Исследование сверхпроводящего диодного эффекта в гибридных структурах сверхпроводник/топологический изолятор тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 00.00.00, кандидат наук Карабасов Тайржан

• Карабасов Тайржан
• кандидат наук
• 2024

Оглавление диссертации кандидат наук Карабасов Тайржан

Введение

Основные результаты

Заключение

Список использованных источников

Приложения

Приложение 1: статья «Hybrid helical state and superconducting diode effect

in superconductor/ferromagnet/topological insulator heterostructures»

Приложение 2: статья «Superconducting Diode Effect in Topological Hybrid

Structures»

Приложение 3: статья «Phase diagrams of the diode effect in superconducting

heterostructures»

Приложение 4: статья «Anisotropic Josephson Diode Effect in the Topological Hybrid Junctions with the Hexagonal Warping»

Введение

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование сверхпроводящего диодного эффекта в гибридных структурах сверхпроводник/топологический изолятор»

Актуальность исследования

Сверхпроводящая электроника стала из сравнительно нового направления устойчиво развивающейся областью исследований. Благодаря большому потенциалу применения, а также способности разрешить важные вопросы современной электроники данная область занимает особое место в современной науке. В частности, в последнее время одним из таких вопросов становится поиск и разработка низкодиссипативной электронно-компонентой базы. Ключевыми компонентами сверхпроводниковой электроники являются сверхпроводники и сверхпроводящие структуры. Сверхпроводник представляет собой макроскопический квантовый объект, в котором сверхпроводящие электроны (куперовские пары) могут быть описаны единой волновой функцией. Таким образом, приборы, построенные на сверхпроводниках, представляют собой устройства, работающие на квантовых эффектах.

Одним из объектов исследования сверхпроводниковой электроники являются джозефсоновские контакты. Два сверхпроводника соединенные так называемой слабой связью предлагают принципиально новый функционал, основанный на туннелировании куперовских пар через несверхпроводящий промежуточный материал. В частности, джозефсоновские контакты могут быть использованы в качестве элементов памяти [1], кубитов в сверхпроводниковом процессоре [2, 3], а также в качестве элементов сверхпроводниковой нейронной сети [4]. Помимо джозефсоновских контактов, гибридные структуры работающие на эффекте близости также имеют широкий потенциал применения в сверхпроводниковой электронике и спинтронике [5]. Так, например, сверхпроводящие гибридные структуры в контакте с ферромагнетиками обладают эффектом спинового вентиля, позволяя управлять сверхпроводимостью за счет регулирования параметров ферромагнетика [6].

Полупроводниковые диоды являются одними из основополагающих электронных компонентов, имеющих широкое применение в современной электронике. Однако, полупроводниковые диоды являются диссипативными элементами и диоды на основе кремния обладают высоким сопротивлением при низких температурах, что в свою очередь приводит к энергетическим потерям и разогреву при их работе. Поэтому, сравнительно недавно экспериментально обнаруженный, диодный эффект в сверхпроводящих структурах способен разрешить данную проблему. Сверхпроводящий диодный эффект оперирует при температурах порядка сверхпроводящего перехода, что в настоящее время составляет единицы Кельвин. Кроме того, сверхпроводящие диоды являются квантовыми устройствами, которые управляются определенными симметриями и описываются формализмом квантовой механики. Такие устройства могут быть широко использованы в сверхпроводниковой электронике, спинтронике, в области квантовой информации, а также в коммуникационных технологиях.

Степень разработанности проблемы

Фокусом настоящей диссертационной работы является невзаимный электронный транспорт в сверхпроводниках, то есть диодный эффект. Сверхпроводящий диодный эффект становится бурно-развивающейся областью исследования [7] и имеет огромный потенциал для применения в области сверхпроводниковой электроники [8] и спинтроники [5]. Такой эффект является аналогом диодного эффекта в классической электронике, за исключением того, что вместо обычного электрического тока, сверхпроводящий диод пропускает сверхпроводящий ток в выделенном направлении, т. е. ток куперовских пар. Сверхпроводящий диод является бездиссипативным элементом, то есть такое устройство не рассеивает тепло. Впервые, диодный эффект в сверхпроводящей системе был обнаружен экспериментально в сверхрешетках NЪ/VУTa [9]. Позже, последовала серия теоретических работ, в которых предлагалось теоретическое описание диодного эффекта в отдельных материалах. Становилось ясно, что

4

невзаимный сверхпроводящий транспорт можно получить в системах с нарушением симметрии обращения времени и пространственной инверсии. Первое условие может быть достигнуто с помощью внешнего магнитного поля или обменного поля ферромагнетика, а второе условие выполняется в материалах со спин-орбитальным взаимодействием. В частности, сверхпроводящие устройства на основе материалов с топологически нетривиальной зонной структурой как правило могут обладать существенным спин-орбитальным взаимодействием.

Одной из перспективных платформ для реализации сверхпроводящего диодного эффекта являются диоды на основе топологических изоляторов (ТИ) [10]. Так, в гетероструктурах Bi2Te3/FeTe, а также Bi2Te3/PdTe во внешнем магнитном поле была продемонстрирована существенная невзаимность критического тока [10, 11]. В таких структурах наряду со сверхпроводимостью присутствует спин-орбитальное взаимодействие за счет поверхности топологического изолятора Bi2Te3. Поверхность ТИ обладает сильным спин-орбитальным взаимодействием, что позволяет демонстрировать существенный магнитоэлектрический эффект [12]. Особое внимание было уделено магнитоэлектрическому эффекту в джозефсоновских переходах на основе ТИ, где он проявляется в виде аномального фазового сдвига основного состояния [13]. Природа диодного эффекта в системах со спин-орбитальным взаимодействием может быть объяснена так называемым сверхпроводящим геликоидальным состоянием [7]. Геликоидальный сверхпроводник, характеризуется ненулевым импульсом куперовских пар, который приводит к пространственной модуляции параметра порядка. В случае геликоидального сверхпроводника направление импульса куперовских пар зависит от направления зеемановского поля. Конечный импульс куперовских пар, определяемый типом спин-орбитального взаимодействия и привязанный к направлению зеемановского поля, приводит к невзаимному току распаривания в различных системах.

Сверхпроводящий диодный эффект в гибридных структурах в отсутствие внешнего магнитного поля также интересен для исследования, поскольку необходимость во внешнем магнитном поле, а также в его управлении в составе электронной схемы на практике может вызвать трудности. Диодный эффект без внешнего магнитного поля был исследован экспериментально в джозефсоновских диодах на основе ван-дер-ваальсовых структур, а также в ферромагнитных гетероструктурах [14, 15]. В то время как в работе [14] диодный эффект возникает из-за ассиметричного туннелирования куперовских пар на интерфейсе, в работе [15] эффект реализуется за счет комбинации сверхпроводимости, спин-орбитального взаимодействия, а также обменного поля. В последнем случае, изменяя параметры гетероструктуры можно добиться управления диодным эффектом. Таким образом, диодный эффект в гибридных структурах представляет собой перспективную область для исследования.

Экспериментально исследованные гетероструктуры на основе ферромагнетика чаще всего представляют собой сложные системы. Кроме того, создание материала, который является сверхпроводником со спин-орбитальным взаимодействием, а также имеет эффективное обменное поле, может быть весьма проблематичным с технологической точки зрения. Поэтому, возникает необходимость в изучении гибридных систем, работающих на эффекте близости с хорошо контролируемыми параметрами.

Идея о возникновении диодного эффекта в сверхпроводниках не

является новой. Еще в 1996 г. Эдельштейн, вслед за работой о

магнитоэлектрическом эффекте в сверхпроводниках с нарушенной

симметрией пространственной инверсии [16], показал в рамках формализма

Гинзбурга-Ландау, что в таких же системах можно получить невзаимный

транспорт [17]. Однако, только после недавних экспериментальных работ по

обнаружению диодного эффекта интерес к данной тематике резко возрос.

Теоретические предсказания по обнаружению диодного эффекта были

сделаны для большого числа систем [7]. Такие системы можно условно

6

разделить на отдельные сверхпроводящие материалы [18] и джозефсоновские контакты [19]. Если в первом случае подразумевается невзаимность распаривающего тока, то во втором говорят про невзаимность джозефсоновского критического тока.

На данный момент тема исследования диодного эффекта является актуальной ввиду широкого применения в области сверхпроводниковой электроники. Данная тема недостаточно широко изучена, в частности в контексте сверхпроводящих гибридных структур на основе топологического изолятора. Особый интерес представляют устройства, в которых условия диодного эффекта сочетаются с эффектом близости. Механизм, приводящий к возникновению невзаимного сверхпроводящего транспорта в таких структурах также не изучен. Более того, параметры, влияющие на эффективность также недостаточно исследованы. Важным пунктом в исследовании сверхпроводящего диодного эффекта в гибридных системах на основе топологического изолятора является изучение влияния гексагонального искажения поверхности Ферми топологического изолятора на сверхпроводящий транспорт. Учет гексагональных искажений при исследовании невзаимного транспорта в некоторых топологических изоляторах может быть очень важным.

Целью данной работы является изучение механизма диодного эффекта в гибридных структурах на основе топологического изолятора, а также выявление параметров, влияющих на его эффективность диода и поиск способов повышения его эффективности для прикладной сверхпроводниковой электроники и спинтроники.

Для достижения поставленной цели необходимо решить следующие задачи:

• Исследовать особенности сверхпроводящего состояния в

структуре сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический

изолятор, где сверхпроводимость и ферромагнетизм разделены в

7

пространстве. В частности, изучить основное состояние сверхпроводника в такой системе на предмет реализации пространственно-модулированного параметра порядка

• Изучить условия возникновения сверхпроводящего диодного эффекта в гибридной сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический изолятор структуре, а также выявить параметры, контролирующие эффективность диодного эффекта.

