Исследование сверхпроводимости в квазиодномерных системах методом ренормгруппы для матрицы плотности тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Пиле Ян Эрнестович

• Пиле Ян Эрнестович
• кандидат наук
• 2026

Оглавление диссертации кандидат наук Пиле Ян Эрнестович

2.4.4 DMRG для конечных систем

2.4.5 DMRG в MPS-представлении

2.5 Модель

2.6 Физическая реализация модели Хаббарда с U < 0 и эксперименты

2.7 Вычислительные ресурсы

2.8 Выбор начального состояния

2.9 Построение большой канонической фазовой диаграммы

2.10 Оценка корректности выбранных параметров решетки

2.11 Фазовая диаграмма и непосредственная проверка FFLO-упорядочения

3 Размерный переход в сверхпроводящей фазе

3.1 Фазовые диаграммы при W >

3.2 Влияние амплитуды туннелирования между направляющими

3.3 Немонотонность границы раздела фаз FP-PP

3.4 Влияние граничных условий в поперечном направлении на вид фазовой диаграммы

4 Тримерные связанные состояния

4.1 Что такое тример

4.2 Экспериментальные и численные техники для обнаружения тримеров

4.3 Влияние тримеров на сверхпроводимость

4.4 Тримеры в модели Хаббарда

4.5 Тримеры на лестничных решетках

5 Приложение

5.1 Лестничная решетка с W =

5.2 Лестничная решетка с W =

5.3 Лестничная решетка с W = 3 с цилиндрическими граничными условиями ("тоблерон")

5.4 Лестничная решетка с W =

5.5 Лестничная решетка с W = 4 с цилиндрическими граничными условиями

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование сверхпроводимости в квазиодномерных системах методом ренормгруппы для матрицы плотности»

1 Введение

Квантовые жидкости в низких размерностях обнаруживают множество экзотических фаз, ярким примером которых является состояние Фульде-Феррелла-Ларкина-Овчинникова (FFLO) [1, 2]. В этом состоянии сверхпроводящий параметр порядка модулирован в пространстве за счет куперовского спаривания при ненулевом импульсе центра масс. Однозначное экспериментальное измерение состояния FFLO все еще не достигнуто, несмотря на то, что оно было предсказано более пятидесяти лет назад. Тем не менее, существует масса косвенных свидетельств [3] FFLO в экспериментах в CeCoIn5 во вращающемся магнитном поле [4], органических сверхпроводниках [5, 6], пниктидах [7] и купратах [8]. Прямое экспериментальное наблюдение состояния FFLO в конденсированных средах однако остается сложной задачей. Одна из причин, по которой фаза FFLO столь неуловима, заключается в том, что рассеяние на примесях может полностью подавить дальнее FFLO-упорядочение [9].

Наиболее многообещающей платформой для поиска FFLO-подобной физики являются ультрахолодные атомные газы, поскольку в них можно создавать достаточно чистые системы с высоким уровнем контроля над поляризацией, силой и знаком взаимодействия, а также геометрией модельной решетки. К настоящему моменту исследовано несколько различных геометрий ловушек: сферически-симметричные трехмерные (3D) ловушки [10, 11, 12], вытянутые сигарообразные ловушки [13, 14] и массивы трубок [15]. Из-за приложенного потенциала ловушки поляризованное газовое облако разделяется на неполяризованную (равные плотности носителей заряда с противоположными спинами, EQ) и частично поляризованную (PP) фазы, и газ PP является кандидатом на состояние FFLO. Фазовые границы между областями могут быть непосредственно измерены с помощью изображений in situ. Варьируя коэффициенты туннелирования между трубками, экспериментально можно исследовать переход поляризованных ферми-газов из Ш-подобного состояния в 3D-подобное. Непосредственный вывод из экспериментов состоит в том, что взаимное расположение состояний PP и EQ во внешнем потенциале инвертировано между 1D и 3D: в 3D фаза EQ занимает центр ловушки, а в 1D центром является PP, а EQ находится на границе [15].

Предельные случаи перехода 10-30 поляризованного двухкомпонентного ферми-газа относительно хорошо изучены с теоретической точки зрения. В трехмерном случае однородное поляризованное состояние с дальним упорядочением РРЬО стабильно только в узком диапазоне взаимодействий и поляризаций [16]. В двумерном (2Э) состоянии РРЬО считается стабильным в широком диапазоне параметров [17], включая режим легкого отклонения от половинного заполнения с малой спиновой поляризацией [18]. Исследования среднего поля [19] и моделирование Монте-Карло указывают на дополнительные возможности для конкуренции дальних порядков.(Обзор [20])

В Ш вся фаза РР имеет доминирующий алгебраический порядок, подобный РРЬО [21], и стабильна в широком диапазоне взаимодействий. Для одномерного газа в ловушке сценарий разделения фаз согласуется с экспериментами в сильно вытянутых сигарообразных ловушках [22]. После первоначальных теоретико-полевых исследований [21] и анзаца Бете [22] одномерный поляризованный ферми-газ был тщательно изучен с использованием метода ренормализационной группы для матрицы плотности (ЭМИО) [23, 24, 25, 26, 27] и моделирования методом квантового Монте-Карло (дМО) [ 28, 29, 3 ].

Квазиодномерные системы, в свою очередь, могут содержать особенности, не характерные ни для полностью одномерных систем, ни для систем в высших размерностях. Так в статье Дорохова [31] была разработана точно решаемая модель многоканальной локализации в неоднородных проводниках. Работа показала, что, в отличие от строго одномерных (Ш) систем, где все состояния экспоненциально локализованы при любом сколь угодно малом беспорядке [32], в квазиодномерных системах наблюдается более сложное поведение: беспорядок склонен локализовать электроны вдоль продольного направления, но поперечные переходы между каналами существенно изменяют длину локализации и приводят к появлению различных режимов переноса. В контексте взаимодействующих фермионных систем, таких как рассмотренные в настоящей работе [33], модель Хаббарда на лестничных решетках с несколькими направляющими также обнаруживает физику, отсутствующую в строго одномерных системах.

Переход из Ш в 3Э для поляризованных ферми-газов также изучался в приближении среднего поля (МЕЛ) [34, 35, 36]. Хотя подход МРЛ позволяет качествен-

но проследить основные особенности кроссовера, он не может уловить несколько качественных эффектов, наблюдаемых в экспериментах при низких плотностях, близких к одномерным пределам: МЕЛ искажает топологию большой канонической фазовой диаграммы в одномерном пределе [34, 36].

