиностроение, Москва, 1984.

[7] Gang Bao, Lawrence Cowsar, Wen Masters, Mathematical Modeling in Optical Science, Siam, Philadelphia, 2001.

[8] H. A. Macleod, Thin-Film Optical Filters, 3rd edition, Institute of Physics Publishing Bristol and Philadelphia, Bristol, 2001.

[9] Nor bert Kaiser, Hans K. Pulker, Optical Interference Coatings, Springer, New York, 2003.

[10] Путилин Э.С., Оптические покрытия. Учебное пособие. СПб: СПбГУ PIT-MO, 2010

[11] Валовик Д. В., Смирнов Ю. Г., Распространение электромагнитных волн в нелинейных слоистых средах: монография / Д. В. Валовик, Ю. Г. Смирнов.

Пенза : Изд-во ПГУ, 2010

[12] Г. В. Розенберг Оптика тонкослойных покрытий. М. "Физматгиз 1958г.

[13] П. Г. Кард Анализ и синтез многослойных интерференционных плёнок. Таллин, Валгус, 1971г.

[14] В. 14. Дмитриев Физика земли. 1970г., №1, с. 64.

[15] А. Л. Фельдштейн, Л. Р. Явич Синтез четырёхполюсников и восьмиполюсников на СВЧ. М., Связь, 1971г.

[16] Современная теория фильтров и их проектирование. Под редакцией Г. Темеша и С. Митра, М., Мир., 1977г.

[17] Академик Л. 14. Мандельштам Лекции по теории колебаний. М., НАУКА, 1972г.

[18] Академик Л. 14. Мандельштам Лекции по оптике, теории относительности и квантовой механике. М., НАУКА, 1972г.

[19] Н.Винер Интеграл Фурье и некоторые его приложения. М., ГИФМЛ, 1963г.

[20] Б.М.Левитан Почти-периодические функции. М., ГИТТЛ, 1953г.

[21] Ф.Аткинсон Дискретные и непрерывные граничные задачи. М., Мир., 1968г.

[22] Ю. И.Худак О задаче просветления в классической постановке// Доклады РАН. 2013. т.448, N 5. С. 1 4.

[23] Ю. И. Худак, И. А. Ахмедов On the Problem of Antireflection Coating for the Normal Incidence of Light// PROGRESS IN ANALYSIS, Proceedings of the 8th Congress of the International Society for Analysis, its Applications, and Computation (22-27 August 2011): Volume 1, Moscow: Peoples' Friendship University of Russia, 2012. pp. 123 128.

[24] Ю. 14. Худак, 14. А. Ахмедов, H. В. Музылев, Д.В.Парфенов О структуре пространства параметров двухслойных магнитодиэлектрических систем// Электромагнитные волны и электронные системы. 2016. N 2. С. 24 32.

[25] Ю. 14. Худак, 14. А. Ахмедов, Н. В. Музылев, Д.В.Парфенов О решении задачи просветления Чебышева для двухслойных магнитодиэлектрических систем// Нелинейный мир. 2016. N 2. С. 38 48.

[26] Ю. 14. Худак, 14. А. Ахмедов О задаче гарантированного согласования одним элементом для интервала частот// Нелинейный мир. 2013. N 10. С. 12 15.

[27] Ахмедов 14.А., Худак К).И. О поиске наилучшего просветления на заданном интервале частот в классе двухслойных оптических систем// 59-я Научно-техническая конференция МИРЭА. 2010.

[28] Ахмедов 14.А., Худак К).И. Математическое моделирование в задачах просветления оптики// Материалы второй Российской школы-конференции с международным участием для молодых ученых: статьи, обзоры, тезисы докладов. Изд-во Тверского Государственного Университета. Тверь. 2010.

[29] Ахмедов И.А., Парфенов Д.В., Худак К).И. Математическое моделирование в задачах просветления оптики// 61-я Научно-техническая конференция МИРЭА. 2012.

[30] Ахмедов И.А., Худак Ю.И. Об оптической задаче просветления и алгоритме решения соответствующей ослабленной задачи в смысле Чебышева// Сборник научных трудов, часть 2, 1-ой Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития радиотехнических и инфокоммуникационных систем», Радиоинфоком. 2013.