• Получить аналитические выражения, связывающие эффективность диода с контролирующими параметрами.

• Исследовать влияние гексагональных искажений поверхности Ферми топологического изолятора на сверхпроводящий транспорт в джозефсоновском контакте сверхпроводник/ топологический изолятор/ сверхпроводник. В частности, изучить влияние гексагональных искажений на диодный эффект.

Основные результаты Методы исследования

В качестве методов в диссертационном исследовании будет использован квазиклассический метод функций Грина для описания сверхпроводящих гибридных структур. Данный метод является микроскопическим и доказал свою надежность при исследовании многочисленных явлений в сверхпроводящих системах. Наряду с квазиклассическим формализм будет задействован формализм уравнений Боголюбова — де Жена. Объектом исследования являются сверхпроводящие гибридные структуры. Предметом исследования является невзаимный сверхпроводящий транспорт Положения выносимые на защиту

1. Основное состояние сверхпроводника является геликоидальным в

структуре сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический

изолятор с некоторыми особенностями. Параметр порядка

модулируется в пространстве конечным импульсом q, при этом в

системе присутствует неоднородное распределение

8

сверхпроводящего тока с нулевым полным током. Знак импульса q зависит от направления обменного поля в ферромагнетике.

2. В системе сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический изолятор возникает невзаимный сверхпроводящий транспорт, то есть диодный эффект. Природа диодного эффекта объясняется магнитоэлектрическим эффектом, а также геликоидальным состоянием, реализующимся в гибридной структуре. Эффективность диодного эффекта контролируется параметрами системы (обменное поле ферромагнетика, ширина ферромагнитной и сверхпроводящей области) и эффекта близости. Эффективность в такой системе достигает нескольких процентов.

3. Джозефсоновский диодный эффект, возникающий в S/TI/S гибридной структуре при учете гексагональных искажений поверхности Ферми в топологическом изоляторе при определенных параметрам обладает существенной анизотропией. Показана возможность управления диодным эффектом за счет поворота поверхности топологического изолятора.

Научная новизна:

• Впервые продемонстрировано, что основное состояние сверхпроводника является геликоидальным в гибридной системе сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический изолятор. Продемонстрирована возможность реализации сверхпроводящего диода в такой структуре.

• Выявлены параметры, контролирующие сверхпроводящий диодный эффект, а также получены аналитические соотношения для эффективности диода в системе сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический изолятор.

• Впервые показана анизотропия диодного эффекта в

сверхпроводящих гибридных структурах с топологическим

изолятором в присутствии гексагональных искажений

9

поверхности Ферми топологического изолятора. Благодаря анизотропии диодного эффекта, при определенных параметрах можно добиться существенного контроля над эффектом.

Теоретическая значимость

Теоретическая значимость диссертационной работы заключается в расширении знаний о диодном эффекте в топологических гибридных структурах. Были выявлены параметры, а также характер влияния данных параметров на эффективность диодного эффекта. В частности, было выявлено влияние параметров эффекта близости на эффект. Построенные модели могут быть использованы для описания диодного эффекта в гибридных структурах, а также для его дальнейшего исследования. Более того, аналитические выражения полученные для описания эффективности диода дополняют знания о параметрах, влияющих на эффективность. В результате работы было получено сравнение линейных и нелинейных методов расчета невзаимности критического тока.

Практическая значимость

Результаты, полученные в ходе теоретического исследования, могут быть использованы для дальнейшего развития теории диодного эффекта в гибридных структурах, работающих на эффекте близости. Полученные зависимости диодной эффективности от различных параметров гибридной структуры могут быть полезны при описании экспериментальных данных. Кроме того, они могут быть задействованы при проектировании сверхпроводящих диодов для достижения лучшей эффективности. Некоторые выводы, полученные в работе, например, анизотропия джозефсоновского диодного эффекта, могут послужить поводом для экспериментального исследования.

Достоверность полученных результатов

Достоверность полученных результатов подтверждается надежностью используемых методов. Кроме того, полученные результаты находятся в согласии с выводами работ других авторов, рассматривавших похожие системы.

Личный вклад автора

Автор диссертационной работы участвовал в формулировке задач, построении моделей для расчета, реализации численных алгоритмов решения уравнений, а также получении аналитических результатов. Также автор принимал участие в анализе и обсуждении результатов настоящей работы.

Апробация результатов

Результаты диссертационного исследования были представлены автором работы на конференциях международного уровня:

• XXVII международный симпозиум «Нанофизика и наноэлектроника», доклад «Гибридное геликоидальное состояние и сверхпроводящий диодный эффект в S/F/TI гетероструктурах», Нижний Новгород, 11-15 марта, 2023.

• 8th International Conference on Superconductivity and Magnetism-ICSM2023, доклад « Effects of a helical state on the dynamic properties of the topological superconducting systems», Турция, Фетхие, 4-11 мая, 2023.

• 9th International Conference on Superconductivity and Magnetism-ICSM2024, доклад « Controllable topological superconducting diode», Турция, Фетхие, 27 апреля - 4 мая, 2024.

Помимо выступлений на конференциях автором диссертационного исследования были доложены результаты на семинарах лаборатории, а также на семинарах в МФТИ и ФИАН им. П. Н. Лебедева.

Список опубликованных работ

1. Karabassov T., Bobkova I. V., Golubov A., Vasenko A. Hybrid helical state and superconducting diode effect in superconductor/ ferromagnet/ topological insulator heterostructures // Physical Review B: Condensed Matter and Materials Physics. 2022. Vol. 106. No. 22. Article 224509.

2. Karabassov T., Emir Amirov, Bobkova I. V., Golubov A., Kazakova E. A., Vasenko A. Superconducting Diode Effect in Topological Hybrid Structures // Condensed Matter. 2023. Vol. 8. No. 2. Article 36.

3. Karabassov T., Bobkova I. V., Silkin V. M., Lvov B. G., Golubov A., Vasenko A. Phase diagrams of the diode effect in superconducting heterostructures // Physica Scripta. 2024. Vol. 99. No. 1. Article 015010.

4. Karabassov T. Anisotropic Josephson Diode Effect in the Topological Hybrid Junctions with the Hexagonal Warping // JETP Letters. 2024. Vol. 119. No. 4. Article 308.

Содержание работы

В первой части работы (Приложение 1) изучено сверхпроводящее состояние в гибридной структуре сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический изолятор (БАРАП). Такая гибридная структура показана на Рис. 1 (а). Сверхпроводящая область Б характеризуется параметром порядка А, а ферромагнитная область F описывается обменным полем И. В работе рассматривается двумерная система, в которой дисперсия квазичастиц описывается дисперсией поверхностных состояний топологического изолятора Т1.

Рис. 1 - (а) Схематическая геометрия бислоя S/F на поверхности топологического изолятора TI. (b)-(c) Иллюстрация сверхпроводящего диодного эффекта. Приложение внешнего сверхтока вдоль границы раздела в одном направлении происходит при ненулевой критической температуре (b), при изменении направления тока на противоположное сверхпроводящее состояние может полностью разрушиться поскольку критическая температура обращается в ноль (с).

В гибридной структуре показано, что основное состояние сверхпроводящей части S соответствует геликоидальному состоянию, в котором параметр порядка характеризуется пространственно-модулированной зависимостью Л(r) = Л(x)e4,y, где qs - импульс куперовской

пары. Такой параметр порядка реализуется несмотря на то, что сверхпроводимость и обменное поле ферромагнетика пространственно-разделены.

В основном состоянии импульс qs зависит от направления обменного поля h

и является нечетной функцией h, что является характерной особенностью геликоидального состояния. Далее мы рассчитали распределение плотности сверхпроводящего тока и полный сверхток через гибридную структуру. В основном состоянии, показано, что сверхток имеет неоднородное распределение по структуре. Однако, полный сверхток равен нулю. Такая ситуация вызвана комбинацией обратного магнитоэлектрического эффекта и сверхпроводимости.

Далее в работе приведены результаты для диодной эффективности, которая определяется следующим образом:

I+-1I-1

c \ c \ , (1)

' Г+1г\ v у

c Ici

где Гс и I- - критические сверхтоки в противоположных направлениях. В работе показано, как эффективность зависит от параметров S/F интерфейса у

и уВ, т. е. параметров, которые описывают эффект близости. Параметр y пропорционален отношению проводимостей в S и F частях и описывает силу обратного эффекта близости. Параметр уВ пропорционален сопротивлению на S/F границе и описывает взаимное влияние S и F областей. В работе представлены некоторые аналитические результаты. В пределе тонкого S слоя, получено, что эффективность обратно пропорциональна температуре и прямо пропорциональна обменному полю.

При расчете сверхтока в гибридной структуре было использовано нелинейное уравнение Узаделя. В работе также приводится сравнение расчета эффективности с помощью линеаризованного уравнения Узаделя (Приложение 2). Показано, что два метода расчета при определенных параметрах дают лишь небольшое количественное различие при расчете эффективности диода. Для того, чтобы получить представление о том, как эффективность диода зависит от параметров системы были построены фазовые диаграммы диодного эффекта в S/F/TI системе (Приложение 3).

В последней части диссертационного исследования (Приложение 4) было изучено влияние гексагональных искажений Ферми поверхности (варпинг) топологических состояний на поверхности топологического изолятора на сверхпроводящий транспорт, включая невзаимный транспорт. Для этого был рассмотрен джозефсоновский контакт сверхпроводник/ топологический изолятор/ сверхпроводник (S/TI/S) в зеемановском поле (См. Рис. 2).