В данной работе рассмотрены системы с сильными корреляциями, выходящие за рамки приближения среднего поля в квазиодномерном режиме. С этой целью изучается квазиодномерная модель Хаббарда с притягивающим взаимодействием на широких лестницах (до ширины 5). Использован численно устойчивый метод ЭМИС [37, 38]. Полученные результаты для лестничных решеток с двумя и тремя направляющими согласуются с предыдущими работами [23] и [39]. С рассмотрением решеток с большим количеством направляющих прослеживается эволюция большой канонической фазовой диаграммы при Т = 0 для квазиодномерных геометрий от строго одномерного предела к высшим измерениям. Также стоит отметить, что рассмотрение широких лестничных решеток (с плоской или цилиндрической геометрией в перпендикулярном направлении) только недавно стало возможным с вычислительной точки зрения и в последнее время используется для ряда задач, связанных с вариантами модели Хаббарда с отталкивательным взаимодействием [40, 41, 42].

Положения, выносимые на защиту

• Разработан численный метод исследования РРЬО-подобного упорядочения частично поляризованной фазы в квазиодномерной модели Хаббарда на лестничной решетке. В результате проведенного математического моделирования показано, что упорядочение сопровождается пространственными осцилляци-ями сверхпроводящего параметра порядка с периодом, отличным от одномерного случая.

• Разработан комплекс программ, позволяющий моделировать квазиодномерную модель Хаббарда с помощью численного метода ЭМИС.

• В рамках математического моделирования системы проведен анализ изменения структуры атомного облака, описываемого моделью Хаббарда, во внешнем потенциале при переходе от строго одномерного случая к квазиодномер-

ному. Установлено, что для одномерной конфигурации центральная область ловушки соответствует частично поляризованной фазе, окруженной неполя-ризованной сверхпроводящей фазой с БКШ-упорядочением. В квазиодномерной конфигурации выявлена трёхслойная структура облака: центральная область характеризуется БКШ-упорядочением, внешний слой соответствует частично поляризованной фазе (тО), а границы облака — полностью поляризованной фазе. Проведено сравнение с результатами экспериментальных данных.

• С помощью разработанного комплекса программ, реализующего численный метод ЭМИС исследовано формирование связанных состояний трех частиц (тримеров) в квазиодномерных системах с дисбалансом масс носителей заряда, описываемых моделью Хаббарда. Установлено, что тримеры проявляют себя при соотношении плотностей 1:2, аналогично одномерному случаю, однако при удалении от Ш геометрии тримерная щель исчезает, что приводит к подавлению их влияния на сверхпроводящий параметр порядка.

Задачи исследования

• Разработка и численная реализация метода анализа РРЬО-подобного упорядочения в квазиодномерной модели Хаббарда на лестничной решетке.

• Математическое моделирование фазовой структуры атомного облака в модели Хаббарда во внешнем потенциале при переходе от строго одномерного к квазиодномерному случаю.

• Изучение формирования связанных состояний трех частиц (тримеров) в квазиодномерной модели Хаббарда с дисбалансом масс носителей заряда на основе математического моделирования с использованием численного метода

ЭМИО.

• Анализ фазовой диаграммы и мультикритических точек в квазиодномерной модели Хаббарда.

Полученные результаты

• Область устойчивости частично поляризованной фазы, кандидата на РРЬО, достаточно велика для всех рассмотренных значений W. Это не совпадает с ожиданиями для трехмерного случая, где состояние РРЬО стабильно только в узкой области фазовой диаграммы при малых числах заполнения.

• Границы раздела частично поляризованной (РР), полностью поляризованной (РР) и неполяризованной фаз (Ед) пересекаются для каждого W в одной единственной мультикритической точке О. Такое поведение контрастирует с расчетами в приближении среднего поля [34, 35, 36], где мультикритическая точка расщепляется. Это расщепление является явным численным артефактом приближения среднего поля, которое, таким образом, становится ненадежным в квазиодномерном случае в режиме сильной связи, в отличие от ЭМИО, которое в этом режиме применимо.

• Получены графики сверхпроводящих корреляций при соизмеримых и несоизмеримых плотностях носителей заряда в случае с одинаковыми и различными амплитудами туннелирования для лестниц с 2-5 направляющими в мо-

дели Хаббарда. Осцилляции на графике сверхпроводящих корреляций подтверждают тО-подобный режим в квазиодномерном случае.

• Для случая спин-зависящих амплитуд туннелирования качественно подтвержден вывод о том, что с переходом от строго одномерного режима к квазиодномерному влияние связанных состояний трех частиц (тримеров) на сверхпроводимость снижается. Кроме того, показано, что с ростом числа заполнения, тримерная щель уменьшается, что говорит о влиянии тримеров лишь при малых числах заполнения.

• Качественная разница между строго одномерной цепочкой, W = 1, и квазиодномерной геометрией, W > 1, на фазовой диаграмме видна невооруженным глазом для малых чисел заполнения, то есть вблизи мультикритической точки О. В одномерном случае й^/йН отрицательный, а при W > 1 наклон й^/йН положительный. Он определяет характер пространственной структуры атомного облака во внешнем потенциале. Для границы EQ-PP, расположенной левее О, это приводит к тому, что частично поляризованная фаза занимает центр ловушки и окружена "крыльями" EQ. Для границы EQ-PP, расположенной правее точки О, предсказание представляет собой трёхслойную структуру: центр ловушки — EQ, следующий внешний слой — частично поляризованная фаза, а внешние границы - полностью поляризованная фаза. Именно такой характер изменения структуры облака наблюдался экспериментально [15] путем изменения обменных интегралов между соседними вытянутыми ловушками — и предложенный в настоящей работе расчет улавливает эти особенности структуры облака. Отметим, что такое изменение поведения ранее наблюдалось при моделировании [39] для W = 2 и W = 3. Основной вывод, который можно сделать из моделирования W = 4 и W = 5, заключается в том, что изменение знака — это не численный артефакт, а устойчивый эффект, который проявляется немедленно при уходе от строго одномерного случая.

Научная новизна

• Впервые построены большие канонические фазовые диаграммы для лестничных решеток в модели Хаббарда с ширинами решеток 4 и 5, а также решеток с ширинами 3 и 4 при периодических граничных условиях в поперечном направлении.

• Впервые продемонстрировано РРЬО-подобное поведение в квазиодномерном случае при ширине лестницы больше двух путем прямого моделирования сверхпроводящей корреляционной функции.

• Численно обнаружено формирование тримеров на лестничных решетках при сильном контактном взаимодействии и дисбалансе масс, а также их разрушение с переходом к 2Э.

Личный вклад автора в разработку проблемы

Идеи и гипотезы, рассматриваемые в диссертации, были выдвинуты совместно с научным руководителем. Автор диссертации самостоятельно разработал программный код, провел вычислительные эксперименты, обработал их результаты, а также участвовал в написании текстов статей и лично докладывал результаты на конференциях.

