Исследование тепловых задач в областях с известными и неизвестными границами гидродинамическими методами тема диссертации и автореферата по ВАК РФ 01.02.05, кандидат физико-математических наук Таха Ахмед Шакер

• Таха Ахмед Шакер
• кандидат физико-математических наук
• 2008

Оглавление диссертации кандидат физико-математических наук Таха Ахмед Шакер

Введение.

Глава I. Тепловое поле в окрестности отдельного выступа как аналог безотрывного гидродинамического поля.

§1. Задача по расчету полей температуры и теплового потока в случае отдельного выступа разных конфигураций в бесконечных областях.

1.1. Методика расчета полей температуры и теплового потока в случае отдельного прямоугольного выступа.

1.1.1. Постановка задачи расчета полей температуры и теплового потока в случае отдельного прямоугольного выступа.

1.1.2. Решение задачи.

1.1.3. Результаты расчетов, анализ и выводы.

1.2. Методика расчета полей температуры и теплового потока в случае отдельного двухгранного остроконечного выступа.

1.2.1. Разработка методики расчета.

1.2.2. Основные результаты, анализ и выводы.

1.3. Влияние четырёхгранного выступа с углом наклона при вершине на границе области на характер теплового поля.

1.3.1. Разработка методики расчета.

1.3.2. Основные результаты, анализ и выводы.

1.4. Влияние четырёхгранного выступа с внутренним углом на границе области на характер теплового поля.

1.4.1. Разработка методики расчета.

1.4.2. Основные результаты, анализ и выводы.

1.5. Влияние прямоугольного выступа на границе области на характер теплового поля при пренебрежении величиной ширины выступа.

Введение диссертации (часть автореферата) на тему «Исследование тепловых задач в областях с известными и неизвестными границами гидродинамическими методами»

Актуальность темы. Аналитическое исследование тепловых (температурных) полей в областях со сложной геометрией границ или с заранее неизвестными границами по-прежнему остается актуальной проблемой. В частности, в практике использования различных нагревательных устройств применяется технологический выступ полигональной формы на границах этих устройств (примером могут служить оребрение границ). Для оценки эффективности введения таких выступов необходимо исследование их влияния на характер температурных полей и тепловых потоков как внутри области, так и на ее границе. Отдельный интерес представляет определение оптимальной формы изоляционного покрытия нагревающихся элементов с полигональными выступами на границе с целью уменьшения объема изоляционного материала при фиксированном коэффициенте теплопередачи. Необходимо отметить, что при решении таких задач оптимизации в прямой постановке нередко возникают проблемы с неединственностью решения.

Теплопередача является частью общего учения о теплоте, основы которого были заложены еще М.В. Ломоносовым в середине 18 века, создавшим механическую теорию теплоты и основы закона сохранения и превращения материи и энергии. В дальнейшем развитии учения о теплоте разрабатывались его общие положения. В 19 веке основное внимание уделялось вопросам превращения тепла в работу. С развитием техники и ростом мощности отдельных агрегатов роль процессов переноса тепла в различных тепловых устройствах и машинах стала возрастать. Во второй половине 19 века ученые и инженеры стали уделять процессам теплообмена значительно больше внимания. В литературе имеется много работ тех времен по вопросам распространения и переноса тепла, некоторые из них сохранили значимость до наших дней. В эти годы, например, была опубликована работа О. Рейнольдса, в которой устанавливается единство процессов переноса тепла и количества движения, его «гидродинамическая теория теплообмена» (1874 г.).

Учение о теплоте окончательно оформилось в самостоятельную научную дисциплину лишь в начале 20 века. В настоящее время теплопередача вместе с технической термодинамикой составляют теоретические основы теплотехники.