[31] Ахмедов И.А., Худак Ю.И. Математическое моделирование в задачах просветления оптики// Математика, Информатика, их приложения и роль в образовании. Третья Российская школ а-конференция для молодых ученых, ТГУ. 2013.

[32] Ахмедов И.А., Худак Ю.И. Об оптической задаче просветления и алгоритме решения соответствующей ослабленной задачи в смысле Чебышева// Бесконечномерный анализ, стохастика, математическое моделирование: новые задачи и методы. Проблемы математического и естественнонаучного образования, РУДН. 2014.

[33] Ахмедов 14.А., Парфенов Д.В., Худак Ю.И. Гарантированное согласование для интервала частот// Труды XXIV международной научно-технической конференции «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта. 2015.

[34] Ахмедов 14.А., Парфенов Д.В., Худак Ю.И. Об алгоритме решения ослабленной задачи просветления в смысле Чебышева// Сборник научных трудов, часть 2, П-ой Международной научно-практической конференции «Актуальные проблемы и перспективы развития радиотехнических и инфокоммуникационных систем», Радиоинфоком. МГТУ МИРЭА. 2015.

[35] Ахмедов 14.А., Худак Ю.И. Согласование линий для интервала частот до определенного уровня// Труды XXVI международной научно-технической

конференции «Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации». Алушта. 2017.

[36] Ахмедов И.А., Худак Ю.И. "Математический аппарат для решения оптимизационных задач просветления оптики"// Сборник трудов XXVII международной научно-технической конференции "Современные технологии в задачах управления, автоматики и обработки информации г. Алушта, Республика Крым, Россия, 14-20 сентября 2018 г., Тамбов, Издательство ФГ-БОУ ВО "ТГТУ 2018, с. 270-271.

[37] Худак К).И., Ахмедов 14.А. Математический аппарат для решения оптимизационных задач просветления оптики// Сборник трудов X Международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики - 2018 Санкт-Перербург, 15-19 октября 2018 Под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А. Козлова, - СПб: Университет 14ТМО, 2018 - 467с., с. 182 - 184.

[38] Худак К).И., Ахмедов 14.А. Новые алгоритмы для решения оптимизационных задач просветления оптики// Сборник трудов X Международной конференции "Фундаментальные проблемы оптики - 2018 Санкт-Перербург, 15-19 октября 2018 Под ред. проф. В.Г. Беспалова, проф. С.А. Козлова, -СПб: Университет ИТМО, 2018 - 467с., с. 408 - 410.

[39] Ю. 14. Худак О представлении коэффициента отражения слоистооднород-ной системы рядом Фурье.// Изв.ВУЗов, Радиофизика. 1985. т.ХХУШ, N 4. С. 12 15.

[40] Ю. 14. Худак О локальной структуре одного класса решений однородной системы уравнений Максвелла.// Доклады АН СССР, 1985. т.282, N 1. С. 12 15.

[41] Ю. 14. Худак О некоторых математических вопросах теории плоских электромагнитных полей в слоистых диэлектриках.// Сб. Научный отчет кафедры за 1975 г. / Деп. ВИНИТИ, 1977. регЛ-76006097, инв. N Б461690. С. 12 15.

[42] Ю. 14. Худак О почти-периодичности электродинамических характеристик слоистооднородных магнитодиэлектрических систем.// Сб. Машинное проектирование устройств и систем СВЧ. М.: МИРЭА, 1980. С. 12 15.

[43] Ю. 14. Худак Об оценке коэффициента отражения системы диэлектрических слоев.// Журнал вычислит, матем и матем. физики АН СССР. 1986. т.26, N 7. С. 12 15.

[44] Ю. 14. Худак О наилучшем однослойном просветляющем покрытии для интервала частот.// Журнал вычислит, матем. и матем. физики АН СССР, 1990. т.30, N 2. С. 12 15.

ПРИЛОЖЕНИЕ А

ПРИЛОЖЕНИЕ Б

Графические материалы

Рисунок 27 . Область просветления для точки I.

V(si,s2) G (2031)

■

\ МтГОр \ 0321 \ 51=0.875 \ 52 = 2 \ \

\ Махгор v

Д^ахверт 4 ^

Рисунок 30 . Область просветления Ср для У(5Ь52) е (0321)

Рисунок 40 . Область просветления G<p для точки II.