Апробация результатов исследования (конференции, научные публикации)

Статьи:

• Potapova A., Pile I., Burovski E., Quasi-one-Dimensional Polarized Superfluids: A DMRG Study // Supercomputing. RuSCDays 2022 / Ed. by V. Voevodin, S. Sobolev, M. Yakobovskiy, R. Shagaliev. — Cham : Springer, 2022. (Lecture Notes in Computer Science; Vol. 13708). — P. 22. — DOI: https://doi.org/10.1007/

-1_22. (WoS Q2/Белый список)

• Potapova A., Pile I., Yi T., Mondaini R., Burovskiy E. Dimensional crossover on multileg attractive-U Hubbard ladders // Physical Review A: Atomic, Molecular, and Optical Physics. — 2023. — Vol. 107, No. 5. — Art. 053301. — DOI: https: //doi.org/10.1103/PhysRevA.107.053301. (WoS Ql/Белый список К1)

• Yi T.-C., Cheng S., Pile I., Burovski E., Mondaini R. Two-dimensional polarized superfluids under the prism of the fermion sign problem // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. — 2024. — Vol. 110. — Art. 085131. — DOI: https://doi.org/10.1103/PhysRevB.110.085131. (WoS Q1/Белый список К1)

• Pile I., Burovski E. Superconductivity and trimers on attractive-U Hubbard ladders [Электронный ресурс]. — 2025. — Препринт. — URL: https://doi. org/10.48550/arXiv.2504.21630 (Communications in Computer and Information Science)

Выступления на конференциях:

• Влияние поперечной амплитуды перескока на профиль фазовой диаграммы в модели Хаббарда, А.С. Потапова, Я.Э. Пиле, Межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В. Арменского, 2021г., Москва.

• Ферми-полярон на лестнице с двумя направляющими в модели Хаббарда, А.С. Потапова, Я.Э. Пиле, Межвузовская научно-техническая конференция

студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В. Арменского, 2021г., Москва.

• 1D-to-3D crossover on multileg attractive-U Hubbard ladders (Poster) Anastasia Potapova (with Ian Pile and Evgeni Burovski), 22nd International NTZ-Workshop on New Developments in Computational Physics, Institut für Theoretische Physik, Universitat Leipzig, Germany 25-27 November 2021.

• 1D-to-3D crossover on multileg attractive-U Hubbard ladders, Ian Pile, APS March Meeting 2022.

• Dimensional crossover on multileg attractive-U Hubbard ladders, 23rd International NTZ-Workshop on New Developments in Computational Physics, Institut für Theoretische Physik, Universitat Leipzig, Germany 24-26 November 2022.

• Связанные состояния в модели Хаббарда на лестничных решетках, Ян Пиле, Межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В.Арменского, 2023г., Москва.

• Влияние связанных состояний на сверхпроводимость в модели Хаббарда на лестничных решетках, Ян Пиле, Межвузовская научно-техническая конференция студентов, аспирантов и молодых специалистов им. Е.В.Арменского, 2024г., Москва (Диплом победителя конференции).

• Ian Pile, Evgeni Burovski Superconductivity and trimers on attractive-U Hubbard ladders. Parallel Supecomputing Technologies 2025.

Зарегистрированное программное обеспечение:

• Программа для ЭВМ - "Программа для оценки энергии основного состояния и корреляционных функций в модели Хаббарда" - Номер РИД: 5.0014-2025

2 Экзотические сверхпроводящие фазы

Экзотические фазы материи, возникающие из-за сильных корреляций в низкоразмерных системах, являются одной из центральных тем в физике конденсированных сред. Пространственные ограничения систем (одномерные цепочки, плоские 2Э-системы) усиливают квантовые флуктуации и электрон-электронные взаимодействия, что приводит к явлениям, которые отсутствуют или менее значительно выражены в материалах с более высокой размерностью [43, 44]. Понимание этих явлений представляет не только фундаментальный интерес, но и имеет решающее значение для разработки будущих технологий, таких как квантовые компьютеры и другие передовые электронные устройства [45, 46]. В одномерных (Ш) системах традиционная теория Ферми-жидкости оказывается не в состоянии корректно описать поведение взаимодействующих электронов. Альтернативой является модель жидкости Томонаги-Латтинжера [4' , 48] (ТЫ) описывающая состояния, в которых возбуждения являются коллективными модами, а не отдельными квазичастицами. Экспериментальные доказательства поведения электронов как жидкости Томонаги-Латтинжера наблюдались в углеродных нанотрубках [49], полупроводниковых квантовых проводах [50] и краевых состояниях в системах с дробным квантовым эффектом Холла [51]. Двумерные (2Э) материалы также демонстрируют богатое разнообразие экзотических фаз из-за наличия сильных корреляций и ограниченной размерности. Так высокотемпературная сверхпроводимость в купратах и сверхпроводниках на основе железа является ярким примером, где нетрадиционные механизмы спаривания возникают из-за сильных электронных корреляций вблизи изолирующего Моттовского состояния [52, 53]. Более того, открытие сверхпроводимости и скоррелированных состояний-изоляторов в скрученном бислое графена открыло новые пути для изучения муаровых систем [54, 55]. Дробный квантовый эффект Холла (ДКЭХ) также является одним из феноменов, связанных с сильными корреляциями в двумерных электронных системах в сильных магнитных полях. Образование несжимаемых квантовых жидкостей с дробно заряженными возбуждениями хорошо описывается волновой функцией Лафлина [56], а неабелевы анионы в определенных состояниях ДКЭХ могут стать платформой для отказоустойчивых топологических квантовых вычислений [57].

Квантовые спиновые жидкости (КСЖ) представляют собой класс экзотических магнитных состояний, где фрустрация и квантовые флуктуации препятствуют установлению обычного магнитного порядка даже при нулевой температуре [58]. Такие материалы, как гербертсмитит и а-КиС13, интенсивно изучались как потенциальные реализации КСЖ, что позволяет лучше понять квантовую запутанность и дробно заряженные возбуждения в сильно коррелированных системах [59, 60]. Несмотря на значительные достижения, все еще остается много открытых вопросов. Механизмы, лежащие в основе нетрадиционной сверхпроводимости, роль топологии в коррелированных системах и природа квантовых фазовых переходов в низких измерениях далеко не полностью изучены [61, 62]. Отдельно стоит упомянуть значительное количество явлений, связанных непосредственно с нестандартными механизмами сверхпроводимости.