В развитие теплопередачи наряду с зарубежными исследователями большой вклад внесли русские ученые. Их труды до сих пор сохранили свое значение. Изучение вопросов теплообмена в нашей стране с 20-х годов возглавил академик М.В. Кирпичев, придавший ему новое инженерно -физическое направление. Были разработаны оригинальные пути исследования сущности рабочих процессов и работы тепловых устройств в целом, что позволяло научно обоснованно решать многие инженерные задачи. Одновременно с этим была разработана общая методология исследований, обработки и обобщения опытных данных. Все имевшиеся данные по теплообмену были пересмотрены, уточнены и приведены в определенную систему. Большое развитие в нашей стране получила теория подобия, являющаяся по существу теорией эксперимента. На ее основе была разработана теория теплового моделирования технических устройств.

Исследования показывают, что теплопередача является сложным процессом. При изучении этот процесс расчленяют на простые явления. Различают три элементарных способа переноса тепла: теплопроводность, конвекцию и тепловое излучение.

Теплопроводностью называется перенос тепла (или внутренней энергии) при непосредственном соприкосновении тел (или частей одного тела) с различной температурой.

Явление конвекции наблюдается в движущихся жидкостях или газах. Перенос тепла при этом происходит просто за счет перемещения вещества в пространстве.

Тепловым излучением называется явление переноса тепла в виде электромагнитных волн с двойным взаимным превращением - тепловой энергии в лучистую и обратно лучистой в тепловую.

В действительности элементарные виды теплообмена не обособлены и в чистом виде встречаются редко. В большинстве случаев один вид теплообмена сопровождается другим. Например, обмен теплом между твердой поверхностью и жидкостью (или газом) происходит путем теплопроводности и конвекции одновременно и называется конвективным теплообменом или теплоотдачей. В паровых котлах в процессе переноса тепла от топочных газов к внешней поверхности кипятильных труб одновременно участвуют все три вида теплообмена — теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. От внешней поверхности кипятильных труб одновременно участвуют все три вида теплообмена - теплопроводность, конвекция и тепловое излучение. От внешней поверхности кипятильных труб к внутренней через слой сажи, металлическую стенку и слой накипи тепло переносится путем теплопроводности. Наконец, от внутренней поверхности труб к воде тепло переносится путем теплопроводности и конвекции. Следовательно, на отдельных этапах прохождения тепла элементарные виды теплообмена могут находиться в самом различном сочетании. В практических расчетах такие сложные процессы иногда целесообразно рассматривать как одно целое. Так, например, перенос тепла от горячей жидкости к холодной через разделяющую их стенку называют процессом теплопередачи.

Решение задачи стационарной теплопроводности посвящено много работ, систематизированных в монографиях: Шнейдара П., Лыкова А.В., Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. и др.

При изучении различных термодинамических процессов оказались полезными методы, разработанные в гидродинамике. Этот подход использован при физическом и математическом моделировании как тепловых, так и гидродинамических полей.

Идея использования гидродинамической аналогии при решении плоскопараллельных стационарных задач теплопроводности была предложена Кельвином и Кирхгофом. Расчет тепловых полей, также как и гидродинамических, в областях с известными границами может быть осуществлен с использованием теории аналитических функций комплексного переменного [36]. Эта теория успешно применена также при решении краевых задач в областях с частично известными границами (задачи построения крылового профиля, контура гидротехнического сооружения [54], нахождения границы воронки после взрыва на выброс [16]).

Разработка и совершенствование современных технологических процессов, более детальное и углубленное изучение различных природных явлений требует создания для этого в качестве инструмента математических моделей. Эти модели, основанные на общих законах механики сплошной среды, должны быть доступными для исследования современными аналитическими методами. Важной частью исследований проблем механики сплошной среды является изучение тепловых полей в областях с известными или заранее неизвестными границами. Анализ термодинамических полей в областях с известной конфигурацией границ является полезным для уточнения характеристик этих полей. Разработка методов решения, проблем анализа свойств полей в областях, границы которых полностью неизвестны заранее, являются необходимы, например, для конструирования современного технологического оборудования и изучения экстремальных тепловых и гидродинамических ситуаций. В теории математической физики указанные направления характеризуются классами прямых и обратных (или обратных смешанных) краевых задач. Прямые краевые задачи для функций, удовлетворяющих дифференциальных уравнениям в частных производных, характерны решением этих уравнений в-областях, границы которых известны (задачи Дирихле, Неймана). В обратных и обратных смешанных краевых задачах неизвестны отдельные участки области отыскания решения. На этих границах задаются дополнительные условия, накладываемые на решения, i i ii обусловленные моделями изучаемого явления. Одни из этих условий, как например, соотношение, следующее из первых интегралов уравнения движения, типа интегралов Бернулли, являются общепринятыми, другие, что характерно для обратных краевых задач аэрогидродинамики, задаются например, из ряда конструкторских требований.