1203 4 s 2=0.2 5 \ S2=-0.125

\ \МахверТ

\ \ Махгор \ \ л

\\\ с^ \ \ \ \

Л\л \ \

\\л\\ \ \

V(si,s2) G (1203;

—- 2013

51= 0.25 \ 52= -1 \ у

^ахверт\

Махгор \ \

\М'Пверт

/ МтГОр - -

44 . Область просветления Ср для

У(.5'ь.5'2) 6 (2013)

Рисунок 45 . Область просветления для У(й1, й2) Е (0213)

3120

5:= -0.25 Э2= 0.2

Рисунок 46 . Область просветления Ор для У(5Ь52) е (1203)

Рисунок 49 . Область просветления для У(5Ь52) е (2013)

lili

\ / f

\ / \ / \ / \ / \ / \ / \ }

1 \ / \ / \ / \ / \ У ! ~ 1 i

Рисунок 57 . Сечение профилирующей функции под углом 45° для V(si, s2) £ (2301)

Рисунок 58 . Сечение профилирующей функции под углом 45° для У(й1, й2) £ (2103)

Рисунок 60 . Сечение профилирующей функции под углом 45° в точке Ь. Фильтр Баттерворта

1 - *2 —

Рисунок 62 . Обработанный результат работы программы поиска наилучшего просветления для фильтра Чебышева

(синий) и Баттерворта (фиолетовый)

сгз сгз

ПРИЛОЖЕНИЕ В

Программный код

Основная функция вычисления.

Задан интервал частот [П-, для которого требуется минимизировать функционал и величины импедансов материалов среды р = {р0,р1,р2,р3}7 где р0 И р3 - дЛЯ левого и правого полупространства, а р-^я р2^ материалы первого и второго слоев.

1 function res funeSlS2 ( si , s2 )

2 % Main entry point to calculate and visualize antireflective task

4 pO 1.0;

5 p3 1.6;

7 % Calculate impedances pi and p2 by inputed sl,s2 coordinates

8 pl = ((p3/p0)~(sl + l/2))*p0;

9 p2 = ((p3/p0)"(s2-l/2))*p3;

11 if s2*sl < 0

12 isSNegative 1;

13 else

14 isSNegative 0;

15 end

17 res Ft It2 (pO , pi , p2 , p3 , isSNegative );

18 end

21 function res Ftlt2(p0, pi, p2 , p3 , isSNegative)

22 % Calculate Fourier coefficients

23 01 pl/pO ;

24 02—j) 2 j j) 1

25 Oop3/p2,

27 res funcQlQ2Q3(01,02,03, isSNcgativc );

28 end

31 function res funcQlQ2Q3(Ql, Q2, Q3, isSNcgativc)

33 % Computational parameters Alphas

34 Alpha0 = (l/2). *(1-Q1.*Q2.*Q3);

35 Alphal = (l/2). *(-Ql.*Q2+Q3);

36 Alpha2 = (l/2) . *(-Ql+Q2*Q3);

37 Alpha3 = (l/2) . *(Q2-Q1.*Q3);

39 stcptlt2 0.01;

41 if v 1 = 0

42 ftl , t2]= meshgrid (0: steptlt2 : vl*pi , 0: steptlt2 : vl*pi ) ;

43 t2 = (l/vl)*tl ;

44 elscif vl 0

45 ftl, 12 ] meshgrid ( 0 : st cpt 112 : pi , 0 : stept 112 : pi );

46 t2=0*tl;

47 els c

48 ftl, 121 meshgrid (0: steptlt2 : pi , 0 : stept 112 : pi );

49 end

51 xl cos (11 );

52 x2 cos(t2 );

53 vl sin (11 );

54 v2 s i n (12 );

56 result =( AlphaO. *xl. *x2- Alpha3. *vl. *v2 ) . ~2+( Alpha 1 .*xl. *v2+Alpha2. *vl. *x2) .