2.1 Спин—триплетные сверхпроводники

Спин-триплетные сверхпроводники представляют собой класс сверхпроводников, в которых куперовские пары образуются с параллельными спинами, в отличие от спин-синглетного спаривания, обнаруженного в стандартных сверхпроводниках, описываемых теорией Бардина-Купера-Шриффера [63]. При спин-триплетном механизме сверхпроводимости куперовские пары обладают общим спиновым квантовым числом S = 1, а механизм спаривания часто опосредован ферромагнитными взаимодействиями или сильной спин-орбитальной связью, а не фононами, как в стандартных сверхпроводниках. Есть вероятность, что такие сверхпроводники могут быть платформой для таких экзотических квазичастиц, как Майорановские фермионы, которые потенциально значимы для топологических квантовых вычислений [64]. Одним из наиболее хорошо изученных примеров спин-триплетных сверхпроводников является сверхтекучий гелий-3 (3Ие), где куперовские пары образуются в р-волновой конфигурации с параллельными спинами, что приводит к комплекснозначному параметру порядка, который нарушает сразу несколько симметрий [65]. Среди твердотельных сверхпроводников наиболее перспективным кандидатом на спин-триплетную сверхпроводимость является Б^КиО^ в котором экспериментальные данные свидетельствуют в пользу р-волнового спаривания электронов, аналогичного обнаруженному в 3Ые [66], однако недавние экспери-

менты с использованием ядерного магнитного резонанса (ЯМР) и других методов снова подняли вопросы о характере спаривания в Sr2RuO4, что говорит об отсутствии согласованности выводов [67]. Другим классом кандидатов на роль спин-триплетных сверхпроводников являются соединения с "тяжелыми" фермионами на основе урана, такие как UPt3 и UGe2 , где неконвенциональная сверхпроводимость сосуществует с ферромагнетизмом. В этих материалах считается, что спин-триплетное спаривание стабилизируется за счет сильных ферромагнитных флук-туаций, что приводит к множественным сверхпроводящим фазам с различными симметриями [68]. Ферромагнитные сверхпроводники, такие как UGe2 и URhGe, представляют особый интерес, поскольку они бросают вызов общепринятому пониманию того, что ферромагнетизм и сверхпроводимость являются взаимоисключающими. В этих системах наличие параллельного выравнивания спинов в ферромагнитном состоянии, как полагают, способствует образованию спин-триплетных куперовских пар [68]. Кроме того, достижения в экспериментальных методах, таких как сканирующая туннельная микроскопия (СТМ), фотоэмиссионная спектроскопия с угловым разрешением (ARPES) и мюонная спиновая спектроскопия (^SR) позволили расширить понимание природы и механизмов образования спин-триплетных куперовских пар. Например, с помощью ^SR измерений была изучена структура магнитного поля в триплетном сверхпроводнике Sr2RuO4 [69]. Помимо этого индуцированная близостью триплетная сверхпроводимость наблюдалась в гибридных структурах сверхпроводник-ферромагнетик, где спин-триплетные состояния образуются на границе между обычным сверхпроводником s-типа и ферромагнетиком [70]. Спин-триплетные сверхпроводники важны не только для понимания фундаментальных аспектов нетрадиционной сверхпроводимости, но и для приложений в квантовых технологиях. Утверждается, что в спин-триплетных сверхпроводниках могут образовываться Майорановские связанные состояния — топологически защищенные моды с нулевой энергией, которые могут быть использованы в качестве объекта для отказоустойчивых квантовых вычислений [71].

2.2 Упорядочение по проекции (Order by Projection)

В системе взаимодействующих фермионов, близкой к половинному заполнению, определенный сверхпроводящий канал образования куперовских пар может быть

усилен путем подавления конкурирующего канала. Примером может быть усиление s-волновых корреляций при одновременном подавлении s-волнового канала образования пар. Это явление, первоначально обнаруженное с использованием обобщенных соотношений неопределенности, называется упорядочением по проекции (Order by Projection). Случай нулевого локального кулоновского взаимодействия в термодинамическом пределе подтверждает этот механизм непосредственным аналитическим решением. В качестве модельного примера этот механизм может быть воспроизведен в однозонной модели Хаббарда [72], с применением принципа неопределенности [73]. Он обеспечивает ограничение снизу на произведение флуктуаций двух сопряженных физических величин, наиболее известный пример был кратко выражен неравенством Гейзенберга ДхДр > h/2. В сильно коррелированных электронных системах было обнаружено, что куперовские пары с различной симметрией могут образовывать пары «сопряженных величин», такие как расширенные куперовские пары s-волн и куперовские пары s-волн на d-мерной гиперкубической решетке [74]. По аналогии с неравенством для координаты и импульса, парные корреляции расширенных куперовских пар s-волн могут быть усилены посредством подавления s-волновых куперовских пар, что образует "сжатое состояние сверхпроводимости". Именно этот механизм и назван упорядочением по проекции, первоначально введенным Шастри [74].

2.3 Фаза Фульде—Феррелла—Ларкина—Овчинникова

Классическая теория Бардина-Купера-Шриффера [63] объясняет микроскопический механизм сверхпроводимости, в котором куперовские пары образуются из электронов с противоположными спинами из-за притягивающего фононного взаимодействия. В обычной картине БКШ куперовская пара имеет нулевой импульс центра масс. Одним из вариантов сверхпроводящих фаз, не вписывающихся в теорию БКШ, является состояние Фульде-Феррелла-Ларкина-Овчинникова (FFLO), которое характеризуется образованием куперовских пар с ненулевым импульсом центра масс. Состояние FFLO также характеризуется пространственно модулированным сверхпроводящим параметром порядка.

Будучи впервые предсказанным в 1960-х годах, состояние FFLO представляет большой интерес из-за его необычных свойств в присутствии сильных магнит-

ных полей. Фаза тЮ была предложена Фульде и Ферреллом [1] и независимо Ларкиным и Овчинниковым [2] как решение проблемы разрушения сверхпроводимости в больших магнитных полях. Обычные сверхпроводники чувствительны к магнитным полям из-за Зеемановского расщепления, которое приводит к разрушению куперовских пар путем выравнивания электронных спинов. Однако в состоянии тЮ куперовские пары образуются с ненулевым импульсом центра масс, что приводит к неоднородному сверхпроводящему параметру порядка. Значительные успехи в области экспериментальных методов охлаждения и удержания ультрахолодных газов в оптических решетках позволяют экспериментально создавать сильно связанные квантовые системы, которые с большой точностью описываются модельными гамильтонианами. В отличие от традиционных реализаций таких экспериментальных образцов в твердых телах, модельные системы на оптических решетках обеспечивают беспрецедентный уровень контроля над параметрами системы, такими как геометрия решетки, сила и характер взаимодействия между частицами, амплитуды туннелирования и степень поляризации. В последние два десятилетия активно изучались различные конфигурации Фермии Бозе-модели Хаббарда. Среди экспериментальных достижений стоит выделить наблюдение антиферромагнитного порядка в 2Э-модели Хаббарда [75 , 76], реализацию расширенной модели Бозе-Хаббарда [77], наблюдение поведения поля-рона в гетерогенной смеси бозонных атомов [78], контролируемое исследование перехода между квазиодномерным и трехмерным поведением поляризованного сверхпроводника[15] и прямое наблюдение магнитно-опосредованного спаривания дырок на лестничных решетках Ферми-Хаббарда [79]. Особый интерес для возможных реализаций квантовых технологий представляет изучение низкоразмерных сильно коррелированных систем, поскольку ограничение системы в пространстве часто усиливает квантово-механические эффекты.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Пиле Ян Эрнестович, 2026 год

Список литературы

[1] P. Fulde and R. A. Ferrell. Superconductivity in a strong spin-exchange field. Physical Review, 135:A550-A563, 1964.

[2] A. I. Larkin and Yu. N. Ovchinnikov. Nonuniform state of superconductors. Soviet Physics JETP, 20:762-769, 1965.