При создании математических моделей для анализа тепловых полей используются следствия из начал термодинамики обратимых процессов сложных сред, допущения о характере и свойствах этих сред и изменения этих свойств с течением времени. Идентичность дифференциальных уравнений, описывающие температурные поля и поля течений жидкости послужила основой для применения подходов гидродинамической аналогии.

При исследовании плоскопараллельных температурных полей в средах с постоянными коэффициентами теплопроводности эффективным явилось описание этих полей методами теории функций комплексного переменного.

В этих случаях функция температуры является гармонической. При решении задач по расчету температур широко используются численные методы при конечно - разностном анализе дифференциального уравнения Лапласа. Однако для использования этого метода возникают ограничения по характеру границы, особенно если она содержит угловые точки. Области, покрываемые сеткой для приближенных численных расчетов, должны иметь конечные размеры. Увеличение числа ячеек все еще ограничено возможностями современной вычислительной техники, хотя они и возрастают. Поэтому, по-прежнему, актуальными являются аналитические методы решения прямых краевых задач для гармонических функций в бесконечных областях с полигональными границами при наличии угловых точек. При этом эффективными явились методы конформных отображений областей на канонические области, где указанные угловые точки отсутствуют. При реализации известного метода конформных отображений с помощью теории интеграла Кристоффеля-Шварца вся трудность практических расчетов переносится на способ определения параметров, входящих в функцию конформного отображения. Последний способ решения эквивалентен отысканию корней системы нелинейных уравнений весьма общего класса. Отыскание решений этих уравнений оказалось возможным только после разработки современных алгоритмов, реализуемых в пакетах прикладных программ.

Цель работы

- разработка методики расчета полей температуры и теплового потока применительно к ряду задач с различной формой полигональных выступов на границе нагревателей;

- разработка методики расчета оптимальной границы изоляционного покрытия нагревающейся границы теплового поля с полигональными очертаниями нагревателя, исследование этой границы для конкретных форм полигональной границы;

- определение оптимального изоляционного покрытия двух симметрично-расположенных источников тепла, анализ влияния на форму границы возможного движения среды в окрестности свободной границы.

Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложения. Работа изложена на 161 страницах, содержит 54 рисунка и 21 таблиц. Список литературы насчитывает 65 наименование.

Заключение диссертации по теме «Механика жидкости, газа и плазмы», Таха Ахмед Шакер

Результаты работы можно использовать также в теории струйных течений [6] и теории размерной электрохимической обработки металлов [17].

Рассмотренная задача в силу очевидных аналогий может трактоваться также, как задача по нахождению оптимальной (обеспечивающей минимум веса при фиксированном суммарном потоке тепла) формы тепловой изоляции источника в виде длинной тонкой полосы.

Решение задачи по определению неизвестной границы области

0.338; 4 —0.321 изменения гармонической функции по заданному постоянному значению этой функции и постоянному значению градиента функции, рассмотрено в работе [33]. В этой работе показано, что отыскание границы эквивалентно решению задачи отыскания границы области фильтрации, в которой реализуется экстремум стационарного фильтрационного расхода. В работе показано, что, если область однородный, а течение следует закону Дарси, то решение строится методом теории струй и имеет вид в( I"*4) ж X

1-а2 t2 2 а 1 -at

1 , 1 + at In где —Q, а, Я некоторые вещественные параметры задачи, z, t — комплексные переменные. Задача эквивалентна рассматриваемой задаче для соответствующей интерпретации ее как задачи теплопроводности.