Для построения модели джозефсоновского контакта был задействован формализм уравнений Боголюбова - де Жена в приближении сильной связи. Такой метод позволяет достаточно просто описать сверхпроводящий транспорт в такой системе. Чтобы учесть варпинг Ферми поверхности необходимо в гамильтониан системы добавить соответствующее слагаемое

Hw = лкх (k2 - 3k2 ) ®<гг, (2)

где Л отвечает за степень гексагональных искажений, k - импульс

квазичастицы, $2 и &2 - соответствующие матрицы Паули в спиновом и электронно-дырочном пространствах.

Рис. 2 - (а) Схематичное изображение джозефсоновской гибридной структуры. (Ь) Область поверхности топологического изолятора в представлении узловой модели сильной связи.

Для того чтобы понять как искажения будут влиять на транспорт в работе вводится угол поворота Ферми поверхности в, при этом делая угол конечным осуществляется поворот Ферми поверхности в к пространстве. В таком случае, вращая Ферми поверхность в к пространстве мы можем рассчитать сверхток через джозефсоновский контакт и изучить влияние угла на транспорт.

В работе было показано, что гексагональные искажения влияют на сверхпроводящий ток и на ток-фазовые соотношения искомой гибридной структуры. Кроме того, была продемонстрирована анизотропия джозефсоновского критического тока по отношению к углу в. На рисунке 3 представлена схема для возможного эксперимента для наблюдения эффекта анизотропии сверхпроводящего транспорта в гибридной Б/П/Б структуре. В такой структуре можно измерить джозефсоновский критический ток между двумя противоположными сверхпроводящими берегами Б, при этом теория предсказывает анизотропный критический ток в отсутствие магнитного поля и анизотропный диодный эффект при наличии магнитного поля.

Б

4 \

Б Т1 Б

Б

Рис. 3 - Схема возможного эксперимента для наблюдения анизотропии джозефсоновского критического тока, а также диодного эффекта.

Заключение

Таким образом, можно выделить основные результаты, полученные в настоящем диссертационном исследовании.

• Проведен обзор текущего состояния вопроса в отношении механизмов возникновения сверхпроводящего диодного эффекта, а также экспериментальных работ, в которых продемонстрирована работа диода.

• Определены особенности, преимущества и недостатки существующих материалов и структур, обладающими свойством невзаимного сверхпроводящего транспорта. Одним из наиболее перспективных направлений является исследование и разработка диода на основе топологических изоляторов и ферромагнетизма.

• Предложена геометрия гибридной структуры сверхпроводящего диода сверхпроводник/ ферромагнетик/ топологический изолятор без внешнего магнитного поля. Построена квазиклассическая модель такой системы в диффузионном режиме.

• Показано, что в такой структуре реализуется геликоидальное состояние с некоторыми особенностями.

• Выявлены параметры, оказывающие влияние на эффективность диодного эффекта. Так, на диодный эффект оказывают влияние

как геометрические параметры, так и параметры эффекта близости.

• Получены аналитические соотношения в предельном случае малого по ширине сверхпроводника. Выявлены ключевые факторы, контролирующие эффективность диода: размер ферромагнитной области, а также его обменное поле.

• Построены фазовые диаграммы, показывающие при каких параметрах диодный эффект достигает максимальных значений.

• В джозефсоновском диоде сверхпроводник/ топологический изолятор/ сверхпроводник продемонстрирована существенная анизотропия диодного эффекта при учете гексагональных искажений поверхности Ферми топологического изолятора.

• На основе анизотропного джозефсоновского диодного эффекта предложен управляемый сверхпроводящий диод.

Сверхпроводящий диодный эффект в гибридных структурах является перспективным направлением для исследований ввиду своего широкого потенциала применения. Диодный эффект в гибридных структурах сверхпроводник/ферромагнетик/ топологический изолятор позволяет реализовать управляемый диодный эффект с контролируемой эффективностью. Кроме того, рассмотренная система не требует приложения внешнего магнитного поля, что является существенным упрощением для практического применения. В диссертационном исследовании было показано, что задействуя различные параметры гибридной системы можно добиться лучшей диодной эффективности.

По итогам проделанной работы можно выделить направление

дальнейших исследований. В частности, важным с точки зрения реализации в

эксперименте является исследование влияния зазора между сверхпроводящей

и ферромагнитной частями в планарной структуре

сверхпроводник/ферромагнетик/ топологический изолятор, поскольку

17

текущие технологические возможности не всегда позволяют реализовать идеальный интерфейс сверхпроводник/ферромагнетик. Кроме того, на базе данного исследования можно теоретически изучить возможность управления сверхпроводящего диода за счет приложения разности потенциалов, подобно затвору в полевом транзисторе. Такая система позволит управлять диодным эффектом без необходимости перемагничивания ферромагнитных областей.

Список литературы диссертационного исследования кандидат наук Карабасов Тайржан, 2024 год

I+ - I~

fi = TTf> (1)

±C I ±c

where the if are external positive and negative currents parallel to the S/FI interface. We have already shown that r] is finite in the considered system [57]. However, the optimal conditions for the SDE quality factor remain unclear. In this paper we investigate the diode quality factor of the hybrid structure, studying the phase diagrams of the superconducting diode effect for various parameters of the S/F/TI hybrid structure which influence the superconducting diode effect. We employ the microscopic quasiclassical approach and calculate the diode quality factor within the Usadel equations. This study can be useful for the experimental fabrication of the superconducting diode with sufficiently good efficiency for applications in superconducting electronics.

The structure of the article is as follows: In section 2, we present the mathematical model of the proximity effect in the hybrid structure under consideration. In section 3, we apply this theory to determine the phase diagrams of the superconducting diode effect for different parameters of the hybrid structure. Finally, in section 4, we provide a summary of the essential findings of the study.

2. Model

In the present part we introduce the system under consideration depicted in figure 1. The hybrid system is represented by a thin layer superconductor (S) in contact with a ferromagnetic insulator region (F) which are placed on top of the topological insulator. In this situation we have strong spin-orbit coupling from the conductive surface of the TI that leads to the pronounced spin-momentum locking effect. Such two-dimensional system can be described in real space in the following way:

H = H0 + Hp + Hs, (2)

where

H0 = f d2rtf(r)[-ia(Vr xz)cr-ju-h V(r)]V(r), (3)

Hs = A(r)^j(r)%) + A*(r)^(r)^t(r), (4)

HF = - J d2r^(r)[ha]^(r). (5)

In the Hamiltonian above \I/(r) and ^(r) correspond to the annihilation and creation operators of an electronic state at the TI surface, z is the unit vector along the direction perpendicular to the TI surface, fi is the chemical potential, a is the Fermi velocity, h is the exchange field that exists only at x < 0 and h = (hx, hy, 0), finally cr is the Pauli matrix vector. The superconducting pairing potential A exists only at x > 0, thereby dividing the TI surface into effectively two parts: one that possesses h^ 0 at x < 0, called 'ferromagnetic', and the other at x > 0 with A ^ 0, referred to as 'superconducting'. The energy potential V(r) contains an impurity scattering potential Vfmp = J2r.Vj<5(r — r,-) represented by a Gaussian form (V(r)V (r')> = (1/7risr)6(r — r')withis = /u/(27ra2). In this work we assume that hy = 0 and consider the nonzero component normal to the S/F interface hx = h. In fact, it can be demonstrated that finite hy does not influence the observables in the model under consideration and produces only a characteristic phase shift, which is irrelevant in our hybrid structure [56,62]. Such phase

/ , _

Figure 1. (a) The S/F (Ferromagnetic insulator) bilayer deposited on the surface of the 3D TI. Right bottom corner: Fermi-contour of the TI surface states with the spin-momentum locking property and the illustration of the magnetolectric effect.

shift would be important in the Josephson junction hybrid structure, since it can control the phase difference between the two superconducting regions [62].

It has been shown previously that the SOC term in the Hamiltonian (2) leads to the spinless structure of the Green's functions [62,63]. This situation takes place because of the full spin-momentum locking effect, i. e. the direction of the quasiparticle momentum is locked with the direction of its spin at the right angle. That is why the spin is not a good quantum number and the quasiparticle states can be considered as spinless fermiones in the model.

We formulate the model in the formalism of the Usadel equations. In the conductors with high density of impurities the mean free path of electrons / is much smaller than all the other length scales. In this situation it is appropriate to assume that the Green's functions of the system are isotropic in the first approximation. The description of the quasiclassical Green's functions behavior in this limit corresponds to the Usadel equation. It has been shown that the surface states of the TI in the presence of an in-plane exchange field obey the following Usadel equation (F part (x < 0)) [62,63]:

DfV(gfVgf) = KrZ) gf]. (6)

Here we have the following notation: un is the Matsubara frequency, D^is the diffusion coefficient in the F part and tz is the Pauli matrix in the Nambu space. The exchange field h enters the Usadel equation as an effective vector potential through the covariant derivative VX = VX + i(hxey — hyex)[Tz, g\/a. The Usadel equation in the S part reads (x > 0),

AV(|SV|S) = [uonrz + ¿A, gs], (7)

Ma4)

Here Ds is the diffusion coefficient in the S part, A is the superconducting gap that satisfies the self-consistency equation and gs is the S region Green's function matrix. The geometry in the model is assumed to be finite along the x-axis and infinite along the/-axis. In order to consider a finite momentum Cooper pair state, we assume the superconducting pair potential of the following form

A (r) = A(x)eW, (9)

where q is the momentum of the Cooper pair. The Usadel equations should be supplemented with the quasiclassical boundary conditions [64]:

7tfgf% = a5vgs, (io)

iBifgfVgf = lgpgsl (11)

Here parameters = fcgoy/ £f> 7 = £say/ £ycr5 where a5(y) is the conductivity of the S (F) part. The characteristic length = JDs(f)/27rTcs, where Tcs is the transition temperature of the S region in the absence of adjacent ferromagnetic part F. Parameter 7 controls the slope of the Green's functions at the interface, whereas 7^ controls the mismatch between the functions at the interface. While for identical materials 7 = 1, in general this parameter may have arbitrary value. is the parameter that determines the transparency of the S/F interface [64-66]. While for an ideal fully transparent interface 7^ = 0, in general case one may expect finite value of jB.