[3] D. F. Agterberg et al. The physics of pair-density waves: Cuprate superconductors and beyond. Annual Review of Condensed Matter Physics, 11:231-270, 2020.

[4] S. Z. Lin, D. Y. Kim, E. D. Bauer, F. Ronning, J. D. Thompson, and R. Movshovich. Interplay of the spin density wave and a possible fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov state in cecoins in rotating magnetic field. Physical Review Letters, 124:217001, 2020.

[5] J. Wosnitza. Fflo states in layered organic superconductors. Annalen der Physik, 530(5):1700282, 2018.

[6] S. Imajo, T. Kobayashi, A. Kawamoto, K. Kindo, and Y. Nakazawa. Thermodynamic evidence for the formation of a fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov phase in the organic superconductor Л — (bets)2gad4. Physical Review B, 103:L220501, 2021.

[7] C. W. Cho, J. H. Yang, N. F. Q. Yuan, J. Shen, T. Wolf, and R. Lortz. Thermodynamic evidence for the fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov state in the kfe2as2 superconductor. Physical Review Letters, 119:217002, 2017.

[8] Z. Du, H. Li, S. H. Joo, E. P. Donoway, J. Lee, J. C. S. Davis, G. Gu, P. D. Johnson, and K. Fujita. Imaging the energy gap modulations of the cuprate pair-density-wave state. Nature, 580:65-70, 2020.

[9] K. W. Song and A. E. Koshelev. Quantum fflo state in clean layered superconductors. Physical Review X, 9:021025, 2019.

[10] Y. Shin, M. W. Zwierlein, C. H. Schunck, A. Schirotzek, and W. Ketterle. Observation of phase separation in a strongly interacting imbalanced fermi gas. Physical Review Letters, 97:030401, 2006.

[11] M. W. Zwierlein, A. Schirotzek, C. H. Schunck, and W. Ketterle. Fermionic superfluidity with imbalanced spin populations. Science, 311:492, 2006.

[12] M. W. Zwierlein, C. H. Schunck, A. Schirotzek, and W. Ketterle. Direct observation of the superfluid phase transition in ultracold fermi gases. Nature, 442:54, 2006.

[13] G. B. Partridge, W. Li, R. I. Kamar, Y. an Liao, and R. G. Hulet. Pairing and phase separation in a polarized fermi gas. Science, 311:503, 2006.

[14] Y. A. Liao, A. S. C. Rittner, T. Paprotta, W. Li, G. B. Partridge, R. G. Hulet, S. K. Baur, and E. J. Mueller. Spin-imbalance in a one-dimensional fermi gas. Nature, 467:567-569, 2010.

[15] M. C. Revelle, J. A. Fry, B. A. Olsen, and R. G. Hulet. 1d to 3d crossover of a spin-imbalanced fermi gas. Physical Review Letters, 117:235301, 2016.

[16] D. E. Sheehy and L. Radzihovsky. Bec-bcs crossover in "magnetized"feshbach-resonantly paired superfluids. Physical Review Letters, 96:060401, 2006.

[17] Jan Gukelberger, Sebastian Lienert, Evgeny Kozik, Lode Pollet, and Matthias Troyer. Fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov pairing as leading instability on the square lattice. Physical Review B, 94:075157, 2016.

[18] E. Vitali, P. Rosenberg, and S. Zhang. Exotic superfluid phases in spin-polarized fermi gases in optical lattices. Physical Review Letters, 128:203201, 2022.

[19] A. Datta, K. Yang, and A. Ghosal. Fate of a strongly correlated d-wave superconductor in a zeeman field: The fulde-ferrel-larkin-ovchinnikov perspective. Physical Review B, 100:035114, 2019.

[20] Jami J. Kinnunen, Jildou E. Baarsma, Jani-Petri Martikainen, and Paivi Torma. The fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov state for ultracold fermions in lattice and harmonic potentials: a review. Rep. Prog. Phys., 81:046401, 2018.

[21] Kun Yang. Inhomogeneous superconducting state in quasi-one-dimensional systems. Physical Review B, 63:140511, 2001.

[22] G. Orso. Attractive fermi gases with unequal spin populations in highly elongated traps. Physical Review Letters, 98:070402, 2007.

[23] A. E. Feiguin and F. Heidrich-Meisner. Pair correlations of a spin-imbalanced fermi gas on two-leg ladders. Physical Review Letters, 102:076403, 2009.

[24] M. Rizzi, M. Polini, M. A. Cazalilla, M. R. Bakhtiari, M. P. Tosi, and R. Fazio. Fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov pairing in one-dimensional optical lattices. Phys. Rev. B, 77:245105, 2008.

[25] M. Tezuka and M. Ueda. Density-matrix renormalization group study of trapped imbalanced fermi condensates. Phys. Rev. Lett., 100:110403, 2008.

[26] F. Heidrich-Meisner, A. E. Feiguin, U. Schollwock, and W. Zwerger. Bcs-bec crossover and the disappearance of fulde-ferrell-larkin-ovchinnikov correlations in a spin-imbalanced one-dimensional fermi gas. Phys. Rev. A, 81:023629, 2010.

[27] F. Heidrich-Meisner, G. Orso, and A. E. Feiguin. Phase separation of trapped spin-imbalanced fermi gases in one-dimensional optical lattices. Phys. Rev. A, 81:053602, 2010.

[28] G. G. Batrouni, M. H. Huntley, V. G. Rousseau, and R. T. Scalettar. Exact numerical study of pair formation with imbalanced fermion populations. Phys. Rev. Lett., 100:116405, 2008.

[29] M. Casula, D. M. Ceperley, and E. J. Mueller. Quantum monte carlo study of one-dimensional trapped fermions with attractive contact interactions. Phys. Rev. A, 78:033607, 2008.

[30] M. J. Wolak, V. G. Rousseau, C. Miniatura, B. Gremaud, R. T. Scalettar, and G. G. Batrouni. Finite-temperature quantum monte carlo study of the one-dimensional polarized fermi gas. Physical Review A, 82:013614, 2010.

[31] O. N. Dorokhov. Solvable model of multichannel localization. Phys. Rev. B, 37:10526-10529, 1988.

[32] P. W. Anderson. Absence of diffusion in certain random lattices. Phys. Rev., 109:1492-1492, 1958.

[33] Anastasia Potapova, Ian Pile, Tian-Cheng Yi, Rubem Mondaini, and Evgeni Burovski. Dimensional crossover on multileg attractive-Hubbard ladders. Phys. Rev. A, 107(5):053301, 2023.

[34] M. M. Parish, S. K. Baur, E. J. Mueller, and D. A. Huse. Quasi-one-dimensional polarized fermi superfluids. Phys. Rev. Lett., 99:250403, 2007.

[35] K. Sun and C. J. Bolech. Pair tunneling, phase separation, and dimensional crossover in imbalanced fermionic superfluids in a coupled array of tubes. Phys. Rev. A, 87:053622, 2013.