Результаты расчетов, представленные в [33], свидетельствуют, во — первых, о качественном совпадении их с полученными в данной главе работы. Отмечается неоднозначность решения задачи, возможность совпадения касательных в некоторых точках различных границ, наличие или отсутствие точек перегиба границ. В отличии от метода, представленного в работе [33], использование метода Жуковского позволяет определять точки перегиба в процессе решения задачи. Они характеризуются значением параметра ju. Проведено сравнение количественных результатов с помощью расчетов координат искомой границы, выполнимых по методу функции Жуковского и указанной выше формулы. Для этого были определены указанные выше параметры для трёх примеров. Искомая граница соответствует изменению переменной t по дуге окружности единичной радиуса t = < в <

Результаты сравнения представлены в таблице 3.2. Различие в координатах не превышает сотых долей, что может быть объяснено неточностью использованных квадратурных формул. Качественные результаты расчетов совпадают с результатами работы.

Заключение

1. Разработан метод расчета полей температуры и теплового потока в бесконечных областях со сложной конфигурацией границы при наличии одиночного выступа. Отмечена гидродинамическая аналогия рассматриваемой задачи. Выполнен расчет изотерм и линии постоянного значения градиента теплового потока в зависимости от различных геометрических размеров выступа. Определена в зависимости от геометрических размеров выступа характерная линия, разделяющая области теплового поля, модули градиентов теплового потока в которых больше или меньше значения, равного единице. Установлены зоны влияния геометрических размеров симметричных выступов на невозмущенное тепловое поле. Представлены примеры расчетов, дан их анализ.

2. Разработан метод расчета симметричной и не симметричной оптимальной границы изоляционного покрытия при заданной форме источника тепла разной конфигурации при стационарной температуре. Произведен расчет искомых границ при различных величинах ширины, высоты и угла источника тепла разной конфигурации. Выполнен расчет линий искомой границы. Построены линии искомых границ. Были исследованы основные факторы, влияющие на характер оптимальной границы изоляционного покрытия. Изучен анализ влияния геометрических параметров нагревателя на характер свободной границы. Представлены примеры расчетов, дан их анализ.

3. Разработан метод расчета симметричной оптимальной границы изоляционного покрытия при наличии двух источников тепла. Выполнено решение задачи методом использования функции Жуковского. Выполнен расчет искомых границ в зависимости от расстояния между источниками тепла. Построены линии искомых границ. Проведено сравнение количественных результатов с помощью расчетов координат искомой границы, выполнимых по методу функции

146

Жуковского и методу работы [33]. Выполнено решение той же задачи методом использования формулы Синьорини, применяемый в гидромеханике. Выведены параметрические уравнения для расчета координаты точек искомой границы с использованием сингулярных интегралов типа Коши. Проведено сравнение результатов расчета с результатами решения, полученными на основе использования функции Жуковского.

4. Решены модельные задачи определения свободной границы кондуктивного теплового поля для двух источников тепла с учетом зависимости величины теплового потока от скорости движения среды вблизи искомой границы. Разработан метод расчета симметричной границы кондуктивного теплового поля при линейной зависимости величины теплового потока на границе от модуля скорости потенциального течения с заданной циркуляцией. Выполнен расчет искомых границ в зависимости от расстояния между источниками тепла. Построены линии искомых границ. Представлены примеры расчетов и дан их анализ. Установлено, что неединственность решения задачи по определению оптимальной формы изоляции двух источников тепла сохраняется и при учете возможного движения среды около свободной границы. Разработан метод расчета симметричной границы кондуктивного теплового поля при обратно пропорциональной зависимости модули вектора теплового потока и скорости. Выполнен расчет искомых границ с учетом изменения параметров на границе. Представлены примеры расчетов линии искомых границ и дан их анализ.

Список литературы диссертационного исследования кандидат физико-математических наук Таха Ахмед Шакер, 2008 год

1. Алимов М.М. Об условиях экстремума фильтрационного расхода / М.М. Алимов// Труды семинара по краевым задачам. - Казань: Изд-во Казан, ун - та. Вып. 25. 1990.- С. 59 - 69.