58 % Draw 3D model of Profiling Function F

59 mesh ( 11 ,12 , result ) ;

61 scrsz = get (0 ScreenSize ' ) ;

62 res (1)= figure ( ' Position ' , [0 0 scrsz(3) scrsz(4)]):

64 contour _lincs [AlphaO "2];

65 if ( Alpha 1 2 < AI pliad 2)

66 contour_lincs [contour_lincs Alphal "2];

67 end

69 if ( Alpha2 "2 < Alpliall 2)

70 contour_lincs [contour_lincs Alpha2"2];

71 end

73 if ( Alpha3 "2 < Alpliall 2)

74 contour_lincs [contour_lincs Alpha3"2];

75 end

77 contour (tl , 12 , result , contour _lincs );

79 % Setup grid parameters

80 set ( gca XGrid ' 'on');

81 set ( gca XTickMode ' 'manual');

82 set (gca ,' XTick ' , [0 : pi/2: pi ] ) ;

83 set (gca ,' XTickLabel ' ,{ '0 ' 'pi/2' 'pi'});

84 set ( gca ,' YGrid ' 'on');

85 set ( gca ,' YTickMode ' 'manual');

86 set (gca ,'YTick' , [0: pi/2: pi ] ) ;

87 set (gca ,' YTickLabel ' ,{ '0 ' 'pi/2' 'pi'});

88 axis square

90 % Draw minimum (cxtrcmums) lines

91 drawMinLineWithT2Const ( AlphaO , Alphal , Alpha2 , Alpha3 ) ;

92 drawMinLineWithTlConst (AlphaO , Alphal, Alpha2 , Alpha3 ) ;

94 % Draw maximum (extremums) lines

95 drawMaxLineWithT2Const ( AlphaO , Alphal , Alpha2 , AI plia'! ) :

96 drawMaxLineWithTlConst (AlphaO , Alphal, Alpha2 , AI plia'! ) :

98 zerotll = atan((-(AlphaO*Alphal)/(Alpha2*Alpha3))~(l/2));

99 if isSNegative 1

00 zerot21 = atan((-(AlphaO*Alpha2)/(Alphal*Alpha3))"(l/2));

01 else

02 zerot21 = atan((-(Alphal*Alpha3)/(AlphaO*Alpha2))"(l/2)) + pi/2;

03 end

05 % Draw 1st zero-zone on Profiling Function projection

06 line ([ zerotll-0 .01 zerotll+0.01 zerotll+0.01 zerotll-0.01 zerot11-0.01 1 ,

07 [zerot21-0 .01 zerot21 -0.01 zerot21+0.01 zerot21+0.01 zerot21 -0 .0 1 1 ,

08 [0 0 0 0 01,

09 ' Color '

10 [0.8 0 01);

12 % Coordinates of 1st Profiling Function zero

13 res (5) zerotll;

14 res (6) zerot21 ;

16 zerot 12 = atan((-(Alpha2*Alpha3)/(AlphaO*Alphal))~(l/2)) + pi/2;

17 if isSNegative 1

18 zerot22 = atan((-(Alphal*Alpha3)/(AlphaO*Alpha2))~(l/2)) + pi/2;

19 else

20 zerot22 = atan((-(AlphaO*Alpha2)/(Alphal*Alpha3))~(l/2));

21 end

23 % Draw 2nd zero-zone on Profiling Function projection

24 line ( [ zerotl2-0 .01 zerotl2+0.01 zerotl2+0.01 zerotl2-0.01 zerot 12-0 .01 1 ,

25 [zerot22-0 .01 zerot22-0.01 zerot22+0.01 zerot22+0.01 zerot22-0 .01 1 ,

26 [000001,

27 ' Color '

28 [0.8 0 01);

30 % Coordinates of 2nd Profiling Function zero

31 res (7) zero112 ;

32 res(8) zero122 ;

35 % Calculation and construction of the boundaries

36 % of the areas of ant ircflcct ivc

38 A Alphal "2-AlphaO "2;

39 B= Alphal*Alpha2-AlphaO*Alpha3 ;

40 C Alpha2 " 2- AlphaO " 2;

41 D Alpha3 "2-AlphaO "2;

** **

46 a2 (D/LambdaO ) " (1 / 2);

47 b2 (D/abs (Lambdal))" (1/2);

*

50 res(3) atan(b2/a2);

51 res (4) D;

53 K0 (LambdaO-A) /B;

54 K1 -1/K0;

55 K2 (LambdaO/ abs (Lambdal)) " (1 / 2);

56 K3 -1/K2;

58 ttl [0.001 :0 .001 : pi 1 ;