[36] B. Sundar, J. A. Fry, M. C. Revelle, R. G. Hulet, and K. R. A. Hazzard. Spin-imbalanced ultracold fermi gases in a two-dimensional array of tubes. Physical Review A, 102:033311, 2020.

[37] Steven R. White. Density matrix formulation for quantum renormalization groups. Physical Review Letters, 69:2863-2866, 1992.

[38] U. Schollwock. The density-matrix renormalization group. Reviews of Modern Physics, 77:259-315, 2005.

[39] E. Burovski, R. Ikhsanov, A. Kuznetsov, and M. Kagan. Phase diagrams of polarized ultra-cold gases on attractive-u hubbard ladders. Journal of Physics: Conference Series, 1163:012046, 2019.

[40] A. Kantian, M. Dolfi, M. Troyer, and T. Giamarchi. Understanding repulsively mediated superconductivity of correlated electrons via massively parallel density matrix renormalization group. Phys. Rev. B, 100:075138, 2019.

[41] K.S. Huang, Zh. Han, S.A. Kivelson, and H. Yao. Pair-density-wave in the strong coupling limit of the holstein-hubbard model. arXiv, 2021.

[42] C.-M. Chung, M. Qin, S. Zhang, U. Schollwock, and S.R. White. Plaquette versus ordinary d-wave pairing in the t'-hubbard model on a width 4 cylinder. Phys. Rev. B, 102:041106, 2020.

[43] Masatoshi Imada, Atsushi Fujimori, and Yoshinori Tokura. Metal-insulator transitions. Reviews of Modern Physics, 70(4):1039-1263, 1998.

[44] Thierry Giamarchi. Quantum Physics in One Dimension. Oxford University Press, 2004.

[45] Yoshinori Tokura, Masashi Kawasaki, and Naoto Nagaosa. Emergent functions of quantum materials. Nature Physics, 13(11):1056-1068, 2017.

[46] D. N. Basov, R. D. Averitt, and D. Hsieh. Towards properties on demand in quantum materials. Nature Materials, 16(11):1077-1088, 2017.

[47] Sin-itiro Tomonaga. Remarks on bloch's method of sound waves applied to many-fermion problems. Progress of Theoretical Physics, 5(4):544-569, 1950.

[48] J. M. Luttinger. An exactly soluble model of a many-fermion system. Journal of Mathematical Physics, 4(9):1154-1162, 1963.

[49] Marc Bockrath, David H. Cobden, Jia Lu, Andrew G. Rinzler, Richard E. Smalley, Leon Balents, and Paul L. McEuen. Luttinger-liquid behaviour in carbon nanotubes. Nature, 397(6720):598-601, 1999.

[50] O. M. Auslaender, H. Steinberg, A. Yacoby, Y. Tserkovnyak, B. I. Halperin, K. W. Baldwin, L. N. Pfeiffer, and K. W. West. Spin-charge separation and localization in one dimension. Science, 308(5718):88-92, 2005.

[51] M. Grayson, D. C. Tsui, L. N. Pfeiffer, K. W. West, and A. M. Chang. Continuum of chiral luttinger liquids at the fractional quantum hall edge. Physical Review Letters, 80(5):1062-1065, 1998.

[52] Patrick A. Lee, Naoto Nagaosa, and Xiao-Gang Wen. Doping a mott insulator: Physics of high-temperature superconductivity. Reviews of Modern Physics, 78(1):17-85, 2006.

[53] D. J. Scalapino. A common thread: The pairing interaction for unconventional superconductors. Reviews of Modern Physics, 84(4):1383-1417, 2012.

[54] Yuan Cao, Valla Fatemi, Shiang Fang, Kenji Watanabe, Takashi Taniguchi, Efthimios Kaxiras, and Pablo Jarillo-Herrero. Unconventional superconductivity in magic-angle graphene superlattices. Nature, 556(7699):43-50, 2018.

[55] Matthew Yankowitz, Shaowen Chen, Hryhoriy Polshyn, Yuxuan Zhang, Kenji Watanabe, Takashi Taniguchi, David Graf, Andrea F. Young, and Cory R. Dean. Tuning superconductivity in twisted bilayer graphene. Science, 363(6431):1059-1064, 2019.

[56] R. B. Laughlin. Anomalous quantum hall effect: An incompressible quantum fluid with fractionally charged excitations. Physical Review Letters, 50(18):1395-1398, 1983.

[57] Chetan Nayak, Steven H. Simon, Ady Stern, Michael Freedman, and Sankar Das Sarma. Non-abelian anyons and topological quantum computation. Reviews of Modern Physics, 80(3):1083-1159, 2008.

[58] Leon Balents. Spin liquids in frustrated magnets. Nature, 464(7286):199-208, 2010.

[59] Tian-Heng Han, Joel S. Helton, Shaoyan Chu, Daniel G. Nocera, Jose A. Rodriguez-Rivera, Collin Broholm, and Young S. Lee. Fractionalized excitations in the spin-liquid state of a kagome-lattice antiferromagnet. Nature, 492(7429):406-410, 2012.

[60] Arnab Banerjee, Jiaqiang Yan, Johannes Knolle, Craig A. Bridges, Matthew B. Stone, Mark D. Lumsden, David G. Mandrus, David A. Tennant, Roderich Moessner, and Stephen E. Nagler. Proximate kitaev quantum spin liquid behaviour in a honeycomb magnet. Nature Materials, 15(7):733-740, 2016.

[61] Subir Sachdev. Quantum Phase Transitions. Cambridge University Press, 2nd edition, 2011.

[62] Xiao-Gang Wen. Colloquium: Zoo of quantum-topological phases of matter. Reviews of Modern Physics, 89(4):041004, 2017.

[63] John Bardeen, Leon N. Cooper, and J. Robert Schrieffer. Theory of superconductivity. Physical Review, 108(5):1175-1204, 1957.

[64] Masatoshi Sato and Satoshi Fujimoto. Topological phases of noncentrosymmetric superconductors: Edge states, majorana fermions, and non-abelian statistics. Physical Review B, 79(9):094504, 2009.

[65] D. Vollhardt and P. Wolfle. The Superfluid Phases of Helium 3. Taylor & Francis, 1990.

[66] A. P. Mackenzie and Yoshiteru Maeno. The superconductivity of sr2ruo4 and the physics of spin-triplet pairing. Reviews of Modern Physics, 75(2):657-712, 2003.

[67] A. Pustogow, Yongkang Luo, A. Chronister, Y. Su, D. A. Sokolov, F. Jerzembeck, A. P. Mackenzie, C. W. Hicks, N. Kikugawa, S. Raghu, E. D. Bauer, and S. E. Brown. Constraints on the superconducting order parameter in sr2ruo4 from oxygen-17 nuclear magnetic resonance. Nature, 574(7776):72-75, 2019.

[68] Dai Aoki, Kenji Ishida, and Jacques Flouquet. Review of u-based ferromagnetic superconductors: Comparison between uge2, urhge, and ucoge. Journal of the Physical Society of Japan, 88(2):022001, 2019.