2. Алимов М.М., Скворцов Э.В. Об оценках фильтрационного расхода в областях с геометрическими ограничениями / М.М. Алимов, Э.В. Скворцов.// Исследования по подземной гидромеханике. — Казань: Изд-во Казан, ун-та. Вып. 10. 1989 С. 3 - 18.

3. Алимов М.М., Скворцов Э.В. Об оценках расходных характеристик в теории фильтрации и теплопроводности / М.М. Алимов, Э.В. Скворцов.// ПММ. 1989. Т. 53. Вып. 3. С. 462 468.

4. Бендерский Б.Я. Техническая термодинамика и теплопередача / Б.Я. Бендерский. Москва - Ижевск: НИЦ (Регулярная и хаотическая динамика), 2005. - 264 с.

5. Березин И.С. , Жидков. Н.П. Методы Вычислений/ И.С. Березин, Н.П. Жидков. М.: Изд-во физико-математической лит - ры, 1962. - 583 с.

6. Биркгов Г., Сарнтонелло Э. Струй, следы и каверны. / Г. Биркгов, Э. Сарнтонелло. М.: Мир, 1964. - 466 с.

7. Булатов А.А., Зиннатуллин Н.Х., Гимранов Ф.М. Анализ процесса теплообмена при тонкопленочном течении жидкости в поле центробежных сил / А.А. Булатов, Н.Х. Зиннатуллин, Ф.М. Гимранов // ТОХТ, 1990, т.24, № б, С.735 742.

8. Гахов М.А. Краевые задачи / М.А. Гахов. М.: Наука, 1977 - 640 с.

9. Градштайн И.С., Рыжик И.М. Таблицы интегралов, сумм, рядов и произведений/ И.С. Градштайн, И.М. Рыжик. М.: Физматгиз, 1962. -1100 с.

10. Гуревич М.И. Теория струй идеальной несжимаемой жидкости / М.И. Гуревич. М.: Наука, 1977. - 644 с.

11. Ентов В.М., Костерим А.В., Скворцов Э.В. Об оценках расхода фильтрационного потока / В.М. Ентов, А.В. Костерин, Э.В. Скворцов // Механика жидкости и газа. Известия.Академии наук СССР. - 1986.: Изд-во Наука. № 2. С. 80 - 87.

12. Ентов В.М. и др. Математическая теория целиков остаточной вязкопластичной нефти / В.М. Ентов и др. Томск: Изд-во Том. ун-та., 1989.- 193 с.

13. Зозуля В.Д. Эстафетный механизм теплопередачи при тепловом взрыве порошковых медно-алюминиевых прессовок/ В.Д. Зозуля// Механика жидкости и газа журнал "Цветная металлургия" - 2005. № 5. - С. 2.

14. Ильинский Н.Б., Якимов Н.Д. Обратная задача фильтрации в земляной плотине / Н.Б. Ильинский, Н.Д. Якимов // Труды семинара по краевым задачам. Казань 1972.: Изд-во Казан, ун-та, Вып. 9. С. 103 — 111.

15. Ильинский Н.Б. Об одном методе построения выемки выброса при взрыве шнуровых зарядов / Н.Б. Ильинский // Труды семинара по краевым задачам. Казань: Изд-во Казан, ун-та. Вып 16, 1979 — С. 71 - 80.

16. Каримов А.Х., Клоков В.В., Филатов Е.И. Методы расчета электрохимического формообразования/ А.Х. Каримов, В.В.Клоков, Е.И. Филатов. Казань: Изд-во Казанского университета, 1990. - 386 с.

17. Кирпичников П.А., Аверко Антонович Л.А., Аверко — Антонович Ю. О. Химия и технология синтетического каучука / П.А. Кирпичников, J1.А. Аверко — Антонович, Ю.О. Аверко — Антонович. — Ленинград.: Химия; 1970.- 528 с.

18. Клоков В.В. Курс лекций по механике сплошных сред/ В.В.Клоков. — Казань: Изд-во Казанского университета, 1991. — 102 с.

19. Клоков В.В. Аналитическое исследование стационарного электрохимического формообразования / В.В. Клоков // Современная электротехнология в машиностроении Сб. тр. Всерос. научно техн. конф. Тула, 1997.-С. 42-51.