Both of the parameters are responsible for the description of the proximity effect in the diffusive systems. In this work we will study the dependence of the diode efficiency on the values of 7 and 73 in order to find optimal conditions for the best diode efficiency.

0 - parametrization of the Green's functions is used in the calculations for its convenience [67], i. e. gn = cos0andg12 = sin 0. Such parametrization automatically satisfies the normalization condition gg = 1. We then substitute the above expression into the equation (7) and obtain the equation in the S part of the TI:

£

die, - sin 2ft

7rTc

\uj„ sin ft — A(x)cos ft],

We achieve self-consistency in the solution of the problem by solving the equation for the s-wave pair potential A(x)

T M M

2 sin 0S

)

(12)

Similarly the Usadel equation in 9 - parametrization in the F part :

d2x6f - -—- sin 20f

ttT«

Vf,

(13)

where qm = q + 2h/a.

Turning to the boundary conditions, at the free edges of the hybrid structure we require zero current flow through the boundaries,

d0f

dx

x=—df

= o, ^

dx

= 0.

x=ds

At the interface (.x = 0) the following conditions should be satisfied

7B^ 7 dx

d0f

= sin (0S - 6f),

7b-

dx

= sin ($5 - Of).

The supercurrent density is calculated with the help of the following expression

Js{f)

04)

(15)

(16)

(17)

This supercurrent relation (17) is different from the conventional current formula, since it contains the covariant derivative V that takes into account the spin-momentum locking effect. Using the parameterized Green's functions the supercurrent densities in the F and S parts can be written as

jf(x) = Jy 2e

a

jy{X) = ~ 2e

TJ2 sin2*?/,

« J

T) , sim ft.

(18) (19)

In order to compute the total superconducting current we perform integration over the widths of the F and S parts along the x axis. In what follows we present the phase diagrams of the quality factor defined in equation (1). In order to compute 77 we find the critical supercurrents Ic+(_) by calculating the total supercurrent versus Cooper pair momentum q and finding the maximum and minimum values of I(q).

3. Results

In the present section we introduce the results of the superconducting current calculations. Here we use £f= £s and dimensionless exchange field H = gh/a.

In figure 2 the dependence of the quality factor 77 as a function of temperature Tand exchange field His demonstrated. The exchange field in the considered system can be changed by rotating the magnetization of the adjacent F part. Since the magnetization component along the interface does not introduce any quantitative effect on the observable quantities, the projection onto the x axis hx (component normal to the interface) of the in-plane magnetization h = h0 (cos sin 0) (0 is the angle between h and x axis) can be varied by rotating the magnetization angle </>. From figure 2 we can notice several important observations. First, we can see that 77

has the largest value at a low temperature. For given parameters the maximum value of 77 corresponds to H « 0.35. From the figure we can observe that the quality factor decreases as the temperature increased, which is in agreement with the previous studies in other systems [4,5,8,39]. The boundary that corresponds to the vanishing of 77 determines the critical exchange field Hc that destroys the superconducting state in the system. It is unlikely that this boundary may correspond to the 77 = 0 in the superconducting state. This can be confirmed by simple analytical calculations in the vicinity of the critical temperature. For instance, in the limit of df<^i ds and Hdf/£ <C 1 the quality factor can be written as [57]

1 J 7C(2)C(3) Hdf 1 Hdf

~ } « 1.86- (20)

2 (T/rc5)V2 ds (T/TC5)V2 ds

Here we can see that the quality factor is governed by the parameters of the F part, and H. From this expression we can see that as long as the exchange field H and the width d^are finite the quality factor is distinct from zero. These parameters are non zero in our case, hence the SDE should be present even at the vicinity of the critical temperature Tc. For this reason it is safe to note that this boundary corresponds to the critical field Hc.

It is important to note that in the our relatively simplified hybrid system it is impossible to observe the sign change of the SDE. i. e. when 77 < 0 [4,8]. We consider the system in which the spin structure of the correlations is projected onto a single helical band. In this case we do not take into account the competition between the bands with the opposite helical states, since the second band is not considered.

In figure 3 we plot the diode quality factor as a function of the S and F parts widths, which are ds and df respectively. This plot has important features that characterize the considered system. From the diagram we can recognize the sharp transition from 77 = 0 to a nonzero value. This rapid change corresponds to the transition between normal and superconducting state and can be characterized by the critical width of the S part dcsnt. It can be seen from the figure that there is an optimal value of ds and dfto reach the highest quality factor 77. For larger ds and dfthe quality factor will gradually decline since the characteristic lengths of the superconducting correlations in the S and F parts become smaller than the geometrical sizes of the hybrid structure.

Another important aspect of this study is to investigate the parameters that control the proximity effect. In figure 47 — 7B diagram for 77 is illustrated. Interestingly, one can notice that there is an optimal nonzero value of the interface transparency parameter 7i. e. having a perfect transparency does not result in a better diode efficiency. This can be explained by the following argument. When the transparency of the interface is low (7b >1) the proximity effect is strongly suppressed, the mutual coupling between S and F parts of the structure becomes weaker. Thus, the SDE reduces as 73 keeps increasing. On the other hand, when 7^ < 1 there can be one of the two cases depending on the value of 7. In the case when 7 > 0.5 the inverse proximity effect becomes too strong and the superconducting state in the S part is suppressed. Hence, this results in the vanishing of the SDE. When 7 < 0.5 the superconductivity does not vanish, but the diode effect is small at « 0 and reaches its maximum value at finite . From this result we conclude that for the highest 77 it is optimal to have a finite transparency parameter across the S/F interface.

0.5 1.0 1.5 2.0 2.5 d,/(

N

0.04

0.03

0.02 c-

I" 0.01 0.00

Figure 3. Phase diagram of the diode efficiency ri plotted on the axes ds — df. The parameters of the calculation: 7 = 0.5,7£ = 0.3, T=0.25T,,,H=03.

1.50

1.20

0.90

0.60

0.30

0.01

0.2 0.4 0.6 0.8

7

Figure 4. Phase diagram of the diode efficiency r\ as a function of the interface parameters 7 — The parameters of the calculation:

T = 0.1 Tcs, ds = 1.2£, df = H = 0.3.

4. Discussion and conclusion

In summary we have examined the supercurrent diode efficiency in the TI based superconducting hybrid structure. Utilizing the microscopic formalism of the Usadel equations we have introduced a simple model of the S/F/TI structure to study the diode quality factor 77 as a function of various parameters of the structure. For this purpose we have examined the phase diagrams of 77 revealing the most favourable conditions for the SDE in the system. From H — T diagram we have found that the highest diode quality factor is achieved at lower temperatures and at a specific H. From the same diagram we have recognized the critical field of the superconducting system. We have found the critical width dcsnt on ds — ¿/^diagram that corresponds to the minimal ds for the system to be in a superconducting state. Finally we have analyzed the diode quality factor as a function of the interface parameters. It has been shown that to reach the highest 77 it is optimal to have finite

transparency of the interface. These findings may help designing and developing the SDE devices based on the proximity effect.

Acknowledgments

The formulation of the model and the calculation of figure 2 were supported by Russian Science Foundation ProjectNo. 23-72-30004. The calculation of figure 3 was supported by the Foundation for the Advancement of Theoretical Physics and Mathematics 'BASIS' grant number 22-1 -5-105-1. The calculation of figure 4 was supported by the Mirror Laboratories Project and the Basic Research Program of the HSE University.

Data availability statement

All data that support the findings of this study are included within the article (and any supplementary files).

ORCIDiDs

TKarabassov © https://orcid.org/0000-0001-7966-5221 IV Bobkova © https://orcid.org/0000-0003-1469-1861 AAGolubov © https:Zorcid.org/0000-0001-5085-5195 ASVasenko © https:Zorcid.org/0000-0002-2978-8650

References

[ 1 ] Nadeem M, Fuhrer M S and Wang X 2023 The superconducting diode effect Nature Reviews Physics 5 558-77

[2] Eschrig M 2015 Rep. Prog. Phys. 78 104501

[3] Linder J and Robinson J W A 2015 Nat. Phys. 11 307-15

[4] Daido A, Ikeda Y and Yanase Y 2022 Phys. Rev. Lett. 128 037001

[5] He J J, Tanaka Y and Nagaosa N 2022 New J. Phys. 24 053014

[6] Yuan N F Q and Fu L 2022 PNAS119 e2119548119

[7] Scammell H D, Li JIA and Scheurer M S 2022 2D Mater. 9 025027

[8] Ilic S and Bergeret F S 2022 Phys. Rev. Lett. 128 177001

[9] Devizorova Z, Putilov A V, Chaykin I, Mironov S and Buzdin A12021 Phys. Rev. B 103 064504

[10] de Picoli T, Blood Z, Lyanda-Geller Y and Vayrynen J12023 Superconducting diode effect in quasi-one-dimensional systems Physical Review B107224518

[11] Grein R, Eschrig M, Metalidis G and Schon G 2009 Phys. Rev. Lett. 102 227005

[12] Lu B, Ikegaya S, Burset P, Tanaka Y and Nagaosa N 2023 Tunable josephson diode effect on the surface of topological insulators Physical Review Letters 131 096001 (arXiv: 2211.10572)

[13] Legg H F, Loss D and Klinovaja J 2022 Phys. Rev. B 106 104501

[14] Ando F, Miyasaka Y, Li T, Ishizuka J, Arakawa T, Shiota Y, Moriyama T, Yanase Y and Ono T 2020 Nature 584 373-6

[15] Bauriedl L, Bauml C, Fuchs L, Baumgartner C, PaulikN, Bauer J M, Lin K, Lupton J M, Taniguchi T, Watanabe K, Strunk C, Paradiso N etal 2022 Nature Communications 13 4266