[69] G. M. Luke, Y. Fudamoto, K. M. Kojima, M. I. Larkin, J. Merrin, B. Nachumi, Y. J. Uemura, Y. Maeno, Z. Q. Mao, Y. Mori, and H. Nakamura. Time-reversal symmetry-breaking superconductivity in sr2ruo4. Nature, 394(6693):558-561, 1998.

[70] R. S. Keizer, S. T. B. Goennenwein, T. M. Klapwijk, G. Miao, G. Xiao, and A. Gupta. A spin triplet supercurrent through the half-metallic ferromagnet cro2. Nature, 439(7078):825-827, 2006.

[71] Catherine Kallin. Chiral p-wave order in sr2ruo4. Reports on Progress in Physics, 79(5):054502, 2016.

[72] S. Li, C. Peng, Y. Yu, B. S. Shastry, and C. Jia. Order by projection in singleband hubbard model: a dmrg study. arXiv preprint, 2024.

[73] Werner Heisenberg. Über den anschaulichen inhalt der quantentheoretischen kinematik und mechanik. Zeitschrift für Physik, 43:172-198, 1927.

[74] B. Sriram Shastry. Uncertainty principle enhanced pairing correlations in projected fermi systems near half filling. Journal of Physics A: Mathematical and General, 30(21):L635, 1997.

[75] A. Mazurenko, C. S. Chiu, G. Ji, M. F. Parsons, M. Kanasz-Nagy, R. Schmidt, F. Grusdt, E. Demler, D. Greif, and Markus Greiner. A cold fermi-hubbard antiferromagnet. Nature, 545:462-466, 2017.

[76] R. A. Hart, P. M. Duarte, T.-L. Yang, X. Liu, T. Paiva, E. Khatami, R. T. Scalettar, N. Trivedi, D. A. Huse, and R. G. Hulet. Observation of antiferromagnetic correlations in the hubbard model with ultracold atoms. Nature, 519(7542):211-214, 2015.

[77] S. Baier, M. J. Mark, D. Peter, K. Aikawa, L. Chomaz, Z. Cai, M. Baranov, P. Zoller, and F. Ferlaino. Extended bose-hubbard models with ultracold magnetic atoms. Science, 352:201-205, 2016.

[78] M.-G. Hu, M. J. van de Graaff, D. Kedar, J. P. Corson, E. A. Cornell, and D. S. Jin. Bose polarons in the strongly interacting regime. Physical Review Letters, 117:055301, 2016.

[79] Sarah Hirthe, Thomas Chalopin, Dominik Bourgund, Petar Bojovic, Annabelle Bohrdt, Eugene Demler, Fabian Grusdt, Immanuel Bloch, and Timon A. Hilker. Magnetically mediated hole pairing in fermionic ladders of ultracold atoms. arXiv preprint, 2022.

[80] Jacek Dobrzyniecki and Tomasz Sowinski. Simulating artificial 1d physics with ultra-cold fermionic atoms: Three exemplary themes. Advanced Quantum Technologies, 3(12):2000010, 2020.

[81] S. Dutta and E. J. Mueller. Dimensional crossover in a spin-imbalanced fermi gas. Physical Review A, 94:063627, 2016.

[82] Cornelius Lanczos. An iteration method for the solution of the eigenvalue problem of linear differential and integral operators. Journal of Research of the National Bureau of Standards, 45:255-282, 1950.

[83] Yousef Saad. Iterative Methods for Sparse Linear Systems. Society for Industrial and Applied Mathematics (SIAM), Philadelphia, PA, 2nd edition, 2003.

[84] Shmuel Kaniel. Estimates for some computational techniques in linear algebra. Mathematics of Computation, 20(95):369-378, 1966.

[85] Gerard L. G. Sleijpen and Henk A. Van der Vorst. A jacobi-davidson iteration method for linear eigenvalue problems. SIAM Review, 42(2):267-293, 2000.

[86] Heinrich Voss. A jacobi-davidson method for nonlinear eigenproblems. In Marian Bubak, Geert Dick van Albada, Peter M. A. Sloot, and Jack Dongarra, editors, Computational Science - ICCS 2004, pages 34-41, Berlin, Heidelberg, 2004. Springer Berlin Heidelberg.

[87] Kenneth G. Wilson. The renormalization group: Critical phenomena and the kondo problem. Reviews of Modern Physics, 47:773-840, 1975.

[88] Jun Kondo. Resistance minimum in dilute magnetic alloys. Progress of Theoretical Physics, 32(1):37-49, 1964.

[89] P. W. Anderson. Localized magnetic states in metals. Physical Review, 124:4153, 1961.

[90] G. Catarina and B. Murta. Density-matrix renormalization group: a pedagogical introduction. European Physical Journal B, 96:111, 2023.

[91] C.R. Harris, K.J. Millman, and S.J. et al. van der Walt. Array programming with numpy. Nature, 585:357-362, 2020.

[92] Matthew Fishman, Steven R. White, and E. Miles Stoudenmire. The itensor software library for tensor network calculations. arXiv, 2020.

[93] Ian Affleck, Tom Kennedy, Elliott H. Lieb, and Hal Tasaki. Rigorous results on valence-bond ground states in antiferromagnets. Physical Review Letters, 59(7):799-802, August 1987.

[94] J. Eisert, M. Cramer, and M.B. Plenio. Area laws for the entanglement entropy - a review. Rev. Mod. Phys, 82:277, 2010.

[95] F. Verstraete, V. Murg, and J. I. Cirac. Matrix product states, projected entangled pair states, and variational renormalization group methods for quantum spin systems. Advances in Physics, 57(2):143-224, 2008.

[96] J. Haegeman, J. I. Cirac, T. J. Osborne, I. PiZorn, H. Verschelde, and F. Verstraete. Time-dependent variational principle for quantum lattices. Physical Review Letters, 107:070601, 2011.

[97] G. Vidal. Efficient simulation of one-dimensional quantum many-body systems. Physical Review Letters, 93:040502, 2004.

[98] A. E. Feiguin and S. R. White. Time-step targeting methods for real-time dynamics using the density matrix renormalization group. Physical Review B, 72:020404, 2005.

[99] F. Verstraete, J. J. Garcia-Ripoll, and J. I. Cirac. Matrix product density operators: Simulation of finite-temperature and dissipative systems. Physical Review Letters, 93:207204, 2004.

[100] I. P. McCulloch. From density-matrix renormalization group to matrix product states. Journal of Statistical Mechanics: Theory and Experiment, 2007:P10014, 2007.

[101] Sam Mardazad, Nicolas Laflorencie, Johannes Motruk, and Adrian Kantian. Ground states of quasi-two-dimensional correlated systems via energy expansion. arXiv, 2025.

[102] Andrew Lucas. Ising formulations of many np problems. Front. Phys., 2, 2014.