20. Клоков В.В., Таха А.Ш. Задача по определению предельной границы плавления при наличии нескольких нагревателей методом гидродинамической аналогии / В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2008. - № 1. - С. 40 - 45.

21. Клоков В.В., Таха А.Ш. Определение предельной границы плавления с учетом движения среды / В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Экологический вестник научных центров ЧЭС. 2008. - (принята в печать). -С. 1-7.

22. Клоков В.В., Таха А.Ш. Задача по определению предельной границы плавления при заданной форме нагревателей / В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2006 27с. Деп. в ВИНИТИ 11.01.07, № 28-В2007.

23. Клоков В.В., Таха А.Ш. Определение предельной границы плавления в случае полигонального нагревателя методом гидродинамической аналогии /В.В. Клоков, А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2007. 21 с. Деп. в ВИНИТИ 26.09.07, № 907 В2007.

24. Кодолов В.К, Трубачев А.В. Основы общей химии / В.И. Кодолов, А.В. Трубачев. Ижевск: Интеграция, 2001. — 321 с.

25. Комаров Д., Болтов А., Бончева Н. Механика пластических сред / Д. Коларов, А. Балтов, Н.Бончева. София: Наука, 1975. - 302 с.

26. Конев С.А., Гимранов Ф.М., Зиннтуллин Н.Х. Расчет процесса неизотермической абсорбции в центробежных пленочных аппаратах / С.А. Конев, Ф.М. Гимранов, Н.Х. Зиннтуллин // Тепломассообмен ММФ — 96. 1996, т.1. С. 195 -200.

27. Коппефелъс В., Шталъмн, Ц. Практика конформного отображения. / В. Коппефельс, Ц. Штальмн М.: Иностранные литературы, 1963.-406 с.

28. Костерин А.В., Скворцов Э.В. Об оценке минимального расхода при заданной площади фильтрации / А.В. Костерин, Э.В. Скворцов // Исследования по подземной гидромеханике. — Казань: Изд-во Казан, ун-та. Вып. 6. 1983.-С. 47-57.

29. Кочин Н.Е., Кибелъ И.А. Теоретическая гидромеханика / Н.Е. Кочин, И.А Кибель. М.: Изд-во физико-математической лит-ры, 1963. — 583 с.

30. Кузнецов В.М., Лаврентьев М.А., Шер Е.И. О направленном метании грунта при помощи взрывчатого вещества / В.М. Кузнецов, М.А.

31. Лаврентьев, Е.И. Шер // Журн. прнкл. механики и техн. физики. № 4. I960.— С. 49-50.

32. Лаврентьев М.А., Шабат Б.В. Методы теории функций комплексного переменного / М.А. Лаврентьев, Б.В. Шабат. М.: Наука, 1987. -688 с.

33. Лыков А.В. Тепломассообмен (справочник) / А.В. Лыков. -М.: Энергия, 1978.-480 с.

34. Мелешко Л. О. Молекулярная физика и введение в термодинамику / Л. О. Мелешко. — Минск: Изд-во Вышэйшая школа, 1977. — 384 с.

35. Михеев М.А., Михеева И.М. Основы теплопередачи / М.А. Михеев, И.М. Михеева. М.: Энергия, 1973. - 320 с.

36. Монахов В.Н. Краевые задачи со свободными границами для эллиптических систем уравнений / В.Н. Монахов. — Новосибирск.: Наука, Сибир. Отд., 1977. 424 с.

37. Нужин М.Т., Ильинский Н.Б. Методы построения подземного контура гидротехнических сооружений / М.Т. Нужин, Н.Б. Ильинский -Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1963. 139 с.

38. Полубаринова — Кочина П.Я. Теория движения грунтовых вод / П.Я. Полубаринова Кочина. - М.: Наука, 1977. - 644 с.

39. Померанцев А,А. Курс лекций по теории тепломассообмена / А.А. Померанцев — М.: Наука, 1965. 351 с.