[16] Shin J, Son S, Yun J, Park G, Zhang K, Shin Y J, Park J G and Kim D 2021 Magnetic proximity-induced superconducting diode effect and infinite magnetoresistance in a van der Waals heterostructure Physical Review Research 5 L022064

[17] Trahms M, Melischek L, Steiner J F, Mahendru B, Tamir I, BogdanoffN, Peters O, Reecht G, Winkelmann C B, von Oppen F, Franke K J et al 2022 Diode effect in Josephson junctions with a single magnetic atom Nature 615 628-33

[18] Chahid S, Teknowijoyo S, Mowgood I and Gulian A 2023 Phys. Rev. B 107 054506

[ 19] Chahid S, Teknowijoyo S and Gulian A 2022 Quadristor: a novel device for superconducting electronics (arXiv: 2211.13340)

[20] Suri D, Kamra A, Meier TNG, Kronseder M, Belzig W, Back C H and Strunk C 2022 Appl. Phys. Lett. 121 102601

[21] Hou Y, Nichele F, Chi H, Lodesani A, Wu Y, Ritter M F, Haxell D Z, Davydova M, Ilic S, Glezakou-Elbert O, Varambally A, Bergeret F S, Kamra A, Fu L, Lee P A, Moodera J S etal 2022 Ubiquitous superconducting diode effect in superconductor thin films Phys Rev Lett 131027001

[22] Narita H et al 2022 Nat. Nanotechnol. 17 823-8

[23] Lyu Y, Jiang J, Wang Y, Xiao Z, Dong S, Chen Q, Milosevic M V, Wang H, Divan R, Pearson J E, Wu P, Peeters F M and Kwok W 2021 Superconducting diode effect via conformal-mapped nanoholes Nat Commun 12 2703

[24] Bocquillon E, Deacon R S, Wiedenmann J, Leubner P, Klapwijk T M, Briine C, Ishibashi K, Buhmann H and Molenkamp L W 2017 Nat. Nanotechnol. 12 137-43

[25] Baumgartner C et al 2022 Nat. Nanotechnol. 17 39-44

[26] Wu H, Wang Y, Xu Y, Sivakumar P K, Pasco C, Filippozzi U, Parkin S S P, Zeng Y J, McQueen T and Ali M N 2022 Nature 604 653-6

[27] Pal B et al 2022 Nat. Phys. 18 1228-33

[28] Baumgartner C etal2022 J. Phys. Condens. Matter34 154005

[29] Zhang Y, Gu Y, Li P, Hu J and Jiang K 2022 General Theory of Josephson Diodes Physical Review X12 041013

[30] Hu J, Wu C and Dai X 2007 Phys. Rev. Lett. 99 067004

[31 ] Chen C Z, He J J, Ali M N, Lee G H, Fong K C and Law K T 2018 Phys. Rev. B 98 075430

[32] Yokoyama T, Eto M and Nazarov Y V 2014 Phys. Rev. B 89 195407

[33] KopasovAA, Kutlin AGandMelnikovAS2021 Phys. Rev. B 103 144520

[34] Davydova M, Prembabu S and Fu L 2022 Universal Josephson diode effect Science Advances 8 eabo0309

[35] Halterman K, Alidoust M, Smith R and Starr S 2022 Phys. Rev. B 105 104508

[36] Alidoust M, Shen C and Zutic 12021 Phys. Rev. B 103 L060503

[37] Tanaka Y, Lu B and Nagaosa N 2022 Theory of giant diode effect in $d$-wave superconductor junctions on the surface of a topological insulator Physical Review 5106 214524

[38] Golod T and Krasnov V M 2022 Nat. Commun. 13 3658

[39] Kokkeler T, Golubov A and Bergeret F S 2022 Field-free anomalous junction and superconducting diode effect in spin-split superconductor/topological insulator junctions Phys Rev B106 214504

[40] Itahashi Y, Toshiya I, Yu S, Sunao S, Takumi O, Tsutomu N and Yoshihiro 12020 Sci. Adv. 6 eaay9120

[41] Ryohei W, Yu S, Shintaro H MIY, Toshiya I, Motohiko E, Yoshihiro I and Naoto N 2022 Sci. Adv. 3 el602390

[42] Wakatsuki R and Nagaosa N 2018 Phys. Rev. Lett. 121026601

[43] Lin J X, Siriviboon P, Scammell H D, Liu S, Rhodes D, Watanabe K, Taniguchi T, Hone J, Scheurer M S and Li JIA 2022 Nat. Phys. 18 1221-7

[44] Diez-Merida J, Diez-Carlon A, Yang S Y, Xie Y, Gao X, Senior J, Watanabe K, Taniguchi T, Lu X, Higginbotham A P, Law K T, Efetov DK etal 2023 Nat Commun 142396

[45] Edelstein V 1989 Sov. Phys. JETP 68 1244

[46] Barzykin V and Gor'kov L P 2002 Phys. Rev. Lett. 89 227002

[47] Dimitrova O and Feigel'man M V 2007 Phys. Rev. B 76 014522

[48] Samokhin K V 2004 Phys. Rev. B 70 104521

[49] Kaur R P, Agterberg D F and Sigrist M 2005 Phys. Rev. Lett. 94 137002

[50] Houzet M and Meyer J S 2015 Phys. Rev. B 92 014509

[51] Fulde P and Ferrell R A1964 Phys. Rev. 135 A550-63

[52] Larkin A and Ovchinnikov Y1965 Sov. Phys. JETP 20 762

[53] Mironov S, Mel'nikov A and Buzdin A 2012 Phys. Rev. Lett. 109 237002

[54] Mironov S V, Vodolazov D Y, Yerin Y, Samokhvalov A V, Mel'nikov A S and Buzdin A 2018 Phys. Rev. Lett. 121 077002

[55] Bobkova IV, Bobkov A M, Zyuzin A A and Alidoust M 2016 Phys. Rev. B 94 134506

[56] KarabassovT, GolubovAA,SilkinVM, StolyarovVSandVasenko AS2021 Phys. Rev. B 103 224508

[57] KarabassovT, Bobkova IV, Golubov A A and Vasenko A S 2022 Phys. Rev. B 106 224509

[58] Burkov A A2010 and Hawthorn D GPhys. Rev. Lett. 105 066802

[59] Culcer D, Hwang E H, Stanescu T D and Das SarmaS 2010 Phys. Rev. B 82 155457

[60] Yazyev O V, Moore J E and Louie S G 2010 Phys. Rev. Lett. 105 266806

[61] Li C H, van't Erve O M J, Robinson J T, Liu Y, Li L and Jonker B T 2014 Nat. Nanotechnol. 9 218-24

[62] Zyuzin A, Alidoust M and Loss D 2016 Phys. Rev. B 93 214502

[63] Bobkova IV and Bobkov A M 2017 Phys. Rev. B 96 224505

[64] KuprianovM Y and Lukichev V F 1988 JETP Lett. 67 1163

[65] Bezuglyi E V, Vasenko A S, Shumeiko V S and Wendin G 2005 Phys. Rev. B 72 014501

[66] Bezuglyi E V, Vasenko A S, Bratus E N, Shumeiko V S and Wendin G 2006 Phys. Rev. B 73 220506

[67] Belzig W, Wilhelm F K, Bruder C, Schon G and Zaikin A D 1999 Superlattices Microstruct251251-88

Приложение 4: «Anisotropic Josephson Diode Effect in the Topological Hybrid Junctions with the Hexagonal Warping»

Karabassov T. Anisotropic Josephson Diode Effect in the Topological Hybrid Junctions with the Hexagonal Warping // JETP Letters. 2024. Vol. 119. No. 4. Article 308.

Anisotropic Josephson Diode Effect in the Topological Hybrid Junctions with the Hexagonal Warping

T. Karabassov^

National Research University Higher School of Economics, 101000 Moscow, Russia

Submitted 24 November 2023 Resubmitted 30 December 2023 Accepted 9 January 2024

Recently the diode effect in superconductivity became an active area of research. In particular, the three-dimensional topological insulators may be one of the most suitable materials to implement the superconducting diodes. It is common to consider only linear and quadratic terms of the topological insulator Hamiltonian in the low energy expansion. Typically the effect of the hexagonal warping is neglected. However, the hexagonal warping can be very significant in consideration of the transport properties of the TI materials, such as Bi2Se3 or Bi2Te3. In this theoretical work we present the study of the Josephson diode effect based on the topological insulator weak link. We address the question of the hexagonal warping influence on the Josephson diode effect. We argue that the warping term leads to the anisotropy of the Josephson diode effect.

DOI: 10.1134/S0021364023603792

1. Introduction. The diode effect in the superconducting structures (SDE) became one of the central topics in condensed matter physics [1]. Such effect has a massive potential for the application in the area of superconducting electronics [2] and spintronics [3, 4]. Since its first discovery in the superconducting superlattices [5], the SDE has been reported in many different structures, including junction-free devices [5-9], Josephson junctions [10-15], and certain more exotic systems [16]. There have been numerous theoretical propositions of the systems where superconducting diode effect can be observed, including bulk superconducting materials [17-22], bilayer structures [23, 24] and Josephson junctions [25-30].

One of the most promising platforms for the implementation of the SDE is topological insulator (TI) based diodes [9, 13, 31]. The surface of TI provides strong spin-orbit coupling (SOC) which makes it possible to demonstrate a substantial magneto-electric effect [32-34]. Special attention has been paid to the magneto-electric effect in the TI based Josephson junctions, where it reveals itself in the form of the anomalous ground state phase shift [26, 29,35-49]. Recently, it has been demonstrated that in the TI hybrid structures where superconductivity and ferromagnetism are spatially separated, the ground state is also modified [50, 51]. In this case the ground state corresponds to the spatially inhomoge-neous superconducting order parameter. This superconducting state is commonly referred as the helical state [52-57].

e-mail: [e-mail]

The superconducting helical state became one of the options in achieving the SDE [1,19-21]. Described by finite Cooper pair momentum, the helical state can be realized in systems with broken inversion and time reversal symmetries. The former is connected to the appearance of the SOC term in the Hamiltonian, while the latter can be introduced by the magnetic field. In this case the direction of the Cooper pair momentum depends on the direction of the magnetic field. The finite momentum of the Cooper pair, which is locked to the direction of the magnetic field leads the nonreciprocal depairing current in various systems.