[103] S.S. Jahromi and R. Orus. Variational tensor neural networks for deep learning. Sci Rep, 14:19017, 2024.

[104] Edwin Stoudenmire and David Schwab. Supervised learning with quantum-inspired tensor networks. Advances in Neural Information Processing Systems, 2016.

[105] Alexander Novikov, Dmitry Podoprikhin, Anton Osokin, and Dmitry Vetrov. Tensorizing neural networks. In Proceedings of the 29th International Conference

on Neural Information Processing Systems - Volume 1 (NIPS'15), volume 1, pages 442-450. MIT Press, 2015.

[106] Patrick Hayden, Sepehr Nezami, Xiao-Liang Qi, Nathaniel Thomas, Michael Walter, and Zhao Yang. Holographic duality from random tensor networks. JHEP, 11:9, 2016.

[107] J. Molina-Vilaplana and J. Prior. Entanglement, tensor networks and black hole horizons. Gen Relativ Gravit, 46:1823, 2014.

[108] B. et al. (ALPS collaboration) Bauer. The alps project release 2.0: open source software for strongly correlated systems. J. Stat. Mech., page P05001, 2011.

[109] Immanuel Bloch, Jean Dalibard, and Wilhelm Zwerger. Many-body physics with ultracold gases. Rev. Mod. Phys, 80(3):885-964, 2008.

[110] J. Dobrzyniecki and T. Sowinski. Simulating artificial 1d physics with ultra-cold fermionic atoms: Three exemplary themes. Adv. Quantum Technol., 3(6):2000010, 2020.

[111] A. Moreo and D. J. Scalapino. Phase separation in the t-j model. Physical Review Letters, 98(21):216402, May 2007.

[112] A. F. Ho, M. A. Cazalilla, and T. Giamarchi. Quantum simulation of the hubbard model: The attractive route. Physical Review A, 79:033620, 2009.

[113] M. M. Parish, S. K. Baur, E. J. Mueller, and D. A. Huse. Quasi-one-dimensional polarized fermi superfluids. Phys. Rev. Lett., 99:250403, 2007.

[114] M. O. J. Heikkinen, D.-H. Kim, M. Troyer, and P. Torma. Non-local quantum fluctuations and fermionic superfluidity in the imbalanced attractive hubbard model. Phys. Rev. Lett., 113:185301, 2014.

[115] B. Pan, Y. Wang, L. Zhang, and S. Li. Structure and thermodynamic properties of (c5h12n)cubr3: A new weakly coupled antiferromagnetic spin-1/2 chain complex lying in the 1d-3d dimensional cross-over regime. Inorg. Chem., 53:3606, 2014.

[116] A. Vogler, R. Labouvie, G. Barontini, S. Eggert, V. Guarrera, and H. Ott. Dimensional phase transition from an array of 1d luttinger liquids to a 3d bose-einstein condensate. Phys. Rev. Lett., 113:215301, 2014.

[117] M. et al. Wenz. Universal trimer in a three-component fermi gas. Science, 342:457-460, 2013.

[118] F. Ferlaino and R. Grimm. Forty years of efimov physics: How a bizarre prediction turned into a hot topic. Physics, 3:9, 2010.

[119] Shuta Nakajima, Munekazu Horikoshi, Takashi Mukaiyama, Pascal Naidon, and Masahito Ueda. Measurement of an efimov trimer binding energy in a three-component mixture of 6li. Phys. Rev. Lett., 106:143201, 2011.

[120] R. J. et al. Wild. Measurements of tan's contact in an atomic bose-einstein condensate. Phys. Rev. Lett., 108:145305, 2012.

[121] G. Orso, L. P. Pitaevskii, and S. Stringari. Equilibrium and dynamics of a trapped superfluid fermi gas with unequal masses. Phys. Rev. A, 77:033611, 2008.

[122] Bo Huang, Isabella Fritsche, Rianne S. Lous, Cosetta Baroni, Jook T. M. Walraven, Emil Kirilov, and Rudolf Grimm. Breathing mode of a bose-einstein condensate repulsively interacting with a fermionic reservoir. Phys. Rev. A, 99:041602, 2019.

[123] Olaf Mandel, Markus Greiner, Artur Widera, Tim Rom, Theodor W. Hansch, and Immanuel Bloch. Coherent transport of neutral atoms in spin-dependent optical lattice potentials. Phys. Rev. Lett., 91:010407, 2003.

[124] T. Kraemer, M. Mark, P. Waldburger, J. G. Danzl, C. Chin, B. Engeser, A. D. Lange, K. Pilch, A. Jaakkola, H.-C. Nägerl, and R. Grimm. Evidence for efimov quantum states in an ultracold gas of caesium atoms. Nature, 440:315, 2006.

[125] M. Zaccanti, B. Deissler, C. D'Errico, M. Fattori, M. Jona-Lasinio, S. Mäller, G. Roati, M. Inguscio, and G. Modugno. Observation of an efimov spectrum in an atomic system. Nature Phys., 5:586-591, 2009.

126] S. E. Pollack, D. Dries, and R. G. Hulet. Universality in three- and four-body bound states of ultracold atoms. Science, 326(5960):1683-1685, 2009.

127] M. Iskin and A. Keles. Dimers, trimers, tetramers, and other multimers in a multiband bose-hubbard model. Phys. Rev. A, 106:043315, 2022.

128] Ragheed Alhyder, Xavier Leyronas, and Frederic Chevy. An impurity immersed in a double fermi sea. Phys. Rev. A, 102:033322, 2020.

129] G. Orso, E. Burovski, and Th. Jolicoeur. Luttinger liquid of trimers in fermi gases with unequal masses. Physical Review Letters, 104:065301, 2010.

130] E. Burovski, G. Orso, and T. Jolicoeur. Multiparticle composites in density-imbalanced quantum fluids. Phys. Rev. Lett., 103:215301, 2009.

131] D. C. Mattis. The few-body problem on a lattice. Rev. Mod. Phys., 58:361, 1986.

132] M. Valiente, D. Petrosyan, and A. Saenz. Three-body bound states in a lattice. Phys. Rev. A, 81:011601(R), 2010.

133] G. Orso and M. Singh. Pairs, trimers and bcs-bec crossover near a flat band: the sawtooth lattice. Phys. Rev. B, 106:014504, 2022.

134] M. Iskin. Three-body problem in a multiband hubbard model. Phys. Rev. A, 105:063310, 2022.

135] Y. Nishida. Polaronic atom-trimer continuity in three-component fermi gases. Phys. Rev. Lett., 109:240401, 2012.

136] J. von Stecher. Weakly bound cluster states of efimov character in cold three-atom systems. J. Phys. B, 43:101002, 2010.

137] M. et al. Dalmonte. Three-body attractive interactions: A route to complex quantum gases in optical lattices. Phys. Rev. Lett., 109:175301, 2012.

138] A. et al. Koga. Trimer formation in the one-dimensional hubbard model with a three-body interaction. J. Phys. Soc. Jpn., 77:073602, 2008.