40. Привалов И.И. Введение в теорию функций комплексного переменного / И.И. Привалов. М.: Наука, 1984 . - 432 с.

41. Рубинштейн Л.И. Проблема Стефана / Л.И. Рубинштейн Рига: Звайгзне, 1967.-456 с.

42. Котенко // Современный вулканизм и связанные с ним процессы. Институт вулканологии ДВО РАН. - 2003.

43. Седов Л.И. Механика сплошной среды/ Л.И. Седов. М.: Наука, 1967.-536 с.

44. Сидоров Ю.В., Федорюк М.Н., Шабунин М.И. Лекции по теории функций комплексного переменного / Ю.В. Сидоров, М.Н. Федорюк, М.И. Шабунин М.: Наука, 1976. - 407 с.

45. Таха А.Ш. Влияние выступа разных размеров на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2005. 26с. Деп. в ВИНИТИ 30.03.2005, № 437 В2005.

46. Таха А.Ш. Влияние ширины выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2005.-17с. Деп. в ВИНИТИ 17.11.2005, № 1498-В2005.

47. Таха А.Ш. Влияние угла выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2005-16с. Деп. в ВИНИТИ 06.12.2005, № 1602 -В2005.

48. Таха А.Ш. Влияние симметричного четырехгранного выступа на границе канала на характер теплового поля / А.Ш. Таха // Казанский гос. университет. Казань, 2006. 24с. Деп. в ВИНИТИ 17.04.2006, № 507 - В2006.

49. Тумашев Г.Г., Нужин М.Т. Обратные краевые задачи и их приложения / Г.Г. Тумашев, М.Т. Нужин. Казань: Изд-во Казанск. ун-та, 1965.-333 с.

50. Фрумкин В.Н., Федосеев В.И., Шишов И.Н., Шерман М.М. Совершенствование способов создания цементационных завес в вечномерзлых скальных основаниях гидротехнических сооружений / В.Н.

51. Фрумкин, В.И. Федосеев, И.Н. Шишов, М.М. Шерман // Сборник научных трудов «Гидропроекта» 1992 г., вып. 155.

52. Хасанова А.Ю. Теплообмен в потоке жидкости с известными и не известными границами / А.Ю. Хасанова Казань: Изд-во Казанского ун-та, 1996.- 160 с.

53. Шнейдер П.Дж. Инженерные проблемы теплопроводности / П.Дж. Шнейдер. М.: ИЛ, 1960. - 478 с.

54. Alexiades V, Solomon A.D. Mathematical Modeling of Melting and Freezing Processes/ V. Alexiades, A.D. Solomon. Taylor & Francis, 1993. -323p.

55. Klokov V. V. Analytical Research of Steady Electrochemical Shaping/ Obrobka erozijna (electromachining) materialy konferencyjne .Bydgoszcz-Golub Bobrzyn, 1997. pp.183 - 190.

56. Klokov V.V. Computer Simulation of the ECM Shaping //Proc. 13-th Inter .Conf. on Computer Aided Production Engineering, Warsaw, Junel997.-pp. 379-383.

57. Klokov V.V. Mathematical Modeling of Limit Electrochemical Machining of Metals. /Proc. of Inter. Conf. on Advances in Production Engineering. Part II, APE 98, Watsaw, Poland, 1998,- pp. 221 - 227.

58. Klokov V.V. The inverse boundary-value problem for the steady electrochemical machining (ECM) by the tool with a site of anode polarization.// Тр. Межд. конф. Modeling, computing, design under indeterminacy condition-2000, Уфа, 2000.- C.67 76.

59. Klokov V.V. The steady electrochemical machining by the anode-polarized tool./Proc.2- th Intern. Conf. on Machining and Measurements of Sculptured Surfaces. Krakov, 20 - 22 sept.2000.- p. 419 - 428.

60. Signorini A. Sopra un problema al contorno nella teoria delle fnzioni di variable complessa. / A. Signorini // Annali di matematica. 1916-T25. S. 3.

61. Swokowski E.W. Calculus with analytic geometry / E.W. Swokowski Boston, Massachusetts.: Marquette University, 1984. - 922 p.