Here we discuss the consequences of the hexagonal warping of the TI surface states on the Josephson critical current and nonreciprocal transport in the S/TI/S system with an in-plane Zeeman field. The effect of hexagonal warping is important in the TI based devices, since it can significantly change some of the transport properties. For example, it is well known that the interference effects near the defects are strongly enhanced due to the deformation of the Fermi surface [58, 59]. The warping term also leads to the anisotropy of the spin conductivity in the TI materials [60]. The influence of the snowflake Fermi surface on superconducting properties in the hybrid structures has also been questioned [61-63]. However, the impact of the warping term on the superconducting transport and especially nonreciprocal transport have not been well studied.

We formulate the model in the framework of the tight-binding Bogoliubov-de Gennes (BdG) Hamiltonian and assume the nearest neighbour hopping approximation. Within the model we calculate the supercon-

ducting current-phase relations (CPR) and the Joseph-son critical current. First we show that the warping term causes the Josephson current anisotropy, i.e. the supercurrent depends on the orientation of the warped Fermi surface. We demonstrate that in the presence of the finite in-plane Zeeman field there is a Josephson current nonreciprocity between the two superconducting islands. This phenomenon is known as the superconducting Josephson diode effect [1]. As a next step we take into account the hexagonal warping of the TI Fermi surface which is inherent in certain 3D topological insulators [58]. We claim that the presence of the hexagonal warping leads to the anisotropy of the supercurrent non-reciprocity in the system under consideration. This is a direct consequence of the rotational symmetry breaking caused by the presence of the hexagonal warping.

2. Theory. We start by formulating the theoretical model of the S/TI/S hybrid structure. Such system can be described by the following effective Hamiltonian [58, 64]:

H( k) = Hq + Hsoc + Hw + Hs + Hz =

+ a (kysx - kxSy) (8) az + Akx (k^ - 3ky) sz®az +

+ ' s 0 az + As0 ® <rx. (1)

Here ¡ix is the chemical potential in the corresponding region (x = S for the superconducting region S and x — N for the bare topological insulator surface TI), a is the strength of the spin-orbit coupling and A is the warping coefficient, /is is the Bohr magneton and B = (0,£?y,0) is the Zeeman field. The Zeeman field B is assumed to be finite in all the regions of the hybrid structure. The order parameter A(x) = AeL^26{x — -dn/2)0(x-dn/2-ds) + Aei^0(x+dn)0(x+dn/2+ds), where A is a real-valued constant, </> = </>2 — (j>i is the phase difference between the superconducting islands and 0(x) is the Heaviside step function. The matrices s and a are the Pauli matrices in the spin and particle-hole spaces respectively. These spaces are combined by the Kronecker product

The Hamiltonian in Eq. (1) can describe both the surface and quasi-two-dimensional bulk states of the topological insulator [64]. The case of the surface states with a robust Dirac cone dispersion can be realized in the limit of meff —>• 00. On the other hand, when the quadratic term is not sufficiently small the model coincides with the two-dimensional electron gas with the Rashba spin-orbit coupling.

The system described by the Hamiltonian in Eq. (1) is depicted in Fig. 1. We use the tight-binding ap-

Fig. 1. (Color online) (a) - Schematic geometry of the Josephson diode based on the TI weak link. The superconducting layers S are assumed to be thin so that the system is effectively two-dimensional. <fr = 02 — <fii corresponds to the phase difference between the superconducting parts. 0 represents the angle of the Fermi surface rotation in the momentum space, (b) - The tight-binding representation of the middle normal region. Here two-layer region with blue sites corresponds to the virtual self energy lead with hopping term t from the left to the right site

proximation of the continuum Hamiltonian in Eq. (1) with the lattice constant a — 2nm. To discretize the Hamiltonian we utilize the open-source software package Kwant [65] for the tight-binding transport simulations. It is important to emphasize that the hybrid structure under consideration is finite and two-dimensional, so that we do not take into account variations along the axis perpendicular to the junction plane. The lengths of the S regions are ds 1 and ds2, the length of the non-superconducting region is L and the width of the Josephson junction is W. For simplicity we assume perfectly transparent S/TI interfaces.

In order to calculate the supercurrent across the hybrid structure we employ the methodology developed in [66, 67]. Basically it makes use of the fact that Kwant software allows one to calculate the retarded Green's function of the specified region. In this case we need to add the two-layer virtual self energy lead in the middle of the normal region shown in Fig. lb. Then we compute the Green's function corresponding to the self energy lead. The virtual self energy lead does not introduce any change to the system but is only necessary for calculation of the Green's function and subsequently the supercurrent. The supercurrent can be written in the following form:

'=fe(Ef?) = I(E[4(^(r),Hlead]). (2)

Here rii is the number operator, iiiead is the Hamiltonian of the virtual lead and () denotes the thermal average. H\e&d contains the hopping elements of the virtual lead and L denotes the sites of the lead. The supercurrent

in the framework of the Green's function in Matsubara representation takes the form

I = ie ^ (UjG(r, r% - tjiG(r, Tf)ji) =

ieL,jeR

= ieT (tjiG(iu}n)ij - tijG(iun)ij) =

ieLjeR n

= -4eT^Im [Tr (!TRLG (iun)LR - TLRG (iw„)flL)],

n

(3)

where we set h = ks = 1. Here Trl Plj?) is the hopping matrix from right (left) to left (right). G is the Green's function and uon — 2ixT(n + 1/2) are the Matsubara frequencies. In the first equality iiiead has been expanded in terms of the electronic operators and definition of the retarded Green's function has been used, i. e. G(t,r')ij = {c\{r)cj{rf)) for r > rf. The second equality has been obtained using the inverse Fourier transform of the Green's function and taking the limit t—t' —> 0+. For more details of the supercurrent derivation we refer the reader to the supplementary material of [66, 67].

To demonstrate the anisotropy effects introduced by the warping term in the total Hamiltonian of the system Eq. (1) one could follow two paths. One of the ways is to show the anisotropy by rotating the superconducting islands with respect to the TI surface, while keeping the direction of the Zeeman field fixed. Another way to perform the rotation is to introduce rotating angle in the k space and the corresponding unitary transformation to the Hamiltonian in the spin space. This can be represented by the following expressions

fkx\ ( cos <9 sin ¿A (kx\ f L = • a n U 5 U = exp (—i6crz/2), \ y J r \ sm cos / \yj

where subscript R denotes the rotated k space with the angle 0 (Fig. 1). Simultaneously the transformation of the wave-vectors k must be accompanied by the rotation along the z-axis in the spin space U. With the above transformations we can replace rotating the TI surface in real space with the rotation in k space.

One of the crucial characteristics of the diode effect is the diode quality factor. In this work the conventional definition is used:

where J+ = max[/(</>)] is the Josephson critical current in the positive direction and I~ = min[/(</>)] is the Josephson critical current in the opposite direction.

In the following sections we discuss the CPR of the S/TI/S Josephson junction in the absence of the Zee-man field and the impact of the hexagonal warping on the critical current. Then we consider the nonzero Zee-man field and the arising anomalous ground state phase shift as well as the nonreciprical superconducting transport. Finally, we investigate the Josephson critical current nonreciprocity caused by the helical state and the influence of the warping term on the diode efficiency.

3. The current-phase relations and the critical current at B = 0. In this Section we set the following parameters for the simulations: a = 2nm, L = 60 nm, dSi = ds2 = 40 nm, T = 0.1K, ¡is = Hn = lOmeV, g — 50, a - 240 meV • nm and A = 100 meV • nm3. Such values for a and for the strength of the warping A are within the experimentally relevant range [58].

At the beginning we discuss the current-phase relations of the Josephson junctions in the case of zero Zeeman field B = 0. Such situation corresponds to the case of the nonmagnetic junction. In Figure 2a and b the current-phase relations for the S/TI/S junction are demonstrated with the curves for different values of the width of the normal region W with zero warping term A = 0. From Figure 2a we can see that super-current /(0) has the conventional sinusoidal shape in the short junction [68]. The coherence length in the system corresponds to the situation of the clean limit, i.e. £ = hvf/A. Hence, for the parameters of this section with A = 1 meV the coherence length £ « 156 nm which means that the system is in the short junction limit in Fig. 2a. Figure 2b corresponds to the long junction limit since £ « 32 nm. However, there is an important feature of the such S/TI/S junction in the presence of the hexagonal warping (A ^ 0). In Figure 2c we demonstrate the Josephson critical current as a function of the Fermi surface rotation angle 9 computed at W = 40 nm. We can see that the critical current strongly depends on the angle of the Fermi surface rotation. Such anisotropy of Ic(0) is due to the hexagonal warping of the Fermi surface. Since the introduction of the warping term breaks the rotational symmetry, the Hamiltonian in Eq. (1) becomes invariant under rotation of 6 = 2n7v/3, however the spectrum of the Hamiltonian is invariant under 6 — nir/3. As we can see from Fig. 2c the critical current is invariant under 6 — nir/3 as well.

4. The ground state phase shift and the SDE in the S/TI/S junction. In this Section we set the following parameters for the simulations: a = 2nm, L = 60 nm, W = 40 nm, dsi = dS2 = 40 nm, T = 0.1K, Us = Mat = lOmeV, g = 50, a = 240meV • nm, A = 100meV-nm3, 6 = 0 and Zeeman field By = 0.45 T,

< =L

1. (a)

\ - .