59 Z [1;

60 for i ttl

61 Z [Z 01;

62 end

64 drawAssimptotsAxesHyberbolaCanonical (D, LambdaO, Lambdal)

65 drawAssimptotsAxesHyberbola (AlphaO , Alphal, Alpha2 , Alpha3 ,

66 KO, Kl, K2, Z, ttl);

68 calculatcBcst AR ( AlphaO , Alpha 1 . Alpha2 , Alpha'! ) :

69 end

72 function drawAssimptotsAxesHyberbolaCanonical (D, LambdaO, Lambdal)

73 a2 (D/LambdaO ) " (1 / 2);

74 b2 (D/abs (Lambdal))" (1/2);

75 crcat c _ h vp or b ol a ( a2 , b2 , 0, 0, 0, 1, 100);

76 end

79 function drawAssimptotsAxesHyberbola (AlphaO , Alphal , Alpha2 , Alpha3 ,

80 K0, Kl, K2, Z, ttl)

81 K4 = (K0+K2)/(1-K0*K2);

82 tt2=acot ((K4)*cot (ttl ));

83 for i 1: length (112 )

84 if 112 (i)<0

85 112 (i) 112 (i) + pi ;

86 end

87 end

89 line (ttl ,tt2 , Z, 'Color' ,f0 1 01);

90 K4 = (K0-K2)/(1+K0*K2) ;

91 tt2=acot ((K4)*cot (ttl ));

93 for i 1: length (112 )

94 if tt2 (i )< 0

95 112 (i) 112 (i) + pi ;

96 end

97 end

99 line (ttl ,tt2 , Z, 'Color' ,f0 1 01);

200 end

Функции рисования линий экстремумов (минимумов и максимумов при попеременно фиксированном t\,t2) заданной профилирующей функции с вычислительными параметрами a0,ai,a2,a3:

1 function drawMinLincWithT2Const ( AlphaO , Alphal , Alpha2 , Alplia3)

2 i 1;

3 step 0.001;

4 min tl f 1 ;

5 mill t2 f | ;

6 zeroes_for_min f] ;

7

8 for 1112 step : step : pi - step

9 mill +inf ;

10 for tttl step : step : pi - step

11 res

12 ( Alpha0*cos(tttl)* cos(ttt2)- Alpha3*sin(tttl) *sin(ttt2))"2 +

13 ( Alphal*cos(tttl)* sin(ttt2) +Alpha2*sin(tttl) * cos(ttt 2))"2;

14

15 if (res < mill)

16 mill res ;

17 mill 11 ( i) tttl;

18 end

19 end

20

21 min_t2 (i) ttt 2;

22 zcrocs_for_min (i) 0;

23 i i+1;

24 end

25

26 mill tttl mill tl ;

27 mill ttt2 mill t2;

28

29 line(min tttl, min ttt2 , zeroes for min , 'Color', f0 .1 0.1 0.8 1);

30 end

33 function drawMaxLineWithT2Const (AlphaO , Alphal , Alpha2 , Alpha'!)

34 i 1;

35 step 0.001;

36 max_tl [1;

37 max_t2 f 1 ;

38 zcrocs_for_max [];

40 for 1112 step : step : pi - step

41 max - i n f ;

42 for tttl step:step : pi - step

43 r c s

44 ( Alpha0*cos (tttl )*cos (ttt2 ) - Alpha3 *sin(tttl)*sin(ttt2))~2 +

45 ( Alphal *cos (tttl )* sin (ttt2) + Alpha2*sin (tttl )*cos (ttt2 )) ~2;

47 i f ( r c s > max)

48 max res ;

49 max_tl(i) tttl;

50 end

51 end

53 max_t2(i) ttt 2 ;

54 zcrocs_for_max (i) 0;

55 i i+1;

56 end

58 max_tttl max_tl;

59 max_ttt2 max_t2 ;

61 line (max_tttl , max_ttt2 , zeroes_for_max , ' Color ' , [0.1 0.1 0.8]);

62 end

65 function drawMinLineWithTlConst (AlphaO , Alphal, Alpha2 , Alpha:!)