1 , 1.

-1.0 -0.5 ( ) 0.5 1.0

(b)

-1 .0 -C 1.5 ( ) 0.5 1.0

4> / 7T

- w= 20 nm

ff = 20 nm

4> / 7T

60 nm

(c) Ic (0) (|iA)

90°

135°/fC~>\450

270°

- A = 1 meV -A = 5 meV

Fig. 2. (Color online) Current-phase relations of the S/TI/S Josephson junction in the absence of Zeeman field, (a) and (b) correspond to the CPR in the short (A = 1 meV) and long (A = 5 meV) junctions, respectively. The curves were calculated for three different values of the junction width W in the absence of the warping, (c) - The polar plot of the Josephson critical current vs the angle of the Fermi surface rotation 6 calculated for A = 100 meV • nm3

which corresponds to the Zeeman energy g/nsBy « « 1.3 meV.

Now we include a finite Zeeman field in the system. In our case we will consider the Zeeman field in all the hybrid structure. It is also possible to take it into account the field only in the normal part. In the latter case the results are not affected qualitatively, since the Zee-man field influences the superconducting regions via the mechanism of the proximity effect resulting in the quantitative difference [69]. As has been mentioned above, when the superconducting and magnetic orders are spatially separated the helical state and SDE still can be realized in the topological hybrid structures [50, 51].

In Figure 3 we show the CPR of the Josephson junction in the presence of the in-plane Zeeman field By = 0.45 T. From the plots we can notice that finite field By significantly modifies the CPR shifting the ground state phase to the non-zero value fa. This means that the zero supercurrent between the two superconducting islands in the junction is no longer realized at = 0. </>o is usually referred as the anomalous ground state phase shift of the Josephson junction [48]. Another important observation in Fig. 3 is the nonreciprocity of the Josephson critical current, i. e. the absolute value of the critical current in one direction is not equal to the one in the opposite direction (/+ ^ /-). This is the Josephson diode effect. When the hexagonal warping is taken into consideration the CPR undergo some changes depending on the rotation angle of the Fermi surface 6. In Figure 3c and d we demonstrate the CPR for 0 = 0 and we can see that the nonreciprocity of the critical current is substantially suppressed. However, the ground state phase shift </>o still remains finite.

In order to get more insight into the SDE, first we turn to the discussion of the diode efficiency for A = 0. In general, rj is sensitive to many parameters of the system, however here we will discuss its dependence on

the Zeeman field By and the chemical potential of the non-superconducting area ¡in- These parameters are believed to be controllable in the experimental setup, i.e. the Zeeman field can be set by the external magnetic field and ¡in can be tuned by the voltage biased gate in the normal region. We show these dependencies in Fig. 4 for two different values of A. We can see that the diode efficiency has an optimal value and changes sign at a certain value of By. In the framework of our model and for given parameters this sign-changing behavior is connected to the competition of the two helical bands for the contribution in supercurrent nonreciprocity. Indeed, two helical bands have the opposite helicities, i.e. the spins of quasiparticles corresponding to each band at a certain momentum direction are opposite to each other. Thus, for a given direction of the Zeeman field the helical bands compete with each other and the sign of r] depends on whether one or the other band is dominant [19-21]. However, in general the sign-changing behavior of r] is also possible in the case of a single helical band model (i. e. when meff —>- oo in Eq. (1)) in long Josephson junctions [70].

The plot of tj(ijln) dependence (Fig. 4b) illustrates that the diode efficiency can be tuned by the chemical potential of the central region as well. The reason for such behavior of tj(ijln) calculated at A = 1 meV can be attributed to small number of the low energy bound states in the junction and their nonmonotonic and quasi-periodic behavior as a function of /ijv. Hence, such behavior of the bound states can vastly modify the superconducting current and specifically their contribution to the nonreciprocal transport.

5. The anisotropy of the diode effect. In this Section we set the following parameters for the simulations: a = 2 nm, L — 60 nm, W = 40 nm, dsi = = dS2 = 40nm, T = 0.1 K, fjLS = UN = 10meV, g = 50, a — 240 meV • nm, A = 100 meV • nm3 and Zeeman

A = 1 meV

A = 5 meV

----By = 0 By = 0.45 T -By = -0.45 T

Fig. 3. (Color online) CPR of the S/TI/S Josephson junction in the presence of in-plane Zeeman field By. (a) and (b) correspond to the case of A = 0, while (c) and (d) to A = 100 meV • nm3 and 9 — 0. 0o is the ground state phase shift of the Josephson junction

-A = 1 meV -A = 5 meV

Fig. 4. (Color online) The diode efficiency of the Josephson junction 77 as a function of Zeeman field By (a) and chemical potential ¡jln (b) calculated for two values of the pair potential: A = lmeV and A = 5meV

field By = 0.45 T. As we showed above the consideration of the warping term results in the anisotropy of the critical current. It is natural to assume that the diode efficiency also undergoes some similar changes. In Figure 5a we illustrate the dependence as a function of By at A — 100 meV • nm for three different values

of the Fermi surface rotation angle 9. We observe that while for a certain value of By at 0 = 0 the efficiency of the SDE can be almost zero, at 9 = 7r/6 it can be dramatically increased up to more than 77 = 0.2. This circumstance opens additional ways of incorporating such device in the field of superconducting electronics, en-

Fig. 5. (Color online) (a) - The diode efficiency of the Josephson junction rj as a function of Zeeman field By for three different values of 0: 6 = 0, 6 = ir/12 and 6 = 7r/6. (b) - r] as a function of the rotation angle 6 calculated for two values of A: A = 1 meV and A = 5 meV. The insets show schematic cross sections of the Fermi surface

abling a new way of controlling the topological insulator based Josephson junctions. In Figure 5b we further demonstrate how the diode efficiency is affected if 0 is varied. From the plot we can see that r] is indeed anisotropic with a period in 6 of 7r/3, which is shown schematically by the rotating Fermi surfaces in the upper part of the figure. Fermi surfaces in the upper part of Fig. 5.

6. Conclusion. In this work we have discussed the superconducting diode effect in S/TI/S hybrid structure with the warped TI Fermi surface. Employing the tight-binding approximation of the Bogoliubov-de Gennes equations we have formulated the model in the clean limit. Within the formalism of the Green's functions in the Matsubara representation we have computed the current-phase relations through the Josephson junction. First, we have demonstrated that the Josephson critical current itself is anisotropic, i.e. it depends on the orientation of the warped Fermi surface with respect to the S/TI interface. Then we have added the in-plane Zee-man field to the system and showed the emergence of the ground state phase shift in the CPR as well as substantial current nonreciprocity in the junction (diode effect). Inclusion of the warping term in the Hamilto-nian may lead to the significant reduction of the current nonreciprocity for some orientations of the Fermi surface, however the ground state phase shift tends to remain finite. Finally, we have computed the angle dependence of the diode efficiency and demonstrated that diode effect can be remarkably anisotropic. This fact may be useful for the development of the superconducting diodes as it suggests additional method of control of the diode effect.

Funding. This work was supported by the Foundation for the Advancement of Theoretical Physics and

Mathematics "BASIS" grant number 22-1-5-105-1. The calculation of Fig. 2 was supported by the Mirror Laboratories Project and the Basic Research Program of the HSE University.

Conflict of interest. Author declares that there is no conflict of interest.

Publisher's Note. Pleiades Publishing remains neutral with regard to jurisdictional claims in published maps and institutional affiliations.

Open Access. This article is licensed under a Creative Commons Attribution 4.0 International License, which permits use, sharing, adaptation, distribution and reproduction in any medium or format, as long as you give appropriate credit to the original author(s) and the source, provide a link to the Creative Commons license, and indicate if changes were made. The images or other third party material in this article are included in the article's Creative Commons license, unless indicated otherwise in a credit line to the material. If material is not included in the article's Creative Commons license and your intended use is not permitted by statutory regulation or exceeds the permitted use, you will need to obtain permission directly from the copyright holder. To view a copy of this license, visit http://creativecommons.Org/licenses/by/4.0/.

1. M. Nadeem, M. S. Fuhrer, and X. Wang, Nat. Rev. Phys. 5, 558 (2023).

2. I.I. Soloviev, N.V. Klenov, S.V. Bakurskiy, M. Y. Kupriyanov, A. L. Gudkov, and A. S. Sidorenko, Beilstein J. Nanotechnol. 8, 2689 (2017).

3. J. Linder and J. W. Robinson, Nat. Phys. 11, 307 (2015).

4. M. Eschrig, Rep. Prog. Phys. 78, 104501 (2015).

5. F. Ando, Y. Miyasaka, T. Li, J. Ishizuka, T. Arakawa, Y. Shiota, T. Moriyama, Y. Yanase, and T. Ono, Nature 584, 373 (2020).

6. H. Narita, J. Ishizuka, R. Kawarazaki, D. Kan, Y. Shiota, T. Moriyama, Y. Shimakawa, A. V. Ognev, A. S. Samardak, Y. Yanase, and T. Ono, Nat. Nanotech-nol. 17, 823 (2022).

7. Y. Itahashi, I. Toshiya, S. Yu, S. Sunao, O. Takumi, N. Tsutomu, and I. Yoshihiro, Sei. Adv. 6, eaay9120 (2020).

8. J.-X. Lin, P. Siriviboon, H. D. Scammell, S. Liu, D. Rhodes, K. Watanabe, T. Taniguchi, J. Hone, M.S. Scheurer, and J. I. A. Li, Nat. Phys. 18, 1221 (2022).

9. K. Yasuda, H. Yasuda, T. Liang, R. Yoshimi, A. Tsukazaki, K. S. Takahashi, N. Nagaosa, M. Kawasaki, and Y. Tokura, Nat. Commun. 10, 2734 (2019).

10. T. Golod and V.M. Krasnov, Nat. Commun. 13, 3658 (2022).

11. H. Wu, Y. Wang, Y. Xu, P.K. Sivakumar, C. Pasco, U. Filippozzi, S. S. P. Parkin, Y.-J. Zeng, T. McQueen, and M. N. Ali, Nature 604, 653 (2022).

12. C. Baumgartner, L. Fuchs, A. Costa, S. Reinhardt, S. Gronin, G. C. Gardner, T. Lindemann, M. J. Manfra, P. E. Faria Junior, D. Kochan, J. Fabian, N. Paradiso, and C. Strunk, Nat. Nanotechnol. 17, 39 (2022).

13. B. Pal, A. Chakraborty, P. K. Sivakumar, M. Davydova, A.K. Gopi, A.K. Pandeya, J.A. Krieger, Y. Zhang, M. Date, S. Ju, N. Yuan, N.B.M. Schröter, L. Fu, and S.S.P. Parkin, Nat. Phys. 18, 1228 (2022).

14. C.-Z. Chen, J. J. He, M. N. Ali, G.-H. Lee, K. C. Fong, and K.T. Law, Phys. Rev. B 98, 075430 (2018).

15. M. Trahms, L. Melischek, J. F. Steiner, B. Mahen-dru, I. Tamir, N. Bogdanoff, O. Peters, G. Reecht, C. B. Winkelmann, F. von Oppen, and K. J. Franke, Nature 615, 628 (2023).

16. Y.-Y. Lyu, J. Jiang, Y.-L. Wang, Zh.-L. Xiao, S. Dong, Q.-H. Chen, M.V. Milosevic, H. Wang, R. Divan, J. E. Pearson, P. Wu, F. M. Peeters, and W.-K. Kwok, Nature Commun. 12, 1 (2021).

17. H.D. Scammell, J.I.A. Li, and M.S. Scheurer, 2D Mater. 9, 025027 (2022).

18. N.F. Yuan and L. Fu, Proceedings of the National Academy of Sciences 119(15), e2119548119 (2022).

19. J.J. He, Y. Tanaka, and N. Nagaosa, New J. Phys. 24, 053014 (2022).

20. A. Daido, Y. Ikeda, and Y. Yanase, Phys. Rev. Lett. 128, 037001 (2022).

21. S. Ilic and F. S. Bergeret, Phys. Rev. Lett. 128, 177001 (2022).

22. H. F. Legg, D. Loss, and J. Klinovaja, Phys. Rev. B 106, 104501 (2022).

23. Z. Devizorova, A.V. Putilov, I. Chaykin, S. Mironov, and A.I. Buzdin, Phys. Rev. B 103, 064504 (2021).

24. T. Karabassov, A. A. Golubov, V. M. Silkin, V. S. Stol-yarov, and A. S. Vasenko, Phys. Rev. B 103, 224508 (2021).

25. R. Grein, M. Eschrig, G. Metalidis, and G. Schön, Phys. Rev. Lett. 102, 227005 (2009).

26. T. Yokoyama, M. Eto, and Y. V. Nazarov, Phys. Rev. B 89, 195407 (2014).

27. A. A. Kopasov, A. G. Kutlin, and A. S. Mel'nikov, Phys. Rev. B 103, 144520 (2021).

28. M. Davydova, S. Prembabu, and L. Fu, Sei. Adv. 8(23), eabo0309 (2022).

29. T. H. Kokkeler, A. A. Golubov, and F. S. Bergeret, Phys. Rev. B 106, 214504 (2022).

30. A. Zazunov, J. Rech, T. Jonckheere, B. Gremaud, T. Martin, and R. Egger, arXiv preprint arXiv:2307.14698 (2023).

31. M. Masuko, M. Kawamura, R. Yoshimi, M. Hi-rayama, Y. Ikeda, R. Watanabe, J. J. He, D. Maryenko, A. Tsukazaki, K. S. Takahashi, M. Kawasaki, N. Nagaosa, and Y. Tokura, npj Quantum Mater. 7, 1 (2022).

32. I.V. Bobkova, A. M. Bobkov, A.A. Zyuzin, and M. Ali-doust, Phys. Rev. B 94, 134506 (2016).

33. I.V. Bobkova and A. M. Bobkov, Phys. Rev. B 96, 224505 (2017).

34. I. V. Bobkova, A. M. Bobkov, and M. A. Silaev, J. Phys. Condens. Matter 34, 353001 (2022).

35. I. V. Krive, L. Y. Gorelik, R. I. Shekhter, and M. Jonson, Low Temp. Phys. 30(5), 398 (2004).

36. K. N. Nesterov, M. Houzet, and J. S. Meyer, Phys. Rev. B 93, 174502 (2016).

37. F. Dolcini, M. Houzet, and J. S. Meyer, Phys. Rev. B 92, 035428 (2015).

38. A. A. Reynoso, G. Usaj, C. A. Balseiro, D. Feinberg, and M. Avignon, Phys. Rev. Lett. 101, 107001 (2008).

39. A. Buzdin, Phys. Rev. Lett. 101, 107005 (2008).

40. A. Zazunov, R. Egger, T. Jonckheere, and T. Martin, Phys. Rev. Lett. 103, 147004 (2009).

41. A. Brunetti, A. Zazunov, A. Kundu, and R. Egger, Phys. Rev. B 88, 144515 (2013).

42. F.S. Bergeret and I.V. Tokatly, EPL 110(5), 57005 (2015).

43. G. Campagnano, P. Lucignano, D. Giuliano, and A. Tagliacozzo, J. Phys.: Condens. Matter 27, 205301 (2015).

44. F. Konschelle, I.V. Tokatly, and F.S. Bergeret, Phys. Rev. B 92, 125443 (2015).

45. D. Kuzmanovski, J. Linder, and A. Black-Schaff er, Phys. Rev. B 94, 180505(R) (2016).

46. A. G. Mal'shukov, S. Sadjina, and A. Brataas, Phys. Rev. B 81, 060502(R) (2010).

47. D.S. Rabinovich, I.V. Bobkova, and A. M. Bobkov, Phys. Rev. Research 1, 033095 (2019).

48. A. Assouline, C. Feuillet-Palma, N. Bergeal, T. Zhang, A. Mottaghizadeh, A. Zimmers, E. Lhuillier, M. Eddrie, P. Atkinson, M. Aprili, and H. Aubin, Nat. Commun. 10, 1 (2019).

49. M. Alidoust, Phys. Rev. B 101, 155123 (2020).

50. T. Karabassov, I. V. Bobkova, A. A. Golubov, and A. S. Vasenko, Phys. Rev. B 106, 224509 (2022).

51. T. Karabassov, E. S. Amirov, I.V. Bobkova, A.A. Golubov, E. A. Kazakova, and A. S. Vasenko, Condensed Matter 8(2), 36 (2023).

52. V. Edelstein, Sov. Phys. JETP 68, 1244 (1989).

53. V. Barzykin and L. P. Gor'kov, Phys. Rev. Lett. 89, 227002 (2002).

54. O. Dimitrova and M.V. Feigel'man, Phys. Rev. B 76, 014522 (2007).

55. K.V. Samokhin, Phys. Rev. B 70, 104521 (2004).

56. R. P. Kaur, D.F. Agterberg, and M. Sigrist, Phys. Rev. Lett. 94, 137002 (2005).

57. M. Houzet and J. S. Meyer, Phys. Rev. B 92, 014509 92015).

58. L. Fu, Phys. Rev. Lett. 103, 266801 (2009).

59. V.S. Stolyarov, V.A. Sheina, D. A. Khokhlov, S. Vlaic, S. Pons, H. Aubin, R. S. Akzyanov, A. S. Vasenko, T.V. Menshchikova, E.V. Chulkov, A.A. Golubov, T. Cren, and D. Roditchev, J. Phys. Chem. Lett. 12, 3127 (2021).

60. R. S. Akzyanov and A. L. Rakhmanov, Phys. Rev. B 99, 045436 (2019).

61. A. S. Vasenko, A. A. Golubov, V.M. Silkin, and E.V. Chulkov, JETP Lett. 105, 497 (2017).

62. A. S. Vasenko, A. A. Golubov, V.M. Silkin, and E.V. Chulkov, J. Phys. Condens. Matter 29, 295502 (2017).

63. C.Y. Zhu, S.H. Zheng, H.J. Duan, M.X. Deng, and R.Q. Wang, Front. Phys. 15, 1 (2020).

64. C.-X. Liu, X.-L. Qi, H. Zhang, X. Dai, Z. Fang, and S.-C. Zhang, Phys. Rev. B 82, 045122 (2010).

65. T. Kloss, J. Weston, B. Gaury, al, M. Pizzochero, K. Erevis, G.B. Barin, M. Seel, R. Pandey, C.W. Groth, M. Wimmer, A. R. Akhmerov, and X. Waintal, New J. Phys. 16, 063065 (2014).

66. K. Zuo, V. Mourik, D. B. Szombati et al. (Collaboration), Phys. Rev. Lett. 119, 187704 (2017).

67. B. Zhang, Z. Li, V. Aguilar, P. Zhang, M. Pend-harkar, C. Dempsey, J. Lee, S.D. Harrington, S. Tan, J. S. Meyer, M. Houzet, C. J. Palmstrom, and S.M. Frolov, arXiv preprint arXiv:2212.00199 (2022).

68. A. A. Golubov, M. Y. Kupriyanov, and E. Il'ichev, Rev. Mod. Phys. 76, 411 (2004).

69. A. I. Buzdin, Rev. Mod. Phys. 77, 935 (2005).

70. B. Lu, S. Ikegaya, P. Burset, Y. Tanaka, and N. Na-gaosa, Phys. Rev. Lett. 131, 096001 (2023).