66 i 1;

67 step 0.001;

68 min_tl [1;

69 min_t2 [1;

70 zcrocs_for_min [] ;

72 for tttl step:step: pi - step

73 min +inf ;

74 for 1112 step:step : pi - step

75 r c s

76 ( Alpha0*cos (tttl )*cos (ttt2 ) - Alpha3 *sin(tttl)*sin(ttt2))~2 +

77 ( Alphal*cos (tttl )* sin (ttt2) + Alpha2*sin (tttl )*cos (ttt2 )) "2;

79 i f ( r c s < min)

80 min res ;

81 min_t2 ( i) ttt 2 ;

82 end

83 end

85 min_t 1 ( i ) tttl;

86 zcrocs_for_min (i) 0;

87 i i+1;

88 end

90 min_tttl min_tl ;

91 min_ttt2 min_t2 ;

93 line (min_tttl , min_ttt2 , zeroes_for_min , ' Color ' , [0.1 0.8 0.1]);

94 end

97 function drawMaxLincWithTlConst (AlphaO , Alphal, Alpha2 , Alpha3)

98 i 1;

99 step 0.001;

00 max_tl [1;

01 max_t2 [ 1 ;

02 zcrocs_for_max [];

04 for tttl step:step: pi - step

05 max - i n f ;

06 for 1112 step:step : pi - step

07 res

08 ( Alpha0*cos (tttl )*cos (ttt2 ) - Alpha3 *sin(tttl)*sin(ttt2))~2 +

09 ( Alphal*cos (tttl )* sin (ttt2) + Alpha2*sin (tttl )*cos (ttt2 )) ~2;

11 i f ( г с s > max)

12 max res ;

13 max_t2(i) ttt2 ;

14 end

15 end

17 max_tl(i) tttl;

18 zcrocs_for_max (i) 0;

19 i i+1;

20 end

22 max_tttl max_tl;

23 max_ttt2 max_t2 ;

25 line (max_tttl , max_ttt2 , zeroes_for_max , ' Color ' , [0.1 0.8 0.1]);

26 end

Функция вычисления наилучшего просветления для полученных значений вычислительных параметров а0,а\,а2,а3 с помощью метода углового сканирования и метода подвижного отрезка:

1 function calculateBest AR (AlphaO , Alphal, Alpha2 , Alpha3)

2 % Visible range for an t ircflcc t i vc

3 omega^l = 4*(10~(-9))

4 omega_2 = 7*(10~(-9))

6 array_ar_\vidth 0;

7 array_ar_min 0;

8 array_ar_max_to_min 0;

9 array_ar_omcga_l_2 0;

10 index 1;

11 steptl 0.001;

12 vl 0.02;

13 figure ;

15 % Start angle s e a n i n g

16 for angl 1:45

17 alpha_angel = (angl *pi ) / 180 ;

18 v2=vl*tan ( alpha^angel ) ;

19 V sqrt (vl"2+v2 "2);

21 t_omcga_l v/omcga_l;

22 last_t_omcga_l_indcx 0;

24 t_omcga_2 v/omcga_2;

25 last_t_omcga_2_indcx Ü;

27 array_ar_omcga_l_2 ( index , 1) t_omcga_l;

28 array_ar_omcga_l_2 ( index , 2) t_omcga_2;

30 tl 0: stept1 : pi-stept1 ;

31 t2 = 11 *tan ( alpha^angel ) ;

32 tt 11 /cos ( alpha_angcl ) ;

34 xl eos(tl);

35 x2 cos(t2 ) ;

36 vl sin ( tl ) ;

37 y 2 s i n ( 12 ) ;

39 result=(AlphaO.*xl. *x2-Alpha3.*vl. *v2) ."2+

40 ( Alphal. *xl.*y2+Alpha2.*yl.*x2) . "2;

42 figure ;

43 line(tt, result, 'Color',[0 0 0.8]);

44 line (f0 tt(length(tt))] , [Alpha0"2 AlphaO "2], 'Color',[0.8 0 0]);

46 min_rcsult result (1);

47 tt_start_ar 0;

48 is _ tt _st art _initcd 0;

49 is_tt_cnd_initcd 0;

50 tt_cnd_ar 0;

52 for i 1: length ( result )

53 if (min_rcsult > result (i))

54 min_rcsult result (i);